离散数学期末复习习题

离散数学
一、选择题
1△O Y C3A^Q un ㊉iv
1.设：P：张三可以作这件事，Q：李四可以作这件事，命题“张三或李四都可以做这件事”的符号化为()
A、PVQ
B、PVi Q
C、P—Q
D、-P V -Q
2.谓词公式V x(P(x)V m yR(y))fQ(x)中量词V x的作用域是()
A. V x(P(x) V3yR(y))
B.P(x)
C. (P(x) V3yR(y)) D,P(x), Q(x)
3.若个体域为整体域，下列公式中哪个值为真？()
A. V x 3y(x+y=0)
B. 3y V x(x+y=0)
C. V x V y(x+y=0)
D. n 3x 3y(x+y=0)
4.空集①的幂集P (①)的基数是()
A. 1
B.2
C.3
D.4
5.设R、S是集合A上的任意关系，则下面命题是真命题的是()。

A.若R、S是自反的，则R・S是自反的
B.若R、S是反自反的，则R・S是反自反的
C.若R、S是对称的，则R・S是对称的
D.若R、S是传递的，则R・S是传递的
6.集合 A={1, 2,…，10}上的关系 R={(x, y)|x+y=10 且x, y£A},则 R 的性质为()
A.自反的
B.对称的
C.传递的，对称的口.非自反的，传递的
7.含有5个结点，3条边的不同构的简单图有()
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
8.设G (n, m),且G中每个结点的度数不是K就是K+1,则G中度数为K的结点数()
A.2/n
B.n(n+1)
C.nk
D.n(k+1)-2m
9.设谓词P(x) :x是奇数，Q(x):x是偶数，谓词公式m(x) (P(x) AQ(x))在下面哪个论域中是可满足的。

()
A自然数集 B整数集 C实数集 D以上均不成立
10.设C(x)： x是运动员，G(x)： x是强壮的。

命题“没有一个运动员不是强壮的”可符号化为()
A. n V x(C(x) A n G(x))
B. iV xOx) — G(x))
C. _|m x(C(x)A_|G(x))
D. im x(C(x) - 1 G(x))
11.设集合 M={x|f (x) =0}, N={x|g (x) =0},则方程 f (x)・g (x) =0 的解
集是()
A.MAN
B.MUN
C.M ㊉ N
D.M-N
12.设A=/"a}},下列选项错误的是()
A. {a} e p(A)
B. {a}U p(A)
C. {{a}} e p(A)
D. {{a}} e p(A)
13.设A={1,2,3,4,5},p{<i,j>|i<j,i,j £ A}则 p 逆的性质是()
A.对称的
B.自反的
C.反对称的
D.反自反，反对称，传递的
14.设R和S是集合A上的等级关系，则RUS的对称性()
A. 一定成立
B.一定不成立
C.不一定成立
D.不可能成立
15. K4中含有3条边的不同构生成子图有()
A.1个
B.3个
C.4个
D.2个
16.设G=<V,E>为无向图，u,v £V，若u,v连通，则()
A.d(u,v)>0
B.d(u,v)=0
C.d(u,v)<0
D.d(u,v)三0
二、填空题
1.命题公式I(P-Q)的主析取范式为()，主合取式的编码表示为().
2.设Q(x)： x是奇数，Z(x)： x是整数，则语句“不是所有整数都是奇数”
所对应的谓词公式为()。

3.设个体域为全总个体域，R(x)： x是实数，Q(x)： x是有理数，Z(x)： x
是整数，则命题“所有的有理数是实数”，“有些有理数是整数”，“有些有理数是实数但不是整数”符号化()、()、()。

4.设 A= (1, 2, 3)上的关系 R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<3,3>},关系具备()，不具备()。

5.设无向图G有12条边，有6个3度结点，其余结点度数均小于3,则G中至
少有()个结点。

6.任意两个不同的极小项的合取式为()。

全体极小项的析取式必为()。

7. V x V y(P(x,y) AQ(y,z)) A m xP(x,y)中V x 的作用域为()，V y 的作用域为(),3x的作用域为()
8.设 A= (1, 2, 3, 4)上的关系 R={<1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,3>}则 r(R) = ()
s(R) = ()
11,如累4。

