面面垂直习题

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面面垂直基础训练题基础训练题(有详解)(有详解)

面面垂直基础训练题（有详解)一、单选题1．平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，且1160C CB C CD BCD ∠=∠=∠=︒，2CD =，132C C =，则二面角1C BD C --的平面角的余弦值为（）A ．12B ．13C ．3D 2．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA =，3AD =，4AB =，则点B 到平面1D AC 的距离为（）A B ．1213C D ．253．在正四面体P ABC -中，,,D E F 分别是,,AB BC CA 的中点，下面四个结论中不成立的是（） A ．//BC 平面PDF B ．DF ⊥平面PAE C ．平面PDF ⊥平面ABC D ．平面PDF ⊥平面PAE二、解答题4．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，90BAD ∠=，4AB =，2AD =，3DC =，点E 在CD 上，且2DE =，将ADE 沿AE 折起，使得平面ADE ⊥平面ABCE （如图）.G 为AE 中点.（1）求证:DG ⊥平面ABCE ；（2）求四棱锥D ABCE -的体积；（3）在线段BD 上是否存在点P ，使得//CP 平面ADE ？若存在，求BPBD的值；若不存在，请说明理由.5．如图，四棱锥P ABCD -的底面是菱形，PO ⊥底面ABCD ，O 、E 分别是AD 、AB 的中点，6AB =，5AP =，60BAD ∠=︒.（1）求证：平面PAC ⊥平面POE ；（2）求直线PB 与平面POE 所成角的正弦值；（3）若F 是边DC 的中点，求异面直线BF 与PA 所成角的正切值.6．如图1所示，在矩形ABCD 中， 2,4AB AD ==， E 为 C D 的中点，沿 AE 将AED∆折起，如图2所示， O H M 、、分别为AE BD AB 、、的中点，且 2DM =．（1）求证： //OH 平面DEC ；（2）求证：平面ADE ⊥平面 ABCE ．7．如图，在三棱锥P —ABC 中，△PBC 为等边三角形，点O 为BC 的中点，AC⊥PB，平面PBC⊥平面ABC ．（1）求直线PB 和平面ABC 所成的角的大小；（2）求证：平面PAC⊥平面PBC ；（3）已知E 为PO 的中点，F 是AB 上的点，AF ＝λAB ．若EF∥平面PAC ，求λ的值． 8．如图，三棱柱111ABC A B C -中，1BC CC =，平面11A BC ⊥平面11BCC B .证明：（1） //AC 平面11A BC ；（2）平面1AB C ⊥平面11A BC ．9．如图，已知四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD CD ⊥，//AB CD ，2CD AB =.（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面PAD ；（Ⅱ）在侧棱PC 上是否存在点M ，使得//BM 平面PAD ，若存在，确定点M 位置；若不存在，说明理由．10．如图，ABC ∆是边长为2的正三角形.若1AE =，AE ⊥平面ABC ，平面BCD ⊥平面ABC ，BD CD =，且BD CD ⊥.（1）求证：AE 平面BCD ；（2）求证：平面BDE ⊥平面CDE .11．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，V ABC 与111A B C △都为正三角形，且1AA ⊥平面ABC ，1F F ，分别是11AC A C ，的中点.求证：（1）平面11AB F ∥平面1C BF ；（2）平面11AB F ⊥平面11ACC A .12．如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM ∠=︒，以AC 为折痕将ACM ∆折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥.（Ⅰ）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（Ⅱ）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且13BP DQ DA ==，求二面角Q PA C --的大小的正切值．13．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形， MA ⊥平面ABCD ，//,PD MA E G F 、、分别为MB PB PC 、、的中点，且2AD PD MA ==.（1）求证：平面//EFG 平面PMA ；（2）求证：平面P DC EFG ⊥平面；14．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，1AB =，2BC =，60ABC ∠=（Ⅰ）设平面PBC ⋂平面PAD l =，求证：//BC l （II ）求证：平面PAC ⊥平面PAB15．如图，四棱锥P -ABCD 的底面是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是AB ，PD 的（Ⅱ）求证：平面PEC⊥平面PCD．参考答案1．D 【解析】【分析】作出二面角1C BD C --的平面角，利用余弦定理计算出二面角的余弦值. 【详解】连接AC 交BD 于O ，连接1C O ，由于四边形ABCD 是菱形，所以BD CO ⊥.由于1111CD CB C CD C CB C C C C=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以11C CD C CB ∆≅∆，所以11C D C B =，所以1BD C O ⊥.故1C OC ∠是二面角1C BD C --的平面角.由于1160C CB C CD BCD ∠=∠=∠=︒，2CD =，132C C =，所以2,1BD OB OD ===,1113602C B C D===,所以132C O ==，而OC =在三角形1C OC中，由余弦定理得199344cos 3322C OC +-∠==.故选D.【点睛】本小题主要考查利用几何法求二面角的余弦值，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 2．B【解析】【分析】根据等体积法：11D ACD D ACD V V --=得到1111,33ACD ACD S h S DD ⨯=⨯分别求出三角形的面积代入上式得到结果. 【详解】连接BD 交AC 于O 点，根据长方形对角线互相平分得到O 点为BD 的中点，故点B 到面1D AC 的距离等于点D 到面1D AC 的距离，根据11D ACD D ACD V V --=，设点D 到面1D AC 的距离为h,故得到1111,33ACD ACD S h S DD ⨯=⨯115,AC AD CD == 根据余弦定理得到11113cos 2AD CAD C AD C S ===，6ACDS =将面积代入上式得到h=1213. 故答案为：B. 【点睛】本题考查了点面距离的求法，点面距可以通过建立空间直角坐标系来求得点面距离，或者寻找面面垂直，再直接过点做交线的垂线即可;当点面距离不好求时，还可以等体积转化. 3．C 【解析】【分析】由//DF BC ，能证明//BC 平面PDF ；由已知推导出AE BC ⊥，PE BC ⊥，从而BC ⊥平面PAE ，进而DF ⊥平面PAE ；由已知得平面PAE ⊥平面ABC ，从而平面PDE 与平面ABC 不垂直；由DF ⊥平面PAE ，推导出平面PDF ⊥平面PAE ．【详解】∵在正四面体P ABC -中，,,D E F 分别是,,AB BC CA 的中点， ∴//DF BC ，∵DF ⊂平面PDF ，BC ⊄平面PDF ， ∴//BC 平面PDF ，故A 正确；∵AB AC PB PC ===，E 是BC 中点， ∴AE BC ⊥，PE BC ⊥， ∵AE PE E ⋂=， ∴BC ⊥平面PAE ， ∵//DF BC ，∴DF ⊥平面PAE ，故B 正确； ∵DF ⊥平面PAE ，DF ⊂平面ABC ， ∴平面PAE ⊥平面ABC ，∵平面PAE ⋂平面PDE PE =，且PE 与平面ABC 不垂直， ∴平面PDE 与平面ABC 不垂直，故C 错误； ∵DF ⊥平面PAE ，且DF ⊂平面PDF ， ∴平面PDF ⊥平面PAE ，故D 正确,故选C ．【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查线面平行、线面垂直、面面垂直，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. ．4．(1)见证明；(2) (3)34BP BD = 【解析】【分析】（1）证明DG AE ⊥，再根据面面垂直的性质得出DG ⊥平面ABCE ；（2）分别计算DG 和梯形ABCE 的面积，即可得出棱锥的体积；（3）过点C 作//CF AE 交AB 于点F ，过点F 作//FP AD 交DB 于点P ，连接PC ，可证平面//CFP 平面ADE ，故//CP 平面ADE ，根据//FP AD 计算BPBD的值. 【详解】（1）证明：因为G 为AE 中点，2AD DE ==，所以DG AE ⊥.因为平面ADE ⊥平面ABCE ，平面ADE平面ABCE AE =，DG ⊂平面ADE ，所以DG ⊥平面ABCE ．（2）在直角三角形ADE 中，易求AE =则AD DEDG AE⋅==．所以四棱锥D ABCE -的体积为1(14)232D ABCE V -+⨯=⨯=（3）过点C 作//CF AE 交AB 于点F ，则:1:3AF FB =．过点F 作//FP AD 交DB 于点P ，连接PC ,则:1:3DP PB =．又因为CF//A E ，AE ⊂平面,ADE CF ⊄平面ADE , 所以CF //平面ADE ．同理//FP 平面ADE ．又因为CF PF F ⋂=，所以平面CFP //平面ADE ．因为CP ⊂平面CFP ，所以//CP 平面ADE ．所以在BD 上存在点P ，使得//CP 平面ADE ，且34BP BD =. 【点睛】本题主要考查线面垂直的性质与判定，线面平行的性质与判定以及四棱锥的体积，考查学生的空间想象能力和推理论证能力.计算柱锥台的体积的关键是根据条件找出相应的底面积和高，如果给出的几何体不规则，需要利用求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法.5．（1）见解析；（2）86；（3）9【解析】【分析】（1）根据四边形ABCD 是菱形，证得AC BD ⊥，由平行得到OE AC ⊥，结合PO AC ⊥，证得AC ⊥平面POE ，由此证得平面PAC ⊥平面POE .（2）作出线面角，然后解直角三角形求得线面角的正弦值.（3）作出异面直线所成的角，然后利用余弦定理求得角的余弦值，进而求得其正切值.【详解】（1）证明：ABCD 是菱形，AC BD ⊥，//OE BD OE AC ∴⊥，PO ⊥底面ABCD ，PO AC ⊥，OE ，OP ⊂平面POEOE OP O =，AC ∴⊥平面POE ，AC ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面POE（2）过点B 作BM OE ⊥于M ，易证PO BM ⊥，OE ，OP ⊂平面POEOE OP O =，BM ∴⊥平面POE ，PM ∴是PB 在平面POE 上的射影BPM ∠即为所求，在Rt PMB ∆中，2BM =，PB =sin BM BPM PB ∠==（3）分别取AB ，PB 中点H ，T ，易证//DH BF ，//TH PADHT ∴∠即为异面直线BF 与PA 所成角或其补角在DHT ∆中，DH =，52HT =，DT =cos 10DHT ∴∠= tan 9DHT ∴∠=【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查线线角的正切值的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.6．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）取BC 中点Q ，连接OQ ，通过证明线线平行，证得平面//DEC 平面OHQ ，由此证得 //OH 平面DEC .（2）连接OD ，OM ，根据等腰三角形的性质，证得DO AE ⊥，利用勾股定理证得DO OM ⊥，由此证得OD ⊥平面ABCE ，进而证得平面ADE ⊥平面 ABCE .【详解】（1）证明：取BC 中点Q ，连接OQ （如图），易证//OQ 平面DEC//HQ 平面DEC ，OQ ，HQ ⊂平面OHQ ，OQ HQ Q =∴平面//DEC 平面OHQ ，OH ⊂平面OHQ ，//OH ∴平面DEC（2）证明：连接OD ，OM ，DA DE =，O 为AE 中点DO AE ∴⊥，222DO OM DM +=，DO OM ∴⊥AE ，OM ⊂平面ABCE ，AE OM O =，OD ∴⊥平面ABCEOD ⊂平面ADE ∴平面ADE ⊥平面ABCE【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.7．（1）060；（2）证明见解析；（3）13λ=【解析】【分析】（1）先找到直线PB 与平面ABC 所成的角为PBO ∠,再求其大小；（2）先证明PO AC ⊥, 再证明平面PAC⊥平面PBC ；（3）取CO 的中点G,连接EG ,过点G 作FG||AC,再求出λ的值.【详解】（1）因为平面PBC⊥平面ABC ，PO⊥BC, 平面PBC∩平面ABC=BC,PO PBC ⊂平面, 所以PO ⊥平面ABC,所以直线PB 与平面ABC 所成的角为PBO ∠,因为0=60PBO ∠，所以直线PB 与平面ABC 所成的角为060.(2)因为PO ⊥平面ABC,所以PO AC ⊥,因为AC ⊥PB ，,,PO PB PBC POPB P ⊂=平面,所以AC ⊥平面PBC,因为AC ⊂平面PAC,所以平面PAC⊥平面PBC.(3)取CO 的中点G ,连接EG ,过点G 作FG||AC,由题得EG||PC,所以EG||平面APC,因为FG||AC ，所以FG||平面PAC,EG,FG ⊂平面EFO,EG ∩FG=G ,所以平面EFO||平面PAC,因为EF ⊂平面EFO,所以EF||平面PAC.此时AF=11,33AB λ∴=. 【点睛】本题主要考查空间几何元素垂直关系的证明，考查线面角的求法，考查空间几何中的探究性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据三棱柱特点可知11//AC A C ，根据线面平行判定定理证得结论；（2）由四边形11BCC B 为菱形可得11B C BC ⊥，根据面面垂直的性质可知1B C ⊥平面11A BC ，根据面面垂直的判定定理证得结论.【详解】（1）几何体为三棱柱 ⇒四边形11ACC A 为平行四边形 11//AC A C ⇒又11A C ⊂平面11A BC ，AC ⊄平面11A BC //AC ∴平面11A BC（2）1BC CC =且四边形11BCC B 为平行四边形∴四边形11BCC B 为菱形 11B C BC ⊥∴又平面11A BC ⊥平面11BCC B ，平面11A BC ⋂平面111BCC B BC =1B C ∴⊥平面11A BC又1B C ⊂平面1AB C ∴平面1AB C ⊥平面11A BC【点睛】本题考查直线与平面平行、平面与平面垂直关系的证明，涉及到空间几何体的结构、面面垂直性质定理的应用等知识，属于常考题型.9．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）先证明PD AB ⊥和AD AB ⊥，进而求出AB ⊥平面PAD ，然后就可以证出平面PAB ⊥平面PAD（Ⅱ）连接MN ，AN ，易得MN 是PCD ∆的中位线，即可证明四边形ABMN 为平行四边形，然后，利用定义，即可求证//BM平面PAD 【详解】（Ⅰ）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD AB ⊥．又因为AD CD ⊥，//AB CD ，所以AD AB ⊥．又AD PD D =I ，,AD PD ⊂平面PAD ．可得AB ⊥平面PAD ．又AB Ì平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ．（Ⅱ）当点M 是PC 的中点时，//BM 平面PAD ．证明如下：设PD 的中点为N ，连接MN ，AN ，易得MN 是PCD ∆的中位线，所以//MN CD ，12MN CD =．由题设可得//AB CD ，2CD AB =，所以//MN AB ，MN AB =．所以四边形ABMN 为平行四边形，所以//BMAN ．又BM ⊄平面PAD ，AN ⊂平面PAD ，所以//BM 平面PAD ．【点睛】本题考查面面垂直与线面平行的证明，属于基础题10．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）取BC 的中点M ，连接DM ，由平面BCD ⊥平面ABC ，得DM ⊥平面ABC ，再证AE DM 即可证明（2）证明CD ⊥平面BDE ，再根据面面垂直的判定定理从而进行证明．【详解】（1）取BC 的中点M ，连接DM ，因为BD CD =，且BD CD ⊥，2BC =.所以1DM =，DM BC ⊥.又因为平面BCD ⊥平面ABC ，所以DM ⊥平面ABC ，又AE ⊥平面ABC ，所以AE DM又因为AE ⊄平面BCD ，DM ⊂平面BCD ，所以AE 平面BCD .（2）连接AM ，由（1）知AE DM ，又1AE =，1DM =，所以四边形DMAE 是平行四边形，所以DE AM .又ABC ∆是正三角形，M 为BC 的中点，∴AM BC ⊥，因为平面BCD ⊥平面ABC ，所以AM ⊥平面BCD ，所以DE ⊥平面BCD .又CD ⊂平面BCD ，所以DE CD ⊥.因为BD CD ⊥，BD DE D ⋂=，所以CD ⊥平面BDE .因为CD ⊂平面CDE ，所以平面BDE ⊥平面CDE .【点睛】本题考查了线面平行的证明，线面垂直，面面垂直的判定定理，考查空间想象和推理能力，熟记定理是关键，是一道中档题．11．(1)见解析.(2)见解析.【解析】【分析】（1）由1,F F 分别是11,AC A C 的中点，证得1111,B F BF AF C F ∥∥，由线面平行的判定定理，可得11B F //平面1C BF ，1AF //平面1C BF ，再根据面面平行的判定定理，即可证得平面11AB F ∥平面1C BF .（2）利用线面垂直的判定定理，可得11B F ⊥平面11ACC A ，再利用面面垂直的判定定理，即可得到平面11AB F ⊥平面11ACC A .【详解】（1）在三棱柱111ABC A B C -中，因为1,F F 分别是11,AC A C 的中点，所以1111,B F BF AF C F ∥∥，根据线面平行的判定定理，可得11B F //平面1C BF ，1AF //平面1C BF又11111,B F AF F C F BF F ==，∴平面11AB F ∥平面1C BF .（2）在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面111A B C ，所以111B F AA ⊥，又1111B F AC ⊥，1111A C AA A =，所以11B F ⊥平面11ACC A ，而11B F ⊂平面11AB F ，所以平面11AB F ⊥平面11ACC A .【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．12．（Ⅰ）详见解析；【解析】【分析】（Ⅰ）证明AB AC ⊥，结合AB DA ⊥，证明AB ⊥平面ACD ，然后证明平面ACD ⊥平面ABC ；（Ⅱ）过Q 作//QN DC 交AC 于点N ，过N 作NO AP ⊥交AP 于点O ；证明DC ⊥平面ABC ，推出QN AP ⊥，结合NO AP ⊥，推出AP ⊥平面QNO ，即可证明QO AP ⊥，NOQ ∠就是二面角Q PA C --的平面角；通过求解三角形的相关知识即可求解二面角Q PA C --大小的正切值．【详解】（Ⅰ）平行四边形ABCM 中，90ACM ∠= 90BAC ∴∠=，即AB AC ⊥ 又AB DA ⊥，DA AB A = AB ∴⊥平面ACDAB ⊂平面ABC ∴平面ACD ⊥平面ABC（Ⅱ）在ACD ∆中，过Q 作//QN DC 交AC 于点N ，过N 作NO AP ⊥交AP 于点O 由（Ⅰ）知平面ACD ⊥平面ABC平面ACD ⋂平面ABC AC =，90DCA ∠=o DC ∴⊥平面ABC//QN DC QN ∴⊥平面ABC ，AP ⊂平面ABC QN AP ∴⊥又NO AP ⊥，QN NO N = AP ∴⊥平面QNOQO ⊂平面NQO QO AP ∴⊥NOQ ∴∠就是二面角Q PA C --的平面角在CAP ∆中，3CA =，23CP CB ==45ACP ∠=(2222232342co 5s 5AP AC CP AC CP ACP ∴=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯︒=AP ∴=在CAP ∆中，sin sin CP AP CAP ACP=∠∠，即：sin 2CAP =∠sin sin CAP NAO ∴∠==∠ ACD ∆中，//QN DC ，且223DQ AC ==，223QN CD == 在Rt NAO ∆中，sin 2NO AN NAO =∠==. 在Rt NOQ ∆中，2tan 4NQ NOQ NO ∠===∴二面角Q PA C --大小的正切值2【点睛】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力；准确找到二面角的平面角是解决本题的关键.13．（1）证明过程详见解析（2）证明过程详见解析；【解析】【分析】(1)由三角形中位线定理可得//,//EG PM GF BC ，由正方形的性质可得//BC AD ，GF AD //，由线面平行的判定定理可得//EG 平面PMA ， //GF 平面PMA ，从而可得结果；(2)由线面垂直的性质证明PD BC ⊥,正方形的性质可得BC DC ⊥，结合//GF BC ，可得GF ⊥平面PDC ，从而可得平面EFG ⊥平面PDC ；【详解】(1)∵E G F 、、分别为MB PB PC 、、的中点，∴//,//EG PM GF BC ，又∵四边形ABCD 是正方形，∴//BC AD ，∴GF AD //，∵EG GF 、在平面PMA 外， PM AD 、在平面PMA 内，∴//EG 平面PMA ， //GF 平面PMA ，又∵EG GF 、都在平面EFG 内且相交，∴平面//EFG 平面PMA .(2)证明：由已知MA ⊥平面,//ABCD PD MA ，∴PD ⊥平面ABCD .又BC ⊂平面ABCD ，∴PD BC ⊥.∵四边形ABCD 为正方形，∴BC DC ⊥，又PD DC D =，∴BC ⊥平面PDC ，在PBC ∆中，∵G F 、分别为PB PC 、的中点，∴//GF BC ，∴GF ⊥平面PDC .又GF ⊂平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面PDC .【点睛】本题主要考查正方体的性质、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理以及线面平行、面面平行的判定定理，属于中档题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论()||,a b a b αα⊥⇒⊥；（3）利用面面平行的性质(),||a a ααββ⊥⇒⊥；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.14．（Ⅰ）见解析；（II ）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）根据线面平行判定定理可知//BC 平面PAD ；利用线面平行性质定理可证得结论；（II ）根据线面垂直性质定理可得PA AC ⊥，利用余弦定理求得AC ，根据勾股定理可证得AC AB ⊥，利用线面垂直判定定理证得AC ⊥平面PAB ，根据面面垂直判定定理可证得结论.【详解】（Ⅰ）//BC AD ，AD ⊂平面PAD ，BC Ë平面PAD//BC ∴平面PADBC ⊂平面PBC ，且平面PBC ⋂平面PAD l =//BC l ∴（II ）PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD PA AC∴⊥ 1AB =，2BC =，60ABC ∠=，由余弦定理得：3AC ==222AB AC BC ∴+= AC AB∴⊥ 又AC PA ⊥，PA AB A =，PA ⊂平面PAB ，AB Ì平面PABAC ∴⊥平面PAB又AC ⊂平面PAC ∴平面PAC ⊥平面PAB【点睛】本题考查立体几何中的线面平行的证明与性质、面面垂直的证明、线面垂直的证明与性质应用，考查学生对于空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关定理的掌握情况.15．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）取PC 的中点G ，连结FG 、EG ，AF ∥EG 又EG⊂平面PCE ，AF ⊄平面PCE ，AF ∥平面PCE ；（Ⅱ）由（Ⅰ）得EG ∥AF ，只需证明AF ⊥面PDC ，即可得到平面PEC ⊥平面PCD ．【详解】证明：（Ⅰ）取PC 的中点G ，连结FG 、EG ，∴FG 为△CDP 的中位线，FG ∥CD ，FG =12CD ． ∵四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点，∴AE ∥CD ，AE =12CD ． ∴FG =AE ，FG ∥AE ，∴四边形AEGF 是平行四边形，∴AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，∴AF∥平面PCE；（Ⅱ）∵PA=AD．∴AF⊥PDPA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又因为CD⊥AB，AP∩AB=A，∴CD⊥面APD∴CD⊥AF，且PD∩CD=D，∴AF⊥面PDC由（Ⅰ）得EG∥AF，∴EG⊥面PDC又EG⊂平面PCE，∴平面PEC⊥平面PCD．【点睛】本题考查了空间线面平行、面面垂直的判定，属于中档题．。

