山西省忻州市忻州一中2024届下学期高三数学试题3月月考考试试卷

山西省忻州市忻州一中2024届下学期高三数学试题3月月考考试试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知椭圆C 的中心为原点O ，(25,0)F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（ ）A ．221255x y +=B ．2213616x y +=C ．2213010x y += D ．2214525x y += 2．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若111,,tan tan tan A B C依次成等差数列，则（ ） A ．,,a b c 依次成等差数列 B ．,,a b c 依次成等差数列 C ．222,,a b c 依次成等差数列 D ．333,,a b c 依次成等差数列3．已知曲线cos(2)||2C y x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭：的一条对称轴方程为3x π=，曲线C 向左平移(0)θθ>个单位长度，得到曲线E 的一个对称中心的坐标为,04π⎛⎫⎪⎝⎭，则θ的最小值是（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．12π4．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（ ）A ．8B ．83C ．82+D ．842+5．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且443S a =+，则2a =( )A ．2-B ．1-C ．1D ．26．设()f x x =，点()00O ，，()01A ，，()()n A n f n ，，*n N ∈，设n n AOA θ∠=对一切*n N ∈都有不等式22223122222sin sin sin sin 123n nθθθθ+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 222t t <--成立，则正整数t 的最小值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．67．函数2sin 1x xy x +=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．若a R ∈，则“3a =”是“()51x ax +的展开式中3x 项的系数为90”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知等差数列{}n a 的公差为-2，前n 项和为n S ，若2a ，3a ，4a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，则n S 的最大值为（ ） A ．5B ．11C ．20D ．2510．已知平面α和直线a ，b ，则下列命题正确的是（ ） A ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α B ．若a b ⊥，b α⊥，则a ∥α C ．若a ∥b ，b α⊥，则a α⊥D ．若a b ⊥，b ∥α，则a α⊥11．定义在R 上的函数()f x 满足(4)1f =，()f x '为()f x 的导函数，已知()y f x '=的图象如图所示，若两个正数,a b满足(2)1f a b +<，11b a ++则的取值范围是（ ）A ．(11,53)B ．1(,)(5,)3-∞⋃+∞C ．(1,53)D ．(,3)-∞12．已知||3a =，||2b =，若()a ab ⊥-，则向量a b +在向量b 方向的投影为（ ） A ．12B ．72C ．12-D ．72-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习，抛一枚硬币两次，若两次都是正面朝上，就在家学习，否则出去看电影，则该同学在家学习的概率为____________.14．已知函数()()ln ()ln xx eax e x f x x ax--=-，若在定义域内恒有()0f x <，则实数a 的取值范围是__________．15．设函数()21722,04,0k x x f x x x ⎧+⎛⎫-+≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩，()43g x k x ⎛⎫⎪⎝⎭＝-，其中0k >．若存在唯一的整数,x 使得()()f x g x <，则实数k 的取值范围是_____．16．在三棱锥P-ABC 中，5AB =，3BC =，4CA =，三个侧面与底面所成的角均为60︒，三棱锥的内切球的表面积为_________.三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）2019年9月26日，携程网发布《2019国庆假期旅游出行趋势预测报告》，2018年国庆假日期间，西安共接待游客1692.56万人次，今年国庆有望超过2000万人次，成为西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司规定：若公司某位导游接待旅客，旅游年总收人不低于40(单位：万元)，则称该导游为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙家旅游公司各有导游40名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：分组 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50)频数2 b 20 10（1）求a b ，的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高？（2）从甲、乙两家公司旅游总收人在[10,20)(单位：万元)的导游中，随机抽取3人进行业务培训，设来自甲公司的人数为X ，求X 的分布列及数学期望.18．（12分）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin()sin 2A Cb A Bc ++=. （1）求B ；（2）若ABC 的面积为3，周长为8，求b .19．（12分）武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城.其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等.（1）为了解“五·一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人，制成了如图的频率分布直方图：现从年龄在[]42,52内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记4人中年龄在[]47,52内的人数为ξ，求()3P ξ=；（2）为了给游客提供更舒适的旅游体验，该旅游景点游船中心计划在2020年劳动节当日投入至少1艘至多3艘A 型游船供游客乘坐观光.由2010到2019这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量X （单位：万人）都大于1.