求对数函数的解析式(必修一)
高一必修一对数函数知识点
高一必修一对数函数知识点对数函数是高中数学中的一个重要内容，它涉及到了指数函数和对数函数的关系。
对数函数的学习对于高中数学学习的深入理解和能力的发展非常重要。
本文将为大家介绍高一必修一对数函数的主要知识点，并通过示例来加深理解。
一、对数函数的定义和性质1. 对数函数的定义：对数函数y=loga(x)定义为y=a^x，其中a>0且a≠1。
其中，a称为底数，x称为指数，y称为对数。
2. 对数函数的性质：- 当x>0时，对数函数y=loga(x)是严格单调递增函数。
- 当0<a<1时，对数函数关于x轴对称。
- 当a>1时，对数函数关于y轴对称。
二、对数函数的图像和性质1. 对数函数的图像：对数函数的图像随着底数a的不同而变化，当底数a>1时，对数函数的图像呈现上升的指数形状；当0<a<1时，对数函数的图像呈现下降的指数形状。
2. 对数函数的常用性质：- 对数函数的定义域为(0, +∞)，值域为(-∞, +∞)。
- 对数函数的图像经过点(1, 0)，即loga(1) = 0。
- 对数函数在x=1时取到最小值，即loga(1) = 0。
- 对数函数在x→+∞时，值趋近于正无穷；在x→0+时，值趋近于负无穷。
三、对数函数的基本性质1. 对数函数的指数运算：- loga(xy) = loga(x) + loga(y)- loga(x/y) = loga(x) - loga(y)- loga(x^p) = p·loga(x)2. 对数函数的换底公式：- loga(x) = logb(x) / logb(a)四、对数方程和对数不等式1. 对数方程的求解：- 求解对数方程时，需要根据对数函数的性质来进行等式变形和求解。
2. 对数不等式的求解：- 求解对数不等式时，需要根据对数函数的性质来确定不等式的取值范围。
五、常用对数的计算常用对数是以10为底的对数，用logx表示。
求对数函数解析式_专题含答案
求对数函数解析式 专题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知幂函数y =f (x )的图象经过点(2, 4)，则f (x )的解析式（ ）A.f (x )=2xB.f (x )=x 2C.f (x )=2xD.f (x )=x +22. 已知函数g(x)=log a (x −3)+2(a >0, a ≠1)的图象经过定点M ，若幂函数f(x)=x α的图象过点M ，则α的值等于（ ）A.−1B.12C.2D.33. 如果对数函数y =log a x 的图象经过点P(18, 3)，则底a =( )A.2B.−2C.12D.−124. 已知幂函数y =f (x )的图象过点(2,14)，则log 2f (4)的值为（ ）A.2B.−4C.4D.−25. 函数f(x)=(a 2−3a +3)log a x 是对数函数，则a 的值是（ ）A.a =1或a =2B.a =1C.a =2D.a >0或a ≠16. 若函数y =log a x(a >0,a ≠1)的图象过点(4,−2),且函数y =f(x)的图象与函数y =log a x(a >0,a ≠1)的图象关于直线y =x 对称，则f(x)=________.7. 已知函数g(x)=(a +1)x−2+1(a >0)的图象恒过定点A ，且点A 又在函数f(x)=log 3(x +a)的图象上．则实数a =________．8. 若对数函数y =f(x)图象过点(4, 2)，则其解析式是________．9. 函数f(x)={ax +b(x ≤0)，log c (x +19)(x >0)，的图象如图所示，则a +b +c =________.10. 设函数f(x)、g(x)的定义域分别为M，N，且M⊆N，若对任意的x∈M，都有g(x)=f(x)，则称g(x)是f(x)的“拓展函数”．已知函数f(x)=13log2x，若g(x)是f(x)的“拓展函数”，且g(x)是偶函数，则符合条件的一个g(x)的解析式是________．11. 已知函数f(x)=a−log2x的图象经过点A(1, 1)，则不等式f(x)>1的解集为________．12. 把函数f (x)=lg(1−x)的图象按向量a=(−1, 0 )平移，所得图象的函数解析式是________．13. y=f(x)的图象与函数g(x)=log2x(x>0)的图象关于原点对称，f(x)的表达式为________．14. 将函数y=lg x图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为________．15. 已知对数函数f(x)的图象过点(4,−2)，则不等式f(x−1)−f(x+1)>3的解集为________.16. 已知f(x)=log12(10−ax)其中a为常数，f(3)=−2．（1）求a值；（2）若g(x)={a2(1≤x≤2)a 2x−a2(2<x≤3)，对任意的实数m，记V(m)为在定义域内g(x)−mx的最大值与最小值的差，求V(m)的最小值．17. 已知函数f(x)=log3(ax+b)图象过点A(2, 1)和B(5, 2)，设a n=3f（n），n∈N∗．（1）求函数f(x)的解析式及数列{a n}的通项公式；（2）求使不等式(1+1a1)(1+1a2)…(1+1a n)≥a√2n+1对一切n∈N∗均成立的最大实数a；（3）对每一个k∈N∗，在a k与a k+1之间插入2k−1个2，得到新数列：a1，2，a2，2，2，a3，2，2，2，2，a4，…，记为{b n}，设T n是数列{b n}的前n项和，试问是否存在正整数m，使T m=2008？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．18. 已知指数函数f(x)=a x（a>0且a≠1），g(x)为f(x)的反函数.(1)写出函数g(x)的解析式；(2)解关于x的不等式g(x)−loga (2−3x)≤loga1.19. 已知函数f(x)=log a x(a>0且a≠1)，且函数的图象过点(2, 1)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若f(m2−m)<1成立，求实数m的取值范围．20. 已知函数f(x)=log a x+b（其中a，b均为常数，a>0且a≠1）的图象经过点(2,5)与点(8,7).(1)求a，b的值；(2)设函数g(x)=b x−a x+2，若对任意的x1∈[1,4]，存在x2∈[0,log25]，使得f(x1)= g(x2)+m成立，求实数m的取值范围.21. 某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时奖金y为1万元，销售额x达到64万元时，奖金y为4万元，若公司拟定的奖励模型为y=a log4x+b，某员工想要得到8万元的奖金，则他的销售额应为多少．22. 已知函数f(x2−1)=log a x2−log a(2−x2)(a>0且a≠1).(1)求f(x)的解析式并判断f(x)的奇偶性；(2)解关于x的不等式f(x)≥loga11−x.23. 已知函数f(x)=log a x(a>0且a≠1)，且函数的图象过点(2, 1)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)计算log4a−2loga3+loga18.24. 已知g(x)是对数函数，且它的图象恒过点(e, 1)；f(x)是二次函数，且不等式f(x)>0的解集是(−1, 3)，且f(0)=3．（1）求g(x)的解析式（2）求f(x)的解析式；（3）写出y=f(x)的单调递减区间（不用写过程）．并用减函数的定义给予证明．（要写出证明过程）25. 已知函数f(x)=log a(x+1)(a>1)，若函数y=g(x)的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象．（1）写出函数g(x)的解析式；（2）当x∈[0, 1)时，总有f(x)+g(x)≥m成立，求m的取值范围．26. 设函数f(x)=log a(x+b)(a>0且a≠1)，f(x)的反函数f−1(x)的图象与直线y= x的两个交点的横坐标分别为0、1．(I)求函数f(x)的解析式；(II)当点(x, y)是y=f(x)图象上的点时，点(x3，y2)是函数y=g(x)上的点，求函数y=g(x)的解析式：(III)在(II)的条件下，当g(kx3)−f(x)≥0时，求x的取值范围（其中k是常数，且k≥32）．27. 已知函数f(x)=log3(ax−b)的图象过点A(2, 1)，B(5, 2)，（1）求函数f(x)的解析式；（2）记a n=3f（n）(n∈N∗)，是否存在正数k，使得(1+1a1)(1+1a2)…(1+1a n)≥k√2n+1对一切n∈N∗均成立，若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由．参考答案与试题解析求对数函数解析式专题含答案一、选择题（本题共计 5 小题，每题 3 分，共计15分）1.【答案】B【考点】求对数函数解析式【解析】先设出幂函数的解析式，再利用幂函数y=f(x)的图象经过点(2,4)，结合代入法求出幂函数的解析式．【解答】设f(x)=x a=f(2)=2a=4⇒a=2⇒f(x)=x2故答案为：B．2.【答案】B【考点】求对数函数解析式幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】由对数函数的性质得到点M(4,2)在幂函数f(x)=x a的图象上，由此先求出幂函数f(x)，从而能求出α的值．【解答】:y=loga(x−3)+2(a>0,a≠1)的图象过定点M，M(4,2)：点M(4,2)也在幂函数f(x)=x a的图象上，f(4)=4a=2，解得lgα=12故答案为：B．3.【答案】C【考点】求对数函数解析式【解析】根据已知中对数函数y=loga x的图象经过点P(18, 3)，可得loga18=3，即a3=18，解得答案．【解答】解：∵对数函数y=loga x的图象经过点P(18, 3)，∴loga 18=3，即a3=18，解得：a=12.故选C．4.【答案】B【考点】求对数函数解析式对数的运算性质【解析】利用待定系数法求出f(x)的表达式即可．【解答】解：设f(x)=x n则f(2)=2a=14，解得a=−2则f(x)=1x2f(4)=116则log2f(4)=log2(2−4)=−4故答案为：B．5.【答案】C【考点】求对数函数解析式【解析】由对数函数的定义可得a2−3a+3=1且a>0且a≠1，解方程可得．【解答】解：∵函数f(x)=(a2−3a+3)log a x是对数函数，∴a2−3a+3=1且a>0且a≠1，解a2−3a+3=1可得a=1或a=2，∴a=2，故选：C．二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）6.【答案】(1 2 )x【考点】求对数函数解析式反函数【解析】此题暂无解析【解答】解：函数y=log a x(a>0,a≠1)的图象过点(4,−2), 则有log a4=−2,所以a=1,2函数y=f(x)是y=log a x(a>0,a≠1)的反函数，)x.则f(x)=(12)x.故答案为：(127.【答案】7【考点】指数函数的图象与性质求对数函数解析式【解析】令x−2=0，求出A点的坐标，将A带入f(x)，求出a的值即可．【解答】解：令x−2=0，解得：x=2，此时g(2)=2，故定点A=(2, 2)，(x+a)的图象上，又点A又在函数f(x)=log3(a+2)=2，解得：a=7.则log3故答案为：7．8.【答案】xf(x)=log2【考点】求对数函数解析式【解析】利用待定系数法求出对数函数的解析式．【解答】x，(a>0且a≠1)，解：设对数函数y=f(x)=loga因为对数函数的图象过点(4, 2)，4=2，解得a=2，所以f(4)=logax．所以对数函数的解析式为f(x)=log2x．故答案为：f(x)=log29.【答案】133【考点】求对数函数解析式分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】此题暂无解析【解答】解：由图象可求得x≤0时，f(x)=2x+2，所以a=b=2.又函数y=logc (x+19)的图象过点(0,2)，将(0,2)代入可得c=13，所以a+b+c=2+2+13=133．故答案为：133.10.【答案】g(x)=13log2|x|（其它符合条件的函数也可）【考点】求对数函数解析式【解析】根据“拓展函数”的定义可构造g(x)．【解答】解：f(x)=13log2x的定义域M=(0, +∞)，g(x)=13log2|x|的定义域N=(−∞, 0)∪(0, +∞)，满足M⊆N，又当x>0时，g(x)=13log2|x|=13log2x=f(x)，故g(x)=13log2|x|是f(x)的“拓展函数”，故答案为：g(x)=13log2|x|．11.【答案】{x|0<x<1}【考点】求对数函数解析式对数函数的单调性与特殊点【解析】由于f(x)=a−log2x的图象经过点A(1, 1)，利用待定系数法求得a值，则不等式f(x)>1可化成：1−log2x>1最后利用对数的单调性即可求得不等式f(x)>1的解集．【解答】解：∵函数f(x)=a−log2x的图象经过点A(1, 1)，∴1=a−log21，∴a=1则不等式f(x)>1可化成：1−log2x>1即log2x<0∴0<x<1不等式f(x)>1的解集为{x|0<x<1}．故答案为：{x|0<x <1}．12.【答案】y =lg (−x)【考点】求对数函数解析式【解析】直接利用函数图象按 a →=(−1,0)平移，求出函数的解析式，即可．【解答】解：函数f (x)=lg (1−x)的图象按向量 a →=(−1,0)平移后所得图象的解析式：y =lg [1−(x +1)]+0，即 y =lg (−x)故答案为：y =lg (−x)．13.【答案】−log 2(−x)【考点】求对数函数解析式【解析】由“y =f(x)的图象与函数g(x)=log 2x(x >0)的图象关于原点对称”借用奇函数的图象性质，则用f(x)=−g(−x)求解．【解答】解：∵ y =f(x)的图象与函数g(x)=log 2x(x >0)的图象关于原点对称∴ f(x)=−g(−x)=−log 2(−x)故答案为：−log 2(−x)14.【答案】y =lg (x +1)−2【考点】求对数函数解析式【解析】图象的变换体现在自变量和函数的变化，向左平移1个单位就是将x →x +1，向下平移2个单位就是将y →y +2，从而得解．【解答】解：∵ 函数y =lg x 图象先向左平移1个单位∴ 得y =lg (x +1)∵ 再向下平移2个单位∴ 得y =lg (x +1)−2．故填：y =lg (x +1)−2．15.【答案】(1,97)【考点】求对数函数解析式指、对数不等式的解法【解析】此题暂无解析【解答】解：令f(x)=loga x.∵函数f(x)的图象过点(4,−2)，∴loga 4=−2，解得a=12，∴f(x)=log12x，不等式f(x−1)−f(x+1)>3可化为：log12(x−1)−log12(x+1)>3，∴log12x−1x+1>3，即{x−1x+1<18，x−1>0，x+1>0，解得1<x<97.故答案为：(1,97).三、解答题（本题共计 12 小题，每题 10 分，共计120分）16.【答案】解：（1）∵f(3)=−2，∴log 12(10−3a)=−2，⇒10−3a=4，易求得：a=2；（2）因为a=2，所以得到：g(x)={1(1≤x≤2)x−1(2<x≤3)进而得到V(m)={1−mx(1≤x≤2)(1−m)x−1(2<x≤3)分情况讨论如下：①若m<0，max{g(x)−mx|x∈[1, 3]}=2−3m，min{g(x)−mx|x∈[1, 3]}=1−m，V(m)=1−2m>1②若m=0，V(m)=1③若0<m<1，如图，g(m)min=V(2)=1−2m，当0<m≤12，g(m)max=V(3)=2−3m，当12<m<1，则g(m)max=V(1)=1−m此时，分析得V(m)≥12．