高中数学必修二 6 平面向量的基本定理及坐标表示(精练)(含答案)

6.3 平面向量的基本定理及坐标表示(精练)

【题组一 向量基底的选择】

1．(2021·全国·高一课时练习)下列说法错误的是( )

A ．一条直线上的所有向量均可以用与其共线的某个非零向量表示

B ．平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个向量表示

C ．平面上向量的基底不唯一

D ．平面内的任意向量在给定基底下的分解式唯一

【答案】B

【解析】由共线向量的性质可知选项A 正确；

根据平面向量基本定理可知：平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个不共线的向量表示，所以选项B 不正确；

根据平面向量基本定理可知中：选项C 、D 都正确，

故选：B

2．(2021·浙江·宁波咸祥中学高一期中)(多选)下列两个向量，不能作为基底向量的是( )

A ．12(0,0),(1,2)e e ==

B ．12(2,1),(1,2)e e =-=

C ．12(1,2),(1,2)e e =--=

D ．12(1,1),(1,2)e e ==

【答案】AC

【解析】A 选项，零向量和任意向量平行，所以12,e e 不能作为基底.

B 选项，12,e e 不平行，可以作为基底.

C 选项，12e e =-，所以12,e e 平行，不能作为基底.

D 选项，12,e e 不平行，可以作为基底.

故选：AC

3．(2021·福建省德化第一中学高一月考)(多选)下列各组向量中，可以作为基底的是( )

A ．12(0,0),(1,2)e e ==-

B ．12(1,2),(5,7)e e =-=

C ．12(3,5),(6,10)e e ==

D ．1213(2,3),,24e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 【答案】BD

【解析】A ．由于10e =，因为零向量与任意向量共线，因此12,e e 共线，不能作基底，

B ．因为1725-⨯≠⨯，所以两向量不共线，可以作基底，

C ．因为212e e =，所以两向量共线，不能作基底，

D ．因为312342⎛⎫⨯

≠⨯- ⎪⎝⎭，所以两向量不共线，可以作基底， 故选：BD.

4．(2021·湖北孝感·高一期中)(多选)在下列各组向量中，不能作为基底的是( )

A ．()1e 0,0→=，()2e 1,2→=-

B ．()1e 1,2→=-，()2e 5,7→=

C ．()1e 3,5→=，()2e 6,10→=

D ．()1e 2,3→=-，()2e 3,2→= 【答案】AC

【解析】对A ，1e →∥2e →，不能作为基底；

对B ，17250-⨯-⨯≠，1e →与2e →不平行，可以作为基底；

对C ，21e 2e →→=，1e →∥2e →

，不能作为基底；

对D ，22+330⨯⨯≠，1e →与2e →不平行，可以作为基底.

故选：AC.

5．(2021·全国·高一课时练习)已知1e 与2e 不共线，12122,a e e b e e λ=+=+，且a 与b 是一组基，则实数λ的取值范围是___________. 【答案】11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】因为1e 与2e 不共线，12122,a e e b e e λ=+=+，

若a 与b 共线，

则a b μ=，即()

12122a e e e e μλ=+=+， 所以12λμμ=⎧⎨=⎩，解得122

λμ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 因为a 与b 是一组基底，

所以若a 与b 不共线，

所以实数λ的取值范围是11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，

故答案为：11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

【题组二 向量的基本定理】

1．(2021·广东·汕头市潮南区陈店实验学校高一月考)已知△ABC 的边BC 上有一点D 满足3BD DC =，则AD 可表示为( )

A ．1344AD A

B A

C =+ B ．3144A

D AB AC =+ C ．2133AD AB AC =+ D ．1233

AD AB AC =+ 【答案】A

【解析】由3BD DC =，

可得3()AD AB AC AD -=-，

整理可得43AD AB AC =+， 所以1344

AD AB AC =+， 故选：A

2．(2021·四川·成都外国语学校高一月考(文))我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BC a =，BA b =，3BE EF =，则BF =( )

A ．1292525a b +

B ．16122525

a b + C ．4355a b + D ．3455

a b + 【答案】B

【解析】因为此图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且BC a =，BA b =，3BE EF =， 所以34

BF BC CF BC EA =+=+

3()4

BC EB BA =++ 33()44

BC BF BA =+-+ 93164

BC BF BA =-+， 解得16122525BF BC BA =+，即16122525BF a b =+， 故选：B

3．(2021·陕西·西安电子科技大学附中高一月考)平面内有三个向量,,OA OB OC ，其中OAOB ，的夹角为120，

,OA OC 的夹角为30，且32,,2OA OB ==23OC =,(R)OC OA OB λμλμ=+∈，则( ) A ．42λμ==，

B ．322λμ==，

C ．423λμ==

， D ．3423

λμ==， 【答案】C 【解析】

如图所示：过点C 作//CD OB ，交直线OA 于点D ，

因为OAOB ，的夹角为120，,OA OC 的夹角为30，

所以90OCD =∠，

在Rt OCD △中，tan 30232DC OC ===，24sin 30OD ==， 由OC OA OB OD DC λμ=+=+， 可得OD OA λ=，DC OB μ= 所以OD OA λ=，DC OB μ=，

所以42λ=，322μ=

，所以42,3λμ==. 故选：C.

4．(2021·全国·高一课时练习)若1(3,0)e =，2(0,1)e =-，12a e e =-，(1,)b x y =-，且a b =，则实数x ，y 的值分别是( )