高中数学必修二 6 平面向量的基本定理及坐标表示(精练)(含答案)

6.3 平面向量的基本定理及坐标表示(精练)

【题组一 向量基底的选择】

1．(2021·全国·高一课时练习)下列说法错误的是( )

A ．一条直线上的所有向量均可以用与其共线的某个非零向量表示

B ．平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个向量表示

C ．平面上向量的基底不唯一

D ．平面内的任意向量在给定基底下的分解式唯一

【答案】B

【解析】由共线向量的性质可知选项A 正确；

根据平面向量基本定理可知：平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个不共线的向量表示，所以选项B 不正确；

根据平面向量基本定理可知中：选项C 、D 都正确，

故选：B

2．(2021·浙江·宁波咸祥中学高一期中)(多选)下列两个向量，不能作为基底向量的是( )

A ．12(0,0),(1,2)e e ==

B ．12(2,1),(1,2)e e =-=

C ．12(1,2),(1,2)e e =--=

D ．12(1,1),(1,2)e e ==

【答案】AC

【解析】A 选项，零向量和任意向量平行，所以12,e e 不能作为基底.

B 选项，12,e e 不平行，可以作为基底.

C 选项，12e e =-，所以12,e e 平行，不能作为基底.

D 选项，12,e e 不平行，可以作为基底.

故选：AC

3．(2021·福建省德化第一中学高一月考)(多选)下列各组向量中，可以作为基底的是( )

A ．12(0,0),(1,2)e e ==-

B ．12(1,2),(5,7)e e =-=

C ．12(3,5),(6,10)e e ==

D ．1213(2,3),,24e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 【答案】BD

【解析】A ．由于10e =，因为零向量与任意向量共线，因此12,e e 共线，不能作基底，

B ．因为1725-⨯≠⨯，所以两向量不共线，可以作基底，

C ．因为212e e =，所以两向量共线，不能作基底，

D ．因为312342⎛⎫⨯

≠⨯- ⎪⎝⎭，所以两向量不共线，可以作基底， 故选：BD.

4．(2021·湖北孝感·高一期中)(多选)在下列各组向量中，不能作为基底的是( )

A ．()1e 0,0→=，()2e 1,2→=-

B ．()1e 1,2→=-，()2e 5,7→=

C ．()1e 3,5→=，()2e 6,10→=

D ．()1e 2,3→=-，()2e 3,2→= 【答案】AC

【解析】对A ，1e →∥2e →，不能作为基底；

对B ，17250-⨯-⨯≠，1e →与2e →不平行，可以作为基底；

对C ，21e 2e →→=，1e →∥2e →

，不能作为基底；

对D ，22+330⨯⨯≠，1e →与2e →不平行，可以作为基底.

故选：AC.

5．(2021·全国·高一课时练习)已知1e 与2e 不共线，12122,a e e b e e λ=+=+，且a 与b 是一组基，则实数λ的取值范围是___________. 【答案】11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】因为1e 与2e 不共线，12122,a e e b e e λ=+=+，

若a 与b 共线，

则a b μ=，即()

12122a e e e e μλ=+=+， 所以12λμμ=⎧⎨=⎩，解得122

λμ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 因为a 与b 是一组基底，

所以若a 与b 不共线，

所以实数λ的取值范围是11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，

故答案为：11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

【题组二 向量的基本定理】

1．(2021·广东·汕头市潮南区陈店实验学校高一月考)已知△ABC 的边BC 上有一点D 满足3BD DC =，则AD 可表示为( )

A ．1344AD A

B A

C =+ B ．3144A

D AB AC =+ C ．2133AD AB AC =+ D ．1233

AD AB AC =+ 【答案】A

【解析】由3BD DC =，

可得3()AD AB AC AD -=-，

整理可得43AD AB AC =+， 所以1344

AD AB AC =+， 故选：A

2．(2021·四川·成都外国语学校高一月考(文))我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BC a =，BA b =，3BE EF =，则BF =( )