占.刷/。

=月（1^・/UF = "UC 3
12.设人。

是再个由悬.当且仅当P.。

的我值均为1时.P1Q的"为1. 英
⑶ 勺可打工）T 0（工））一（也汽工）-幻）为支.L>^ 14,皆（〃）-> J（幻n壬“（工）人士
黑工）（入
烧.出入E为任量■合.WFlA-B>=P（A）-P（B）氏.
10>若｛4门3）是AUB的一个划分.Wf： A B^B-A-e l/
17.若R和3是簟合4上的任意苒个反自反关系.砌也是反自反的
13.平面上度纹闿的平行关系是尊出关系*
19.礼有101三找子围K
^占.■安*1一个司徐用一fjaXBT过一8Q「
三、判断题
1.在谓词公式中，一个变量只能是自由变量或约束变量中的一种。

（义
2.公式V x（P（x）fQ（x））VR（y）中V x 的作用域为 P（x）。

（义
3.A ㊉B=A ㊉C,则 B=C （J
4.A, B是集合。

则命题A C B和AEB可能同时成立（J
5.若R是集合A上的传递关系，则R2也是集合A上的传递关系。

（J
6.若R和S是集合A上的任意两个自反关系，则ROS也是自反的（J ）。

7.任一图G的△4）必小于其结点数。

（义
8.在有向图中，结点间的可达关系是等价关系。

（义
9.同一谓词公式，指定不同的论域，其真值不一定相同。

（J
10.任意一个谓词公式都与一个前束范式等价。

（J
11.若 PUQ=Q,PAQ=①，则 P=①（J
12.若 A-B U B,贝U B c A ( X
13.一个不是自反关系，一定是反自反关系。

(X
14.若R和S是集合A上的任意两个对称关系，则ROS也是对称的(X
15.若无向图中恰有2个度为奇数的结点，则这两个结点必连通。

(J
16.在有向图中有2个奇度结点，则它们一个可达另一个或互相可达。

(X
臼臼
四、计算题
1.对下列谓词公式中的自由变元进行替换
(Gy)A(x,y) f (V x)B(x,z) A(3x)(V z)C(x,y,z) 解：
在A(x,y)中，x是自由变元；
在B(x,z)中，x是约束变元；
用字母t来替代自由变元x
(Gy)A(t,y) f (V x)B(x,z) A Gx)(V z)C(x,y,z)
2.求下列公式的真值
V x(P(x)VQ(x)),其中 P(x):x=1, Q(x):x=2,且论域是{1,2} 解：
V x(P(x) VQ(x))
=(P⑴ VQ(1)) A (P(2) VQ(2))
=T AT
0T
3.对下列谓词公式中的自由变元进行替换
Gx)P(x,y) A (V z)Q(x,z) A (V x)R(x,y)
解：
在P(x,y)和Q(x,z)中x是自由变元；
在R(x,y)中x是约束变元；
用字母u替代自由变元x
Gx)P(u,y) A (V z)Q(u,z) A (V x)R(x,y)
4.求下列公式的真值
V x(P(x)-Q(x)) VR(a),其中P：2>1,Q(x):x<=3,R(x):x>5,a:5 且论域{-2,3,6} 解：
V x(P—Q(x)) VR(a)
=(P-Q(-2)) A(P-Q(3))A(P-Q(6))VR(a)
Q (T-T)A(T-T)A(T-F)VF
=TATAFVF
Q F
5、设N表示非负整数集，R:N-N,xRy定义为x+2y=10确定Dom(R)和Ran(R)。

解：
y=0,x=10
y=1,x=8
y=2,x=6
y=3,x=4
y=4,x=2
y=5,x=0
R={<0,5>,<2,4>,<4,3>,<6,2>,<8,1>,<10,0>}
Dom(R) = {0,2,4,6,8,10}
Ran(R) = {5,4,3,2,1,0}
6、设有向图D=<V,E>其中E= (v1,v2,v3,v4)。

其邻接矩
阵为
试求D中各顶点的入度与出度。

解：
v1,v2,v3,v4 的出度为 3, 1, 1, 2
v1,v2,v3,v4 的入度为 0, 2, 3, 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20。