初中平方根知识讲解
初三数学平方根知识点汇总
初三数学平方根知识点汇总一、平方根的定义平方根是指一个数的平方等于给定数的非负实数解。
如果一个数的平方等于给定数，那么这个数就叫做给定数的平方根。
平方根表示为√。
二、平方根的性质1. 非负数的平方根是非负数。
2. 正数的平方根有两个解：一个正数和一个负数。
3. 0的平方根是0。
4. 负数没有实数平方根，但可以用虚数表达。
三、平方根的运算法则1. 平方根与平方的运算互相抵消，即√(a^2) = a。
2. 平方根与乘法可以交换次序，即√(a*b) = √a * √b。
3. 平方根与除法可以交换次序，即√(a/b) = √a / √b。
4. 平方根的和与差可以分别用相应数的平方根表示，即√a + √b ≠ √(a + b)，√a - √b ≠ √(a - b)。
四、求平方根的方法1. 分解质因数法：将被开方数分解成质因数的形式，相同因数的指数减半。
2. 逼近法：通过不断逼近，找到一个足够接近被开方数的近似值。
3. 牛顿迭代法：通过求切线与x轴的交点，逐步逼近被开方数的平方根。
五、常见的平方根1. 平方根的近似值：- √2 ≈ 1.41- √3 ≈ 1.73- √5 ≈ 2.24- √7 ≈ 2.65- √10 ≈ 3.162. 完全平方数的平方根：- 1的平方根是1。
- 4的平方根是2。
- 9的平方根是3。
- 16的平方根是4。
- ...六、注意事项1. 在计算平方根时，要注意是否涉及虚数。
2. 求平方根时，如果不要求精确值，可以使用近似值进行计算。
3. 在运算中，要注意平方根的运算法则，以避免出现错误的结果。
以上是初三数学平方根的知识点汇总，希望对您有所帮助！。
初中平方根知识讲解
平方根知识点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a，读作“a 的算术平方根”，a 叫做被开方数.要点诠释：a≥0，a ≥0.2.平方根的定义如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0)的平方根的符号表达为0)a ≥a 的算术平方根.知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点三、平方根的性质0||000a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20a a =≥知识点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.250=25=2.5=0.25=.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（ ）A.5是25的算术平方根B.l 是l 的一个平方根C.()24-的平方根是－4D.0的平方根与算术平方根都是0举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）9-没有平方根．（ ）（24=±．（ ）（3）21()10-的平方根是110±．（ ） （4）25--是425的算术平方根．（ ） 2、 填空：（1）4-是 的负平方根．（2表示 的算术平方根，= ．（3的算术平方根为 ．（43=，则x = ，若3=，则x = ．举一反三：【变式1】下列说法中正确的有（ ）：①3是9的平方根． ② 9的平方根是3．③4是8的正的平方根．④ 8-是64的负的平方根．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式2】求下列各式的值：（1） （2（3（43x 的取值范围是______________．类型二、利用平方根解方程4、求下列各式中的x .（1）23610;x -= （2）()21289x +=； （3）()2932640x +-= 类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？类型一、平方根和算术平方根的概念1、若2m －4与3m －1是同一个正数的两个平方根，求m 的值．举一反三：【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值.类型二、平方根的运算3、求下列各式的值．-类型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的x . （1）23610;x -= （2）()21289x +=； （3）()2932640x +-= 举一反三：【变式】求下列等式中的x ：（1）若2 1.21x =，则x ＝______； （2）2169x =，则x ＝______；（3）若29,4x =则x ＝______； （4）若()222x =-，则x ＝______． 类型四、平方根的综合应用5、已知a 、b |0b -=，解关于x 的方程2(2)1a x b a ++=-．举一反三：0=，求20112012x y +的值．。
(完整版)八年级下册数学--二次根式知识点整理
二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。
如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。
不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。
如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。
如25 可以写作 5 。
（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。
其中a≥0是 a 有意义的前提条件。
（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。
（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。
要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。
练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。
二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。
（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。
