平行四边形判定定理

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平行四边形的判定知识点小结

平行四边形的判定知识点小结

平行四边形的判定知识点小结一、平行四边形的判定方法。

1. 定义判定。

- 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

- 用符号语言表示:如果AB∥CD,AD∥BC,那么四边形ABCD是平行四边形。

这是平行四边形最基本的判定方法,它是从平行四边形的定义直接得出的。

2. 边的判定。

- 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

- 符号语言:若AB = CD,AD = BC,则四边形ABCD是平行四边形。

- 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

- 符号语言:若AB∥CD且AB = CD(或者AD∥BC且AD = BC),则四边形ABCD 是平行四边形。

3. 角的判定。

- 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

- 符号语言:若∠A = ∠C,∠B = ∠D,则四边形ABCD是平行四边形。

4. 对角线的判定。

- 对角线互相平分的四边形是平行四边形。

- 符号语言:若OA = OC,OB = OD(其中O为对角线AC、BD的交点),则四边形ABCD是平行四边形。

二、平行四边形判定方法的证明思路。

1. 定义法证明。

- 一般通过已知条件中的平行关系,如角相等推出直线平行(同位角、内错角相等,两直线平行)等方法来证明两组对边分别平行。

- 例如:已知∠1 = ∠2,∠3 = ∠4,可推出AD∥BC,AB∥CD,从而证明四边形ABCD是平行四边形。

2. 边的判定证明。

- 对于两组对边分别相等的判定方法,通常利用三角形全等的知识来证明。

- 例如:连接AC,在△ABC和△CDA中,已知AB = CD,BC = DA,AC = CA(公共边),通过SSS(边 - 边 - 边)全等判定定理证明△ABC≌△CDA,进而得出∠1 = ∠2,∠3 = ∠4,所以AD∥BC,AB∥CD,四边形ABCD是平行四边形。

- 对于一组对边平行且相等的判定方法,可通过平移线段构造平行四边形或者利用三角形全等和平行线的判定来证明。

- 例如:已知AB∥CD且AB = CD,延长AB到E,使BE = CD,连接CE,可证明四边形BECD是平行四边形,从而得出BD∥CE,再结合已知条件证明四边形ABCD是平行四边形。

平行四边形证明公式

平行四边形证明公式

平行四边形证明公式
一、平行四边形的定义及性质。

1. 定义。

- 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

- 表示方法:平行四边形用符号“▱”表示,如平行四边形ABCD记作“▱ABCD”。

2. 性质。

- 边的性质。

- 平行四边形的对边平行且相等。

即AB = CD,AD = BC;AB∥CD,AD∥BC。

- 角的性质。

- 平行四边形的对角相等,邻角互补。

即∠A = ∠C,∠B = ∠D;∠A+∠B = 180°,∠B + ∠C=180°等。

- 对角线的性质。

- 平行四边形的对角线互相平分。

即AO = CO,BO = DO(设AC、BD相交于点O)。

二、平行四边形的判定定理。

1. 边的判定。

- 两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义判定)。

- 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

即若AB = CD,AD = BC,则四边形ABCD是平行四边形。

- 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

若AB∥CD且AB = CD(或者AD∥BC且AD = BC),则四边形ABCD是平行四边形。

2. 角的判定。

- 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

即若∠A = ∠C,∠B = ∠D,则四边形ABCD是平行四边形。

3. 对角线的判定。

- 对角线互相平分的四边形是平行四边形。

即若AO = CO,BO = DO,则四边形ABCD是平行四边形。

平行四边形的判定定理五条

平行四边形的判定定理五条

平行四边形的判定定理五条
一、求余边定理:
如果两条相邻边之间的倾斜角相等,那么两条边之间的连接边就必然是平行的。

二、定位定理:
如果四个点形成一个平行四边形,那么这四个点的位置的距离必定相等。

三、折射定律:
如果给定一个平行四边形,那么它的对边必定是平行的,而且它的节点位置也会折射出其他的平行直线。

四、向量定理:
若 ab 为交点 A 的一条边,CD 为另一条边,则AB ⊥ CD 并且AB·CD = 0,其中AB 为标量向量,CD 为向量 B 向量 C 的合向量
五、三角形定理:
如果AB和CD是平行四边形的两条相邻边,则对应角AB=CD,AB·CD=0,AB和CD垂直于BC 且两个三角形ABC,DBC具有相同的度数。

四边形的判定定理

四边形的判定定理

四边形的判定定理
平行四边形的判定:
1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.
矩形的判定:
1)一个角是直角的平行四边形是矩形
2)对角线相等的平行四边形是矩形
3)有三个角是直角的四边形是矩形
4)对角线相等且互相平分的四边形是矩形
菱形的判定:
1)四条边相等的平行四边形是菱形
2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形(对角线互相垂直且平分的四边形是菱形)
3)一组邻边相等的平行四边形是菱形
4)一组对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
正方形的判定:
1)对角线相等的菱形是正方形。