立体几何第六讲面面垂直练习题(含答案)

第六节面面关系(一)平行 (二)垂直1．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.2．【2012高考江西文19】（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 是线段AB 上的两点，且DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，AB=12，AD=5，BC=42△ADE ，△CFB 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合与点G ，得到多面体CDEFG .（1）求证：平面DEG ⊥平面CFG ；（2）求多面体CDEFG 的体积。

3.如图，已知空间四边形中，,BC AC AD BD ==，E是AB 的中点。

求证：（1）⊥AB 平面CDE;（2）平面CDE ⊥平面ABC 。

4.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点. （1）求证：1//A C 平面BDE ；B 1C BADC 1A 1AEDBCA AC⊥平面BDE.（2）求证：平面15.已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是菱形，∠PDDAB,60平面ABCD，PD=AD，=⊥︒点E为AB中点，点F为PD中点.（1）证明平面PED⊥平面PAB；（2）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值第六节面面关系答案（一）平行（二）垂直1.【命题意图】本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力，是简单题.【解析】（Ⅰ）由题设知BC ⊥1CC ,BC ⊥AC ，1CC AC C ⋂=,∴BC ⊥面11ACC A , 又∵1DC ⊂面11ACC A ，∴1DC BC ⊥,由题设知01145A DC ADC ∠=∠=,∴1CDC ∠=090,即1DC DC ⊥,又∵DC BC C ⋂=, ∴1DC ⊥面BDC , ∵1DC ⊂面1BDC ， ∴面BDC ⊥面1BDC ；（Ⅱ）设棱锥1B DACC -的体积为1V ，AC =1，由题意得，1V =1121132+⨯⨯⨯=12，由三棱柱111ABC A B C -的体积V =1，∴11():V V V -=1:1， ∴平面1BDC 分此棱柱为两部分体积之比为1:1.2.【解析】（1）由已知可得AE=3，BF=4，则折叠完后EG=3，GF=4，又因为EF=5，所以可得EG GF ⊥又因为CF EGF ⊥底面,可得CF EG ⊥，即EG CFG ⊥面所以平面DEG ⊥平面CFG . （2）过G 作GO 垂直于EF ，GO 即为四棱锥G-EFCD 的高，所以所求体积为11125520335DECF S GO ⋅=⨯⨯⨯=正方形3.证明：（1）BC AC CE AB AE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭同理，AD BD DE AB AE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭又∵CE DE E ⋂= ∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE又∵AB ⊆平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC 4.证明：（1）设AC BD O ⋂=，∵E 、O 分别是1AA 、AC 的中点，∴1A C ∥EO又1AC ⊄平面BDE ，EO ⊂平面BDE ，∴1A C ∥平面BDE （2）∵1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，1AA BD ⊥ 又BD AC ⊥，1AC AA A⋂=，∴BD ⊥平面1A AC ，BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面1A AC5.（1）证明：连接BD.ADB DAB AD AB ∆∴︒=∠=,60, 为等边三角形.E 是AB 中点，.DE AB ⊥∴⊥PD 面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，.PD AB ⊥∴⊂DE 面PED ，PD ⊂面PED ，⊥∴=AB D PD DE , 面PED. ⊂AB 面PAB ，⊥∴PED 面面PAB.（2）解：⊥AB 平面PED ，PE ⊂面PED ，.PE AB ⊥∴ 连接EF ，⊂EF PED ，.EF AB ⊥∴PEF ∠∴为二面角P —AB —F 的平面角. 设AD=2，那么PF=FD=1，DE=3. 在,1,2,7,===∆PF EF PE PEF 中,147572212)7(cos 22=⨯-+=∠∴PEF 即二面角P —AB —F 的平面角的余弦值为.1475立体几何练习题1.设α、β、γ为两两不重合的平面，l 、m 、n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β；③若α∥β，l ⊂α，则l ∥β；④若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，l ∥γ，则m ∥n ．其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42.正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，BD 1与平面ABCD 所成角的余弦值为（） A ．B ．CD ．3.三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1=2且AA 1⊥平面ABC ，△ABC 是边长为的正三角形，该三棱柱的六个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为（） A ． 8πB ．C ．D ． 8π4.三个平面两两垂直，它们的三条交线交于点O ，空间一点P 到三个平面的距离分别为3、4、5，则OP 长为（）A ． 5B ． 2C ． 3D ． 55.如图，四棱锥S ﹣ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是（） A ． AC⊥SB B ．AB∥平面SCDC ． SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ． AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角6.如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ，PD=AD=1，设点CG 到平面PAB 的距离为d 1，点B 到平面PAC 的距离为d 2，则有（） A ． 1＜d 1＜d 2 B ． d 1＜d 2＜1C ． d 1＜1＜d 2D ． d 2＜d 1＜17.在锐角的二面角βα--EF ，A EF ∈，AG α⊂， 45=∠GAE ，若AG 与β所成角为 30，则二面角βα--EF 为__________. 8.给出下列四个命题：(1)若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则βα//； (2)两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条平行直线；(3)两条异面直线中的一条平行于平面α，则另一条必定不平行于平面α； (4)b ,a 为异面直线，则过a 且与b 平行的平面有且仅有一个．其中正确命题的序号是_______________________9.已知正方体 1111ABCD A B C D -中，点E 是棱 11A B 的中点，则直线AE 与平而 11BDD B 所成角的正弦值是_________.EFA Gαβ10.已知直三棱柱111ABC A B C -中，090ABC ∠=，122AC AA ==，2AB =，M 为1BB 的中点，则1B 与平面ACM 的距离为______11.边长分别为a 、b 的矩形，按图中所示虚线剪裁后，可将两个小矩形拼接成一个正四棱锥的底面，其余恰好拼接成该正四棱锥的4个侧面，则ba的取值范围是． 12.已知矩形ABCD 的长4AB =，宽3AD =，将其沿对角线BD 折起，得到四面体A BCD -，如图所示，给出下列结论：①四面体A BCD -体积的最大值为725； ②四面体A BCD -外接球的表面积恒为定值；③若E F 、分别为棱AC BD 、的中点，则恒有EF AC ⊥且EF BD ⊥； ④当二面角A BD C --为直二面角时，直线AB CD 、所成角的余弦值为1625； ⑤当二面角A BD C --的大小为60︒时，棱AC 的长为145．其中正确的结论有 (请写出所有正确结论的序号)． 13.如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=BB 1，直线B 1C 与平面ABC 成30°角．（I ）求证：平面B 1AC⊥平面ABB 1A 1；（II ）求直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值．14.如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知PA⊥AC，PA=AB=6，BC=8，DF=5．（1）若PB⊥BC，证明平面BDE⊥平面ABC ．（2）求直线BD 与平面ABC 所成角的正切值．15.如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=1，AA 1=2，点P 为DD 1的中点．（1）求证：直线BD 1∥平面PAC ；4343AB CD4334DCBA（2）求证：平面PAC⊥平面BDD1B1；（3）求CP与平面BDD1B1所成的角大小．16.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上（1）求证：AC⊥平面PDB（2）当PD=AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．17.在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD中点．（Ⅰ）求证：PB∥平面ACM；（Ⅱ）求证：AD⊥平面PAC；（Ⅲ）求二面角M﹣AC﹣D的正切值．18.如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）若PA=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的正切值．19.如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA⊥CB，AA1=AC=CB=2，D是AB的中点．（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）求证：A1C⊥AB1；（3）若点E在线段BB1上，且二面角E﹣CD﹣B的正切值是，求此时三棱锥C﹣A1DE的体积．20.如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．（1）求证：AC⊥SD；（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P﹣AC﹣D的大小；（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．试卷答案1.B：解：若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能平行也可能相交，故①错误；由于m，n不一定相交，故α∥β不一定成立，故②错误；由面面平行的性质定理，易得③正确；由线面平行的性质定理，我们易得④正确；故选B2.D考点：棱柱的结构特征．专题：空间角．分析：找出BD1与平面ABCD所成的角，计算余弦值．解答：解：连接BD，；∵DD1⊥平面ABCD，∴BD是BD1在平面ABCD的射影，∴∠DBD1是BD1与平面ABCD所成的角；设AB=1，则BD=，BD1=，∴cos∠DBD1===；故选：D．点评：本题以正方体为载体考查了直线与平面所成的角，是基础题．3.C考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据题意，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的体积．解答：解：由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，因为△ABC是边长为的正三角形，所以底面中心到顶点的距离为：1；因为AA1=2且AA1⊥平面ABC，所以外接球的半径为：r==．所以外接球的体积为：V=πr3=π×（）3=．故选：C．点评：本题给出正三棱柱有一个外接球，在已知底面边长的情况下求球的体积．着重考查了正三棱柱的性质、正三角形的计算和球的体积公式等知识，属于中档题．4.D考点：平面与平面垂直的性质．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：构造棱长分别为a，b，c的长方体，P到三个平面的距离即为长方体的共顶点的三条棱的长，OP为长方体的对角线，求出OP即可．解答：构造棱长分别为a，b，c的长方体，P到三个平面的距离即为长方体的共顶点的三条棱的长，则a2+b2+c2=32+42+52=50因为OP为长方体的对角线．所以OP=5．故选：D．点评：本题考查点、线、面间的距离计算，考查计算能力，是基础题．5.D考点：直线与平面垂直的性质．专题：综合题；探究型．分析：根据SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，以及三垂线定理，易证AC⊥SB，根据线面平行的判定定理易证AB∥平面SCD，根据直线与平面所成角的定义，可以找出∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠CSO是SC与平面SBD所成的角，根据三角形全等，证得这两个角相等；异面直线所成的角，利用线线平行即可求得结果．解答：解：∵SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，∴连接BD，则BD⊥AC，根据三垂线定理，可得AC⊥SB，故A正确；∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确；∵SD⊥底面ABCD，∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠DSO是SC与平面SBD所成的，而△SAO≌△CSO，∴∠ASO=∠CSO，即SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确；∵AB∥CD，∴AB与SC所成的角是∠SCD，DC与SA所成的角是∠SAB，而这两个角显然不相等，故D不正确；故选D．点评：此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和线面平行的判定定理，以及直线与平面所成的角，异面直线所成的角等问题，综合性强．6.D考点：点、线、面间的距离计算．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：过C做平面PAB的垂线，垂足为E，连接BE，则三角形CEB为直角三角形，根据斜边大于直角边，再根据面PAC和面PAB与底面所成的二面角，能够推导出d2＜d1＜1．解答：解：过C做平面PAB的垂线，垂足为E，连接BE，则三角形CEB为直角三角形，其中∠CEB=90°，根据斜边大于直角边，得CE＜CB，即d2＜1．同理，d1＜1．再根据面PAC和面PAB与底面所成的二面角可知，前者大于后者，所以d2＜d1．所以d2＜d1＜1．故选D．点评：本题考查空间距离的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意空间角的灵活运用．7.48.(2)(4)10.111.1 (,) 212.②③④13.考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：证明题．分析：（I）欲证平面B1AC⊥平面ABB1A1，关键是寻找线面垂直，而AC⊥平面ABB1A1，又AC⊂平面B1AC，满足面面垂直的判定定理；（II）过A1做A1M⊥B1A1，垂足为M，连接CM，∠A1CM为直线A1C与平面B1AC所成的角，然后在三角形A1CM 中求出此角的正弦值即可．解答：解：（I）证明：由直三棱柱性质，B1B⊥平面ABC，∴B1B⊥AC，又BA⊥AC，B1B∩BA=B，∴AC⊥平面ABB1A1，又AC⊂平面B1AC，∴平面B1AC⊥平面ABB1A1．（II）解：过A1做A1M⊥B1A1，垂足为M，连接CM，∵平面B1AC⊥平面ABB1A，且平面B1AC∩平面ABB1A1=B1A，∴A1M⊥平面B1AC．∴∠A1CM为直线A1C与平面B1AC所成的角，∵直线B1C与平面ABC成30°角，∴∠B1CB=30°．设AB=BB1=a，可得B1C=2a，BC=，∴直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值为点评：本题主要考查了平面与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．14.考点：直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由已知得DE⊥AC，DE2+EF2=DF2，从而DE⊥平面ABC，由此能证明平面BDE⊥平面ABC．（2）由DE⊥平面ABC，得∠DBE是直线BD与平面ABC所成的角，由此能求出直线BD与平面ABC所成角的正切值．解答：（1）证明：∵在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．PA⊥AC，PA=AB=6，BC=8，DF=5，∴DE⊥AC，DE=3，EF=4，DF=5，∴DE2+EF2=DF2，∴DE⊥EF，又EF∩AC=F，∴DE⊥平面ABC，又DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．（2）∵DE⊥平面ABC，∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，∵PB⊥BC，∴AB⊥BC，∴AC==10，∴，由DE⊥平面ABC，得∠DBE是直线BD与平面ABC所成的角，tan∠DBE==．∴直线BD与平面ABC所成角的正切值为．点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．15.考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：证明题．分析：（1）设AC和BD交于点O，由三角形的中位线的性质可得PO∥BD1，从而证明直线BD1∥平面PAC．（2）证明AC⊥BD，DD1⊥AC，可证AC⊥面BDD1B1，进而证得平面PAC⊥平面BDD1B1 ．（3）CP在平面BDD1B1内的射影为OP，故∠CPO是CP与平面BDD1B1所成的角，在Rt△CPO中，利用边角关系求得∠CPO的大小．解答：（1）证明：设AC和BD交于点O，连PO，由P，O分别是DD1，BD的中点，故PO∥BD1，∵PO⊂平面PAC，BD1⊄平面PAC，所以，直线BD1∥平面PAC．（2）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，底面ABCD是正方形，则AC⊥BD，又DD1⊥面ABCD，则DD1⊥AC．∵BD⊂平面BDD1B1，D1D⊂平面BDD1B1，BD∩D1D=D，∴AC⊥面BDD1B1．∵AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面BDD1B1 ．（3）由（2）已证：AC⊥面BDD1B1，∴CP在平面BDD1B1内的射影为OP，∴∠CPO是CP与平面BDD1B1所成的角．依题意得，，在Rt△CPO中，，∴∠CPO=30°∴CP与平面BDD1B1所成的角为30°．点评：本题考查证明线面平行、面面垂直的方法，求直线和平面所称的角的大小，找出直线和平面所成的角是解题的难点，属于中档题．16.考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）根据题意证明AC⊥BD，PD⊥AC，可得AC⊥平面PDB；（2）设AC∩BD=O，连接OE，根据线面所成角的定义可知∠AEO为AE与平面PDB所的角，在Rt△AOE中求出此角即可．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，又BD∩PD=D∴AC⊥平面PDB，（3分）（2）设AC∩BD=O，连接OE，由（1）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，（5分）又O，E分别为DB、PB的中点，∴OE∥PD，OE=PD，在Rt△AOE中，OE=PD=AB=AO，∴∠AEO=45°，（7分）即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．（8分）点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．17.考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：计算题．分析：（Ⅰ）连接OM，BD，由M，O分别为PD和AC中点，知OM∥PB，由此能够证明PB∥平面ACM．（Ⅱ）由PO⊥平面ABCD，知PO⊥AD，由∠ADC=45°，AD=AC=1，知AC⊥AD，由此能够证明AD⊥平面PAC．（Ⅲ）取DO中点N，连接MN，由MN∥PO，知MN⊥平面ABCD．过点N作NE⊥AC于E，由E为AO中点，连接ME，由三垂线定理知∠MEN即为所求，由此能求出二面角M﹣AC﹣D的正切值．解答：（Ⅰ）证明：连接OM，BD，∵M，O分别为PD和AC中点，∴OM∥PB，∵OM⊂平面ACM，PB⊄ACM平面，∴PB∥平面ACM…．（4分）（Ⅱ）证明：由已知得PO⊥平面ABCD∴PO⊥AD，∵∠ADC=45°，AD=AC=1，∴AC⊥AD，∵AC∩PO=O，AC，PO⊂平面PAC，∴AD⊥平面PAC．…..（8分）（Ⅲ）解：取DO中点N，连接MN，则MN∥PO，∴MN⊥平面ABCD过点N作NE⊥AC于E，则E为AO中点，连接ME，由三垂线定理可知∠MEN即为二面角M﹣AC﹣D的平面角，∵MN=1，NE=∴tan∠MEN=2…..（13分）点评：本题考查直线与平面平行、直线现平面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意三垂直线定理的合理运用．18.考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何．分析：（1）由题设条件及图知，可先由线面垂直的性质证出PA⊥BD与PC⊥BD，再由线面垂直的判定定理证明线面垂直即可；（2）由图可令AC与BD的交点为O，连接OE，证明出∠BEO为二面角B﹣PC﹣A的平面角，然后在其所在的三角形中解三角形即可求出二面角的正切值．解答：（1）∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥BD∵PC⊥平面BDE∴PC⊥BD，又PA∩PC=P∴BD⊥平面PAC（2）设AC与BD交点为O，连OE∵PC⊥平面BDE∴PC⊥平面BOE∴PC⊥BE∴∠BEO为二面角B﹣PC﹣A的平面角∵BD⊥平面PAC∴BD⊥AC∴四边形ABCD为正方形，又PA=1，AD=2，可得BD=AC=2，PC=3∴OC=在△PAC∽△OEC中，又BD⊥OE，∴∴二面角B﹣PC﹣A的平面角的正切值为3点评：本题考查二面角的平面角的求法及线面垂直的判定定理与性质定理，属于立体几何中的基本题型，二面角的平面角的求法过程，作，证，求三步是求二面角的通用步骤，要熟练掌握19.考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）连接AC1交A1C于点F，由三角形中位线定理得BC1∥DF，由此能证明BC1∥平面A1CD．（2）利用线面垂直的判定定理证明A1C⊥平面AB1C1，即可证明A1C⊥AB1；（3）证明∠BDE为二面角E﹣CD﹣B的平面角，点E为BB1的中点，确定DE⊥A1D，再求三棱锥C﹣A1DE 的体积．解答：（1）证明：连结AC1，交A1C于点F，则F为AC1中点，又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF，因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．…（3分）（2）证明：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为AA1=AC，所以AC1⊥A1C…（4分）因为CA⊥CB，B1C1∥BC，所以B1C1⊥平面ACC1A1，所以B1C1⊥A1C…（6分）因为B1C1∩AC1=C1，所以A1C⊥平面AB1C1所以A1C⊥AB1…（8分）（3）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥CD，因为AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB，CD⊥平面ABB1A1．所以CD⊥DE，CD⊥DB，所以∠BDE为二面角E﹣CD﹣B的平面角．在Rt△DEB中，．由AA1=AC=CB=2，CA⊥CB，所以，．所以，得BE=1．所以点E为BB1的中点．…（11分）又因为，，，A1E=3，故，故有DE⊥A1D所以…（14分）点评：本题主要考查直线与平面平行、垂直等位置关系，考查线面平行、二面角的概念、求法、三棱锥C﹣A1DE的体积等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，是中档题．20.考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）连BD，设AC交于BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O﹣xyz，设底面边长为a，求出高SO，从而得到点S与点C 和D的坐标，求出向量与，计算它们的数量积，从而证明出OC⊥SD，则AC⊥SD；（2）根据题意先求出平面PAC的一个法向量和平面DAC的一个法向量，设所求二面角为θ，则，从而求出二面角的大小；（3）在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC，根据（Ⅱ）知是平面PAC的一个法向量，设，求出，根据可求出t的值，从而即当SE：EC=2：1时，，而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC解答：证明：（1）连BD，设AC交于BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O﹣xyz如图．设底面边长为a，则高．于是，，，，故OC⊥SD从而AC⊥SD（2）由题设知，平面PAC的一个法向量，平面DAC的一个法向量．设所求二面角为θ，则，所求二面角的大小为30°．（3）在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC．由（Ⅱ）知是平面PAC的一个法向量，且设，则而即当SE：EC=2：1时，而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及空间两直线的位置关系的判定和二面角的求法，涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强．。

2023高考数学复习专项训练《面面垂直的性质》(含解析)

