第六章习题

第六章习题

已知波源在质点()0=x 的平面简谐波方程为：()cx bt A y -=cos ，c b A ,,均为常数，试求：⑴ 振幅、频率、波速和波长。

⑵ 写出在传播方向上距波源l 处一点的振动方程式，此质点振动的初相位如何。

解：⑴ 振幅：A , 周期：b T π2=

频率：π

ν21b T == 波长：c πλ2=，波速为：c

b

T u ==λ

⑵ l x =处质点的振动方程式为：()cl bt A y -=cos 该质点振动的初相位为：cl - 一横波的方程为：()x t A y -=νλ

π

2cos

，若m 01.0=A ，m 2.0=λ，s m 25=u 。试

求：s 1.0=t 时，m 2=x 处的一点的位移、速度和加速度。

解：m 01.0=A ，m 2.0=λ，s m 25=u ， 频率为：Hz 1252

.025

==

=λ

νu 横波的方程为：()x t y -=12510cos 01.0π

位移：()m 01.0cos 01.025.1210cos 01.02

1.0-==-===ππx t y

速度：()0sin 5.1225.1210sin 5.122

1.0=-=--===ππππx t v

加速度：

()25222

1.0s m 101.5412505.1225.1210cos 12505.12⨯=⨯=-⨯-===πππx t a

平面简谐波的方程为：cm 10022cos 8⎪⎭

⎫

⎝⎛-

=x t y π，波源位于原点，求： ⑴ s 1.2=t 时波源及距波源m 1.0处的相位。 ⑵ 离波源m 80.0及m 30.0两处的相位差。 解：⑴ s 1.2=t 时波源的相位：()ππϕ

4.801.0220

1.2=-⨯===x t

距波源m 1.0处的相位：()ππϕ2.81.01.0221

.01.2=-⨯===x t

⑵ 离波源m 80.0及m 30.0两处的相位差： πππϕ

ϕ

ϕ-=⎪⎭

⎫ ⎝⎛

--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=∆==100302210080223

.08

.0t t x x

因此，离波源m 80.0及m 30.0两处的相位差为π。 有一频率为Hz 500的平面简谐波，在空气(

)

33

m kg 10

3.1-⨯=ρ中以速度s m 340=v 的

速度传播，到达人耳时，振幅为cm 104

-=A ，试求耳中声音的平均能量密度及声强。

解：频率Hz 500=ν，角频率：ππνϖ10002== 平均能量密度为： ()()

()

392

26322m J 104.6100010103.12

1

21----•⨯=⨯⨯⨯⨯==πϖρA w

声强：

()()

()

2

62

2

6322m W 1018.2340100010103.12

1

21----•⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==

=πϖρv A v w I 同一介质中的两个波源位于B A ,两点，其振幅相等，频率都是Hz 100，B 比A 的相位超前

π。若B A ,两点相距30m ，波在介质中的传播速度为m 400，试求B A ,连线上因干涉而

静止的各点位置。

解：以A 点为坐标原点，AB 连线为x 坐标轴。波长：m 4100

400

==

=

ν

λu

设A 点的振动方程为：t A y A ϖcos =，B 点的振动方程为：()πϖ+=t A y B cos 在A,B 连线上的一点x 处，A 波源的方程为： ⎪⎭

⎫

⎝

⎛-

=λπϖx t A y AP 2cos B 波源的方程为： ()⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡--+=λππϖx t A y BP 302cos 干涉时的相位差为：()

λ

πλ

ππϕx

x 2302+

--

=∆

干涉加强的条件为：7,2,1,0,1422Λ±±=+=⇒=∆k k x k πϕ 干涉减弱的条件：()7,2,1,0,

15212±±±=+=⇒+=∆Λk k x k πϕ

通过计算可以得到：⑴ 在A,B 两点之间因为干涉而静止的点为：

29,27,5,3,1Λ=x ，也就是在30~1之间所有的奇数，因此也可以写为：

14,3,2,1,012Λ=+=k k x

⑵ 在A,B 两点之间因为干涉而加强的点为：

28,6,4,2Λ=x ，也就是在30~1之间所有的偶数。

B A ,两点为同一介质中的两相干波源。其振幅皆为cm 5=A ，频率皆为Hz 100，但当A 点为波峰时，B 点恰为波谷。设在介质中的波速为m 10，试写出由B A ,两点发出的两列波传到P 点时干涉的结果。

解：由题可知，m 15=AP ，m 20=Ab ，所以：m 25=BP

Hz 100=ν，s m 10=u

波长：m 1.0100

10

==

=

ν

λu

A 点为波峰时，

B 点为波谷，则A,B 两相位差为π。

A,B 两相干波源传到P 点时的相位差为：

()

()πππλ

πϕϕϕ2011

.0251522=--

=--

-=∆BP AP A B

相位差为π的奇数倍，所以干涉之后的结果是减弱的。 合振幅为：0=A

（也可以用波程差是半波长的奇数倍或者偶数倍去讨论）

A

B

P