A ．1292525a b +

B ．16122525

a b + C ．4355a b + D ．3455

a b + 【答案】B

【解析】因为此图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且BC a =，BA b =，3BE EF =， 所以34

BF BC CF BC EA =+=+

3()4

BC EB BA =++ 33()44

BC BF BA =+-+ 93164

BC BF BA =-+， 解得16122525BF BC BA =+，即16122525BF a b =+， 故选：B

3．(2021·陕西·西安电子科技大学附中高一月考)平面内有三个向量,,OA OB OC ，其中OAOB ，的夹角为120，

,OA OC 的夹角为30，且32,,2OA OB ==23OC =,(R)OC OA OB λμλμ=+∈，则( ) A ．42λμ==，

B ．322λμ==，

C ．423λμ==

， D ．3423

λμ==， 【答案】C 【解析】

如图所示：过点C 作//CD OB ，交直线OA 于点D ，

因为OAOB ，的夹角为120，,OA OC 的夹角为30，

所以90OCD =∠，

在Rt OCD △中，tan 30232DC OC ===，24sin 30OD ==， 由OC OA OB OD DC λμ=+=+， 可得OD OA λ=，DC OB μ= 所以OD OA λ=，DC OB μ=，

所以42λ=，322μ=

，所以42,3λμ==. 故选：C.

4．(2021·全国·高一课时练习)若1(3,0)e =，2(0,1)e =-，12a e e =-，(1,)b x y =-，且a b =，则实数x ，y 的值分别是( )

A ．1x =，4y =

B ．2x =，1y =-

C ．4x =，1y =

D ．1x =-，2y =

【答案】C 【解析】由题意，12(3,1)a e e =-=，又a b =

13411x x y y -==⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩

故选：C

5．(2021·江苏南京·高一期末)在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，1AB =，2AC =，D 是ABC 内一点，且45DAB ∠=︒设(,)AD AB AC R λμλμ=+∈，则( )

A ．20λμ+=

B ．20λμ-=

C ．2λμ=

D ．2μλ

= 【答案】B

【解析】如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系

则B 点的坐标为(1，0)，C 点的坐标为(0，2)

∵∠DAB ＝45°，所以设D 点的坐标为(m ， m )(m ≠0)

(,)(1,0)(0,2)(,2)AD m m AB AC λμλμλμ==+=+=

则λ＝m ，且μ＝1

2m ， ∴2λμ

=，即20λμ-= 故选：B

6．(2021·山西临汾·高一期末)在ABC 中，已知AB AC ⊥，2AB =，3AC =，D 是ABC 内一点，且45DAB ∠=，若(),AD AB AC λμλμ=+∈R ，则λμ

=( ) A ．32

B ．23

C ．34

D ．43 【答案】A 【解析】以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，

则()2,0B 、()0,3C ，

由于45DAB ∠=，可设(),D m m ，

因为AD AB AC λμ=+，所以()()(),2,00,3m m λμ=+，所以23m λμ==， 因此，32

λμ=. 故选：A.

7．(2021·安徽宣城·高一期中)如图，在长方形ABCD 中，2AB AD =，点M 在线段BD 上运动，若AM x AB y AC =+，则2x y +=( )

A ．1

B ．32

C ．2

D ．43

【答案】A 【解析】解：由题可得，设22AB AD ==，因为ABCD 是长方形，所以以点A 为坐标原点，AB 方向为x 轴正方向，AD 方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系，则()2,0B 、()0,1D ，

则()()2,0,2,1AB AC ==，()2,1BD =-，因为AM x AB y AC =+，所以()22,AM x y y =+，

所以()()()222,222,,0y B A x y y x y M B AM =+==-+++-，

因为点M 在BD 上运动，所以有//BM BD ，所以()12222x y y ⨯+-=-，整理得21x y +=，

故选：A.