④若m=1，V(m)=1．⑤若m>1，V(m)=2m−1≥1．综合以上得到V(m)的最小值为12．【考点】求对数函数解析式函数的最值及其几何意义【解析】（1）利用题中条件：“f(3)=−2，”得log12(10−3a)=−2，易求得a值；（2）由（1）得：g(x)={1(1≤x≤2)x−1(2<x≤3)，进而得到V(m)={1−mx(1≤x≤2)(1−m)x−1(2<x≤3)，下面分情况讨论如下：①若m<0，②若m=0，V(m)=1；③若0<m<1，④若m=1，V(m)=1；⑤若m>1，V(m)=2m−1≥1．最后综合以上得到V(m)的最小值．【解答】解：（1）∵f(3)=−2，∴log12(10−3a)=−2，⇒10−3a=4，易求得：a=2；（2）因为a=2，所以得到：g(x)={1(1≤x≤2)x−1(2<x≤3)进而得到V(m)={1−mx(1≤x≤2)(1−m)x−1(2<x≤3)分情况讨论如下：①若m<0，max{g(x)−mx|x∈[1, 3]}=2−3m，min{g(x)−mx|x∈[1, 3]}=1−m，V(m)=1−2m>1②若m=0，V(m)=1③若0<m<1，如图，g(m)min=V(2)=1−2m，当0<m ≤12，g(m)max =V(3)=2−3m ，当12<m <1，则 g(m)max =V(1)=1−m 此时，分析得V(m)≥12．④若m =1，V(m)=1．⑤若m >1，V(m)=2m −1≥1． 综合以上得到V(m)的最小值为12． 17. 【答案】解：（1）由已知，得{log (2a +b)3 =1log (5a +b)3 =2解得：{a =2b =−1．∴ f(x)=log 3(2x −1)，(x >12)… ∴ a n =3log 3(2n−1)=2n −1．n ∈N ∗ ∴ 数列{a n }的通项公式为a n =2n −1… （2）由题意a ≤√2n+1+1a 1)(1+1a 2)…(1+1an)对n ∈N ∗均成立… 记F(n)=√2n+1+1a 1)(1+1a 2) (1)1a n)则F(n+1)F(n)=√(2n+1)(2n+3)=√4(n+1)2−1>2(n+1)2(n+1)=1∵ F(n)>0，∴ F(n +1)>F(n)∴ F(n)随着n 的增大而增大… 而F(n)的最小值为F(1)=2√33∴ a ≤2√33，即a 的最大值为2√33… （3）∵ a n =2n −1∴ 在数列{b n }中，a m 及其前面所有项之和为[1+3+5+...+(2m −1)]+(2+22+...+2m−1)=m 2+2m −2…∵ 102+210−2=1122<2008<112+211−2=2167 即a 10<2008<a 11…又a 10在数列{b n }中的项数为：10+1+2+...+28=521… 且2008−1122=886=443×2所以存在正整数m =521+443=964，使得S m =2008… 【考点】数列与函数最值问题 数列与不等式的综合 数列与函数的综合 数列的求和 等差数列的通项公式求对数函数解析式【解析】（1）直接把点A(2, 1)和B(5, 2)的坐标代入函数方程求出a ，b 的值，即可求函数f(x)的解析式及数列{a n }的通项公式； （2）先把问题转化为a ≤√2n+1+1a 1)(1+1a 2) (1)1a n)对n ∈N ∗均成立，再记F(n)=√2n+1+1a 1)(1+1a 2)…(1+1a n)，相邻两相作商得到其单调行，进而求出其最小值即可得到最大实数a ；（3）先根据条件求出a m 及其前面所有项之和的表达式，再根据102+210−2=1122<2008<112+211−2=2167，即a 10<2008<a 11，即可找到满足条件的m 的值． 【解答】解：（1）由已知，得{log (2a +b)3 =1log (5a +b)3 =2解得：{a =2b =−1．∴ f(x)=log 3(2x −1)，(x >12)… ∴ a n =3log 3(2n−1)=2n −1．n ∈N ∗ ∴ 数列{a n }的通项公式为a n =2n −1… （2）由题意a ≤√2n+1+1a 1)(1+1a 2) (1)1a n)对n ∈N ∗均成立…记F(n)=√2n+1+1a 1)(1+1a 2)…(1+1a n) 则F(n+1)F(n)=√(2n+1)(2n+3)=√4(n+1)2−1>2(n+1)2(n+1)=1∵ F(n)>0，∴ F(n +1)>F(n)∴ F(n)随着n 的增大而增大… 而F(n)的最小值为F(1)=2√33∴ a ≤2√33，即a 的最大值为2√33… （3）∵ a n =2n −1∴ 在数列{b n }中，a m 及其前面所有项之和为[1+3+5+...+(2m −1)]+(2+22+...+2m−1)=m 2+2m −2…∵ 102+210−2=1122<2008<112+211−2=2167 即a 10<2008<a 11…又a 10在数列{b n }中的项数为：10+1+2+...+28=521… 且2008−1122=886=443×2所以存在正整数m =521+443=964，使得S m =2008… 18.【答案】解：(1)因为指数函数f(x)=a x （a >0且a ≠1）， 所以g(x)=log a x （a >0且a ≠1）.(2)由g(x)−log a (2−3x)≤log a 1， 得log a x ≤log a (2−3x).①当a >1时，因为函数y =log a x 在(0,+∞)上单调递增， 所以 {x ≤2−3x ，x >0，解得0<x ≤12；②当0<a <1时，因为函数y =log a x 在(0,+∞)上单调递减， 所以{x ≥2−3x ，2−3x >0，解得12≤x <23.综上，当a >1时，原不等式的解集为(0,12]；当0<a <1时，原不等式的解集为[12,23).【考点】其他不等式的解法 求对数函数解析式【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)因为指数函数f(x)=a x （a >0且a ≠1）， 所以g(x)=log a x （a >0且a ≠1）. (2)由g(x)−log a (2−3x)≤log a 1， 得log a x ≤log a (2−3x).①当a >1时，因为函数y =log a x 在(0,+∞)上单调递增， 所以 {x ≤2−3x ，x >0，解得0<x ≤12；②当0<a <1时，因为函数y =log a x 在(0,+∞)上单调递减， 所以{x ≥2−3x ，2−3x >0，解得12≤x <23.综上，当a >1时，原不等式的解集为(0,12]； 当0<a <1时，原不等式的解集为[12,23). 19. 【答案】解：(1)∵ 函数f(x)的图象过点(2, 1)， ∴ f(2)=1，即log a 2=1，解得a =2， 因此，f(x)=log 2x(x >0)； (2)f(m 2−m)=log 2(m 2−m)， ∵ f(m 2−m)<1且1=log 22， ∴ log 2(m 2−m)<log 22， 该不等式等价为：{m 2−m >0，m 2−m <2，解得，−1<m <0或1<m <2，所以实数m 的取值范围为(−1, 0)∪(1, 2)． 【考点】指、对数不等式的解法 求对数函数解析式【解析】（1）直接根据函数图象过点(2, 1)求出实数a ；（2）根据对数函数的单调性列出不等式组{m 2−m >0m 2−m <2，解出不等式即可．【解答】解：(1)∵ 函数f(x)的图象过点(2, 1)， ∴ f(2)=1，即log a 2=1，解得a =2， 因此，f(x)=log 2x(x >0)； (2)f(m 2−m)=log 2(m 2−m)， ∵ f(m 2−m)<1且1=log 22， ∴ log 2(m 2−m)<log 22， 该不等式等价为：{m 2−m >0，m 2−m <2，解得，−1<m <0或1<m <2，所以实数m 的取值范围为(−1, 0)∪(1, 2)． 20. 【答案】 解：(1)由已知得{log a 2+b =5，log a 8+b =7，消去b ，得log a 8−log a 2=log a 4=2， 即a 2=4.又因为a >0，且a ≠1， 解得a =2，b =4.(2)由(1)知函数f(x)=log 2x +4，g(x)=4x −2x+2.当x ∈[1,4]时，函数f(x)=log 2x +4单调递增，其值域为A =[4,6]. 令2x =t ，当x ∈[0,log 25]时，t ∈[1,5]，于是g(x)=4x −2x+2=t 2−4t =(t −2)2−4∈[−4,5].设函数ℎ(x)=g(x)+m，则函数ℎ(x)的值域为B=[−4+m,5+m]，根据条件知A⊆B，于是{5+m≥6，−4+m≤4，解得1≤m≤8.所以实数m的取值范围为[1, 8].【考点】函数恒成立问题求对数函数解析式函数的值域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由已知得{log a2+b=5，log a8+b=7，消去b，得loga 8−loga2=loga4=2，即a2=4.又因为a>0，且a≠1，解得a=2，b=4.(2)由(1)知函数f(x)=log2x+4，g(x)=4x−2x+2.当x∈[1,4]时，函数f(x)=log2x+4单调递增，其值域为A=[4,6]. 令2x=t，当x∈[0,log25]时，t∈[1,5]，于是g(x)=4x−2x+2=t2−4t=(t−2)2−4∈[−4,5].设函数ℎ(x)=g(x)+m，则函数ℎ(x)的值域为B=[−4+m,5+m]，根据条件知A⊆B，于是{5+m≥6，−4+m≤4，解得1≤m≤8.所以实数m的取值范围为[1, 8].21.【答案】解：由题意得：{a log 48+b =1，a log 464+b =4，解得：{a =2，b =−2，∴ 该公司拟定的奖励模型为y =2log 4x −2，∴ 想要获得8万奖金，则： 2log 4x −2=8，解得： x =1024. 答：要想得到8万元的奖金，销售额应达到1024万元． 【考点】函数模型的选择与应用 求对数函数解析式 【解析】【解答】解：由题意得： {a log 48+b =1，a log 464+b =4，解得：{a =2，b =−2，∴ 该公司拟定的奖励模型为y =2log 4x −2，∴ 想要获得8万奖金，则： 2log 4x −2=8，解得： x =1024. 答：要想得到8万元的奖金，销售额应达到1024万元． 22. 【答案】解：(1)f(x 2−1)=log a x 2−log a (2−x 2)=log a x 22−x 2， ∵x 22−x 2>0，∴ 0<x 2<2.令x 2−1=t ，得−1<t <1.∵ f (x 2−1)=log a x 22−x 2，可得f(t)=log a 1+t1−t ， ∴ f (x )=log a 1+x1−x ，x ∈(−1,1).∵ f(−x)=log a 1−x1+x =−log a 1+x1−x =−f(x)， ∴ f (x )是奇函数. (2)∵ f (x )≥log a 11−x ，∴ log a1+x 1−x≥log a11−x ，∴ {log a (1+x )≥0,−1<x <1,∴ {log a (1+x )≥log a 1,−1<x <1.当a >1时，不等式等价于{1+x ≥1,−1<x <1,即不等式解集为[0,1)；当0<a <1时，不等式等价于{1+x ≤1,−1<x <1,即不等式解集为(−1,0]. 【考点】函数奇偶性的判断 求对数函数解析式 对数函数的图象与性质 函数恒成立问题【解析】根据换元法求出函数的解析式，根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可. 通过讨论a 的范围，根据对数函数的性质得到关于x 的不等式组，解出即可. 【解答】解：(1)f(x 2−1)=log a x 2−log a (2−x 2)=log a x 22−x 2，∵x 22−x 2>0，∴ 0<x 2<2.令x 2−1=t ，得−1<t <1.∵ f (x 2−1)=log a x 22−x 2，可得f(t)=log a 1+t1−t ，∴ f (x )=log a1+x 1−x，x ∈(−1,1).∵ f(−x)=log a 1−x1+x =−log a 1+x1−x =−f(x)， ∴ f (x )是奇函数. (2)∵ f (x )≥log a 11−x ， ∴ log a 1+x1−x ≥log a 11−x ， ∴ {log a (1+x )≥0,−1<x <1,∴ {log a (1+x )≥log a 1,−1<x <1.当a >1时，不等式等价于{1+x ≥1,−1<x <1,即不等式解集为[0,1)；当0<a <1时，不等式等价于{1+x ≤1,−1<x <1,即不等式解集为(−1,0]. 23.【答案】解：(1)∵ 函数f(x)的图象过点(2, 1)， ∴ f(2)=1，即log a 2=1，解得a =2， 因此，f(x)=log 2x(x >0)； 解：原式=12log 22−2log 23+log 218=12+log 218−log 29 =12+log 22 =32.【考点】求对数函数解析式 对数及其运算【解析】（1）直接根据函数图象过点(2, 1)求出实数a ；（2）根据对数函数的单调性列出不等式组{m 2−m >0m 2−m <2，解出不等式即可． 【解答】解：(1)∵ 函数f(x)的图象过点(2, 1)， ∴ f(2)=1，即log a 2=1，解得a =2， 因此，f(x)=log 2x(x >0)； 解：原式=12log 22−2log 23+log 218 =12+log 218−log 29 =12+log 22 =32. 24.【答案】 解：（1）设g(x)=log a x ，（a >0，a ≠1的常数）．∵ 函数g(x)恒过点(e, 1)，∴ 1=log a e ，∴ a 1=e ，即a =e ． ∴ g(x)=ln x(x >0)．（2）∵ f(x)是二次函数，且不等式f(x)>0的解集是(−1, 3)， ∴ 可设f(x)=a(x +1)(x −3)且a <0， 又∵ f(0)=3，∴ −3a =3，解得a =−1． ∴ y =f(x)=−x 2+2x +3．（3）单调减区间为(1, +∞)． 证明：设1<x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=−x 12+2x 1+3−(−x 22+2x 2+3) =−(x 1−x 2)(x 1+x 2)+2(x 1−x 2) =(x 1−x 2)(2−x 1−x 2) ∵ 1<x 1<x 2，∴ x 1−x 2<0，2−x 1−x 2=1−x 1+1−x 2<0， ∴ (x 1−x 2)(2−x 1−x 2)>0， ∴ f(x 1)>f(x 2)．∴ 函数f(x)单调减区间为(1, +∞)． 【考点】求对数函数解析式函数解析式的求解及常用方法函数单调性的判断与证明【解析】（1）利用对数的定义、对数与指数式的互化即可得出；（2）利用“三个二次”的关系即可得出；（3）利用单调递减函数的定义即可证明．【解答】解：（1）设g(x)=loga x，（a>0，a≠1的常数）．∵函数g(x)恒过点(e, 1)，∴1=loga e，∴a1=e，即a=e．∴g(x)=ln x(x>0)．（2）∵f(x)是二次函数，且不等式f(x)>0的解集是(−1, 3)，∴可设f(x)=a(x+1)(x−3)且a<0，又∵f(0)=3，∴−3a=3，解得a=−1．