第一章测试题答案

离散数学第一章测验
一、下列那些是命题?是命题的指出其真值。

1.√5是无理数。

2.3是素数或4是素数。

3.2x+3<5。

4.你去图书馆吗?
5.刘红与魏新是同学。

6.吸烟请到吸烟室去!
7.2015年元旦下大雪。

8.只有6是偶数，3才能是2的倍数。

9.8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。

10.圆的面积等于半径的平方乘以π。

二、将下列命题符号化。

1.只要你学习了，你考试就能及格。

P : 你学习Q : 你考试及格
2.只有天下雨了，我才不去上街。

P : 天下雨Q : 我不去上街
3.实函数f(x)可微当且仅当f(x)连续。

P : 实函数f(x)可微Q : f(x)连续
4.除非你努力，否则你就会失败。

P : 你努力Q : 你失败
5.若不是他生病或出差了，我是不会同意他不参加学习的。

P : 他生病Q : 他出差R : 我同意他不参加学习
三、下列那些是重言式，哪些是矛盾是，哪些是偶然式，哪些是可满足式。

1.P∨(¬P∧Q)
2.¬(P∨Q)↔(¬P∧¬Q)
3.¬P∨Q→Q
4.(P∧¬(Q→P))∧(Q∧R)
5.(P∧Q↔P)↔(P↔Q)
6.(P∧(P→Q))→Q
7.¬(P→Q)∧Q
8.P∧(Q∨¬R)
四、不用真值表证明下列等价式并写出对偶式。

1.(P∧Q)∨¬(¬P∨Q)⇔P
2.(P→Q)∧(Q→P)⇔(P∧Q)∨(¬P∧¬Q)
3.P→(Q→R)⇔Q→(P→R)
五、不用真值表证明下列蕴含式。

1.P→Q⇒P→(P∧Q)
2.((P∨¬P)→Q)→((P∨¬P)→R)⇒Q→R
3.(Q→(P∧¬P))→(R→(P∧¬P))⇒R→Q
六、求下列式子的主析取范式和主合取范式。

1.(P∨Q)∧R
2.P→(P∨Q∨R)
3.¬(Q→¬P)∧¬P
七、某单位要从张、王、马三名同志中选派一部分人外出培训，但是由于部门工作需要，必
须满足以下条件：
(1) 若张去，马也去。

(2) 若王去，马不去。

(3) 张、王两同志有且只有一人去。

P : 张去Q : 王去R : 马去
运用主范式，分析该单位如何选派他们出国。

八、用CP规则证明下面推理。

(P∨Q)→(R∧S),(S∨T)→U⇒¬P∨U
九、符号化下列句子，并用反证法(归谬法)证明。

前提: (1)如果A因病缺席了很多课，那么他中学考试不及格。

(2)如果A中学考试不及格，则他没有知识。

(3)如果A读了很多书，则他有知识。

结论: 所以，A没有缺很多课或没有读很多书。

答案
一、
1.是命题，真命题。

2.是命题，真命题。

3.不是命题。

4.不是命题。

5.是命题，如果刘红与魏新真是同学，为真命题，否则为假。

6.不是命题。

7.是命题，真值暂时未知。

8.是命题，真命题。

9.是命题，假命题。

10.是命题，真命题。

二、将下列命题符号化。

1.P→Q
2. Q→P
3.P↔Q
4.¬P→Q 或 ¬Q→P
5. P ∨Q ↔R
三、
重言式 ： 2 6
矛盾式 : 4 7
可满足式 : 1 2 3 5 6 8
偶然式 : 1 3 5 8
四、不用真值表证明下列等价式并写出对偶式。

1.
()()
()⇔∧∨∧⌝⇔∧∨⌝⇔P Q P Q P Q Q P
对偶式()()∨∧⌝⌝∧⇔P Q P Q P
2.
()()
(())(())
()()()()0()()0
()()
⇔⌝∨∧∨⌝⇔⌝∨∧∨⌝∨∧⌝⇔⌝∧∨∧∨⌝∧⌝∨∧⌝⇔∨∧∨⌝∧⌝∨⇔∧∨⌝∧⌝P Q P Q P Q P P Q Q P P P Q P Q Q Q P Q P Q P Q P Q
对偶式 ()()()(⌝∧∨⌝∧⇔∨∧⌝∨⌝
P Q Q P P Q P Q 3.
()
()()
⇔⌝∨⌝∨⇔⌝∨⌝∨⇔→→P Q R Q P R Q P R
对偶式⌝∧⌝∧⇔⌝∧⌝∧P Q R Q P R
五、不用真值表证明下列蕴含式。

1. 否定后件法。

2. 否定后件法。

3. 否定后件法。

六、求下列式子的主析取范式和主合取范式。

1. 35701246∨∨⇔∧∧∧∧m m m M M M M M
2. 012345671∨∨∨∨∨∨∨⇔m m m m m m m m
3. 01230⇔∧∧∧M M M M
七、 (1) (2) (3)()()→→⌝∧⌝∨⌝∧P R Q R P Q P Q
()()(()())
(()()()())(()())
(()())(()())(()())(()())(()())(()())
()()
⇔⌝∨∧⌝∨⌝∧∧⌝∨⌝∧⇔⌝∧⌝∨⌝∧⌝∨∧⌝∨∧⌝∧∧⌝∨⌝∧⇔⌝∧⌝∧∧⌝∨⌝∧⌝∧∧⌝∨∧⌝∧∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝∧∨⌝∧⌝∧⌝∧∨∧⌝∧⌝∧⇔∧⌝∧∨⌝∧∧⌝P R Q R P Q P Q P Q P R R Q R R P Q P Q P Q P Q P R P Q R Q P Q P Q P Q P R P Q R Q P Q P Q R P Q R 所以要么张和马去，或者王去。

建议用真值表求解。

八、 证明：
(1) (2) (1)
(3) ()() (4) (2)(3)
(5) (4)(6)∨∨→∧∧附加前提
前提引入
P P Q P Q R S R S S (5)
(7) () (8) (6)(7)
∨∨→前提引入
S T S T U U
九、 P : A 因病缺了许多课 Q : 他中学考试及格 R : 他有知识
S : 他读了许多书 可符号化为,,→⌝⌝→⌝→⇒⌝∨⌝P Q Q R S R P S
(1) () (2) (1)
(3) (2)
(4) (2)
(5) (6) (2)(4)(7) ⌝⌝∨⌝∧→⌝⌝假设前提
前提
P S P S P S P Q Q (8) (4)(7)
(9) (10) (8)(9)
(11) (6)(10)
→⌝→⌝∧⌝前提
前提
S R R Q R Q Q Q。