考点五十 几何概型学生
完整版几何概型的经典题型及答案
几何概型的常见题型及典例分析一•几何概型的定义1. 定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或 体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型 .2. 特点：（1） 无限性，即一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）有无限 多个；（2） 等可能性，即每个基本事件发生的可能性均相等 . 构成事件A 的区域长度（面积或体 积） 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）说明：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应 的几何图形，并对几何图形进行度量. 4.古典概型和几何概型的区别和联系：（1） 联系：每个基本事件发生的都是等可能的.（2） 区别：①古典概型的基本事件是有限的， 几何概型的基本事件是无 限的；②两种概型的概率计算公式的含义不同..常见题型（一）、与长度有关的几何概型分析：在区间［1,1］上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是 区间［1,1］的任意一个数，基本事件是无限多个，而且每一个基本事件的 发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量x 的取值范围的3.计算公式:P （A ）例1、在区间［1,1］上随机取一个数x 1X ，cos 2-的值介于0到2之间的概率为（).A.- 3B.C.D.区间长度有关，符合几何概型的条件 解：在区间［1,1］上随机取一个数X ,即x ［0到-之间,需使x或 x22 2 33 2 2 2••• 1 x 2或-x 1，区间长度为3 3由几何概型知使cos —x 的值介于0到1之间的概率为2 22符合条件的区间长度 J 1所有结果构成的区间长 度 2 3 .例2、如图,A,B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间 再随意安装两盏路灯 C,D ，问A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米的 概率是多少？思路点拨从每一个位置安装都是一个基本事件，基本事件有无限 多个，但在每一处安装的可能性相等，故是几何概型.解 记E : “ A 与C,B 与D 之间的距离都不小于10米”，把AB1等分，由于中间长度为妙3=10米,方法技巧我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生 则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型 就可以用几何概型来求解.例3、在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交 点在该直径上的位置是等可能的，求任意画的弦的长度不小于 R 的概率 思考方法：由平面几何知识可知，垂直于弦的直径平分这条弦，所以， 地分布在于平行弦垂直的直径上（如图1-1 ） O 也就是说，样本空间所对应的区域 G 是一维空 间（即直线）上的线段 MN 而有利场合所对 应的区域G 是长度不小于R 的平行弦的中点K 所在的区间。
考点52几何概型-高考全攻略之备战2019年高考数学(理)考点一遍过
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（1）了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.
（2）了解几何概型的意义
.
一、几何概型
1．几何概型的概念
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.
2．几何概型的特点
（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个.
（2）每个基本事件发生的可能性相等.
3．几何概型的概率计算公式
()P A
A 构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
. 4．必记结论 （1）与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；
（2）与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；
（3）与体积有关的几何概型.。
高考数学一轮复习考点规范练55几何概型含解析新人教A版
考点规范练55 几何概型基础巩固1.(2021全国Ⅰ,文7)在区间(0,12)随机取1个数,则取到的数小于13的概率为( ) A.34 B.23 C.13 D.16答案:B解析:所求事件的概率P=13-012-0=23.2.若将一个质点随机地投入到如图所示的长方形ABCD 中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A.π2 B.π4C.π6D.π8答案:B 解析:所求概率为S 半圆S 长方形=12π·122×1=π4,故选B .3.“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何?”其意思是:有一个正方形的池塘,池塘的边长为一丈,有一棵芦苇生长在池塘的正中央,露出水面一尺,若把它引向岸边,正好与岸边齐(如图所示),问水有多深?芦苇有多长?其中一丈为十尺.若从该芦苇上随机取一点,则该点取自水上的概率为( )A.1213 B.113C.314D.213答案:B解析:设水深为x 尺,根据勾股定理可得(x+1)2=x 2+52,解得x=12,则水深12尺,芦苇长13尺.根据几何概型概率公式可得,从该芦苇上随机取一点,该点取自水上的概率为P=113,故选B.4.某人从甲地去乙地共走了500 m,途经一条宽为x m的河流,该人不小心把一件物品丢在途中,若物品掉在河里就找不到,若物品未掉在河里,则能找到,已知该物品能被找到的概率为45,则河宽大约为()A.80 mB.50 mC.40 mD.100 m答案:D解析:由长度型的几何概型公式结合题意可知,河宽大约为500×(1-45)=100(m).5.已知在△ABC中,∠ABC=60°,AB=2,BC=6,在BC上任取一点D,则使△ABD为钝角三角形的概率为()A.16B.13C.12D.23答案:C解析:如图,当BE=1时,∠AEB为直角,则点D在线段BE(不包含B,E点)上时,△ABD为钝角三角形;当BF=4时,∠BAF为直角,则点D在线段CF(不包含C,F点)上时,△ABD为钝角三角形.故△ABD为钝角三角形的概率为1+26=12.6.有一个长、宽分别为50 m,30 m的游泳池,一名工作人员在池边巡视,某时刻出现在池边任一位置的可能性相同.一人在池中心(对角线的交点)处呼唤工作人员,其声音可传出15√2 m,则工作人员能及时听到呼唤(出现在声音可传到区域)的概率是()A.34B.38C.3π16D.12+3π32答案:B解析:如图,工作人员在池边巡视的长度为160,工作人员能及时听到呼唤的长度为30+30=60,故所求的概率为60160=38.7.若在区间[-1,1]上随机取一个数x ,则sin πS 4的值介于-12与√22之间的概率为( )A.14 B.13C.23D.56答案:D解析:∵-1≤x ≤1,∴-π4≤πS 4≤π4.由-12≤sinπS 4≤√22, 得-π6≤πS 4≤π4,则-23≤x ≤1.故所求事件的概率为1-(-23)1-(-1)=56.8.记函数f (x )=√6+S -S 2的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x ,则x ∈D 的概率是 . 答案:59解析:由6+x-x 2≥0,即x 2-x-6≤0得-2≤x ≤3,所以D=[-2,3]⊆[-4,5].由几何概型的概率公式得x ∈D 的概率P=3-(-2)5-(-4)=59,答案为59.9.记集合A={(x ,y )|x 2+y 2≤4}和集合B={(x ,y )|x+y-2≤0,x ≥0,y ≥0}表示的平面区域分别为Ω1和Ω2,若在区域Ω1内任取一点M (x ,y ),则点M 落在区域Ω2的概率为 .答案:12π解析:作圆O :x 2+y 2=4,区域Ω1就是圆O 内部(含边界),其面积为4π,区域Ω2就是图中△AOB 内部(含边界),其面积为2,因此所求概率为24π=12π.10.在圆C :(x-3)2+y 2=3上任取一点P ,则锐角∠COP<π6(O 为坐标原点)的概率是 .答案:23解析:当∠COP=π6时,直线OP 的方程为x ±√3y=0,圆心C 到直线OP 的距离d=32.又圆C 的半径为√3,此时弦所对的圆心角为π3,所以所求概率P=1-π3×22π=23.能力提升11.在区间[-1,1]上随机取一个数k ,使直线y=kx+√52与圆x 2+y 2=1不相交的概率为( ) A.34 B.23C.12D.13答案:C 解析:要使直线y=kx+√52与圆x 2+y 2=1相交,应满足√52√≥1,解得-12≤k ≤12,所以在区间[-1,1]上随机取一个数k ,使直线y=kx+√52与圆x 2+y 2=1不相交的概率为P=12+121+1=12.故选C .12.如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(阴影部分)围成一个大正方形,中间空出一个小正方形组成的图形.若在大正方形内随机取一点,该点落在小正方形的概率为15,则图中直角三角形较大锐角的正弦值为( )A.√55B.2√55C.15D.√33答案:B解析:设小正方形的边长为1,直角三角形的直角边长分别为x ,1+x ,√S 2+(1+S )2. 由几何概型可得12S 2+(1+S )2=15,解得x=1(x=-2(舍)),所以直角三角形的边长分别为1,2,√5,直角三角形较大锐角的正弦值为√5=2√55,故选B .13.已知函数f (x )=x 2+bx+c ,其中0≤b ≤4,0≤c ≤4.记函数f (x )满足条件{S (2)≤12,S (-2)≤4为事件A ,则事件A 发生的概率为( ) A.14 B.58 C.12 D.38答案:C 解析:由题意, 得{4+2S +S ≤12,4-2S +S ≤4,0≤S ≤4,0≤S ≤4,即{2S +S -8≤0,2S -S ≥0,0≤S ≤4,0≤S ≤4,表示的区域(阴影部分)如图所示,可知阴影部分的面积为8, 所以所求概率为12,故选C .14.设点(a ,b )是区域{S +S -4≤0,S >0,S >0内的任意一点,则使函数f (x )=ax 2-2bx+3在区间[12,+∞)内是增函数的概率为 . 答案:13解析:作出不等式组{S +S -4≤0,S >0,S >0所对应的平面区域如图△AOB 区域,可知符合条件的点所构成的区域面积为S △AOB =12×4×4=8. 若f (x )=ax 2-2bx+3在区间[12,+∞)内是增函数,则{S >0,--2S 2S=S S ≤12,即{S >0,S -2S ≥0.则A (0,4),B (4,0), 由{S +S -4=0,S -2S =0得{S =83,S =43.即C (83,43). 则使函数f (x )=ax 2-2bx+3在区间[12,+∞)内为增函数的点(a ,b )所构成的区域为△OBC ,其面积为12×4×43=83.故所求的概率为838=13.15.如图,在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AB=1,BC=2.在边BC 上任取一点M ,则∠AMB ≥90°的概率为 .答案:14解析:如图,在Rt △ABC 中,作AD ⊥BC ,D 为垂足,由题意可得BD=12,且点M 在BD 上时,满足∠AMB ≥90°,故所求概率为SSSS=122=14.16.张先生订了一份报纸,送报人在早上6:30~7:30之间把报纸送到他家,张先生离开家去上班的时间在早上7:00~8:00之间,则张先生在离开家之前能得到报纸的概率是 . 答案:78解析:以横坐标x 表示报纸送到时间,纵坐标y 表示张先生离家时间,建立如图所示的平面直角坐标系.因为随机试验落在正方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型.根据题意只要点落到阴影部分,就表示张先生在离开家前能得到报纸,故所求的概率为1×1-12×12×121×1=78.高考预测17.若不等式x 2+y 2≤2所表示的平面区域为M ,不等式组{S -S ≥0,S +S ≥0,S ≥2S -6表示的平面区域为N ,现随机向区域N 内抛一粒豆子,则豆子落在区域M 内的概率为 . 答案:π24解析:分别作出平面区域M 和平面区域N 如图所示,可知平面区域M 与平面区域N 重叠部分的面积为14π(√2)2=π2,平面区域N 的面积为12×3×2+12×3×6=12,故所求的概率为12π12=π24.。
