第一章矢量分析与场论基础题解
第一章矢量分析与场论-
z
（·x0 y0 z0）
z （0 0 z0）
·
O
xO
y x
x
· z
r （r0
0 0
）
O
y
三种正交系的相互关系 z
r·
（）
x
X=cos = rsin cos Y=sin = rsin sin Z=rcosθ r2= x2 + y2 +z2 = 2 + z2 = rsin = arc tg(y/x) = arc cos(z/r) y cosα = (x/r) cosβ = (y/r) cos = (z/r) cos2α +cos2β +cos2 = 1
0≤ ＜∞ =C；是一Z轴为轴心半径为C的柱面 圆柱 ,,z 0≤ ＜2 =C；是一过Z轴的半平面（子午面）
-∞＜z＜∞ Z=C；是一截距为C且与Z轴⊥的平面
球面 r,,
0≤r ＜∞ 0≤ ≤
0≤ ≤2
r=C；是一O点为中心C为半径的球面 =C；O为顶点Z为中心轴C为半顶角
的圆锥面 =C；是一过Z轴的半平面（子午面）
○
1.5 源点、场点、矢径、距离矢量
1.6 矢量的初等运算
矢量的初等运算与标量一样有加、减、乘但没有除
且以各矢量同在某一点为前提
设：A = Axex + Ay ey + Az ez ， B = Bxex + By ey + Bz ez
加 减
A±B = (Ax± Bx ) ex + (Ay ±By ) ey + ( Az ± Bz ) ez
第一章 矢量分析与场论
标量场和矢量场 矢量场的初等运算 矢量场的微、积分 梯度、散度、旋度 亥姆霍兹定理 场的图示法
第一章矢量分析与场论基础题解
第一章 矢量分析与场论基础1-1 求下列温度场的等温线1）T xy =，2）T x y=+122解 求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得⑴ C xy =，xCy =；⑵ C y x =+221-2 求下列标量场的等值面1）u ax by cz=++1，2） =- u z x y 22+， 3）u x y z =ln(++)222解 据题意可得 ⑴ k cz by ax =++⑵ c y x z =+-22，()222c z y x -=+⑶ ()c z y x =++222ln ，c e z y x =++222，2222k z y x =++1-3 求矢量场A e e e =++x y z x y z 2 经过点M (.,.,.)102030的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zzy y x x 2d d d == 解微分方程，可得 x c y 1=，22x c z =将点M (.,.,.)102030的坐标代入，可得 21=c ，32=c 即 x y 2=，23x z = 为所求矢量线方程。
1-4 求矢量场A e e e =++y x x y y z x y z 222的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zy zy x y x y x 222d d d == 解微分方程，可得 122c y x =-，x c z 2= 为所求矢量线方程。
1-5 设u x z yz xz ()M =+-+32222，求：1）u ()M 在点M 0102030(.,.,.)处沿矢量l e e e =++yx zx xy x y z 方向的方向导数，2）u ()M 在点M 0(.,.,.)102030处沿矢量l e e e =+-+-+()()622222x z z z y x x y z 方向的方向导数。
解 l 的方向余弦为 1722322cos 222=++=α，1732323cos 222=++=β，1722322cos 222=++=γ；又有12260=+=∂∂M M xz x xu ，620-=-=∂∂M M z yu ，42220=+-=∂∂M M x y z zu据方向导数的定义，可得 1714172436212cos cos cos 0000=⨯+⨯-⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαM M M M z uy u x u l u1-6 求标量场u xy yz zx =++在点M 0(.,.,.)102030 处沿其矢径方向的方向导数。
电磁场与电磁波》第1章矢量分析
aˆx
Ay | A|
aˆ y
Az |A
|
aˆz
cos aˆx cos aˆy cos aˆz
方向角与方向余弦：
, ,
Az
A
o
Ay
Ax
y
x
cos Ax , cos Ay , cos Az
| A|
| A|
| A|
在直角坐标系中三个矢量加法运算：
A B C (Ax Bx Cx )aˆx (Ay By Cy )aˆy (Az Bz Cz ) aˆz
其结果是一标量。
推论1：满足交换律 推论2：满足分配律
A B B A A(B C) A B AC
推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。
•在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即
aˆx aˆy 0, aˆx aˆx 1,
有两矢量点积：
aˆx aˆz 0, aˆy aˆy 1,
Ax Ay Az
Cx Cy Cz
A (B C) Bx By Bz
Cx Cy Cz
b.矢量三重积：
A(BC) B(AC) C(A B)
例2： 设
r1 2aˆx aˆy aˆz , r2 aˆx 3aˆy 2aˆz r3 2aˆx aˆy 3aˆz , r4 3aˆx 2aˆy 5aˆz
说明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢线在曲面内终止 了，意味着闭合面内存在负源或称沟。
c. 如果闭合曲面上的总通量
0
说明穿入的通量等于穿出的通量。
