第08讲 拓展一：分离变量法解决导数问题 (精讲+精练)(学生版)
数学物理方程经典教案 分离变量法(研究生,高校本科生)
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法 end
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
wt
§2.2.3 非齐次边界条件的齐次化
边界条件已经齐次化
§2.2.3 非齐次边界条件的齐次化
§2.2.4 高维定解问题的解法
• 目前，数学物理方程中一般都仅给出了 一维空间的波动方程或热传导方程的分 离变量法的解，很少见到如何用分离变 量法求解高维空间的边值或混合问题， 本节讨论高维空间下求解偏微分方程的 分离变量法的技巧。
§2.4 Sturm-Liouville问题
§2.4 Sturm-Liouville问题
§2.4 分离变量法 总结
固有值问题
分离变量法中典型齐次问题的一些结论
分离变量法中典型齐次问题的一些结论
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
§2.2.2 非齐次方程定解问题的解法
• 对于非齐次方程的定解问题，不能直接使 用分离变量法，可以采用下列几种办法求 解这种问题：
• (一)、 固有函数法 • (二) 、冲量定理法 • (三) 、积分变换法（第四章讲）
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
数理方程-分离变量法
第八章 分离变量法⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=∂∂=>==><<∂∂=∂∂l x x t x u x x u t t l u t u t l x x u a t u 0)()0,(),()0,(00),(,0),0(0,022222ψϕ 对于这样的定解问题，我们将介绍分离变量法求解，首先回忆高数中我们如何处理的求解的，高数中处理微分或重积分是把函数分成单元函数分离变量法的思路：对于二阶线性微分方程变换成单元函数来求解，也就是通过分离变量法把x 、t 两个变量分开来，即把常微分方程变化为两个偏微分方程来求解。
分离变量法的思想：先求出具有分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理做出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数（叠加后这些特解满足边界条件不满足初始条件，再由初始条件确定通解中的未知的数）。
叠加原理：线性偏微分方程的解的线性组合仍是这个方程的解。
特点：（1）数学上 解的唯一性来做作保证。
（2）物理上 由叠加原理作保证。
例：有界弦的自由振动1.求两端固定的弦的自由振动的规律⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=∂∂=>==><<∂∂=∂∂l x x t x u x x u t t l u t u t l x x u a t u 0)()0,(),()0,(00),(,0),0(0,022222ψϕ 第一步：分离变量（建立常微分方程定解问题） 令)()(),(t T x X t x u =这个思想可从实际的物理现象可抽象出来，比如我现在说话的声音，它的振幅肯定随时间变化，但到达每个同学的位置不同，振幅又是随位置变化，可把声音分成两部分，一部分认为它随时间变化，一部分随位置变化。
第二步：代入方程（偏微分就可写成微分的形式，对于u 有两个变量，但对于X 、T 都只有一个变量）)()()()(2t T x X a t T x X ''=''变形得)()()()(2t T a t T x X x X ''=''= λ- 左边与t 无关，右边与x 无关，左右两边相互独立，要想相等，必定等于一个常数。
《分离变量法》课件
目 录
• 分离变量法简介 • 分离变量法的步骤 • 分离变量法的应用实例 • 分离变量法的优缺点 • 分离变量法的改进方向 • 分离变量法的未来展望
01
分离变量法简介
定义与特点
定义
分离变量法是一种求解偏微分方 程的方法，通过将多变量问题转 化为多个单变量问题，从而简化 求解过程。
交叉学科应用
探索分离变量法在交叉学 科中的应用，如生物医学 工程、环境科学等。
与其他方法的结合使用
与数值方法的结合
将分离变量法与其他数值方法（如有限元法、有限差分法等）结 合使用，形成更有效的数值计算方法。
与机器学习算法的结合
将分离变量法与机器学习算法相结合，用于数据分析和模式识别等 领域。
与优化算法的结合
工程与技术领域
分离变量法在解决工程与技术领域中的偏微 分方程问题方面具有优势，如结构分析、电 磁波传播、信号处理等。随着工程与技术的 不断发展，分离变量法有望在解决实际问题 中发挥更大的作用。
THANK YOU
感谢观看
立。
近似解
分离变量法得到的解是近似解，而 不是精确解。因为这种方法忽略了 各个变量之间的相互作用和影响。
数值稳定性
分离变量法在数值计算中可能存在 数值稳定性问题，例如数值误差的 累积和传播可能导致计算结果失真 或误差较大。
05
分离变量法的改进方向
算法优化
01
02
03
算法效率提升
通过改进算法结构，减少 计算复杂度，提高分离变 量法的计算速度。
精度控制
优化算法中的数值计算方 法，提高结果的精度和稳 定性，减少误差。
自适应调整
根据不同问题的特性，自 适应地调整算法参数，提 高分离变量法的适用性和 可靠性。
数学物理方法分离变量法
21
由傅里叶正弦级数式展系开数公式可求出
A n2 l 0 l(x22lx )si(n 2n2 l1)xd x(2n3 1 l)2 233
C1 C2 0
C1 C2 0
C1el C2e l 0
此时X（x）=0，只有零解，不合题意；
(2) 0
X(x)C1xC2
C 2 0 C1lC2 0
C1 C2 0
同样只有零解，不合题意；
8
(3) 0
X (x)C 1cosxC 2sinx
X(0) 0 X(l) 0
6、 分离变量法概要：
（3）确定形式解（级数形式解） （4）确定级数解中的待定常数（利用初始条件）
16
例：求解
utt a2uxx 0
u(x,t) x00
ut0 x22lx
(0xl,t0)
u x xl 0 u t t0 0
（第二类齐次边界条件）
解： 设 u(x,t)X(x)T(t)
Bnsinl
)sin l
11
此时要满足初始条件，则
(
(x)
x)
n1
An sin
n1
na
l
Bn
nx
l
nx
sin l
故 An和 Bnnla分别 (x为 )和 (x)的傅里叶正式 弦系 级数
BnAnn22la0l0l(x()xs)isninnlnxl xddxx
Bn0
故定解问题的最终解为
u (x ,t) 3 l 3 22 n 1 (2 n 1 1 )3 c( o 2 n 2 s l 1 )a ts i( n 2 n 2 l1 ) π x
导数分离变量法知识点