2)有一个角为直角的菱形是正方形。

3)对角线互相垂直的矩形是正方形。

4)一组邻边相等的矩形是正方形。

5)一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

6)对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。

7)对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。

8)一组邻边相等,有三个角是直角的四边形是正方形。

9)既是菱形又是矩形的四边形是正方形。

平行四边形的判定定理培优讲解及练习

平行四边形的判定定理培优讲解及练习

平行四边形的判定定理【要点梳理】要点一、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形;2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形;4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形;5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释:(1)这些判定方法是学习本章的基础,必须牢固掌握,当几种方法都能判定同一个行四边形时,应选择较简单的方法.(2)这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据,也可作为“画平行四边形”的依据. 【典型例题】类型一、平行四边形的判定例1、如图所示,E、F分别为四边形ABCD的边AD、BC上的点,且四边形AECF和DEBF都是平行四边形,AF和BE相交于点G,DF和CE相交于点H.求证:四边形EGFH为平行四边形.【思路点拨】欲证四边形EGFH为平行四边形,只需证明它的两组对边分别平行,即EG∥FH,FG ∥HE可用来证明四边形EGFH为平行四边形.【答案与解析】证明:∵四边形AECF为平行四边形,∴ AF∥CE.页1∵四边形DEBF为平行四边形,∴ BE∥DF.∴四边形EGFH为平行四边形.【变式】如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F,若CE=CF,求证:四边形ABCD是平行四边形.【答案】证明:∵∠BAD的平分线交直线BC于点E,∴∠1=∠2,∵AB∥CD,∴∠1=∠F,∵CE=CF,∴∠F=∠3,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴AD∥BC,∵AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.例2、如图,在▱ABCD中,点E,F在对角线AC上,且AE=CF.求证:(1)DE=BF;(2)四边形DEBF是平行四边形.【思路点拨】(1)根据全等三角形的判定方法,判断出△ADE≌△CBF,即可推得DE=BF.页2(2)首先判断出DE∥BF;然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,推得四边形DEBF 是平行四边形即可.【答案与解析】证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥CB,AD=CB,∴∠DAE=∠BCF,在△ADE和△CBF中,∴△ADE≌△CBF,∴DE=BF.(2)由(1),可得△ADE≌△CBF,∴∠ADE=∠CBF,∵∠DEF=∠DAE+∠ADE,∠BFE=∠BCF+∠CBF,∴∠DEF=∠BFE,∴DE∥BF,又∵DE=BF,∴四边形DEBF是平行四边形.【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用,以及全等三角形的判定和性质的应用,要熟练掌握.例3、已知:如图四边形ABCD是平行四边形,P、Q是直线AC上的点,且AP=CQ.求证:四边形PBQD是平行四边形.页3页 4【思路点拨】证明四边形是平行四边形有很多种方法,此题可由对角线互相平分来证明. 【答案与解析】证明:连接BD 交AC 与O 点,∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AO=CO,BO=DO , 又∵AP=CQ, ∴AP+AO=CQ+CO, 即PO=QO ,∴四边形PBQD 是平行四边形.【总结升华】本题主要考查平行四边形的判定,利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明.举一反三:【变式1】如图,在△ABC 中,D 是BC 边上的一点,E 是AD 的中点,过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于F ,且AF=DC ,连接CF .试说明:D 是BC 的中点.【答案】证明:∵AF∥BC ,∴∠AFE=∠DBE , ∵E 是AD 的中点, ∴AE=DE ,页 5在△AEF 和△DEB 中,∵ ∴△AEF ≌△DEB (AAS ), ∴AF=BD , ∵AF=DC , ∴BD=DC , ∴D 是BC 的中点.【变式2】如图,分别以Rt △ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD 及等边△ABE ,已知:∠BAC=30°,EF ⊥AB ,垂足为F ,连接DF . (1)试说明AC=EF ;(2)求证:四边形ADFE 是平行四边形.【答案】证明:(1)∵Rt △ABC 中,∠BAC=30°, ∴AB=2BC ,又∵△ABE 是等边三角形,EF ⊥AB , ∴AB=2AF ∴AF=BC ,在Rt △AFE 和Rt △BCA 中,,∴Rt △AFE ≌Rt △BCA (HL ),,,,===AFE DBE AEF DEB AE DE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩页 6∴AC=EF ;(2)∵△ACD 是等边三角形, ∴∠DAC=60°,AC=AD , ∴∠DAB=∠DAC +∠BAC=90° 又∵EF ⊥AB , ∴EF ∥AD , ∵AC=EF ,AC=AD , ∴EF=AD ,∴四边形ADFE 是平行四边形.例4、如图,平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ,直线EF 经过点O ,分别与AB ,CD 的延长线交于点E ,F .求证:四边形AECF 是平行四边形.【思路点拨】平行四边形的判定方法有多种,选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些,本题所给的条件为四边形ABCD 是平行四边形,可证OF=OE ,OA=OC ,根据条件在图形中的位置,可选择利用“对角线相互平分的四边形为平行四边形”来解决. 【答案与解析】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OD=OB ,OA=OC , ∵AB ∥CD ,∴∠DFO=∠BEO ,∠FDO=∠EBO , ∴在△FDO 和△EBO 中,,===DFO BEO FDO EBO OD OB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△FDO≌△EBO(AAS),∴OF=OE,∴四边形AECF是平行四边形.类型二、平行四边形的性质定理与判定定理的综合运用例1、如图,在平行四边形ABCD中,E、F是对角线AC上的点,且AE=CF.(1)猜想探究:BE与DF之间的关系: ________________.(2)请证明你的猜想.【思路点拨】(1)BE平行且等于DF;(2)连接BD交AC于O,根据平行四边形的性质得出OA=OC,OD=OB,推出OE=OF,得出平行四边形BEDF即可.【答案与解析】(1)解:BE和DF的关系是:BE=DF,BE∥DF,故答案为:平行且相等.(2)证明:连接BD交AC于O,∵ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,∵AE=CF,∴OE=OF,∴BFDE是平行四边形,∴BE=DF,BE∥DF.【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定的应用,能否熟练地运用平行四边形的性质和判定进行推理是你解决本题的关键,题型较好,通过此题培养了学生分析问题和解决问题的能力,同时培养了学生的观察能力和猜想能力.举一反三:【变式】如图,在ABCD中,E、F分别在AD、BC边上,且AE=CF.请你猜想BE与DF的关系,并说明理由.