2023高考数学复习专项训练《面面垂直的性质》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）已知集合A ={ 1,2}，A ∪B ={ 1,2,3,4}，则满足条件的集合B 有( )个．A. 1B. 2C. 3D. 42.（5分）已知a ∈R ，复数z =3+i1+ai (i 为虚部单位)为纯虚数，则z 的共轭复数的虚部为()A. 1B. −1C. iD. −i3.（5分）已知函数f(x)={lo g 2(4−x),x <41+2x−1,x ⩾4，则f(0)+f(log 232)=( )A. 19B. 17C. 15D. 134.（5分）扇形OAB 的半径为1，圆心角为90∘，P 是AB ⏜上的动点，OP →⋅(OA →−OB →)的最小值是( )A. 0B. −1C. −√2D. 125.（5分）设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α，“m//β“是“α//β”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.（5分）已知函数f(x)=sin (ωx +ϕ)(ω>0,|ϕ|<π2的最小正周期为π，且f(x)是(π3,4π5)上的单调函数，则ϕ的取值范围是( )A. (-π2,-π6] B. (-π2,π6] C. [-π6,-π10]D. [-π6,π2)7.（5分）若实数x ，y 满足{x −y −1⩽0x +2⩾0x +2y −1⩽0，则目标函数z =2x +y 的最大值为( )A. 2B. 3C. −7D. −528.（5分）某程序框图如图所示，则程序运行后输出的S的值是()A. 1008B. 2017C. 2018D. 30259.（5分）在等比数列{a n}中，a1=1，公比|q|≠1，若a m=a1a2a3a4a5，则m=()．A. 9B. 10C. 11D. 1210.（5分）已知点P是曲线y=x2−3lnx上任意的一点，则点P到直线2x+2y+3=0的距离的最小值是()A. 74B. 78C. 3√22D. 7√2411.（5分）直线x−2y+2=0关于直线x=1对称的直线方程是()A. x+2y−4=0B. 2x+y−1=0C. 2x+y−3=0D. 2x+y−4=012.（5分）已知边长为3的正方形ABCD与正方形CDEF所在的平面互相垂直，M为线段CD上的动点(不含端点)，过M作MH//DE交CE于H，作MG//AD交BD于G，连结GH.设CM=x(0<x<3)，则下面四个图象中大致描绘了三棱锥C−GHM的体积y与变量x变化关系的是()A. B.C. D.二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）若f(x)=(m−1)x2+6mx+2是偶函数，则f（0）,f（1）,f（-2）从小到大的排列是____________________.14.（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 (1) ；表面积是 (2)15.（5分）已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于__________.16.（5分）设m ，n 已知函数fx )=og2(−|x|+4)的定域是[mn ]值域0，]，若关x 的2|1−x|+m +1=0有一的实解，则m +n = ______ ．17.（5分）已知函数f(x)=12x 2−ax +lnx ，对于任意不同的x 1，x 2∈(0,+∞)，有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>3，则实数a 的取值范围为 ______.三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）已知函数f (x)=(x −1)2，数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的等比数列(q ∈R,q ≠1,q ≠0).若a 1=f(d −1)，a 3=f (d +1)，b 1=f (q −1)，b 3=f (q +1)， (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)若数列{a n }的前n 项和为S n ，①求证：对任意的n ⩾2，(n ∈N ∗)时 1S 2+1S 3+⋯+1S n<1②设数列{c n }对任意的自然数n 均有c1b 1+c 2b 2+c 3b 3+⋯+c n b n=S n+1成立，求c 1+c 2+c 3+⋯+c n 的值．19.（12分）已知函数f(x)=√32sin(ωx +φ)+sin 2(ωx+φ2)−12(ω>0,0<φ<π)为奇函数，且f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为π. (1)求f(x)的解析式；(2)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知f(π2+C)c+f(π2−B)b=1a，求角A 的取值范围．20.（12分）如图，在三棱锥A −BCD 中，ΔABD 为边长等于√2的正三角形，CD =CB =1.ΔADC 与ΔABC 是有公共斜边AC 的全等的直角三角形． (Ⅰ)求证：AC ⊥BD ；(Ⅱ)求D点到平面ABC的距离．21.（12分）已知点(0,1)，(3+2√2,0)，(3−2√2,0)在圆C上．(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线x−y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．22.（12分）已知极坐标中，曲线C的极坐标方程为ρ−2cosθ=3ρ，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，若直线l的参数方程为{x=−√2+2ty=−1+2t，(t 为参数)，且直线l与曲线C交于M，N两点，(Ⅰ)求直线l的极坐标方程以及曲线C的参数方程；(Ⅰ)若点P在曲线C上，求ΔPMN面积的最大值．23.（12分）设函数f(x)=|x−a|．(1)当a=2时，解不等式f(x)⩾7−|x−1|；(2)若f(x)⩽1的解集为[0,2]，1m +12n=a(m>0,n>0)，求证：m+4n⩾2√2+3．答案和解析1.【答案】D;【解析】解：集合A ={ 1,2}，A ∪B ={ 1,2,3,4}，所以B 至少含有，3，4两个元素，所以B 的可能情况为：{ 3,4}，{ 3,4,1}，{ 3,4,2}，{ 3,4,1,2}．故选D ．由题意列举集合B 的所有可能情况，得到集合B 的个数．该题考查集合的基本运算，集合中元素的基本性质，考查计算能力．2.【答案】B; 【解析】解：∵z =3+i 1+ai=(3+i)(1−ai)(1−ai)(1+ai)=3+a 1+a 2−3a−11+a 2i 为纯虚数，∴{3+a1+a 2=01−3a 1+a 2≠0，解得a =−3， ∴z =i ，即z −=−i ， ∴z 的共轭复数的虚部为−1. 故选：B.根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数的性质，即可求解．此题主要考查复数的运算法则，以及复数的性质，属于基础题．3.【答案】A; 【解析】该题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力，属于基础题．利用函数的解析式，直接求解函数值即可．解：函数f(x)={lo g 2(4−x),x <41+2x−1,x ⩾4，则f(0)+f(log 232)=log 24+1+2lo g 232−1 =2+1+12×32=19．故选：A ．4.【答案】B; 【解析】此题主要考查了向量的坐标运算和三角函数的性质，属于中档题．建立平面直角坐标系，求出向量坐标，设P(cosθ,sinθ)，根据向量坐标的运算得到OP →.(OA →−OB →)，根据三角函数的性质即可求出最值．解：以O 为原点，以OA 为x 轴，建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B(0,1). 设P(cosθ,sinθ)，0°⩽θ⩽90°.则OP →=(cosθ,sinθ)，OA →=(1,0),OB →=(0,1).∴OP →.(OA →−OB →)=(cosθ,sinθ).(1,−1)=cosθ−sinθ=−√2sin (θ−45∘). ∵0°⩽θ⩽90°，∴−45°⩽θ−45°⩽45°， ∴当θ=90°时，OP →.(OA →−OB →)取得最小值为−1. 故选B.5.【答案】B;【解析】解：m ⊂α，m//β得不到α//β，因为α，β可能相交，只要m 和α，β的交线平行即可得到m//β；α//β，m ⊂α，∴m 和β没有公共点，∴m//β，即α//β能得到m//β； ∴“m//β”是“α//β”的必要不充分条件．故选：B ．m//β并得不到α//β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α//β，并且m ⊂α，显然能得到m//β，这样即可找出正确选项．考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念．6.【答案】C;【解析】解：∵函数f(x)=sin (ωx +ϕ)(ω>0,|ϕ|<π2)的最小正周期为2πω=π，∴ω=2，∴f(x)=sin (2x +ϕ)．∵f(x)是(π3,4π5)上的单调函数，∴2π3+ϕ⩾π2，且8π5+ϕ⩽3π2，求得−π6⩽ϕ⩽−π10，故选：C ．由题意利用正弦函数的周期性求得ω，再根据单调性求得ϕ的取值范围．此题主要考查正弦函数的周期性和单调性，属于基础题．7.【答案】A;【解析】解：作出约束条件不等式组满足{x −y −1⩽0x +2⩾0x +2y −1⩽0的可行域如图：目标函数z =2x +y 在{x −y −1=0x +2y −1=0的交点A(1,0)处取最大值为z =2×1+0=2．故选：A ．画出约束条件表示的可行域，判断目标函数z =2x +y 的位置，求出最大值．此题主要考查简单的线性规划的应用，正确画出可行域，判断目标函数经过的位置是解答该题的关键．8.【答案】A;的值以4为周期呈周期性变化，【解析】解：由y=cos iπ2+1每四个值分为一组，每组的和为6，故a i=i cos iπ2最后满足i<2018的i值为2017，执行循环体后，i=2018，故S共进行为2018次累加，由2018÷4=504……2，故S=6×504+1−2018+1=1008，故选：A．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．此题主要考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．9.【答案】C;【解析】该题考查等比数列的性质、通项公式的灵活应用，属于基础题．根据等比数列的性质得a1⋅a5=a2⋅a4=a32，结合条件和等比数列的通项公式列出方程，求出m的值．解：根据等比数列的性质得，a1⋅a5=a2⋅a4=a32，又a m=a1a2a3a4a5，所以a m=a35，因为a m=a1q m−1=q m−1，a3=a1q2=q2，所以q m−1=(q2)5，所以m−1=10，即m=11，故选：C．10.【答案】D;【解析】解：设P(x,y)，则y′=2x−3x(x>0)，令2x−3x =−1，解得x=1或x=−32，∵x>0，∴x=1，∴y=1，即平行于直线2x+2y+3=0且与曲线y=x2−lnx相切的切点坐标为(1,1)，由点到直线的距离公式可得点P到直线2x+2y+3=0的距离的最小值d=√4+4=7√24，故选：D.求出平行于直线2x+2y+3=0且与曲线y=x2−3lnx相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式求解．此题主要考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化思想，属于基础题．11.【答案】A;【解析】解：直线x−2y+2=0上的点(−2,0)关于直线x=1对称的点A(4,0)，直线x−2y+2=0上的点(0,1)关于直线x=1对称的点B(2,1)，故直线x−2y+2=0关于直线x=1对称的直线方程，即直线AB的方程，为y−10−1=x−24−2，即x+2y−4=0，故选：A．在直线x−2y+2=0上任取2个点，求出它们关于直线x=1对称的对称点，用两点式可得对称直线的方程．这道题主要考查求一条直线关于另一条直线的对称直线的方法，属于基础题．12.【答案】A;【解析】此题主要考查了面面垂直的性质定理的运用、三棱锥体积公式以及利用导数研究函数的单调性，属于中档题．由题意，画出图形，利用x表示三棱锥的体积，利用导数得到函数的单调区间，即可得到函数图象．解：如图，因为正方形ABCD与正方形CDEF所在的平面互相垂直，又过M作MH//DE交CE于H，作MG//AD交BD于G，所以GM⊥HM，设CM=x(0<x<3)，则HM=CM，GM=DM=3−x，所以三棱锥的体积为V=13×12×GM×HM×CM=16(3−x)x2=−16x3+12x2，(0<x<3)，V′=−12x2+x，令V′=−12x2+x=0，解得x=0或者x=2，令V′>0得0<x<2，令V′<0得2<x<3，故体积V在(0,2)单调递增，在(2,3)单调递减，所以V关于x的图象如下：故选：A．13.【答案】f（-2）＜f（1）＜f（0）;【解析】略14.【答案】163;16+8√2;【解析】解：几何体的直观图如图，是正四棱柱的一部分，正四棱柱的底面边长为2，棱柱的高为：4；所以几何体的体积为：12×2×2×4−13×12×2×2×4=163．几何体的表面积为：4×2√2+2×12×2×4+12×2×2+12×2√2×√42+22−(√2)2=16+8√2．故答案为：163；16+8√2．由三视图，画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积，表面积．此题主要考查三视图求解几何体的体积与表面积，判断几何体的形状是解答该题的关键．15.【答案】7√33;【解析】略16.【答案】1;【解析】解：∵f()=og2(−|x|+4)的值域02]，即：m+n1结合可n=3由函数f()=log(−|+4)的定义域[m,n]，|x|∈[0,]…∴−|∈[−3,0]则m=2故答案1由关于的方程2|1−x|+m=0有一的实数解，我们易m的值然后根据f()=o2(−||+4)的定义域是m，n，值域是[0,2，结合函f(x)=log2(−|x|+)性质，可出的值，进而案．本题考的知识点是的存在性及的数的判断，对函数的义及对数值域，其中利用于的方程21−x|++1=0有唯一的实数解，变形得到关x的方程2|−x|+1=m有唯一实解，即−m为函y=1−x|+1最值，是解答本的关．17.【答案】（-∞，-1];【解析】解：对于任意不同的x1，x2∈(0,+∞)，有f(x1)−f(x2)x1−x2>3.不妨设x1<x2，则f(x1)−f(x2)<3(x1−x2)，即f(x1)−3x1<f(x2)−3x2，设F(x)=f(x)−3x，则F(x1)<F(x2)，又x1<x2，所以F(x)单调递增，F′(x)⩾0恒成立．F(x)=f(x)−3x=12x2−(a+3)x+lnx.则F′(x)=x−(3+a)+1x =x2−(3+a)x+1x，令g(x)=x2−(3+a)x+1，要使F′(x)⩾0在(0,+∞)恒成立，只需g(x)=x2−(3+a)x+1⩾0恒成立，即3+a⩽x+1x 恒成立，x+1x⩾2√x·1x=2，当且仅当x=1x，即x=1时等号成立，所以3+a⩽2，即a⩽−1，则实数a的取值范围为(−∞,−1].故答案为：(−∞,−1].根据题意对于任意不同的x1，x2∈(0,+∞)，有f(x1)−f(x2)x1−x2>3，不妨设x1<x2，得到f(x1)−3x1<f(x2)−3x2，设F(x)=f(x)−3x，则F(x1)<F(x2)，又x1<x2，即F(x)单调递增，则导函数大于等于0恒成立，即可得到3+a⩽x+1x恒成立，再利用基本不等式求出x+1x的最小值为2，得到3+a⩽2，即可得到答案．此题主要考查了利用导数研究函数的单调性和基本不等式，考查了转化思想和函数思想，属中档题．18.【答案】解：（1）a1=f(d−1)=(d−2)2，a3=f(d+1)=d2，∴a3-a1=2d，即d2-（d-2）2=2d，解得d=2，∴a1=0，a n=2（n-1），又b1=f（q-1）=（q-2）2，b3=f （q+1）=q2，b3b1=q2，∴q 2(q−2)2=q2，∵q≠1，∴b1=1，b n=3n−1；（2）①证明：∵S n=n（n-1），∴1S n =1n(n−1)=1n−1-1n（n≥2），则1S2+1S3+…+1S n=（1-12）+（12−13）+…+（1n−1-1n）=1-1n＜1；②由c1b1+c2b2+c3b3+…+c nb n=S n+1，得c1 b1+c2b2+c3b3+…+c n−1b n−1=S n（n≥2），两式相减得cn b n=S n+1-S n =a n+1=2n ，n=1也符合，∴c n =2n•b n =2n•3n-1=23n.3n ，令T n =1.31+2.32+⋯+n.3n ，利用错位相减法可得T n =2n −14.3n+1+34∴c 1+c 2+c 3+…+c n =23T n =(n −12).3n +12．; 【解析】(1)用d 表示出a 1，a 3，由a 3−a 1=2d 可得关于d 的方程，解出d 可得a n ，用q 表示出b 1，b 3，由b 3b 1=q 2可得q 的方程，解出q 可得b n ；(2)①由(1)可得S n ，利用裂项相消法可求得1S 2+1S 3+⋯+1S n，由结果可作出证明；②由c 1b1+c 2b 2+c 3b 3+⋯+c n b n=S n+1，得c 1b1+c 2b 2+c 3b 3+⋯+c n−1b n−1=S n (n ⩾2)，两式相减可求得c n ，注意验证n =1也适合，利用错位相减法可求得c 1+c 2+c 3+⋯+c n 的值．该题考查等差数列等比数列的通项公式、数列求和、数列与不等式的综合，考查学生综合运用所学知识解决问题的能力，对能力要求较高．19.【答案】解：（1）由题意，函数f(x)=√32sin(ωx +ϕ)+sin 2(ωx+ϕ2)−12=√32sin(ωx +ϕ)−12cos(ωx +ϕ)=sin(ωx +ϕ−π6)，因为函数f （x ）图象的相邻两对称轴间的距离为π，所以T=2π=2πω，可得ω=1，由函数为奇函数，可得ϕ−π6=kπ，k ∈Z ，因为0＜ϕ＜π，所以φ=π6，所以，函数f （x ）=sinx ．（2）由f(π2+C)c +f(π2−B)b=cosC c+cosB b=1a ，及正弦定理得cosC sinC +cosB sinB =sinBcosC+cosBsinCsinCsinB=sin(B+C)sinCsinB=1sinA ，∵sinA=sin[π-（B+C ）]=sin （B+C ），∴si n 2A=sinBsinC ，即a 2=bc ，又由余弦定理知：cosA =b 2+c 2−a 22bc ≥2bc−a 22bc=12，当且仅当b=c 时等号成立，而A ∈（0，π），∴A ∈(0，π3]．; 【解析】(1)由题意，利用三角恒等变换，化简函数的解析式，正弦函数的图象和性质，求得ω和φ的值，可得函数的解析式．(2)由题意，利用正弦定理、余弦定理，基本不等式，求得cosA 的范围，可得A 的范围．此题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，正弦定理、余弦定理的应用，基本不等式，属于中档题．20.【答案】（Ⅰ）证明：取BD中点M，连AM、CM∵AD=AB∴AM⊥BD，又∵DC=CB，∴CM⊥BD，又∵CM∩AM=M，CM,AM⊂平面ACM∴BD⊥面ACM，又AC⊂面ACM，∴BD⊥AC（Ⅱ）解：过A作AE∥BC，AE=BC，连接EC、ED，则AB∥EC，AB=EC∵BC⊥AB，∴BC⊥EC，又∵BC⊥DC，EC∩DC=C，EC,DC⊂平面DEC.∴BC⊥面DEC.∵BC⊂面ABCE，∴面ABCE⊥面DEC过D作DF⊥EC，交EC于F，DF即为所求，在△DEC中，DE=DC=1，EC=√2，∴DF=√2.;2【解析】此题主要考查线面垂直，面面垂直的证明，考查点到平面距离的计算，属于中档题．(Ⅰ)取BD中点M，连AM、CM，证明BD⊥面ACM，即可证明AC⊥BD；(Ⅱ)证明面ABCE ⊥面DEC ，过D 作DF ⊥EC ，交EC 于F ，DF 即为D 点到平面ABC 的距离．21.【答案】解：（1）由题意可设圆C 的圆心为（3，t ），则有32+（t-1）2=（2√2）2+t 2，解得t=1．则圆C 的圆心为（3，1），半径长为√(3−0)2+(1−1)2=3．…（4分）所以圆C 的方程为（x-3）2+（y-1）2=9 （2）由{x −y +a =0(x −3)2+(y −1)2=9消去y ，得2x 2+（2a-8）x+a 2-2a+1=0，此时判别式△=56-16a-4a 2．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有x1+x2=4-a ，x1x2=a 2−2a +12①，由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2+y 1y 2=0，又y 1=x 1+a ，y 2=x 2+a ，所以2x 1x 2+a （x 1+x 2）+a 2=0②由①②得a=-1，满足△＞0，故a=-1; 【解析】(1)设出圆的标准方程，把三个点代入，联立方程组求得．(2)设出点A ，B 的坐标，联立直线与圆的方程，消去y ，确定关于x 的一元二次方程，已知的垂直关系，确定x 1x 2+y 1y 2=0，利用韦达定理求得a ．这道题主要考查了直线与圆的位置关系，圆的标准方程．考查了学生分析和图象观察能力．注意把圆的代数问题与圆的平面性质相结合．22.【答案】解：(Ⅰ)曲线C 的普通方程为(x −1)2+y 2=4，故曲线C 的参数方程为{x =1+2cosθy =2sinθ(θ为参数).直线l 的直角坐标方程为x −y +√2−1=0，所以直线l 的方程可化为ρsin θ−ρcos θ=√2−1. (Ⅰ)圆心C 到l 的距离为d =√2 −1|√2=1，所以|MN |=2√4−1=2√3，又因为圆C 上的点到直线l 的距离的最大值为r +d =2+1=3，所以(S ΔPMN )max =12×|MN |×3=3√3，即ΔPMN 面积的最大值为3√3.;【解析】此题主要考查直线和曲线的三种方程的转化及直线与圆位置关系的运用，考查点到直线距离公式及圆有关的最值问题，属于中档题．(Ⅰ)利用三种方程的转化方法，将曲线C 的极坐标方程转化为参数方程和直线l 的参数方程转化为极坐标方程；(Ⅰ)利用点到直线的距离公式求出圆心(1,0)到直线x −y +√2−1=0的距离，勾股定理求出弦长|MN |，圆C 上的点到直线l 的距离的最大值为r +d =3，利用三角形面积公式即可求解.23.【答案】解：（1）当a=2时，f （x ）=|x-2|，则不等式f （x ）≥7-|x-1|等价为|x-2|≥7-|x-1|，即|x-2|+|x-1|≥7，当x≥2时，不等式等价为x-2+x-1≥7，即2x≥10，即x≥5，此时x≥5；当1＜x ＜2时，不等式等价为2-x+x-1≥7，即1≥7，此时不等式不成立，此时无解，当x≤1时，不等式等价为-x+2-x+1≥7，则2x≤-4，得x≤-2，此时x≤-2，综上不等式的解为x≥5或x≤-2，即不等式的解集为（-∞，-2]∪[5，+∞）．（2）若f （x ）≤1的解集为[0，2]，由|x-a|≤1得-1+a≤x≤1+a ．即{1+a =2−1+a =0得a=1，即1m +12n =a=1，（m ＞0，n ＞0），则m+4n=（m+4n ）（1m +12n ）=1+2+4n m +m2n ≥3+2√4n m .m2n =2√2+3．当且仅当4n m =m2n ，即m 2=8n 2时取等号，故m+4n≥2√2+3成立．; 【解析】(1)利用绝对值的应用表示成分段函数形式，解不等式即可．(2)根据不等式的解集求出a =1，利用1的代换结合基本不等式进行证明即可．这道题主要考查不等式的求解和应用，根据绝对值不等式的性质转化为分段函数形式，利用1的代换转化为基本不等式是解决本题的关键．综合性较强．。