导数分离变量法知识点一、知识概述“导数分离变量法知识点”①基本定义：导数分离变量法就是在解决含有导数的方程或不等式时，把含有变量的式子放在等号或不等号的一边，把不含变量的式子放在另一边，这样可以方便我们进一步分析和求解。
就像是把一群羊和一群牛分开，好分别照顾它们一样。
②重要程度：在数学学科里，尤其是涉及导数的问题中，它是一种非常有用的方法。
很多看似复杂的导数等式或不等式，一用这个方法就条理清晰了，是解决很多导数相关问题的一把“钥匙”。
③前置知识：得先掌握导数的基本概念和求导公式，像幂函数的求导公式(x^n)' = nx^(n - 1)等。
还得了解一些基本的等式和不等式运算规则，不然即便分离了变量，后面也做不了。
④应用价值：在研究函数的单调性、极值、最值等方面有着广泛的应用。
比如在物理学里研究速度随时间的变化规律时可能就会用到，或者经济学里分析成本随产量的变化时也可能涉及。
二、知识体系①知识图谱：在导数这一块知识中，它是属于利用导数解决问题的一个很重要的方法，就像大树上的一个重要树枝。
②关联知识：和求导公式、函数的单调性、函数的极值等知识都有联系。
如果求不出函数的导数，就没办法有效使用分离变量法；而求出的导数也是为了进一步了解函数特性，和函数单调性、极值等相关。
③重难点分析：掌握难度不算特别大，关键是要能准确地把变量分离出来，有时候那些式子看起来乱糟糟的就很棘手。
重难点主要就在准确识别哪些部分是含有变量可以分到一边的，哪些是常数能分到另一边的。
④考点分析：在考试里是比较常考的内容。
可能会单独出一道用分离变量法解导数方程或者不等式的题目，也可能在综合题里涉及。
考查方式就是让你求解变量的取值范围、证明某个不等式什么的。
三、详细讲解【方法技能类】①基本步骤：先把含有导数的等式或者不等式列出来，比如f'(x)+g(x)h(x)=k(x)这种式子（这只是个例子啊）。
然后把含有x这个变量的式子尽可能全地放到一边，假设就是含g(x)h(x)这部分的放到一边，另一边就是k(x)- f'(x)。
分离变量法的精神和解题要领PPT教案
答案：
ut a2uxx (0 x l,t 0)
u(0,t) 0
ux
(l,t)
q k
u(x,0)
x(l 2
x)
第2页/共17页
解题方法：
1．建立方程， 2．定解条件：边界条件，初始条件 3．定解问题
建立方程——解题思路： • 由能量守恒定律
特征值问题同热导相同
第7页/共17页
u(x,t) uk (x,t) X k (x)Tk (t)
k 1
k 1
ka
ka k
k 1
(Ak cos
l
t Bk sin
l
t ) sin
l
x
Ak
2 l
l
( ) sin
0
n l
d
形式不变
Bk
2 ka
l
(
)
sin
n
0
l
d
第8页/共17页
有界杆上的热传导
u(x,t) X (x)T(t)
形式不变
特征值问题同振动方程相同
第9页/共17页
第10页/共17页
u(utx,0a) 2x2u(2x,),
x(0,l),t 0 x [0, l]
u(0,t) ux(l,t) 0, t 0
本征值 和本征
函数
n
n
1 2
l
2
,
X n (x)
sin
n
l
流沿x轴正向，强度为 c ρut = k uxx
u
q(x,t)，温度分布为
ut = a2 uxx
u(x,t)，则
第3页/共17页
《分离变量法》课件
06
总结与展望
总结
内容回顾
详细梳理了分离变量法的基本概 念、应用场景、实施步骤和注意 事项，帮助学习者全面理解这一
方法。
案例分析
通过具体的案例分析，展示了分离 变量法在解决实际问题中的应用， 加深学习者对方法的理解和掌握。
互动问答
鼓励学习者在课程结束前提出疑问 ，并对常见问题进行了解答，有助 于巩固学习效果。
展望
新应用领域
实践应用建议
探讨分离变量法在未来可能的应用领 域，如人工智能、大数据分析等，为 学习者提供新的思路和方向。
为学习者提供将分离变量法应用于实 际问题的建议和指导，帮助他们更好 地实现学以致用。
方法改进
介绍分离变量法的最新研究进展和可 能的改进方向，激发学习者进一步探 索和研究。
谢谢您的聆听
02
分离变量法的原理
原理概述
分离变量法是一种求解偏微分方程的 方法，通过将多个变量分离，将复杂 的偏微分方程简化为一系列简单的常 微分方程，从而求解。
该方法适用于具有多个变量的偏微分 方程，特别是当各变量之间相互独立 时。
数学模型建立
首先，需要建立偏微分方程，并确定变量 的个数。
然后，通过适当的变换，将偏微分方程转 化为全微分方程。
求解过程
通过分离变量法，可以将 $u(x, t) = X(x) T(t)$，从而将波动方程 转化为 $X''(x) = -lambda X(x)$ 和 $T''(t) = -omega^2 T(t)$， 其中 $lambda$ 和 $omega$ 是常数。
应用实例二：化学反应动力学模型
总结词
描述化学反应速率
THANKS
偏微分课件分离变量法
分离变量法的数学推导
第四章
推导过程和公式
引入分离变量法： 将偏微分方程中的 变量分离，得到两 个方程
求解两个方程：分 别求解两个方程， 得到两个解
合并解：将两个解 合并，得到偏微分 方程的解
公式：分离变量法 的公式为： u(x,y)=X(x)Y(y)， 其中X(x)和Y(y)分 别为两个方程的解
物理背景：Sturm-Liouville问题是描述振动系统的基本方程，广泛应用于力学、电磁学等 领域。
物理意义：Sturm-Liouville问题描述了振动系统的频率、振幅和相位等物理量，是研究振 动系统的重要工具。
解释：Sturm-Liouville问题通过求解特征值和特征函数，得到振动系统的频率和振幅，从 而描述振动系统的物理特性。
感谢您的观看
汇报人：
应用：Sturm-Liouville问题在力学、电磁学等领域有着广泛的应用，如振动分析、电磁场 分析等。
分离变量法的扩展和推广
第六章
扩展到高维空间的情况
高维空间中的分离变量法：将一维问题推广到高维空间，解决更高维的问题 推广到高维空间的条件：满足一定的条件，如对称性、周期性等 高维空间中的分离变量法应用：在物理、工程等领域有广泛应用
应用：分离变量法广泛应用于求解 各种类型的偏微分方程，如热传导 方程、波动方程等。
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原理：将偏微分方程中的未知函数 分解为多个部分，每个部分只包含 一个变量，然后分别求解，最后再 组合起来得到原方程的解。
注意事项：在使用分离变量法求解 偏微分方程时，需要注意方程的边 界条件和初值条件，以及解的连续 性和光滑性。
Sturm-Liouville问题的求解
高中数学选择压轴题解题策略—参变分离法解决导数问题