页7页 8【答案】解:猜想BE 与DF 的关系是BE=DF ,BE ∥DF ,理由是:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥BC ,AD=BC , ∵AE=CF , ∴AD-AE=BC-CF , 即DE=BF , ∵DE ∥BF ,∴四边形BFDE 是平行四边形, ∴BE=DF ,BE ∥DF .例2、如图,四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点P ,过点P 作直线交AD 于点E ,交BC 于点F .若PE=PF ,且AP+AE=CP+CF . (1)求证:PA=PC .(2)若AD=12,AB=15,∠DAB=60°,求四边形ABCD 的面积.【思路点拨】(1)首先在PA 和PC 的延长线上分别取点M 、N ,使AM=AE ,CN=CF ,可得PN=PM ,则易证四边形EMFN 是平行四边形,则可得ME=FN ,∠EMA=∠CNF ,即可证得△EAM ≌△FCN ,则可得PA=PC ;(2)由PA=PC ,EP=PF ,可证得四边形AFCE 为平行四边形,易得△PED ≌△PFB ,则可得四边形ABCD 为平行四边形,由AB=15,AD=12,∠DAB=60°,即可求得四边形ABCD 的面积. 【答案与解析】(1)证明:在PA 和PC 的延长线上分别取点M 、N ,使AM=AE ,CN=CF . ∵AP+AE=CP+CF , ∴PN=PM . ∵PE=PF ,∴四边形EMFN 是平行四边形.∴ME=FN ,∠EMA=∠CNF.又∵∠AME=∠AEM,∠CNF=∠CFN,∴△EAM≌△FCN.∴AM=CN.∵PM=PN,∴PA=PC.(2)解:∵PA=PC,EP=PF,∴四边形AFCE为平行四边形.∴AE∥CF.∵∠PED=∠PFB,∠EPD=∠FPB,EP=PF,∴△PED≌△PFB.∴DP=PB.由(1)知PA=PC,∴四边形ABCD为平行四边形.∵AB=15,AD=12,∠DAB=60°,∴四边形ABCD的面积为90.【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质,以及全等三角形的判定与性质等知识.此题图形比较复杂,难度适中,解题的关键是数形结合思想的应用.例3、如图,△ABC中AB=AC,点D从点B出发沿射线BA移动,同时,点E从点C出发沿线段AC的延长线移动,已点知D、E移动的速度相同,DE与直线BC相交于点F.(1)如图1,当点D在线段AB上时,过点D作AC的平行线交BC于点G,连接CD、GE,判定四边形CDGE的形状,并证明你的结论;(2)过点D作直线BC的垂线垂足为M,当点D、E在移动的过程中,线段BM、MF、CF有何数量关系?请直接写出你的结论.【思路点拨】(1)由题意得出BD=CE,由平行线的性质得出∠DGB=∠ACB,由等腰三角形的性质得出∠B=∠ACB,得出∠B=∠DGB,证出BD=GD=CE,即可得出结论;(2)由(1)得:BD=GD=CE,由等腰三角形的三线合一性质得出BM=GM,由平行线得出GF=CF,即可得出结论.【答案与解析】解:(1)四边形CDGE是平行四边.理由如下:如图1所示:3页9∵D、E移动的速度相同,∴BD=CE,∵DG∥AE,∴∠DGB=∠ACB,∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠B=∠DGB,∴BD=GD=CE,又∵DG∥CE,∴四边形CDGE是平行四边形;(2)BM+CF=MF;理由如下:如图2所示:由(1)得:BD=GD=CE,∵DM⊥BC,∴BM=GM,∵DG∥AE,∴GF=CF,∴BM+CF=GM+GF=MF.【总结升华】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质;熟练掌握等腰三角形的性质,并能进行推理论证是解决问题的关键.举一反三【变式】如图,已知四边形ABCD为平行四边形,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F.(1)求证:BE=DF;(2)若M、N分别为边AD、BC上的点,且DM=BN,试判断四边形MENF的形状(不必说明理由).【答案】页10∴ AB=CD,AB∥CD,∴∠ABD=∠CDB,∵AE⊥BD于E,CF⊥BD于F,∴∠AEB=∠CFD=90°,∴△ABE≌△CDF(AAS),∴BE=DF;(2)四边形MENF是平行四边形.证明:由(1)可知:BE=DF,∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,∴∠MDB=∠NBD,∵DM=BN,∴△DMF≌△BNE,∴NE=MF,∠MFD=∠NEB,∴∠MFE=∠NEF,∴MF∥NE,∴四边形MENF是平行四边形.例4、如图,已知在ABCD中,E、F是对角线BD上的两点,BE=DF,点G、H分别在BA和DC的延长线上,且AG=CH,连接GE、EH、HF、FG.(1)求证:四边形GEHF是平行四边形;(2)若点G、H分别在线段BA和DC上,其余条件不变,则(1)中的结论是否成立?(不用说明理由)【思路点拨】(1)先由平行四边形的性质,得AB=CD,AB∥CD,根据两直线平行内错角相等得∠GBE=∠HDF.再由SAS可证△GBE≌△HDF,利用全等的性质,证明∠GEF=∠HFE,从而得GE∥HF,又GE=HF,运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得证.(2)仍成立.可仿照(1)的证明方法进行证明.【答案与解析】页11页 12∴AB=CD ,AB ∥CD ,∴∠GBE=∠HDF . 又∵AG=CH ,∴BG=DH . 又∵BE=DF ,∴△GBE ≌△HDF .∴GE=HF ,∠GEB=∠HFD ,∴∠GEF=∠HFE , ∴GE ∥HF ,∴四边形GEHF 是平行四边形.(2)解:仍成立.(证法同上)【总结升华】本题考查的知识点为:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 举一反三 【变式】如图,ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于O 点,AE ⊥BD 于E ,CF ⊥BD 于F ,BG ⊥AG 于G ,DH ⊥AC 于H .求证:四边形GEHF 是平行四边形.【答案】证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴BO=DO ,AO=CO ,AB=CD ,AB ∥CD , ∴∠ABD=∠CDB ,∵AE ⊥BD 于E ,CF ⊥BD 于F ,∴∠AEB=∠CFD=90°, 在△ABE 和△CDF 中,∴△ABE ≌△CDF (AAS ), ∴BE=DF , ∴BO-BE=DO-DF , 即:EO=FO ,同理:△ABG ≌△CDH , ∴AG=CH , ∴AO-AG=CO-CH , ,===AB CD ABE CDF AEB CFD ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩即:GO=OH,∴四边形GEHF是平行四边形.【课堂练习】一.选择题1.点P、Q、R是平面内不在同一条直线上的三个定点,点M是平面内任意一点,若P、Q、R、M四点恰能构成一个平行四边形,则在平面内符合这样条件的点M有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2. 四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,给出下列四组条件:①AB∥CD,AD∥BC;②AB=CD,AD=BC;③AO=CO,BO=DO;④AB∥CD,AD=BC.其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有( ).A.1组 B.2组 C.3组 D.4组3. 下面给出了四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比, 其中能识别四边形ABCD为平行四边形的是( ).A. 1:2:3:4B. 2:3:2:3C. 2:2:3:3D. 1:2:2:14. 如图,点A是直线l外一点,在l上取两点B、C,分别以A、C为圆心,BC、AB长为半径画弧,两弧交于点D,分别连接AB、AD、CD,则四边形ABCD一定是()A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.梯形5. 已知一个凸四边形ABCD的四条边的长顺次是a、b、c、d,且a2+ab-ac-bc=0,b2+bc-bd-cd=0,那么四边形ABCD是()A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.梯形页136. 如图,图1、图2、图3分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图(箭头表示行进的方向).其中E为AB的中点,AH>HB,判断三人行进路线长度的大小关系为()A.