8(2021·上海·高一课时练习)已知点G 为△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，

且AM ＝x AB ，AN ＝y AC ，求11x y

+的值为________． 【答案】3 【解析】根据条件：11,==AC AN AB AM y x

，

如图设D 为BC 的中点，则1122AD AB AC =+ 因为G 是ABC ∆的重心，211333

AG AD AB AC ==+， 1133AG AM AN x y

∴=+， 又M ，G ，N 三点共线，

11=133x y ∴+，即113x y

+=. 故答案为：3.

9．(2021·黑龙江·大庆中学高一月考)如图，经过OAB 的重心G 的直线与,OA OB 分别交于点P ，Q ，设

,OP mOA OQ nOB →→→→==，,m n R ∈，则11n m

+的值为________．

【答案】3

【解析】设,OA a OB b →→→→==，由题意知211()()323OG OA OB a b →

→→→→=⨯+=+， 11,33PQ OQ OP n b m a PG OG OP m a b →→→→→→→→

→→⎛⎫=-=-=-=-+ ⎪⎝⎭， 由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ使得PQ PG λ→→

=， 即1133n b m a m a b λλ→→→→⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭， 从而1,31,3m m n λλ⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩

消去λ，得113n m +=． 故答案为：3

10．(2021·河北大名·高一期中)已知平面内三个向量()7,5a =，()3,4b =-，()1,2c =．

(1)求23a b c -+； (2)求满足a mb nc =-的实数m ，n ；

(3)若()()//ka c b c -+，求实数k ．

【答案】(2)943,1010m n =-=-；(3)526

k =. 【解析】(1)∵()()()()237,523,431,216,3a b c -+=--+=，

∴22316a b c -+=+=

(2)由a mb nc =-得()()7,53,42m n m n =---，

∴3,42 5.7m m n n ⎧⎨-=--=⎩解得9,10

43.10m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

(3)()71,52ka c k k -=--，()2,6b c +=-．

∵()()//ka c b c -+，∴()()6712520k k -+-=，解得526

k =． 11．(2021·福建·莆田第七中学高一期中)已知两向量()2,0a =，()3,2b =.

(1)当k 为何值时，ka b -与2a b +共线？

(2)若23AB a b =+，BC a mb =+且A ，B ，C 三点共线，求m 的值.

【答案】(1)12k =-；(2)32

m =. 【解析】(1)()()()2,03,223,2ka b k k -=-=--，()()()22,06,48,4a b +=+=.

当ka b -与2a b +共线时，()()423280k ---⨯=， 解得12

k =-. (2)由已知可得()()()234,09,613,6AB a b =+=+=，()()()2,03,232,2BC a mb m m m m =+=+=+. 因为A ，B ，C 三点共线，所以//AB BC ，

所以()266320m m -+=.解得32

m =. 12．(2021·安徽宿州·高一期中)已知(1,0)a =-，(2,1)b =--.

(1)当k 为何值时，ka b -与2a b +平行.

(2)若23AB a b =+，BC a mb =+且A ，B ，C 三点共线，求m 的值.

【答案】(1)12k =-；(2)32

m =. 【解析】(1)(1,0)(2,1)(2,1)ka b k k -=----=-，

2(1,0)2(2,1)(5,2)a b +=-+--=--.

因为ka b -与2a b +共线，所以2(2)(5)10k ----⨯=，解得12

k =-. (2)因为A ，B ，C 三点共线，

所以()AB BC R λλ=∈，即23()a b a mb λ+=+，

又因为a 与b 不共线，a 与b 可作为平面内所有向量的一组基底，

所以23m λλ

=⎧⎨=⎩， 解得32m =.

