脉冲响应 状态空间方程
《现代控制理论》(刘豹_唐万生)
第1章 控制系统的状态空间表达式1-1试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：图1-30双输入--双输出系统模拟结构图系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n pb1611166131534615141313322211+--=+-==++--===••••••令θ(s)=y ，则y =x 1所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[ x 1•x 2•x 3•x 4•x 5•x 6•]=[ 01000000K b J 200000−K p J 1−K n J 11J K p J 100100000−K 100K 1−K 1p−K 1p ][ x 1x 2x 3x4x 5x 6]+[ 00000K 1K p ]uy =[100000][ x 1x 2x 3x 4x 5x 6]1-2有电路如图1-28所示。
以电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R 2上的电压作为输出量的输出方程。
L1L2U图1-28 电路图解：由图，令i 1=x 1,i 2=x 2,u c =x 3，输出量y =R 2x 2 有电路原理可知：R 1x 1+L 1x 1•+x 3=uL 2x •2+R 2x 2=x 3x 1=x 2+Cx 3•既得 x 1•=−R1L 1x 1−1L 1x 3+1L 1ux •2=−R 2L 2x 2+1L 2x 3 x 3•=−1C x 1+1C x 2y =R 2x 2写成矢量矩阵形式为：[ x 1。
x 2。
x 3。
] =[−R 1L 10−1L 10−R 2L 21L 21C−1C 0][x 1x 2x 3]+[1L 100]u y =[0R 20][x 1x 2x 3] 1-3有机械系统如图1.29所示,M1和M2分别受外力f1和f2的作用.求以M1和M2的运动速度为输出的状态空间表达式.解:以弹簧的伸长度y 1，y 2 质量块M 1， M 2的速率c 1，c 2作为状态变量 即 x 1=y 1，x 2=y 2，x 3=c 1，x 4=c 2根据牛顿定律，对M 1有：M 1dc1dt =f 1-k 1(y 1-y 2)-B 1(c 1-c 2) 对M 2有：M 2dc2dt =f 2+k 1(y 1-y 2)+B 1(c 1-c 2)-k 2y 2-B 2c 2将x 1,x 2,x 3,x 4代入上面两个式子，得 M 1ẋ3=f 1-k 1(x 1-x 2)-B 1(x 3-x 4) M 2ẋ4=f 2+k 1(x 1-x 2)+B 1(x 3-x 4)-k 2x 2-B 2x 4B 1\y 2 c 2 y 1 c 1f 2(t)M 2M 1f 1(t) B 2 K 2K 1整理得 ẋ1=x 3ẋ2=x 4ẋ3=1M 1f 1-k 1M 1x 1+k 1M 1x 2-B 1M 1x 3+B1M 1x 4ẋ4=1M 2f 2+k1M 2x 1-k 1+k 2M 2x 2+B1M 2x 3-B 1+B 2M 2x 4输出状态空间表达式为 y 1=c 1=x 3 y 2=c 2=x 4 1-4两输入u 1，u 2，两输出y 1，y 2的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。
第四讲线性动态方程和脉冲响应矩阵
始条件
Ψ i (t0 ) = ei (i=1，2，…，n)
时方程 x = A(t )x 的解。要证明，Ψ1,Ψ2, ,Ψn
是线性无关的n个解。
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线性系统理论 第四章 线性动态方程和脉冲响应矩阵
4.2 线性动态方程的解
状态转移矩阵具有下列重要性质：
（1）. Φ (t ,t ) = I
（2）. Φ −1 (t ,t0 ) = Ψ (t0 )Ψ −1 (t ) = Φ (t0 ,t ) （3）. Φ (t2 ,t0 ) = Φ (t2 ,t1 ) Φ (t1,t0 )
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线性系统理论 第四章 线性动态方程和脉冲响应矩阵
明 确 起 见 ， 用 Φ(t;t0,x0,0) 表 示 由 初 始 条 件 x(t0)=x0引起的 x=A(t )x 在时刻t的解。Φ的第四个 自变量表示了u≡0这一事实。x=A(t )x及
x(t0)=x0之解为：
x(t) Φ (t;t0 , x0 , 0) =Φ (t, t0 ) x0
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4.1 引言
本章主要研究动态方程的解，并以状 态转移矩阵来表示动态方程的解。然后提 出等价动态方程的概念并证明一个时不变 动态方程均具有矩阵为常值的等价动态方 程，给出动态方程和脉冲响应矩阵之间的 关系,最后对离散时间线性系统进行了运 动分析。
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线性系统理论 第四章 线性动态方程和脉冲响应矩阵
4.2 线性动态方程的解
根据定义，基本矩阵具有如下性质： Ψ = A (t )Ψ Ψ (t 0 ) = H
其中: H为某个非奇异常量矩阵。
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第二章现代控制理论状态空间表达式
即
(2-11)
(3) 列出状态空间描述iL 1 − ( R + R )C 1 2 R1 L( R1 + R2 ) − R1 1 ( R1 + R2 )C uC ( R1 + R2 )C (2-12) + e(t ) R1 R2 iL R2 − L( R + R ) L( R1 + R2 ) 1 2