甲<乙<丙 B.乙<丙<甲 C.丙<乙<甲 D.甲=乙=丙二.填空题7. 如图,E、F 是ABCD对角线BD上的两点,请你添加一个适当的条件:,使四边形AECF是平行四边形.8.如图,平行四边形ABCD的对角线交于点O,直线EF过点O且EF∥AD,直线GH过点O且GH∥AB,则能用图中字母表示的平行四边形共有______________个.9.如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,点E在AB边上从A向B以1cm/s的速度移动,同时点F在CD边上从C向D以2cm/s的速度移动,若AB=7cm,CD=9cm,则秒时四边形ADFE是平行四边形.页1410. 如图,已知等边△ABC的边长为8,P是△ABC内一点,PD∥AC,PE∥AD,PF∥BC,点D,E,F分别在AB,BC,AC上,则PD+PE+PF=______________.11.已知:如图,四边形AEFD和EBCF都是平行四边形,则四边形ABCD是______.12.如图,平行四边形ABCD中,AC、BD相交于点O,E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD 的中点.有下列结论:①AD=BC,②△DHG≌△BFE,③BF=HO,④AO=BO,⑤四边形HFEG是平行四边形,其中正确结论的序号是.三.解答题13.如图,在口ABCD中,E、F是对角线BD上的两点,BE=DF,点G、H分别在BA和DC的延长线上,且AG=CH,连接GE、EH、HF、FG.求证:(1)△BEG≌△DFH;(2)四边形GEHF是平行四边形.14.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D、E分别为边AB、BC的中点,点F在边AC的延长线上,∠FEC=∠B,求证:四边形CDEF是平行四边形.页1515.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC的中点,DE⊥BC,CE∥AD,若AC=2,CE=4,求四边形ACEB的周长.【答案与解析】一.选择题1.【答案】C;【解析】解:如图,连接PQ、QR、PR,分别过P、Q、R三点作直线l∥QR、m∥PR、n∥PQ,分别交于点D、E、F,∵DP∥QR,DQ∥PR,∴四边形PDQR为平行四边形,同理可知四边形PQRF、四边形PQER也为平行四边形,故D、E、F三点为满足条件的M点,故选C.页162.【答案】C;【解析】①②③能判定平行四边形.3.【答案】B;【解析】平行四边形对角相等.∠A与∠C为对角,∠B与∠D为对角.4.【答案】A;【解析】∵分别以A、C为圆心,BC、AB长为半径画弧,两弧交于点D,∴AD=BC AB=CD∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).故选A.5.【答案】A;【解析】由a2+ab-ac-bc=0,可知(a+b)(a-c)=0,则a-c=0,即a=c;由b2+bc-bd-cd=0,可知(b+c)(b-d)=0;则b-d=0,即b=d.(其中a,b,c,d都是正数,a+b、b+c一定不等于0)由a=c;b=d知四边形ABCD的两组对边分别相等,则四边形ABCD是平行四边形.故选A.6.【答案】D;【解析】图1中,甲走的路线长是AC+BC的长度;延长AD和BF交于C,如图2,∵∠DEA=∠B=60°,∴DE∥CF,同理EF∥CD,∴四边形CDEF是平行四边形,∴EF=CD,DE=CF,即乙走的路线长是AD+DE+EF+FB=AD+CD+CF+BC=AC+BC的长;延长AG和BK交于C,如图3,与以上证明过程类似GH=CK,CG=HK,即丙走的路线长是AG+GH+HK+KB=AG+CG+CK+BK=AC+BC的长;即甲=乙=丙,故选D.页17页 18二.填空题 7.【答案】BE=DF ;【解析】添加的条件是BE=DF ,理由是:连接AC 交BD 于O , ∵平行四边形ABCD , ∴OA=OC ,OB=OD , ∵BE=DF , ∴OE=OF ,∴四边形AECF 是平行四边形. 故答案为:BE=DF .8.【答案】18;【解析】图中平行四边形有:AEOG ,AEFD ,ABHG ,GOFD ,GHCD ,EBHO ,EBCF ,OHCF ,ABCD ,EHFG ,AEHO ,AOFG ,EODG ,BHFO ,HCOE ,OHFD ,OCFG ,BOGE .共18个.故答案为:18. 9.【答案】3;【解析】解:设t 秒时四边形ADFE 是平行四边形;理由:当四边形ADFE是平行四边形,则AE=DF,即t=9﹣2t,解得:t=3,故3秒时四边形ADFE是平行四边形.故答案为:3.10.【答案】8;【解析】过E点作EG∥PD,过D点作DH∥PF,∵PD∥AC,PE∥AD,∴PD∥GE,PE∥DG,∴四边形DGEP为平行四边形,∴EG=DP,PE=GD,又∵△ABC是等边三角形,EG∥AC,△BEG为等边三角形,∴EG=PD=GB,同理可证:DH=PF=AD,∴PD+PE+PF=BG+GD+AD=AB=8..11.【答案】平行四边形;12.【答案】①,②,③,⑤;【解析】解:平行四边形ABCD中,∴AD=BC,故①正确;∵平行四边形ABCD,∴DC∥AB,DC=AB,OD=OB,∴∠CDB=∠DBA,∵E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点,∴DG=BE=AB,DH=BF=OD,∴②△DHG≌△BFE,故②正确;∵HO=DH,DH=BF,∴BF=HO,故③正确;平行四边形ABCD,OA=OC,OB=OD,故④错误;E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点,∴HG∥OC,HG=OC,EF∥OA,EF=OA,∴HG∥EF,HG=EF,HEFG是平行四边形,故⑤正确;故答案为:①,②,③,⑤.三.解答题页1913.【解析】证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥DC,∴∠ABE=∠CDF,∵AG=CH,∴BG=DH,在△BEG和△DFH中,,∴△BEG≌△DFH(SAS);(2)∵△BEG≌△DFH(SAS),∴∠BEG=∠DFH,EG=FH,∴∠GEF=∠HFB,∴GE∥FH,∴四边形GEHF是平行四边形.14.【解析】证明:∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D、E分别为边AB、BC的中点,∴DE∥AC,CD=AB=AD=BD,∴∠B=∠DCE,∵∠FEC=∠B,∴∠FEC=∠DCE,∴DC∥EF,∴四边形CDEF是平行四边形.15.【解析】解:∵∠ACB=90°,DE⊥BC,页20∴AC∥DE.又∵CE∥AD,∴四边形ACED是平行四边形.∴DE=AC=2在Rt△CDE中,由勾股定理∵D是BC的中点,∴BC=2CD=在Rt△ABC中,由勾股定理.∵D是BC的中点,DE⊥BC,∴EB=EC=4∴四边形ACEB的周长=AC+CE+BE+BA=10+.【课后作业】一.选择题1.如图,在平面直角坐标系中,以O(0,0)、A(1,-1)、B(2,0)为顶点,构造平行四边形,下列各点中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是()A.(3,-1) B.(-1,-1) C.(1,1) D.(-2,-1)2.以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有( )个.A.1B.2C.3D.无数CD==AB==页21页 223.A ,B ,C ,D 在同一平面内,从①AB ∥CD ,②AB=CD ,③BC ∥AD ,④BC=AD 这四个中任选两个作为条件,能使四边形ABCD 为平行四边形的选法有( ) A .6种 B .5种 C .4种 D .3种4. 如图,在▱ABCD 中,EF ∥AD ,HN ∥AB ,则图中的平行四边形(不包括四边形ABCD )的个数共有( )A .9个B .8个C .6个D .4个5. 如图,在ABCD 中, 对角线AC 、BD 相交于点O. E 、F 是对角线AC 上的两个不同点,当E 、F 两点满足下列条件时,四边形DEBF 不一定是平行四边形( ).A. AE =CFB.DE =BFC. D.6.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,D 是BC 的中点,DE⊥BC,CE∥AD,若AC=2,∠ADC=30°,①四边形ACED 是平行四边形; ②△BCE 是等腰三角形; ③四边形ACEB 的周长是10+2; ④四边形ACEB 的面积是16. 则以上结论正确的是( )CBF ADE ∠=∠CFB AED ∠=∠A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②④二.