初中平方根知识讲解

平方根（基础）

【学习目标】

1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．

2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．

【要点梳理】

知识点一、平方根和算术平方根的概念

1.算术平方根的定义

如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平

方根还是0）；a ，读作“a 的算术平方根”，a 叫做被开方数.

要点诠释：a ≥0，a ≥0.

2.平方根的定义

如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为

逆运算. a (a ≥0)的平方根的符号表达为0)a ≥a 的算术平方根.

知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系

1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；

（2）被开方数都是非负数；

（3）0的平方根和算术平方根均为0．

要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没

有平方根．

（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方

根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.

知识点三、平方根的性质

知识点四、平方根小数点位数移动规律

被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1

位.250=25= 2.5=0.25=.

【典型例题】

类型一、平方根和算术平方根的概念

1、下列说法错误的是（ ）

A.5是25的算术平方根

B.l 是l 的一个平方根

C.()24-的平方根是－4

D.0的平方根与算术平方根都是0

【答案】C ；

【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．

A.＝5，所以本说法正确；

B.1，所以l 是l 的一个平方根说法正确；

C.4，所以本说法错误；

D.因为＝0＝0，所以本说法正确；

【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题．

举一反三：

【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：

（1）9-没有平方根．（ ）

（24=±．（ ）

（3）21()10-的平方根是110

±．（ ） （4）25--

是425的算术平方根．（ ） 【答案】√ ；×； √； ×，

提示：（24=；（4）25是425

的算术平方根．

2、 填空： （1）4-是 的负平方根．

（2表示 的算术平方根，= ．

（3的算术平方根为 ．

（43=，则x = ，若3=，则x = ．

【思路点拨】（3181的算术平方根＝19，此题求的是19的算术平方根. 【答案与解析】(1)16；(2)11;164 (3)13

(4) 9；±3 【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.

举一反三：

【变式1】下列说法中正确的有（ ）：

①3是9的平方根． ② 9的平方根是3．

③4是8的正的平方根．④ 8-是64的负的平方根．

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】B ；

提示：①④是正确的.

【变式2】求下列各式的值：

（1） （2（3（4【答案】（1）15；（2）15；（3）－0.3；（4）655

3x 的取值范围是______________．

【答案】x ≥1-；

【解析】x ＋1≥0，解得x ≥1-.

【总结升华】有意义时，a 0，a ≥0.

举一反三：

【变式】代数式y ＝3-x 有意义，则x 的取值范围是 ．

【答案】3x ≥.

类型二、利用平方根解方程

4、求下列各式中的x .

（1）23610;x -= （2）()21289x +=； （3）()2

932640x +-= 【思路点拨】表面上看本题是一元二次方程，但是本题可以通过开平方的方法（2）小题将()1x +看作一个整体，（3）小题将()32x +看作一个整体，求出它们的解后，再求x .

【答案与解析】

解：（1）∵23610x -= ∴2361x = ∴19x ==±

（2）∵()21289x += ∴1x += ∴x ＋1＝±17 x ＝16或x ＝－18.

（3）∵()2932640x +-= ∴()264329x += ∴8323x +=± ∴21499

x x ==-或 【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度.

类型三、平方根的应用

5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是

多少米？

【答案与解析】

解：设宽为x ，长为3x ，

由题意得，x ·3x ＝1323

32

x ＝1323

x ＝－21(舍去)

答：长为63米，宽为21米.

【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.

（提高）【典型例题】

类型一、平方根和算术平方根的概念

1、若2m －4与3m －1是同一个正数的两个平方根，求m 的值．

【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m －4＝－（3m －1），解方程即可求解．

【答案与解析】

解：依题意得 2m －4＝－（3m －1），

解得m ＝1；

∴m 的值为1．

【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．

举一反三：

【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值.

【答案】2a －1与－a ＋2是m 的平方根，所以2a －1与－a ＋2相等或互为相反数.

解：①当2a －1＝－a ＋2时，a ＝1，所以m ＝()()22

212111a -=⨯-=

②当2a －1＋（－a ＋2）＝0时，a ＝－1，所以()()22221[2(1)1]39a -=⨯--=-=

2、x 为何值时，下列各式有意义？

． 【答案与解析】

解：(1)因为20x ≥，所以当x

(2)由题意可知：40x -≥，所以4x ≥

(3)由题意可知：1010

x x +≥⎧⎨-≥⎩解得：11x -≤≤．所以11x -≤≤

(4)由题意可知：1030x x -≥⎧⎨-≠⎩

，解得1x ≥且3x ≠．

所以当1x ≥且3x ≠时，3

x -有意义． 【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义．

举一反三：

【变式】已知2b =，求

11a b

+的算术平方根．