3. 散度： a.定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。
b.表达式：
divF lim S F dS
c.散度的计算：
第01章 矢量分析和场论基础
r e ze z ，如图1-10所示。
柱坐标与直角坐标之间的关系（见图1-10~11）。
x cos y sin z z
x2 y2 arctg y x zz
取值范围
0 0 2 z
A
(1-15)
显然矢量投影为： Al A el
Ax A e x , Ay A e y , Az A e z
第一章 矢量分析与场论基础
电磁场与电磁波理论基础
3. 矢量的矢积
矢量的矢积也称叉积，其定义为
A B A B sin n
(1-17)
式中 n 是一垂直于由矢量 A 和 B 构成的平面的单位 矢量，并遵循右手螺旋法则，见图1-3。 矢量的矢积不满足交换律；由图1-3可以看出，矢量 矢积交换满足如下关系 (1-18) A B B A
(1-47)
利用其逆变换也可得柱坐标分量的直角坐标表达式。
第一章 矢量分析与场论基础
电磁场与电磁波理论基础
三、球坐标系 球坐标系中任一点P在球坐标系下的坐标为( r , , )， 其中 r 为位置矢量 r 的大小，如图1-15所示。
r re r 位置矢量 正交单位矢量为( er , e , e )，并服从右手法则。在 球坐标系下，er , e , e 都是空间坐标点的函数。
Z
Z
Y
Y
X
X
图1-4 温度场分布示意图
图1-5 电场分布示意图
第一章 矢量分析与场论基础
电磁场与电磁波理论基础
1.4 常用正交曲线坐标系 一、直角坐标系 直角坐标系由三个相互垂直的有向线段构成，三直 线称为X、Y和Z轴，三个单位矢量 ex、ey 和 ez相互 垂直，分别表示X、Y和Z轴的方向。 位置矢量 r xe x ye y ze z ，如图1-6所示。
第1章 矢量分析与场论基础
ex e y e y ez ez ex 0 ex ex e y e y ez ez 1
（4）矢量的矢积（叉积） 两矢量的叉积是一个矢量，其大小为两个矢量的大小与它们之
用单位矢量 en 表示。
间夹角 的正弦之积，它的方向垂直于包含两个矢量的平面，
工程电磁场
第1章 矢量分析与场论基础
10
1.2 三种常用的正交曲线坐标系
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来 确定。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为
正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称
为坐标变量。 在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角 坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。
矢量的加减符合交换律和结合律 交换律 A B B A 结合律 A ( B C ) ( A B) C
B B
A B
矢量的减法
A
工程电磁场
第1章 矢量分析与场论基础
6
（2）标量乘矢量
B sA ex sAx e y sAy ez sAz
第1章 矢量分析与场论基础
17
（3）圆柱坐标系与球坐标系的坐标变量之间的转换
r柱 r球 sin r球 r柱 z 2
2
z r cos r柱 z
arctg
工程电磁场
第1章 矢量分析与场论基础
18
1.3场的基本概念和可视化 1场的概念 “场”是指某种物理量在空间的分布。具有标量特征的物理量在空间 的分布是标量场，具有矢量特征的物理量在空间的分布是矢量场。 例如，温度场、能量场、电位场是标量场；电场、磁场、流速场与 重力场都是矢量场。 定义了场量的空间点称为场点。
一矢量分析与场论基础
ˆ A ds A n ds s s
如果S是一个封闭面, 则
A ds
S
表示A穿过封闭面的通量。 若Ψ＞0, 表示有净通量流出, 这说明S 内必定有矢量场的源; 若Ψ＜0, 表示有净通量流入, 说明S内有洞 (负的源)。 通过封闭面的电通量Ψe等于该封闭面所包围的自由电
引入
u u u ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ u x y z ux y z x y z x y z
则
u ˆ ul ˆ | u |c o s ( u , l ) l
u l
| u |
ˆ A B n AB sin a AB
它不符合交换律。 由定义知,
A B ( B A )
并有
ˆ ˆy ˆ ˆ ˆ ˆ x x y z z 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆy ˆ ˆ ˆ x y z ,y z xz ,ˆ x
故
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A B ( x A y A z A )( x B y B z B ) x y z x y z
开曲面上的面元, 设这个开曲面是由封闭曲线l所围成的, 则当选 定绕行l的方向后, 沿绕行方向按右手螺旋的姆指方向就是 n ˆ 的方 向, 如图1 -4所示; 对封闭曲面上的面元, 向。
ˆ 取为封闭面的外法线方 n
图 1 -4 开曲面上的面元
将曲面S各面元上的A· ds相加, 它表示A穿过整个曲面S的通量,
0
x y z x r3 y r3 z r3
q z y x ˆ 3 3 y ˆ 3 x 4 0 y r z r z r x y x z ˆ 3 3 z 3 r x r y r
第一章矢量分析与场论
0.2 标量场和矢量场
场是一个标量或一个矢量的位置函数,即场中任一个点都有一个确 定的标量值或矢量. . 例如,在直角坐标下, 标量场 如温度场,电位场,高度场等; 矢量场 如流速场,电场,涡流场等.