苏教版 高考数学 一轮复习 讲义---第10章 学案59 几何概型
学案59 几何概型导学目标： 了解几何概型的意义．自主梳理 1．几何概型设D 是一个可度量的区域，每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点．这时，事件A 发生的概率与d 的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d 的形状和位置无关，则称这样的概率模型为几何概型．2．几何概型中，事件A 的概率计算公式：P(A)＝d 的测度D 的测度.3．古典概型与几何概型的区别(1)相同点：基本事件发生的可能性都是________； (2)不同点：古典概型的基本事件是有限个，是可数的；几何概型的基本事件是________，是不可数的．自我检测1．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并且以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为________． 2．(2011·福建改编)如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于____________．3. 如图所示，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连结AA ′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为________．4．(2010·湖南)在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x|≤1的概率为________． 5．(2011·江西)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不．在家看书的概率为________．探究点一 与长度有关的几何概型例1 国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min 长的磁带上，从开始30 s 处起，有10 s 长的一段内容包含两间谍犯罪的信息．后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪的内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？变式迁移1在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率为________．探究点二与角度有关的几何概型例2如图所示，在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM<AC的概率．变式迁移2若将例2题目改为：“在等腰Rt△ACB中，在斜边AB上任取一点M，求AM的长小于AC的长的概率”，答案还一样吗？探究点三与面积有关的几何概型例3两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．变式迁移3甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．分类讨论与数形结合思想例 (14分)已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋b 2，a ，b ∈R .(1)若a 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b 从集合{0,1,2}中任取一个元素，求方程f (x )＝0有两个不相等实根的概率；(2)若a 从区间[0,2]中任取一个数，b 从区间[0,3]中任取一个数，求方程f (x )＝0没有实根的概率．【答题模板】解 (1)∵a 取集合{0,1,2,3}中任一个元素，b 取集合{0,1,2}中任一个元素，∴a ，b 的取值的情况有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值，即基本事件总数为12.[3分]设“方程f (x )＝0有两个不相等的实根”为事件A ，当a ≥0，b ≥0时，方程f (x )＝0有两个不相等实根的充要条件为a >b .当a >b 时，a ，b 取值的情况有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，即A 包含的基本事件数为6，∴方程f (x )＝0有两个不相等实根的概率为P (A )＝612＝12.[7分](2)∵a 从区间[0,2]中任取一个数，b 从区间[0,3]中任取一个数，则试验的全部结果构成区域Ω＝{(a ，b )|0≤a ≤2,0≤b ≤3}，这是一个矩形区域，其面积S Ω＝2×3＝6.[9分]设“方程f (x )＝0没有实根”为事件B ，则事件B 所构成的区域为M ＝{(a ，b )|0≤a ≤2,0≤b ≤3，a <b }，即图中阴影部分的梯形，其面积S M ＝6－12×2×2＝4.[12分]由几何概型的概率计算公式可得方程f (x )＝0没有实根的概率为P (B )＝S M S Ω＝46＝23.[14分]【突破思维障碍】古典概型和几何概型的区别在于试验的全部结果是否有限，因此到底选用哪一种模型，关键是对试验的确认和分析．第(1)问关键是列举不重不漏隐含了分类讨论思想．第(2)问是几何概型问题，解决此问题的关键是将已知的两个条件转化为线性约束条件，从而转化成平面区域中的面积型几何概型问题，隐含了数形结合思想．【易错点剖析】1．计算古典概型的概率时，列举基本事件应不重不漏． 2．计算几何概型的概率时，区域的几何度量要准确无误．1．几何概型：若一个试验具有两个特征：①每次试验的结果是无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；②每次试验的各种结果是等可能的．那么这样的试验称为几何概型．2．由概率的几何定义可知，在几何概型中，“等可能”一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小仅与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置与形状无关．3．几何概型的概率公式：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A 所对应的区域用A 表示(A ⊆Ω)，则P (A )＝A 的度量Ω的度量.(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分) 1．(2009·辽宁)ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为________．2．(2010·天津和平区一模)在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是__________________________________________________________________．3．(2010·山东临沂一中期末)已知正三棱锥S —ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P —ABC <12V S —ABC 的概率为________．4．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内有一个内切球O ，则在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内任取点M ，点M 在球O 内的概率是________．5．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，其中0≤b ≤4,0≤c ≤4.记函数f (x )满足⎩⎪⎨⎪⎧f (2)≤12f (－1)≤3的事件为A ，则事件A 的概率为________．6．(2010·青岛一模)从集合{(x ，y )|x 2＋y 2≤4，x ∈R ，y ∈R }内任选一个元素(x ，y )，则x ，y 满足x ＋y ≥2的概率为________．7. 如图所示，半径为10 cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm 的小圆．现将半径为1 cm 的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为________．8．(2010·济南模拟)在可行域内任取一点，规则如流程图所示，则能输出数对(x ，y )的概率是________．二、解答题(共42分)9．(14分) 已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)在线段BC上任取一点M，求使∠CAM<30°的概率；(2)在∠CAB内任作射线AM，求使∠CAM<30°的概率．10．(14分)甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．设甲乙两艘轮船停靠泊位的时间分别是4小时和6小时，求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的概率．11．(14分)已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.(1)若a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率；(2)若a，b都是从区间[0,4]任取的一个数，求f(1)>0成立时的概率．学案59 几何概型答案自主梳理3．(1)相等的 (2)无限个 自我检测 1.14解析 ∵AM 2∈[36,81]，∴AM ∈[6,9]， ∴P ＝9－612＝312＝14.2.12解析 这是一道几何概型的概率问题，点Q 取自△ABE 内部的概率为S △ABE S 矩形ABCD＝12·|AB|·|AD||AB|·|AD|＝12.3．13解析 当∠A ′OA ＝π3时，AA ′＝OA ，∴P ＝23π2π＝13.4．23解析 由|x|≤1，得－1≤x ≤1.由几何概型的概率求法知，所求的概率 P ＝区间[－1，1]的长度区间[－1，2]的长度＝23.5．1316解析 ∵去看电影的概率P 1＝π×12－π×(12)2π×12＝34， 去打篮球的概率P 2＝π×(14)2π×12＝116， ∴不在家看书的概率为P ＝34＋116＝1316.课堂活动区例1 解题导引 解决概率问题先判断概型，本题属于几何概型，满足两个条件：基本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性，需要抓住它的本质特征，即与长度有关．解 包含两个间谍谈话录音的部分在30 s 和40 s 之间，当按错键的时刻在这段时间之内时，部分被擦掉，当按错键的时刻在0到30 s 之间时全部被擦掉，即在0到40 s 之间，即0到23 min 之间的时间段内按错键时含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉，而0到30 min 之间的时间段内任一时刻按错键的可能性是相等的，所以按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段长度有关，符合几何概型的条件．记A ＝{按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉}，A 的发生就是在0到23 min时间段内按错键．P(A)＝2330＝145.变式迁移1 12解析记“弦长超过圆内接等边三角形的边长”为事件A ，如图所示，不妨在过等边三角形BCD 的顶点B 的直径BE 上任取一点F 作垂直于直径的弦，当弦为CD 时，就是等边三角形的边长，弦长大于CD 的充要条件是圆心O 到弦的距离小于OF ，由几何概型的概率公式得P(A)＝12×22＝12.例2 解题导引 如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率公式为P(A)＝构成事件A 的角度试验的全部结果所构成区域的角度. 解 在AB 上取AC ′＝AC ，连结CC ′，则∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°.设A ＝{在∠ACB 内部作出一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，AM<AC}，则μΩ＝90°，μA ＝67.5°，P(A)＝μA μΩ＝67.5°90°＝34.变式迁移2 解 不一样，这时M 点可取遍AC ′(长度与AC 相等)上的点， 故此事件的概率应为AC ′长度AB 长度＝22.例3 解题导引 解决此题的关键是将已知的两个条件转化为线性约束条件，从而转化成平面区域中与面积有关的几何概型问题．