【题组三 线性运算的坐标表示】

1．(2021·天津红桥·高一学业考试)若向量(1,2),(1,1)a b ==-，则a b +的坐标为( )

A ．(2，3)

B ．(0，3)

C ．(0，1)

D ．(3，5)

【答案】B

【解析】解：因为(1,2),(1,1)a b ==-，所以()()()1,21,10,3a b +=+-=故选：B

2．(2021·山东邹城·高一期中)已知向量()1,0a =，()2,4b =，则a b +=( )

A B ．5 C ．7 D ．25

【答案】B

【解析】根据题意，向量()1,0a =，()2,4b =，则()3,4a b +=，故9165a b +=+.故选：B ．

3．(2021·全国·高一专题练习)已知向量(1,1)a =，()2,2b x x =+，若a ，b 共线，则实数x 的值为( )

A ．-1

B ．2

C ．1或-2

D ．-1或2

【答案】D

【解析】因为向量(1,1)a =，()2,2b x x =+，且a ，b 共线，所以22x x =+，

解得1x =-或2x =，故选：D

4．(2021·全国·高一单元测试)已知(2,1cos )a θ=--，11cos ,4b θ⎛⎫

=+- ⎪⎝⎭，且//a b ，则锐角θ等于( )

A ．45°

B ．30°

C ．60°

D ．30°或60°

【答案】A

【解析】因为//a b ，所以()()()121cos 1cos 04θθ⎛⎫

-⨯---+= ⎪⎝⎭，

得21

1cos 02θ-+=，即21

cos 2θ=，因为θ为锐角，

所以cos θ=45θ=.

故选：A

5．(2021·云南省永善县第一中学高一月考)已知点()2,2,1A ，()1,4,3B ，()4,,C x y 三点共线，则x y -=( )

A ．0

B ．1

C ．1-

D ．2-

【答案】B

【解析】因为A ，B ，C 三点共线，所以可设AB AC λ=，

因为(1,2,2)AB =-，()2,2,1AC x y =--，

所以()()122221x y λλλ⎧-=⎪=-⎨⎪=-⎩，解得1223x y λ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩

， 所以1x y -=.

故选：B.

6．(2021·广东·佛山市超盈实验中学高一月考)(多选)已知()1,3a =，()2,1b =-，下列计算正确的是( )

A ．()1,4a b +=-

B ．()3,2a b -=

C ．()1,2b a -=

D ．()1,2a b --=

【答案】AB

【解析】因为()1,3a =，()2,1b =-，所以()1,4a b +=-，故A 正确； ()3,2a b -=，故B 正确；()3,2b a -=--，故C 错误；()1,4a b --=-，故D 错误.故选：AB.

7．(2021·湖南·永州市第一中学高一期中)(多选)已知向量()1,2a =-，()1,b m =-，则( )

A ．若a 与b 垂直，则1m =-

B ．若//a b ，则2m =

C ．若1m =，则13a b -=

D ．若2m =-，则a 与b 的夹角为60︒ 【答案】BC

【解析】A ：a 与b 垂直，则120m --=，可得12m =-，故错误； B ：//a b ，则20m -=，可得2m =，故正确；

C ：1m =有()1,1b =-，则(2,3)a b -=-，可得13a b -=，故正确；

D ：2m =-时，有()1,2b =--，所以33cos ,5

||||5a b a b a b ⋅<>=

==⨯，即a 与b 的夹角不为60︒，故错误. 故选：BC

8．(2021·全国·高一课时练习)(多选)已知(4,2),(,2)AB AC k ==-，若ABC 为直角三角形，则k 可取的值是( )

A ．1

B ．2

C ．4

D ．6 【答案】AD

【解析】因为()()4,2,,2AB AC k ==-，所以()4,4BC k =--，

当A ∠为直角时，0AB AC ⋅=，所以440k -=，所以1k =，

当B 为直角时，0AB BC ⋅=，所以4240k -=，所以6k =，

当C ∠为直角时，0AC BC ⋅=，所以2480k k -+=，此时无解，

故选：AD.

