【高考数学专题突破】《专题三第讲数列求和及综合应用学案》(解析版)

第2讲 数列求和及综合应用

数列求和问题(综合型)

[典型例题]

命题角度一 公式法求和 等差、等比数列的前n 项和 (1)等差数列：S n

＝na 1＋

n （n －1）2

d (d 为公差)或S n ＝n （a 1＋a n ）

2

.

(2)等比数列：S n ＝⎩⎪⎨⎪

⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q

＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1其中(q 为公比)．

4类特殊数列的前n 项和 (1)1＋2＋3＋…＋n ＝1

2n (n ＋1)．

(2)1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2

.

(3)12＋22＋32＋…＋n 2

＝16n (n ＋1)(2n ＋1)．

(4)13＋23＋33＋…＋n 3＝14

n 2(n ＋1)2

.

已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n 2a n ＋3

，n ∈N *

.

(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1a n 为等差数列；

(2)设T 2n ＝

1

a 1a 2－

1

a 2a 3＋

1

a 3a 4－

1

a 4a 5

＋…＋

1

a 2n －1a 2n －

1

a 2n a 2n ＋1

，求T 2n .

【解】 (1)证明：由a n ＋1＝3a n 2a n ＋3，得1a n ＋1＝2a n ＋33a n ＝1a n ＋2

3

， 所以

1

a n ＋1－1a n ＝23. 又a 1＝1，则1a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1a n 是首项为1，公差为2

3的等差数列．

(2)设b n ＝

1

a 2n －1a 2n －

1

a 2n a 2n ＋1

＝⎝

⎛⎭⎪

⎫1a 2n －1－1a 2n ＋11a 2n

，

由(1)得，数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1a n 是公差为2

3的等差数列，

所以

1

a 2n －1

－

1

a 2n ＋1＝－43，即

b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2n －1－1a 2n ＋11a 2n ＝－43×1a 2n ，

所以b n ＋1－b n ＝－43⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2n ＋2－1a 2n ＝－43×43＝－16

9. 又b 1＝－43×1a 2＝－43×⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋23＝－20

9

，

所以数列{b n }是首项为－209，公差为－16

9的等差数列，

所以T 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝－

209n ＋n （n －1）2×⎝ ⎛⎭

⎪⎫－169＝－49(2n 2

＋3n )．

求解此类题需过“三关”：第一关，定义关，即会利用等差数列或等比数列的定义，判断所给的数列是等差数列还是等比数列；第二关，应用关，即会应用等差(比)数列的前n 项和公式来求解，需掌握等差数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝

n （a 1＋a n ）

2

或S n ＝na 1＋

n （n －1）

2d ；等比数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q

，q ≠1；第三关，运算关，认真运算，此类题将迎刃而解．

命题角度二 分组转化法求和

将一个数列分成若干个简单数列(如等差数列、等比数列、常数列等)，然后分别求和．也可先根据通项公式的特征，将其分解为可以直接求和的一些数列的和，再分组求和，即把一个通项拆成几个通项求和的形式，方便求和．

已知等差数列{a n }的首项为a ，公差为d ，n ∈N *

，且不等式ax 2

－3x ＋2<0的解集为(1，

d )．

(1)求数列{a n }的通项公式a n ；

(2)若b n ＝3a

n ＋a n －1，n ∈N *

，求数列{b n }的前n 项和T n . 【解】 (1)易知a ≠0，由题设可知⎩⎪⎨⎪⎧1＋d ＝3a

，1·d ＝2

a ，

解得⎩

⎪⎨⎪⎧a ＝1，

d ＝2.

故数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1. (2)由(1)知b n ＝3

2n －1

＋2n －1－1，

则T n ＝(3＋1)＋(33

＋3)＋…＋(32n －1

＋2n －1)－n

＝(31

＋33

＋…＋3

2n －1

)＋(1＋3＋…＋2n －1)－n

＝31（1－9n

）1－9＋（1＋2n －1）n 2－n

＝38

(9n －1)＋n 2

－n .

(1)在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和．在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数n 进行讨论．最后再验证是否可以合并为一个表达式．

(2)分组求和的策略：①根据等差、等比数列分组．②根据正号、负号分组．

命题角度三 裂项相消法求和

把数列的通项公式拆成两项之差的形式，求和时正负项相消，只剩下首尾若干项，达到化简求和的目的．

常见的裂项式有：1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，1n （n ＋1）（n ＋2）＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n （n ＋1）－1（n ＋1）（n ＋2），

1n ＋1＋n

＝n ＋1－n 等．

(2018·唐山模拟)已知数列{a n }满足：1a 1＋2a 2＋…＋n a n ＝38

(32n －1)，n ∈N *

.

(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝log 3a n n

，求

1

b 1b 2＋

1

b 2b 3

＋…＋

1

b n b n ＋1

.

【解】 (1)1a 1＝38

(32

－1)＝3，