高中数学选择压轴题解题策略—参变分离法解决导数问题1．设函数()2ln 2f x x x x =-+，若存在区间[]1,,2a b ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭，使得()f x 在[],a b 上的值域为()()2,2k a k b ++⎡⎤⎣⎦，则实数k 的取值范围是（ ）A ．93ln 21,4+⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．93ln 21,4+⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．92ln 21,10+⎛⎤⎥⎝⎦D ．92ln 21,10+⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】利用导数分析出函数()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，可得出()()()()22f a k a f b k b ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，可知关于x 的方程()()2f x k x =+在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上有两个不等的实根，利用参变量分离法得出2ln 22x x x k x -+=+，令()2ln 22x x x h x x -+=+，由题意可得出直线y k =与曲线()y h x =在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上的图象有两个交点，利用导数分析函数()2ln 22x x x h x x -+=+在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的单调性与极值，数形结合可得出实数k 的取值范围.【详解】由题意可得()2ln 1f x x x =-+'，设()()2ln 1g x f x x x =-'=+，则()12g x x'=-， 所以当12x ≥时，()12120x g x x x -=-=≥'， 所以函数()()g x f x '=在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以()112ln 022f x f ⎛⎫≥=->⎪⎝''⎭， 所以()f x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，又因为[]1,,2a b ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭，所以()f x 在[],a b 上单调递增，又()f x 在[],a b 上的值域为()()2,2k a k b ++⎡⎤⎣⎦，所以()()()()22f a k a f b k b ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，则方程()()2f x k x =+在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的两个根为a 、b ，由()()2f x k x =+，可得2ln 22x x x k x -+=+，构造函数()2ln 22x x x h x x -+=+，其中1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()()22342ln 2x x xh x x +--'=+，令()2342ln x x x x ϕ=+--，其中1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()()()2212223223x x x x x x x x x ϕ-++-'=+-==， 当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0x ϕ'≥， 所以，函数()x ϕ在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增， 当112x ≤<时，()()10x ϕϕ<=，即()0h x '<，此时函数()h x 单调递减； 当1x >时，()()10x ϕϕ>=，即()0h x '>，此时函数()h x 单调递增. 所以，()()min 11h x h ==，192ln 2210h +⎛⎫=⎪⎝⎭，如下图所示：由图象可知，当92ln 2110k +<≤时， 直线y k =与函数()y h x =在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的图象有两个交点，因此，实数k 的取值范围是92ln 21,10+⎛⎤⎥⎝⎦. 故选：C.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题. 2．设函数()1axf x xex-=-在()0,∞+上有两个零点，则实数a 的取值范围（ ） A ．2,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．()1,eC ．12,e e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】令()0f x =，进行参变分离得()2ln >0xa x x=， 设()()2ln >0xg x x x=，将问题等价于y = a 与()g x 在()0+∞，有两个交点.求导， 分析导函数的正负得出函数()g x 的单调性， 从而作出图象和最值，运用数形结合的思想可得选项.【详解】令()0f x =，即10axxe x--=，解得()2ln >0x a x x =，设()()2ln >0xg x x x=， 所以()f x 在()0+∞，有两个零点等价于y = a 与()g x 在()0+∞，有两个交点. 因为()()()2'21ln 0>0x g x x x -==，得x e =，所以()g x 在(0，e )上单调递增，在()e +∞，上单调递减， 所以()()max 2g x g e e==. 如图所示，画出()g x 的大致图象。
利用导数解参数范围的八种策略讲解