9．(2021·河北·正定中学高一月考)(多选)已知向量(2,1)a =，(3,1)b =-，则( )

A ．()a b a +⊥

B ．|2|6a b +=

C ．向量a 在向量b 上的投影向量是62(,)55-

D ．是向量a 的单位向量 【答案】AD

【解析】对于A ，()1,2a b +=-，则()220a b a +⋅=-+=，

所以()a b a +⊥，故A 正确；

对于B ，()24,3a b +=-，则|2|5a b +=，故B 错误；

对于C ，向量a 在向量b 上的投影向量为531cos ,,1022b a b b b a a b b b b ⋅-⎛⎫⋅⋅

=⋅==- ⎪⎝⎭， 故C 错误；

对于D ，因为向量的模等于1，

120-=，所以向量与向量a 共线，故是向量a 的单位向量，故D 正确. 故选：AD. 10．(2021·全国·高一课时练习)已知平面向量a =(2，1)，b =(m ，2)，且a ∥b ，则3a +2b =_______.

【答案】(14，7)

【解析】因为向量a =(2，1)，b =(m ，2)，且//a b ，

所以1·m-2×2=0，解得m=4.所以b =(4，2).

故3a +2b =(6，3)+(8，4)=(14，7).

故答案为：(14，7)

11．(2021·全国·高一课时练习)已知向量a ＝(m ，3)，b ＝(2，﹣1)，若向量//a b ，则实数m 为____．

【答案】6-

【解析】∵//a b ，∴﹣m ﹣6＝0，∴6m =-．

故答案为：6-.

12．(2021·全国·高一课时练习)已知(2,4)A -，(2,3)B -，(3,)C y ，若A ，B ，C 三点共线，则y =___________. 【答案】234

- 【解析】解：(2,4)A -，(2,3)B -，(3,)C y ，则()4,7AB =-，()5,3BC y =-，若A ，B ，C 三点共线，则向量AB 与向量BC 共线，则有()4335y --=，解得：234

y =-

. 故答案为：234-. 13．(2021·全国·高一课时练习)已知向量(2,4)a =-，(1,3)b =-，

若2a b +与a kb -+平行，则k =___________. 【答案】-2

【解析】因为向量(2,4)a =-，(1,3)b =-，

所以()202a b +=-，

，()2,43a kb k k -+=+--， 又因为2a b +与a kb -+平行，

所以()220k -+=，

解得2k =-，

故答案为：-2

【题组四 数量积的坐标表示】

1．(2021·全国·高一单元测试)已知矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，E 为AB 上的点，且BE ＝2EA ，F 为BC 的中点，则AF DE ⋅＝( )

A ．﹣2

B ．﹣5

C ．﹣6

D ．﹣8

【答案】B

【解析】以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，距离如图所示的直角坐标系， 则()0,0B ，()0,3A ，()4,3D ，()0,2E ，()2,0F ， ()2,3AF =-，()4,1DE =--，则()()()24315AF DE ⋅=⨯-+-⨯-=-．

故选：B ．

2．(2021·吉林·延边二中高一期中)在ABC 中， AB AC AB AC +=-， 4, 2AB AC =＝，, E F 为线段BC 的三等分点，则AE AF ⋅＝( )

A ．

109 B ．4 C ．409

D ．569 【答案】C

【解析】ABC 中，|AB AC +|＝|AB AC -|，

∴2AB +2AB ⋅22AC AC AB +=-2AB ⋅2AC AC +， ∴AB ⋅AC =0，

∴AB ⊥AC ，

建立如图所示的平面直角坐标系，

由E ，F 为BC 边的三等分点，

则A (0，0)，B (0，4)，C (2，0)，E (23，83)，F (43，43)， ∴AE =(23，83)，AF =(43，43)， ∴AE 2433AF ⋅=⨯+339

8440⨯=．

故选：C

3．(2021·福建省宁化第一中学高一月考)在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，AC =102BM CB →

→→+=，DC DN λ→→=，若29AM AN →→⋅=，则λ=( )

A ．18

B ．17

C ．16

D ．15

【答案】D 【解析】

作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设(,)N x y ，因为120,1,AC ABC BO =∠=∴= 因为102BM CB →

→→+=，所以12BM BC →→=,即M 是BC 的中点，

所以1(),(0,1),2A M D C -

所以1),(,1)2AM DC DN x y λλ→→→====+，由题知0λ≠.