形象描绘场分布的工具---场线 -标量场---等值线(面). -. 其方程为
矢量场---矢量线 -其方程为
• 矢量函数的面积分与体积分的互换。 • 该公式表明了区域V 中场A与边界S上的场A之间的关系。
0.5 矢量场的环量与旋度
一、矢量场环量 矢量A沿空间有向闭合曲线L的线积分
Γ=
∫ A ⋅ dl
L
环量
该环量表示绕线旋转趋势的大小。
图0.4.1 环量的计算
例：流速场
图0.4.2 流速场
水流沿平行于水管轴线方向流动 Γ=0，无涡旋运动
≠0 ∇ × F = ? =0
∇⋅F = ?
∇⋅F = ?
=0 ∇ × F = ? ≠0
0.7 三种特殊形式的场
1.平行平面场：如果在经过某一轴线(设为 Z 轴)的一族平行平面上，场 F 的分布都 相同，即 F=f(x,y)，则称这个场为平行平面场。 2.轴对称场：如果在经过某一轴线(设为 Z 轴)的一族子午面上，场 F 的分布都相同， 即 F=f(r,Φ)，则称这个场为轴对称场。 3,球面对称场：如果在一族同心球面上(设球心在原点)，场 F 的分布都相同，即
流体做涡旋运动 Γ≠0，有产生涡旋的源
二、矢量场的旋度 在直角坐标系中，设
A = Axe x + A ye y + Aze z ,
则环量可写成： 由斯托克斯公式：
Γ =
∫
L
A⋅L =
∫ (A
L
工程电磁场-基本概念
1
1 2 0
C1
100 ,
得 C1
100
1 2 0
代入 C1 和 C2
x2
1
100 x
（V）
20
20
d
x
1
E
dx
ex
0
100
2
0
e
x
（V m）
第三章 恒定电场的基本原理
1、体电流密度的定义式 2、电流密度与电场强度的关系 3、电源中电场强度的表达式 4、电荷守恒原理的表达式 5、导电媒质分界面衔接条件的标量表达式 6、恒定电场边界条件的分类
量为
场点坐标 (r,, z)是不变量，源点坐标 (0,, z) 中 z 是变量，统一用θ表
示
总的电场强度 若为无限长直导线
习题 2-1
（3）静电场环路定理
由电位计算电场强度，是求梯度的运算，也就是求微分 的运算
在静电场中，任意一点的电场强度E 的方向总是沿着
电位减少最快方向，其大小等于电位的最大变化率。
有些金属或化合物当温度降到某一临界数值
后， ，变为超导体, J E 不再适用。
3、电源中电场强度的表达式
作用于单位电荷上的局外电场力定义为局外电
场强度，记为 Ee 。 电源中总的电场强度 ET EC Ee 。
在电源以外的区域，只存在库仑电场。
总的电场强度 ET EC 。
4、电荷守恒原理的表达式
1、体电流密度的定义式
将单位时间内流过某个面积 S 的电荷量
定义为穿过该面积的电流，用 I 表示 I lim q dq t0 t dt
电流的单位是安（培）（A）。1 安＝1 库秒。 电荷在空间体积中运动，形成体电流。
矢量分析与场论(定理一及例题)
而全体势函数为 v sin y x2 yz 2 c
例2. 用不定积分法求例1中矢量场的势函数.
解：在例1中已经证得A为有势场，故存在函数u满足
ur A gradu, 即有
由第一个方程对x积分，得
与 代入
比较，得 得
从而，势函数
v
v
v
v
例3. 证明 A 2xyz3i x2z3 jur 3xr2 yz2k
所以
vv A dl
x2 yz3
B
12 4
8
»AB
A
代入公式
v
v
v
v
例4. 若 A P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k 为保守场，
则存在函数u(M )使
vv
B
A dl u(M ) u(B) u( A)
AB
A
得
z
R(x, y, z)dz z0
例1. 证明矢量场
v
r
r
ur
A 2xyz2i (x2z2 cos y) j 2x2 yzk
为有势场，并求其势函数.