填空题7.已知四边形ABCD的对角线相交于O,给出下列5个条件①AB∥CD ②AD∥BC③AB=CD ④∠BAD=∠DCB,从以上4个条件中任选2个条件为一组,能推出四边形ABCD为平行四边形的有____________组.8.在▱ABCD中,对角线相交于点O,给出下列条件:①AB=CD,AD=BC,②AD=AB,AD∥BC,③AB∥CD,AD∥BC,④AO=CO,BO=DO其中能够判定ABCD是平行四边形的有____________.9.如图,用9个全等的等边三角形,按图拼成一个几何图案,从该图案中可以找出______个平行四边形.10.如图,已知AB=CD,AD=CB,则∠ABC+∠BAD=___________度.11.如图,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AD∥BC,若要使四边形是平行四边形,则需要添加的一个条件是.(只写出一种情况即可)12.如图,在△ABC中,AB=4,AC=3,BC=5,△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形,则四边形AEFD的面积为.页23三.解答题13. 在ABCD中,对角线BD、AC相交于点O,BE=DF,过点O作线段GH交AD于点G,交BC于点H,顺次连接EH、HF、FG、GE,求证:四边形EHFG是平行四边形.14.如图,已知点A、B、C、D在一条直线上,BF、CE相交于O,AE=DF,∠E=∠F,OB=OC.(1)求证:△ACE≌△DBF;(2)如果把△DBF沿AD折翻折使点F落在点G,连接BE和CG.求证:四边形BGCE是平行四边形.15. 如图所示,已知△ABC是等边三角形,D、F两点分别在线段BC、AB上,∠EFB=60°,DC=EF.页24(1)求证:四边形EFCD是平行四边形;(2)若BF=EF,求证:AE=AD.【答案与解析】一.选择题1.【答案】D;【解析】A、∵以O(0,0)、A(1,-1)、B(2,0)为顶点,构造平行四边形,当第四个点为(3,-1)时,∴BO=AC1=2,∵A,C1,两点纵坐标相等,∴BO∥AC1,∴四边形OAC1B是平行四边形;故此选项正确;B、∵以O(0,0)、A(1,-1)、B(2,0)为顶点,构造平行四边形,当第四个点为(-1,-1)时,∴BO=AC2=2,∵A,C2,两点纵坐标相等,∴BO∥AC2,∴四边形OC2AB是平行四边形;故此选项正确;C、∵以O(0,0)、A(1,-1)、B(2,0)为顶点,构造平行四边形,页25页 26当第四个点为(1,1)时, ∴BO=AC 1=2,∵A ,C 1,两点纵坐标相等, ∴C 3O=BC 3=, 同理可得出AO=AB=,进而得出C 3O=BC 3=AO=AB ,∠OAB=90°, ∴四边形OABC 3是正方形;故此选项正确;D 、∵以O (0,0)、A (1,-1)、B (2,0)为顶点,构造平行四边形, 当第四个点为(-1,-1)时,四边形OC 2AB 是平行四边形;∴当第四个点为(-2,-1)时,四边形OC 2AB 不可能是平行四边形; 故此选项错误.故选:D .2.【答案】C ;【解析】分别以AB ,BC ,AC 为对角线作平行四边形. 3.【答案】C ;【解析】根据平行四边形的判定,可以有四种:①与②,③与④,①与③,②与④都能判定四边形是平行四边形,故选C .4.【答案】B ;【解析】设EF 与NH 交于点O ,∵在▱ABCD 中,EF ∥AD ,HN ∥AB ,∴AD ∥EF ∥BC ,AB ∥NH ∥CD ,则图中的四边AEOH 、DHOF 、BEON 、CFON 、AEFD 、BEFC 、AHNB 、DHNC 和ABCD 都是平行四边形,共9个. 故选B .5.【答案】B ; 22页 27【解析】C 选项和D 选项均可证明△ADE ≌△CBF ,从而得到AE =CF ,EO =FO ,BO =DO ,所以可证四边形DEBF 是平行四边形.6.【答案】A ;【解析】解:①∵∠ACB=90°,DE⊥BC,∴∠ACD=∠CDE=90°, ∴AC∥DE, ∵CE∥AD,∴四边形ACED 是平行四边形,故①正确; ②∵D 是BC 的中点,DE⊥BC, ∴EC=EB,∴△BCE 是等腰三角形,故②正确; ③∵AC=2,∠ADC=30°, ∴AD=4,CD=2,∵四边形ACED 是平行四边形, ∴CE=AD=4, ∵CE=EB,∴EB=4,DB=2, ∴CB=4,∴AB==2,∴四边形ACEB 的周长是10+2故③正确; ④四边形ACEB 的面积:×2×4+×4×2=8,故④错误,故选:A .二.填空题 7.【答案】4;【解析】①和②根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形,能推出四边形ABCD 为平行四边形;①和③根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,能推出四边形ABCD 为平行四边形;①和④,②和④根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形,能推出四边形ABCD为平行四边形;所以能推出四边形ABCD为平行四边形的有四组.故答案为:4.8.【答案】①③④;【解析】∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∴①正确;∵AD=BC,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∴②正确;∵AB∥CD,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∴③正确;∵AO=CO,BO=DO,∴四边形ABCD是平行四边形,∴④正确;即其中能判定四边形ABCD是平行四边形的有①②③④,故答案为:①②③④.9.【答案】15;【解析】两个全等的等边三角形,以一边为对角线构成的四边形是平行四边形,这样的两个平行四边形又可组成较大的平行四边形,从该图案中可以找出15个平行四边形.故答案为:15.10.【答案】180°;【解析】依题意得ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠ABC+∠BAD=180°.11.【答案】AD=BC;【解析】∵AD=BC,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形,故答案为:AD=BC.12.【答案】6;【解析】解:∵在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,∴BC2=AB2+AC2,∴∠BAC=90°,页28页 29∵△ABD,△ACE 都是等边三角形, ∴∠DAB=∠EAC=60°, ∴∠DAE=150°.∵△ABD 和△FBC 都是等边三角形, ∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°, ∴∠DBF=∠ABC. 在△ABC 与△DBF 中,∴△ABC≌△DBF(SAS ), ∴AC=DF=AE=4,同理可证△ABC≌△EFC, ∴AB=EF=AD=3,∴四边形DAEF 是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形). ∴∠FDA=180°﹣∠DAE=30°,∴S 口AEFD =AD•(DF ×)=3×(4×)=6. 即四边形AEFD 的面积是6. 故答案为:6.二.解答题 13.【解析】 证明:在ABCD 中AD ∥BC ,AO =CO ,BO =DO∴∠GAO =∠HCO 在△AGO 和△CHO 中∴△AGO ≌△CHO∴GO =HO 又∵BO =DO ,BE =DF GAO HCO AO CO GOA HOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴EO=FO∴四边形EHFG为平行四边形.14.【解析】证明:(1)如图1,∵OB=OC,∴∠ACE=∠DBF,在△ACE和△DBF中,,∴△ACE≌△DBF(AAS);(2)如图2,∵∠ACE=∠DBF,∠DBG=∠DBF,∴∠ACE=∠DBG,∴CE∥BG,∵CE=BF,BG=BF,∴CE=BG,∴四边形BGCE是平行四边形.15.【解析】证明:(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°.页30又∵∠EFB=60°,∴ EF∥BC,即EF∥DC.又∵ DC=EF,∴四边形EFCD是平行四边形.(2)如图,连接BE.∵ BF=EF,∠EFB=60°,∴△EFB是等边三角形,∴ BE=BF=EF,∠EBF=60°,∴ DC=EF=BE.∵△ABC是等边三角形,∴ AC=AB,∠ACD=60°.在△ABE和△ACD中,∵ AB=AC,∠ABE=∠ACD,BE=CD,∴△ABE≌△ACD,∴ AE=AD.页31。