八年级数学上册平方根
八年级数学上册平方根一、平方根的定义。
1. 概念。
- 如果一个数x的平方等于a，即x^2=a，那么这个数x叫做a的平方根（也叫做二次方根）。
例如，因为(±2)^2 = 4，所以±2是4的平方根。
2. 表示方法。
- 正数a的平方根记为±√(a)，读作“正负根号a”。
其中√(a)表示a的正平方根（又叫算术平方根），-√(a)表示a的负平方根。
例如，9的平方根表示为±√(9)=±3。
二、平方根的性质。
1. 正数的平方根。
- 一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
例如16的平方根是±4，4和-4互为相反数。
2. 0的平方根。
- 0的平方根是0，因为0^2=0。
3. 负数的平方根。
- 在实数范围内，负数没有平方根。
因为任何实数的平方都是非负数，例如-4没有平方根，因为不存在一个实数x，使得x^2=-4。
三、求平方根的运算。
1. 利用定义求平方根。
- 对于简单的数，可根据平方根的定义来求。
例如求25的平方根，因为(±5)^2=25，所以25的平方根是±5。
2. 利用计算器求平方根（拓展）- 对于一些比较复杂的数，如√(2)≈1.414，√(3)≈1.732等，可以使用计算器来求其近似值。
在计算器上一般先输入被开方数，然后按平方根键（√()）即可得到其算术平方根的值，再添上正负号得到平方根。
四、平方根在实际问题中的应用。
1. 几何问题中的应用。
- 例如，已知正方形的面积为S，求正方形的边长a。
根据正方形面积公式S = a^2，那么a=√(S)（因为边长不能为负，所以取算术平方根）。
如果正方形面积S = 36平方厘米，那么边长a=√(36) = 6厘米。
2. 物理等其他学科中的应用（拓展）- 在物理中，例如根据自由落体公式h=(1)/(2)gt^2（h是下落高度，g是重力加速度，t是下落时间），如果已知h和g，求t时，t=√(frac{2h){g}}，这里就用到了平方根的运算。
(完整)平方根和开平方(基础)知识讲解
平方根和开平方（基础)【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1。
平方根的定义如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根。
求一个数a 的平方根的运算,叫做开平方。
a 叫做被开方数。
平方与开平方互为逆运算。
2.算术平方根的定义正数a 的两个平方根可以用“a ±”表示，其中a 表示a 的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号a ”；a -表示a 的负平方根，读作“负根号a ”.要点诠释：当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数，即a ≥0，a ≥0。
要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同:a ±和a2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2)被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．(2）正数的两个平方根互为相反数,根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根。
要点三、平方根的性质20||000a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩ ()()20a a a =≥要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位,它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位。
例如：62500250=,62525=， 6.25 2.5=，0.06250.25=.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（ ）A.5是25的算术平方根B.l 是l 的一个平方根C 。
()24-的平方根是－4 D.0的平方根与算术平方根都是0【答案】C;【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．A 。
七年级数学下册【平方根】知识点
七年级数学下册【平方根】知识点1、平方根（1）平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根．即：如果x2=a，那么x叫做a的平方根．（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。
（3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3（4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算；0的平方根是0.（5）符号：正数a的正的平方根可用表示，也是a的算术平方根；正数a的负的平方根可用-表示．（6）<—>a是x的平方 x的平方是ax是a的平方根 a的平方根是x2、算术平方根（1）算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式(x≥0)中，规定x=。
（2）的结果有两种情况：当a是完全平方数时，是一个有限数；当a不是一个完全平方数时，是一个无限不循环小数。
（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。
（4）夹值法及估计一个（无理）数的大小（5）(x≥0)<—>a是x的平方x的平方是ax是a的算术平方根 a的算术平方根是x（6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
（7）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
平方根知识点
平方根知识点平方根是数学中常见的一个概念，它指的是一个数的平方根是另一个数的平方。
平方根经常在数学、物理、工程等领域中使用，在实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍平方根的定义、性质以及计算方法，帮助读者更好地理解和应用平方根知识点。