将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得表： 劳动节当日客流量X 13X <<35X ≤≤5X >频数（年）244以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量相互独立.该游船中心希望投入的A 型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日A 型游船最多使用量（单位：艘）要受当日客流量X （单位：万人）的影响，其关联关系如下表： 劳动节当日客流量X13X << 35X ≤≤ 5X >A 型游船最多使用量1 2 3若某艘A 型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润3万元；若某艘A 型游船劳动节当日被投入却不被使用，则游船中心当日亏损0.5万元.记Y （单位：万元）表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，Y 的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2020年劳动节当日应投入多少艘A 型游船才能使其当日获得的总利润最大？20．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()224ρθπ+=. （1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值以及此时P 的直角坐标. 21．（12分）选修4-5：不等式选讲 设函数． （1） 证明:；（2）若不等式的解集非空，求的取值范围．22．（10分）已知数列{}n a ，{}n b 满足1111113,1,22,1n n n n n n n n a b a a b b a a b b ++++==-=--=-+. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）分别求数列{}n a ，{}n b 的前n 项和n S ，n T .参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B 【解题分析】由题意可得c=25F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知， ∠PFF′=∠FPO ，∠OF′P=∠OPF′，所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′， 由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知， ∠FPO+∠OPF′=90°，即PF ⊥PF′．在Rt △PFF′中，由勾股定理，得|PF′|=()2222PF 4548FF -=-='，由椭圆定义，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，从而a=6，得a 2=36， 于是 b 2=a 2﹣c 2=36﹣=16，所以椭圆的方程为2213616x y +=．故选B ．点睛：椭圆的定义：到两定点距离之和为常数的点的轨迹，当和大于两定点间的距离时，轨迹是椭圆，当和等于两定点间的距离时，轨迹是线段（两定点间的连线段），当和小于两定点间的距离时，轨迹不存在． 2、C 【解题分析】由等差数列的性质、同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式可得2sin 2cos sin sin B B A C =，由正弦定理可得22cos a B b =，再由余弦定理可得2222a c b +=，从而可得结果.【题目详解】111,,tan tan tan A B C依次成等差数列，()sin +112cos sin sin cos sin 2cos ,==tan tan tan sin sin sin sin sin sin sin A C A C A C B BA CB AC A C A C B+∴+==， 2sin 2cos sin sin BB A C=正弦定理得22cos a B b =， 由余弦定理得2222a c b b +-= ，2222a c b +=，即222,,a b c 依次成等差数列，故选C. 【题目点拨】本题主要考查等差数列的定义、正弦定理、余弦定理，属于难题. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 3、C 【解题分析】cos(2)y x ϕ=+在对称轴处取得最值有2cos()13πϕ+=±，结合||2ϕπ<，可得3πϕ=，易得曲线E 的解析式为cos 223y x πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，结合其对称中心为04π⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭可得()26k k Z ππθ=-∈即可得到θ的最小值.【题目详解】 ∵直线3x π=是曲线C 的一条对称轴.2()3k k πϕπ∴⨯+=∈Z ，又||2ϕπ<. 3πϕ∴=.∴平移后曲线E 为cos 223y x πθ⎛⎫=++⎪⎝⎭. 曲线E 的一个对称中心为04π⎛⎫⋅⎪⎝⎭. 22()432k k Z πππθπ∴⨯++=+∈.()26k k Z ππθ=-∈，注意到0θ> 故θ的最小值为3π. 故选：C. 【题目点拨】本题考查余弦型函数性质的应用，涉及到函数的平移、函数的对称性，考查学生数形结合、数学运算的能力，是一道中档题. 4、D 【解题分析】根据三视图还原几何体为四棱锥，即可求出几何体的表面积． 【题目详解】由三视图知几何体是四棱锥，如图，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，四棱锥的底面是正方形,边长为2,棱锥的高为2， 所以1122222222284222S =⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+ 故选：D 【题目点拨】本题主要考查了由三视图还原几何体，棱锥表面积的计算，考查了学生的运算能力，属于中档题. 5、C 【解题分析】利用等差数列的性质化简已知条件，求得2a 的值. 【题目详解】由于等差数列{}n a 满足443S a =+，所以123443a a a a a +++=+，1233a a a ，2233,1a a ==.故选：C 【题目点拨】本小题主要考查等差数列的性质，属于基础题. 6、A 【解题分析】先求得222sin 111n 1n n n n n θ==-++，再求得左边的范围，只需2221t t --≥，利用单调性解得t 的范围. 【题目详解】由题意知sin 2n n n θ=+，∴222sin 111n 1n n n n n θ==-++， ∴22223122222sin sin sin sin 111111111112322334n 1n 1n n n θθθθ+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-+-+-+⋯+-=-++，随n 的增大而增大，∴11112n 1≤-<+, ∴2221t t --≥，即2210t t --≥，又f(t)=221t t --在t 1≥上单增，f(2)= -1<0，f(3)=2>0， ∴正整数t 的最小值为3.【题目点拨】本题考查了数列的通项及求和问题，考查了数列的单调性及不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题. 7、B 【解题分析】图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况。