导数解参数问题的八种策略策略一：分离变量法所谓分离变量法，是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知.解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下结论均为已知x 的范围，求a 的范围：结论一、 不等式()()f x g a ≥恒成立⇔[]min ()()f x g a ≥（求解()f x 的最小值）；不等式()()f x g a ≤恒成立⇔[]max ()()f x g a ≤（求解()f x 的最大值）.结论二、 不等式()()f x g a ≥存在解⇔[]max ()()f x g a ≥（求解()f x 的最大值）；不等式()()f x g a ≤存在解⇔[]min ()()f x g a ≤（即求解()f x 的最小值）.案例1、（2009福建卷）若曲线3()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_____________. 分析：)0(12)(>+='x xax x f 依题意方程120ax x +=在()0,+∞内有解，即)0,()0(212-∞∈⇒>-=a x xa 案例2、（2008湖北卷）若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（ ）A. [1,)-+∞B. (1,)-+∞C. (,1]-∞-D. (,1)-∞- 分析：由题意可知02)(≤++-='x b x x f ，在(1,)x ∈-+∞上恒成立， 即1)1()2(2-+=+≤x x x b 在(1,)x ∈-+∞上恒成立，由于1x ≠-，所以1b ≤-， 案例3、（2008广东卷）设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ）A ．3a >-B ．3a <-C ．13a >-D ．13a <- 分析：'()3ax f x ae =+，若函数在x R ∈上有大于零的极值点，即'()30ax f x ae =+=有正根。
数学物理方法技巧分离变量法
目录
CONTENTS
• 引言 • 分离变量法的基本原理 • 分离变量法的具体应用 • 分离变量法的注意事项 • 分离变量法的优缺点 • 分离变量法的未来发展与展望
01
引言
分离变量法的定义
分离变量法是一种数学物理方法，用 于将多变量问题转化为多个单变量问 题，以便于求解。
它通过将偏微分方程转化为常微分方 程，或者将高阶微分方程转化为一系 列在解决具有多个相互独立变量的物理 问题时，如波动、热传导、流体动力 学等，分离变量法是非常有效的工具 。
它适用于具有周期性边界条件或对称 性边界条件的问题，如无限大区域、 周期性结构等。
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结合其他数值方法进行优化
1 2 3
混合方法
结合分离变量法和有限元法、有限差分法等其他 数值方法，形成混合方法，取长补短，提高求解 精度和效率。
自适应方法
结合分离变量法和自适应方法，根据问题特性和 求解需求，动态调整算法参数和求解精度，实现 高效求解。
无网格方法
结合分离变量法和无网格方法，克服传统数值方 法的网格依赖性，提高求解灵活性。
02
偏微分方程的解需要满足一定的边界条件和初始条件。
03
偏微分方程的解需要满足可解性条件，即解需要是有限个变 量的函数。
分离变量法的步骤
01
将偏微分方程转化为常微分方程。
02 对常微分方程进行求解，得到各个变量的解。
03 将各个变量的解组合起来，得到原偏微分方程的 解。
03
分离变量法的具体
应用
一维波动方程的分离变量法
为了确保数值解法的稳定性，可以采用多种方法，如增加计算步长、使用更精确的数值格式等。同时 ，也需要不断尝试和改进计算方法，以提高数值解法的稳定性和准确性。
分离变量法在高考导数题中的运用 (1)
分离变量法在高考导数题中的运用[摘要]在高考导数考题中常涉及求参变量的取值范围问题。
对于这类问题常可采用分离参变量来求解。
所谓分离变量法就是将参变量分离出来如求参变量α取值范围，先分离出参变量a ，再应用()a f x >恒成立则max ()a f x >；或()a f x <恒成立，则min ()a f x <，最后转化为求()f x 的最值。
关键词：求导数；求最值；分离变量法正文：本文从2010年全国Ⅰ、全国Ⅱ卷中选取文科的两道导数题类谈一谈分离变量法的应用。
（值得注意的是：（1）此解法与标准答案所用方法不同；（2）采用此方法全国Ⅰ、Ⅱ卷的考题如同一辄） （2010年全国Ⅰ文科）已知函数42()32(31)4f x ax a x x =-++ （Ⅰ）当16a =时，求()f x 的极值；（Ⅱ）若()f x 在（-1，1）上是增函数，求a 的取值范围[解] （Ⅰ）省略请参考高考答案（Ⅱ）因为2'()4(1)(331)f x x ax ax =-+-所以当(1,1)x ∈-时，()f x 为增函数当且仅当'()0f x ≥即24(1)(331)x ax ax -+-恒大于等于010x -< 2331a x a x ∴+-恒小于等于0 即23310ax ax ∴+-≤（分离参变量a ） 得2211113()3[()]24a x x x ≤=++- 易知(1,1)x ∈-时，211()()24x x ϕ=+-的最大值为2，最小值为14-max min ()()f x a f x ≤≤即4136a -≤≤ 亦即a 的取值范围是41[,]36- [2010年全国Ⅱ文科]已知函数32()331f x x ax x =-++ （Ⅰ）设2a =，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若()f x 在区间（2，3）中至少有一个极值点，求a 的取值范围. 解：（Ⅰ）可参见高考标准答案 （Ⅱ）因为2'()363f x x ax =-+ 若()f x 在(2,3)x ∈中至少有一个极值点 当且仅当方程'()0f x =至少有一个实数根 所以由23630x ax -+=分离变量a 得：11()2a x x =+由于1()x x xϕ=+是对钩函数易知(2,3)x ∈时，()x ϕ总是单调递增. max min ()()x a x ϕϕ<<∴时，()f x 在区间（2，3）中至少有一个极值点a ∴的取值范围是（55,34）。
导数初级篇学生版
g x 的不等式问题时，我们通常将其转化为
f g
x x
ex
1或
g x f x
ex
1
来研究（此处以 g x 0 为例）．恰当的运用这一技巧可以减少求导的次数，提高解题效率．
1
越努力，越幸运！
二、典型例题
【题型 9 导数的应用之对处理技巧】 例1. （2011 大纲 I 理 20）
设函数 f x a ln x b ，曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线方程为 x 2y 3 0 ．
x 1 x （1）求 a ， b 的值；
（2）证明：当 x 0 ，且 x 1时， f x ln x ．
x 13越努力来自越幸运！癞蛤蟆阿呆 math1573 有收获的学数学
例5. 设函数 f x ln x ax 1 ． （1）讨论 f x 的单调性； （2）若 x 0, ， f x 0 恒成立，求实数 a 的取值范围； （3）求证：当 x 0, 时， ex xln x x 1 0 ．
x0 x0
；
（2）不共切点的公切线
S1 :确定切点，设公切线与 y f x 的切点为 P1 x1, f x1 ；
S2 :求斜率， y f x ， k1 f x1 ；
S3 :点斜式确定切线方程，则 y f x 的切线方程为 y f x1 x x1 f x1 ．
癞蛤蟆阿呆 math1573 有收获的学数学 例3. （2011 新课标理 21）
设函数 f x a ln x b ，曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线方程为 x 2y 3 0 ．
高中数学解题方法之分离变量法(含标准答案)