一、平方根的定义平方根是指一个数的平方等于另一个数的非负数根。
对于一个非负数x，如果存在一个非负数y，使得y的平方等于x，那么y就是x的平方根。
平方根通常用符号√来表示，例如√4=2，表示4的平方根为2。
二、平方根的性质1. 非负数的平方根为非负数。
由于平方根是一个非负数的非负数根，所以一个非负数的平方根一定是非负数。
2. 负数没有实数平方根。
由于平方根是非负数的非负数根，所以负数没有实数平方根。
例如，-4没有实数平方根。
3. 平方根的乘积等于被开方的数。
如果a和b都是非负数，那么√a * √b = √(a * b)。
这个性质可以用来简化复杂的平方根运算。
4. 平方根的和差是两个数的平方根和差。
如果a和b都是非负数，那么√a + √b ≠ √(a + b)，√a - √b ≠ √(a - b)。
平方根的和差并不能简化为一个更简单的形式。
5. 平方根的次方等于被开方数的次方除以指数。
如果a是非负数，n是一个正整数，那么(√a)^n = a^(1/n)。
这个性质可以用来计算较大数的平方根。
三、平方根的计算方法1. 通过负指数运算。
例如，√x可以写成x^(1/2)的形式。
2. 通过近似方法。
如果一个数的平方根不能通过简单的数学运算得到，可以通过近似方法来计算。
常见的近似方法有牛顿迭代法和二分法。
3. 通过计算器或计算软件。
现代科技使得平方根的计算变得更加便捷，我们可以利用计算器或计算软件来计算平方根。
四、平方根的应用平方根在数学、物理、工程等领域中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：1. 几何学中，平方根被用于计算直角三角形的斜边长度。
根据勾股定理，直角三角形的斜边长度等于两个直角边的平方和的平方根。
平方根课程讲解
平方根课程讲解平方根是数学中非常重要的概念之一，它广泛应用于各个领域。
本文将详细讲解平方根的概念、性质以及计算方法，帮助读者更好地理解并掌握平方根的知识。
一、平方根的概念平方根是一个数的非负实数解，使得它的平方等于给定的数。
例如，数a的平方根表示为√a，满足√a × √a = a。
对于非负实数a，平方根可以是正数或零。
二、平方根的性质1. 非负实数的平方根是非负实数。
2. 非负实数的平方根存在唯一性，即每个非负实数都有唯一的平方根。
3. 如果一个数的平方根为正数，那么它的相反数也有平方根，且与正数的平方根模值相等，但符号相反。
三、平方根的计算方法平方根的计算可以通过近似方法和精确方法两种方式进行。
1. 近似方法近似方法主要有试探法和牛顿迭代法。
- 试探法是通过试探不同的数来逼近给定数的平方根，通过逐步调整试探数的大小来逼近平方根的值。
- 牛顿迭代法是利用函数的局部线性近似与零点的不动点迭代逼近的方法，通过不断迭代来逼近平方根的值。
2. 精确方法精确方法主要有化简法和公式法。
- 化简法是通过对给定数的因式分解，将平方根转化为不含平方根的表达式，从而得到精确的平方根值。
- 公式法是利用已知的特殊平方根公式，如勾股定理、三角函数等，通过运用相应的公式计算平方根的值。
综上所述，平方根是一个数学中重要且实用的概念。
它的概念、性质和计算方法是我们学习和应用平方根知识的基础。
通过掌握平方根的概念和相关计算方法，我们可以更好地解决实际问题，并在数学领域中有更深入的认识和应用。
在实际应用中，平方根广泛用于几何学、物理学、工程学等领域。
例如，在几何学中，平方根可以用于计算图形的边长、面积和体积；在物理学中，平方根可以用于计算速度、加速度等物理量。
因此，掌握平方根的概念和计算方法对我们的学习和应用具有重要意义。
总之，平方根是数学中的一个重要概念，它具有丰富的性质和多种计算方法。
通过本文的讲解，希望读者能够更好地理解和掌握平方根的知识，从而提升数学素养和解决实际问题的能力。
初中数学知识归纳平方根和立方根的计算
初中数学知识归纳平方根和立方根的计算初中数学知识归纳：平方根和立方根的计算在初中数学中，平方根和立方根是重要的概念。
它们的计算方法在解决数学问题和实际应用中都发挥着重要作用。
本文将介绍平方根和立方根的定义、计算方法以及相关的性质。
一、平方根的计算平方根是一个数的平方的逆运算。
给定一个非负实数a，若存在一个非负实数x，使得x的平方等于a，则x称为a的平方根，记为√a。
计算平方根有多种方法，其中常用的有因数分解法和倒数开方法。
1.1 因数分解法对于一个非负整数a，可以将它分解为两个因数的乘积，其中两个因数相同，即a = b * b。
那么b就是a的平方根。
例如，对于16，可以将其分解为4 * 4，因此√16=4。
这种方法适用于分解出的因数较小且易于计算的情况。
1.2 倒数开方法倒数开方法是一种近似计算方法，可以使用平方根表格或计算器进行操作。
对于一个非负实数a，首先将其化简为正的科学计数法形式，得到a = m * 10^n，其中1≤ m < 10。
然后，根据表格或计算器的指令查找m的平方根，记为b。
最后，将得到的b乘以10的n/2次方，即可得到a的近似平方根。
例如，对于225，化简为2.25 * 10^2，查表或计算器得到2的平方根为1.414，再乘以10^(2/2)=10，得到近似平方根为14.14。
这种方法适合于找到精确的平方根有困难的情况。
二、立方根的计算立方根是一个数的立方的逆运算。
给定一个实数a，若存在一个实数x，使得x的立方等于a，则x称为a的立方根，记为³√a。
计算立方根的方法与计算平方根的方法类似，可以应用因数分解法或倒数开方法。
2.1 因数分解法对于一个实数a，可以将其分解为两个因数的乘积，其中两个因数相同，即a = b * b * b。
那么b就是a的立方根。
例如，对于8，可以将其分解为2 * 2 * 2，因此³√8=2。
这种方法适用于分解出的因数较小且易于计算的情况。
初中数学知识点精讲精析 平方根知识讲解