∴y=f(x)=−x2+2x+3．（3）单调减区间为(1, +∞)．证明：设1<x1<x2，则f(x1)−f(x2)=−x12+2x1+3−(−x22+2x2+3)=−(x1−x2)(x1+x2)+2(x1−x2)=(x1−x2)(2−x1−x2)∵1<x1<x2，∴x1−x2<0，2−x1−x2=1−x1+1−x2<0，∴(x1−x2)(2−x1−x2)>0，∴f(x1)>f(x2)．∴函数f(x)单调减区间为(1, +∞)．25.【答案】解：（1）设点P(x, y)是g(x)的图象上的任意一点，则Q(−x, −y)在函数f(x)的图象上，即−y=loga (−x+1)，则y=−loga(1−x)=loga11−x∴g(x)=loga1 1−x（2）f(x)+g(x)≥m即loga (1+x)+loga11−x≥m，也就是loga 1+x1−x≥m在[0, 1)上恒成立．设ℎ(x)=loga 1+x1−x，x∈[0,1)，则ℎ(x)=loga (−x+1x−1)=loga(−x−1+2x−1)=loga(−1−2x−1)由函数的单调性易知，ℎ(x)在[0, 1)上递增，若使f(x)+g(x)≥m在[0, 1)上恒成立，只需ℎ(x)min≥m在[0, 1)上成立，即m≤0．m的取值范围是(−∞, 0]【考点】求对数函数解析式函数解析式的求解及常用方法 函数最值的应用【解析】（1）由已知条件可知函数g(x)的图象上的任意一点P(x, y)关于原点对称的点Q(−x, −y)在函数f(x)图象上，把Q(−x, −y)代入f(x)，整理可得g(x) （2）由（1）可令ℎ(x)=f(x)+g(x)log a1+x 1−x(a >1)，先判断函数ℎ(x)在[0, 1)的单调性，进而求得函数的最小值ℎ(x)min ，使得m ≤ℎ(x)min【解答】 解：（1）设点P(x, y)是g(x)的图象上的任意一点，则Q(−x, −y)在函数f(x)的图象上， 即−y =log a (−x +1)，则y =−log a (1−x)=log a 11−x ∴ g(x)=log a 11−x（2）f(x)+g(x)≥m 即log a (1+x)+log a 11−x≥m ，也就是log a1+x 1−x≥m 在[0, 1)上恒成立．设ℎ(x)=log a 1+x1−x ，x ∈[0,1)， 则ℎ(x)=log a (−x+1x−1)=log a (−x−1+2x−1)=log a (−1−2x−1)由函数的单调性易知，ℎ(x)在[0, 1)上递增，若使f(x)+g(x)≥m 在[0, 1)上恒成立， 只需ℎ(x)min ≥m 在[0, 1)上成立，即m ≤0． m 的取值范围是(−∞, 0] 26.【答案】解：(1)由题意知f −1(x)的图象与直线y =x 的两个交点为(0, 0)，(1, 1) ∴ 函数f(x)=log a (x +b)过(0, 0)，(1, 1)两点 ∴ {log a b =0log a (1+b)=1即b =1，a =2∴ f(x)=log 2（x+1）(2)∵ 点(x, y)是y =f(x)图象上的点 ∴ y =f(x)=log 2（x+1）∵ 点(x3，y2)是函数y =g(x)上的点 ∴ y 2=g(x3)吗 ∴log 2(x+1)2=g(x3)用3x 代x:g(x)=log 2(3x+1)2(3)∵ g(kx 3)−f(x)≥0 ∴ log 2（kx+1）−2log 2（x+1）≥0∴ {kx+1(x+1)2≥1x +1>0且kx +1>0且k ≥32∴ 当32≤k ≤2时 k −2≤x ≤0 当 k >2时 0≤x ≤k −2 【考点】指、对数不等式的解法 求对数函数解析式函数解析式的求解及常用方法【解析】第一问可以利用互为反函数的两个函数图象关于y =x 对称进行求解．第二问可根据点(x, y)是y =f(x)图象上的点时，点(x3，y2)是函数y =g(x)上的点再结合第一问可列两个式y =f(x)=log 2（x+1）,y2=g(x3)然后利用换元求解．第三问在（1）（2）的条件下代入求解含参不等式，注意对根的大小进行分类讨论．【解答】解：(1)由题意知f −1(x)的图象与直线y =x 的两个交点为(0, 0)，(1, 1) ∴ 函数f(x)=log a (x +b)过(0, 0)，(1, 1)两点 ∴ {log a b =0log a (1+b)=1即b =1，a =2∴ f(x)=log 2（x+1）(2)∵ 点(x, y)是y =f(x)图象上的点 ∴ y =f(x)=log 2（x+1）∵ 点(x3，y2)是函数y =g(x)上的点 ∴ y 2=g(x3)吗 ∴log 2(x+1)2=g(x3)用3x 代x:g(x)=log 2(3x+1)2(3)∵ g(kx3)−f(x)≥0 ∴ log 2（kx+1）−2log 2（x+1）≥0∴ {kx+1(x+1)2≥1x +1>0且kx +1>0且k ≥32∴ 当32≤k ≤2时 k −2≤x ≤0 当 k >2时 0≤x ≤k −2 27. 【答案】解：（1）由题意得{log 3(2a+b)=1log 3(5a+b)=2，解得a =2，b =−1，所以f(x)=log 3(2x −1)，（2）因为a n =3log 3(2n−1)=2n −1．假设存在正数k ，使得(1+1a 1)(1+1a 2)…(1+1a n)≥k √2n +1对一切n ∈N ∗均成立， 则k ≤√2n+1+1a 1)(1+1a 2) (1)1a n)恒成立．记F(n)=√2n+1+1a 1)(1+1a 2)…(1+1a n)． 则F(n +1)=√2n+3+1a 1)(1+1a 2) (1)1a n)(1+1a n+1)．∵F(n+1)F(n)=√(2n+1)(2n+3)=√4(n+1)2−1>2(n+1)2(n+1)=1．∴ ．F(n +1)>F(n)，所以F(n)是递增数列． 所以n =1时F(n)最小，最小值F(1)=2√33． 所以k ≤2√33．即k 的最大值为2√33． 【考点】数列与函数的综合 求对数函数解析式 【解析】（1）由题意得{log 3(2a+b)=1log 3(5a+b)=2，解得a =2，b =−1，即可求出f(x)=log 3(2x −1)，（2）先根据条件求出数列{a n }的通项公式；把(1+1a 1)(1+1a 2) (1)1a n)≥k √2n +1对一切n ∈N ∗均成立转化为k ≤√2n+1+1a 1)(1+1a 2)…(1+1a n)恒成立；再通过构造F(n)=√2n+1+1a 1)(1+1a 2)…(1+1a n)，利用其单调性求出F(n)的最小值即可求出k 的最大值． 【解答】解：（1）由题意得{log 3(2a+b)=1log 3(5a+b)=2，解得a =2，b =−1，所以f(x)=log 3(2x −1)，（2）因为a n =3log 3(2n−1)=2n −1．假设存在正数k ，使得(1+1a 1)(1+1a 2)…(1+1a n)≥k √2n +1对一切n ∈N ∗均成立， 则k ≤√2n+1+1a 1)(1+1a 2)…(1+1a n)恒成立．记F(n)=√2n+1+1a 1)(1+1a 2)…(1+1a n)． 则F(n +1)=√2n+3+1a 1)(1+1a 2) (1)1a n)(1+1a n+1)．∵F(n+1)F(n)=√(2n+1)(2n+3)=√4(n+1)2−1>2(n+1)2(n+1)=1．∴ ．F(n +1)>F(n)，所以F(n)是递增数列． 所以n =1时F(n)最小，最小值F(1)=2√33． 所以k ≤2√33．即k 的最大值为2√33．。
人教版高中数学必修一学案：《对数函数》(含答案)
2.2 对数函数解读对数概念及运算对数是中学数学中重要的内容之一，理解对数的定义，掌握对数的运算性质是学习对数的重点内容．现梳理这部分知识，供同学们参考．一、对数的概念对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b ＝N ⇔log a N ＝b (a >0，且a ≠1)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2)a log a N ＝N .例1 计算：log 22＋log 51＋log 3127＋9log 32. 分析 根据定义，再结合对数两个恒等式即可求值．解 原式＝1＋0＋log 33－3＋(3log 32)2＝1－3＋4＝2.点评 解决此类问题关键在于根据幂的运算法则将指数式和对数式化为同底数．二、对数的运算法则常用的对数运算法则有：对于M >0，N >0.(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a M N＝log a M －log a N ； (3)log a M n ＝n log a M .例2 计算：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18. 分析 运用对数的运算法则求解．解 由已知，得原式＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.点评 对数运算法则是进行对数运算的根本保证，同学们必须能从正反两方面熟练应用．三、对数换底公式根据对数的定义和运算法则 可以得到对数换底公式：log a b ＝log c b log c a(a >0且a ≠1，c >0且c ≠1，b >0)． 由对数换底公式又可得到两个重要结论：(1)log a b ·log b a ＝1；(2)log an b m ＝m nlog a b . 例3 计算：(log 25＋log 4125)×log 32log 35. 分析 在利用换底公式进行化简求值时，一般是根据题中对数式的特点选择适当的底数进行换底，也可选择以10为底进行换底． 解 原式＝(log 25＋32log 25)×log 322log 35＝52log 25×12log 52＝54. 点评 对数的换底公式是“同底化”的有力工具，同学们要牢记．通过上面讲解，同学们可以知道对数的定义是对数式和指数式互化的依据，正确进行它们之间的相互转换是解题的有效途径．对数的运算性质，同学们要熟练掌握，在应用过程中避免错误，将公式由“正用”“逆用”逐步达到“活用”的境界．数换底公式的证明及应用设a >0，c >0且a ≠1，c ≠1，N >0，则有log a N ＝log c N log c a，这个公式称为对数的换底公式，它在对数的运算中有着重要的应用，课本中没有给出证明，现证明如下：证明 记p ＝log a N ，则a p ＝N .**式两边同时取以c 为底的对数(c >0且c ≠1)得log c a p ＝log c N ，即p log c a ＝log c N .所以p ＝log c N log c a ，即log a N ＝log c N log c a. 推论1：log a b ·log b a ＝1.推论2：log an b m ＝m nlog a b (a >0且a ≠1，b >0)． 例4 (1)已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645的值；(2)求log 23·log 34·log 45·…·log 6364的值．解 (1)因为log 189＝a,18b ＝5，所以lg 9lg 18＝a . 所以lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18.所以log 3645＝lg (5×9)lg 1829＝lg 5＋lg 92lg 18－lg 9 ＝b lg 18＋a lg 182lg 18－a lg 18＝b ＋a 2－a. (2)log 23·log 34·log 45·…·log 6364＝lg 3lg 2·lg 4lg 3·lg 5lg 4·…·lg 64lg 63＝lg 64lg 2＝6lg 2lg 2＝6. 点评 对数运算法则中，对数式都是同底的，凡不同底的对数运算，都需要用换底公式将底统一，一般统一成常用对数．例5 已知12log 8a ＋log 4b ＝52，log 8b ＋log 4a 2＝7，求ab 的值． 解 由已知可得⎩⎨⎧16log 2a ＋12log 2b ＝52，13log 2b ＋log 2a ＝7， 即⎩⎪⎨⎪⎧ log 2a ＋3log 2b ＝15，3log 2a ＋log 2b ＝21.解得⎩⎪⎨⎪⎧log 2a ＝6，log 2b ＝3. 所以a ＝26，b ＝23.故ab ＝26·23＝512.点评 发现底数“4”，“8”与“2”的关系，将底数统一成“2”，解决问题比较简单．此外还有下面的关系式：log N M ＝log a M log a N ＝log b M log b N； log a M ·log b N ＝log a N ·log b M ；log a M log b M ＝log a N log b N＝log a b ；N log a M ＝M log a N .数函数图象及性质的简单应用对数函数图象是对数函数的一种表达形式，形象显示了函数的性质，为研究它的数量关系提供了“形”的直观性．它是探求解题思路、获得问题结果的重要途径．能准确地作出对数函数的图象是利用平移、对称的变换来研究复杂函数的性质的前提，而数形结合是研究与对数函数的有关问题的常用思想．一、求函数的单调区间例6 画出函数y ＝log 2x 2的图象，并根据图象指出它的单调区间．解 当x ≠0时，函数y ＝log 2x 2满足f (－x )＝log 2(－x )2＝log 2x 2＝f (x )，所以y ＝log 2x 2是偶函数，它的图象关于y 轴对称．当x >0时，y ＝log 2x 2＝2log 2x ，因此先画出y ＝2log 2x (x >0)的图象为C 1，再作出C 1关于y 轴对称的图象C 2，C 1与C 2构成函数y ＝log 2x 2的图象，如图所示．由图象可以知道函数y ＝log 2x 2的单调减区间是(－∞，0)，单调增区间是(0，＋∞)． 点评 作图象时一定要考虑定义域，否则会导致求出错误的单调区间，同时在确定单调区间时，要注意增减区间的分界点，特别要注意区间的开与闭问题．二、利用图象求参数的值例7 若函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a 等于( ) A.13 B. 2 C.22 D ．2 解析 当a >1时，f (x )＝log a (x ＋1)的图象如图所示．f (x )在[0,1]上是单调增函数，且值域为[0,1]，所以f (1)＝1，即log a (1＋1)＝1，所以a ＝2，当0<a <1时，其图象与题意不符，故a 的值为2，故选D.答案 D点评 (1)当对数的底数不确定时要注意讨论；(2)注意应用函数的单调性确定函数的最值(值域)．三、利用图象比较实数的大小例8 已知log m 2<log n 2，m ，n >1，试确定实数m 和n 的大小关系．解 在同一直角坐标系中作出函数y ＝log m x 与y ＝log n x 的图象如图所示，再作x ＝2的直线，可得m >n .点评 不同底的对数函数图象的规律是：(1)底都大于1时，底大图低(即在x >1的部分底越大图象就越接近x 轴)；(2)底都小于1时，底大图高(即在0<x <1的部分底越大图象就越远离x 轴)．四、利用图象判断方程根的个数例9 已知关于x 的方程|log 3x |＝a ，讨论a 的值来确定方程根的个数．解 因为y ＝|log 3x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ， x >1，－log 3x ， 0<x <1， 在同一直角坐标系中作出函数与y ＝a 的图象，如图可知：(1)当a <0时，两个函数图象无公共点，所以原方程根的个数为0；(2)当a ＝0时，两个函数图象有一个公共点，所以原方程根有1个；(3)当a >0时，两个函数图象有两个公共点，所以原方程根有2个．