§2.1 状态空间描述的概念 2.1.2 控制系统的状态空间描述举例
例2-1 R-L-C系统，求其状态空间描述
R
u
L i
C
uC
解 (1) 确定状态变量 选择电容两端电压 uC (t )、电感通过的电流 i (t ) (2) 列写微分方程并化为一阶微分方程组 基尔霍夫（Kirchhoff）电压定律，
(2-13)
令
1 − ( R + R )C 1 2 A= R1 L( R + R ) 1 2
1 ( R + R )C 2 b= 1 R2 L( R + R ) 1 2
−
R1 ( R1 + R2 )C R1 R2 − L( R1 + R2 )
n 维列向量，状态向量
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
n×n方阵，系统矩阵(或状态矩阵)， 反映系统状态的内在联系
§2.1 状态空间描述的概念
状态方程和输出方程
状态方程和输出方程状态方程和输出方程是系统理论中的重要概念，用于描述动态系统的行为。
状态方程描述了系统的状态如何随时间变化，而输出方程则描述了系统的输出如何由状态决定。
在这篇文章中，我们将详细介绍状态方程和输出方程的概念、推导方法和应用。
一、状态方程状态方程又称为状态空间方程或系统方程，用数学表示为：x(t)=A·x(t-1)+B·u(t)其中，x(t)为系统的状态向量，表示系统在其中一时刻的状态；A为状态转移矩阵，描述了系统的状态如何随时间变化；x(t-1)为系统在上一时刻的状态；B为输入矩阵，描述了外部输入信号如何影响系统的状态；u(t)为外部输入信号，表示系统在其中一时刻的输入。
状态方程的物理意义是描述系统的动态行为。
通过状态方程，我们可以了解系统的状态如何由前一时刻的状态和当前的输入决定。
状态方程是描述系统动态行为的基础，可以用于系统的建模、分析和控制。
推导状态方程的方法有两种：物理建模和数学建模。
物理建模是通过系统的物理原理和方程来推导状态方程；数学建模是通过对系统的输入输出进行数学分析，从而推导出状态方程。
物理建模适用于具有物理背景的系统，如机械系统、电路系统等；数学建模适用于所有类型的系统。
二、输出方程输出方程又称为观测方程或测量方程，用数学表示为：y(t)=C·x(t)其中，y(t)为系统的输出向量，表示系统在其中一时刻的输出；C为观测矩阵，描述了系统的输出如何由状态决定；x(t)为系统在其中一时刻的状态。
输出方程的物理意义是描述系统的输出如何由状态决定。
通过输出方程，我们可以了解系统的输出如何与系统的状态相关。
输出方程是描述系统的输出特性的关键，可以帮助我们理解系统的性能和行为。
推导输出方程的方法有直接测量和模型匹配。
直接测量是通过对系统的输出进行实际测量，从而得到输出方程；模型匹配是通过对系统进行数学建模，从而推导出输出方程。
直接测量适用于系统的输出直接可测量的情况；模型匹配适用于系统的输出无法直接测量或想要通过模型进行预测的情况。
脉冲响应函数
脉冲响应函数注意VAR模型过程中的格兰杰检验与变量间的格兰杰检验不是一回事啊！变量间的格兰杰因果是前提是同阶单整Var模型后的格兰杰前提是非同阶单整后差分平稳做VAR模型是非结构化的，且模型形式已被确定为线性形式，需要确定哪些变量间有相互作用及反应变量彼此之间相互影响的最大可能滞后阶数。
因为经济问题中长出现伪回归问题，即经济意义表明几乎没有联系的序列可能出项较大的相关系数。
因此格兰杰检验是做VAR模型必须的。
var的前提是系统稳定(并不一定是各个变量都是稳定的)例如对于3变量的var若有2个水平不平稳有1个水平平稳但是他们3个都是一阶平稳则需要做协整判断用水平的还是用一阶差分的变量进行var若水平的存在协整关系且做单位圆检验系统稳定则可以直接用水平变量做var但是若不存在协整或则系统不稳定则就得用一阶差分变量来做若3个变量都是水平的则直接var就好了用s-plus进行多元VAR-GARCH估计时，是用的MGARCH命令，比如var.bekk=mgarch(It.St.getreturns[,c("interestrate","stockindex")]~ar( 2),~bekk(1,1),armaType="full")。
这时var.bekk的类型是mgarch,即class(var.bekk)="mgarch"。
能不能将模型估计的var部分提取出来，形成一个var对象?这样就可以进行脉冲响应分析了。
请高人指点啊。
建议看一下Nakatani,T.and T.Terasvirta(2009)."Testing for volatilityinteractions in the Constant Conditional Correlation GARCH model."Econometrics Journal 12(1)：147-163.Impulse Response Function for Conditional Volatility in GARCH Models Wen-Ling Lin Journal of Business&Economic Statistics,Vol.15,No.1(Jan.,1997),pp.15-25 VAR模型中方程的特征根的倒数要在单位圆内，否则VAR模型不稳定，不能做脉冲响应脉冲响应分析很多时候是根据既定的条件进行的，比如经济意义。
脉冲响应函数
从上式可以看出，g(t)是系统的脉冲响应函数，它等于系统传递函数的拉氏 反变换。g(t)与G(s)有一一对应的关系。g(t)也是线性控制系统的数学模型。
[例2-16]：设系统的脉冲响应函数是
1t
，g求(tG)(s)。4e 2
[解]：
1t
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8
1(t)的作用下的输出响应h(t).