分离变量法分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法.分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知.解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知x 的范围，求a 的范围：定理1 不等式()()f x g a ≥恒成立⇔[]min ()()f x g a ≥（求解()f x 的最小值）；不等式()()f x g a ≤恒成立⇔[]max ()()f x g a ≤（求解()f x 的最大值）.定理2 不等式()()f x g a ≥存在解⇔[]max ()()f x g a ≥（求解()f x 的最大值）；不等式()()f x g a ≤存在解⇔[]min ()()f x g a ≤（即求解()f x 的最小值）.定理3 方程()()f x g a =有解⇔()g a 的范围=()f x 的值域（求解()f x 的值域）. 解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域.再现性题组：1、已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立，求实数a 的取值范围。
2、若f(x)=233x x --在[1,4]x ∈-上有()21f x x a ≥+-恒成立，求a 的取值范围。
数学物理方法课件 第八章-分离变量法-2
数学物理方法（II）3、二维拉普拉斯方程—热传导二维矩形区域的稳态热传导问题：y uu 0b散热片的横截面为一矩形，长和宽分别a b 。
它的一边y=b 为和它的边y 处于较高的温度，其它三边保持零度。
求横截面上的xa 0(0,0)xx yy u u x a yb +=<<<<⎧稳恒的温度分布000|0,|0|0,|x x a y y b u u u u u ====⎪==⎨⎪==⎩=?求出任意点(x,y )的温度分布u (x,y )?(,)sin u x b u A C e D e x ==+01n n n n a=⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦∑⎧再利用三角函数的正交性，可以得到：0 C D +=小结：（1）可以采用分离变量法(,)()()u r R r ϕϕ=Φ求解平面极坐标系中的拉普拉斯方程；（2）由周期性条件确定本征值和本征函数：2 (0,1,2,3...)()cos sin m m m m m A m B m λϕϕϕ==Φ=+在径向上的边界条件可以是非齐次的。
（3）拉普拉斯方程的通解为：00(,)ln u r C D rϕ∞=+叠加系数由径向上的非齐次边界条件确定()()1 +cos sin m m m m m m m C r D r A m B m ϕϕ−=++∑叠加系数由径向上的非齐次边界条件确定。
例2可以近似地认为带电云层与大地之间的静电场是均匀分布的，且电场强度E 0的方向竖直向下。
现将一个半径为a 的无限长直导线水平架设在该电场中，求导线周围的电场分布。
++带电云分析：轴其截面在平面++•取导体线的方向沿z 轴，其截面在xy 平面；•由于导体线是无线长的，可以取其一个界面进行分析另外导体线的截面个圆故y进行分析。
另外，导体线的截面一个圆，故可以采用平面极坐标系;(,)r ϕx•均匀电场的方向沿x 轴，即00xE =E e 大地/2π/2π−。
分离参数法解决导数问题
分离参数法解决导数问题
胡媛媛 安徽省合肥市第一中学（230601）
导数解答题一直都是高考的热点，也是难点， 更是一个痛点．在导数题中，不少解答都是利用分 类讨论的思想解答的，有时对参数的分类甚至多达 六种以上，甚至出现分类套叠，特别复杂．对学生 来说，即使耗费大量的时间与精力，也经常出现讨 论不完全的情况，比较棘手．因此，我们在遇到这 类问题的时候往往更倾向于利用分离参数来解 决．笔者结合近几年的几道高考题及模考题，谈谈 如何利用分离参数法解决导数问题．
例 2 （辽宁大连 2017 双基测试）已知函数
f (x) = ln x + ax (a ∈ R) ． x +1
（1）若函数 f (x) 在区间 (0，4) 上单调递增，求
a 的取值范围；
（2）若函数 y = f (x) 的图象与直线 y = 2x 相
切，求 a 的值． 解 （1）f ′(x) = 1x + a(x(x++1)1)−2 ax = x2 +x((2x++1a))2x +1 ，
所以 a ≥ −4 ．
40
福建中学数学
2018 年第 7 期
（2）略．
例 3 （2009 年高考浙江卷·理 25）已知函数 f (x) = x3 − (k 2 − k +1)x2 + 5x − 2 ， g(x)= k 2 x2 + kx +1 ，
其中 k ∈ R ．
（1）设函数 p= (x) f (x) + g(x) ．若 p(x) 在区间
1 分离参数法在函数单调性问题中的应用 例 1 （2017 华大新高考联盟质量评测）已知 f (x)= sin x + x3 − mx(x ≥ 0) ．
第八章分离变数法
由边值 C2 0, C1l C2 0,
(3) 0 :
C1 0, C2 0,
X (x) C1 cos x C2 sin x
由边值
C1 0
C2 sin l 0
7
C2 0 无意义
或 sin l 0
n2
l2
2
,
要求 l n (n 1,2,3,)
(8.1.17) (8.1.18) (8.1.19)
解：
u(x,t) X (x)T (t), (0 x l) XT ' 'a2 X ' 'T 0, X '(0)T (t) 0, X '(l)T (t) 0,
20
X '(0) 0, X '(l) 0,
T'' a2T
X'', X
T'' a 2T
k
1/ 22 2
l2
＝ 2k
12 2
4l 2
，(k
0,1,2,
)
28
X
(
x)
C2
sin
(2k
1)x
2l
(k 0,1,2, ) ,
T '
(k
1/ 2)2 2a2
l2
T
0
－(k 1/ 2)2 2a2t
T Ce
l2
29
问题的延拓 u
-2l
-l
ol
2l x
延拓后解 sin nx (n 1,2, ) ,
第二步：边界条件的分离变量： （8.1.4）代入边值条件:
X (0) 0, X (l) 0
因此，只能：
问题：能否对初始条件（8.1.3）也进行分离变量呢？ （8.1.4）代入（8.1.3）得到
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第08讲拓展一：分离变量法解决导数问题(精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：恒成立（存在问题）求解参数a范围①完全分离参数法②部分分离参数法高频考点二：已知零点个数求解参数a范围①完全分离参数法②部分分离参数法第四部分：高考真题感悟第五部分：第08讲拓展一：分离变量法解决导数问题（精练）1、分离变量法在处理含参a 的函数(,)f x a 不等式和方程问题时，有时可以将变量分离出来，如将方程(,)0f x a =，转化为()()g x h a =这样就将把研究含参函数(,)f x a 与x 轴的位置关系的问题转化为不含参的函数()g x 与动直线()y h a =的位置关系问题，这种处理方法就叫分离变量法。