点评 利用图象判断方程根的个数一般都是针对不能将根求出的题型，与利用图象解不等式一样，需要先将方程等价转化为两端对应的函数为基本函数(最好一端为一次函数)，再作图象．若含有参数，要注意对参数的讨论，参数的取值不同，函数图象的位置也就不同，也就会引起根的个数不同． 三类对数大小的比较 一、底相同，真数不同 例10 比较log a 2与log a 33的大小．分析 底数相同，都是a ，可借助于函数y ＝log a x 的单调性比较大小．解 由(2)6＝8<(33)6＝9，得2<33.当a >1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，故log a 2<log a 33；当0<a <1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数，故log a 2>log a 33.点评 本题需对底数a 的范围进行分类讨论，以确定以a 为底的对数函数的单调性，从而应用函数y ＝log a x 的单调性比较出两者的大小．二、底不同，真数相同例11 比较log 0.13与log 0.53的大小．分析 底数不同但真数相同，可在同一坐标系中画出函数y ＝log 0.1x 与y ＝log 0.5x 的图象，借助于图象来比较大小；或应用换底公式将其转化为同底的对数大小问题．解 方法一 在同一坐标系中作出函数y ＝log 0.1x 与y ＝log 0.5x 的图象，如右图．在区间(1，＋∞)上函数y ＝log 0.1x 的图象在函数y ＝log 0.5x 图象的上方，故有log 0.13>log 0.53.方法二 log 0.13＝1log 30.1，log 0.53＝1log 30.5. 因为3>1，故y ＝log 3x 是增函数，所以log 30.1<log 30.5<0.所以1log 30.1>1log 30.5. 即log 0.13>log 0.53.方法三 因为函数y ＝log 0.1x 与y ＝log 0.5x 在区间(0，＋∞)上都是减函数，故log 0.13>log 0.110＝－1，log 0.53<log 0.52＝－1，所以log 0.13>log 0.53.点评 方法一借助于对数函数的图象；方法二应用换底公式将问题转化为比较两个同底数的对数大小；方法三借助于中间值来传递大小关系．三、底数、真数均不同例12 比较log 323与log 565的大小． 分析 底数、真数均不相同，可通过考察两者的范围来确定中间值，进而比较大小． 解 因为函数y ＝log 3x 与函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上都是增函数，故log 323<log 31＝0，log 565>log 51＝0， 所以log 323<log 565. 点评 当底数、真数均不相同时，可找中间量(如1或0等)传递大小关系，从而比较出大小．综上所述，比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，对数函数的单调性由“底”的范围决定，若“底”的范围不明确，则需分“底数大于1”和“底数大于0且小于1”两种情况讨论，如例10；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小，如例11；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较，如例12.学对数给你提个醒对数函数是函数的重要内容之一，由于同学们对概念、定义域、值域、图象等知识点掌握得不够好，经常出现解题错误，现将这些错误进行归纳并举例说明．一、忽视0没有对数例13 求函数y ＝log 3(1＋x )2的定义域．错解 对于任意的实数x ，都有(1＋x )2≥0，所以原函数的定义域为R .剖析 只考虑到负数没有对数．事实上，由对数的定义可知，零和负数都没有对数． 正解 {x |x ≠－1}二、忽视1的对数为0例14 求函数y ＝1log 2(2x ＋3)的定义域． 错解 由2x ＋3>0，得x >－32， 所以定义域为{x |x >－32}． 剖析 当2x ＋3＝1时，log 21＝0，分母为0没有意义，上述解法忽视了这一点．正解 {x |x >－32且x ≠－1}三、忽视底数的取值范围例15 已知log (2x ＋5)(x 2＋x －1)＝1，则x 的值是( )A ．－4B ．－2或3C ．3D ．－4或5错解 由2x ＋5＝x 2＋x －1，化简得x 2－x －6＝0，解得x ＝－2或x ＝3.故选B.剖析 忽视了底数有意义的条件：2x ＋5>0且2x ＋5≠1.当x ＝－2时，2x ＋5＝1，应舍去，只能取x ＝3.正解 C四、忽视真数大于零例16 已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求log 2x y的值． 错解 因为lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，所以xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0，所以x ＝y 或x ＝4y ，即x y ＝1或x y ＝4， 所以log 2x y ＝0，或log 2x y＝4. 剖析 错误的原因在于忽视了原式中的三个对数式隐含的条件，x >0，y >0，x －2y >0，所以x >2y >0，所以x ＝y 不成立．正解 因为lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，所以xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0，所以x ＝y 或x ＝4y ，因为x >0，y >0，x －2y >0，所以x ＝y 应舍去，所以x ＝4y ，即x y＝4， 所以log 2x y＝4. 五、对数运算性质混淆例17 下列运算：(1)log 28log 24＝log 284； (2)log 28＝3log 22；(3)log 2(8－4)＝log 28－log 24；(4)log 243·log 23＝log 2(43×3)．其中正确的有( ) A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个错解 A剖析 (1)log 28log 24真数8与4不能相除；(3)中log 2(8－4)不能把log 乘进去运算，没有这种运算的，运算log 284＝log 28－log 24才是对的；(4)错把log 提出来运算了，也没有这种运算，正确的只有(2)．正解 D六、忽视对含参底数的讨论例18 已知函数y ＝log a x (2≤x ≤4)的最大值比最小值大1，求a 的值．错解 由题意得log a 4－log a 2＝log a 2＝1，所以a ＝2.剖析 对数函数的底数含有参数a ，错在没有讨论a 与1的大小关系而直接按a >1解题． 正解 (1)若a >1，函数y ＝log a x (2≤x ≤4)为增函数，由题意得log a 4－log a 2＝log a 2＝1，所以a ＝2，又2>1，符合题意．(2)若0<a <1，函数y ＝log a x (2≤x ≤4)为减函数，由题意得log a 2－log a 4＝log a 12＝1， 所以a ＝12，又0<12<1，符合题意， 综上可知a ＝2或a ＝12.巧借对数函数图象解题数形结合思想，就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合．通过对图形的认识、数形转化，来提高思维的灵活性、形象性、直观性，使问题化难为易、化抽象为具体．它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面．一、利用数形结合判断方程解的范围方程解的问题可以转化为曲线的交点问题，从而把代数与几何有机地结合起来，使问题的解决得到简化．例1 方程lg x＋x＝3的解所在区间为()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3，＋∞)答案 C解在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝lg x与y＝－x＋3的图象(如图所示)．它们的交点横坐标x0显然在区间(1,3)内，由此可排除选项A、D.实际上这是要比较x0与2的大小．当x0＝2时，lg x0＝lg 2，3－x0＝1.由于lg 2<1，因此x0>2，从而判定x0∈(2,3)．点评本题是通过构造函数用数形结合法求方程lg x＋x＝3的解所在的区间．数形结合，要在结合方面下功夫．不仅要通过图象直观估计，而且还要计算x0的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断．二、利用数形结合求解的个数例2 已知函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[－1,1)时，f(x)＝x，则方程f(x)＝lg x的根的个数是________．解析构造函数g(x)＝lg x，在同一坐标系中画出f(x)与g(x)的图象，如图所示，易知有4个根．答案 4点评本题学生极易填3，其原因是学生作图不标准，尤其是在作对数函数的图象时没有考虑到当x＝10时，y＝1.因此，在利用数形结合法解决问题时，要注意作图的准确性．三、利用数形结合解不等式例3 使log2x<1－x成立的x的取值范围是______________________________________．解析构造函数f(x)＝log2x，g(x)＝1－x，在同一坐标系中作出两者的图象，如图所示，直接从图象中观察得到x∈(0,1)．答案(0,1)点评用数形结合的方法去分析解决问题，除了会读图外，还要会画图，绘制图形既是利用数形结合方法的需要，也是培养我们动手能力的需要．数函数常见题型归纳一、考查对数函数的定义例4 已知函数f (x )为对数函数，且满足f (3＋1)＋f (3－1)＝1，求f (5＋1)＋f (5－1)的值．解 设对数函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)，由已知得log a (3＋1)＋log a (3－1)＝1，即log a [(3＋1)×(3－1)]＝1⇒a ＝2.所以f (x )＝log 2x (x >0)．从而得f (5＋1)＋f (5－1)＝log 2[(5＋1)×(5－1)]＝2.二、考查对数的运算性质例5 log 89log 23的值是( ) A.23 B ．1 C.32D ．2 解析 原式＝log 29log 28·1log 23＝23·log 23log 22·1log 23＝23. 答案 A三、考查指数式与对数式的互化例6 已知log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，求log abc x 的值．解 由已知，得a 2＝x ，b 3＝x ，c 6＝x ，所以a ＝x 12，b ＝x 13，c ＝x 16. 于是，有abc ＝x 12＋13＋16＝x 1， 所以x ＝abc ，则log abc x ＝1.四、考查对数函数定义域和值域(最值)例7 (江西高考)若f (x )＝1log 12(2x ＋1)，则f (x )的定义域为( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，0 B.⎝⎛⎦⎤－12，0 C.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞) 答案 A解析 要使f (x )有意义，需log 12(2x ＋1)>0＝log 121， ∴0<2x ＋1<1，∴－12<x <0. 例8 已知函数f (x )＝2＋log 3x (1≤x ≤9)，则函数g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)的最大值为________，最小值为________．解析 由已知，得函数g (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9⇒1≤x ≤3.且g (x )＝f 2(x )＋f (x 2) ＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2＝log 23x ＋6log 3x ＋6.则当log 3x ＝0，即x ＝1时，g (x )有最小值g (1)＝6；当log 3x ＝1，即x ＝3时，g (x )有最大值g (3)＝13.答案 13 6五、考查单调性例9 若函数f (x )＝log a x (0<a <1)在区间[a,2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 为( )A.24B.22C.14D.12解析 由于0<a <1，所以f (x )＝log a x (0<a <1)在区间[a,2a ]上递减，在区间[a,2a ]上的最大值为f (a )，最小值为f (2a )，则f (a )＝3f (2a )，即log a a ＝3log a (2a )⇒a ＝24. 答案 A 六、考查对数函数的图象例10 若不等式x 2－log a x <0在(0，12)内恒成立，则a 的取值范围是________． 解析 由已知，不等式可化为x 2<log a x .所以不等式x 2<log a x 在(0，12)内恒成立，可转化为当x ∈(0，12)时， 函数y ＝x 2的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，如图所示．答案 [116，1) 点评 不等式x 2<log a x 左边是一个二次函数，右边是一个对数函数，不可能直接求解，充分发挥图象的作用，则可迅速达到求解目的．巧比对数大小一、中间值法若两对数底数不相同且真数也不相同时，比较其大小通常运用中间值作媒介进行过渡． 理论依据：若A >C ，C >B ，则A >B .例11 比较大小：log 932，log 8 3. 解 由于log 932<log 93＝14＝log 822<log 83， 所以log 932<log 8 3. 点评 以14为纽带，建立起放缩的桥梁，解题时常通过观察确定中间值的选取． 二、比较法比较法是比较对数大小的常用方法，通常有作差和作商两种策略．理论依据：(1)作差比较：若A －B >0，则A >B ；(2)作商比较：若A ，B >0，且A B>1，则A >B . 例12 比较大小：(1)log 47，log 1221；(2)log 1.10.9，log 0.91.1.解 (1)log 47－log 1221＝(log 47－1)－(log 1221－1)＝log 474－log 1274＝1log 744－1log 7412， 由于0<log 744<log 7412，所以1log 744>1log 7412，即log 47>log 1221. (2)由于log 1.10.9，log 0.91.1都小于零，所以|log 1.10.9||log 0.91.1|＝(log 1.10.9)2＝(－log 1.10.9)2 ＝(log 1.1109)2>(log 1.11110)2＝1， 故|log 1.10.9|>|log 0.91.1|，所以log 1.10.9<log 0.91.1.点评 将本例(1)推广延伸为：若1<A <B ，C >0，则log A B >log AC (BC )，进而可比较形如此类对数的大小．三、减数法将对数值的大概范围确定后，两边同减去一个数，通过局部比较大小．