面面垂直的性质习题详细答案

变种2
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直，求证这两个平面垂直。
提高题
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直，求证这两个平面的交线与原直线垂直。
综合பைடு நூலகம்解析与解答
• 综合题1：已知一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直，求证这两个平面的交线与原直线垂直。
综合题解析与解答
面面垂直的性质习题详细答案
contents
目录
• 面面垂直的性质概述 • 习题解析 • 习题解答技巧 • 面面垂直的性质习题答案 • 习题拓展与提高
01 面面垂直的性质概述
定义与定理
定义
两个平面互相垂直，当且仅当一个平面内的任意直线都与另一个平面垂直。
定理
如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面内的任意直线都与另一个平面垂直。
机械工程
在机械设计中，面面垂直的性质常常用于确定零件的安装角度和位置，以确保机器的正常运转。
地理学
在地理学中，地球的经纬线分布和角度计算也涉及到面面垂直的性质，例如在计算地球上的纬度、经度等数值时，需要利用到面面
垂直的性质。
02 习题解析
基础习题解析
总结词
掌握基础概念
题目
两个平面垂直，其中一个平面内有一条直线，那么这条直线与另一个平面的关系是什么？
由于直线a⊥平面α，且直线b⊥直线a，根据面面垂直的性质定理，直线b必然在平面 α内。
中等难度习题答案
总结词
中等难度习题在考察面面垂直性质的基础上，增加了对空间想象能力和推理能力的考察。
题目3
已知平面α与平面β互相垂直，点A属于平面α，点B属于平面β，且AB与两平面的交线分别交于C和D两点，若AC=CD，求证线段BD的长度。

面面垂直证明例题

数学面面垂直例题
例4.如图，AB是◎O的直径，PA垂直于◎0所在的平面，C是圆周上异于A、B的任意一点，求证：平面PAC工平面PBC
少
8.已知△ABC中，LABC=90°,P为△ABC所在平面外一点，PA=PB=PC.求个依据，一是证明二面角的平面角为直角，二是利用两个平面垂直的判定定理.由于C点的任意性，用方法一的可能性不大，所以要寻求线面垂直.
证明：因为AB是◎O的直径，C是圆周上的点，所以有BC工AC①.
因为PA工平面ABC,BCc平面ABC,则PA1BC②.
由①②及AC∩PA=A,得BC工平面PAC.
因为BCc平面PBC,有平面PAC工平面PBC.
说明：低一级的垂直关系是判定高一级垂直关系的依据，根据条件，由线线垂直一线面垂直→面面垂直.通过这个例题展示了空间直线与平面的位置关系的内在联系，垂直关系的判定和性质共同构成了一个完整的知识体系.
例8答案：取AC的中点为O,连接OP、OB。
AO-OC,PA=PC,故PO垂直AC

面面垂直的性质习题详细答案

2.如图所示，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2 侧棱长为4，E，F分别为棱AB,BC的中点，EF∩BD=G.
(1)求证：平面B1EF2⊥，平面BDD1B1；
(2)求点D1到平面B1EF的距离.
2.(1)连接AC.∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形，∴AC⊥BD. 又AC⊥DD1,且BD∩DD1=D,故AC⊥平面BDD1B1， ∵E，F分别为棱AB,BC的中点，故EF∥AC， ∴EF⊥平面BDD1B1， ∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.
3a ,
求证:(1)AB⊥平面BCD; (2)平面ACD⊥平面ABD.
【解析】1.∵AD⊥DE,平面ADE⊥平面BCDE, 且平面ADE∩平面BCDE=DE, ∴AD⊥平面BCDE.又BC⊂平面BCDE, ∴AD⊥BC.又BC⊥CD,CD∩AD=D, ∴BC⊥平面ACD,又BC⊂平面ABC, ∴平面ABC⊥平面ACD. 答案：平面ABC⊥平面ACD
4.如图所示，已知平面α⊥平面β， α∩β=l，A∈l，B∈l，AC⊂α， BD⊂β,AC⊥l，BD⊥l，且AB=4， AC=3，BD=12，则CD=_____. 【解析】连接BC,∵AC⊥l,∴BC= 又∵平面α⊥平面β，α∩β=l，BD⊥l, ∴BD⊥平面α，∴BD⊥BC，∴CD= 答案：13
2.∵a∥α,过a作平面γ交α于a′， ∴a′⊥AB. ∵α⊥β，α∩β=AB， ∴a′⊥β， ∴a⊥β.
【思考】在应用面面垂直的性质定理时应注意哪几点？提示：应特别注意三点：(1)两个平面垂直是前提条件；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.
与面面垂直有关的计算【技法点拨】与面面垂直有关的计算的方法 (1)求角的大小.由所给面面垂直的条件先转化为线面垂直，再转化为线线垂直，一般转化为在三角形中的计算问题. (2)求线段的长度、点到直线或平面的距离以及几何体的体积.求几何体的体积时要注意应用转换顶点法，求线段的长度或点到平面的距离时往往也应用几何体中的转换顶点(等体积)法.

面面垂直习题（模版）

面面垂直习题（模版）第一篇：面面垂直习题（模版）例1如图,在四面体P-ABC中,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角B-AP-C的正切值。

解：如图，过B作BE⊥AC于E，过E作EF⊥PA于F，连接BF∵PC⊥平面ABC，PC⊂平面PACC ∴平面PAC⊥平面ABC ,∴BE⊥平面PAC由三垂线定理，有BF⊥PA,∴∠BFE是二面角B-PA-C平面角，设PC=1,由E是AC的中点，∴BE=32,EF=12sin45=0B24∴tg∠BFE=BEEF=6例2:如图, PA⊥平面ABC,AC⊥BC,AF⊥PC于F.求证:AF⊥平面PBC.证明:∵PA⊥平面ABCBC ⊂平面ABC∴ PA⊥BC又AC⊥BC PA∩AC=A∴ BC⊥平面PAC⊂平面PAC又BC P F A C B∴平面PBC⊥平面PAC⊂平面PAC,∵AF⊥PCAF平面PBC∩平面PAC=PC∴ AF⊥平面PBC如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA ＝2BD，求证：平面ADE⊥平面ACE.EDCAB如图在空间四边形ABCS中，SA⊥平面ABC，平面SAB ⊥平面SBC(1)求证：AB⊥BC ；(2)若设二面角S-BC-A为45︒，SA＝BC，求二面角A-SC-B的大小SEaA 2aC已知线段AB的两端点在直二面角-αCDβ-的两个面内,且与α、β分别成30︒和45︒角，求AB和CD所成的角C如图PA垂直于矩形ABCD所在平面，E是AB的中点，二面角P-CD-B 为45︒求证：平面PEC⊥平面PCDG CE B第二篇：面面垂直性质定理及习题面面垂直性质定理及习题《必修2》1.2.4一、学习目标撰稿：第四组审稿：高二数学组时间：2009-9-81．理解面面垂直的性质定理2．会用性质定理解决有关问题3．线线、线面、面面之间的位置关系及相互转化4．利用面面位置关系解决有关问题二、学习重点面面垂直的性质定理及应用学习难点“线线、线面、面面”判定及性质定理的应用三、知识链接1．面面垂直的判定定理2．面面平行的判定与性质定理3．直线与面平行、垂直的判定与性质定理四、学习过程1．回顾上节内容，问：如果两个平面垂直，那么一个面内的直线是否一定垂直于另一个平面？通过以上讨论，得平面与平面垂直的性质定理（1）符号语言：（2）图形语言：2．如何对定理加以证明：性质定理体现了什么关系？它反映了面面垂直与线面垂直之间的密切关系，两者可以互相转化。

线线垂直、线面垂直、面面垂直的习题及答案

线线垂直、线面垂直、面面垂直部分习及答案1．在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．(1)求证：BC⊥AD；2如图，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．(第1题)（1）求证：AB⊥BC；3.如图，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PA⊥底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB．4. 如图2-4-2所示，三棱锥S—ABC中，SB=AB，SC=AC，作AD⊥BC于D，SH⊥AD于H，求证：SH⊥平面ABC.5. 如图所示，已知Rt△ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB=BC，求证：BD⊥平面SAC.6. 证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1DD1C1A1B1D CA B7. 如图所示，直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=1，，侧棱，侧面的两条对角线交点为D，的中点为M.求证：CD⊥平面BDM.8.在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．9. 如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC．10.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB．(1)求证：平面EDB⊥平面EBC；(2)求二面角E－DB－C的正切值.11：已知直线PA垂直于圆O所在的平面，A为垂足，AB为圆O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。

求证：平面PAC 平面PBC。

12..如图1-10-3所示，过点S引三条不共面的直线，使∠BSC=90°，∠ASB=∠ASC=60°，若截取SA=SB=SC.求证：平面ABC⊥平面BSC13.如图1-10-5所示，在四面体ABCD中，BD= a,2AB=AD=BC=CD=AC=a.求证：平面ABD⊥平面BCD.14.如图所示，△ABC 为正三角形，CE ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE=AC=2BD ，M 是AE 的中点，求证：(1)DE=DA ；(2)平面BDM ⊥平面ECA ；(3)平面DEA ⊥平面ECA ．15.如图所示，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面PAD ；(2)求证：MN ⊥CD ；(3)若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD ．16. 如图1，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1A O ⊥平面MBD答案与提示：1. 证明：(1)取BC 中点O ，连结AO ，DO ．∵△ABC ，△BCD 都是边长为4的正三角形， ∴AO ⊥BC ，DO ⊥BC ，且AO ∩DO ＝O ， ∴BC ⊥平面AOD ．又AD ⊂平面AOD ， ∴BC ⊥AD ．2. 【证明】作AH ⊥SB 于H ，∵平面SAB ⊥平面SBC ．平面SAB ∩平面SBC=SB ，∴AH ⊥平面SBC ，又SA ⊥平面ABC ，∴SA ⊥BC ，而SA 在平面SBC 上的射影为SB ，∴BC ⊥SB ，又SA ∩SB=S ，∴BC ⊥平面SAB ．∴BC ⊥AB ．3. 【证明】PA ⊥平面ABCD ，AD 是PD 在底面上的射影，又∵四边形ABCD 为矩形，∴CD ⊥AD ，∴CD ⊥PD ，∵AD ∩PD=D ∴CD ⊥面PAD ，∴∠PDA 为二面角P —CD —B 的平面角，∵PA=PB=AD ，PA ⊥AD ∴∠PDA=45°，取Rt △PAD 斜边PD 的中点F ，则AF ⊥PD ，∵AF ⊂面PAD ∴CD ⊥AF ，又PD ∩CD=D ∴AF ⊥平面PCD ，取PC 的中点G ，连GF 、AG 、EG ，则GF21CD 又AE21CD ，∴GF AE ∴四边形AGEF 为平行四边形∴AF ∥EG ，∴EG ⊥平面PDC 又EG ⊂平面PEC ，∴平面PEC ⊥平面PCD ．（2）【解】由（1）知AF ∥平面PEC ，平面PCD ⊥平面PEC ，过F 作FH ⊥PC 于H ，则FH ⊥平面PEC∴FH 为F 到平面PEC 的距离，即为A 到平面PEC 的距离．在△PFH 与 △PCD 中，∠P 为公共角，而∠FHP=∠CDP=90°，∴△PFH ∽△PCD ．∴PC PFCD FH =，设AD=2，∴PF=2，PC=324822=+=+CD PD ，∴FH=362322=⋅∴A 到平面PEC 的距离为36． 4.【证明】取SA的中点E，连接EC ，EB. ∵SB=AB,SC=AC, ∴SA ⊥BE,SA ⊥CE. 又∵CE ∩BE=E, ∴SA ⊥平面BCE.∵BC平面BCE5. 证明：(1)因为SA=SC ，D 为AC 的中点，所以SD ⊥AC.连接BD. 在Rt △ABC 中，有AD=DC=DB ，所以△SDB ≌△SDA ，所以∠SDB=∠SDA ，所以SD ⊥BD.又AC ∩BD=D ，所以SD ⊥平面ABC. (2)因为AB=BC ，D 是AC 的中点，所以BD ⊥AC. 又由(1)知SD ⊥BD ，所以BD 垂直于平面SAC 内的两条相交直线，所以BD⊥平面SAC.6.证明：连结ACBD AC⊥AC为A1C在平面AC上的射影∴⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥BD A CA C BC A C BC D11111同理可证平面7.证明：如右图，连接、、，则.∵，∴为等腰三角形.又知D 为其底边的中点，∴.∵，，∴.又，∴.∵为直角三角形，D 为的中点，∴，.又，，∴..即CD⊥DM.∵、为平面BDM内两条相交直线，∴CD ⊥平面BDM.8.证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．∵AC BC=，∴CF AB⊥．∵AD BD=，∴DF AB⊥．又CF DF F=，∴AB⊥平面CDF．∵CD⊂平面CDF，∴⊥．CD AB又CD BE⊥，BE AB B=，∴CD⊥平面ABE，CD AH⊥．∵AH CD⊥，AH BE=，⊥，CD BE E∴AH⊥平面BCD．9.证明：如图，已知PA=PB=PC=a，由∠APB=∠APC=60°，△PAC，△PAB为正三角形，则有：PA=PB=PC=AB=AC=a，取BC中点为E直角△BPC中，，，由AB=AC ，AE ⊥BC ，直角△ABE 中，，，，在△PEA 中，，，∴，平面ABC ⊥平面BPC.10. 证明：(1)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝BC ＝1，E 为D 1C 1的中点．∴△DD 1E 为等腰直角三角形，∠D 1ED ＝45°．同理∠C 1EC ＝45°．∴︒=∠90DEC ，即DE ⊥EC ．在长方体ABC D －1111D C B A 中，BC ⊥平面11DCC D ，又DE ⊂平面11DCC D ，∴BC ⊥DE ．又C BC EC = ，∴DE ⊥平面EBC ．∵平面DEB 过DE ，∴平面DEB ⊥平面EBC ．(2)解：如图，过E 在平面11DCC D 中作EO ⊥DC 于O ．在长方体ABCD －1111D C B A 中，∵面ABCD ⊥面11DCC D ，∴EO ⊥面ABCD．过O在平面DBC中作OF⊥DB于F，连结EF，∴EF⊥BD．∠EFO为二面角E－D B－C的平面角．利用平面几何知1，(第10题)识可得OF＝5又OE＝1，所以，tan∠EFO＝5．11.（1）【证明】∵C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径∴BC⊥AC；又PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥PA，从而BC⊥平面PAC．∵BC ⊂平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．.12.证明：如图1-10-4所示,取BC的中点D，连接AD，SD.由题意知△ASB与△ASC是等边三角形，则AB=AC，∴AD⊥BC,SD⊥BC.令SA=a,在△SBC中，SD= a,又AD= = a,∴AD2+SD2=SA2,即AD⊥SD.又∵AD⊥BC，∴AD⊥平面SBC.∵AD平面ABC，∴平面ABC⊥平面SBC.13.证明：取BD的中点E，连接AE，CE.则AE⊥BD,BD⊥CE.在△ABD中，AB=a,BE= BD= ,∴AE= ,同理,CE= .在△AEC中，AE=EC= ,AC=a,∴AC2=AE2+EC2，即AE⊥EC.∵BD∩EC=E,∴AE⊥平面BCD.又∵AE平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD14.证明：((1)取EC的中点F，连接DF．∵CE⊥平面ABC，∴CE⊥BC．易知DF∥BC，CE⊥DF．∵BD∥CE，∴BD⊥平面ABC．在Rt△EFD和Rt△DBA中，∵，，∴Rt△EFD≌Rt△DBA．故DE=AD．(2)取AC的中点N，连接MN、BN，MN CF．∵BD CF，∴MN BD．N平面BDM．∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN．又∵AC⊥BN，∴BN⊥平面ECA．又∵BN平面MNBD，∴平面BDM⊥平面ECA．(3)∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA．又∵DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA．15.证明：(1)取PD的中点E，连接AE、EN，则，故AMNE为平行四边形，∴MN∥AE．∵AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD．(2)要证MN⊥CD，可证MN⊥AB．由(1)知，需证AE⊥AB．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB．又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD．∴AB⊥AE．即AB⊥MN．又CD∥AB，∴MN⊥CD．(3)由(2)知，MN⊥CD，即AE⊥CD，再证AE⊥PD即可．∵ PA ⊥平面ABCD ，∴ PA ⊥AD ．又∠PDA=45°，E 为PD 的中点． ∴ AE ⊥PD ，即MN ⊥PD ．又MN ⊥CD ，∴ MN ⊥平面PCD ．16.证明：连结MO ，1A M ，∵DB ⊥1A A ，DB ⊥AC ，1A A AC A =，∴DB ⊥平面11A ACC ，而1AO ⊂平面11A ACC ∴DB ⊥1A O ．设正方体棱长为a ，则22132A O a =，2234MO a =．在Rt △11A C M 中，22194A M a =．∵22211A O MO A M +=，∴1AO OM ⊥．∵OM ∩DB =O ，∴ 1A O ⊥平面MBD ．。