13·1 平方根要点精讲1. 平方根的概念（1）如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根．即：x 2＝a ，x 叫a 的平方根．（2）数a （a ≥0）的平方根记作±a ，读作“正负根号下a ”，其中a 表示a 的正的平方根，－a 表示a 的负的平方根；“a ”实际上省略了2a 中的2，2叫做根指数，a 叫做被开方数．2. 平方根的性质（1）正数有两个平方根，它们互为相反数．（2）0的平方根只有一个，还是0．（3）负数没有平方根．3. 算术平方根一个正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，0的算术平方根还是0．（1）算术平方根的定义表明，只要是非负数就一定有算术平方根．（2）算术平方根是平方根的一种．（3）非负数的算术平方根还是非负数．a (a ≥0)， a ≥0常见的非负数的类型：︱a ︱，a 2，a (a ≥0)注：（1）要加强对平方根和算术平方根概念的理解，进一步明确非负数a 的算术平方根是a ，而平方根是±a ．（2）计算化简时要谨慎细心，如求81的平方根，需先算出81＝9，求81的平方根就是求9的平方根，而不是求81的平方根．（3）真正领会负数没有平方根．典型例题例1.求下列各数的平方根和算术平方根（1）12149（2）0.0081 （3）(－45)2 （4）14解析：（1）平方根是：±117，算术平方根是：117（2）平方根是：±0.09，算术平方根是：0.09（3）平方根是：±45，算术平方根是：45（4）平方根是：±14，算术平方根是：14例2.求下列各式中的x ．（1）9x 2－256＝0（2）4(2x －1)2＝25解析：（1）x 2＝2569，x ＝±163（2）把2x －1作为一个整体，则2x －1＝±52．当2x －1＝52时，x ＝74；当2x －1＝－52时，x ＝－344. ∵（1－2a ）2≥0，b －2≥0，又（1－2a ）2＋b －2＝0，∴（1－2a ）2＝0，b －2＝0，∴1－2a ＝0，b －2＝0，∴a ＝12，b ＝2，∴ab ＝1．例3.如果一个正数的平方根是a ＋3和2a －15，求a 的值和这个正数．分析：由平方根的意义可知a ＋3和2a －15互为相反数，故有a ＋3＋（2a －15）＝0，从而可以解得a ，进而求出这个正数．解：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以（a ＋3）＋（2a －15）＝0，解得a ＝4．当a ＝4时，a ＋3＝7，2a －15＝－7．即这个正数的平方根分别是＋7和－7，所以原数为49．评析：解决本题的关键是利用一个正数的平方根是互为相反数的关系得到a 的一元一次方程，解方程求出a 的值，从而求出这个正数．例4.在交通事故的处理中，警察往往用公式v ＝16df 来判断该车辆是否超速，其中v 表示车速（单位：千米/时），d 表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f 表示摩擦系数.某日，在一段限速60千米/时的公路上，发生了一起两车追尾事故，警察赶到后经过测量，得出其中一辆车的d ＝18，f ＝2. 请问：该车超速了吗？分析：运用公式，求出该车的速度，再与60千米/时进行比较，看是否超速便可解决. 解：把d ＝18，f ＝2代入公式v ＝16df 得v ＝1618×2＝16×6＝96（千米/时）.而96＞60，所以该车超速了.评析：平方根和立方根的知识在实际生活中应用非常广泛，因此数的发展与现实需要密不可分.例5.求下列各式中的x 的值．（1）x 2－676＝0；（2）9（3x ＋1）2＝64．分析：这是一道求平方根的题目．（1）x 2－676＝0可化为x 2＝676，x 的值就是676的平方根．（2）可将3x ＋1看作一个整体来解，即（3x ＋1）2＝649，所以3x ＋1是649的平方根，从而可求出x ．解：（1）∵x 2－676＝0，∴x 2＝676．∴x ＝±676＝±26．（2）∵9（3x ＋1）2＝64，∴（3x ＋1）2＝649，∴3x ＋1＝±649＝±83， 当3x ＋1＝83时，x ＝59； 当3x ＋1＝－83时，x ＝－119． 评析：解带有平方的方程时，首先应将方程化为一边是完全平方，另一边是一个非负数的形式，然后两边同时开平方，开方时一定要注意不要漏掉负的平方根，同时根据题目的特点，本题利用了一个重要的数学思想——整体思想．例6.对于题目：“化简并求值：1a ＋(1a －a )2，其中a ＝15”，甲、乙两人的解答不同． 甲的解答是：1a ＋(1a －a )2＝1a ＋1a －a ＝2a －a ＝495， 乙的解答是：1a ＋(1a －a )2＝1a ＋a －1a ＝a ＝15． 阅读后你认为谁的解答是错误的？为什么？分析：将a ＝15代入便知谁的解答正确． 解：乙的解答是错误的，因为当a ＝15时，1a＝5． a －1a ＝15－5＜0，所以(1a －a )2≠a －1a ，而应是(1a －a )2＝1a－A. 评析：在化简a 2时，一定要注意a 的符号，并且根据算术平方根的意义，a 2的结果应为非负数．例7.利用计算器计算： …，0.0625，0.625， 6.25，62.5，625，6250，62500，…计算后，分析结果，你发现了什么规律？分析：可分析开方前和开方后小数点的变化规律．解：用计算器计算结果如下：…，0.25，0.7906，2.5，7.906，25，79.06，250，…分析计算结果可以发现：被开方数的小数点每向右（左）移动两位，算术平方根的小数点相应地向右（左）移动一位．评析：可利用开平方时小数点的这一变化规律对一些数开平方．。
初中数学知识归纳根号的性质与计算
初中数学知识归纳根号的性质与计算初中数学知识归纳：根号的性质与计算根号在初中数学中是一个常见的数学符号，它代表着数的正平方根。
在学习数学的过程中，理解和掌握根号的性质与计算方法是非常重要的。
本文将为大家详细介绍根号的性质和计算方法，帮助初中生更好地掌握数学知识，提高解题能力。
一、根号的性质1. 根号的定义：对于一个非负数a，如果存在一个非负数b，使得b的平方等于a，那么b就是a的平方根，记作b=√a，其中√称为根号。
2. 平方根性质：正平方数的平方根是正整数，负数没有实数平方根。
3. 根号的运算规律：a和b是非负数，则有如下运算规律：(1) √(a×b) = √a × √b(2) √(a/b) = √a / √b(3) √(a^2) = |a|二、根号的计算1. 根号的开方计算：开方是根号的一种计算方法，根号下面的数字称为被开方数，开方后的结果称为根号内的值。
例如：(1) √25 = 5，因为5的平方等于25。
(2) √36 = 6，因为6的平方等于36。
2. 根号的化简：当被开方数可以被某个数的平方整除时，可以对根号进行化简。
例如：(1) √64 = 8，因为8的平方等于64。
(2) √100 = 10，因为10的平方等于100。
(3) √27不能化简，因为27不能被任何整数的平方整除。
3. 根号的近似计算：当被开方数不是完全平方数时，可以使用近似计算的方法求得根号的值。
例如：(1) √2 ≈ 1.41(2) √3 ≈ 1.734. 根号的四则运算：根号可以进行加、减、乘、除的四则运算，运算时将根号内的值进行相应的计算。