理论依据：若A －C >B －C ，则A >B .例13 比较大小：log n ＋2(n ＋1)，log n ＋1n (n >1)．解 因为log n ＋2(n ＋1)－1＝log n ＋2n ＋1n ＋2>log n ＋2n n ＋1>log n ＋1n n ＋1＝log n ＋1n －1.所以log n ＋2(n ＋1)>log n ＋1n .点评 将本例推广延伸为：若1<A <B ，C >0，则log A ＋C (B ＋C )>log A B ，进而可比较形如此类对数的大小．四、析整取微法将对数的整数部分分别析取出来，通过比较相应小数部分的大小使得问题获解． 理论依据：若A ＝log a M ＝k ＋x ，B ＝log b N ＝k ＋y ，且x >y ，则A >B .例14 比较大小：log 123，log 138. 解 令log 123＝－2＋x ，log 138＝－2＋y ， 于是2－(－2＋x )＝3,3－(－2＋y )＝8，则2－x －3－y ＝34－89<0，故2－x <3－y . 两边同时取对数，化简得x lg 2>y lg 3，则x y >lg 3lg 2>1，即x >y ，故log 123>log 138. 点评 这种方法便于操作，容易掌握，并且所涉及的知识又都是通性通法，有利于“回归课本，夯实基础”，此法值得深思．例15 对于函数y ＝f (x )，x ∈D ，若存在一常数c ，对任意x 1∈D ，存在惟一的x 2∈D ，使f (x 1)＋f (x 2)2＝c ，则称函数f (x )在D 上的均值为c .已知f (x )＝lg x ，x ∈[10,100]，则函数f (x )＝lg x 在[10,100]上的均值为( )A.32B.34C.110D ．10 分析 该题通过定义均值的方式命题，以定义给出题目信息，是当前的一种命题趋势．其本质是考查关于对数和指数的运算性质和对定义的理解与转化．解析 首先从均值公式可得lg (x 1x 2)＝2c ，所以x 1x 2＝102c ＝100c .因为x 1，x 2∈[10,100]，所以x 1x 2∈[100,10 000]．所以100≤100c ≤ 10 000.所以1≤c ≤2.从选项看可知成为均值的常数可为32.故选A.答案 A例16 函数y ＝|log 2x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0,2]，则区间[a ，b ]的长度b －a 的最小值为( )A ．3 B.34 C ．2 D.23分析 对函数的性质的分析研究一直是高中数学的重点，尤其是二次函数、指数函数和对数函数等重点函数的形态研究．本题正是以函数y ＝log 2x 为基础而编制，从定性分析和定量的计算中刻划a ，b 的关系．结合函数的图象(图象是函数性质的立体显示)数形结合易于寻找、确定二者的关系．解析 画出函数图象如图所示．由log 2a ＝－2得a ＝14.由log 2b ＝2得b ＝4.数形结合知a ∈[14，1]，b ∈[1,4]．考虑函数定义域，满足值域[0,2]的取值情况可知，当b ＝1，a ＝14时，b －a 的最小值为1－14＝34.故选B.答案 B解题要学会反思解题中的反思是完善解题思路的有效方法，面对一道较为综合的题，寻找解题思路时，想一步到位，往往不太现实；边解边反思，逐步产生完善、正确的解题思路，却是可行的，请看：题目：已知函数f (x )＝log m x －3x ＋3，试问：是否存在正数α，β，使f (x )在[α，β]上的值域为[log m (β－4)，log m (α－4)]？若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．甲：在[α，β]上的值域为[log m (β－4)，log m (α－4)]，也就是⎩⎪⎨⎪⎧log mα－3α＋3＝log m (β－4)，log mβ－3β＋3＝log m(α－4)⇒⎩⎪⎨⎪⎧αβ－5α＋3β＝9，αβ－5β＋3α＝9⇒α＝β，与α<β矛盾，故不存在．乙：你的解答不全面，你的求解建立在一个条件的基础上，就是函数f (x )是增函数，而题目并没有说明这个函数是增函数呀！丙：没错，应该对m 进行讨论． 设0<α≤x 1<x 2≤β，由于x 1－3x 1＋3－x 2－3x 2＋3＝6(x 1－x 2)(x 1＋3)(x 2＋3)<0，那么0<x 1－3x 1＋3<x 2－3x 2＋3.讨论：(1)若0<m <1，则log m x 1－3x 1＋3>log m x 2－3x 2＋3，即f (x 1)>f (x 2)，得f (x )为减函数．(2)若m >1，则log m x 1－3x 1＋3<log m x 2－3x 2＋3，即f (x 1)<f (x 2)，得f (x )为增函数． 若m 存在，当0<m <1时，则 ⎩⎪⎨⎪⎧log mβ－3β＋3＝log m(β－4)，log mα－3α＋3＝log m(α－4)⇒⎩⎪⎨⎪⎧β2－2β－9＝0，α2－2α－9＝0. 显然α，β是方程x 2－2x －9＝0的两根，由于此方程的两根中一根为正，另一根为负，与0<α<β不符，因此m 不存在；当m >1时，就是甲的解题过程，同样满足条件的α，β不存在．老师：乙和丙实质上是对甲的解法做了个反思．通过你们的讨论可以看出，反思的作用相当大，它可以使思路逐步完善，最终形成完美的解题过程．对数函数高考考点例析对数函数是高中数学函数知识的重要组成部分，关于对数函数的考查在高考中一直占有重要的地位．下面我们针对近几年高考中考查对数函数知识的几个着眼点作一一剖析，希望对大家的学习有所帮助．考点一 判断图象交点个数1．(湖南高考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4， x ≤1，x 2－4x ＋3， x ＞1的图象和函数g (x )＝log 2x 的图象的交点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 作出函数f (x )与g (x )的图象，如图所示，由图象可知：两函数图象的交点有3个． 答案 C考点二 函数单调性的考查2．(江苏高考)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．解析 函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，令t ＝2x ＋1(t >0)．因为y ＝log 5t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝2x ＋1在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上为增函数，所以函数y ＝log 5(2x ＋1)的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 答案 ⎝⎛⎭⎫－12，＋∞考点三 求变量范围3．(辽宁高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ， x ≤1，1－log 2x ， x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)解析 当x ≤1时，由21－x ≤2，知x ≥0，即0≤x ≤1.当x >1时，由1－log 2x ≤2，知x ≥12，即x >1，所以满足f (x )≤2的x 的取值范围是[0，＋∞)．答案 D考点四 比较大小(一)图象法4．(天津高考)设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12a ，⎝⎛⎭⎫12b ＝log 12b ，⎝⎛⎭⎫12c＝log 2c ，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c 解析由2a>0，∴log 12a >0，∴0<a <1.同理0<b <1，c >1， ∴c 最大在同一坐标系中作出y ＝2x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x ，y ＝log 12x 的图象如图所示， 观察得a <b .∴a <b <c . 答案 A (二)排除法当我们面临的问题不易从正面入手直接挑选出正确的答案或解题过程繁琐时，可以从反面入手，因为选择题的正确答案已在选项中列出，从而逐一考虑所有选项，排除其中不正确的，则剩下的就是正确的答案．5．(全国高考)若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c 解析 首先比较a ，b ， 即比较3ln 2,2ln 3的大小， ∵3ln 2＝ln 8＜ln 9＝2ln 3， ∴a ＜b .故排除B 、D. 同理可得c ＜a . 答案 C (三)媒介法对于直接比较困难时，常插入媒介，以此为桥梁进行比较，常插入0或1.6．(山东高考)下列大小关系正确的是( ) A ．0.43>30.4<log 40.3 B ．0.43<log 40.3<30.4 C ．log 40.3<0.43<30.4 D ．log 40.3<30.4<0.43 解析 分析知0<0.43<1,30.4>30＝1， log 40.3<log 41＝0，故log 40.3<0.43<30.4.故选C. 答案 C (四)特值法对于有些有关对数不等式的选择题，通过取一些符合条件的特殊值验证，往往也能简便求解．7．(青岛模拟)已知0<x <y <a <1，则有( ) A ．log a (xy )<0 B ．0<log a (xy )<1 C ．1<log a (xy )<2 D ．log a (xy )>2解析 取x ＝18，y ＝14，a ＝12，代入log a (xy )检验即可得D.答案 D。
人教版高中数学必修1--第四章指数函数、对数函数有关的复合函数问题 4
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第四章 指数函数与对数函数
知识点三 对数函数在实际问题中的应用 某公司制订了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不 超过 10 万元时，按销售利润的 15%进行奖励；当销售利润超过 10 万 元时，若超出 A 万元，则超出部分按 2log5(A＋1)进行奖励．记奖金为 y(单位：万元)，销售利润为 x(单元：万元). (1)写出奖金 y 关于销售利润 x 的解析式； (2)如果业务员老江获得 5.5 万元的奖金，那么他的销售利润是多 少万元？
强弱等级 L/dB
10
m
பைடு நூலகம்
求 a 和 m 的值．
很嘈杂 的马路 1×10－3
90
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第四章 指数函数与对数函数
解：将 I0＝1×10－12 W/m2，I＝1×10－11 W/m2 代入 L＝a lg
I I0
，
得 10＝alg
1×10－11 1×10－12
＝a lg 10＝a，即 a＝10，m＝10lg
解：由题意知(x－3)(x＋3)>0， 解得 x<－3 或 x>3， ∴函数 y＝loga(x－3)(x＋3)的定义域为(－∞，－3)∪(3，＋∞).
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第四章 指数函数与对数函数
求含对数式的函数定义域的关键是真数大于 0，底数大于 0 且不 为 1.如需对函数式变形，须注意真数底数的取值范围是否改变．
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第四章 指数函数与对数函数
角度 2
求对数函数的解析式
3
已知函数
f(x)是对数函数，且
f
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数重点归纳笔记(带答案)
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数重点归纳笔记单选题1、已知2a =5,log 83=b ，则4a−3b =（ ） A ．25B ．5C ．259D ．53答案：C分析：根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 因为2a=5，b =log 83=13log 23，即23b=3，所以4a−3b=4a 43b=(2a )2(23b )2=5232=259．故选：C.2、设log 74=a,log 73=b ，则log 4936=（ ） A ．12a −b B ．12b +a C ．12a +b D ．12b −a答案：C分析：根据对数的运算性质计算即可.解：log 4936=log 7262=log 76=log 72+log 73=12log 74+log 73=12a +b . 故选：C.3、已知函数f (x )={−2x,x <0−x 2+2x,x ≥0 若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是（ ） A ．[0,34]B ．(0,34)C ．[0,916]D ．(0,916) 答案：D分析：根据题意，作出函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0 与y =12x +m 的图像，然后通过数形结合求出答案.函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0的图像如下图所示：若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解，则函数f (x )的图像与直线y =12x +m 有三个交点，若直线y =12x +m 经过原点时，m ＝0，若直线y =12x +m 与函数f (x )=12x +m 的图像相切，令−x 2+2x =12x +m ⇒x 2−32x +m =0，令Δ=94−4m =0⇒m =916. 故m ∈(0,916).故选：D ．4、已知函数f(x)={a x ,x <0(a −2)x +3a,x ≥0，满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，则a 的取值范围是（ ）A ．a ∈(0,1)B ．a ∈[34,1)C ．a ∈(0,13]D ．a ∈[34,2) 答案：C分析：根据条件知f(x)在R 上单调递减，从而得出{0<a <1a −2<03a ≤1，求a 的范围即可．∵f(x)满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，∴f(x)在R 上是减函数，∴{0<a <1a −2<0(a −2)×0+3a ≤a 0，解得0<a ≤13， ∴a 的取值范围是(0,13]．故选：C ．5、已知函数f (x )=x 2+e x −12(x <0)与g (x )=x 2+ln (x +a )图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A ．√e )B ．(−∞,√e )C ．√e)D ．