对于几何概型的应用题，关键是构造出随机事件A 对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率，根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的一点，便可构造出度量区域． 解 设两人分别于x 时和y 时到达约见地点，要使两人能在约定的时间范围内相见．当且仅当|x －y|≤23.两人在约定时间内到达约见地点的所有可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示，两人在约定时间内相见的所有可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)的点来表示．因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率，即P ＝S 阴影部分S 单位正方形＝1－⎝⎛⎭⎫13212＝89.变式迁移3 解 设甲、乙两船到达时间分别为x 、y ， 则0≤x ≤24,0≤y ≤24且y －x ≥4或y －x ≤－4. 作出区域⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤24，0≤y ≤24，y －x ≥4或y －x ≤－4.设“两船无需等待码头空出”为事件A ， 则P(A)＝S 阴影部分S 正方形＝2×12×20×2024×24＝2536.课后练习区1．1－π4解析 当以O 为圆心，1为半径作圆，则圆与长方形的公共区域内的点满足到点O 的距离小于或等于1，故所求事件的概率为P(A)＝μA μΩ＝S 长方形－S 半圆S 长方形＝1－π4.2．34解析 由于△ABC 、△PBC 有公共底边BC ，所以只需P 位于线段BA 靠近B 的四分之一分点E 与A 之间，即构成一个几何概型，∴所求的概率为|AE||AB|＝34.3．78 解析 当P 在三棱锥的中截面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P ＝1－18＝78.4．π6解析 设正方体棱长为a ，则正方体的体积为a 3，内切球的体积为43π⎝⎛⎭⎫a 23＝16πa 3，故M在球O 内的概率为16πa 3a 3＝π6.5．58 解析满足0≤b ≤4,0≤c ≤4的区域的面积为4×4＝16，由⎩⎨⎧f (2)≤12f (－1)≤3，得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c ≤8－b ＋c ≤2，其表示的区域如图中阴影部分所示，其面积为12×(2＋4)×2＋12×2×4＝10，故事件A 的概率为1016＝58.6．π－24π解析 即图中弓形面积占圆面积的比例，属面积型几何概型：π－24π.7．7781 解析 由题意知，硬币的中心应落在距圆心2～9 cm 的圆环上，圆环的面积为π×92－π×22＝77π，故所求概率为77π81π＝7781.8．π4解析 根据题意易知输出数对(x ，y)的概率即为满足x 2＋y 2≤12的平面区域与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤1，－1≤x －y ≤1所表示的平面区域面积的比，即P(A)＝π×122＝π4. 9．解 (1)设CM ＝x ，则0<x<a(不妨设BC ＝a)．若∠CAM<30°，则0<x<33a ，故∠CAM<30°的概率为P(A)＝区间⎝⎛⎭⎫0，33a 的角度区间(0，a )的角度＝33.(7分)(2)设∠CAM ＝θ，则0°<θ<45°. 若∠CAM<30°，则0°<θ<30°， 故∠CAM<30°的概率为P(B)＝区间(0°，30°)的长度区间(0°，45°)的长度＝23.(14分)10．解设事件A ＝{有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间}，以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则点(x ，y)的所有可能结果是边长为24的正方形区域，如右图所示，由已知得事件A 发生的条件是⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4≥y ，y ＋6≥x ，0≤x ≤24，0≤y ≤24.(7分)作出这个二元一次不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．∵S 正方形＝242＝576，S 阴影＝242－12×202－12×182＝214，(12分)∴P(A)＝S 阴影S 正方形＝214576＝107288.所以，甲、乙两船有一艘停靠泊位时必须等待一段时间的概率为107288.(14分)11．解 (1)a ，b 都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数的基本事件总数为N ＝5×5＝实用文档 祝你高考成功！ 11 25(个)．(2分)函数有零点的条件为Δ＝a 2－4b ≥0，即a 2≥4b.因为事件“a 2≥4b ”包含(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共12个．所以事件“a 2≥4b ”的概率为P ＝1225.(7分) (2)∵a ，b 都是从区间[0,4]上任取的一个数，f(1)＝－1＋a －b>0，∴a －b>1，此为几何概型，所以事件“f(1)>0”的概率为P ＝12×3×34×4＝932.(14分)。
几何概型 - 简单 - 习题
几何概型一、选择题（共12小题；共60分）1. 下列关于几何概型的说法错误的是A. 几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性B. 几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关C. 几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个D. 几何概型中每个结果的发生都具有等可能性2. 已知是长方形，，，为的中点，在长方形内随机取一点，取到的点到的距离大于的概率为A. B. C. D.3. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形中，其中，，则质点落在以为直径的半圆内的概率是A. B. C. D.4. 张卡片上分别写有数字，，，，从这张卡片中随机抽取张，则取出的张卡片上的数字之和为奇数的概率为A. B. C. D.5. 设在上随机地取值，则关于的方程有实数根的概率为A. B. C. D.6. 如图，在半径为，弧长为的扇形中，以为直径作一个半圆．若在扇形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A. B. C. D.7. 在中，，，，在边上任取一点，则为钝角三角形的概率为A. B. C. D.8. 如图，在边长为的正方形内有区域（阴影部分所示），张明同学用随机模拟的方法求区域的面积．若每次在正方形内随机产生个点，并记录落在区域内的点的个数．经过多次试验，计算出落在区域内点的个数的平均值为个，则区域的面积约为A. B. C. D.9. 如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，．的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，则A. B. C. D.10. 某个路口交通指示灯，红灯时间为秒，黄灯时间为秒，绿灯时间为秒，黄灯时间可以通行，当你到达路口时，等待时间不超过秒就可以通行的概率为A. B. C. D.11. 在长为的线段上任取一点，则点与线段两端点的距离都大于的概率等于A. B. C. D.12. 在区间内随机取出一个数，使得的概率为A. B. C. D.二、填空题（共5小题；共25分）13. 某路公共汽车每发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过的概率为．14. 在区间上随机选取一个数，则的概率为．15. 已知事件“在矩形的边上随机取一点，使的最大边是”发生的概率为，则．16. 在边长为的正三角形内任取一点，则使点到三个顶点的距离至少有一个小于的概率是．17. 已知一只蚂蚁在边长分别为，，的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于的地方的概率为．三、解答题（共5小题；共65分）18. 设有一个等边三角形网格，其中各个等边三角形的边长都是，现将直径等于的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率．19. 已知在等腰直角三角形中，．（1）在线段上任取一点，求使的概率；（2）在内任作射线，求使的概率．20. 在等腰的斜边上任取一点，求小于的概率．21. 如图，两盏路灯之间的距离是米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯、，问与，与之间的距离都不小于米的概率是多少?22. 在的水中有一个草履虫，现从中随机取出水放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率．答案第一部分1. A 【解析】几何概型与古典概型是两种不同的概率模型，无包含关系．2. B3. B 【解析】长方形的面积，以为直径的半圆的面积，所以．4. C 【解析】采用列举法得所有的基本事件有，，，，，六种情况，其中两数字之和为奇数的有，，，四种情况，故所求概率为．5. C【解析】方程有实根，则，解得或（舍去）．由几何概型的概率计算公式可知所求的概率为．6. B 【解析】阴影部分的面积为，扇形的面积为，所以在扇形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率．7. C 【解析】过点作，垂足为，则；过点作，交于点，则，，易知当点在线段和上时（不包括线段端点，，），为钝角三角形，故所求概率为．8. B 【解析】设区域的面积约为，根据题意有，所以，，所以区域的面积约为．9. A10. A11. D 【解析】将线段平均分成段，设中间两点分别为，，则当点在线段上时符合题意，所以概率．12. D第二部分13.【解析】本题可以看成向区间内均匀投点，求点落入内的概率．设某乘客候车时间不超过，所以．14.15.【解析】如图，设，根据对称性，由题中条件知，点的活动范围为，即．当时，，解得，所以．16.【解析】分别以点，，为圆心，以为半径作圆，与构成三个扇形，如图中阴影部分所示，当点落在其内时符合要求．所以．17.【解析】由题意可知，三角形的三条边长的和为，而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于的地方爬行，则它爬行的区域长度为，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为．第三部分18. 记事件为“硬币落下后与格线没有公共点”，如图所示，在等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形三边的距离都为，则小等边三角形的边长为．由几何概型的概率计算公式得．19. （1）设，，则．若，则，故的概率．（2）设，则．若，则，故的概率．20. 在上截取，于是，．21. 记：“与，与之间的距离都不小于米”，把三等分，由于中间长度为米所以．22. 记事件在取出的水中有草履虫，由几何概型的概率计算公式得．。
高中数学复习：几何概型
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由图得等车时间不超过10分钟的概率为
1 2
.
(2)因为∠B=60°,∠C=45°,所以∠BAC=75°.
在Rt△ABD中,AD= 3,∠B=60°,
所以BD=
AD tan 60
=1,∠BAD=30°.
记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M,使BM<1”,则当∠BAM
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1-1 (2018河南濮阳模拟)在[-6,9]内任取一个实数m,设f(x)=-x2+mx+m,
则函数f(x)的图象与x轴有公共点的概率为( D )
A. 2
B. 7
C. 3 D.11
15
15
5
15
答案 D ∵f(x)=-x2+mx+m的图象与x轴有公共点,∴Δ=m2+4m>0,∴m<-
<∠BAD时,事件N发生.
由几何概型的概率公式,得P(N)=3705
2
=5
.
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规律总结 与长度、角度有关的几何概型的求法 解答关于长度、角度的几何概型问题,只要将所有基本事件及事件A包 含的基本事件转化为相应长度或角度,即可利用几何概型的概率计算公 式求解.要特别注意“长度型”与“角度型”的不同,解题的关键是构 建事件的区域(长度或角度).
4或m>0,∴在[-6,9]内取一个实数m,函数f(x)的图象与x轴有公共点的概
率P=[4 (6)] (9 0) =11,故选D.