2023高考数学复习专项训练《面面垂直的判定》(含解析)

2023高考数学复习专项训练《面面垂直的判定》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）已知A={ x|3a−1<x<2a+3}，B={ x|x2−x−2⩽0}，A⊆B，则a的取值范围为()A. { a|a⩽−12} B. { a|a⩽12或a⩾0}C. { a|a⩾4}D. { a|a⩽0或a⩾4}2.（5分）定义：设函数f(x)的定义域为D，如果[m,n]⊆D，使得f(x)在[m,n]上的值域为[m,n]，则称函数f(x)在[m,n]上为“等域函数”，若定义域为[1e,e2]的函数g(x)= c x(c>0,c≠1)在其定义域的某个区间上为“等域函数”，则实数c的取值范围为()A. [2e2,1e) B. [2e2,1e]C. [e2e2,e1e] D. [e2e2,e1e)3.（5分）设x、y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”.（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件4.（5分）命题p：关于x的不等式ax2+ax−x−1<0的解集为(−∞,−1)∪(1a,+∞)的一个充分不必要条件是().A、a⩽−1B、a>0C、−2<a<0D、a<−2A. a⩽−1B. a>0C. −2<a<0D. a<−25.（5分）函数y=loga (2x−3)+√22(a>0且a≠1)的图像恒过定点P，且点P在幂函数f(x)的图像上，则f(4)=()A. 2B. 12C. 14D. 166.（5分）设ab>0，下面四个不等式：①|a+b|>|a|；②|a+b|<|b|；③|a+b|<|a−b|；④|a+b|>|a|−|b|；正确的是()A. ①和②B. ①和③C. ①和④D. ②和④7.（5分）已知ΔABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2+c 2<a 2，且cos 2A −3sin A +1=0，则sin (C −A)+√32cos (2A −B)的取值范围为 ( )A. (−12,−√34) B. (−12,−√34] C. [0,√34] D. (−23,−12) 8.（5分）函数y =x 2+ln |x|的图象大致为( )A. B.C.D.9.（5分）已知函数f(x)=x 1−|x|(x ∈D)，有下列四个结论：①对任意x ∈D ，f(−x)+f(x)=0恒成立；②对任意m ∈(0,1)，方程|f(x)|=m 有两个不相等的实数根； ③存在函数g(x)使得g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y =x 对称； ④对任意k ∈(1,+∞)，函数g(x)=f(x)−kx 在D 上有三个零点．则上述结论中正确的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 410.（5分）已知函数f (x )的定义域为R ，f (x +2)为偶函数，f (2x +1)为奇函数，则( )A. f (−12)=0B. f (−1)=0C. f (2)=0D. f (4)=011.（5分）已知定义在R 上的奇函数f(x)，且当x ∈[0,+∞)时，f(x)单调递增，则不等式f(2x +1)+f(1)⩾0的解集是()A. (−∞,1)B. (−1,+∞)C. [−1,+∞)D. (−∞,1]12.（5分）已知集合A ={x|1<x <3}，集合B ={x|log 2(x +1)⩽2}，则A ∪B =()A 、{x|1<x <3}B 、{x|x ⩽3}C 、{x|−1<x <3}D 、{x|1−<x ⩽3} A. {x|1<x <3} B. {x|x ⩽3} C. {x|−1<x <3}D. {x|1−<x ⩽3}二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）函数f(x)=x−1x中，若f（x）=0，则x=__________.14.（5分）某班有36名同学参加数学、物理、化学竞赛小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则只参加物理小组的有__________人，同时参加数学和化学小组的有__________人．15.（5分）写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)： ______ .①f(x1x2)=f(x1)f(x2)；②当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0；③f′(x)是奇函数.16.（5分）已知函数f(x)满足以下条件：①在R上单调递增；②对任意x1，x2，均有f(x1)⋅f(x2)=4f(x1+x2)，则f(x)的一个解析式为 ______.17.（5分）已知等式sin230°+sin230°+sin30°⋅sin30°=34sin220°+sin240°+sin20°⋅sin40°=34sin210°+sin250°+sin10°⋅sin50°=34请你写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含了已知的等式，这个等式是______.三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）已知集合A={x|1⩽x−1⩽4}，B={x|−2<x⩽3}，C={x|2a−1< x<2a+1}.(1)若x∈C是“x∈A”的充分条件，求实数a的取值范围；(2)若(A∩B)⊆C，求实数a的取值范围．19.（12分）已知函数f(x)=√3sinx+mcosx(m∈R).(Ⅰ)若m=1，求f(π12)的值；(Ⅰ)若m=√6，且f(x)=0，求tan2x.20.（12分）立德中学高一年级共有200名学生报名参加学校团委与学生会组织的社团组织．据统计，参加艺术社团组织的学生有103人，参加体育社团组织的学生有120人(并非每个学生必须参加某个社团).求在高一年级的报名学生中，同时参加这2个社团的最多有多少人？最少有多少人？21.（12分）已知sin(α−β)=12，sin(α+β)=13.(1)证明：tanα+5tanβ=0；(2)计算：tan(α−β)−tanα+tanβtan2α·tan(α−β)的值．22.（12分）在①两个相邻对称中心的距离为π2，②两条相邻对称轴的距离为π2，③两个相邻最高点的距离为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并对其求解．问题：函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的图象过点(0,12)，且满足________，当α∈(0,π2)时，f(α2)=−√22，求sinα的值．23.（12分）已知函数f(x)=ax−2b x 2+1是定义在[−1,1]上的奇函数，且f(1)=1.(1)求a ，b 的值；(2)判断函数f(x)的单调性并用定义加以证明；(3)求使f(m −1)+f(2m −1)<0成立的实数m 的取值范围．四、多选题（本大题共5小题，共25分） 24.（5分）下列说法正确的是()A. “a >1”是“1a <1”的充分不必要条件B. 命题“∀x >1，x 2<1”的否定是“∃x <1，x 2⩾1”C. “x >1”是“(x −1)(x +2)>0”的必要条件D. 设a ，b ∈R ，则“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件 25.（5分）设a >1，b >1且ab −(a +b)=1，那么( )A. a +b 有最小值2+2√2B. a +b 有最大值2+2√2C. ab 有最小值3+2√2D. ab 有最大值1+√226.（5分）已知x ，y ∈R ，x >0，y >0，且x +2y =1.则下列选项正确的是()A. 1x +1y 的最小值为4√2 B. x 2+y 2的最小值为15 C.x−2y x 2+y 2>1D. 2x+1+4y ⩾427.（5分）已知M 、N 均为实数集R 的子集，且N ∩∁R M =∅，则下列结论中正确的是( )A. M ∩∁R N =∅B. M ∪∁R N =RC. ∁R M ∪∁R N =∁R MD. ∁R M ∩∁R N =∁R M28.（5分）已知函数f(x)=2cos (ωx +ϕ)(ω>0,|ϕ|<π2)的图象上，对称中心与对称轴x =π12的最小距离为π4，则下列结论正确的是( )A. f (x )+f (5π6−x)=0 B. 当x ∈[π6,π2]时，f (x )⩾−√3C. 若g(x)=2cos2x ，则g (x −π6)=f (x )D. 若sin 4α−cos 4α=−45，α∈(0,π2)，则f (α+π4)的值为4−3√35答案和解析1.【答案】C;【解析】解：由题意知B ={ x |−1⩽x ⩽2}， (1)A =∅时，3a −1⩾2a +3，解得a ⩾4，满足题意；(2)A ≠∅时，a <4，由A ⊆B ，即有{2a +3⩽2，解得{a ⩽−12，可得a ∈∅；综上，a ⩾4. 故选：C.分别讨论A 是否为空集，结合集合的关系，可得a 的不等式组，解不等式可得所求范围．此题主要考查集合关系中的含参问题，注意对集合A 分空集和不是空集2种情况进行讨论，属于较易问题．2.【答案】D;【解析】解：由题意得，函数g(x)的图象与直线y =x 在[1e ,e 2]上有两个交点，即方程c x =x 在[1e,e 2]上有两个不等实根，即lnc =lnx x在[1e ,e 2]上有两个不等实根．设函数ℎ(x)=lnx x(1e⩽x ⩽e 2)，ℎ′(x)=1−lnx x 2，当1e⩽x <e 时，ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)单调递增；当e <x ⩽e 2时，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)单调递减．所以ℎ(x)在x =e 处取得极大值，也是最大值，为ℎ(e)=1e .又ℎ(1e )=−e,ℎ(e 2)=2e 2，故2e 2⩽lnc <1e ，解得e 2e 2⩽c <e 1e.故选：D.由题意可得函数g(x)的图象与直线y =x 在[1e ,e 2]上有两个交点，即lnc =lnx x在[1e ,e 2]上有两个不等实根．构造函数，通过导数求函数的最值与区间端点值，数形结合求解即可．此题主要考查了导数的新定义问题，考查转化思想，属于中档题．3.【答案】A; 【解析】略4.【答案】null; 【解析】此题主要考查了一元二次不等式的解法，充分必要条件的应用，属于中档题. 先根据命题p 成立的充要条件，求出a 的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义结合各选项可得答案.解：由题意命题p 即(ax −1)(x +1)<0的解集为(−∞,−1)∪(1a ,+∞)，即充要条件为{a <0−1⩽1a ，解得a ⩽−1，因为(−∞,−2)⫋(−∞,−1]所以a <−2是a ⩽−1的一个充分不必要条件，故选D.5.【答案】B; 【解析】此题主要考查了对数的恒过定点问题以及幂函数的解析式和求值，属于基础题.将定点代入幂函数解析式，可得a ，进而可求f(4).解：可知函数y =log a (2x −3)+√22(a >0且a ≠1)的图象恒过定点P(2,√22)，令幂函数为f(x)=x a ，代入P 点坐标，可得√22=2a ，则a =−12， f(x)=x −12，则f(4)=4−12=12.故选B.6.【答案】C;【解析】此题主要考查了不等式与绝对值不等式，根据ab >0，逐项判断即可得到答案.解：∵ab >0，∴a 、b 同号，∴ |a +b|>|a|，|a +b|=|a|+|b|，∴①④正确，故选C.7.【答案】A; 【解析】此题主要考查了二倍角公式，解三角形，以及三角恒等变换等内容，需要学生熟练掌握并巧妙变换．由题意，利用二倍角公式将cos2A −3sin A +1=0化成关于sin A 的一元二次方程，解出sin A 的值，利用cos A <0求出A 的取值；将A 的值和B =π−A −C 代入并化简，可以得到关于C 的三角函数，利用三角函数单调性求出值域，即所求．解：因为cos2A −3sin A +1=0，所以1−2sin2A −3sin A +1=0，所以sin A =12或−2(舍)，又因为cos A <0，所以A =5π6，所以sin (C −A)+√32cos (2A −B)=sin (C −5π6)+√32cos [2×−(π−5π6−C)]=sin (C −5π6)+√32sin C =−12cos C ，又因为C ∈(0,π6)，所以cos C ∈(√32,1)，所以−12cos C ∈(−12,−√34) .故选A.8.【答案】A;【解析】此题主要考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性和函数值的变化趋势，属于基础题．先求出函数为偶函数，再根据函数值的变化趋势或函数的单调性即可判断．解：∵f(−x)=x 2+ln |x|=f(x)， ∴y =f(x)为偶函数，∴y =f(x)的图象关于y 轴对称，故排除B ，C ，当x >0时，y =x 2+ln x 为增函数，故排除D. 故选A .9.【答案】C;【解析】解：①函数的定义域是{x|x ≠±1},f(−x)+f(x)=−x 1−|−x|+x 1−|x|=0，故①正确；②y =|f(x)|=|x1−|x||={x x−1,x >1x 1−x ,0<x <1−x1+x,−1<x <0−x x+1,x <−1，函数的图象如图所示：y =m 与函数图象有2个交点，故②正确；③设函数g(x)上的任一点为P(x,y)关于y =x 的对称点为(y,x)在函数f(x)上，则x =y 1−|y|，当y >0时，y =xx+1，当y ⩽0时，y =x 1−x，当x =2时，y =23或y =−2，存在一个x 对着两个y 的值，所以不存在函数g(x)使得g(x)的图象与f(x)的图象关于直线v =x 对称，故③不正确； ④x1−|x|−kx =0，当x =0时，满足方程，所以方程的一个实数根是x =0，当x ≠0时，k =11−|x|,|x|=1−1k ，当k >1时，1−1k >0,x =±(1−1k )，)，所以函数有3个零所以满足方程g(x)=f(x)−kx=0的有三个实数根据0,±(1−1k点，故④正确．