(0,√e )答案：B分析：f (x )=x 2+e x −12(x <0)关于y 轴对称的函数为：f(−x)=x 2+e −x −12(x >0)， 函数f (x )=x 2+e x −12(x <0)与g (x )=x 2+ln (x +a )图象上存在关于y 轴对称的点， 即f(−x)=g(x)有解，通过数形结合即可得解. f (x )=x 2+e x −12(x <0)关于y 轴对称的函数为： f(−x)=x 2+e −x −12(x >0)，函数f (x )=x 2+e x −12(x <0)与g (x )=x 2+ln (x +a )图象上存在关于y 轴对称的点，即f(−x)=g(x)有解，即x 2+e −x −12=x 2+ln(x +a)，整理的：e −x −12=ln(x +a)， y =e −x −12和y =ln(x +a)的图像存在交点，如图：临界值在x =0处取到（虚取），此时a =√e ，故当a <√e 时y =e −x −12和y =ln(x +a)的图像存在交点， 故选：B.6、已知函数f(x)={log 12x,x >0,a ⋅(13)x,x ≤0,若关于x 的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(−∞,0)∪(0,1)B ．(−∞,0)∪(1,+∞)C ．(−∞,0)D ．(0,1)∪(1,+∞) 答案：B分析：利用换元法设t =f (x )，则等价为f (t )=0有且只有一个实数根，分a <0,a =0,a >0 三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出a 的取值范围. 令f(x)=t ，则方程f[f(x)]=0等价于f(t)=0，当a =0时，此时当x ≤0时，f (x )=a ⋅(13)x=0，此时函数有无数个零点，不符合题意；当a ≠0，则f(x)=a ⋅(13)x≠0，所以由f(t)=log 12t =0，得t =1，则关于x 的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数根等价于关于x 的方程f(x)=1有且只有一个实数根，作出f(x)的图象如图：当a <0时，由图象可知直线y =1与y =f(x)的图象只有一个交点，恒满足条件； 当a >0时，要使直线y =1与y =f(x)的图象只有一个交点， 则只需要当x ≤0时，直线y =1与f(x)=a ⋅(13)x的图象没有交点， 因为x ≤0 时，f (x )=a ⋅(13)x∈[a,+∞)，此时f (x ) 最小值为a ， 所以a >1，综上所述，实数a 的取值范围是(−∞,0)∪(1,+∞)， 故选：B.7、已知对数式log (a+1)24−a（a ∈Z ）有意义，则a 的取值范围为（ ）A ．(−1,4)B ．(−1,0)∪(0,4)C ．{1,2,3}D ．{0,1,2,3} 答案：C分析：由对数的真数大于0，底数大于0且不等于1列出不等式组，然后求解即可. 由题意可知:{a +1>0a +1≠124−a >0 ⇔{a >−1a ≠0a <4 ，解之得:−1<a <4且a ≠0.∵a ∈Z ，∴a 的取值范围为{1,2,3}. 故选：C.8、若函数f (x )=ln(ax +√x 2+1)是奇函数，则a 的值为（ ） A ．1B ．－1 C ．±1D ．0 答案：C分析：根据函数奇函数的概念可得ln(−ax +√x 2+1)+ln(ax +√x 2+1)=0，进而结合对数的运算即可求出结果.因为f (x )=ln(ax +√x 2+1)是奇函数，所以f (－x )＋f (x )＝0．即ln(−ax +√x 2+1)+ln(ax +√x 2+1)=0恒成立，所以ln [(1−a 2)x 2+1]=0，即(1−a 2)x 2=0 恒成立，所以1−a 2=0，即a =±1． 当a =1时，f (x )=ln(x +√x 2+1)，定义域为R ，且f (−x )+f (x )=0，故符合题意； 当a =−1时，f (x )=ln(−x +√x 2+1)，定义域为R ，且f (−x )+f (x )=0，故符合题意； 故选：C. 多选题9、如图，某池塘里的浮萍面积y （单位：m 2）与时间t （单位：月）的关系式为y =ka t (k ∈R 且k ≠0，a ≠1)．则下列说法正确的是（ ）A．浮萍每月增加的面积都相等B．第6个月时，浮萍的面积会超过30m2C．浮萍面积从2m2蔓延到64m2只需经过5个月D．若浮萍面积蔓延到4m2，6m2，9m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1+t3=2t2答案：BCD分析：由题意结合函数图象可得{ka=1ka3=4，进而可得y=2t−1；由函数图象的类型可判断A；代入x=6可判断B；代入y=2、y=64可判断C；代入y=4、y=6、y=9，结合对数的运算法则即可得判断D；即可得解.由题意可知，函数过点(1,1)和点(3,4)，则{ka=1ka3=4，解得{k=12a=2（负值舍去），∴函数关系式为y=12×2t=2t−1，对于A，由函数是曲线型函数，所以浮萍每月增加的面积不相等，故选项A错误；对于B，当x=6时，y=25=32>30，故选项B正确；对于C，令y=2得t=2；令y=64得t=7，所以浮萍面积从2m2增加到64m2需要5个月，故选项C正确；对于D，令y=4得t1=3；令y=6得t2=log212；令y=9得t3=log218；所以t1+t3=3+log212=log2144=2log212=2t2，故选项D正确.故选：BCD.小提示：本题考查了函数解析式的确定及函数模型的应用，考查了运算求解能力，合理转化条件是解题关键，属于基础题.10、若log2m=log4n，则（）A．n=2m B．log9n=log3mC．lnn=2lnm D．log2m=log8(mn)答案：BCD分析：利用对数运算化简已知条件，然后对选项进行分析，从而确定正确选项. 依题意log2m=log4n，所以m>0,n>0,log2m=log22n=12log2n=log2n12，所以m=n 12,m2=n，A选项错误.log9n=log32m2=22log3m=log3m，B选项正确.lnn=lnm2=2lnm，C选项正确.log8(mn)=log23m3=33log2m=log2m，D选项正确.故选：BCD11、已知函数f(x)=lg(√x2−2x+2−x+1)，g(x)=2x+62x+2则下列说法正确的是（）A．f(x)是奇函数B．g(x)的图象关于点(1，2)对称C．若函数F(x)=f(x)+g(x)在x∈[1−m,1+m]上的最大值、最小值分别为M、N，则M+N=4D．令F(x)=f(x)+g(x)，若F(a)+F(−2a+1)>4，则实数a的取值范围是(−1,+∞)答案：BCD分析：利用函数的奇偶性的定义，可判定A错误；利用图像的平移变换，可判定B正确；利用函数的图象平移和奇偶性，可得判定C正确；利用函数的单调性，可判定D正确.由题意函数f(x)=lg(√x2−2x+2−x+1)=lg(√(x−1)2+1−(x−1))，因为√(x−1)2+1−(x−1)>0恒成立，即函数f(x)的定义域为R，又因为f(0)=lg(√2+1)≠0，所以f(x)不是奇函数，所以A错误；将g (x )=2x +62x +2的图象向下平移两个单位得到y =2x +62x +2−2=2−2x 2+2x，再向左平移一个单位得到ℎ(x )=2−2x+12+2x+1=1−2x 1+2x，此时ℎ(−x )=1−2−x1+2−x =2x −12x +1=−ℎ(x )，所以ℎ(x )图象关于点(0,0)对称， 所以g (x )的图象关于(1,2)对称，所以B 正确；将函数f (x )的图象向左平移一个单位得m (x )=lg(√x 2+1−x)， 因为m (−x )+m (x )=lg(√x 2+1+x)+lg(√x 2+1−x)=lg1=0， 即m(−x)=−m(x)，所以函数m (x )为奇函数， 所以函数f (x )关于(1,0)点对称，所以F (x )若在1+a 处 取得最大值，则F (x )在1−a 处取得最小值，则F(1+a)+F(1−a)=f(1+a)+f(1−a)+g(1+a)+g(1−a)=0+4=4，所以C 正确； 由F(a)+F(−2a +1)>4，可得f(a)+f(1−2a)+g(a)+g(1−2a)>4， 由f (x )=lg(√(x −1)2+1−(x −1))， 设m (x )=lg(√x 2+1−x)，t =√x 2+1−x ， 可得t ′=√x 2+1−1<0，所以t =√x 2+1−x 为减函数，可得函数m (x )=lg(√x 2+1−x)为减函数，所以函数f (x )=lg(√(x −1)2+1−(x −1))为单调递减函数， 又由g (x )=2x +62x +2=1+42x +2为减函数，所以F (x )为减函数，因为F (x )关于点(1,2)对称，所以F (a )+F (−2a +1)>4=F(a)+F(2−a)，即F(−2a +1)>F(2−a)， 即−2a +1<2−a ，解得a >−1，所以D 正确. 故选：BCD.小提示：求解函数有关的不等式的方法及策略： 1 、解函数不等式的依据是函数的单调性的定义， 具体步骤：①将函数不等式转化为f(x 1)>f(x 2)的形式；②根据函数f (x )的单调性去掉对应法则“f ”转化为形如：“x 1>x 2”或“x 1<x 2”的常规不等式，从而得解. 2 、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解. 填空题12、若√4a 2−4a +1=√(1−2a )33，则实数a 的取值范围_________ ．答案：(−∞，12]分析：由二次根式的化简求解由题设得√4a 2−4a +1=√(2a −1)2=|2a −1|，√(1−2a )33=1−2a ，所以|2a −1|=1−2a 所以1−2a ≥0，a ≤12．所以答案是：(−∞，12]13、已知10p ＝3，用p 表示log 310＝_____． 答案：1p ##p −1分析：根据指数和对数的关系，以及换底公式，分析即得解. ∵10p ＝3，∴p =lg3，∴log 310＝1g101g3＝11g3＝1p . 所以答案是：1p ．14、对于任意不等于1的正数a ，函数f (x )=log a (2x +3)+4的图像都经过一个定点，这个定点的坐标是_______. 答案：(−1,4)分析：根据log a 1=0求得正确结论.依题意，当2x +3=1，即x =−1时，f (−1)=log a 1+4=4， 所以定点为(−1,4). 所以答案是：(−1,4)解答题15、已知函数f(x)=2x−12x.（1）判断f(x)在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（2）解关于x的不等式f(log2x)<f(1).答案：（1）f(x)在R上是增函数，证明见解析；（2）(0,2).分析：（1）由题可判断函数为奇函数且为增函数，利用定义法的步骤证明即可；（2）利用函数f(x)的单调性及对数函数的单调性即解.（1）∵f(−x)=2−x−2x=−(2x−12x)=−f(x)，则函数f(x)是奇函数，则当x⩾0时，设0⩽x1<x2，则f(x1)−f(x2)=2x1−12x1−2x2+12x2=2x1−2x2+2x2−2x12x12x2=(2x1−2x2)2x12x2−12x12x2，∵0⩽x1<x2，∴1⩽2x1<2x2，即2x1−2x2<0，2x12x2>1，则f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，则f(x)在[0，+∞)上是增函数，∵f(x)是R上的奇函数，∴f(x)在R上是增函数.（2）∵f(x)在R上是增函数，∴不等式f(log2x)<f(1)等价为不等式log2x<1，即0<x<2.即不等式的解集为(0,2).。
高一数学人必修一课件时对数的运算
对数不等式解法及实例分析
• 对数不等式的基本形式：形如 $\log_a N > \log_a M$ 或 $\log_a N < \log_a M$ 的不等式，其中 $a > 0$，$a • eq 1$，$N > 0$，$M > 0$。
参数在对数不等式中的影响
参数的变化会影响不等式的解集和解的性质。例如，对于不等式 $log_a x > b$，当 $a > 1$ 时，随着 $b$ 的增大，不等式的解集减小；当 $0 < a < 1$ 时，随着 $b$ 的增大 ，不等式的解集增大。
实例分析
解关于 $x$ 的不等式 $log_{a}(x - frac{4}{3}) < log_{a}(frac{1}{3} - x)$，其中 $a > 0$ 且 $a neq 1$。
当 $g(x) > 0$ 时，对数复合函数有意 义；当 $g(x)$ 是单调函数时，对数 复合函数的单调性与 $g(x)$ 一致。
03
对数方程与不等式
对数方程解法及实例分析
• 对数方程的基本形式：形如 $a^{\log_a N} = N$ 的方程，其 中 $a > 0$，$a
• eq 1$，$N > 0$。
对指数函数和对数函数的研究，可以深入了解它们之间的性质和关系。
02 03
对数在现实生活中的应用
对数在现实生活中的应用非常广泛，如计算复利、求解增长率、处理音 频信号等。通过对对数应用的学习，可以更好地理解和掌握对数运算的 方法和技巧。
高中数学必修一(人教版)《4.3.2 对数的运算》课件
法二：原式
＝lglg1225＋llgg245＋lglg1825
＝3llgg25＋22llgg
52＋3llgg52llgg
25＋22llgg
25＋33llgg
2 5
＝133llgg253llgg52＝13.
法三：原式＝(log253＋log2252＋log2351)·(log52＋log5222＋log5323)
＝3log25＋log25＋13log25(log52＋log52＋log52)
＝3×3＋1＋13log25·log52＝3×133＝13.
(2)法一：∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b. 于是 log3645＝lloogg11884356＝lloogg1188198××52＝log11＋89＋loglo18g2185 ＝1＋al＋ogb18198＝a2＋ －ba. 法二：∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b. 于是 log3645＝lolgo1g81981×9825＝2lloogg1188918＋－lolgog181589＝a2＋－ba.
明确目标
4．3.2 对数的运算
发展素养
1.理解对数的运算性质． 1.借助对数的运算性质化简、求值，
2.能用换底公式将一般对数转 培养数学运算素养．
化成自然对数或常用对数． 2.通过学习换底公式，培养逻辑推
3.会运用运算性质进行一些简 理素养.
单的化简与证明.
知识点一 对数的运算性质 (一)教材梳理填空
2·lglcg＋a b·lglcg－a b，即证 lg(c－b)＋lg(c＋b)＝2lg a，即证 lg(c2－b2)＝
lg a2 (*)．
而在以 c 为斜边的直角三角形中，c2－b2＝a2，(*)式显然成立，即原等
高中数学必修一课件：第四章对数函数的图象和性质(第2课时)
A．y＝3－x
1 B．y＝3x
C．y＝log3x
D．y＝log1x
3
解析 函数y＝ax和y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．
2．已知y＝14x的反函数为y＝f(x)，若f(x0)＝－12，则x0等于( C )
A．－2
B．－1
C．2
1 D.2
解析
由题意知f(x)＝log
1 4
x，f(x0)＝－
C．(2，＋∞)
D．[2，＋∞)
解析 若函数f(x)有意义，则xlo>g02，x－1>0，
∴x>2.
∴函数f(x)的定义域为(2，＋∞)．
(2)函数y＝f(x)是g(x)＝log 2x的反函数，则f(2)＝___2_____．
2
题型二 解对数型不等式
例2 解下列不等式．
(1)log1x>log1(4－x)；
7
7
(2)logx12>1；
(3)loga(2x－5)>loga(x－1)，其中a＞0，且a≠1.
x>0， 【解析】 (1)由题意可得4－x>0，解得0<x<2.