例如：(1) √9 + √16 = 3 + 4 = 7(2) √25 - √16 = 5 - 4 = 1(3) √9 × √4 = 3 × 2 = 6(4) √16 ÷ √4 = 4 ÷ 2 = 2三、根号的应用1. 根号在几何中的应用：根号可以用于计算几何图形的边长、面积和体积等。
平方根知识点总结框架
平方根知识点总结框架一、引言- 简要介绍平方根概念和其应用领域- 引出本文的框架和目的二、平方根基础知识1. 定义- 正数的平方根定义- 负数的平方根定义2. 符号表示- 平方根符号的表示：√- 平方根的数学表达式3. 运算法则- 平方根的运算法则- 平方根与指数的关系三、平方根的计算方法1. 直接开方- 整数的平方根计算- 分数的平方根计算2. 估算求解- 估算求解平方根的方法3. 牛顿迭代法- 平方根的牛顿迭代法求解过程- 牛顿迭代法的应用和优缺点4. 算术平方根与几何平方根之间的关系四、平方根的性质1. 性质总述- 平方根的基本性质概述2. 奇偶性- 平方根的奇偶性质3. 有理数性质- 有理数的平方根性质4. 无理数性质- 无理数的平方根性质5. 平方根与基本运算的关系- 平方根与加减乘除的关系6. 平方根的大小比较- 平方根的大小比较性质五、平方根与实际问题1. 实际问题建模- 平方根在实际问题中的建模方法2. 平方根在几何中的应用- 平方根在三角形、正方形等几何图形中的应用3. 平方根在物理中的应用- 平方根在物理学领域中的应用案例4. 平方根在工程中的应用- 平方根在工程领域中的应用案例六、平方根的推广1. n次方根- n次方根的定义和性质2. 平方根的扩展- 平方根的推广及其意义3. 复数平方根- 复数平方根的定义和性质七、平方根领域的发展与应用1. 历史发展- 平方根概念的历史渊源2. 现代应用- 平方根在现代科学技术领域的应用案例3. 未来展望- 平方根在未来领域的发展前景八、结语- 总结平方根的基本知识点- 展望平方根在未来的发展和应用前景。
平方根知识点总结讲义
平方根知识点总结讲义平方根是数学中非常重要的概念，我们经常在各种计算和解题中都会用到。
以下是平方根的相关知识点总结：1.平方根的定义：平方根是指一个数的平方等于该数的非负实数解。
对于正数a，它的平方根记作√a。
2.平方根的性质：a)平方根的平方等于它本身，即(√a)^2=a。
b)任意正数的平方根是唯一的。
但是对于负数，它的平方根是虚数。
c) 平方根满足乘法的可交换性，即√(ab) = √a * √b。
3.平方根的运算法则：a) 平方根的和差：√a ± √b = √(a ± 2√ab + b)。
b)平方根的积除：√(a/b)=√a/√b。
c)乘法公式：(a±b)*(a∓b)=a^2-b^2、利用该公式，我们可以进行平方根的乘法运算。
4.求平方根的方法：a)通过查表或使用计算器可以求得近似值。
b)使用二分法逼近平方根的精确值。
c)使用牛顿迭代法来计算平方根的近似值。
5.特殊平方根值：a)2的平方根是无理数，它的近似值约为1.414b)3的平方根也是无理数，它的近似值约为1.7326.平方根的应用：a)平方根可以用于计算直角三角形的边长。
例如，根据毕达哥拉斯定理，两条边长分别为a和b的直角三角形的斜边长c可以通过√(a^2+b^2)来计算。
b)平方根在统计学中经常用到，例如计算标准差和方差等。
c)平方根还可以用于解决一些数论问题和代数方程等。
总结起来，平方根是数学中极为重要的概念之一、了解平方根的定义、性质和运算法则，掌握求解平方根的方法，以及理解平方根的应用，对于解决实际问题和提高数学能力都非常有帮助。
七年级数学算术平方根知识点
七年级数学算术平方根知识点一、算术平方根的定义。
1. 正数的情况。
- 如果一个正数x的平方等于a，即x^2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
记作√(a)，读作“根号a”，a叫做被开方数。
例如，因为3^2 = 9，所以3是9的算术平方根，记作√(9)=3。
2. 特殊规定。
- 0的算术平方根是0，因为0^2=0，即√(0) = 0。
二、算术平方根的性质。
1. 双重非负性。
- 被开方数a≥slant0，因为任何数的平方都是非负数，所以在x^2=a中，a必须是非负的。
- 算术平方根√(a)≥slant0，算术平方根表示的是一个正数或者0。
例如，√(4)=2，√(0)=0，不存在√(- 4)（在实数范围内）。
2. 唯一性。
- 正数a的算术平方根是唯一的。
例如，9的算术平方根只有3，不会有其他正数满足其算术平方根的定义。
三、算术平方根的计算。
1. 完全平方数的算术平方根。
- 对于一些完全平方数，我们可以直接得出其算术平方根。
例如，16是完全平方数，因为4^2=16，所以√(16)=4；25是完全平方数，√(25) = 5（因为5^2=25）。
2. 非完全平方数的算术平方根。
- 对于非完全平方数，我们可以通过估算或者使用计算器来求其近似值。
例如，√(7)，因为4<7<9，所以√(4)<√(7)<√(9)，即2 <√(7)<3。
如果使用计算器，√(7)≈2.646（保留三位小数）。
四、算术平方根与平方根的关系。
1. 联系。
- 平方根包含算术平方根。
正数a有两个平方根，记作±√(a)，其中正的平方根就是它的算术平方根√(a)。
例如，9的平方根是±3，其中3是9的算术平方根。
2. 区别。
- 算术平方根是一个非负的数，而平方根有两个，一正一负（0的平方根是0）。
例如，16的算术平方根是4，而16的平方根是±4。
初二上册数学《平方根》知识点
初二上册数学《平方根》知识点《平方根》是初中数学中的重要知识点之一，它是解决一元二次方程、勾股定理、正方形和正方体的表面积等问题的基础。
本文将详细介绍《平方根》的相关概念、性质和解题方法。
一、平方根的定义平方根是指一个数的平方等于该数的非负实数解。
其中，平方根后面的方括号[]表示正平方根的意思。
例如，若a²=b，则称b为a的平方根。
若a²=b²，则称b为a的绝对值。
二、平方根的性质1.非负数的平方根是非负数。
2.负数没有实数平方根，但可以有虚数平方根。
例如，-1的平方根为i（虚数单位）。
3.平方根具有唯一性。
正数的平方根只有一个值，且为正数；负数的平方根只有一个值，且为虚数。
三、平方根的运算法则1.两个平方数的积的平方根等于这两个数的平方根的乘积。
即√(a*b)=√a*√b。
2.两个平方数的商的平方根等于这两个数的平方根的比值。
即√(a/b)=√a/√b。
3.任意一个非负实数的平方根都可以写成一个非负实数的平方根与i （虚数单位）的乘积形式。