平行四边形的判定定理总结

平行四边形的判定定理总结

1、在下列条件中,不能判定四边形是 平行四边形的是( D ) (A)AB∥CD,AD∥BC
(B) AB=CD,AD=BC (C)(C)AB∥CD,AB=CD (D)(D) AB∥CD,AD=BC (E)(E) AB∥CD, ∠A=∠C
例1 :已知:如图,在□ABCD中,E、F分别
A
D
是AB,CD的中点。
A
E
D
B
F
C
已知:平行四边形ABCD中,E, F分别是边AD,BC的中点(如图)
求证:EB=DF
A
E
DБайду номын сангаас
B
F
C
已知:平行四边形ABCD中,E,F分
别是边AD,BC的中点(如图)
求证:EB=DF
A
E
D
证明:∵四边形ABCD 是平行
四边形
∴AD BC
B
F
C
∵ED=1/2AD BF=1/2BC
∴ED BF ∴四边形EBFD是平行四边形 (一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
∴EB=DF
作业题:2、已知:E、F是平行四边形ABCD
对角线AC上的两点,并且AE=CF。
大 显 身
求证:四边形BFDE是平行四边形
证明:
Q
四边形ABCD是平行四边形
AD ∥ BC且AD =BC
手A
EAD= FCB
D 在 AED和 CFB中
E
B
AE=CF
F
EAD=
FCB
C
AD=BC AED ≌ CFB(SAS)
∴四边形ABCD是平行四边形 (根平据行什四么边?形)的定义) ∴该命题是真命题
定理1:

四边形的判定定理

四边形的判定定理

四边形的判定定理
平行四边形的判定:
1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.
矩形的判定:
1)一个角是直角的平行四边形是矩形
2)对角线相等的平行四边形是矩形
3)有三个角是直角的四边形是矩形
4)对角线相等且互相平分的四边形是矩形
菱形的判定:
1)四条边相等的平行四边形是菱形
2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形(对角线互相垂直且平分的四边形是菱形)
3)一组邻边相等的平行四边形是菱形
4)一组对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
正方形的判定:
1)对角线相等的菱形是正方形。