（1）优点：分离变量法可以将含参函数中的参数分离出去，避免直接讨论，从而简化运算； （2）解题过程中可能遇到的问题： ①参数无法分离；②参数分离后的函数()y g x =过于复杂；③讨论位置关系时可能用到()y g x =的函数极限，造成说理困难.2、分类：分离参数法有完全分离参数法（全分参）和部分分离参数法（半分参）两种 注意事项：无论哪种分参方法，分参过程中需注意变量的正负对不等号的影响！3、常见题型1：恒成立/存在问题求解参数a 范围核心知识点：将()a x f ,与0的大小关系转化成()x g 和()a h 的大小关系 ①,()()x D h a g x ∀∈≥恒成立⇔max ()()h a g x ≥ ②,()()x D h a g x ∀∈≤恒成立⇔min ()()h a g x ≤ ③,()()x D h a g x ∃∈≥恒成立⇔min ()()h a g x ≥ ④,()()x D h a g x ∃∈≤恒成立⇔max ()()h a g x ≤4、常见题型2：已知零点个数求解参数a 范围核心知识点：将()0,=a x f 转化成()()x g a h =，应用导数方法绘制()x g 函数的大致图象（注意绘制图象时，可能需要用到极限思想，才能精确确定图象的轮廓）.1．（2021·江苏·高二单元测试）若函数()1ln f x x a x=+-在区间()1,e 上只有一个零点，则常数a 的取值范围为（ ） A ．1a ≤B ．a e >C ．111a e<<+ D ．11a e<<2．（2009·福建·高考真题（文））若曲线2()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是_________ 3．（2015·浙江金华·高二期中（理））1kx ≤-对[1,)x ∈+∞恒成立，则实数k 的取值范围是：___________．4．（2022·全国·高三专题练习）若存在[]0,1x ∈，使得13713x x m +≥+成立，则实数m 的取值范围是___________. 5．（2022·四川省泸县第四中学高二阶段练习（理））若函数()32133f x x x x a =---有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是__________.6．（2021·全国·高三专题练习）已知函数()()ln 1af x x a R x =-∈+.若函数()y f x =在定义域上单调递增，求实数a 的取值范围.高频考点一：恒成立（存在问题）求解参数a 范围①完全分离参数法1．（2022·江西·临川一中高二期末（文））已知不等式ln 0x mx ->只有一个整数解，则m 的取值范围是（ ） A ．10,ln 22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11ln 2,ln 323⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．11ln 2,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．11ln 3,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．（2022·新疆昌吉·高三阶段练习（理））若存在正实数x ，y ，使得等式()()243e ln ln 0x a y x y x +--=成立，其中e 为自然对数的底数，则a 的取值范围为（ ） A ．210,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(),0∞-D ．()21,0,e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭3．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））已知函数()e ln x f x x x x =--，若不等式()f x a ≥恒成立，则a 的最大值为（ ） A ．1B ．e 1-C ．2D ．e4．（2022·山东省东明县第一中学高二阶段练习）已知函数()()1ln 0f x ax x a x=+>.（1）当1a =时，()f x 的极小值为______；（2）若()f x ax ≥，在()0,∞+上恒成立，则实数a 的取值范围为______.5．（2022·上海·华师大二附中高二阶段练习）若32223328e 4e e x x x x x a x a a ++<++对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是__________;6．（2022·江苏·金陵中学高二期末）已知函数f (x )＝ax －2ln x ． (1)讨论f (x )的单调性；(2)设函数g (x )＝x －2，若存在31,e x ⎡⎤∈⎣⎦，使得f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．7．（2022·广西·宾阳中学高二阶段练习（理））已知函数()()e ,R x f x x a a =+∈． (1)若函数()f x 在区间[3,)-+∞上是增函数，求实数a 的取值范围． (2)若2()e f x ≥在[]0,2x ∈时恒成立，求实数a 的取值范围．8．（2022·陕西榆林·三模（理））已知函数()e 1,()ln x f x a g x x =+=． (1)讨论函数()()()e xxf x xh x g x -=+的单调性； (2)若()()1xf x g x <+，求a 的取值范围．9．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知函数()2ln f x ax x =-，R a ∈. (1)讨论()f x 的单调性； (2)若对任意()0,x ∈+∞，不等式()2ex x xf x -+≥恒成立，求实数a 的取值范围.②部分分离参数法1．（2022·广东·铁一中学高二阶段练习）已知函数()4ln 8f x x kx k =--+，若关于x 的不等式()0f x ≤恒成立，则k 的取值范围为（ ） A ．[1,)+∞B ．[e,)+∞C ．[4,)+∞D ．)2,e ⎡+∞⎣2．（2022·全国·高三专题练习）已知不等式()21xkx k e x +<+恰有2个整数解，求实数k 的取值范围（ ）A ．23243k e e≤< B ．23243k e e<≤ C ．324354k e e <≤ D ．324354k e e ≤< 3．