即√a=√（a*k²）=k*√a。
四、平方根的求解方法1.直观法：通过检验其中一数的平方与所求的值相近程度来估算。
例如，√3≈1.73，因为1.73²≈32.质数因子分解法：将数分解为质数的乘积，然后提取平方根。
例如，√48=√(2²*2*2*3)=2√33.倒数法：根据倒数的性质，将数分解为两个因数，其中一个因数的平方是已知的。
例如，√0.04=0.24.计算器使用法：利用计算器的平方根功能求得结果。
这种方法简便且精确。
五、平方根的应用1.解一元二次方程：通过求解一元二次方程的平方根来获得方程的解。
例如，对于方程x²+4x+3=0，可通过求解√(4²-4*3)来获得方程的解。
2.求直角三角形的边长：根据勾股定理，直角三角形的斜边等于两直角边的平方和的平方根。
例如，若直角边分别为3和4，则斜边为√(3²+4²)=53.求正方形和正方体的面积：正方形的面积等于边长的平方，正方体的表面积等于一个面的面积乘以6、例如，正方形的面积为a²，正方体的表面积为6a²。
八年级数学第二章平方根立方根
第二章 第一节 平方根【知识要点】1、平方根一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根）。
①一个正数有两个平方根，它们互为相反数； ②0只有一个平方根是0； ③负数没有平方根。
2、算术平方根一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为“a ”，读作“根号a ”。
特别地，我们规定0的算术平方根是0，即00=。
3、开平方求一个数a 的平方根的运算叫做开平方，其中a 叫做被开方数，a 必须为非负数，即a 有意义的条件是a ≥0。
4、开平方与平方的关系：互为逆运算。
5、a （a ≥0）的非负性，即一个非负数的算术平方根仍为非负数。
6、形如()()⎩⎨⎧<-≥==002a a a a a a【典型例题】例1-1、求下列各数的算术平方根、平方根。
①259； ②64； ④0.09； ⑤49151； ⑥0。
例1-2、求下列各数的算术平方根、平方根： ①3625； ③0.0036； ④2563； ⑤81；例2、填空：（1）23= ； （2）()231-= ；（5）210= ； （6）()2101-= ；（9）对于任意数x ，2x = ；例3、求适合下列各式中未知数的值：（1）()0064252<=-x x （2）()4912=+x（3）()()3252100-=--x（4）13=x例4、已知355+-+-=x x y ；求x+y 的值。
例5、已知()02132=++-+-z y x ，求xyz 的值。
例6、x 为何值时，x x +-1有意义。
例7、已知12-a 的平方根是3±，13-+b a 的平方根是4±，求b a 2+的平方根。
例8、小明家最近刚购买一套新房，他要在客厅铺花岗岩地面，客厅面积为232m ，他要用50块正方形的花岗岩。
请你帮助小明计算一下，他在购买多少米的花岗岩地砖？【随堂练习】一、选择题：1．一个数的平方根是它本身，那么这个数是（ ）。
七年级根号知识点
七年级根号知识点在初中数学教学中，根号（√）是一个很重要的知识点。
在七年级阶段，学生需要掌握根号的含义、运算、化简等基本知识。
本文将详细介绍七年级根号知识点，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
一、根号的含义根号表示一个数的正平方根，例如√9=3，意思是3是一个数的正平方根，3的平方等于9。
在初中数学中，根号表示的是非负实数，即√a≥0。
二、根号的运算1.乘法运算当两个数都有根号时，可以先化简再运算，例如√2×√3=√6。
如果根号中有相同的数，则可以直接运算，例如√2×√2=2。
2.除法运算当根号的分母为1时，可以将分母去掉，例如√8÷√2=√4=2。
如果分母不为1，则可以将分子分母乘以分母的共轭数，例如(3+√2)÷(2-√2)=3√2+2。
3.加减运算当相同根号之间进行加减运算时，可以将根号外面的系数相加减，例如√3+√3=2√3。
如果根号内的数不同，则不能直接化简，例如√3+√2。
三、根号的化简根号的化简是指将根号中的数写成两个数的积的形式，例如√18=√9×√2=3√2。
当根号内部有完全平方数时，可以直接化简，例如√36=6。
四、根号方程根号方程是指方程中含有根号的方程，例如√x+2=4。
解根号方程的基本思路是，将根号或者分母移到一个方程的一边，然后两边平方，最后解方程得出结果。
五、根号在几何中的应用根号在几何中的应用非常广泛，例如勾股定理就是一个根号定理，即直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边平方。
另外，在面积计算中，根号也经常出现，例如矩形的面积为长乘宽，而正方形的面积可以表示为边长的平方，这些都需要涉及到根号的计算。
综上所述，根号是初中数学中的重要知识点之一，学生需要掌握根号的含义、运算、化简和方程解法等基本知识，以及根号在几何中的应用。
希望本文能够帮助学生更好地理解和掌握七年级根号知识点，为后续学习奠定坚实的基础。
平方根与立方根知识点总结
平方根与立方根知识点总结一、平方根1、定义如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a 的平方根。
也就是说，若 x²＝ a，则 x 叫做 a 的平方根。
例如，因为 3²＝ 9，所以 3 是 9 的平方根；又因为（－3)²＝ 9，所以－3 也是 9 的平方根。
2、表示方法一个正数 a 的平方根记作“±√a”，读作“正、负根号a”。
其中，“√”称为根号，a 称为被开方数。
例如，9 的平方根记作±√9 ＝ ±3。
3、性质（1）正数有两个平方根，它们互为相反数。
比如 4 的平方根是 ±2，2 和－2 互为相反数。
（2）0 的平方根是 0。
（3）负数没有平方根。
这是因为任何数的平方都是非负数，所以负数不存在平方根。
4、开平方求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。
开平方与平方互为逆运算。
例如，求 25 的平方根，就是求哪个数的平方等于 25，即±√25 ＝ ±5。
5、算术平方根正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作√a。
例如，9 的算术平方根是 3，即√9 ＝ 3。
算术平方根具有以下性质：（1）算术平方根具有非负性，即√a ≥ 0（a ≥ 0）。
（2）被开方数 a 也是非负的，即a ≥ 0。