故正确的个数有3个．故选：C.①根据解析式计算f(−x)+f(x)=0；②画出函数y=|f(x)|的图象，由图象的交点个数判断实数根的个数；③假设存在函数g(x)满足条件，再根据函数的定义，判断选项；④根据f(x)−kx=0，求方程的实数根的个数，再判断定义域上的零点个数．此题主要考查函数的图象和性质，零点，重点考查数形结合分析问题的能力，推理能力，属于中档题型．10.【答案】B;【解析】本题是对函数奇偶性和周期性的综合考查，属于拔高题.推导出函数f(x)是以4为周期的周期函数，由已知条件得出f(1)=0，结合已知条件可得出结论.解：因为函数f(x+2)为偶函数，则f(2+x)=f(2−x)，可得f(x+3)=f(1−x)，因为函数f(2x+1)为奇函数，则f(1−2x)=−f(2x+1)，所以，f(1−x)=−f(x+1)，所以，f(x+3)=−f(x+1)=f(x−1)，即f(x)=f(x+4)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，因为函数F(x)=f(2x+1)为奇函数，则F(0)=f(1)=0，故f(−1)=−f(1)=0，其它三个选项未知.故选B.11.【答案】C;【解析】此题主要考查综合运用函数的单调性与奇偶性解不等式，属于中档题.解：因为函数在[0,+∞)上是增函数，且函数是奇函数，所以函数在(−∞,0)上是增函数，函数在x=0处连续，所以函数在R上是增函数，又f(−1)=−f(1)，所以不等式可化为f(2x+1)⩾−f(1)=f(−1)，所以2x+1⩾−1，解得x⩾−1，即不等式的解集为[−1,+∞).故选C.12.【答案】null;【解析】解：集合A={x|1<x<3}，集合B={x|log2(x+1)⩽2}={x|−1<x⩽3}，则A∪B={x|−1<x⩽3}.故选：D.求出集合A，集合B，利用并集定义能求出A∪B.此题主要考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】1或-1;【解析】略14.【答案】5;8;【解析】此题主要考查运用集合间的关系确定元素个数问题以及venn图的运用，属于基础题．把集合间的关系利用方程表示出来，再解方程即可．解：由条件知，每名同学至多参加两个小组，故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学小组，因为参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，所以只参加物理的有15−6−4=5人．设同时参加数学和化学小组的人数有x人，则只参加数学的有26−6−x=20−x，只参加化学的有13−4−x=9−x.又总人数为36人，即20−x+x+6+4+5+9−x=36，所以44−x=36，解得x=8.即同时参加数学和化学小组的人数有8人，15.【答案】f(x)=x2;【解析】此题主要考查了幂函数的求导公式，奇函数的定义及判断，考查了计算能力，属于基础题．函数f(x)=x 2，f(x 1x 2)=(x 1x 2)2=x 12x 22=f(x 1)f(x 2)满足①，求出导函数，可判断满足②③．解：f(x)=x 2时，f(x 1x 2)=(x 1x 2)2=x 12x 22=f(x 1)f(x 2)；当x ∈(0,+∞)时，f′(x)=2x >0；f′(x)=2x 是奇函数．故答案为：f(x)=x 2.16.【答案】f （x ）=2x+2;【解析】解：因为函数f(x)满足对任意x 1，x 2，均有f(x 1)⋅f(x 2)=4f(x 1+x 2)，故考虑基本初等函数中的指数函数，又f(x)在R 上单调递增，则指数函数的底数大于1，所以f(x)的一个解析式为f(x)=2x+2. 故答案为：f(x)=2x+2.由条件②，考虑为基本初等函数中的指数函数，再利用单调性，即可得到答案．此题主要考查了基本初等函数性质的理解与应用，指数函数性质的理解与应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．17.【答案】si n 2α+si n 2（60°-α）+sinα•sin （60°-α）=34;【解析】解：等式的右边为常数34，等式左边的两个角之和为60°，故由归纳推理可知，满足条件的一个结论可以是：sin 2α+sin 2(60°−α)+sinα⋅sin(60°−α)=34.故答案为：sin 2α+sin 2(60°−α)+sinα⋅sin(60°−α)=34.根据两个等式的特点，确定角和角之间的关系，然后利用归纳推理归纳出结论．此题主要考查归纳推理的应用，根据归纳推理，先从条件中确定等式的规律是解决此类问题的基本思路，属于基础题．18.【答案】解：（1）集合A={x|1≤x -1≤4}={x|2≤x≤5}，C={x|2a-1＜x ＜2a+1}， ∵x ∈C 是“x ∈A”的充分条件，∴{2a +1≤52a −1≥2，解得32≤a ≤2， ∴实数a 的取值范围是[32，2]；（2）∵集合A={x|1≤x -1≤4}={x|2≤x≤5}，B={x|-2＜x≤3}，C={x|2a-1＜x ＜2a+1}， ∴A∩B={x|2≤x≤3}，（A∩B ）⊆C ，∴{2a −1<22a +1>3，解得1＜a ＜32， ∴实数a 的取值范围是（1，32）．;【解析】(1)求出集合A ，利用x ∈C 是“x ∈A ”的充分条件，列出不等式组，由此能求出实数a 的取值范围；(2)利用交集定义求出A ∩B ，利用(A ∩B)⊆C ，列出不等式组，由此能求出实数a 的取值范围．此题主要考查集合的运算，考查充分条件、子集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】解：（Ⅰ）若m=1，则函数f （x ）=√3sinx+cosx=2sin （x+π6）， ∴f （π12）=2sin π4=√2．（Ⅱ）∵m=√6，f （x ）=√3sinx+√6cosx=0， ∴√3sinx-=-√6cosx ，∴tanx=-√2， ∴tan2x=2tanx 1−tan 2x =2√2．;【解析】(Ⅰ)由题意，利用两角和差的三角公式化简函数f(x)的解析式，从而得到f(π12)的值．(Ⅰ)先由题意求得tanx 的值，再利用二倍角的正切公式，计算tan2x 的值．此题主要考查两角和差的三角公式，二倍角的正切公式，属于基础题．20.【答案】解：由题意：当艺术社团组织的103名学生都参加体育社团组织时，同时参加这2个社团的学生最多，且有103人；当每个学生都参加某个社团时，同时参加这2个社团的学生最少，且有103+120-200=23人，所以同时参加这2个社团的最多有103名学生，最少有23名学生．; 【解析】由题可知当艺术社团组织的学生都参加体育社团组织时，同时参加这2个社团的人数最多，当每个学生都参加某个社团时，同时参加这2个社团的学生最少．此题主要考查集合的应用，考查运算求解能力，属于基础题．21.【答案】解：（1）证明：由条件sin(α−β)=12，sin(α+β)=13，即sinαcosβ−cosαsinβ=12，sinαcosβ+cosαsinβ=13，解得sinαcosβ=512，cosαsinβ=−112，可得tanαtanβ=-5，从而可得tanα=-5tanβ，tanα+5tanβ=0得证．（2）由tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ，可得tanα-tanβ=tan （α-β）（1+tanαtanβ），∴原式=tan(α−β)−tanα+tanβtan 2αtan(α−β)=tan(α−β)−tan(α−β)(1+tanαtanβ)tan 2αtan(α−β)=−tan(α−β)·tanαtanβtan 2αtan(α−β)=−tanβtanα=15．;【解析】(1)由题意，把所给条件利用两角和差的三角公式展开，化简可得结论． (2)由题意，把两角差的正切公式展开变形，代入要求的式子化简，可得结论．此题主要考查两角和差的三角公式的应用，同角三角函数的基本关系，属于中档题．22.【答案】解：由函数f(x)=cos(ωx +φ)的图象过点(0,12)，得f(0)=cosφ=12，又因为0<φ<π2，所以φ=π3，在①②③三个条件中任选一个，可知最小正周期T =π，根据T =2π|ω|，得ω=2，所以f(x)=cos(2x +π3)，由f(α2)=−√22，得cos(α+π3)=−√22，由α∈(0,π2)，得α+π3∈(π3,5π6)，所以sin(α+π3)=√1−cos 2(α+π3)=√22， sinα=sin[(α+π3)−π3]=sin(α+π3)cos π3−cos(α+π3)sin π3 =√22×12−(−√22)×√32=√2+√64. ;【解析】此题主要考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，属于中档题. 先由f(0)=12求出φ，由三个条件中任选一个，可知最小正周期T =π，得ω=2，求出f(x) ，结合条件以及同角三角函数关系求得sin(α+π3)，再利用两角差的正弦公式即可求解.23.【答案】null; 【解析】(1)由奇函数的性质可得f(0)=0，可求得b 的值，再由f(1)=1可求得a 的值，从而可得a ，b 的值；(2)f(x)在[−1,1]上是增函数，利用增函数的定义即可证明；(3)根据函数的奇偶性与单调性将不等式转化为关于m 的一次不等式，求解即可．此题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查不等式的解法，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．24.【答案】AD;【解析】解：对于A ：当“a >1”时“1a <1”成立，反之不成立，故“a >1”是“1a <1”的充分不必要条件，故A 正确；对于B ：命题“任意x >1，都有x 2<1”的否定是“存在x >1，使得x 2⩾1”故B 不正确；对于C ：x >1，则(x −1)(x +2)>0，但由(x −1)(x +2)>0，不能推出x >1，故“x >1”是“(x −1)(x +2)>0”的充分不必要条件，故C 不正确；对于D ：设a ，b ∈R ，则“a ≠0”推不出“ab ≠0”，由“ab ≠0”能够推出“a ≠0”，故“a ≠0”是“ab ≠0”的必要不充分条件，故D 正确．故选：AD.直接利用充分条件和必要条件，命题的否定，简易逻辑中的相关知识的应用判断A 、B 、C 、D 的结论此题主要考查的知识要点：充分条件和必要条件，命题的否定，简易逻辑，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．25.【答案】AC;【解析】解：∵a >1，b >1， ∴ab =1+(a +b)⩽(a+b 2)2(当且仅当a =b >1时，取等号)，即(a +b)2−4(a +b)−4⩾0且a +b >2， ∴a +b ⩾2+2√2，∴a +b 有最小值2+2√2，即选项A 正确，B 错误；由ab −(a +b)=1，得ab −1=a +b ⩾2√ab (当且仅当a =b >1时，取等号)，即ab −2√ab −1⩾0且ab>1， ∴ab ⩾3+2√2，∴ab 有最小值3+2√2，即选项C 正确，D 错误．故选：AC ．由(a +b)⩽(a+b 2)2，可推出a +b 的最小值；由a +b ⩾2√ab ，可推出ab 的最小值．该题考查基本不等式的应用，熟练掌握基本不等式的各种变形是解答该题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．26.【答案】BD;【解析】解：对于A ：已知x ，y ∈R ，x >0，y >0，且x +2y =1，所以1x +1y =x+2y x+x+2y y=1+3+2y x+xy ⩾4+2√2，当且仅当x 2=2y 2等号成立，故A 错误；对于B ：x 2+y 2=(1−2y)2+y 2=5y 2−4y +1=5(y −25)2+15，当y =25时，最小值为15；故B 正确；对于C ：当x =12，y =14时，x−2yx 2+y 2>1不成立，故C 错误；对于D ：2x+1+4y =2x+1+22y ⩾2√2x+2y+1=4，当且仅当y =12时，等号成立，故D正确．故选：BD.直接利用不等式的性质和基本不等式的应用判断A、B、C、D的结论．此题主要考查的知识要点：不等式的性质，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．27.【答案】BD;【解析】解：因为N∩∁R M=∅，所以N⊆M，所以M∩∁R N≠∅，选项A错误；M∪∁R N=R，选项B正确；∁R M∪∁R N=∁R N，选项C错误；∁R M∩∁R N=∁R M，选项D正确．故选：BD.根据题意知N⊆M，利用交集、并集和补集的定义，判断正误即可．此题主要考查了集合的定义与运算问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．28.【答案】BD;【解析】此题主要考查了余弦函数的图象及性质，同角三角函数关系及两角差的余弦公式，属于中档题.根据对称中心与对称轴的最小距离求出周期T，得到ω=2，再根据对称轴方程求出ϕ=−π6，再根据余弦函数的图象及性质对四个选项一一判断即可，选项D先利用同角三角函数关系及二倍角公式化简，再求出f(α+π4).解：由题有T=π，则ω=2，又由对称轴x=π12可得，2×π12+ϕ=kπ，k∈Z，又|ϕ|<π2，则ϕ=−π6，故f(x)=2cos(2x−π6)，对于A，因为f(x)+f(5π6−x)=2cos(2x−π6)+2cos(53π−2x−π6)=2cos(2x−π6)−2sin2x=2cos2x cosπ6+2sin2x sinπ6−2sin2x=√3cos2x−sin2x则f(x)+f(5π6−x)=0错误，故A选项不正确.对于B，x∈[π6,π2]，则2x−π6∈[π6,5π6]，则f(x)∈[−√3,√3]，故B选项正确；对于C，f(x)=2cos2(x−π12)，应将g(x)=2cos2x的图象向右平移π12个单位，故C选项错误．对于D，sin4α−cos4α=−cos2α=−45，且α∈(0,π2)，则2α∈(0,π)，故cos2α=45，sin2α=35，而f (α+π4)=2cos (2α+π3)=cos 2α−√3sin 2α=4−3√35，故D 选项正确；故选BD .。