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理））设函数()()()3213853f x x x a x a a R =-+---∈，若存在唯一的正整数0x ，使得()00f x <，则实数a 的取值范围是（ ） A ．11,156⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．11,154⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,123⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．11,125⎛⎤ ⎥⎝⎦4．（2022·全国·高三专题练习）函数()()e 13xf x x ax a =-+-，其中1a <，若有且只有一个整数0x ，使得()00f x >，则a 的取值范围是（ ） A ．23,e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．23,e 4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()31e x f x a x x =+-，若存在唯一的正整数0x ，使得()00f x <，则实数a的取值范围是（ ） A ．218,2e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．436427,5e 4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．32278,4e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()2ln ||28f x x x ax a =-+-，其中0a ． （1）当0a =时，求函数()f x 的最值；（2）若存在唯一整数0x ，使得0()0f x ，求实数a 的取值范围．高频考点二：已知零点个数求解参数a 范围①完全分离参数法1．（2022·全国·高二期末）已知函数()2ln ,0,1,0x x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩若函数()()=-g x f x k 有三个零点，则（ ） A ．e 1k -<≤B ．11ek -<<C ．e 0k -<<D ．10ek -<<2．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）已知函数(),12,1x xe x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩，若()f x k -有三个不同的零点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．[)1,-+∞B ．[)1,0-C ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭3.（多选）（2022·重庆·模拟预测）已知函数()e 1xaf x x =--有唯一零点，则实数a 的值可以是（ ） A ．1-B ．12-C ．0D ．14．（2022·河南·南阳市第二完全学校高级中学高二阶段练习（理））若函数()e ln xy x a x x =+-存在零点，则实数a的取值范围是______．5．（2022·福建·启悟中学高二阶段练习）函数3()3f x x x a =--仅有一个零点，则实数a 的取值范围是_________．6．（2022·四川宜宾·二模（文））已知函数()ln f x a x =- (1)若2a =，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； (2)若函数()f x 在(]0,16上有两个零点，求a 的取值范围．7．（2022·内蒙古包头·一模（文））已知函数32()31f x x ax x =-++. (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有三个零点，求a 的取值范围.（注：3232(2)(1)x x x x --=-+）8．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知函数()21e ,0e 2,0x x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩，则方程()0f x =的根为________．若函数()()y f f x a =-有三个零点，则实数a 的取值范围是________．②部分分离参数法1．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()()2e 1,0ln 1,0xx f x x x -⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩，若关于x 的方程()0f x kx -=有两个不同的实数根，则k 的取值范围为（ ） A ．()(),20,1-∞-⋃ B ．()(),10,1-∞-⋃ C ．()(),00,1-∞⋃D ．()(),00,∞-+∞2．（2022·全国·模拟预测（理））已知定义为R 的奇函数()f x 满足：()()ln ,0121,1x x x f x f x x <≤⎧=⎨->⎩，若方程()12f x kx =-在[]1,2-上恰有三个根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,1ln 24⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1e ,122⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．11ln 2,2⎛⎫- ⎪⎝⎭3．（2021·江苏·高二单元测试）已知函数()y f x =是R 上的奇函数，且当0x >时，()223f x x x =--，若关于x 的方程()f x x a =+恰有四个互不相等的实数根，则实数a 的取值范围是___________. 4．（2022·全国·模拟预测）已知函数()24ex x f x =，若存在1x ，2x ，…，()*n x n ∈N ，使得()()()1212222n nf x f x f x x x x ---==⋅⋅⋅=，则n 的最大值为______. 5．（2022·河南·高二阶段练习（文））已知()2,112e ,1x x f x x x ⎧>⎪=-⎨⎪-⎩若方程()2f x mx =+有一个实数根，则实数m 的取值范围是___________.1．（2021·北京·高考真题）已知函数()lg 2f x x kx =--，给出下列四个结论： ①若0k =，()f x 恰 有2个零点； ②存在负数k ，使得()f x 恰有个1零点； ③存在负数k ，使得()f x 恰有个3零点； ④存在正数k ，使得()f x 恰有个3零点． 