二、立方根1、定义如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根。
即若 x³＝a，则 x 叫做 a 的立方根。
例如，因为 2³＝ 8，所以 2 是 8 的立方根；因为（－2)³＝－8，所以－2 是－8 的立方根。
2、表示方法数 a 的立方根记作“³√a”，读作“三次根号a”。
例如，8 的立方根记作³√8 ＝ 2。
3、性质（1）正数的立方根是正数。
比如 27 的立方根是 3，因为 3³＝ 27。
（2）负数的立方根是负数。
例如，－27 的立方根是－3，因为（－3)³＝－27。
初中数学知识点精讲精析 平方根 (3)
2·2 平方根1. 平方根的概念（1）如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根．即：x 2＝a ，x 叫a 的平方根．（2）数a （a ≥0）的平方根记作±a ，读作“正负根号下a ”，其中a 表示a 的正的平方根，－a 表示a 的负的平方根；“a ”实际上省略了2a 中的2，2叫做根指数，a 叫做被开方数．2. 平方根的性质（1）正数有两个平方根，它们互为相反数．（2）0的平方根只有一个，还是0．（3）负数没有平方根．3. 算术平方根一个正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，0的算术平方根还是0．（1）算术平方根的定义表明，只要是非负数就一定有算术平方根．（2）算术平方根是平方根的一种． （3）非负数的算术平方根还是非负数．a (a ≥0)， a ≥0常见的非负数的类型：︱a ︱，a 2，a (a ≥0) 注：（1）要加强对平方根和算术平方根概念的理解，进一步明确非负数a 的算术平方根是a ，而平方根是±a ．（2）计算化简时要谨慎细心，如求81的平方根，需先算出81＝9，求81的平方根就是求9的平方根，而不是求81的平方根．（3）真正领会负数没有平方根．例1.求下列各数的平方根和算术平方根（1）12149 （2）0.0081（3）(－45)2 （4）14解析：（1）平方根是：±117，算术平方根是：117（2）平方根是：±0.09，算术平方根是：0.09（3）平方根是：±45，算术平方根是：45（4）平方根是：±14，算术平方根是：14例2. 的电阻为15欧，现测得该用电器的功率为1500瓦，求该用电器两端的电压是多少伏？解：即该用电器两端的电压是150伏.例3.求下列各式中的x ．（1）9x 2－256＝0（2）4(2x －1)2＝25解析：（1）x 2＝2569，x ＝±163（2）把2x －1作为一个整体，则2x －1＝±52．当2x －1＝52时，x ＝74；当2x －1＝－52时，x ＝－34. 用电器的电阻，功率与它两端的电压之间有关系，有一电器R P U P U R =2将欧，瓦代入公式，得：R P P U R ===15150021500152=U U 222500=∴伏U =150()。
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平方根（基础）【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】知识点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a ，读作“a 的算术平方根”，a 叫做被开方数.要点诠释：a ≥0，a ≥0.2.平方根的定义如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0)的平方根的符号表达为0)a ≥a 的算术平方根.知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点三、平方根的性质知识点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.250=25= 2.5=0.25=.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（ ）A.5是25的算术平方根B.l 是l 的一个平方根C.()24-的平方根是－4D.0的平方根与算术平方根都是0【答案】C ；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．A.＝5，所以本说法正确；B.1，所以l 是l 的一个平方根说法正确；C.4，所以本说法错误；D.因为＝0＝0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题．举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）9-没有平方根．（ ）（24=±．（ ）（3）21()10-的平方根是110±．（ ） （4）25--是425的算术平方根．（ ） 【答案】√ ；×； √； ×，提示：（24=；（4）25是425的算术平方根．2、 填空： （1）4-是 的负平方根．（2表示 的算术平方根，= ．（3的算术平方根为 ．（43=，则x = ，若3=，则x = ．【思路点拨】（3181的算术平方根＝19，此题求的是19的算术平方根. 【答案与解析】(1)16；(2)11;164 (3)13(4) 9；±3 【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.举一反三：【变式1】下列说法中正确的有（ ）：①3是9的平方根． ② 9的平方根是3．③4是8的正的平方根．④ 8-是64的负的平方根．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B ；提示：①④是正确的.【变式2】求下列各式的值：（1） （2（3（4【答案】（1）15；（2）15；（3）－0.3；（4）6553x 的取值范围是______________．【答案】x ≥1-；【解析】x ＋1≥0，解得x ≥1-.【总结升华】有意义时，a 0，a ≥0.举一反三：【变式】代数式y ＝3-x 有意义，则x 的取值范围是 ．【答案】3x ≥.类型二、利用平方根解方程4、求下列各式中的x .（1）23610;x -= （2）()21289x +=； （3）()2932640x +-= 【思路点拨】表面上看本题是一元二次方程，但是本题可以通过开平方的方法（2）小题将()1x +看作一个整体，（3）小题将()32x +看作一个整体，求出它们的解后，再求x .