解：由
2 yz2
D
uv A
2xz
2
4xyz
2 xz 2 sin y 2x2z
4xyz
2
x
2
z
2x2 y
得rotAv 0v， 故Av为有势场。
y
z
ur
定理1. 在线单连域内,矢量场A 为有势场的
ur
充要条件是 A为无旋场.
此性质表明：
ur r A dl Pdx Qdy Rdz
u dx u dy u dz x y zdu即表来自式ur Ar dl
矢量分析与场论(包括旋度等在不同坐标上的公式)
第一章 矢量分析与场论实数域内任一代数即一个只有大小的量称之为标量，而一个既有大小又有方向特性的量称之为矢量。
无论是标量还是矢量，一旦被赋予物理单位，则成为一个具有物理意义的量即所谓的物理量。
物理量数值的无穷集合称为场。
如果这个物理量是标量，就称其为标量场；如果物理量是矢量就称这个场为矢量场。
场的一个重要属性是它占有一个空间，而且在该空间域内，除有限个点或表面外它是处处连续的。
如果场中各处物理量不随时间变化，则称该场为静态场，不然，则称为动态场或时变场。
本章从定义标量和矢量出发，讨论矢量在直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系三种坐标系中的表示法及其代数运算和相互关系；然后介绍了矢量及标量的微分和积分几及其性质；最后引入亥姆霍兹定理，它是矢量场共同性质的总结。
1.1 矢量及其代数运算一、标量和矢量电磁场中遇到的绝大多数物理量，能够容易地区分为标量（scalar ）和矢量(vector)。
一个仅用大小就能够完整地描述的物理量称为标量，例如，电压、温度、时间、质量、电荷等。
实际上，所有实数都是标量。
一个有大小和方向的物理量称为矢量，电场、磁场、力、速度、力矩等都是矢量。
例如，矢量A 可以写成A a A = A Aa =（1-1-1）其中A 是矢量A 的大小，a 的大小等于1，代表矢量A 的方向。
一个大小为零的矢量称为空矢（null vector ）或零矢（zero vector ），一个大小为1的矢量称为单位矢量（unit vector ）。
在直角坐标系中，用单位矢量x a 、y a 和z a 表征矢量分别沿x 、y 和z 轴分量的方向。
空间的一点()Z Y X P ,,能够用它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定如图1-1所示。
从原点指向点P 的矢量r 称为位置矢量(position vector)，它在直角坐标系中表示为Z Y X z y x a a a r ++= （1-1-2）式中，Y X ,和Z 是r 在x 、y 和z 轴上的标投影。
第1章矢量分析与场论02
第一章 矢量分析
图 1-3 法线方向的取法
第一章 矢量分析
将曲面S各面元上的A·dS相加，它表示矢量场A穿过整个曲面 S的通量，也称为矢量A在曲面S上的面积分：
ψ = ∫ dS = ∫ A ⋅ ndS
S S
如果曲面是一个封闭曲面，则
ψ = ∫ A ⋅ dS
S
第一章 矢量分析
1.3.2 矢量场的散度
∂ϕ ∂l
M0
ϕ (M ) − ϕ (M 0 ) = lim M →M ρ
0
第一章 矢量分析
若函数 φ=φ(x, y, z)在点M0(x0, y0, z0)处可微，cosα 、 cosβ 、cosγ 为l方向的方向余弦，则函数φ在点M0 处沿l方向 的方向导数必定存在，且为
∂ϕ ∂l
M0
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ cos α + cos β + cos γ = ∂z ∂x ∂x
第一章 矢量分析
例 1-10
球面S上任意点的位置矢量为r=xex+yey+zez，求
∫∫ r ⋅ dS
S
解： 根据散度定理知
r ⋅ dS = ∫∫∫ ∇ ⋅ rdV ∫∫
S V
而r的散度为
所以
∂x ∂y ∂z ∇⋅r = + + =3 ∂x ∂y ∂z
4 3 3 ∫∫Sr ⋅ dS = ∫∫∫V∇ ⋅ rdV = ∫∫∫V3dV = 3 ⋅ 3 πR = 4πR
第一章 矢量分析
例 1-9 量
D=
原 点 处 点 电 荷 q 产 生 的 电 位 移 矢 ，试求电位移矢量D的散度。
解： D = q ⎛ x e + y e + z e ⎞ ⎜ 3 x 3 y 3 z⎟
电磁场与电磁波-1、2、3章矢量分析与场论基础
位置矢量的微分元是
dR
它在
d 、
(
和e ) dBiblioteka (zez ) e d e d ezdz
z 增加方向的微分元分别为d 、d和dz，如
图1.6所示。与单位坐标矢量相垂直的三个面积元分别为
dS ddz
dS d dz
体积元可表示为
dSz d d
dV dddz
r 3.球坐标系
A aA A ,其中是与同方向的单位矢量，为矢量的模值。
其中 aA 是 与 A同方向的单位矢量，A为矢量A模值。 一个矢量在三个相互垂直的坐标轴上的分量已知，则
这个矢量就确定了。如在直角坐标系中，若矢量A的坐标
分量为( Ax,Ay, Az)，则可表示为则 A可表示为
A ex Αx ey Αy ez Αz
矢量A和B矢量的平面，方向满足右手螺旋法则，即
当右手四指从矢量A到B旋转 角时大拇指所指的方 向，其大小为 ABsin ,即
A B en AB sin
是叉积方向的单位矢量。 在直角坐标系中，各单位坐标矢量的叉积满足如下关系
ex ey ez ,ey ez ex ,ez ex ey
ex ex ey ey ez ez 0
y
x
图1.4 直角坐标系 在直角坐标系中，以坐标原点为起点,指向M (x, y, z点) 的矢 量R称为M点的位置矢量，可表示为
R xex yey zez 位置矢量的微分元是
dR exdx e ydy ezdz