9 (6)
15
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1-2
在区间
2
,
2
上随机取一个数x,则cos
几何概型讲义
D O BA C 几何概型[知识点]：1. 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件2. 特别提醒：基本事件有如下两个特点： ○1任何两个基本事件都是互斥的； ○2任何事件都可以表示成基本事件的和。
2．所有基本事件的全体，叫做样本空间，用Ω表示，例如“抛一枚硬币”为一次实验，则Ω={正面，反面}。
3.等可能性事件(古典概型)：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n ，这种事件叫等可能性事件古典概型的两个共同特点： ○1有限性，即试中有可能出现的基本事件只有有限个，即样本空间Ω中的元素个数是有限的； ○2等可能性，即每个基本事件出现的可能性相等。
4．古典概型的概率公式：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()m P A n =5.几何概型：如果第个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。
6.几何概型的特点： ○1试验的结果是无限不可数的； ○2每个结果出现的可能性相等。
7．几何概型的概率公式： P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A 8. 用几何概型解题，主要运用转化，数形结合等重要的数学思想方法，解决问题的关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率。
[典例]：1.如图，60AOB ∠=，2OA =，5OB =，在线段OB 上任取一点C ，试求：(1)AOC ∆为钝角三角形的概率；(2)AOC ∆为锐角三角形的概率．解：如图，由平面几何知识：当AD OB ⊥时，1OD =； 当OA AE ⊥时，4OE =，1BE =．（１）当且仅当点C 在线段OD 或BE 上时，AOC ∆为钝角三角形记＂AOC ∆为钝角三角形＂为事件M ，则11()0.45OD EB P M OB ++===即AOC ∆为钝角三角形的概率为0.4．（２）当且仅当点C 在线段DE 上时，AOC ∆为锐角三角，记＂AOC ∆为锐角三角＂为事件N，则3()0.65DE P N OB ===即AOC ∆为锐角三角形的概率为0.6．2.甲、乙两人约定在下午4:00~5:00间在某地相见他们约好当其中一人先到后一定要等另一人15分钟，若另一人仍不到则可以离去，试求这人能相见的概率。
高中二年级数学几何概型知识点梳理
高中二年级数学几何概型知识点梳理高中二年级数学几何概型知识点梳理几何概型是一种概率模型。
以下是查字典数学网为大家整理的高中二年级数学几何概型知识点，希望可以解决您所遇到的相关问题，加油，查字典数学网一直陪伴您。
一、知识点剖析部分几何概型：掌握要点：1.几何概型定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型;2. 几何概型的特点：(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;(2)每个基本事件出现的可能性相等.3. 几何概型的概率公式：P(A)=构成事件A的区域长度(面积或体积); 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)易混易错：1. 古典概型与几何概型的特点相混淆，不能区分是古典概型问题还是几何概型问题。
2. 不能选择适当的度量角度。
二、典型例题剖析:运用几何概型概率公式求概率方法归纳：计算几何概型概率就是要计算基本事件总体与事件A包含的基本事件对应的区域的长度(面积、角度、体积)，具体方法为：(1) 适当选择观察角度(2) 把基本事件转化为与之对应的区域(3) 把随机事件转化为与之对应的区域(4) 利用概率公式计算(5) 如果事件A对应的区域不好处理，可以利用对立事件概率公式逆向思维进行求解。
例1 某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站，求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率(假定车到来后每人都能上).思路点拨:如果试验的结构所构成的区域的几何度量可以用长度表示,则可以按公式 P(A)=构成事件A的长度计算. 试验的全部结果所构成的区域长度解答示范:解:可以认为人在任一时刻到站是等可能的. 设上一班车离站时刻为a，则某人到站的一切可能时刻为 = (a, a+5)，记A={等车时间少于3分钟}，则他到站的时刻只能为g = (a+2, a+5)中的任一时刻。
P(A)= g的长度3= ?的长度5例2. 街道旁边有一游戏：在铺满边长为9cm的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1cm的小圆板，规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在边上，可重掷一次;若掷在正方形内可再交5角再掷一次;若压在塑料板的顶点上，可获得一元钱.试问：(1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少?(2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少?思路点拨:如果试验的结构所构成的区域的几何度量可以用面积表示,则可以按公式 P(A)=构成事件A的面积计算. 试验的全部结果所构成的区域面积最后，希望小编整理的高中二年级数学几何概型知识点对您有所帮助，祝同学们学习进步。
人教版高中数学【必修三】[知识点整理及重点题型梳理]_几何概型_基础
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人教版高中数学必修三知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习几何概型【学习目标】1.了解几何概型的概念及基本特点；2.熟练掌握几何概型中概率的计算公式；3.会进行简单的几何概率计算；4.能运用模拟的方法估计概率，掌握模拟估计面积的思想.【要点梳理】要点一：几何概型1.几何概型的概念：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型.2.几何概型的基本特点：(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；(2)每个基本事件出现的可能性相等.3.几何概型的概率：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域d 内＂为事件A ，则事件A 发生的概率()d P A D 的测度的测度. 说明：(1)D 的测度不为0；(2)其中＂测度＂的意义依D 确定，当D 分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的＂测度＂分别是长度，面积和体积.(3)区域为＂开区域＂；(4)区域D 内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关.要点诠释：几种常见的几何概型(1)设线段l 是线段L 的一部分，向线段L 上任投一点，若落在线段l 上的点数与线段l 的长度成正比，而与线段l 在线段L 上的相对位置无关，则点落在线段l 上的概率为：P=l 的长度/L 的长度(2)设平面区域g 是平面区域G 的一部分，向区域G 上任投一点，若落在区域g 上的点数与区域g 的面积成正比，而与区域g 在区域G 上的相对位置无关，则点落在区域g 上概率为：P=g 的面积/G 的面积(3)设空间区域上v 是空间区域V 的一部分，向区域V 上任投一点，若落在区域v 上的点数与区域v 的体积成正比，而与区域v 在区域V 上的相对位置无关，则点落在区域v 上的概率为：P=v 的体积/V 的体积要点二：均匀随机数的产生1.随机数的概念随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的.它可以帮助我们模拟随机试验，特别是一些成本高、时间长的试验，用随机模拟的方法可以起到降低成本，缩短时间的作用.2.随机数的产生方法(1)实例法.包括掷骰子、掷硬币、抽签、转盘等.(2)计算器模拟法.现在大部分计算器的RAND 函数都能产生0～1之间的均匀随机数.(3)计算机软件法.几乎所有的高级编程语言都有随机函数，借用随机函数可以产生一定范围的随机数. 要点诠释：1.在区间[a ，b]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数.2.利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值.3.用随机模拟试验不规则图形的面积的基本思想是：构造一个包含这个图形的规则图形作为参照，通过计算机产生某区间内的均匀随机数，再利用两个图形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决.4.利用计算机和线性变换Y=X*(b-a)＋a ，可以产生任意区间[a ，b]上的均匀随机数.【典型例题】类型一：与长度有关的几何概型问题例1．取1根长为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段长都不小于1 m 的概率有多大？【思路点拨】从每一个位置剪断绳子,都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点,基本事件有有限多个,而且每一个基本事件的发生都是等可能的,因此事件的发生的概率只与剪断位置所处的绳子的长度有关,符合几何概型的条件。
高考数学复习点拨约会型几何概型问题
高考数学复习点拨约会型几何概型问题第一篇：高考数学复习点拨约会型几何概型问题谈“约会型”概率问题的求解由两个量决定的概率问题，求解时通过坐标系，借助于纵、横两轴产生公共区域的面积，结合面积产生问题的结论，我们称此类问题为“约会型”概率问题；“约会型”概率问题的求解，关键在于合理、恰当引入变量，再将具体问题“数学化”，透过数学模型，产生结论。
请看以下几例：例1、甲、乙两人约定在晚上7时到8时之间在公园门口会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，这时即可离去，那么两人见面的概率是多少？解：以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，那么两人能见面的充要条件是|x-y|≤15，如图由于(x,y)的所有可能结果是边长为60的正方形，可能会面的时间由图中阴影部分所表示，记“两人能见面”为事件A602-4527=因此，两人见面的概率P(A)=16602点评：显然，“以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间”很关键，由这一句，将一个实际问题引入了数学之门，进一步分析会发现：要见面x,y必须满足|x-y|≤15，于是，结论也就顺其自然的产生了。
例2、A、B两列火车都要在同一车站的同一停车位停车10分钟，假设它们在下午一时与下午二时随机到达，求这两列火车必须等待的概率；解：以x轴和y轴分别表示A、B两列火车到达的时间两列火车必须等待，则|x-y|≤10，如图由于(x,y)的所有可能结果是边长为60的正方形，可能等待的时间由图中阴影部分所表示，记“两列火车必须等待” 为事件A 602-50211=因此，这两列火车必须等待的概率是P(A)= 23660点评：本题与例1相同，“火车必须等待”，那么它们的到达时间差必须不大于10分钟，于是，将A、B两列火车到达车站的时间分别用x,y 表示，结论很快产生。
例3、小明每天早上在六点半至七点半之间离开家去学校上学，小强每天早上六点到七点之间到达小明家，约小明一同前往学校，问小强能见到小明的概率是多少？解：如图，方形区域内任何一点的横坐标表示小强的到达时间，纵坐标表示小明离开家的时间，由于区域内任意一点的出现是等可能的，因此，符合几何概型的条件；由题意，只要点落在阴影部分内，就表示小强能见到小明，即事件A发生，用心爱心专心⎧6≤x≤7⎪所以，由⎨6.5≤y≤7.5⎪y>x⎩1602-⨯30272得P(A)=，=86027即小强能见到小明的概率是。
几何概型典型例题ppt课件
则△PBC 的面积不小于 S 的概率是（ ） 3
A． 2 B． 1 C． 3 D． 1
3
3
4
4
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
面积型概率（建系法）
1. 甲乙两人相约晚上7点到8点之间见面， 约定谁先到达约定地点就等对方20分钟， 等待超过20分钟则离开。求甲乙两人约 会成功的概率。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
长度型概率
1.在长为 1 的线段 AB 上取一点 C，则 AC 之间的
距离小于 1 的概率为 2
A． 1 4
C． 3 4
B． 1 2
D． 7 8
[0，2] 任取的一个整数，求上述方程有实根的概率． （Ⅱ）若 a 是从区间[0，3] 任取的一个实数， b 是从区间
[0，2] 任取的一个实数，求上述方程有实根的概率．
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
面积型概率（建系法）
3.设有关于 x 的一元二次方程 x2 2ax b2 0 ． （Ⅰ）若 a 是从区间[0，3] 任取的一个整数， b 是从区间
面积型概率上半圆(圆
中阴影部分)中的概率是( )
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
高中 几何概型 知识点+例题+练习