0,t 0 x(t) 1(t) 1,t 0 X (s) L[x(t)] L[1(t)] 1
s 1 则输出： y(s) G(s), 单位阶跃响应函数：s h(t) L1[Y (s)] L1[1 G(s)]
s
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பைடு நூலகம்
基本要求：
会列写控制系统中常用元件的数学模型以及根据系统的组成列写系统的微分方程； 根据微分方程求传递函数的方法； 熟悉绘制结构图和信号流图的方法； 熟悉由结构图和信号流图求取传递函数的方法 －结构图和信号流图的等效变换 －在结构图和信号流图上，用列方程的方法求传递函数 －梅逊公式
5
小结
脉冲响应函数； 脉冲响应函数与传递函数之间的关系； 单位阶跃响应函数； 脉冲响应函数和单位阶跃响应函数之间的关系。
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6
本章总结
本章讨论了控制系统数学模型问题，数学模型是实际系统 与控制理论联系的桥梁，建立系统的数学模型是对系统进 行分析的第一步。 本章介绍了时域和频域的数学模型：系统的微分方程，传 递函数，结构图，信号流图，脉冲响应函数等。请注意各 种数学模型之间的联系。 本章研究的数学模型是基于线性定常控制系统的，是研究 输入输出之间的关系，不涉及系统内部状态的变化，故称 为输入输出模型。
2-3 脉冲响应及离散系统
1 x (k ) 0.4 0.3
10 / 13 10 / 13 z 0.8 z 0.5 8 / 13 5 / 13 z 0.8 z 0.5
解
(k ) G k Z
1
{[ zI G]1 z}
10 10 k (0.8) (0.5) k 13 13 8 5 k k (0.8) (0.5) 13 13
u(t ) u(τ )δ(t τ ) d τ
t0
t
（53）
将（53）式代入（28）式
y(t ) C e Ce
A(t t0 ) A( பைடு நூலகம் t0 )
x(t0 ) C e
t0 t t0 t
t
A(t τ )
Bu(τ ) d τ D u(τ )δ(t τ ) d τ
2.5 线性系统的脉冲响应矩阵
0 假设系统初始条件为零， x(t0 ) x(0) 0 输入为单位脉冲函数，即 u(t ) ei δ(t τ ) 0 ei 1 其中，τ为加入单位脉冲的时刻。而 0 ei δ (t τ ) 就表示在 t τ时刻，仅在第i 0 个输入端施加一个单位脉冲。系统的 输出为：
k 0 x(1) Gx(0) k 1 x(2) Gx(1) G 2 x(0) k 2 x(3) Gx(2) G 3 x(0)
k k 1 x(k ) Gx(k 1) G k x(0) (k ) x(0)
其中 系统的输出为
(k ) G k
t0
（56）
（57）
令 t (k 1)T ， t0 k0T ，则
x[(k 1)T ] [(k 1)T , k0T ] x(k0T )
现代控制理论--3控制系统的状态方程求解
7
小结：
1.齐次状态方程的解表示了系统在初始条件作用 下的自由运动，又称为零输入解；
2.系统状态的变化实质上是从初始状态开始的状
态转移，而转移规律取决于 eAt ，eA(t-t0) 故称其
为状态转移矩阵.一般用
x
(t) eAt (t t0) eA(tt0)
来表示。 x 0
2 ! 3 !
AA2t1A3t2L 2!
A(I At 1 A2t2 L ) 2!
AeAt eAt A
13
所以当 Φ(t)=eAt时， &(t)A(t) 又因为 Φ(t)=eAt (t=0时) eA0 =I+A0+...=I 所以 Φ(0)=I 故 eAt 是状态转移矩阵Φ(t)
（2）状态转移矩阵Φ(t)是A阵同阶的方阵，其元 素均为时间函数.