它在x、y和z增加方向的微分元分别为 dx、dy和 dz ，
而与单位坐标矢量相垂直的三个面积元分别为
【提示】A B的模就是A与B所形成的平行四边形的面 积，因此C ( A B)是平行六面体的体积。
第一章矢量分析与场论基础题解
第一章 矢量分析与场论基础1-1 求下列温度场的等温线 1）Txy=，2）Txy=+122解 求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得 ⑴ Cxy =，xC y=；⑵ Cyx =+221-2 求下列标量场的等值面 1）ua xb y cz=++1，2） =-uz xy 22+， 3）uxyz =ln(++)222解 据题意可得 ⑴ kcz by ax =++ ⑵ cyxz=+-22，()222c z yx -=+⑶ ()c z y x =++222ln ，c e z y x =++222，2222k z y x =++1-3 求矢量场A e e e =++x y z x y z 2 经过点M (.,.,.)102030的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zz y y x x 2d d d ==解微分方程，可得 x c y 1=，22x c z =将点M (.,.,.)102030的坐标代入，可得 21=c ，32=c 即 x y 2=，23x z = 为所求矢量线方程。
1-4 求矢量场A e e e =++y x x y y z x y z 222的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zy z yx y xy x 222d d d ==解微分方程，可得 122c y x =-，x c z 2= 为所求矢量线方程。
1-5 设u x z yz xz ()M =+-+32222，求：1）u ()M 在点M 0102030(.,.,.)处沿矢量l e e e =++yx zx xy x y z 方向的方向导数，2）u ()M 在点M 0(.,.,.)102030处沿矢量l e e e =+-+-+()()622222x z z z y x x y z 方向的方向导数。
解 l 的方向余弦为1722322cos 222=++=α，1732323cos 222=++=β，1722322cos 222=++=γ；又有12260=+=∂∂MMxzx xu ，620-=-=∂∂MMzyu ，42220=+-=∂∂MMxy z zu据方向导数的定义，可得1714172436212cos cos cos 0=⨯+⨯-⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαMMMMzu yu xu lu1-6 求标量场uxy yz zx=++在点M 0(.,.,.)102030 处沿其矢径方向的方向导数。
[理学]第一章矢量分析与场论
![[理学]第一章矢量分析与场论](https://img.taocdn.com/s3/m/895778d27c1cfad6195fa7e1.png)
z
P( R, , )
aR
(0 2 )
位置矢量
o x
R
a
a
y
R RaR
单位矢量 aR , a , a
z
aR的方向指向矢径延伸的 方向； a 的方向垂直于矢径，并
在矢径和z轴组成的平面内， 指向θ 增大的方向；
注意：先后轮换次序。
在矢量运算中,先算叉积,后算点积。 矢量三重积： A ( B C ) B( A C ) C ( A B) 教材的1.8节给出了一些常用的矢量恒等 式，以供参考。
3.两个算子
(1）哈米尔顿（Hamilton）算子 为了方便，我们引入一个矢性微分算子， 在曲线坐标系中有：
指向
P( R, , )
aR
a的方向垂直于上述平面， x
o
R
a
a
y
增大的方向。
三者都不是常矢量，但两两正交，遵循右 手螺旋法则。
坐标面
R x y z 常数
2 2 2
z
表示一个半径为R的球面。 θ =常数 表示一个以原点为顶点、 以z轴为轴线的圆锥面。
A (B C) A B A C
当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正 交。
③两个矢量的矢量积
ˆc a
A B | A | | B | sin ac
B
A
两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个 矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线 方向，且三者符合右手螺旋法则。 两矢量叉积满足分配律，但不满足交换律和结合 律。
y
第01讲矢量分析及场论(1)
第一章矢量分析与场论（1）1.什么是场？重力场、温度场、电磁场、……在许多科学问题中，常常需要研究某种物理量（如温度、密度、电位、力等等）在某一空间区域的散布和转变规律。
为此，在数学上引入了场的概念。
若是在某一空间里的每一点，都对应着某个物理量的一个确信的值，那么称在此空间里确信了该物理量的一个场。
如教室中每一点都对应一个确信的温度，教室中确立一个温度场。
地球周围空间任一点对应一个重力加速度值，在此空间就存在一个重力场。
•从数学角度：场是给定区域内各点数值的集合，这些数值规定了该区域内一个特定量的特性。
比如：T是温度场中的物理量，T 确实是温度场•从物理角度：场是遍及一个被界定的或无穷扩展的空间内的，能够产生某种物理效应的特殊的物质，场是具有能量的。
场的分类：按物理量的性质分：标量场：描述场的物理量是标量。
温度场、密度场等是数量场矢量场：描述场的物理量是矢量。
力场、速度场等为矢量场。
