八年级数学竞赛专题训练21 梯形(附答案)

八年级数学竞赛专题训练21 梯形

阅读与思考

梯形是一类具有一组对边平行而另一组对边不平行的特殊四边形，梯形的主要内容是等腰梯形、直角梯形等相关概念及性质.

解决梯形问题的基本思路是：通过适当添加辅助线，把梯形转化为三角形或平行四边形，常见的辅助线的方法有：

（1）过一个顶点作一腰的平行线（平移腰）；

（2）过一个顶点作一条对角线的平行线（平移对角线）；

（3）过较短底的一个顶点作另一底的垂线；

（4）延长两腰，使它们的延长线交于一点，将梯形还原为三角形．

如图所示：

例题与求解

【例1】如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠D＝2∠B，AD和CD的长度分别为a，b，那么AB的长是___________. （荆州市竞赛试题）解题思路：平移一腰，构造平行四边形、特殊三角形．

A

B

【例2】如图1，四边形ABCD是等腰梯形，AB//CD．由四个这样的等腰梯形可以拼出图2所示的平行四边形．

（1）求四边形ABCD四个内角的度数；

（2）试探究四边形ABCD 四条边之间存在的等量关系，并说明理由；

（3）现有图1中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗？若能，请你画出大致的示意图． （山东省中考试题） 解题思路：对于（1）、（2），在观察的基础上易得出结论，探寻上、下底和腰及上、下底之间的关系，从作出梯形的常见辅助线入手；对于（3），在（2）的基础上，展开想象的翅膀，就可设计出若干种图形．

图2

图1

A

【例3】如图，在等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，AB ＝DC ，且AC ⊥BD ，AF 是梯形的高，梯形的面积是49cm 2，求梯形的高.

（内蒙古自治区东四盟中考试题） 解题思路：由于题目条件中涉及对角线位置关系，不妨从平移对角线入手．

B

【例4】 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB//DC ，AB ＝998，DC ＝1001，AD ＝1999，点P 在线段AD 上，问：满足条件∠BPC ＝900的点P 有多少个？

（全国初中数学联赛试题） 解题思路：根据AB ＋DC ＝AD 这一关系，可以在AD 上取点构造等腰三角形．

D

【例5】如图，在等腰梯形ABCD中，CD//AB，对角线AC，BD相交于O，∠ACD＝600，点S，P，Q分别为OD，OA，BC的中点．

（1）求证：△PQS是等边三角形；

（2）若AB＝5，CD＝3，求△PQS的面积；

（3）若△PQS的面积与△AOD的面积的比是7：8，求梯形上、下两底的比CD：AB．

（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：多个中点给人以广泛的联想：等腰三角形性质、直角三角形斜边中线、三角形中位线等.

A

【例6】如图，分别以△ABC的边AC和BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到边AB的距离是AB的一半．

（山东省竞赛试题）解题思路：本题考查了梯形中位线定理、全等三角形的判定与性质．关键是要构造能运用条件EP＝PF的图形．

E

F

能力训练

A级

1. 等腰梯形中，上底：腰：下底＝1：2：3，则下底角的度数是__________.

（天津市中考试题）

2. 如图，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD＝3，BC＝5，将腰DC绕点D逆时针方向旋转900至DE，连接AE，则△ADE的面积为______________. （宁波市中考试题）

3．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB//CD ，∠A ＝060，∠1＝∠2，且梯形的周长为30cm ，则这个等腰梯形的腰长为______________.

第3题图

第4题图

第2题图

A

B

A

B

4.如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，EF 是中位线，G 是BC 边上任一点，如果222cm S GEF =∆，那么梯形ABCD 的面积为__________. （成都市中考试题）

5.等腰梯形的两条对角线互相垂直，则梯形的高h 和中位线的长m 之间的关系是 ( )

A ．m ＞h

B ．m ＝h

C ．m ＜h

D ．无法确定

6. 梯形ABCD 中，AB//DC ，AB ＝5，BC ＝23，∠BCD ＝045，∠CDA ＝0

60，则DC 的长度是( )

A .33

2

7+

B ．8 C.219 D.38+ E. 338+

（美国高中考试题）

7．如图，在等腰梯形ABCD 中，AC ＝BC ＋AD ，则∠DBC 的度数是 ( )

A.300

B.450

C.600

D.900

（陕西省中考试

第7题图

第8题图

B

B

A

C

第9题图

B

8．如图，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，BC ＝DC ＝5，点P 在BC 上移动，则

当P A ＋PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为( )

A ．

17172 B ．17174 C ．1717

8 D ．3 （鄂州市中考试题）

9．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝CD ，点P 为BC 边上一点，PE ⊥AB ，PF ⊥CD ，BG ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，G ．求证 ：PE ＋PF ＝BG ．

（哈尔滨市中考试题）