教学过程考点一与长度、角度有关的几何概型【例1】(1)(2013·湖北卷)在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为56，则m＝________.(2)如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝3，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，则BM<1的概率为________．规律方法解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．【训练1】(1)(2014·淄博二模)设P在[0,5]上随机地取值，则关于x的方程x2＋px＋1＝0有实数根的概率为________．(2)如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________．教学效果分析教学过程考点二与面积有关的几何概型【例2】(1)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，则P(A)________．(2)(2012·北京卷改编)设不等式组⎩⎨⎧0≤x≤2，0≤y≤2表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________．规律方法数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，通用公式：P(A)＝构成事件A的区域的测度试验的全部结果所组成的区域的测度.【训练2】已知x∈[－1,1]，y∈[0,2]，则点P(x，y)落在区域⎩⎨⎧2x－y＋2≥0，x－2y＋1≤0，x＋y－2≤0内的概率为________．教学效果分析教学过程考点三与体积有关的几何概型【例3】在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．规律方法很多几何概型，往往要通过一定的手段才能转化到几何度量值的计算上来，在解决问题时，要善于根据问题的具体情况进行转化，这种转化策略是化解几何概型试题的关键．【训练3】如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥MABCD的体积小于16的概率为________．1．对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只教学效果分析教学过程与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．2．转化思想的应用对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．课堂巩固一、填空题1．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是________．2．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为________．4．已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1 000粒黄豆，落在阴影部分的黄豆为600粒，则可以估计出阴影部分的面积为________．5．(2014·长沙联考)点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到顶点A的距离|P A|≤1的概率为______．6．(2012·辽宁卷改编)在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20 cm2的概率为________．7．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________．8．(2014·淮安模拟)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上随机取一个数x，cos x的值介于0至12之间的概率为________．教学效果分析教学过程9.如图所示，设M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N，连接MN，则弦MN的长超过2R的概率为________．10．(2012·湖北卷改编)如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是________．二、解答题11．在1升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？从中随机取出30毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？12．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求方程有实根的概率．方法强化练——统计与概率(对应学生用书P305)(建议用时：90分钟)一、填空题1．(2014·石家庄调研)某校高三年级有男生500人，女生400人，教学效果分析为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是________抽样法．2．(2014·广州月考)某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20，0.30,0.10，则此射手在一次射击中不够8环的概率为________．3．(2012·湖北卷改编)容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：组[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,7数23454 2 则样本数据落在区间[10,40)的频率为________．4．(2014·沈阳模拟)第十二届全运会于2013年8月31日在沈阳举行，运动会期间从来自A大学的2名志愿者和来自B大学的4名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A大学志愿者的概率是________．5．(2014·南京一中月考)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为________．6．(2014·湖州二模)一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是________．7．(2014·江西九校联考)在区间[－3,3]上，随机地取两个数x，y，则x－y＞2的概率是________．8．袋中装有大小相同且形状一样的四个球，四个球上分别标有“2”“3”“4”“6”这四个数．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是________．9．(2014·杭州二检)用茎叶图记录甲、乙两人在5次体能综合测评中的成绩(成绩为两位整数)，若乙有一次不少于90分的成绩未记录，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________．10．(2014·深圳二模)在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sin x＋cos x≥62”发生的概率为________．11．(2014·泰州一模)某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为________．12．(2014·金丽衢十二校联考)统计某校1 000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如图所示，规定不低于60分为及格，则及格人数是________名．13．若m∈(0,3)，则直线(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0与x轴、y轴围成的三角形的面积小于98的概率为________．14.(2014·广州二模)如图所示，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M(图中白色部分)．若在此三角形内随机取一点P，则点P落在区域M内的概率为________．二、解答题15．(2013·广东卷)从一批苹果中，随机抽取50个，其重量(单位：克)的频数分布表如下：分组(重量)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100) 频数(个)5102015(1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；(2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．16．(2013·安徽卷)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如图所示：(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x1，x2，估计x1－x2的值．17．(2013·陕西卷)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：组别 A B C D E人数5010015015050(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表．。
2019年高考数学(文)一轮复习精品资料：专题50几何概型(教学案)含解析
2019年高考数学（文）一轮复习精品资料1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；2.了解几何概型的意义.1．几何概型的定义事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量(长度、面积、体积)成正比，而与A 的位置和形状无关，满足上述条件的试验称为几何概型．2.几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性.3．几何概型的概率公式 P (A )＝μΩμA，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA 表示子区域A 的几何度量．高频考点一、与长度(角度)有关的几何概型【例1】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.31B.21C.32D.43(2)如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________.【答案】(1)B (2)31【解析】(1)如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 上，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 上时，才能保证【方法规律】(1)解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围.当考查对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度”为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置.(2)①第(2)题易出现“以线段BD 为测度”计算几何概型的概率，导致错求P ＝21.②当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率.事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比.【变式探究】 (1)设A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，则弦长超过半径的倍的概率是( )A.43B.21C.31D.53(2)在区间[0，5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________. 【答案】(1)B (2)32【解析】(1)如图，作等腰直角△AOC 和△AMC ，B 为圆上任一点，则当点B 在上运动时，弦长|AB |＞R ，∴P ＝＝21.(2)设方程x 2＋2px ＋3p －2＝0的两个根分别为x 1，x 2，由题意得，高频考点二 与面积有关的几何概型(【例2】 (2016·全国Ⅱ卷)从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.m 4nB.m 2nC.n 4mD.n 2m【答案】C【解析】如图，数对(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )表示的点落在边长为1的正方形OABC 内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内.由几何概型的概率公式可得n m ＝12π，故π＝n 4m. 【举一反三】在满足不等式组y≥0x ＋y －3≤0，的平面内随机取一点M (x 0，y 0)，设事件A ＝“y 0＜2x 0”，那么事件A 发生的概率是( ) A.41 B.43 C.31 D.32【答案】B【解析】作出不等式组y≥0x ＋y －3≤0，的平面区域即△ABC ，其面积为4，且事件A ＝“y 0＜2x 0”表示的区域为△AOC ，其面积为3，所以事件A 发生的概率是43.【方法规律】(1)与面积有关的平面图形的几何概型，解题的关键是对所求的事件A 构成的平面区域形状的判断及面积的计算，基本方法是数形结合.(2)解题时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解.【变式探究】如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1，0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝x ＋1，x ＜01的图象上.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A.61B.41C.83D.21【答案】B高频考点三 与体积有关的几何概型【例3】 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M －ABCD 的体积小于61的概率为________.【答案】21【解析】过M 作平面RS ∥平面AC ，则两平面间的距离是四棱锥M －ABCD 的高，显然M 在平面【方法规律】对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.【变式探究】 一个长方体空屋子，长、宽、高分别为5米、4米、3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是________.【答案】120π【解析】依题意，放在地面一角处的捕蝇器能捕捉到的空间体积V 0＝81×34π×13＝6π(立方米). 又空屋子的体积V ＝5×4×3＝60(立方米)， 三个捕蝇器捕捉到的空间体积V ′＝3V 0＝2π(立方米). 故苍蝇被捕捉的概率是2＝120π.1. （2018年全国I 卷文数）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则A. p 1=p 2B. p 1=p 3C. p 2=p 3D. p 1=p 2+p 3 【答案】A1.(2017·全国Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是________．【答案】8π【解析】不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝21S 圆＝2π，所以由几何概型知，所求概率P ＝S 正方形S 黑＝2＝8π.2．(2017·江苏)记函数f (x )＝的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．【答案】951.(2016·全国Ⅱ卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A.107B.85C.83D.103 【答案】B【解析】至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为4040－15＝85.2.(2016·全国Ⅱ卷)从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.m 4nB.m 2nC.n 4mD.n 2m【答案】C【解析】如图，数对(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )表示的点落在边长为1的正方形OABC 内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内. 由几何概型的概率公式可得n m ＝12π，故π＝n 4m.3.(2016·山东卷)在[－1，1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________.【答案】43【解析】直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交的充要条件是圆心(5，0)到直线y ＝kx 的距离小于3.则k2＋1|5k －0|＜3，解之得－43＜k ＜43，故所求事件的概率P ＝4＝43.1.(2015·山东卷)在区间[0，2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log1221≤1”发生的概率为( ) A.43 B.32 C.31D.41【答案】A2.(2015·福建卷)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1，0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝x ＋1，x ＜01的图象上.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A.61B.41C.83D.21【答案】B【解析】因为四边形ABCD 为矩形，B (1，0)且点C 和点D 分别在直线y ＝x ＋1和y ＝－21x ＋1上，所以C (1，2)，D (－2，2)，E (0，1)，则A (－2，0).因此S 矩形ABCD ＝6，S 阴影＝21×1·|CD |＝23.由几何概型，所求事件的概率P ＝2＝41.3.(2015·湖北卷)在区间[0，1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤21”的概率，p 2为事件“xy ≤21”的概率，则( )A.p 1<p 2<21B.p 2<21<p 1C.21<p 2<p 1D.p 1<21<p 2【答案】D。