2)有一个角为直角的菱形是正方形。

3)对角线互相垂直的矩形是正方形。

4)一组邻边相等的矩形是正方形。

5)一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

6)对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。

7)对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。

8)一组邻边相等,有三个角是直角的四边形是正方形。

9)既是菱形又是矩形的四边形是正方形。

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初二数学平行四边形的判定知识精讲 人教义务几何

初二数学平行四边形的判定知识精讲 人教义务几何

初二数学平行四边形的判定知识精讲人教义务几何【学习目标】1.掌握并会证明平行四边形的四个判定定理.2.能灵活运用平行四边形的五种判定方法进行有关的计算和证明.【主体知识归纳】平行四边形的判定:1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2.判定定理1:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.3.判定定理2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.4.判定定理3:对角线互相平分的四边形是平行四边形.5.判定定理4:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.【基础知识精讲】1.平行四边形的判定定理,是相应性质定理的逆定理,学习时将它们进行对照,有利于记忆.2.凡是可以用平行四边形知识证明的问题,不要再回到用三角形全等证明,应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题.平行四边形的知识运用包括:(1)直接运用平行四边形的性质去解决某些问题,例如求角的度数,线段的长度,证明角相等或互补,证明线段相等或倍、分等;(2)判定一个四边形是平行四边形,从而判定直线平行等;(3)先判定一个四边形是平行四边形,然后再用平行四边形的性质去解决某些问题.【例题精讲】[例1]在四边形ABCD中,AC和BD相交于点O,如果只给出条件“AB∥CD”,那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形,给出以下六个说法:(1)如果再加上条件“AD∥BC”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;(2)如果再加上条件“AB=CD”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;(3)如果再加上条件“∠DAB=∠DCB”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;(4)如果再加上条件“BC=AD”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;(5)如果再加上条件“AO=CO”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;(6)如果再加上条件“∠DBA=∠CAB”,那么四边形ABCD一定是平行四边形.其中正确的说法有()A.3个 B.4个 C.5个 D.6个剖析:本题是一道给出结论和部分条件,让学生探索附加条件的各种可能性的开放性题目,解答这类选择题,一定要严格按照平行四边形的定义及判定定理,认真考查六种说法.说法(1)符合平行四边形的定义;说法(2)符合平行四边形的判定定理4;说法(3)由AB ∥CD和∠DAB=∠DCB,可推断出AB=CD或AD∥BC,也正确;说法(4)可举出反例;说法(5)能证出BO=DO,符合平行四边形的判定定理3;说法(6)不符合平行四边形的判定定理.答案:B[例2]如图4-23,在ABCD中,点E、F在对角线AC上,且AE=CF.请你以F为一个端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只须证明一组线段相等即可).图4—23(1)连结_____.(2)猜想:_____=_____.(3)证明:剖析:容易猜想连结BF,证明BF=DE.如图4-24,可连结DF、DB,利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形BFDE是平行四边形,从而证明猜想的结论.又可猜想连结DF,证明DF=BE,证明方法可同上面猜想结论的证明方法.图4—24解法一:(1)BF(2)BFDE(3)证明:连结DB、DF,设DB、AC交于点O,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=OC,DO=OB,∵AE=FC,∴AO-AE=OC-F C.∴EO=FO.∴四边形EBFD为平行四边形.∴BF=DE.解法二:(1)DF(2)DFBE(3)证明:(略)说明:(1)本例解法一中又可通过△BCF≌△DAE等证明BF=DE.(2)本例是结论猜想型的题目,此类题型是中考中常见题型.[例3]如图4-25,已知AD为△ABC的中线,E为AC上一点,连结BE交AD于F,且AE=FE.求证:BF=A C.图4—25剖析:延长AD到N,使DN=AD,构造出平行四边形ABN C.证明:延长AD到N,使DN=AD,连结BN、,则四边形ABNC为平行四边形.∴BN=AC,BN∥AC,∴∠1=∠4.∵AE=FE,∴∠1=∠2.∵∠2=∠3,∠1=∠4,∴∠3=∠4.∴BN=BF,∴BF=A C.说明:当题目中有三角形中线时,常利用加倍中线构造平行四边形,然后再应用平行四边形的知识证题,用这种方法比利用加倍中线构造全等三角形要方便、简捷.【同步达纲练习】1.填空题(1)一个四边形的边长依次是a、b、c、d,且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,则这个四边形是_____.(2)用两个全等三角形按不同方法拼成四边形,在这些四边形中,平行四边形的个数是_____.(3)四边形ABCD中,已知AB∥CD,若再增加条件______,可知四边形ABCD为平行四边形.(4)如图4-26,在ABCD中,E、F分别是对角线BD上两点,且BE=DF,要证明四边形AECF是平行四边形,最简捷的方法是根据_____来证明.图4—26(5)如图4-27,在ABCD中,E、F分别是AB、CD边上的点,且BE=DF,要证明四边形AECF是平行四边形,可证明_____ _____.图4—27(6)在四边形ABCD中,给出下列论断:①AB∥DC;②AD=BC;③∠A=∠C.以其中两个作为题设,另外一个作为结论,用“如果……,那么……”的形式,写出一个你认为正确的命题______.2.选择题(1)下列命题是真命题的是()A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形B.一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形C.两条平行线间的垂线段就是这两条平行线的距离D.平行四边形的一条对角线平分一组对角(2)如图4-28,四边形ABCD是平行四边形,按下列条件得到的四边形BEDF,不一定是平行四边形的是()图4—28A.DE⊥AC于E,BF⊥AC于F(图①)B.BE平分∠ABC,DF平分∠ADC(图②)C.E是AB的中点,F是CD的中点(图③)D.E是AB上一点,EF⊥AB(图④)(3)把两个全等的不等腰三角形拼成平行四边形,可拼成的不同的平行四边形的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4(4)如图4-29,在ABCD中,EF∥BC,GH∥AB,GH、EF的交点P在BD上,图中面积相等的平行四边形有()图4—29A.0对 B.1对 C.2对 D.3对3.如图4-30,在ABCD中,AC、BD交于点O,EF过点O分别交AB、CD于E、F,AO、CO的中点分别为G、H.求证:四边形G E H F是平行四边形.图4—304.如图4-31,已知O是ABCD对角线AC的中点,过点O的直线EF分别交AB、CD 于E、F两点.(1)求证:四边形AECF是平行四边形;(2)填空:不增加辅助线的原图中,全等三角形共有_____对.图4—315.如图4-32,在△ABC中,E、G在BC边上,且BE=GC,AB∥EF∥GH.求证:AB=EF+GH.图4—326.已知:平行四边形ABCD,试用两种方法,将平行四边形ABCD分成面积相等的四个部分.(要求用文字简述你所设计的两种方法,并正确画出图形).【思路拓展题】想一想图4—33如图4-33,田村有一呈四边形的池塘,在它的四个角A、B、C、D处均种有一棵大核桃树,田村准备开挖池塘建养鱼池,想使池塘面积扩大一倍,又想保持核桃树不动,并要求扩建后的池塘成平行四边形形状,请问田村能否实现这一设想?若能,请你设计并画出图形;若不能,请说明理由(画图要保留痕迹,不写作法)参考答案【同步达纲练习】1.(1)平行四边形(2)3 (3)AB=CD(或AD∥BC,或∠A=∠C等)(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形(5)AECF(6)如果AB∥CD,∠A=∠C,那么AD=B C.2.(1)B (2)D (3)C (4)D3.提示:先证△AOE≌△COF,得OE=OF,再证OG=OH.4.(1)提示:证△AOE≌△COF,得OE=OF(2)25.提示:过E作ED∥AC交AB于D,先证△BED≌△GCH,得BD=GH,再证AD=EF.6.略.【思路拓展题】想一想如图所示。

平行四边形、矩形、菱形的性质和判定定理

平行四边形、矩形、菱形的性质和判定定理

平行四边形两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形的性质:平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等;平行四边形的对角线互相平分。

两点之间,线段最短。

如果两条直线平行,那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等。

两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离人,叫做这两条平行线之间的距离。

如果直线a平行直线b ,A是a上的任意一点,AB垂直直线b,b是垂足,线段AB的长就是直线a,b之间的距离。

平行四边形的判定定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形;两组对角分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

平行四边形的判定定理与相应的性质定理互为逆定理,也就是说当定理的条件与结论互换以后,所得命题仍然成立。

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形的中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半。

矩形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,也就是长方形。

矩形的性质:矩形的对边相等;矩形的对角相等;矩形的对角线互相平分;矩形的4个角都是直角;矩形的对角线相等。

直角三角形的性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

矩形的判定定理:对角线相等的平行四边形是矩形。

有三个角是直角的四边形是举行。

菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

菱形的性质:矩形的对边相等;矩形的对角相等;矩形的对角线互相平分;菱形的4条边都相等;菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角。

菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形好,平行四边形通常只被分成两个两对全等的三角形。

菱形是轴对称图形,它的对角线所在的直线就是它的对称轴。

菱形的判定定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形;四条边相等的四边形是菱形。

正方形正方形的两条对角线,把这个正方形分成4个全等的等腰直角三角形。

正方形具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质。

四边形全等的判定公式

四边形全等的判定公式

四边形全等的判定公式1.平行四边形全等判定公式:若两个平行四边形的对应边长度相等,并且对角线互相等长,则这两个平行四边形全等。

例如,ABCD和EFGH是两个平行四边形,且AB=EF,BC=FG,CD=GH,AD=EH,则ABCD与EFGH全等。

2.矩形全等判定公式:若两个矩形的对边长度相等,则这两个矩形全等。

例如,ABCD和EFGH是两个矩形,且AB=EF,AD=EH,则ABCD与EFGH全等。

3.菱形全等判定公式:若两个菱形的对边长度相等,则这两个菱形全等。

例如,ABCD和EFGH是两个菱形,且AC=EG,BD=FH,则ABCD与EFGH全等。

4.正方形全等判定公式:若两个正方形的边长相等,则这两个正方形全等。

例如,ABCD和EFGH是两个正方形,且AB=EF,则ABCD与EFGH全等。

5.正六边形全等判定公式:若两个正六边形的边长相等,则这两个正六边形全等。

例如,ABCDEF和GHIJKL是两个正六边形,且AB=GH,则ABCDEF和GHIJKL全等。

需要注意的是,判定全等时除了考虑各个边的长度相等外,还需要考虑边之间的对应关系,如对角线的相等等等。

当满足所有的边长相等以及对应关系时,才能判定为全等。

同时,根据全等的定义,对应的顶点也需要满足相等的条件。

在判定四边形全等时,可以利用以下几种方法:1.SSS判定法(边边边法):利用三边全等判定定理来判定四边形全等。

即如果两个四边形的对边边长分别相等,那么它们全等。

2.SAS判定法(边角边法):利用两边和夹角全等判定定理来判定四边形全等。

即如果两个四边形的夹角相等,并且夹角两边的边长分别相等,则它们全等。

3.ASA判定法(角边角法):利用两个角和夹边全等判定定理来判定四边形全等。

即如果两个四边形的两个角相等,并且这两个角之间的夹边长度相等,则它们全等。

4.RHS判定法(斜边直角边法):利用斜边和两条相对的直角边全等判定定理来判定四边形全等。

即如果两个四边形的一条斜边和两条相对的直角边长度分别相等,则它们全等。

平行四边形矩形菱形正方形的判定

平行四边形矩形菱形正方形的判定

第 1 页平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定一、判定定理二、平行四边形的判定例1:(定义)如图,剪两张对边平行的纸条,随意交叉叠放在一起,转动其中一张,重合的部分构成了一个四边形.线段AD 与BC 的长度有什么关系?例2:(一组对边平行且相等)已知:如图,AD ∥BC ,ED ∥BF ,且AF =CE .求证:四边形ABCD 是平行四边形. 练习:如图, □ABCD 中,G 是CD 上一点,BG 交平行四边形 矩形菱形 正方形 边 两组对边平行四边都相等有1组邻边相等的矩形两组对边分别相等 一组对边平行且相等角 两组对角分别相等 有1个直角的平行四边形每条对角线都平分一组对角 有1个直角的菱形三个直角的四边形对角线互相平分 对角线相等的平行四边形对角线互相垂直的平行四边形ABCDF EG第 2 页AD 延长线于E,AF=CG, 100=∠DGE . (1)试说明DF=BG; (2)试求AFD ∠的度数.例3:(两组对边分别相等)已知如图所示,在四边形ABCD 中,AB CD BC AD E F ==,,、是对角线AC 上两点,且AE CF =.求证:BE DF =.练习:(1)、在平行四边形ABCD 中,E 、F 为对角线BD 上的三等分点。

求证:四边形AFCE 是平行四边形。

(2)已知,如图所示,在□ABCD 中,BN DM =,BE DF =.求证:四边形MENF 是平行四边形.例4:(对角线互相平分)如图所示,□ABCD 中,AC BD 、相交于点O E F,、在对角线BD 上,且BE DF =.试说明四边形AECF 的形状.三、平行四边形判定综合1、如图,在□ABCD 中,E F G H 、、、各点分别在AB BC CD DA 、、、上,且AE BF CG DH ===,请说明:EG 与FH 互相平分.2、以ABC △的三边AB BC CA 、、在BC 的同侧作等边ABD BCE CAF △、△、△,请说明:四边形ADEF 为平行四边形.如图所示.3. 如图所示,四边形ABCD 中,AD BC CAD BCA E =∠=∠,,、中点,试说明OE OF AF CE =,∥.4、(定义与性质综合)如图,BD 平分∠ABC,DE//BC,EF//AC,试判断BE 与CF 是否相等?并简要说明.A EF BCDAE BC FDO N A MFCBEDA BEF C HG B C FACD EBA EC F B O5. 如图,已知□ABCD中,E F、分别是对角线AC延长线上的点,且 ,四边形BFDE是平行四边形吗?说说你的理由.DE BF6、如图,在□ABCD中,E是AD的中点,CE交BA的延长线于点F.(1)你能证明CD=AF吗?(2)若BC=2CD,则∠F=∠BCF.四、矩形的判定如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上移动,但A 到EF的距离AH始终保持与AB长相等,问在E、F移动过程中:(1)∠EAF的大小是否有变化?请说明理由.(2)△ECF的周长是否有变化?请说明理由.【提示】证明△EAH≌△EAB,△FAH≌△FAD.第3 页。

平行四边形的判定

平行四边形的判定

平行四边形的判定
根据平行四边形的定义来判断:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

简单记就是:两组对边分别平行。

平行四边形的判定方法
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义判定法);
2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;
3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形(两组对边平行判定);
5、对角线互相平分的四边形是平行四边形。

补充:条件3仅在平面四边形时成立,如果不是平面四边形,即使是两组对边分别相等的四边形,也不是平行四边形。

平行四边形性质
有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形,包括长方形、菱形、正方形和一般平行四边形,其边与边、角与角、对角线之间存在着各种各样的关系,即是平行四边形性质定理。

两组对边平行且相等;
两组对角大小相等;
相邻的两个角互补;
对角线互相平分;
对于平面上任何一点,都存在一条能将平行四边形平分为两个面积相等图形、并穿过该点的线;
四边边长的平方和等于两条对角线的平方和。

平行四边形的判定定理及其证明课件

平行四边形的判定定理及其证明课件
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 角 4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线 5.对角线互相平分的四边形是平行四边形
A
B
1
2
∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,AD∥BC.
P3
E
∴PE∥CD∥AB,
D
C
∴ ∠1=∠3,四边形PDCE是平行四边形.
∴ PD=EC,PE=CD.
∵ ∠1=∠2.
∴∠3=∠2.
∴PE=BE. ∴PD+CD=BE+EC=BC.
九年级 数学
平行四边形的判定方法
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 边 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
证明:连接BD
A
B
∵ AB∥CD
∴∠ABD = ∠CDB
又∵ AB =CD ,BD = DB
D
C
∴△ABD ≌△CDB
∴AD = CB
∴四边形ABCD是平行四边形
平行四边形的判定定理
对角线互相平分的四边形是平行四边形
已知:OA=OC, OB=OD
求证:四边形ABCD是平行四边形
证明:在△ABO和△ CDO中
A
E
OF
D ∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AO=CO,BO=DO ∵AE=CF
B
C
∴AO-AE=CO-C形BFDE是平行四边形
例题赏析
例2:已知:如图,在□ABCD中,∠ABC的平分线与
AD相交于点P. 求证:PD+CD=BC.
证明:过点P作PE∥CD,交BC于点E.
平行四边形判定定理及其证明
九年级 数学
平行四边形性质定理
边 平行四边形 角
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平行四边形判定定理
平行四边形的判定定理都有:
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。

4、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

5、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

平行四边形性质:
(1)如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两组对边分别相等。

(简述为“平行四边形的两组对边分别相等”)
(2)如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的两组对角分别相等。

(简述为“平行四边形的两组对角分别相等”)
(3)如果一个四边形是平行四边形,那么这个四边形的邻角互补
(简述为“平行四边形的邻角互补”)
(4)夹在两条平行线间的平行线段相等。

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