sX(s)-x0=AX(s)+BU(s)
即
X(s)=(sI-A)-1[x0+BU(s)]
其中X(s)和U(s)分别为x(t)和u(t)的拉氏变换。
对上式两边取拉氏反变换,并利用卷积分公式,则有
x ( t ) L 1 ( s A ) I 1 x 0 L 1 ( s A ) I 1 B ( s )U
1 0 3x1u
试求：x(0)=0,u(t)=1(t) 时的状态解。
解：1.求 eAt ： 由前例得：
eAt
2et 2et
e2t 2e2t
et e2t et 2e2t
25
2. 求x(t)
x(t)eA tx00 teA (t )B u ()d
t2 e (t )e 2 (t ) e (t ) e 2 (t ) 0
由于状态空间表达式由两部分组成,即 x& Ax Bu y Cx Du
脉冲响应函数cholesky
脉冲响应函数Cholesky1. 概述在信号处理和系统建模中，脉冲响应函数是一个重要的概念。
它描述了系统对突然输入的响应，是系统的重要特征之一。
在实际应用中，我们常常需要利用脉冲响应函数来分析系统的性能和特性。
Cholesky分解则是一种用来求解线性方程组和矩阵求逆的数值方法。
本文将介绍脉冲响应函数与Cholesky分解的关系以及Cholesky分解在脉冲响应函数中的应用。
2. 脉冲响应函数的基本概念脉冲响应函数是描述系统对突然输入的响应的函数。
在信号处理中，我们经常用脉冲响应函数来描述系统对瞬变输入的响应。
在时域中，脉冲响应函数可以用冲激响应来描述，通常用h(t)表示。
在频域中，脉冲响应函数可以用系统的频率响应来表示，通常用H(ω)表示。
3. Cholesky分解的基本原理Cholesky分解是一种将对称正定矩阵分解为下三角阵的方法。
对于一个对称正定矩阵A，可以将其分解为A=LL^T，其中L为下三角矩阵。
Cholesky分解的求解过程很简单，可以通过矩阵的迭代求解来实现。
4. 脉冲响应函数与Cholesky分解的关系在实际系统中，我们经常需要利用脉冲响应函数描述系统的响应。
而系统的响应可以通过系统的传递函数来描述。
对于一个线性时不变系统，其传递函数与脉冲响应函数存在一定的关系。
而计算传递函数的过程中，就需要用到Cholesky分解。
5. Cholesky分解在脉冲响应函数中的应用在实际应用中，我们经常需要根据系统的脉冲响应函数来计算系统的传递函数。
而计算传递函数的过程中，就需要用到Cholesky分解。
Cholesky分解可以帮助我们快速且准确地求解系统的传递函数，从而进一步分析系统的性能和特性。
6. 结论本文介绍了脉冲响应函数与Cholesky分解的关系以及Cholesky分解在脉冲响应函数中的应用。
在实际系统建模和信号处理中，这两个概念是非常重要的。
通过深入理解脉冲响应函数和Cholesky分解的原理及应用，可以帮助我们更好地分析和优化系统性能，为实际工程应用提供帮助。
脉冲响应函数
定义
脉冲响应函数可作为系统特性的时域描述。至此，系统特性在时域可以用h(t)来描述，在频域可以用H(ω) 来描述，在复数域可以用H(sຫໍສະໝຸດ 来描述。三者的关系也是一一对应的。
对于任意的输入 u（t），线性系统的输出 y（t）表示为脉冲响应函数与输入的卷积，即如果系统是物理可 实现的,那么输入开始之前，输出为0，即当 τ<0时 h(τ)=0，这里τ是积分变量。
②相关法：由著名的维纳-霍夫方程得知:如果输入信号u(t)的自相关函数R(t)是一个脉冲函数kδ(t),则脉 冲响应函数在忽略一个常数因子意义下等于输入输出的互相关函数,即 h(t)=(1/k)Ruy(t)。实际使用相关法辨 识系统的脉冲响应时，常用伪随机信号作为输入信号，由相关仪或数字计算机可获得输入输出的互相关函数 Ruy(t),因为伪随机信号的自相关函数 R(t)近似为一个脉冲函数，于是h(t)=(1/k)Ruy(t)。这是比较通用的方 法。也可以输入一个带宽足够宽的近似白噪声信号，得到h(t)的近似表示。
脉冲响应函数
系统特性的时域描述
01 定义
目录
02 判定与辨识
在信号与系统或电路理论等学科中，冲激响应(或叫脉冲响应)一般是指系统在输入为单位冲激函数时的输出 （响应）。对于连续时间系统来说，冲激响应一般用函数h(t)来表示。对于无随机噪声的确定性线性系统，当输 入信号为一脉冲函数 δ（t）时，系统的输出响应 h（t）称为脉冲响应函数。
对于离散系统，脉冲响应函数是一个无穷权序列，系统的输出是输入序列u(t)与权序列h(t)的卷积和。系统 的脉冲响应函数是一类非常重要的非参数模型。
判定与辨识
辨识脉冲响应函数的方法分为直接法、相关法和间接法。
①直接法：将波形较理想的脉冲信号输入系统，按时域的响应方式记录下系统的输出响应，可以是响应曲线 或离散值。
脉冲响应函数简析
3-2 脉冲响应函数对于线性定常系统，其传递函数)(s Φ为)()()(s R s C s =Φ式中)(s R 是输入量的拉氏变换式，)(s C 是输出量的拉氏变换式。