古典概型、几何概型知识点和练习
知识点一：变量间的相关系数1.两变量之间的关系(1)相关关系——非确定性关系(2)函数关系——确定性关系2.回归直线方程：∧∧∧+=axby⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=---=∧∧====∧∑∑∑∑xbyax nxy x nyxxxyyxxbniiniiiniiniii,)())((1221121例题分析例1：某种产品的广告费x（单位：百万元）与销售额y（单位：百万元）之间有一组对应数据如下表所示，变量y和x具有线性相关关系：x（百万元） 2 4 5 6 8y（百万元）30 40 60 50 70（1）画出销售额与广告费之间的散点图；（2）求出回归直线方程。
针对练习1、对变量x, y 有观测数据理力争（1x ，1y ）（i=1,2,…，10），得散点图左；对变量u ，v 有观测数据（1u ，1v ）（i=1,2,…，10）,得散点图右. 由这两个散点图可以判断（ ）（A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 （C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 2．在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（ ）（1） （2） （3） （4） A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（2）（4） D ．（2）（3） 3. 下表是某小卖部一周卖出热茶的杯数与当天气温的对比表： 气温/℃ 18 13 10 4 -1 杯数 24 34 39 51 63若热茶杯数y 与气温x 近似地满足线性关系，则其关系式最接近的是（ ）A. 6y x =+B. 42y x =+C. 260y x =-+D. 378y x =-+知识点二：概率一、随机事件概率：事件：随机事件：可能发生也可能不发生的事件。
确定性事件: 必然事件（概率为1）和不可能事件（概率为0） （1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件； （2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件； 随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在n 次实验中发生了m 次，当实验的次数n 很大时，我们称事件A 发生的概率为()nmA P ≈说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性 ，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值二、概率的基本性质： 基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若A ∩B 为不可能事件，即A ∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥；（3）若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件； （4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件A ，有()10≤≤A P② ()()0,1,=Φ=ΩΦΩP P 则有可能事件分别表示必然事件和不和用 ③如果事件()()()B P A P B A P B A +=+:,则有互斥和（概率加法公式）互斥事件：不能同时发生的两个事件称为互斥事件对立事件：两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对立事件，事件A 的对立事件记为：A互斥事件和对立事件的区别：① 若, B , , B , 中最多有一个发生则为互斥事件A A 可能都不发生，但不可能同时发生 ，从集合的关来看两个事件互斥，即指两个事件的集合的交集是空集② 对立事件是指的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可能指的很多事件，但最多只有一个发生，可能都不发生 ③ 对立事件一定是互斥事件 ④ 从集合论来看：表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的并集是全集 ，而两个互斥事件的并集不一定是全集⑤ 两个对立事件的概率之和一定是1 ，而两个互斥事件的概率之和小于或者等于1 ⑥ 若事件B A ,是互斥事件，则有()()()B P A P B A P +=+⑦一般地，如果 n A A A ,...,,21 两两互斥，则有()()()()n n A P A P A P A A A P +++=+++......2121 ⑧()()A P A P -=1三、概率的概型：古典概型：① 所有基本事件有限个；②每个基本事件发生的可能性都相等满足这两个条件的概率模型成为古典概型。
高中数学-几何概型知识点
（1）几何概型：几何概型知识点一般地，一个几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部的一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为P(A)=_________（一般地，线段的测度为该线段的长度；平面多边形的测度为该图形的面积；立体图像的测度为其体积 ） （2）几何概型的基本特点：① ____________ ② _______________例题精选例1. 如图，在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求<AM AC 的概率？ 【分析】点M 随机的落在线段AB 上，故线段AB 为区域D ，当点M 位于如图的AC '内时<AM AC ，故线段 AC '即为区域d解: 在AB 上截取'=AC AC ，于是P AM AC P AM AC AC AB AC AB <=<===''()22)(【变式训练】如图，在等腰直角三角形ABC 中，在∠ACB 内部任意作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求<AM AC 的概率？解：在∠ACB 内的射线是均匀分布的，所以射线CM 作在任何位置都是等可能的，在AB 上截取'=AC AC ，则ACC '67.5∠=︒ ，故满足条件的概率为=67.5900.75例2. 如图，分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为（ ） Ａ．-π24 Ｂ．-π44Ｃ．-π22Ｄ．-π42【解析】设正方形的边长为2，则1片阴影部分的面积为⎝⎭⎪--⋅⨯=-⎛⎫ππ42111211222，所以阴影部分的面积⎝⎭⎪=-=-⎛⎫ππS A 24124，=-πP A 22)(，故选C.课堂练习与作业1．已知直线y ＝x ＋b ，b ∈[－2，3]，则该直线在y 轴上的截距大于1的概率是( ). A ．B ．C ．D ．2．在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π2π ，－上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到21之间的概率为( ). A ．31B ．π2C ．21D ．323．若在圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝16内任取一点P ，则点P 落在单位圆x 2＋y 2＝1内的概率为( ).A ．21B ．31C ．41D ．1614．如图，在边长为 3 的正方形内有区域 A （阴影部分所示），张明同学用随机模拟的方法求区域 A 的面积．若每次在正方形内随机产生 10000 个点，并记录落在区域 A 内的点的个数．经过多次试验，计算出落在区域 A 内点的个数的平均值为 6600 个，则区域 A 的面积约为 ( ) A. 5B. 6C. 7D. 85. 如图，矩形 ABCD 中，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为(1,0)，且点 C 与点 D 在函数 f (x )={x +1,x ≥0−12x +1,x <0 的图象上．若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ( )A. 16 B. 14C. 38D. 126. 如图，在半径为 2R ，弧长为 4π3R 的扇形 OAB 中，以 OA 为直径作一个半圆．若在扇形 OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 ( )51525354A. 38B. 58C. 34D. 787.某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 ( )A. 13B. 12C. 23D. 348．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中随机取点，则点落在四棱锥O －ABCD (O 为正方体体对角线的交点)内的概率是( ).A ．61B ．31C ．21D ．329.在棱长为 2 的正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，点 O 为底面 ABCD 的中心，在正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 内随机取一点 P ，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 ( )A. π12B. 1−π12C. π6D. 1−π610. 在区间 [−2,1] 上随机取一个实数 x ，则 x 使不等式 ∣x −1∣≤1 成立的概率为 ．11．已知函数f (x )＝log 2x ， x ∈，在区间上任取一点x 0，使f (x 0)≥0的概率为 ．参考答案1．解析：区域Ω为[-2，3]，子区域A 为(1，3]，而两个区间的长度分别为5，2．选B2．解析： 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π2π－ ，上随机取一个数x ，即x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π2π－ ，时，要使的值介于0到之间，需使－≤x ≤－或≤x ≤，两区间长度之和为，由几何概型知的值介于0到之间的概率为＝．故选A.3．解析：所求概率为＝．故选D4.B 【解析】设区域 A 的面积约为 S ，根据题意有 660010000=S3×3， 所以，S =5 94，所以区域 A 的面积约为 6．⎥⎦⎤⎢⎣⎡221 ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡221 ，cos x 212π3π3π2π3πcos x 21π3π31224π1π⨯⨯ 1615. B 【解析】易知点 C 的坐标为 (1,2)，点 D 的坐标为 (−2,2)，所以矩形 ABCD 的面积为 6，阴影部分的面积为 32，故所求概率为 14．6.B 【解析】阴影部分的面积为 S 1=12×4π 3×2R −12R 2=5π6R 2，扇形 OAB 的面积为S 2=4π3R 2，所以在扇形 OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率 P =S S==58．7. B 【解析】解法一：7：30的班车小明显然是坐不到的．当小明在7：50之后8：00之前到达，或者8：20之后8：30之前到达时，他等车的时间将不超过 10 分钟，故所求概率为10 1040=12．解法二：当小明到达车站的时刻超过8：00，但又不到8：20时，等车时间将超过 10 分钟，7：50~8：30的其他时刻到达车站时，等车时间将不超过 10 分钟，故等车时间不超过 10 分钟的概率为 1−2040=12．8．解析：所求概率即为四棱锥O －ABCD 与正方体的体积之比．选A9.B 【解析】点 P 到点 O 的距离大于 1 的点位于以 O 为球心，以 1 为半径的半球的外部．记点 P 到点 O 的距离大于 1 为事件 A ，则 P (A )=2 − ××12=1−π12．10.【解析】因为 ∣x −1∣≤1⇔−1≤x −1≤1⇔0≤x ≤2，所以在区间 [−2,1] 上使不等式 ∣x −1∣≤1 成立的 x 的范围为 x [0,1]，故所求概率 P =1−01−(−2)=13．11．解析：因为f (x )≥0，即log 2 x 0≥0，得x 0≥1，故使f (x )≥0的x 0的区域为[1，2]．答案：．32。
全国理数第50课 几何概型
随堂普查练
数学 低段
第50课 第6题 P290
33
随堂普查练
数学 低段
第50课 第6题 P290
34
随堂普查练
数学 低段
第50课 第6题 P290
35
随堂普查练 D
数学 低段
第50课 第6题 P290
36
随堂普查练 D
数学 低段
第50课 第7题 P290
37
随堂普查练
数学 低段
第50课 第8题 P290
74
课后提分练 B
数学 低段
第49-50课 第14题 P108
75
三组题讲透
数学 低段
9 32
第50课 第（5）题
P289
16
三组题讲透
5 12
数学 低段
第50课 第（6）题
P289
17
三组题讲透
数学 低段
第50课 第（7）题
P289
18
三组题讲透
数学 低段
第50课 第（7）题
P289
19
三组题讲透 C
数学 低段