按场量与时刻的关系分：静态场：场量不随时刻发生转变的场。
动态场：场量随时刻的转变而转变的场。
动态场也称为时变场。
数量场的等值面一样地，数量场中各点处的数量u是位置的函数，在直角坐标系中，是点的坐标x ，y ，z 的函数，即：),,(z y x u u =确实是说，一个数量场能够用一个数性函数来表示。
场存在的空间即为其概念域。
尔后，咱们总假定那个函数单值、持续且一阶可导。
在数量场中，使函数u 取相同数值的所有点所组成的曲面称为该数量场的等值面。
如温度场的等温面，电场的等位面等。
显然，数量场的等值面方程为：c z y x u =),,(（常数）2c =1c u =3c =给定不同的常数c ，就取得不同的等值面。
如图，c 取遍所有可能的值时，这族等值面就充满数量场所在的空间，而且这族等值面两两互不相交。
因为数量场中的每一点),,(0000z y x M 都有一个等值面),,(),,(000z y x u z y x u =通过，而且由于函数u 为单值，故一个点只能在一个等值面上。
电磁学 之矢量分析与场论基础
4. 平行平面场： 平行平面场：
①平行平面矢量场： 平行平面矢量场： a、场中所有的矢量都平行于某一平面π； 、场中所有的矢量都平行于某一平面π b、垂直于π的任一直线的所有点上，矢量的大小和方向都相同； 、垂直于π的任一直线的所有点上，矢量的大小和方向都相同； ②平行平面标量场： 平行平面标量场： 垂直于场中某一直线l 的所有平行平面上，标量场的分布情况都相 垂直于场中某一直线 的所有平行平面上， 同。
8. 拉格朗日恒等式
a c a (a × b ) • ( c × d ) = → • → → • d → b • c b •d
→
→
→
→
→
→
→
→
二、曲面与曲线
1. 曲面方程
①一般式： F ( x , y , z ) = 0 一般式： 曲面上任一点M 处法线矢量的直角坐标为： 曲面上任一点 0处法线矢量的直角坐标为： ( Fx , F y , Fz ) | M 0 x = ϕ ( u, v ) ②参数式： 参数式： y = ψ ( u, v ) z = ω (u, v )
③梯度是由标量场所产生的矢量场，通常又称为标量场所对应的 梯度是由标量场所产生的矢量场， 梯度场。 梯度场。 ④梯度的基本运算公式： 梯度的基本运算公式： grad (c ) = 0 （c 为常数） 为常数） grad (c u) = c grad ( u) grad ( u ± v ) = grad ( u) ± grad ( v ) grad ( u v ) = u grad ( v ) + v grad ( u) u v grad ( u) − u grad (v ) grad ( ) = v v2 grad [ f ( u)] = f (1) ( u) grad ( u) ∂f ∂f grad [ f ( u, v )] = grad ( u) + grad ( v ) ∂u ∂v
矢量分析与场论讲义——高教社出版第3版（谢树艺）
矢量分析与场论讲义——高教社出版第3版（谢树艺）矢量分析与场论第一章矢量分析一内容概要1 矢量分析是场论的基础，本章主要包括以下几个主要概念：矢性函数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念。
与高等数学研究过的数性函数的相应概念完全类似，可以看成是这些概念在矢量分析中的推广。
2 本章所讨论的，仅限于一个自变量的矢性函数()t A ，但在后边场论部分所涉及的矢性函数，则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函数()y x ,A 或者()z y x ,,A ，对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导数、全微分等概念，完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其有关的相应概念加以推广而得出。
3 本章的重点是矢性函数及其微分法，特别要注意导矢()t 'A 的几何意义，即()t 'A 是位于()t A 的矢端曲线上的一个切向矢量，其起点在曲线上对应t 值的点处，且恒指向t 值增大的一方。
如果将自变量取为矢端曲线的弧长s ，即矢性函数成为()s A A =，则()dsd s A A ='不仅是一个恒指向s 增大一方的切向矢量，而且是一个单位切向矢量。
这一点在几何和力学上都很重要。
4 矢量()t A 保持定长的充分必要条件是()t A 与其导矢()t 'A 互相垂直。
因此单位矢量与其导矢互相垂直。
比如圆函数()j i e t t t sin cos +=为单位矢量，故有()()t t 'e e ⊥，此外又由于()()t t 1'e e =，故()()t t 1e e ⊥。
（圆函数还可以用来简化较冗长的公式，注意灵活运用）。
5 在矢性函数的积分法中，注意两个矢性函数的数量积和两个矢性函数的矢量积的分部积分法公式有所不同，分别为：dt dt ''-?=?A B B A B Adt dt ''+?=?A B B A B A前者与高等数学种数性函数的分部积分法公式一致，后者由两项相减变为了求和，这是因为矢量积服从于“负交换律”之故。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章 矢量分析与场论基础1-1 求下列温度场的等温线1）T xy =，2）T x y=+122解 求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得⑴ C xy =，xCy =；⑵ C y x =+221-2 求下列标量场的等值面1）u ax by cz=++1，2） =- u z x y 22+， 3）u x y z =ln(++)222解 据题意可得 ⑴ k cz by ax =++⑵ c y x z =+-22，()222c z y x -=+⑶ ()c z y x =++222ln ，c e z y x =++222，2222k z y x =++1-3 求矢量场A e e e =++x y z x y z 2 经过点M (.,.,.)102030的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zzy y x x 2d d d == 解微分方程，可得 x c y 1=，22x c z =将点M (.,.,.)102030的坐标代入，可得 21=c ，32=c 即 x y 2=，23x z = 为所求矢量线方程。