系统输出可以写成)(s Φ与)(s R 的乘积，即)()()(s R s s C Φ= （3-1） 下面讨论，当初始条件等于零时，系统对单位脉冲输入量的响应。
因为单位脉冲函数的拉氏变换等于1，所以系统输出量的拉氏变换恰恰是它的传递函数，即)()(s s C Φ= （3-2） 由方程(3-2)可见，输出量的拉氏反变换就是系统的脉冲响应函数，用)(t k 表示，即1()[()]k t s -=Φ 脉冲响应函数)(t k ，是在初始条件等于零的情况下，线性系统对单位脉冲输入信号的响应。
可见，线性定常系统的传递函数与脉冲响应函数，就系统动态特性来说，二者所包含的信息是相同的。
所以，如果以脉冲函数作为系统的输入量，并测出系统的响应，就可以获得有关系统动态特性的全部信息。
在具体实践中，与系统的时间常数相比，持续时间短得很多的脉动输入信号就可以看成是脉冲信号。
设脉冲输入信号的幅度为11t ，宽度为1t ，现研究一阶系统对这种脉动信号的响应。
如果输入脉动信号的持续时间t )0(1t t <<，与系统的时间常数T 相比足够小，那么系统的响应将近似于单位脉冲响应。
为了确定1t 是否足够小，可以用幅度为12，持续时间(宽度)为21t 的脉动输入信号来进行试验。
如果系统对幅度为11t ，宽度为1t 的脉动输入信号的响应，与系统对幅度为12t ，宽度为21t 的脉动输入信号的响应相比，两者基本上相同，那么1t 就可以认为是足够小了。
图3-3(a)表示一阶系统脉动输入信号的响应曲线；图3-3(c)表示一阶系统对脉冲输入信号的响应曲线。
应当指出，如果脉动输入信号T t 1.01<(图3-3(b)所示)，则系统的响应将非常接近于系统对单位脉冲信号的响应。
脉冲响应及离散系统
t≥ τ
t τ
（47）
2.5.3 传递函数矩阵与脉冲响应矩阵之间的关系 对（47）式求拉普拉斯变换 st At st H (s) L [ H (t )] H (t ) e d t [C e B Dδ(t )]e d t 0 0
C
而
A
0
0
e At est d tB D
将（50）式代入（48），得到 H (s) C[sI A]1 B D G(s) 当D = 0 时
H (s) C[sI A]1 B G(s)
可见，线性定常系统在初始松弛情况下脉冲响应矩阵的拉普拉斯 变换就是系统传递函数矩阵。
2.5.4 利用脉冲响应矩阵计算系统的输出
如果输入向量表示为
系统方程为
x(k 1) G(k ) x(k ) H (k )u(k ) y(k ) C (k ) x(k ) D(k )u(k )
（72）
若系统的解存在且唯一，则解为
x(k ) (k , k0 ) x(k0 ) (k , i 1) H (i)u(i)
i k0
2.5.1 线性时变系统的脉冲响应矩阵
第i 个分量
yi (t ) C (t ) (t, τ )B(τ )ei δ(t τ ) d τ D(t )ei δ(t τ )
C (t ) (t , τ ) B(τ )ei D(t )ei δ(t τ ) ≜ hi (t , τ )
(k ) G k Z
{[ zI G]1 z}
（68）
例2-13 离散系统齐次状态方程为 x(k 1) 0
求状态转移矩阵
8 / 13 5 / 13 1 z 0.8 z 0.5 z 1 [ zI A] 4 / 13 4 / 13 0.4 z 0.3 z 0.8 z 0.5
State-Space-Model-状态空间模型
B
m n×m m r×m
C
D
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
状态空间表达式与传递函数 表示的比较
信号表示的不同
传递函数为频域信号
状态空间模型为时域信号 反映系统的信息不同 传递函数只描述输入输出信息 状态空间模型还描述系统内部 状态信息
Ax b
12 现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
质量—弹簧—阻尼模型
13
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
质量—弹簧—阻尼模型 ０
０
14
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
小车-倒立摆
x1 x2 x2 { 1m 2l 2 g}x3 { 1 ( I ml 2 )}u x3 x4 x4 { 1 ( M m)mgl}x3 { 1ml}u
2 2 U L ( s ) L C2 s U ( s ) ( R C s 1)( LC s R C s 1) R C s 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 U ( s ) R L C s L 1 2 U 2 ( s ) ( R1C1s 1)( LC2 s R2C2 s 1) R1C2 s
d 2 摆绕重心的转动： I 2 Vl sin Hl cos dt