【答案与解析】解：（1）∵23610x -= ∴2361x = ∴19x ==±（2）∵()21289x += ∴1x += ∴x ＋1＝±17 x ＝16或x ＝－18.（3）∵()2932640x +-= ∴()264329x += ∴8323x +=± ∴21499x x ==-或 【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度.类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？【答案与解析】解：设宽为x ，长为3x ，由题意得，x ·3x ＝132332x ＝1323x ＝－21(舍去)答：长为63米，宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.（提高）【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、若2m －4与3m －1是同一个正数的两个平方根，求m 的值．【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m －4＝－（3m －1），解方程即可求解．【答案与解析】解：依题意得 2m －4＝－（3m －1），解得m ＝1；∴m 的值为1．【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．举一反三：【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值.【答案】2a －1与－a ＋2是m 的平方根，所以2a －1与－a ＋2相等或互为相反数.解：①当2a －1＝－a ＋2时，a ＝1，所以m ＝()()22212111a -=⨯-=②当2a －1＋（－a ＋2）＝0时，a ＝－1，所以()()22221[2(1)1]39a -=⨯--=-=2、x 为何值时，下列各式有意义？． 【答案与解析】解：(1)因为20x ≥，所以当x(2)由题意可知：40x -≥，所以4x ≥(3)由题意可知：1010x x +≥⎧⎨-≥⎩解得：11x -≤≤．所以11x -≤≤(4)由题意可知：1030x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥且3x ≠．所以当1x ≥且3x ≠时，3x -有意义． 【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义．举一反三：【变式】已知2b =，求11a b+的算术平方根．【答案】解：根据题意，得320,230.a a -≥⎧⎨-≥⎩则23a =，所以b ＝2， ∴1131222a b +=+=，∴11a b+= 类型二、平方根的运算3、求下列各式的值．2234+； 【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序. 【答案与解析】解：2234+257535==⨯=；110.63035=⨯-⨯90.26 1.72=--=-． 【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先后顺序进行．(2)(0)a a =>来解． 类型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的x .（1）23610;x -= （2）()21289x +=； （3）()2932640x +-= 【答案与解析】解：（1）∵23610x -= ∴2361x = ∴19x ==±（2）∵()21289x += ∴1x += ∴x ＋1＝±17 x ＝16或x ＝－18.（3）∵()2932640x +-= ∴()264329x += ∴8323x +=± ∴21499x x ==-或 【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度.举一反三：【变式】求下列等式中的x ：（1）若2 1.21x =，则x ＝______； （2）2169x =，则x ＝______； （3）若29,4x =则x ＝______； （4）若()222x =-，则x ＝______． 【答案】（1）±1.1；（2）±13；（3）32±；（4）±2. 类型四、平方根的综合应用5、已知a 、b |0b =，解关于x 的方程2(2)1a x b a ++=-．【答案与解析】解：∵a 、b |0b =0≥，|0b ≥，∴260a +=，0b =．∴a =－3，b =把a =－3，b =2(2)1a x b a ++=-，得－x ＋2＝－4，∴x ＝6．【总结升华】本题是非负数的性质与方程的知识相结合的一道题，应先求出a 、b 的值，再解方程．此类题主要是考查完全平方式、算术平方根、绝对值三者的非负性，只需令每项分别等于零即可．举一反三：0=，求20112012x y +的值． 【答案】0=，得210x -=，10y +=，即1x =±，1y =-．①当x ＝1，y ＝－1时，20112012201120121(1)2x y +=+-=．②当x ＝－1，y ＝－1时，2011201220112012(1)(1)0x y +=-+-=．6、小丽想用一块面积为4002cm 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为3002cm 的长方形纸片，使它长宽之比为2:3，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【答案与解析】解：设长方形纸片的长为3x (x ＞0) cm ，则宽为2x cm ，依题意得32300x x ⋅=.26300x =.250x =.∵ x ＞0，∴ x =∴ 长方形纸片的长为cm .∵ 50＞49,7>.∴ 21>, 即长方形纸片的长大于20cm .由正方形纸片的面积为400 2cm , 可知其边长为20cm ,∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长.答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20cm的正方形纸片裁出长方形纸片.仅供个人参考仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
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