第50课 第（7）题
P289
20
数学 低段
特点
4
一张图学透
数学 低段
第50课 一张图学透 几何概型的 概率公式
5
一张图学透
数学 低段
第50课 一张图学透 随机模拟的
方法
6
三组题讲透
数学 低段
B
第50课 第（1）题
P288
7
三组题讲透 A
数学 低段
第50课 第（2）题
P288
8
数学 低段
第50课 小提示 P288
全国理数第50课 几何概型
第50课 几何概型1．与长度、角度有关的几何概型(1)(2016全国Ⅰ，5分)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至 8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( B )A.13B.12C.23D.34解析：由题意知，小明到达发车站的时间总长度为40分钟，当他到达时间在7：50－ 8：00或8：20－8：30时等车不超过10分钟，则等车不超过10分钟的时间长度之和为20分钟，故所求概率为2040＝12.故选B.(2)(2015山东，5分)在区间[0，2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤121log 2x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤1”发生的概率为( A )A.34B.23C.13D.14解析：由－1≤121log 2x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤1，得12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32.故所求概率P ＝322＝34.故选A.(3)(经典题，5分)如图50－2，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，AD 为半径作四分之一个圆弧DE ，在圆弧DE 上任取一点P ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率是 13．图50－2解析：由题意知，本题是一个几何概型，试验的所有结果所构成的区域为∠BAD ＝90°. 如图，连接AC ，交弧DE ︵于P .∵tan ∠CAB ＝13＝33，∴∠CAB ＝30°.由题意知，当射线AP 在∠CAB 内或与∠CAB 的边重合时，射线AP 与线段BC 有公共点，∴射线AP 与线段BC 有公共点的概率P ＝30°90°＝13.2．与面积有关的几何概型a ．与三角形、矩形、圆等平面图形的面积有关的几何概型(4)(2017全国Ⅰ，5分)如图50－3，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( B )图50－3A.14B.π8C.12D.π4解析：设正方形的边长为2，则正方形的面积为2×2＝4，大圆的半径为1，面积为π× 12＝π，运用割补法易知图中黑色部分的面积是大圆面积的12，即π2，则此点取自黑色部分的概率为π24＝π8.故选B.b ．与线性规划交汇的几何概型(5)(经典题，5分)某校早上8：00上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30—7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为932． 解析： 设小张和小王到校的时间分别为7时x 分和7时y 分，(x ，y )可以看成平面直角坐标系中的点，试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{(x ，y )|30≤x ≤50，30≤y ≤50}，这是一个正方形区域，面积为20×20＝400，而小张比小王至少早5分钟到校对应的区域为{x |y －x ≥5}，作出符合题意的图形，如图所示，则符合题意的区域为△ABC .联立⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＝5，y ＝50，得C (45，50)；联立⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＝5，x ＝30，得B (30，35)，则S △ABC ＝12×15×15＝2252.由几何概型的概率计算公式可知，小张比小王至少早5分钟到校的概率为2252400＝932.c ．与定积分交汇的几何概型 (6)(2015福建，4分)如图50－4，点A 的坐标为(1，0)，点C 的坐标为(2，4)，函数f (x )=x 2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于512．图50－4解析：由已知得阴影部分面积为2232111154d 44(81)333x x x -=-=-⨯-=⎰，所以此点取自阴影部分的概率等于534＝512. d ．与随机模拟相关的几何概型(7)(2016全国Ⅱ，5分)从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( C )A.4n mB.2n mC.4m nD.2m n解析：由题意，两数的平方和小于1，对应的区域(图中阴影部分)面积为14π×12；从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，对应的区域面积为12.所以14π×1212＝m n ，所以π＝4mn.故选C.3．与体积有关的几何概型(8)(经典题，5分)在棱长为2的正方体内部随机取一点，则该点到正方体8个顶点的距离都不小于1的概率为( D )A.16B.56C.π6 D ．1－π6解析：符合条件的点落在棱长为2的正方体内，且以正方体的每一个顶点为球心，半径为1的18球体外．根据几何概型的概率计算公式，得P ＝23－8×18×π×43×1323＝1－π6.故选D. 随堂普查练501．(2016全国Ⅱ，5分)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( B )A.710B.58C.38D.310解析：行人在红灯亮起25秒内到达该路口，则至少需要等待15秒才出现绿灯，根据几何概型的概率公式可知，所求事件的概率P ＝2540＝58.故选B.2．(2017江苏，5分)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是 59．解析：由题意有6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，即D ＝{x |－2≤x ≤3}．由几何概型的概率公式，知在[－4，5]上随机取一个数x ，x ∈D 的概率为P ＝3－（－2）5－（－4）＝59.3．(2016山东，5分)在[－1，1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆22(5)9x y -+=相交”发生的概率为 34．解析：直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交，需要满足圆心到直线的距离小于半径．由圆的方程得圆心为(5，0)，半径为3，所以d ＝|5k |1＋k 2<3，解得－34<k <34，对应区域长度为32；而k ∈[－1，1]，对应区域长度为2.所以所求概率P ＝322＝34.4．(经典题，7分)如图50－6所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM <1的概率．图50－6答案：25解：因为∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°.(1分) 在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°，所以BD ＝ADtan60°＝1，∠BAD ＝30°.(3分)记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，BM <1”． 易知∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．(5分) 由几何概型的概率公式，得P (N )＝30°75°＝25.(7分)5．(2015福建，5分)如图50－7，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1，0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0的图像上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( B )图50－7A.16B.14C.38D.12解析：由题意得B (1，0)，把x ＝1代入y ＝x ＋1，可得y ＝2，即C (1，2)；令－12x ＋1＝2，解得x ＝－2，即D (－2，2)；把x ＝0代入y ＝x ＋1，可得y ＝1，即图中阴影三角形的第3个顶点为(0，1)．∴矩形ABCD 的面积S ＝3×2＝6，阴影三角形的面积133122S '=⨯⨯=，∴所求概率14S P S '==.故选B.6．(经典题，5分)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( D )A.18B.14C.34D.78解析：如图，平面区域Ω1为三角形AOB 及其内部，面积为12×2×2＝2；平面区域Ω2与平面区域Ω1的公共部分为四边形OBDC ，其中C (0，1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －x －2＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝32，故D ⎝⎛⎭⎫－12，32.又因为A (0，2)，所以三角形ACD 的面积为12×1×12＝14.所以四边形OBDC 的面积为2－14＝74.故在Ω1中随机取一点，该点恰好在Ω2内的概率为742＝78.故选D.7．(经典题，5分)如图50－8所示的阴影部分是由x 轴、直线x ＝1及曲线y ＝e x －1围成的，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是( D )图50－8A.1eB.1e －1 C ．1－1e D.e －2e －1解析：由几何概型可知，所求概率为()()11e 1d e e 2.1(e 1)e 1e 1xxxx ---==⨯---⎰ 8．(2018福建联考，5分)我们可以利用计算机随机模拟方法计算y ＝x 2与y ＝4所围成的区域Ω的面积．先利用计算机产生两个在区间[0，1]内的均匀随机数a 1＝RAND ，b 1＝RAND ，然后进行平移与伸缩变换a ＝4a 1－2，b ＝4b 1.已知试验进行了100次，前98次中落在所求面积区域内的样本点数为65，最后两次试验的随机数为a 1＝0.3，b 1＝0.8及a 1＝0.4，b 1＝0.3，则本次模拟得出Ω的面积的近似值为( D )A ．10.4B ．10.56C ．10.61D ．10.72解析：考虑最后两次试验的结果(a ，b )是否落在区域Ω内，将110.30.8a b =⎧⎨=⎩，和110.40.3a b =⎧⎨=⎩，分别代入变换11424a a b b =-⎧⎨=⎩，，得到(－0.8，3.2)和(－0.4，1.2)，经验证，两个点都落在区域Ω内．由几何概型的概率公式，得65＋2100＝1224S Ω⨯，解得S Ω＝10.72.故选D.9．(经典题，5分)如图50－9，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取一点M ，则使四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率为 12．图50－9解析：∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，∴正方体的体积V ＝1×1×1＝1.当四棱锥M －ABCD 的体积小于16时，设它的高为h ，则13×1×1 · h ＜16，解得h ＜12，则点M 在到平面ABCD 的距离等于12的截面以下时，四棱锥M －ABCD 的体积小于16.∴四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率P ＝1×1×121＝12.课后提分练49－50 随机事件的概率与古典概型、几何概型A 组(巩固提升)1．(经典题，5分)给出如下四对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”； ③从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“至少有一个黑球”与“都是红球”； ④从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”． 其中属于互斥但不对立的事件的有( C )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对解析：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”两个事件不会同时发生，故为互斥事件，但还可以“射中6环”等，故不是对立事件；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”，前者包含后者，故不是互斥事件；③“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，所以这两个事件是对立事件；④“没有黑球”与“恰有一个红球”不可能同时发生，故它们是互斥事件，但还有可能“没有红球”，故不是对立事件．①④是符合要求的，故选C.2．(经典题，5分)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是0.05和0.03，则抽检一件是正品(甲级品)的概率为( C )A ．0.95B ．0.97C ．0.92D ．0.08解析：记抽检的产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，这三个事件彼此互斥，因此所求概率为P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－0.05－0.03＝0.92.3．(这一地区男婴出生的概率约是 0.5173 ．(保留四位小数) 解析：男婴出生的频率依次约是：0.5200，0.5173，0.5173，0.5173.随着试验次数的增加，频率稳定在0.5173，因此这一地区男婴出生的概率约为0.5173.4．(2018全国Ⅱ，5分)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( C )A.112B.114C.115D.118解析：已知不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，其中两数之和等于30的有7＋23，11＋19，13＋17，共有3组，所以所求概率为210331C 4515==.故选C.5．(经典题，5分)某天下课以后，教室里还剩下2位男同学和2位女同学．如果他们依次走出教室，则第2位走出的是男同学的概率为( A )A.12B.13C.14D.15解析：(法一)设2位男同学分别为A 1，A 2，2位女同学分别为B 1，B 2，利用树形图画出所有可能的顺序，由题意只需考虑前2位，如下图所示．由树形图可知，基本事件总数为12种，事件“第2位走出的是男同学”包含6种，所以第2位走出的是男同学的概率P ＝612＝12.