故1511),429,.5

N AM AN λλλ→→-∴⋅=+=∴= 故选：D

4．(2021·广东·东莞市新世纪英才学校高一月考)(多选)已知向量 (2,1)a =，(cos ,sin )(0)b θθθπ=，则下列命题正确的是( )

A ．若a b ⊥，则tan θ=

B ．若b 在a 上的投影向量为，则向量a 与b 的夹角为23π

C ．存在θ，使得a b a b +=+

D ．a b ⋅【答案】BCD

【解析】对A ，若a b ⊥，则2cos sin 0a b θθ⋅+==，则tan θ=A 错误；

对B ，若b 在a 上的投影向量为，3a =，且||1b =， ,co 3s 6a b a b a a ∴>⋅=-⋅<，则1cos 2a b 〈〉=-，，2π,3a b ∴〈〉=，故B 正确； 对C ，若2()2a b a b a b =+⋅22++，222(||||)||||2||||a b a b a b +=++，

若|||||a b a b =+|+，则||||cos ||||a b a b a b a b ⋅⋅〈〉=，

=，即cos ,1a b 〈〉=，故0a,b <>=︒，|||||a b a b =+|+，故C 正确；

对D ，2cos sin a b θθ⋅+==)θϕ+，因为0πθ≤≤，π02ϕ<<

，则当π2

θϕ+=时，a b ⋅故D 正确.

故选：BCD.

5．(2021·上海·高一课时练习)已知点A (-1，1)､B (1，2)､C (-2，-1)､D (3，4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为___________.

【解析】()()2,1,5,5AB CD ==，

所以向量AB 在CD 方向上的投影为

2

AB CD

CD ⋅==.

6(2021·上海·高一课时练习)设a =(2，x )，b =(-4，5)，若a 与b 的夹角θ为钝角，则x 的取值范围是___________.

【答案】85

x <且 【解析】∵θ为钝角，∴0a b ⋅<且两向量不共线，

即850a b x ⋅=-+<，解得85

x <， 当//a b 时，1040x +=，解得52

x =-， 又因,a b 不共线，所以52

x ≠-， 所以x 的取值范围是85x <且52

x ≠-.

故答案为：85x <且52

x ≠-.

7．(2021·北京·大峪中学高一期中)如图，在矩形ABCD 中，2AB =，BC E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若1AB AF ⋅=，则AE AF ⋅的值是___________.

【答案】2

【解析】如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，

则(0,0)A ，(2,0)B ，(C ，2,2E ⎛ ⎝⎭，(F x ；

∴(2,0)AB =，(,AF x =，AE ⎛= ⎝⎭； ∴1212

AB AF x x ⋅==⇒=， ∴21112AE AF x ⋅=+=+=.

故答案为：2.

8．(2021·河北张家口·高一期末)在ABC 中，1AC =，2BC =，60ACB ∠=︒，点P 是线段BC 上一动点，则PA PC ⋅的最小值是______.

【答案】116- 【解析】

在ABC 中，由余弦定理得AB =ABC 是直角三角形，

以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，

设点P 坐标为(,)a b ，B ，(0,1)C ，

(,)PA a b =--，(,1)PC a b =--，

直线BC 对应一次函数为1y =，

所以1b =，)a b =-，

222222(1))]473PA PC a b b a b b b b b b b ⋅=--=-+=--+=-+，

[0,1]b ∈，对称轴7[0,1]8

b =∈，当78b =时， PA PC ⋅取得最小值116-

. 故答案为：116

- 9．(2021·山西·平遥县第二中学校高一月考)向量()1,3a =-，()4,2b =-且a b λ+与a 垂直，则λ=___________.