互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax(a>0，且a≠1)的单调 性相同吗？单调区间相同吗？
答：相同；不相同．
课时学案
题型一 反函数
例1 已知f(x)＝(22 021)x，x<0，求f(x)的反函数g(x)及其定义域、值域． 【解析】 ∵f(x)＝(22 021)x，x<0， ∴f(x)的反函数g(x)＝log22 021x＝2 0121log2x， 当x<0时，0<f(x)<1，即f(x)的值域为(0，1)， 从而g(x)的定义域为(0，1)，值域为(－∞，0)．
北师大版高一数学必修一对数函数y=logax的图像和性质说课稿
北师大版高一必修一对数函数y=logax的图像和性质说课稿尊敬的各位考官大家好，我是今天的06号考生，今天我说课的题目是对数函数y=log a x的图像和性质。
接下来我将从教材分析、学情分析、教学过程等几个方面展开我的说课。
一、说教材《对数函数y=logax的图像和性质》选自北师大版高中数学必修一第四章第三节。
本节课是在学了对数函数的概念和对数函数与指数函数互为反函数的关系后，对对数函数的进一步深入学习，同时也为后面函数的学习做好铺垫。
二、说学情深入了解学生是新课标要求下教师的必修课，从学生情况来说，学生在学习本节课之前已经掌握了对数函数的概念，具有一定的分析归纳的能力。
三、说教学目标依据学生的知识水平和年龄特点，以及本节课在教材中所处的地位及作用，我制定了以下教学目标：1.掌握对数函数的图像和性质，学会用对数函数的性质解决简单问题。
2.通过数形结合、分类讨论的数学思想，培养学生观察，分析，归纳的逻辑思维能力。
3.通过知识的探究，培养学生逻辑推理的核心素养。
四、说教学重难点要上好一节数学课，在教学内容上一定要做到突出重点、突破难点。
根据本节课的内容，确定教学重点为对数函数的图像和性质，通过类比探究，合作交流来突出重点。
教学难点为对数函数的性质，通过例题来突破难点。
五、说教法和学法结合本节课的内容和学生的认知规律，我主要采用讲授法、启发法、小组合作、自主探究等教学方法。
在学法上,我主要采用观察法、合作交流法、归纳总结法等教学方法。
六、说教学过程古语说“凡事预则立，不预则废”，为了更好的以学定教，我会让学生在课前完成一份前置作业（预习单），分为两部分：1.是旧知连接，出一些本课知识紧密相关的已经学过的练习题，这样可以很好的摸清学生基础。
2.是新知速递，是让学生自己先进行预习，完成一些与本课知识相关的基础的练习，从而培养学生的预习能力。
为了实现这节课的教学目标，突出重点，突破难点，整节课的教学分几个部分进行环节一：创设情境，引入新课在这一环节我会提问学生，“同学们，上节课我们学习了y=log 2x的函数图像和性质，现在请同学们在同一坐标系上画出y=log2x的对数函数和y=log3x的对数函数的图像，观察他们有什么共同点，”我这样设计的意图是衔接性旧知识，激发学生的学习兴趣，为后面的学习做铺垫。
2021年人教版高一数学必修一第4单元 指数函数与对数函数(讲解和习题)
人教版高一数学必修一第4单元指数函数与对数函数（讲解和习题）基础知识讲解一．指数函数的定义、解析式、定义域和值域【基础知识】1、指数函数的定义：一般地，函数y＝a x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）．2、指数函数的解析式：y＝a x（a＞0，且a≠1）【技巧方法】①因为a＞0，x是任意一个实数时，a x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．①规定底数a大于零且不等于1的理由：如果a＝0，当x＞0时，a x恒等于0；当x≤0时，a x无意义；如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x＝，x＝在实数范围内函数值不存在．如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要，为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1．二．指数函数的图象与性质【基础知识】1、指数函数y＝a x（a＞0，且a≠1）的图象和性质：y ＝a x a ＞1 0＜a ＜1图象定义域 R 值域 （0，+∞） 性质过定点（0，1）当x ＞0时，y ＞1； x ＜0时，0＜y ＜1当x ＞0时，0＜y ＜1；x ＜0时，y ＞1在R 上是增函数在R 上是减函数2、底数与指数函数关系①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a ＞l 时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y 轴；同样地，当0＜a ＜l 时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x 轴． ①底数对函数值的影响如图．①当a ＞0，且a ≠l 时，函数y ＝a x 与函数y ＝的图象关于y 轴对称．3、利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较： 若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．三．二次函数的性质与图象【二次函数】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【二次函数的性质】二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．这里面略谈一下他的一些性质．①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x＝﹣；最值为：f（﹣）；判别式①＝b2﹣4ac，当①＝0时，函数与x轴只有一个交点；①＞0时，与x轴有两个交点；当①＜0时无交点．①根与系数的关系．若①≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝；①二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，），准线方程为y＝﹣，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．①平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；四．指数型复合函数的性质及应用【基础知识】指数型复合函数性质及应用：指数型复合函数的两个基本类型：y＝f（a x）与y＝a f（x）复合函数的单调性，根据“同增异减”的原则处理U＝g（x）y＝a u y＝a g（x）增增增减减增增减减减增减．五．指数函数的单调性与特殊点【基础知识】1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a 的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．2、同增同减的规律：（1）y＝a x如果a＞1，则函数单调递增；（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．3、复合函数的单调性：（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．六．函数零点的判定定理【基础知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c①（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；①函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．七．指数式与对数式的互化【基础知识】a b＝N①log aN＝b；指数方程和对数方程主要有以下几种类型：（1）a f（x）＝b①f（x）＝log a b；log a f（x）＝b①f（x）＝a b（定义法）（2）a f（x）＝a g（x）①f（x）＝g（x）；log a f（x）＝log a g（x）①f（x）＝g（x）＞0（同底法）（3）a f（x）＝b g（x）①f（x）log m a＝g（x）log m b；（两边取对数法）（4）log a f（x）＝log b g（x）①log a f（x）＝；（换底法）（5）A log x+B log a x+C＝0（A（a x）2+Ba x+C＝0）（设t＝log a x或t＝a x）（换元法）八．对数的运算性质【基础知识】对数的性质：①＝N；①log a a N＝N（a＞0且a≠1）．log a（MN）＝log a M+log a N；log a＝log a M﹣log a N；log a M n＝n log a M；log a＝log a M．九．换底公式的应用【基础知识】换底公式及换底性质：（1）log a N＝（a＞0，a≠1，m＞0，m≠1，N＞0）．（2）log a b＝，（3）log a b•log b c＝log a c，十．对数函数的定义域【基础知识】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．十一．对数函数的值域与最值【基础知识】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．定点：函数图象恒过定点（1，0）十二．对数值大小的比较【基础知识】1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）十三．对数函数的单调性与特殊点【基础知识】对数函数的单调性和特殊点：1、对数函数的单调性当a＞1时，y＝log a x在（0，+∞）上为增函数当0＜a ＜1时，y ＝log a x 在（0，+∞）上为减函数 2、特殊点对数函数恒过点（1，0）十四．对数函数图象与性质的综合应用 【基础知识】1、对数函数的图象与性质：a ＞10＜a ＜1图象定义域 （0，+∞）值域 R 定点 过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正负当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1，y ＜0当x ＞1时，y ＜0；当0＜x ＜1时，y ＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【技巧方法】1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．（2）对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．①若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．①若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如log a x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．十五．指数函数与对数函数的关系【基础知识】指数函数和对数函数的关系：（1）对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y＝x对称．（2）它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a＞l时，它们是增函数；当O＜a＜l时，它们是减函数．（3）指数函数与对数函数的联系与区别：十六．反函数【基础知识】【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x①A）的值域是C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y①C）叫做函数y＝f（x）（x①A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x）反函数y＝f （﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．【性质】反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且f（x）＝C（其中C 是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．（5）一切隐函数具有反函数；（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；（8）反函数是相互的且具有唯一性；（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．十七．对数函数图象与性质的综合应用【基础知识】1、对数函数的图象与性质：a＞10＜a＜1图象定义域（0，+∞）值域R定点过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正负当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1，y＜0当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【解题方法点拨】1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．（2）对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．①若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．①若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如log a x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．十八．函数的零点【基础知识】一般地，对于函数y＝f（x）（x①R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f （x）（x①D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．十九．函数零点的判定定理【基础知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c①（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．【技巧方法】（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；①函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．二十．函数的零点与方程根的关系【基础知识】函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．二十一. 二分法【基础知识】二分法即一分为二的方法．设函数f（x）在[a，b]上连续，且满足f（a）•f（b）＜0，我们假设f（a）＜0，f（b）＞0，那么当x1＝时，若f（x1）＝0，这说x1为零点；若不为0，假设大于0，那么继续在[x1，b]区间取中点验证它的函数值为0，一直重复下去，直到找到满足要求的点为止．这就是二分法的基本概念．习题演练一．选择题（共12小题）1．已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是( ) A ．()1,1- B ．()(),11,-∞-+∞C ．()0,1D ．()(),01,-∞⋃+∞2．下列式子计算正确的是（ ） A ．m 3•m 2＝m 6 B ．（﹣m ）2＝21m - C ．m 2+m 2＝2m 2D ．（m +n ）2＝m 2+n 23．在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．4．设2,8()(8),8x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则(17)f =（ ）A ．2B ．4C ．8D ．165．函数13x y a +=-（0a >，且1a ≠）的图象一定经过的点是（ ） A ．()0,2-B ．()1,3--C ．()0,3-D ．()1,2--6．设0.3log 0.6m =，21log 0.62n =，则（ ） A ．m n m n mn ->+> B ．m n mn m n ->>+ C ．m n m n mn +>->D ．mn m n m n >->+7．已知函数1()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．8．已知2log a e =，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>9．函数()2xf 的定义域为[1,1]-，则()2log y f x =的定义域为（ ）A ．[1,1]-B．C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[1,4]10．设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减11．已知函数()ln 1,01,0xx x f x e x ⎧+>=⎨+≤⎩，()22g x x x =--，若方程()()0f g x a -=有4个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞B ．(]0,1C ．(]1,2D ．[)2,+∞12．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭二．填空题（共6小题）13．计算：13021lg8lg 25327e -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭__________．14．不等式2log 5x a -<对任意[]4,16x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为____________. 15．已知当(]1,2x ∈时，不等式()21log a x x -≤恒成立，则实数a 的取值范围为________.16．若关于x 的方程11224a x x =-++-的解集为空集，求实数a 的取值范围______. 17．已知函数223,3()818,3x x f x x x x -⎧<=⎨-+≥⎩，则函数()()2g x f x =-的零点个数为_________．18．已知定义在R 上的函数()f x 满1(2)()f x f x +=，当[0,2)x ∈时，()x f x x e =+，则(2019)f =_______.三．解析题（共6小题）19．已知函数()log (1)log (3)(01)a a f x x x a =-++<<.（1）求函数()f x 的定义域； （2）求函数()f x 的零点；（3）若函数()f x 的最小值为－4，求a 的值.20．已知定义域为R 的函数，12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.21．设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)=2f . (1)求a 的值；(2)求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.22．已知实数0a >，定义域为R 的函数()x x e af x a e=+是偶函数，其中e 为自然对数的底数．（①）求实数a 值；（①）判断该函数()f x 在(0,)+∞上的单调性并用定义证明；（①）是否存在实数m ，使得对任意的t R ∈，不等式(2)(2)f t f t m -<-恒成立．若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．23．函数()f x 对任意的实数m ，n ，有()()()f m n f m f n +=+，当0x >时，有()0f x >． （1）求证：()00=f ．（2）求证：()f x 在(),-∞+∞上为增函数．（3）若()11f =，解不等式()422x xf -<．24．甲商店某种商品4月份（30天，4月1日为第一天）的销售价格P （元）与时间t （天）的函数关系如图所示（1），该商品日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系如图(2)所示.（1）（2）（1）写出图（1）表示的销售价格与时间的函数关系式()P f t =，写出图（2）表示的日销售量与时间的函数关系式()Q g t =及日销售金额M （元）与时间的函数关系式()M h t =. （2）乙商店销售同一种商品，在4月份采用另一种销售策略，日销售金额N （元）与时间t （天）之间的函数关系式为22102750N t t =--+，试比较4月份每天两商店销售金额的大小关系。