(法二)2位女同学和2位男同学走出的所有可能顺序有：(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，共6种，其中事件“第2位走出的是男同学”有3种，所以第2位走出的是男同学的概率P ＝36＝12.(法三)2位男同学和2位女同学依次走出教室的顺序共有44A 24=(种)等可能的结果，其中第2位走出的是男同学的顺序有1323C A 2612=⨯=(种)结果，所以第2位走出的是男同学的概率P ＝1224＝12.6．(2018全国Ⅰ，5分)右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( A )A．p1＝p2B．p1＝p3C．p2＝p3D．p1＝p2＋p3解析：设AB＝c，AC＝b，可得S△ABC＝12cb.由图可知空白部分的面积等于大半圆的面积减去△ABC的面积，已知大半圆的直径为BC＝c2＋b2，所以可得空白部分面积为S1＝()22211112282cb c b cbπ⋅-=π+-⎝⎭.已知黑色部分面积为两个小半圆的面积和减去空白部分的面积，设黑色部分的面积为S2，可得S2＝221112222c bS⎛⎫⎛⎫π+π-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝18π(c2＋b2)－⎣⎡⎦⎤18π（c2＋b2）－12cb＝12cb＝S△ABC.所以根据几何概型的概率公式可知p1＝p2.故选A.7．(经典题，5分)已知a，b∈(0，1)，则函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)内是增函数的概率为(A)A.14 B.12 C.34 D.35解析：函数f(x)＝ax2－4bx＋1(a>0)在[1，＋∞)上递增，由二次函数的单调性可知4212b ba a--=…，即a≥2b.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0＜a＜1，0＜b＜1，a≥2b，画出其表示的平面区域(如图阴影部分)．∴所求概率为12×1×121×1＝14.故选A.8．(经典题，5分)在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，交边AB于点M，则AM的长小于AC的长的概率为34．解析：在AB上取AC AC'=，则1804567.52ACC︒︒'︒-∠==.记事件A为“在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，AM＜AC”，则所有可能结果的区域为∠ACB，事件A 构成的区域为ACC '∠.又∠ACB ＝90°，ACC '∠＝67.5°，∴P (A )＝67.5°90°＝34.故所求概率为34.9．(经典题，5分)如图所示，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300粒黄豆，数出落在椭圆外的黄豆为96粒，以此试验数据为依据，可以估计椭圆的面积为( B )A ．7.68B ．16.32C ．17.32D ．8.68 解析：黄豆落在椭圆外的概率为矩形面积－椭圆面积S 矩形面积＝24－S 24，即96300＝24－S24，解得S ＝16.32.故选B.10．(2018北京海淀二模，13分)某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学(Ⅰ)从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于等于90 分的概率； 答案：0.6解：这10名学生的考核成绩(单位：分)分别为：93，89.5，89，88，90，88.5，91.5，91，90.5，91，其中大于等于90分的有1号、5号、7号、8号、9号、10号，共6人，所以样本中学生考核成绩大于等于90分的频率为610＝0.6，所以从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率为0.6.(4分)(Ⅱ)从考核成绩大于等于90分的学生中再随机抽取两名学生，求这两名学生两轮测试成绩均大于等于90分的概率；答案：0.2解：设事件A 为“从考核成绩大于等于90分的学生中再随机抽取两人，这两人的两轮测试成绩均大于等于90分”．由(Ⅰ)知，上述考核成绩大于等于90分的学生共6人，其中两轮测试成绩均大于等于90分的学生有1号、8号、10号，共3人，所以2326C 3()0.2.C 15P A ===(9分)(Ⅲ)记抽取的10名学生第一轮测试成绩的平均数和方差分别为211,x s ，考核成绩的平均数和方差分别为222,x s ，试比较1x 与2x , 21s 与22s 的大小．(只需写出结论)答案：221212,x x s s =>解：因为1x ＝90.2，21s ＝6.16；2x ＝90.2，22s ＝2.06，所以221212,x x s s =>.(只写结论即可)(13分)B 组(冲刺满分)11.(经典题，5分)在区间[－3，3]上随机取一个数x ，使得||x ＋1－||x －2≥1成立的概率为 13．解析：当－3≤x ≤－1时，||x ＋1－||x －2＝－3，此时||x ＋1－||x －2≥1不成立； 当－1＜x ＜2时，由||x ＋1－||x －2＝2x －1≥1，得x ≥1，∴1≤x ＜2； 当2≤x ≤3时，||x ＋1－||x －2＝3≥1恒成立．综上所述，当1≤x ≤3时，||x ＋1－||x －2≥1成立．由几何概型知，使得||x ＋1－||x －2≥1成立的概率为3－13－（－3）＝13.12．(经典题，5分)如图所示，已知菱形ABCD 的边长为4，∠ABC ＝150°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离均不小于1的概率为 1－π8．解析：分别以菱形ABCD 的各个顶点为圆心，1为半径作圆弧，如图所示．在菱形ABCD 内任取一点P ，当点P 位于四个扇形的外部或在圆弧上时，满足点P 到四个顶点的距离均不小于1，即图中的阴影部分区域（包括边界）.由题意知，S 菱形ABCD ＝AB ·BC sin150°＝4×4× 12＝8，∴S 阴影＝S 菱形ABCD －S 空白＝8－π×12＝8－π.因此，该点到四个顶点的距离均不小于1的概率P ＝S 阴影S 菱形ABCD＝8－π8＝1－π8.13．（2018江西模拟，5分）某单位周一至周六要安排甲、乙、丙、丁四人值班，每人至少值一天班，每天都要有人值班，则甲至少值两天班的概率为（ A ）A.1126B.926C.1152D.952解析：由题可知，四个人值六天班，每人至少值一天班，共有111311224654365424322322C C C C C C C C A A A A ⋅+⋅4448010801560A =+=种情况．甲至少值两天班，即甲值两天班或三天班．若甲值两天班，则其他人值1，1，2天，有211234216322C C C C A 540A ⋅=⋅种情况； 若甲值三天班，则其他人各值一天，有111333216333C C C C A 120A ⋅=⋅种情况． 由古典概型的概率公式知，甲至少值两天班的概率为P ＝540＋1201560＝1126.故选A.14．（2015湖北，5分）在区间[0，1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率，p 2为事件“||x －y ≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则（ B ）A ．p 1<p 2<p 3B ．p 2<p 3<p 1C ．p 3<p 1<p 2D ．p 3<p 2<p 1解析：依题意，知点（x ，y ）形成的区域是边长为1的正方形及其内部，其面积为S ＝1.满足x ＋y ≥12的区域如图1中的阴影部分，图1其面积为S 1＝1－12×12×12＝78，∴p 1＝S 1S ＝78.满足||x －y ≤12的区域如图2中的阴影部分，图2其面积为S 2＝1－12×12×12－12×12×12＝34，∴p 2＝S 2S ＝34.满足xy ≤12的区域如图3中的阴影部分，图3其面积为113211111111d ln ln 212222222S x x x=⨯+=+=+⎰，∴3311ln 222S p S ==+.∵p 1－p 3＝38－12ln2＝3－4ln28＝lne 3－ln248＝18ln e 316，而e 3＞16，∴p 1－p 3＞0，即p 1＞p 3.而p 2－p 3＝14－12ln2＝14ln 4e＜0，∴p 2＜p 3.∴p 1＞p 3＞p 2.。
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考点五十 几何概型
知识梳理
1．几何概型
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的概率公式
P (A )＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
3．几何概型的两个特点
几何概型有两个特点：一是无限性；二是等可能性．
4．几何概型与古典概型的区别
古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，而几何概型则是无限个．
典例剖析
题型一 与长度有关的几何概型
例1 (2014·高考湖南卷)在区间[－2，3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( ) A. 45 B. 35 C. 25 D. 15
变式训练 (2015山东文)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝⎛⎭
⎫x ＋12≤1”发生的概率为( )
A. 34
B. 23
C. 13
D. 14
解题要点 基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．
题型二 与面积有关的几何概型
例2 (2014·高考辽宁卷) 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )
A. π2
B. π4
C. π6
D. π8
变式训练 (2015福建文)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C
与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1，x ≥0，－12
x ＋1，x ＜0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )
A. 16
B. 14
C. 38
D. 12
解题要点 求解与面积有关的几何概型的注意点：
求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解． 题型三 与体积有关的几何概型
例3 在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )
A. π12 B ．1－π12 C. π6 D ．1－π6
变式训练 有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．
解题要点 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．
当堂练习
1．(2015陕西文)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A. 34＋12π B. 12＋1π C. 14－12π D. 12－1π
2．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )
A. 4π81
B. 81－4π81
C. 127
D. 827
3. 在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个x ，sin x 的值介于－12与12
之间的概率为( ) A. 13 B. 2π C. 12 D. 23
4．在[－2,3]上随机取一个数x ，则(x ＋1)(x －3)≤0的概率为( )
A. 25
B. 14
C. 35
D. 45
5．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1＞0”发生的概率为__________．
课后作业
一、 选择题
1．在长为10cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm 2与49cm 2之间的概率为( )
A. 25 B ．15、 C. 45 D ．310
2．在区间(10,20]内的所有实数中，随机取一个实数a ，则这个实数a <13的概率是( ) A. 13 B ．17 C. 310 D ．710
3．在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32cm 2的概率为( )
A. 16 B ．13 C. 23 D ．45
4．如图，一个矩形的长为5，宽为2，在矩形内随机的撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为( )
A. 235 B ．215 C. 195 D ．165
5．假设△ABC 为圆的内接正三角形，向该圆内投一点，则点落在△ABC 内的概率( )
A. 334π B ．2π C. 4π D ．33π4
6．一只蚂蚁在一直角边长为1cm 的等腰直角三角形ABC (∠B ＝90°)的边上爬行，则蚂蚁距A 点不超过1cm 的概率为( )
A ．22
B ．23
C ．2－ 3
D ．2－ 2 7．(2015湖北文)在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12
”的概率，p 2为事件“xy ≤12
”的概率，则( ) A ．p 1<p 2<12 B ．p 2<12<p 1 C.12<p 2<p 1 D ．p 1<12
<p 2 二、填空题
8．在区间[20,80]内任取一个实数m ，则实数m 落在区间[50,75]内的概率为________．
9．(2013·湖北卷)在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56
，则m ＝________.
10． (2014·福建文)如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．
11．取一个边长为2a 的正方形及其内切圆如图，随机向正方形内丢一粒豆子，豆子落入圆内的概率为______________________．
三、解答题
12．已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －2)x －b 2＋16＝0.
(1)若a ，b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；
(2)若a ∈[2,6]，b ∈[0,4]，求方程没有实根的概率．
13．已知集合A ＝[－2，2]，B ＝[－1，1]，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )．
(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率；
(2)求以(x ，y )为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于22
的概率．。