8 现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
d 2x M 2 uH dt d2 m 2 ( x l sin ) H dt d2 m 2 (l cos ) V mg dt d 2 I 2 Vl sin Hl cos dt
x Ax Bu y Cx Du
现代控制理论课后习题答案
绪论为了帮助大家在期末复习中能更全面地掌握书中知识点，并且在以后参加考研考博考试直到工作中，为大家提供一个理论参考依据，我们11级自动化二班的同学们在王整风教授的带领下合力编写了这本《现代控制理论习题集》（刘豹第三版），希望大家好好利用这本辅助工具。
根据老师要求，本次任务分组化，责任到个人。
我们班整体分为五大组，每组负责整理一章习题，每个人的任务由组长具体分配，一个人大概分1~2道题，每个人任务虽然不算多，但也给同学们提出了要求：1.写清题号，抄题，画图（用CAD或word画）。
2.题解详略得当，老师要求的步骤必须写上。
3.遇到一题多解，要尽量写出多种方法。
本习题集贯穿全书，为大家展示了控制理论的基础、性质和控制一个动态系统的四个基本步骤，即建模、系统辨识、信号处理、综合控制输入。
我们紧贴原课本，强调运用统一、联系的方法分析处理每一道题，将各章节的知识点都有机地整合在一起，力争做到了对控制理论概念阐述明确，给每道题的解析赋予了较强的物理概念及工程背景。
在课后题中出现的本章节重难点部分，我们加上了必要的文字和图例说明，让读者感觉每一题都思路清晰，简单明了，由于我们给习题配以多种解法，更有助于发散大家的思维，做到举一反三！这本书是由11级自动化二班《现代控制理论》授课老师王整风教授全程监管，魏琳琳同学负责分组和发布任务书，由五个小组组组长李卓钰、程俊辉、林玉松、王亚楠、张宝峰负责自己章节的初步审核，然后汇总到胡玉皓同学那里，并由他做最后的总审核工作，绪论是段培龙同学和付博同学共同编写的。
本书耗时两周，在同学的共同努力下完成，是二班大家庭里又一份智慧和努力的结晶，望大家能够合理使用，如发现错误请及时通知，欢迎大家的批评指正！2014年6月2日第一章 控制系统的状态空间表达式1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式11K s K K p +sK s K p 1+s J 11sK n 22s J K b -++-+-)(s θ)(s U 图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：)(s U )(s θ---+++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图1K pK K 1pK K 1+++pK n K ⎰⎰⎰11J ⎰2J K b ⎰⎰-1x 2x 3x 4x 5x 6x系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n pb1611166131534615141313322211+--=+-==++--===∙∙∙∙∙∙令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙∙∙∙654321165432111111112654321000001000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp npb1-2有电路如图1-28所示。
现代控制理论第2章2
∫ A(τ )dτ 满足矩阵乘法可交换条件。 1 ⎡ ⎤ ⎡ ⎢ 0 (τ + 1) ⎥ d τ = ⎢ 0 ∫ (τ = ( ) A τ d τ ∫ ∫ ⎢ ⎥ ⎢
A(t)与
t
t
t0
t
t
2
t0
t0
t0
⎣0
⎡ 0 ⎢ = ⎢ ⎣0
注意：
t
⎣0 1 1 ⎤ − + ( t + 1) ( t 0 + 1) ⎥ = ⎥ 0 ⎦ ⎦
2.5 线性定常系统的脉冲响应矩阵
1、脉冲响应矩阵 线性定常系统在零初始条件下其输入输出关系可用系统的 单位脉冲响应矩阵描述。 定义：设系统具有p个输入、q个输出，则脉冲响应矩阵为 q× p 矩阵，即：
⎡ g11 (t − τ ) g12 (t − τ ) ⎢ g (t − τ ) g (t − τ ) 21 22 G (t − τ ) = ⎢ ⎢ M M ⎢ ⎢ ⎣ g q1 (t − τ ) g q 2 (t − τ )
[
]
[
]
对上式求导数，得：
d ∫tt0 A (τ )d τ 1 t t A ( t ) ∫t 0 A (τ )d τ + ∫t 0 A (τ )d τ A ( t ) + L [e ] = A (τ ) + dt 2! 1 t t k −1 + A ( t )[ ∫t 0 A (τ )d τ ] + L + [ ∫t 0 A (τ )d τ ] k −1 A ( t ) + L k!