高一数学有关必修一对数函数知识点
高一数学有关必修一对数函数知识点高一数学必修1对数函数知识点一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log（a）（N）=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
底数则要大于0且不为1对数的运算性质当a0且a1时，M0，N0，那么：（1）log（a）（MN）=log（a）（M）+log（a）（N）；（2）log（a）（M/N）=log（a）（M）-log（a）（N）；（3）log（a）（M^n）=nlog（a）（M）（nR）（4）换底公式：log（A）M=log（b）M/log（b）A （b0且b1）对数与指数之间的关系当a0且a1时，a^x=N x=㏒（a）N常用简略表达方式（1）常用对数:lg（b）=log（10）（b）（2）自然对数:ln（b）=log（e）（b）（3）log（a）+（b）=log（a）（b）e=2.718281828... 通常情况下只取e=2.71828 对数函数的定义对数函数的一般形式为y=㏒（a）x，它实际上就是指数函数的反函数（图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数），可表示为x=a^y。
因此指数函数里对于a的规定（a0且a1），同样适用于对数函数。
右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。
定义域：（0，+）值域：实数集R定点：函数图像恒过定点（1，0）。
单调性：a1时，在定义域上为单调增函数，并且上凸；01时，在定义域上为单调减函数，并且下凹。
1时，在定义域上为单调奇偶性：非奇非偶函数周期性：不是周期函数零点：x=1知识拓展：16世纪末至17世纪初的时候，当时在自然科学领域（特别是天文学）的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算，于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数。
德国的史提非（1487-1567）在1544年所著的《整数算术》中，写出了两个数列，左边是等比数列（叫原数），右边是一个等差数列（叫原数的代表，或称指数，德文是Exponent ，有代表之意）。
高中数学北师大版 必修一 对数函数y=logax的图象和性质 课件
2 标系中，画出相应的函数图象．
新知探究
从图象上，容易发现互为反函数的指数函数与对数函数，它们的图象 关于直线y＝x对称．一个函数图象上的任意一点关于y＝x的对称点， 一定在它的反函数的图象上，这也是一种对称性．
答案：（1）lg0.6＜lg0.8． （2）log0.56＜log0.54． （3）当0＜m＜1时，logm5＞logm7；当m＞1时，logm5＜logm7．
目标检测
3 某地去年GDP（国内生产总值）为3 000亿元人民币，预计未来5年的 平均增长率为6.8%．
（1）设经过x年达到的年GDP为y亿元，试写出未来5年内，y关于x的函 数解析式； （2）经过几年该地GDP能达到3 900亿元人民币？
（2）增函数
（3）非奇非偶函数，即无奇偶性
新知探究
例3 比较下列各题中两个值的大小： （1）log23.4，log28.5； （2）log0.31.8，log0.32.7； （3）loga5.1，loga5.9(a＞0，且a≠1)． 解：（1）log23.4和log28.5可看作函数y＝log2x的两个函数值． 因为底数2＞1，对数函数y＝log2x是增函数， 且3.4＜8.5，所以log23.4＜log28.5．
例4 溶液酸碱度的测量． （1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶 液中氢离子的浓度之间的变化关系； 所以，随着[H＋]的增大，pH减小，
即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强．
新知探究
例4 溶液酸碱度的测量． 溶液酸碱度是通过pH计量的．pH的计算公式为pH＝－lg[H＋]，其中 [H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升． （2）已知纯净水中氢离子的浓度为[H＋]＝10－7摩尔/升，计算纯净水 的pH．
人教版新高一数学必修一求函数的解析式换元法
人教版新高一数学必修一求函数的解析式换元法在新高一的数学必修一教程中，学习求函数的解析式换元法是一个十分重要的课题。
它可以帮助学生们理解这一概念，并且有助于学生们在实际的应用中更加深刻地理解求解函数的解析式换元法的原理。
换元法是一种特定的函数求解方法，它是一种将原始函数以某种特定的方式进行替换，从而得到更容易求解的函数的方法。
在求解函数解析式的换元法中，学生首先要理解函数的各种不同性质，如可积性、可分式性、可拆分性等，其次要对几何学的基本概念有一定的了解。
当理解清楚了函数的性质及和几何学的基本概念以后，就可以使用换元法来解决函数求解问题。
换元法的基本步骤是：首先，根据原函数的性质及其几何学基本概念，将原函数拆分成多个更容易求解的小函数；其次，利用换元法对每个子函数求解；最后，综合各子函数的解，将其合并为函数的解析式。
在应用换元法求解函数解析式时，学生可以依据函数的性质和几何基本概念，利用换元法的基本思想来解决函数求解问题。
比如函数的可拆分性，用换元法可以将原函数拆分成多个子函数，使其解变得更容易。
函数的可积性，用换元法可以用积分相关的解算法来求解原函数；函数的可分式性，用换元法可以使用分式的方法来求解原函数。
此外，换元法的应用还可以扩展到三角函数、指数函数及对数函数等情况，从而求解更复杂的函数解析式。
在求解函数解析式的换元法过程中，学生要注意仔细分析函数的特性，找出最容易求解的函数，比如可拆分函数、可积函数、可分式函数等，并利用换元法结合其性质和几何基本概念，一步步推出求解函数解析式的方法，从而较快地熟悉函数求解方法。
总之，函数解析式中换元法是一种非常重要的数学求解方法，它可以帮助学生更快更深地理解函数求解的原理，并在实际应用中更好地运用换元法来求解函数。
高一数学必修一对数知识点
高一数学必修一对数知识点对数是数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。
在高一数学必修一课程中，掌握对数的相关知识点对于学习和解题都非常关键。
本文将介绍高一数学必修一中与对数相关的几个重要知识点。
一、对数的定义和性质对数是指数运算的逆运算，用于描述指数运算中的幂次关系。
设a和b是正实数且a≠1，若a^x=b，则称x是以a为底b的对数，记作x=log_a b。
对数的性质包括对数的定义、对数的唯一性和对数的计算规则。
二、常用对数和自然对数常用对数以10为底，通常记作lgx或logx，其中x是正实数。
自然对数以常数e（自然对数的底）为底，通常记作lnx，其中x是正实数。
常用对数和自然对数在科学和工程计算中经常使用，掌握其使用方法和性质对于解题和应用都具有重要意义。
三、对数函数与指数函数的性质对数函数和指数函数是互为反函数的函数。
指数函数y=a^x （a>0，a≠1）是底为a的对数函数y=log_a x的反函数，反之亦然。
对数函数和指数函数的图像具有一些特殊的性质，如对数函数的图像在直线y=x上对称。
四、对数方程和对数不等式对数方程是指形如log_a f(x)=b的方程，其中a是正实数，a≠1；f(x)是一个关于x的已知函数，b是常数。
对数不等式是指形如log_a f(x)<b或log_a f(x)>b的不等式，其中a是正实数，a≠1；f(x)是一个关于x的已知函数，b是常数。
解对数方程和对数不等式需要运用对数的性质和计算规则。
五、指数函数与对数函数的应用指数函数和对数函数在实际问题中具有广泛的应用。
例如，指数函数可以用于描述金融领域中的复利计算，对数函数可以用于描述物理学中的衰减和增长现象。
掌握指数函数和对数函数的应用方法，能够帮助我们更好地理解和解决实际问题。
以上就是高一数学必修一中与对数相关的几个重要知识点的简要介绍。
对数作为数学的一个重要概念，在不同领域都具有广泛的应用价值。
通过学习和掌握这些知识点，我们能够更好地理解数学中的对数运算，并能够灵活地运用于实际问题中。
高中数学必修一指数函数对数函数知识点
高中数学必修一指数函数、对数函数知识点考点内容典型题整数和有理指数幂的运算a 0＝1(a≠0)；a－n＝1a n(a≠0, n∈N*)amn＝n a m (a＞0 , m，n∈N*, 且n＞1)(a＞0 , m，n∈N*, 且n＞1)当n∈N*时，(n a)n＝a当为奇数时，n a n＝a当为偶数时，n a n＝│a│＝a (a≥0)－a (a＜0)运算律：a m a n＝a m + n(a m)n＝a m n(ab)n＝a n b n1.计算: 2－1×6423＝ .2. 224282＝；333363＝ .3343427＝；39336＝ .3.︒--++-45sin2)12()12(014.指数函数的概念、图象与性质1、解析式：y＝a x(a＞0，且a≠1)2、图象：3、函数y＝a x(a＞0,且a≠1)的性质：①定义域:R ，即(－∞，＋∞)值域:R+ , 即(0，＋∞)②图象与y轴相交于点(0,1).③单调性：在定义域R上当a＞1时，在R上是增函数当0＜a＜1时,在R上是减函数④极值：在R上无极值(最大、最小值)当a＞1时，图象向左与x轴无限接近；当0＜a＜1时,图象向右与x轴无限接近.⑤奇偶性：非奇非偶函数.5.指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的图象过点(3,π) , 求f (0)、f (1)、f (－3)的值.6.求下列函数的定义域:①22xy-=；②2415-=-xy.7.比较下列各组数的大小:①1.22.5 1.22.51 , 0.4－0.1 0.4－0.2 ,②0.30.4 0.40.3, 233 322.③(23)－12,(23)－13,(12)－128.求函数176221+-⎪⎭⎫⎝⎛=xxy的最大值.9.函数xay)2(-=在(-∞,+∞)上是减函数，则a的取值范围( )A.a＜3B.cC.a＞3D.2＜a＜310.函数xay)1(2-=在(-∞,+∞)上是减函数，则a适合的条件是( )A.|a|＞1B.|a|＞2C.a＞2D.1＜|a|＜2知识点内容典型题对数的概念定义：设a＞0且a≠1，若a的b次幂为N，即a b＝N，则b叫做以a为底N的对数，记作log a N＝b.(a叫做底数，N叫做真数，式子log a N叫做对数式.)a b＝N log a N＝b(a＞0且a≠1)当a＝10时，x10log简记为lg x,称为常用对数；当a＝e(e≈2.718…)时，x elog简记为ln x，称为自然对数.11.把5.09017.0=x化为对数式为 .12.把lg x＝0.35化为指数式为 .13.把ln x＝2.1化为指数式为 .14. log3 x＝－21,则x＝ .15.已知：8a=9，2b=5，求log9125．对数运算的法则设a＞0,b＞0,a≠1,b≠1,M＞0,N＞0①a b＝N log a N＝b②负数和零没有对数；③log a1＝0，log a a＝1④N aa log＝N ,Na Na=log⑤alog(M·N)＝alog M＋alog N⑥alogNM＝alog M－alog N⑦alog nM＝n alog M⑨换底公式：blog N＝bNaaloglog换底公式的推论:alog b＝a blog1( alog b·blog a＝1 )logab =loga nb nloga mb n=nmlogab16.5log8log251log932⋅＝ .17.若x＝log a3，则a3x－a－3xa x－a－x的值是.18.计算2log49＝ .19.计算下列各式:①16log91log42log2)81(383log21322⋅⋅+⋅－②)243log81log27log9log3(log693216842)32(log++++③2.1lg1000lg8lg27lg-+④⎪⎭⎫⎝⎛++36log43log32loglog4212220.已知lg(x－y)＋lg(x＋2y)＝lg x＋lg y＋lg2则yx＝ .21.已知：log1227=a，求log616的值．22.已知p=3log8,q=5log3,则lg5=( )A.53qp+B.qppq++31C.pqpq313+D.22qp+知识点内容典型题对数函数的概念及性质1.解析式：y＝log a x(a＞0，且a≠1)2.图象:y＝log a x与y＝a x(a＞0,a≠1)互为反函数,故二者图象关于直线y＝x对称.(如下图)3. y＝log a x(a＞0,且a≠1)性质：①定义域：R＋，即(0,＋∞)值域：R，即(-∞,+∞)；②过x轴上的定点(1,0)；③单调性：a＞1时，在(0,＋∞)上是增函数；0＜a＜1时，在(0,+∞)上是减函数④极值:在(0,＋∞)上无最大(小)值，a＞1,图象在左下方与y轴无限接近；0＜a＜1,图象在左上方与y轴无限接近.⑤奇偶性:非奇非偶.23.函数y＝lg x的定义域为 .24.函数y＝log13(x－1)的定义域是25.求函数y＝log 2 (x2－4x－5)的定义域.26.对满足m＞n的任意两个非零实数，下列不等式恒成立的是（）A.m＞nB.lg(m2 ) ＞lg(n2 )C.m4＞n4D.(12)m＜(12)n27.比较各组数的大小：①log120.2log120.21，lg1.1 lg1.11②7.06,67.0,6log7.0从小到大为③ log89 log98 ,④ log25 log75⑤ log35 log6428.已知f(x)的图象与g(x)＝(14)x的图象关于直线y＝x对称，则f (x)＝ .指数和对数不等式基本思路：利用指数、对数函数的图象(实质是判断利用函数的增减性),把原不等式转化为一元一次(或二次)不等式(组).①a f(x)＞a g(x) (a＞0，a≠1)型若a＞1，f(x)＞g(x)若0＜a＜1，f(x)＜g(x)②log a f(x)＞log a g(x) (a＞0，a≠1)型若a＞1，f(x)＞g(x)若0＜a＜1，f(x)＜g(x)29.解不等式：123.0++xx＞xx5223.0+-30.若3log2a-＜0，则a的取值范围是 .31.若32loga＜1，则a的取值范围是 .32.解不等式：log12(x2－4x－5)＜log12(x2＋1)33.解不等式：log x(2x＋1)＞log x2。
高中数学2.2.1.1对 数(人教A版必修1)讲解
1 27
=-3,
log6216=3写成指数式为63=216.
答案：log3
1 27
=-3
63=216
1.对数logaN中规定a＞0且a≠1的原因
a不能取的值
原因
a＜0
N取某些值时，logaN不存在，如根据指数的运
算性质可知，不存在实数x使(- 1 )x=2成立，
2
所以
log （
1）2
不存在，所以a不能小于0.
2.指数式与对数式互化在函数求值问题中的应用 利用指数式与对数式的关系，可以将对数运算转化为指数运算. 例如，(1)利用指数运算性质讨论对数运算性质； (2)给出指 数式(对数式)的条件求对数(幂)的值等问题.
【典例训练】
1.若f(10x)=x,则f(2)=________.
2.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解 题启示总结如下：(注：此处的①见解析过程)
常
在判断第(4)个说法时，常会忽视①处M=N=0,即
见 选B 真数等于零时对数无意义的情况，而导致判断说
错
法(4)正确.实质是对对数的定义理解不准确，对
误
数与指数的关系掌握不好造成的.
解 (1)判断一个说法错误时常用举反例的方法，而举反例的 题 关键是问题要考虑全面. 启 (2)学会利用指数式与对数式的关系理解对数的概念，尤 示 其要注意对数的底数和真数的取值范围.
2
a不能取的值
原因
N≠0时，不存在实数x使ax=N,无法定义logaN.
a=0 N=0时，任意非零实数x,有ax=N成立，logaN不 确定.
N≠1,logaN不存在.
对数函数y=logax的图像和性质课件高中数学必修一第2课时
3.对数型函数奇偶性
判证
3.对数型函数奇偶性
判证
化简函数前就求定义域，不要化简后求定义域
3.对数型函数奇偶性
判证
如果不结合定义域化简，从表面看，这 是个非奇非偶函 数。所以，在使用定义判证奇偶性时，要求定义域且在定 义域下化简，再用定义或观察法判证。
经验
3.对数型函数奇偶性
求参
3.对数型函数奇偶性
4.对数型函数单调性
值域
例9（3）已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=[f(x)]2+f(x2)的最大 值及y取最大值时x的值.
4.对数型函数单调性
值域
经验
(1)求解最值问题,一定要注意转化思想的应用,求与对数 函数有关的二次函数的最大值、最小值问题,一般要转化 为求二次函数的最值问题,求二次函数的最值时常用配方 法,配方时注意自变量的取值范围. (2)求形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的复合函数值域的步骤: ①分解成两个函数y=logau,u=f(x);②求f(x)的定义域;③求 u的取值范围;④利用单调性求解y=logau (a>0,且a≠1)的值 域.
函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象
y=|logax|(a>0,且a≠1)的图象.
4.对数型函数单调性
求区间
性质法【同增异减】，定义域优先。此类题在对数复合函数中 出现过，定义域不是问题，但在对数复合函数中，要特别注意 。具体说明如下
经验
(1)对数型复合函数一般可分为两类:一类是外层函数为对数函数, 即y=logaf(x);另一类是内层函数为对数函数,即y=f(logax). ①对于y=logaf(x)型的函数的单调性,有以下结论:函数y=logaf(x)的 单调性与函数u=f(x)(f(x)>0)的单调性在a>1时相同,在0<a<1时相 反. ②研究y=f(logax)型复合函数的单调性,一般用换元法,即令t=logax, 则只需研究t=logax及y=f(t)的单调性即可. (2)研究对数型复合函数的单调性,一定要注意先研究函数的定义 域,也就是要坚持“定义域优先”的原则.
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求对数函数的解析式(必修一)求对数函数的解析式（必修一）
1. 引言
对数函数是数学中常见的一种函数形式。
在本文档中，我们将探讨对数函数的解析式，即如何表示和求解对数函数。
2. 对数函数的定义
对数函数是指以某个固定的底数为基准的函数。
常见的对数函数有自然对数（以e为底数）和常用对数（以10为底数）。
3. 自然对数的解析式
自然对数函数以e为底数，表示为ln(x)。
对数函数的定义域为正实数集合，即x>0。
自然对数的解析式可以通过积分得到：ln(x) = ∫(1/x) dx
4. 常用对数的解析式
常用对数函数以10为底数，表示为log(x)。
对数函数的定义域为正实数集合，即x>0。
常用对数的解析式可以通过自然对数换底公式得到：
log(x) = ln(x) / ln(10)
5. 对数函数的性质
对数函数具有一些重要的性质，包括：
- 对数函数的值随着自变量的增加而增加；
- 对数函数的导数为其自变量的倒数，并具有不变性质。
6. 对数函数的应用
对数函数在数学和科学中具有广泛的应用，例如在指数增长模型、复利计算、物理学和工程学等领域中。
7. 结论
本文介绍了求解对数函数的解析式，并简要讨论了对数函数的性质和应用。
对数函数是数学中重要的函数形式，对其有一定的了解有助于我们在实际问题中应用和理解相关概念和模型。