其中所有正确结论的序号是_______．2．（2020·全国·高考真题（理））已知函数2()e x f x ax x =+-. （1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性；（2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围.3．（2021·全国·高考真题（理））已知0a >且1a ≠，函数()(0)ax x f x x a=>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围．4．（2020·浙江·高考真题）已知12a <≤，函数()e xf x x a =--，其中e =2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数()y f x =在(0)+∞，上有唯一零点；5．（2020·全国·高考真题（文））已知函数()(2)x f x e a x =-+. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式3221e xax x axx +++≥在0,上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],e -∞B ．1,e 2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．(],e 1-∞-D ．(],e 2-∞-2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数1()ln ,()12f x xg x x ==+，直线()y t t R =∈与函数(),()f x g x 的图象分别交于点()()1122,,,A x y B x y ，若对任意t R ∈，不等式2121x x a -≥+成立，则实数a 的取值范围为 A ．ln 21,4+⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．ln 23,4+⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．ln 2,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．(,ln21]-∞-3．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）若函数()2x e ax a g x x-+=在[]2,3内单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)3,e ⎡-+∞⎣B ．)2,e ⎡-+∞⎣C ．()3,e -+∞D ．()2,e -+∞4．（2022·全国·高二）若关于x 的不等式22ln 4ax a x x ->--有且只有两个整数解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]2ln3,2ln 2-- B ．(),2ln 2-∞- C ．(],2ln3-∞-D ．(),2ln3-∞-5．（2022·全国·高二）若关于x 的方程ln 0x ax -=有且只有2个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．1(,]e-∞B ．1(,)e -∞C ．1(0,]eD ．1(0,)e6．（2022·黑龙江双鸭山·高二期末）函数()1ln()f x x k x=+-有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．ln 2k ≠B ．ln2k >C ．ln 2k ≥D ．0ln 2k <<7．（2022·广东肇庆·模拟预测）已知当,()0x ∈+∞时，函数()e x f x k =的图象与函数2()21xg x x =+的图象有且只有两个交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．⎛ ⎝⎭B ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()1,0,0x x f x xe x -⎧->⎪=⎨⎪≤⎩且关于x 的方程()0f x ax -=有三个不等实根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(],e -∞-B ．(),e -∞-C ．(),1-∞-D ．(],1-∞- 二、填空题9．（2022·全国·高三专题练习）方程1ln cos 3x x +=在(0,1)上的实数根的个数为___________.10．（2022·河南·高三阶段练习（理））若不等式()()23e 2x x a x -<-在(),2-∞上仅有一个整数解，则a 的取值范围是______．11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()e (31)x f x x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则实数a 的取值范围是____.12．（2022·全国·高三专题练习）已知()|sin(2)6h x m x π=+-+的最小值为0，则正实数m 的值为__． 三、解答题13．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（文））已知函数()()21e x f x x x -=-+⋅. (1)求()f x 的单调区间；(2)若不等式()22f x x x m ≥-++对任意的[)0,x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围.14．（2022·全国·高三专题练习）若存在x ∈1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，不等式2x ln x ＋x 2－mx ＋3≥0成立，求实数m 的取值范围．15．（2022·宁夏银川·一模（文））已知函数()e 3x f x ax =+-在0x =处的切线为2y =-.(1)求实数a 的值及函数()f x 的单调区间；(2)用[]t 表示不超过实数t 的最大整数，如：[]0.80=，[]1.42-=-，若0x >时，()e 2x t x t -<+，求[]t 的最大值.16．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知()()2x x m f x m R e+=∈. （1）若34m =，求()f x 的极值.（2）若方程()8ln x e f x x ⋅=在[]1,e 上有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围.。