& (t ) x = a (t ) x (t )
dx(τ ) t dτ = ∫t0 a(τ )dτ ∫ x(τ )
脉冲响应原理
脉冲响应原理脉冲响应原理是信号处理和系统控制中的一个重要概念。
它描述了一个系统对于脉冲输入信号的响应方式。
本文将介绍脉冲响应的概念、脉冲响应函数的计算方法以及应用案例。
脉冲响应是指在时域上以零时刻为中心的脉冲输入信号对系统的激励响应。
在信号处理和系统控制领域，我们经常需要了解一个系统对于不同输入信号的响应情况以便进行分析和设计。
脉冲响应原理提供了一种便捷的方法来描述和计算系统的响应。
脉冲响应函数（Impulse Response Function）是一个系统对于单位脉冲函数输入信号的响应。
单位脉冲函数是一个在零时刻为中心，幅度为1的短时间信号。
当单位脉冲函数作为输入信号传递给系统时，系统的输出即为脉冲响应函数。
计算脉冲响应函数的方法有多种，其中一种常用的方法是利用系统的差分方程。
对于线性时不变系统，其差分方程可以表示为：y[n] = a0 * x[n] + a1 * x[n-1] + ... + an * x[n-N]其中y[n]为输出信号，x[n]为输入信号，a0至an为系统的系数，N为系统的阶数。
利用差分方程可以推导出脉冲响应函数，其形式为：h[n] = a0 * δ[n] + a1 * δ[n-1] + ... + an * δ[n-N]其中h[n]即为所求的脉冲响应函数，δ[n]为单位脉冲函数。
脉冲响应函数在信号处理和系统控制中有广泛的应用。
例如，在音频处理中，我们可以利用脉冲响应函数对音频信号进行均衡和滤波处理。
脉冲响应函数还可以用于系统辨识，通过对系统的输入输出信号进行分析，可以得到该系统的脉冲响应函数，从而了解系统的特性和性能。
此外，脉冲响应函数还可以用于系统的时频分析。
通过对脉冲响应函数进行傅里叶变换，我们可以得到系统的频率响应函数，从而分析系统在不同频率上的响应情况。
这对于设计滤波器、均衡器和系统控制器等至关重要。
总之，脉冲响应原理是信号处理和系统控制中的重要概念，描述了一个系统对于脉冲输入信号的响应方式。
第五节脉冲响应函数
∞
∞
y 表示为： (t ) = x (t ) * g (t ) = g (t ) * x(t )
回忆拉氏变换的卷积定理，有L[y(t)]=L[x(t)*g(t)]，所以： Y(s)=X(s)G(s)
Wednesday, March 16, 2011
4
单位阶跃响应函数
以下讨论线性控制系统在单位脉冲δ (t ) 作用下的输出响 应g(t)，称为脉冲响应函数。
Q L[δ (t )] = 1,∴Y ( s ) = 1× G ( s ),
y (t ) = L−1[Y ( s )] = L−1[G ( s )] = g (t ) 故：
从上式可以看出，g(t)是系统的脉冲响应函数，它等于 系统传递函数的拉氏反变换。g(t)与G(s)有一一对应的关系。 g(t)也是线性控制系统的数学模型。 [例2-16]：设系统的脉冲响应函数是 g (t ) = 4e 1 − t 4 8 2 [解]： ( s ) = L[ g (t )] = L[4e ] = G = 1 2s + 1 s+ 2
∴ h(t ) = ∫ g (t )dt
0
∞
& 或g (t ) = h(t )
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6
小结
脉冲响应函数； 脉冲响应函数与传递函数之间的关系； 单位阶跃函数； 脉冲响应函数和单位阶跃函数之间的关系。
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7
本章小结
0, t < 0 和 t > ∆ δ ∆ (t ) = 1 , , 0<t <∆ ∆
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由微分方程求状态空间表达式【精选】
1
(2.59a)
由式(2.58)得输出方程为
y b0 x1 b1x2 bn1xn bn (a0 x1 a1x2 an1xn u)
(2.49)
a0h0u bnu (n) b1u b0u
将式(2.49)代入式(2.48)得
xn a0 x1 a1x2 an2 xn1 an1xn (bn h0 )u (n) (bn1 h1 an1h0 )u (n1) (bn2 h2 an1h1 an2h0 )u (n2) (b1 hn1 an1hn2 an2hn3 a1h0 )u (b0 an1hn1 an2hn2 a0h0 )u
x 2
x3
h2u
xn1 xn hn1u
xn a0 x1 a1x2 an2 xn1 an1xn hnu
矩阵形式为
(2.53) (2.54)
0 1 0 0 h1
0
0
1
0
h2
x
(2.50)
选择待定系数，，使中输入信号的各阶导数项 的系数均为零，即
bn h0 0
bbnn12
h1 h2
a h n1 0 an1h1
0 an2
h0
0
b1 hn1 a h n1 n2 an2hn3 a1h0 0