【答案】1-

【解析】由题意，向量()1,3a =-，()4,2b =-，可得10,10a a b =⋅=，

因为a b λ+与a 垂直，可得2()10100a b a a a b λλλ+⋅=+⋅=⨯+=，解得1λ=-.

故答案为：1-.

10．(2021·上海·高一课时练习)已知a ＝(1，2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：

(1)a 与b 的夹角为直角；

(2)a 与b 的夹角为钝角；

(3)a 与b 的夹角为锐角． 【答案】(1)λ＝－12；(2)1

(,)2-∞-；(3)(,)122-∪(2，＋∞)． 【解析】设a 与b 的夹角为θ，则a b ⋅＝(1，2)·(1，λ)＝1＋2λ．

(1)因为a 与b 的夹角为直角，所以cos 0θ=，

所以0a b ⋅=，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12．

(2)因为a 与b 的夹角为钝角，所以cos 0θ<且cos 1θ≠-，所以0a b ⋅<且a 与b 不反向．

由0a b ⋅<得1＋2λ<0，故λ<－12，由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向．

所以λ的取值范围为1(,)2-∞-．

(3)因为a 与b 的夹角为锐角，所以cos 0θ>，且cos 1θ≠，所以a b ⋅>0且a 与b 不同向． 由a b ⋅>0，得λ>－12，由a 与b 同向得λ＝2．所以λ的取值范围为(,)122

-∪(2，＋∞)． 11．(2021·江西·九江一中高一期中)在ABC 中，底边BC 上的中线2AD =，若动点P 满足()22sin cos BP BA BD R θθθ=⋅+⋅∈．

(1)求()

PB PC AP +⋅的最大值；

(2)若=AB AC =PB PC ⋅的范围．

【答案】(1)2；(2)[1,3]-．

【解析】∵()22sin cos BP BA BD R θθθ=⋅+⋅∈，22sin cos 1θθ+= ∴A 、P 、D 三点共线

又∵[]22sin ,cos 0,1θθ∈，

∴P 在线段AD 上.

∵D 为BC 中点，设PD x =，则2AP x =-，[]0,2x ∈，

∴(

)PB PC AP +⋅=2PD AP ⋅=()22x x -=224x x -+=()2212x --+， ∴()PB PC AP +⋅的最大值为2

(2)如图，以D 为原点，BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立坐标系，

∵=AB AC =，2AD =，

∴()()1,0,1,0B C -，

设()0,P y 02y ，则()()1,,1,PB y PC y =--=-

∴PB PC ⋅=21y -+，

∵02y ≤≤，∴[]1,3PB PC ⋅∈-

12．(2021·江苏省丹阳高级中学高一月考)已知()1,1a =--，()0,1b =.在①()()//ta b a tb ++；②()()ta b a tb +⊥+；③ta b a tb +=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.

(1)若________，求实数t 的值；

(2)若向量(),c x y =，且()1c ya x b =-+-，求c .

【答案】(1)选①：1t =±，选②：t =

1t =±；【解析】因为()()1,1,0,1a b =--=，

所以()()()1,10,1,1ta b t t t +=--+=--，()()()1,10,11,1a tb t t +=--+=--，

选①：

(1)因为()()

//ta b a tb ++，

所以()()11t t t --=--；即21t =，解得1t =±；

(2)()()()()()10,1,,1,c ya x y y b x y x y x y +=-+-=-=-+=，

所以1x y y x y =⎧⎨=-+⎩，可得11

x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1c =，所以2211c =+= 选②：

(1)因为()()

ta b a tb +⊥+，所以()()110t t t +--=；

即2310t t -+=，解得：t = (2)()()()()()10,1,,1,c ya x y y b x y x y x y +=-+-=-=-+=，

所以1x y y x y =⎧⎨=-+⎩，可得11

x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1c =，所以2211c =+= 选③：

(1)因为ta b a tb +=+，

=

即21t =，解得：1t =±；