面面垂直证明例题（最终定稿）

面面垂直证明例题（最终定稿）第一篇：面面垂直证明例题数学面面垂直例题例4答案：例8答案：取AC的中点为O，连接OP、OB。

AO=OC,PA=PC,故PO垂直AC第二篇：怎么证明面面垂直怎么证明面面垂直证明一个面上的一条线垂直另一个面;首先可以转化成一个平面的垂线在另一个平面内,即一条直线垂直于另一个平面然后转化成一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线也可以运用两个面的法向量互相垂直。

这是解析几何的方法。

证:连接AC,BD.PD垂直面ABCD=>PD垂直AC.ABCD为正方形=>AC垂直BD.而BD是PB在面ABCD内的射影=>PB垂直AC.PD 垂直AC=>AC垂直面PBD.AC属于面ACE=>面PBD垂直面ACE 2 1利用直角三角形中两锐角互余证明由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。

2勾股定理逆定理3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。

二、高中部分线线垂直分为共面与不共面。

不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。

1向量法两条直线的方向向量数量积为0 2斜率两条直线斜率积为-1 3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。

方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：Ⅰ.平行关系：线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。

2.公理4(平行公理)。

3.线面平行的性质。

4.面面平行的性质。

5.垂直于同一平面的两条直线平行。

面面垂直测试题

面面垂直测试题2.证明：(1)∵E,F分别为PB,PC的中点，∴EF//BC，又∵BC平面ABC，∴EF平面ABC，即EF//平面ABC2)∵PA平面ABC，∴平面PAB与平面ABC垂直，又∵E,F分别为PB,PC的中点，∴EF//BC，∴平面EFB与平面ABC垂直，又∵平面EFB与平面PAB共线，∴平面EFB与平面PAB垂直，即平面AEF平面PAB3.证明：(1)∵D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点，∴DF//AC，又∵PA AC，∴PA//DF，又∵DF平面DEF，∴PA平面DEF，即直线PA//平面DEF2)∵D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点，∴平面DEF为平面ABC的中位平面，∴平面DEF平面ABC，又∵BC平面ABC，∴平面DEF与平面BCD垂直，而平面BDE与平面BCD共线，∴平面BDE与平面DEF垂直，即平面BDE平面ABC4.证明：（Ⅰ）∵E,F分别为PC,BD的中点，∴EF//PC，又∵PC平面PAD，∴EF平面PAD，即EF∥平面PAD Ⅱ）∵底面ABCD是正方形，∴PA底面ABCD，又∵侧面PAD底面ABCD，∴PA CDⅢ）∵PA=PD=2AD，∴AD=PA/2，又∵底面ABCD是正方形，∴BD=AD√2，又∵E,F分别为PC,BD的中点，∴EF=BD/2=AD√2/2，又∵AD=PA/2，∴EF=PA√2/4，又∵底面ABCD是正方形，∴平面PAD与平面PCD垂直，∴平面PAB与平面PCD垂直，即平面PAB平面PCD5.证明：（1）∵AC=BC，∴平面CAD为平面CBD的中位平面，∴平面CAD平面CBD，又∵D是AB的中点，∴CD AB，∴CD平面CBD，∴平面CAD与平面CBD垂直，即BC1∥平面CAD2）∵D是AB的中点，∴CD AB，又∵底面ABC为正三角形，∴AB BC，∴AB平面ABC，∴CD与平面ABC垂直，又∵CD平面CBD，∴平面CBD与平面ABC垂直，即平面CA1D⊥平面AA1B3）∵底面ABC为正三角形，∴BB1=AB/2=1，又∵BB1CD为平行四边形，∴CD=BB1=1，又∵平面CAD与平面CBD垂直，∴三棱锥B1-ACD为直角三角形，∴B1C=√3，∴B1-ACD的体积为1/3*√3*1*1=√3/36.证明：（1）∵BE∥CD，∴BE∥平面ABC，又∵EF为AD的中点，∴EF AD，又∵AD平面ABC，∴EF平面ABC，即EF∥平面ABC2）∵CD平面ABC，∴平面ACD与平面ABC垂直，又∵PA AC，∴PA与平面ACD垂直，又∵F为AD的中点，∴EF AD，∴EF与平面ACD垂直，∴平面ADE与平面ACD垂直，又∵平面ADE与平面ABC共线，∴平面ADE与平面ABC垂直，即平面ADE平面ACD3）∵AB=BC=AC=BE=1，CD=2，∠BCD=90，∴三棱锥BCD为直角三角形，∴BCD的体积为1/3*2*1*2=4/3，又∵BE∥CD，∴三棱锥B-EDC与三棱锥BCD全等，∴B-EDC的体积也为4/3，又∵EF为AD的中点，∴EF=1/2，∴平面EFC与平面BCD平行，且EF∥CD，∴EFCB为平行四边形，∴EF=BC=1，又∵平面EFC与平面ADE垂直，∴四棱锥A-BCDE的高为EF，∴四棱锥A-BCDE的体积为1/3*1*1*EF=1/3*EF7.（1）∵PA底面ABCD，BD PC，E为XXX的中点，∴PE BD，又∵E为PC的中点，∴PE PC，∴PE为平面PAC与平面EBD的公垂线，∴平面PAC与平面EBD垂直，即平面PAC平面EBD2）∵底面ABCD为平行四边形，∴XXX为底面ABCD的高，又∵E为PA的中点，∴BE=EA=1，又∵底面ABCD为平行四边形，∴AB=CD，∴平面ABC与平面ACD平行，且∠PAB=∠PCD，∴三角形PAB与三角形PCD全等，∴PD=PB=2，又∵BD PC，∴三棱锥P-EBD为直角三角形，∴P-EBD的高为BD=√5，∴三棱锥P-EBD的体积为1/3*1*1*√5=√5/3证明：（1）连接AC并交于点E，连接DE。

