抽象函数问题及解法

抽象函数问题及解法

原创/O客

本文谈及的抽象函数问题是高考的必考内容，是高中函数与大学函数的衔接内容。打开窗子说亮话，是高中教材没有，高考要考，大学不教但要经常用的内容。

如果一个关于函数f(x)的题目，已知f(x)的性质及f(x)满足的关系式，求证f(x)的其他性质，题目做完了，我们还不知道f(x)的具体的解析式，这就是抽象函数问题.

一般地，抽象函数是指没有（直接或间接）给出具体的解析式，只给出一些函数符号及其满足某些条件的函数.

解决抽象函数问题，我们可以用函数性质、特殊化、模型函数、联想类比转化、数形结合等多种方法.

（1）函数性质法.

函数的特征是通过其性质（如单调性、奇偶性、周期性、特殊点等）反映出来的，抽象函数也如此. 我们可以综合利用上述性质，包括借助特殊点布列方程等来解决抽象函数问题.

（2）特殊化法.

特殊化法又叫特取法. 为达到我们预期的目的，将已知条件进行适当的变换，包括式子的整体变换与具体数字的代换. 如在研究函数性质时，一般将x换成-x或其他代数式；在求值时，用赋值法，常用特殊值0，1，-1代入.

（3）模型函数法.

模型函数在解决抽象函数问题中的作用非同小可. 一方面，可以用借助具体的模型函数解答选择题、填空题等客观题. 另一方面，可以用“特例探路”，联想具体的模型函数进行类比、猜想，为解答题等主观题的解决提供思路和方法. 一般地，抽象函数类型有以下几种：

①满足关系式

f(x+y)=f(x)+f(y) （ⅰ）

的函数f(x)是线性型抽象函数. 其模型函数为正比例函数f(x)=kx (k≠0).

事实上，f(x+y)=k(x+y)=kx+ky=f(x)+f(y).

令x=y=0，得f(0)=0，故f(x)的图象必过原点.

令y=-x，得0=f(0)=f(x)+f(-x)，即f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数.

命题（ⅰ）可以推广为f(x+y)=f(x)+f(y)+b(b是常数），其模型函数为一次函数f(x)=kx-b(k ≠0).

②满足关系式

f(x+y)=f(x) f(y) （ⅱ）

的函数f(x)是指数型抽象函数. 其模型函数为指数函数f(x)=a x(a>0，a≠1）.

事实上，f(x+y)=a x+y=a x·a y=f(x) f(y).

令x=y=0，得f(0)=1，故曲线f(x)必过点(0，1).

命题（ⅱ）等价于f(x-y)=f(x) f(y).

③满足关系式

f(xy)=f(x)+f(y) (x，y∈R+) （ⅲ）

的函数f(x)是对数型抽象函数. 其模型函数为对数函数f(x)=log a x(a>0，a≠1）.

令x=y=1，得f(1)=0，故曲线f(x)必过点(1，0).

命题（ⅲ）等价于f( x

y)=f(x)-f(y) (x，y∈R

+) .

④满足关系式

f(xy)=f(x) f(y)

的函数f(x)是幂型抽象函数. 其模型函数为幂函数f(x)=x n.

⑤满足关系式

f(x+y)=

f(x)+f(y) 1- f (x) f(y)

的函数f(x)是正切型抽象函数. 其模型函数为正切函数f(x)=tan x.

需要指出的是，不是每种抽象函数都可以找到在中学阶段所熟知的函数作模型函数. 抽象函数的种类还有很多，这里罗列的仅是常见的，尤其是类型①、②、③最常见.

我们就上述方法的应用，先进行例说，再分类例说.

例如（2008·重庆），若定义域在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R，有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，则下列说法一定正确的是（）

A.f(x)为奇函数

B.f(x)为偶函数

C. f(x)+1为奇函数

D. f(x)+1为偶函数

这是线性型抽象函数问题. 联想模型函数f(x)=kx-1(k≠0），易知选C.

如果此题改为解答题，题设条件不变，“判断并证明函数g(x)=f(x)+1的奇偶性”.

那么我们首先联想模型函数，窥测解题方向，构建解题思路. 猜测g(x)是奇函数. 于是心中有“底”. 目标就是需要证明g(-x)+g(x)=0，即f(-x)+f(x)+2=0. 又抽象函数奇偶性问题，一般要先用赋值法确定f(0)的值，再用x，-x进行代换，进而得到g(-x)与g(x)的关系式.于是解答如下.

g(x)是奇函数. 证明如下：

令x1=x2=0，有f(0)=f(0)+f(0)+1，得f(0)=-1.

再令x1=x，x2=-x，有f(0)=f(x)+f(-x)+1，即f(-x)+f(x)+2=0，

从而g(-x)+g(x)= f(-x)+f(x)+2=0，

所以函数g(x)是奇函数.

1. 与单调性相关的问题

例1已知函数f(x)的定义域为R，对任意x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)<0，又f(1)=-2. 求f(x)在区间[-3，3]上的最大值和最小值.

解析联想模型函数f(x)=kx(k≠0)，猜想“f(x)是奇函数，且为减函数”.

设m

因为当x>0时，f(x)<0，而n-m>0，所以f(n-m)<0，

即f(n)

根据最值定理，f(x)在[-3，3]上的最大值为f(-3)，最小值为f(3).

因为f(1)=-2，所以f(2)=f(1+1)=2f(1)=-4，f(3)=f(2)+f(1)=-6.

又令x=y=0，得f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)，故f(0)=0，

再令x=1，y=-1，得0=f(0)=f(1)+f(-1)，故f(-1)=2，

f(-3)=f(-2)+f(-1)=3f(-1)=6.

所以f(x)在[-3，3]上的最大值为6，最小值为-6.

点评我们可以举出具有这种性质的一个函数y=-2x（x∈[-3，3]）.此外，我们还可以用奇偶性来证明单调性和求f(-3)的值. 由0=f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)，得f(-x)=-f(x)，故f(x)是奇函数.因此f(n)-f(m)=f(n)+f(-m)=f(n-m)<0，f(-3)=-f(3)=6.