1-4 求矢量场A e e e =++y x x y y z x y z 222的矢量线方程。
解 根据矢量线的定义，可得zy zy x y x y x 222d d d == 解微分方程，可得 122c y x =-，x c z 2= 为所求矢量线方程。
1-5 设u x z yz xz ()M =+-+32222，求：1）u ()M 在点M 0102030(.,.,.)处沿矢量l e e e =++yx zx xy x y z 方向的方向导数，2）u ()M 在点M 0(.,.,.)102030处沿矢量l e e e =+-+-+()()622222x z z z y x x y z 方向的方向导数。
解 l 的方向余弦为 1722322cos 222=++=α，1732323cos 222=++=β，1722322cos 222=++=γ；又有12260=+=∂∂M M xz x xu ，620-=-=∂∂M M z yu ，42220=+-=∂∂M M x y z zu据方向导数的定义，可得 1714172436212cos cos cos 0000=⨯+⨯-⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαM M M M z uy u x u l u1-6 求标量场u xy yz zx =++在点M 0(.,.,.)102030 处沿其矢径方向的方向导数。
解 l 的方向余弦为 1413211cos 222=++=α，1423212cos 222=++=β，1433213cos 222=++=γ； 又有 500=+=∂∂M M z y x u ，400=+=∂∂M M z x y u ，300=+=∂∂M M x y z u据方向导数的定义，可得 142214332415cos cos cos 0000=⨯+⨯+⨯=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαM M M M z uy u x u l u1-7 设有标量场u xy z =-22，求u 在点(.,.,20101.0)-处沿该点至(.,.,3010 -1.0)方向的方向导数。
在点(.,., 1.0)2010-沿什么方向的方向导数达到最大值？其值是多少？解 点(.,.,2010 1.0)-至点(.,.,3010 -1.0)的方向余弦为 ()()()3111112323c o s 222=--+++--=α，()()()3211112311cos 222=--+++-+=β，()()()3211112311cos 222-=--+++---=γ；又有220-==∂∂M M y xu，420==∂∂M M x yu ，220-=-=∂∂M M z zu据方向导数的定义，可得 3103222412cos cos cos 0000=⨯+⨯+⨯-=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβαM M M M zuy u x u l u当方向余弦均为1时，方向导数达到最大值，即沿z y x e e e G 242-+-=方向导数达最大值，()()6224242222==-++-=G1-8 求下列标量场的∇u1）u xy =2；2）u x y =+22；3）u y x =e sin ；4）u x y z =234； 5）u x y z =-+323222解 据 z y x zuy u x u u e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇，可得1） y x x y u e e 22+=∇ 2） y x y x u e e 22+=∇ 3） y x x x y e y e u e e cos sin +=∇4） z y x z y x z y x z xy u e e e 33242243432++=∇ 5） z y x z y x u e e e 646+-=∇1-9 求标量场u xyz x x y =-+222在点(.,., -2.0)-1030处的梯度。
解 ()()z y x x y z x xz xy yz u e e e 222222++++-=∇，则所求梯度为()()z y x z y x M u e e e e e e 1234121462120+-=++-+--=∇1-10 求标量场223),(y x y x u +=具有最大方向导数的点及方向，所求的点满足x y 221+=。
（提示：最大的方向导数就是在点(,)x y 处的梯度，模最大，且满足x y 221+=，即求条件极值。