面面垂直的判定习题详细答案

题目二解析
题目二
在四面体$P-ABC$中，已知$angle APB = angle BPC = angle CPA = 90^{circ}$，求证：平面$PAB perp$平面$PBC$。
解析
首先，由于$angle APB = angle BPC = angle CPA = 90^{circ}$，我们可以得出$PA perp PB$、$PB perp PC$和$PC perp PA$。根据空间直线与平面的垂直关系，我们可以得出$PA perp$平面$PBC$、$PB perp$平面$PAC$和$PC perp$平面$PAB$。由于平面$PAB cap$平面$PBC = PB$，根据两平面垂直于第三
解析
题目三
对于结论$①$
由于正方体的性质，我们知道AC₁和AE都经过点A，所以它们是共面的。因此，
AC₁E不是异面直线。结论$①$不正确。
对于结论$③$
由于正方体的性质，我们知道AC₁不在平面ABCD内。所以结论$③$是正确的。
对于结论$②$
由于AC₁不在平面BDE内，所以结论$②$ 是正确的。
平面内的直线
一条直线如果在某个平面上，则称这条直线为该平面的内直
线。
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感谢您的观看
质，我们可以得出平面 ABDtextsuperscript{⊥}平面BCD。
04 知识点总结
面面垂直的判定定理
判定定理
如果一个平面内的一条直线与另一个平面垂直，则这两个平面互相垂直。
推论
如果两个平面互相垂直，则其中一个平面内的一条直线与另一个平面垂直。
解题技巧和注意事项
技巧
在解题时，首先确定已知条件和未知量，然后根据判定定理和推论，构建数学模型和方程。

面面垂直性质练习题

…订…………○____考号：__________…订…………○一、单选题1．下列命题中正确的是（）A ．若直线//m 平面α，直线n ⊂α，则//m nB ．若直线m ⊥平面α，直线n ⊂α，则m n ⊥C ．若平面//α平面β，直线m α⊂，直线n β⊂，则//m nD ．若平面α⊥平面β，直线m α⊂，则m β⊥2．如图所示，边长为a 的空间四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，平面ABD ⊥平面BCD ，则异面直线AD 与BC 所成角的大小为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°3．已知两个平面垂直，下列命题：①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线. ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线. ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面. 其中错误命题的序号是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③4．将正方形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，M 为CD 的中点，则AMD ∠的大小是（）A ．45︒B ．30C ．60︒D ．90︒5．设α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，则下列判断正确的是() A ．若n α⊥，m α⊥，则m n ⊥ B ．若αβ∥，m α⊥，则m β⊥ C ．若αβ⊥，l αβ=，m l ⊥，则m β⊥D ．若m n ，m α，则n α第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明……外…………○……………○………○…………线………※※※※在※※装※※订※※线※……内…………○……………○………○…………线………二、解答题6．如图，在多面体ABCDE 中，平面ABD ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，AE BD ⊥，//DE AC ，且12DE AC =，1AD BD ==.（1）求AB 的长；（2）若2AC =，求多面体ABCDE 的体积.7．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒，PAB ∆为正三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD ，E 为线段AB 的中点，M 在线段PD 上.（1）当M 是线段PD 的中点时，求证：//PB 平面ACM ；（2）求证：PE AC ⊥.8．如图在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，点E 、F 分别是棱PC 和PD 的中点.（1）求证：EF 平面PAB ；（2）若AP AD =，且平面PAD ⊥平面ABCD ，证明AF ⊥平面PCD .参考答案1．B 【解析】【分析】由线面平行和垂直的性质，面面平行和垂直的性质一一判断即可得出答案. 【详解】A 选项，若直线//m 平面α，直线n ⊂α，则m 和n 的位置关系有平行和异面两种情况，故A 选项不正确；B 选项，若直线m ⊥平面α，直线n ⊂α，则由线面垂直的性质可得m n ⊥，故B 选项正确；C 选项，若平面//α平面β，直线m α⊂，直线n β⊂，则m 和n 的位置关系有平行和异面两种情况，故C 选项不正确；D 选项，若平面α⊥平面β，直线m α⊂，则m 和β的位置关系有平行、相交不垂直、相交垂直三种情况，故D 选项不正确；故选：B. 【点睛】本题考查了线面平行和垂直的性质以及面面平行和垂直的性质的应用，属于基础题. 2．C 【解析】【分析】由题意得BC CD a ==，90BCD ∠=︒，从而BD =，90BAD ∠=︒，取BD 中点O ，连结AO ，CO ，从而AO ⊥平面BCD ，延长CO 至点E ，使CO OE =，连结ED ，EA ，EB ，则四边形BCDE 为正方形，即有//BC DE ，从而ADE ∠（或其补角）即为异面直线AD 与BC 所成角，由此能求出异面直线AD 与BC 所成角的大小．【详解】由题意得BC ＝CD ＝a ，∠BCD ＝90°，∴BD ，∴∠BAD ＝90°，取BD 中点O ，连结AO ，CO ， ∵AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝a ，∴AO⊥BD，CO⊥BD，且AO＝BO＝OD＝OC又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊥BD，∴AO⊥平面BCD，延长CO至点E，使CO＝OE，连结ED，EA，EB，则四边形BCDE为正方形，即有BC∥DE，∴∠ADE（或其补角）即为异面直线AD与BC所成角，由题意得AE＝a，ED＝a，∴△AED为正三角形，∴∠ADE＝60°，∴异面直线AD与BC所成角的大小为60°．故选C．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查空间想象能力，是中档题．3．B【解析】如果两个平面垂直，则：①，若一个平面内的已知直线如果与另一平面不垂直，则垂直于另一个平面的任意一条直线，故①不成立；②，一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条与该平面垂直的直线，故②成立；③，若一个平面内的任一条直线不与交线垂直，则不垂直于另一个平面，故③不成立，故选B.4．D【解析】由题意画出图形，如图，设正方形的边长为：2，折叠前后AD=2，DE=1，连接AC 交BD 于O ，连接OM ，则OM=1，AO=2 , 因为正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面CBD ， AO ⊥BD ，所以AO ⊥平面BCD ，所以AO ⊥OE ，在△AOM 中，AM=223AO OM +=又AD=2，ED=1，所以DM 2+AM 2=AD 2，所以∠AMD=90°．故选D ．点睛：本题考查折叠问题，注意折叠前后，同一个半平面中的线线关系不变，考查空间想象能力，计算能力． 5．B 【解析】【分析】选项A 由线面垂直的性质定理可得；选项B ，由面面平行的定义找两组相交直线，结合线面垂直的判定定理即可证明；选项C,D ，找到反例即可. 【详解】A 选项不正确，根据垂直于同一个平面的两个直线平行，可得m n ；B 选项正确，若αβ∥，则存在,,a b a b αα⊂⊂⋂，在平面β内存在',',''a a b b a b ⋂∥∥，由m α⊥，可得,','m a m b m a m b ⊥⊥⇒⊥⊥ ，由线面垂直的判定定理可得m β⊥；C 选项不正确，因为根据面面垂直的性质定理，需要加上“m 在平面α内或者平行于α”这个条件，才能判定m β⊥；D 选项不正确，直线n 可能在平面α上．【点睛】解决平行、垂直关系基本问题的3个注意点(1)注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易忽视．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． (3)会举反例或用反证法推断命题是否正确．6．（1；（2）12. 【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理、平行线的性质，可以证明出AD BD ⊥，最后利用勾股定理求解即可.（2）利用四棱锥的体积公式进行求解即可. 【详解】（1）连接AD ，因为平面ABD ⊥平面ABC ，平面ABD ⋂平面ABC =AB ，AB AC ⊥，因此有AC ⊥平面ABD ，而BD ⊂平面ABD ，所以AC BD ⊥,又因为//DE AC ，所以DE BD ⊥，又因为AE BD ⊥，而,,DEAE E DE AE =⊂平面AED ,因此有BD ⊥平面AED ，AD ⊂平面AED ，所以有BD AD ⊥，因为1AD BD ==，所以AB ==；（2）因为//DE AC ，且12DE AC =，所以四边形ACDE 是梯形，故多面体ABCDE 是四棱锥B ACDE -.由（1）可知：BD ⊥平面ACDE ，因此四棱锥B ACDE -的高为1BD =，2AC =，而112DE AC ==，由（1）可知：AC ⊥平面ABD ，而AD ⊂平面ABD ，所以，所以梯形ACDE 的面积为：232AC DE AD +⋅=，四棱锥B ACDE -的体积为：1311322⨯⨯=，因此多面体ABCDE 的体积为12.【点睛】本题考查了线面垂直的判定以及线面垂直的性质的应用，考查了面面垂直的性质定理的应用，考查了四棱锥的体积公式，考查了推理论证能力和数学运算能力. 7．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）连结BD ，交AC 于点O ，连结MO ，由中位线性质可得//PB MO ，利用线面平行的判定定理可得//PB 平面ACM ；（2）易得PE AB ⊥，由线面垂直的性质定理可得PE ⊥面ABCD ，可得PE AC ⊥. 【详解】证明：（1）连结BD ，交AC 于点O ，连结MO ，∵M 为PD 中点，O 为BD 中点， ∴//PB MO .又∵MO ⊂面ACM ，PB ⊄面ACM ， ∴//PB 面ACM .（2）∵PAB ∆为正三角形，E 为AB 的中点， ∴PE AB ⊥.又∵面PAB ⊥面ABCD 且相交于AB ， ∴PE ⊥面ABCD ，AC ⊂面ABCD ， ∴PE AC ⊥. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理及面面垂直的性质定理，考查学生的空间想象能力，注意灵活运用各定理解题. 8．(1)见证明；(2)见证明【解析】【分析】（1）可证EF AB ∥，从而得到要求证的线面平行.（2）可证AF CD ⊥，再由AP AD =及F 是棱PD 的中点可得AF PD ⊥，从而得到AF ⊥平面PCD .【详解】（1）证明：因为点E 、F 分别是棱PC 和PD 的中点，所以EF CD ∥，又在矩形ABCD 中，AB CD ∥，所以EF AB ∥，又AB面PAB ，EF ⊄面PAB ，所以EF 平面PAB（2）证明：在矩形ABCD 中，AD CD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，CD ⊂面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD ，又AF ⊂面PAD ，所以CD AF ⊥①因为PA AD =且F 是PD 的中点，所以AF PD ⊥，②由①②及PD ⊂面PCD ，CD ⊂面PCD ，PD CD D ⋂=，所以AF ⊥平面 PCD . 【点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法可利用三角形的中位线或平行公理.线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，而要求证的线线垂直又可以转化为已知的线面垂直（有时它来自面面垂直）来考虑.。

面面垂直测试题

面面垂直测试题1.如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO 底面ABCD ，E 是PC 的中点。

2．如图，在三棱锥中，，平面，,分别为,的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.3如图在三棱锥中，分别为棱的中点，已知，求证（1）直线平面；（2）平面平面.4．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面．（Ⅰ）若，分别为，中点，求证：∥平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）若，求证：平面平面．,,PC AC AB ,,D E F -P ABCPCD PAB ⊥2PA PD AD ==CD PA ⊥PAD EF BD PC F E ABCD PAD ⊥ABCD P ABCD -ABC ⊥BDE DEF //PA ,6,8,5PA AC PA BC DF ⊥===PAB AEF ⊥ABC //EF PC PB FE ABC PA⊥90ABC ∠=P ABC -⊥5．已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面,AC=BC,点D 是AB 的中点．(1)求证：BC 1∥平面CA 1D ；(2)求证：平面CA 1D⊥平面AA 1B 1B ；(3)若底面ABC 为边长为2的正三角形，BB 1求三棱锥B 1-A1DC 的体积．6．如图，已知四棱锥，，，平面，∥，为的中点．（1）求证：∥平面；（2）求证：平面平面；（3）求四棱锥的体积．7．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，且底面ABCD ，，E 是PA 的中点.（1）求证：平面平面EBD ；（2）若PA=AB=2，求三棱锥P-EBD 的高.ADB C CAB PAC ⊥BD PC ⊥PA ⊥A BCDE -ACD ⊥ADE ABC EF AD F CD BE ABC CD ⊥2CD =1AB BC AC BE ====A BCDE -面面垂直测试题1.证明：(1)∵O 是AC 的中点，E 是PC 的中点，∴OE ∥AP ，又∵OE 平面BDE ，PA 平面BDE ，∴PA ∥平面BDE(2)∵PO 底ABCD,∴PO BD ，又∵AC BD ，且AC PO=O∴BD 平面PAC ，而BD 平面BDE ，∴平面PAC 平面BDE2.证明:（1）在中，分别为的中点 3分又平面，平面平面 7分（2）由条件，平面，平面，即， 10分由，，又，都在平面内平面又平面平面平面3.（1）由于分别是的中点，则有，又，，所以．（2）由（1），又，所以，又是中点，所以，，又，所以，所以，是平面内两条相交直线，所以，又，所以平面平面．4.（3)（Ⅲ）在△中，因为，所以．由（Ⅱ）可知，且，所以平面．又因为平面，所以平面平面5.由（Ⅱ）可知，且，所以平面．又因为平面，所以平面平面．证明（1）连接AC 1交A 1C 于点E ，连接DE因为四边形AA 1C 1C 是矩形，则E 为AC 1的中点又D 是AB 的中点，DE∥B C 1，又DE 面CA 1D ，BC 1面CA 1D ，BC 1∥面CA 1 (４分)证明（2）AC=BC ，D 是AB 的中点，AB⊥CD，又AA 1⊥面ABC ，CD 面ABC ，AA 1⊥CD，AA 1∩AB=A，CD⊥面AA 1B 1B ，CD 面CA 1D ，平面CA 1D⊥平面AA 1B 1B (８分)（3）解：,则（2）知CD⊥面ABB 1B ，所以高就是，BD=1，BB 1，PCD PAB ⊥PAB PA ⊂PCD PA ⊥=CD PD D CD PA ⊥PA PD ⊥PA PD AD ==PAD 1111B A DC C A B D V V --=⊂⊂⊄⊂PCD PAB ⊥PAB PA ⊂PCD PA ⊥=CD PD D CD PA ⊥ABC ⊥BDE BDE DE ⊂平面DE ABC ⊥平面ABC ,EF AC DE EF ⊥222DE EF DF +=5DF =142EF BC ==132DE PA ==AB F PE AC ⊥PA AC ⊥//PA DE //PA DEF 平面DE DEF ⊂平面PA DEF ⊄平面//PA DE ,PC AC ,D E PAB ⊥AEF ∴AEF ⊂EF PAB ⊥EF ∴PAB AB PA ,A AB PA =⋂EF PA ⊥EF AB ⊥∴//EF BC BC AB ⊥︒=∠90ABC BC PA ⊥∴ABC ⊂BC ABC ⊥PA ABC //EF ∴ABC ⊄EF ABC ⊂BC BC EF //∴PC PB ,F E , PBC ∆⊂⊄⊥ABCD BD 面⊂⊥⊥ ⊥⊂⊥所以A 1D=B 1D=A 1B 1=2,(1２分) 6.解：（1）取中点，连结，，分别是，的中点， ∥，且.∥，与平行且相等.所以四边形为平行四边形，∥. 3分又平面，平面.∥平面. 4分（2）为等边三角形，为的中点，. 又平面，平面.， 6‘ 又，平面. 7分∥，平面， 8分平面，平面平面. 10分（3）取中点,连结., .平面，平面，又，平面，是四棱锥的高，且， 12分 .7（1）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD ．又BD ⊥PC ，所以BD ⊥平面PAC ，因为BD ⊂平面EBD ，所以平面PAC ⊥平面EBD ． 5分（2）由（1）可知，BD ⊥AC ，所以ABCD 是菱形，∠BAD ＝120︒．所以 7分设AC ∩BD ＝O ，连结OE ，则（1）可知，BD ⊥OE ．所以．设三棱锥P -EBD 的高为h ，则12EBD S BD OE ∆=⋅=1122ABD S BD AC ∆=⋅=111C A B D V -==11A B D S ∆=AH =11(12)133224BCDE V S AH +⨯=⋅=⨯⨯=梯形A BCDE -AH ∴BCDE AH ⊥∴BC DC C =DC AH ∴⊥ABC AH ⊂ABC DC ⊥AH BC ∴⊥AB BC AC ==AH H BC ADC ADE ⊥∴ADE EF ⊂ADC EF ∴⊥BG EF ADC BG ∴⊥AC DC C =DC BG ∴⊥ABC BG ⊂ABC DC ⊥BG AC ∴⊥AC G ABC ∆ABC EF ∴ABC BG ⊂ABC EF ⊄BG EF ∴BEFG BE FG ∴CD BE 112FG DC ==CD FG ∴AC AD F G ，BG FG G AC，即，解得． 12分2h=11133h =1133EBD ABD S h S AE ∆∆⋅=⋅。