在这种情况下，不能选择 y ，y ，… y(n1) 作为
状态变量。
（1）方法一
选取系统的状态变量为
x1 y h0u x2 x1 h1u y h0u h1u x3 x2 h2u y h0u h1u h2u
脉冲响应曲线与时间轴面积公式证明
脉冲响应曲线与时间轴面积公式证明脉冲响应曲线和时间轴面积公式，这俩家伙听起来是不是有点让人摸不着头脑？别慌，让咱慢慢捋捋。
我记得有一次在课堂上，给学生们讲这个知识点的时候，有个小调皮鬼一脸迷茫地看着我，嘴里还嘟囔着：“老师，这都是啥呀，感觉比外星人的语言还难懂。
”我笑着告诉他：“别着急，等咱们一点点剖析，你就会发现它其实没那么可怕。
”先来说说脉冲响应曲线。
想象一下，你往平静的湖水里扔了一块石头，水面上泛起的一圈圈涟漪就是脉冲。
而脉冲响应曲线呢，就是描述系统对这个脉冲输入的反应随时间变化的情况。
比如说，一个电路系统接收到一个瞬间的电流脉冲，它输出的电压变化就可以用脉冲响应曲线来表示。
那时间轴面积公式又是啥呢？这就好比我们要计算这些脉冲响应曲线在时间轴上覆盖的“面积”。
这个“面积”可不是简单地拿尺子去量，而是通过一系列的数学运算得出的。
咱们拿一个简单的例子来说明。
假设我们有一个机械系统，当施加一个瞬间的力时，它的位移随时间的变化符合某个特定的规律，形成了一条脉冲响应曲线。
我们想要知道在一定时间内，这个系统的总能量变化，那就得靠时间轴面积公式来帮忙啦。
在推导这个公式的过程中，可真是费了不少脑细胞。
得运用到微积分的知识，把曲线分割成无数个小的部分，然后一点点去计算累加。
这就像是拼拼图一样，每一块都很小，但组合起来就能呈现出完整的画面。
再回到学习中，有些同学总是抱怨说：“老师，这些公式太难记啦，根本搞不懂。
”其实啊，理解它们背后的物理意义和实际应用，比死记硬背公式要有用得多。
就像刚才说的那个机械系统，如果能在脑子里想象出具体的场景，理解了能量的传递和变化，那公式自然就变得亲切起来。
当我们真正掌握了脉冲响应曲线和时间轴面积公式，就能解决好多实际问题。
比如说在通信领域，分析信号的传输和处理；在控制系统中，优化系统的性能；在经济学里，研究市场的动态变化等等。
总之，脉冲响应曲线和时间轴面积公式虽然看起来复杂，但只要我们有耐心，肯钻研，就一定能把它们拿下！就像面对生活中的其他难题一样，一步一个脚印，总能找到解决的办法。
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脉冲响应状态空间方程
脉冲响应是一种常见的信号分析方法，用于描述系统对于单位脉冲输入的响应。
在控制系统和信号处理领域中，脉冲响应经常和状态空间方程一起使用，用于分析和设计系统。
脉冲响应可以看作是系统的加权和，其中加权系数是系统对于单位脉冲输入的响应。
单位脉冲（或者称为单位冲激）是一种理想化的信号，其幅度为1，持续时间极短（可以看作瞬时的），在时间域上表示为一个非常窄的脉冲。
单位脉冲的数学表示为δ(t)。
在连续时间域中，系统的脉冲响应可以通过线性时不变（LTI）系统的冲激响应来描述。
冲激响应（也称为单位冲激响应）是指系统对于单位冲激信号的响应。
对于连续时间域中的脉冲响应h(t)，系统的响应可以表示为输入信号与冲激响应的卷积运算。
h(t) = x(t) * δ(t)
其中，*表示卷积运算。
类似地，在离散时间域中，系统的脉冲响应可以通过系统的单位脉冲响应来描述。
单位脉冲响应是指系统对于单位脉冲输入的响应。
对于离散时间域中的脉冲响应h[n]，系统的响应可以表示为输入信号与单位脉冲响应的离散卷积运算。
h[n] = x[n] * δ[n]
其中，*表示离散卷积运算。
状态空间方程是一种常用的描述系统动态特性的数学模型。
它是由多个线性微分方程组成的，其中每个方程都描述了系统的一个状态变量的变化率。
状态空间方程通常由状态方程和输出方程组成。
对于线性时不变系统，状态空间方程可以表示为：
x' = Ax + Bu
y = Cx + Du
其中，x是系统的状态向量，表示系统的各个状态变量的值。
x'是状态向量的变化率。
A、B、C和D是系统的系数矩阵，表示系统的结构和特性。
u是系统的输入向量，表示系统的输入信号。
y是系统的输出向量，表示系统的输出信号。
状态空间方程使用线性代数的方法来描述系统，并且具有较好的数学性质。
它可以用于系统分析、控制器设计和系统仿真。
通过状态空间方程，可以计算系统的响应、稳定性、控制输入和输出之间的关系等。
脉冲响应和状态空间方程在信号分析和控制系统设计中经常一起使用。
通过脉冲响应，可以求解系统的频率响应、冲击响应和阶跃响应等。
而状态空间方程可以提供系统的动态特性和控制器设计所需的参数。
两者共同提供了对系统行为的全面认识，有助于分析和设计复杂的系统。
总结来说，脉冲响应和状态空间方程是信号分析和控制系统中常用的数学工具。
脉冲响应用于描述系统对于单位脉冲输入的响应，状态空间方程用于描述系统的动态特性和控制器设计所需的参数。
它们的结合可以提供对系统行为的全面认识，并且在系统分析和设计中起着重要的作用。