） 解 y x y x y x y ux u u e e e e 26+=∂∂+∂∂=∇，22436y x u +=∇，将21x y -±=代入，可得 ()43214362222+=-+=∇x x x u ，即 []43222+=∇x u ，当1±=x 、0=y 时，有6max ±=∇u ，即点()0,1-和()0,1为满足条件的点，又()x u e 60,1-=∇-，()x u e 60,1=∇，即最大方向导数的方向分别为x e ±1-11 设r e e e r =++x y z r n x y z , =, 为正整数， 1）求∇∇∇r r f r n 2,,(),2）证明∇=∙（a r a a ),(是常矢量）解 1） ()()r e e e 22222222=++=++∇=∇z y x z y x z y x r()()()()z y xn n nz y x z y x n zy xr e e e2222122222222++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∇=∇-rnr r nrn n r r 2122-⎪⎭⎫ ⎝⎛-== ()()()()rr f r r f r r f r f rr '='=∇'=∇-12） 证明 设 z z y y x x a a a e e e a ++=，则 z a y a x a z y x ++=⋅r a ，因此，可得 ()()z z y y x x z y x a a a z a y a x a e e e r a ++=++∇=⋅∇，证毕。
1-12 设S 为上半球面x y z a 2222++=≥ (z 0),其法向单位矢量e n 与z 轴的夹角为锐角，求矢量场r e e e =++x y z x y z 沿e n 所指的方向穿过S 的通量。
（提示：注意r 与e n 同向）解 将r e e e =++x y z x y z 用球坐标表示，则在S 面上有n a e r =，因此，可得3222d a a a sππ=⨯=⋅⎰s r1-13 求均匀矢量场A 通过半径为R 的半球面的通量。
（如图1-1所示）解 设半球面的方程为x y z a 2222++=≥ (z 0),则矢量A 通过S 面的通量等于矢量A 通过S 面在0=z 的平面上的投影的通量，因此，2d R A sπ=⋅⎰s A1-14 计算曲面积分y x x z x z yz y z y xy x Sd d )12(d d )2(d d )2(22+-+-+-=Φ⎰⎰,其中S 是球心在原点，半径为a 的球面外侧。
解 设z y x x z yz y xy x e e e A )12()2()2(22+-+-+-=，根据散度定理，可得()()32234d 1222222d d d d )12(d d )2(d d )2(a v x z z y y x v y x x z x z yz y z y xy x vv sSπ=+-+-+-=⋅∇=⋅=+-+-+-=Φ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰A sA1-15 求矢量场A 从内穿出所给闭曲面S 的通量：1）A e e e =++x y z x y z 333，S 为球面x y z a 2222++= 2）A e e e =-++-++-+（x y z y z x z x y x y z )()()，S 为椭球面x a y b z c2222221++= 解 1） 根据散度定理，可得()()522222512d 43d 333d d a r r r v z y x v avvsππ=⨯=++=⋅∇=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰A s A 2）()()abc abc v v vv s ππ4343d 111d d =⨯=++=⋅∇=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰A s A1-16 求下列空间矢量场的散度：1）A e e e =-+-+-()()()2332z y x z y x x y z 2）A e e e =-+++-()()()3232322x yz y yz xyz xz x y z解 1） 0=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇z A y A x A zy x A2） xz xy z y x zA y A x A zy x 63622-+++=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A1-17 求div A 在给定点处的值：1）A e e e =++x y z x y z 333在M （1.0，0.0，-1.0)处； 2）A e e e =-+422x xy z x y z ,在M （1.0，1.0，3.0）处； 3）A r r e e e ==++xyz x y z x y z ()在M （1.0，3.0，2.0）处。
解 1） 222333z y x z A y A x A zy x ++=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A ，则633=+=⋅∇M A 2） z x z A y A x A zy x 224+-=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A ，则8624=+-=⋅∇M A3） ()[]xyzxyz xyz xyz z y x xyz zA y A x A z y x zy x 6222=++=++⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇e e e A ， 则362316=⨯⨯⨯=⋅∇M A1-18 求标量场u x y z =342的梯度场的散度。