足球射门数学模型ppt课件
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图1
9
1. 问题1的讨论
由平面几何知识知:沿边线 D总D可以找到一点使得
∠APB 最大。 大家知道， 球员水平一定的情况下，角
∠APB越大，在P点射门的命中率就越大，因此我们称使
得∠APB最大的点P为足球场射门的最佳点。那么在足球
场内，哪些点属于足 球射门的最佳点呢？ 为研究方便，我们把 足球场地划分为三条
15
又因为 APB， 所 以当
2 射门点，此时
x 时E，A取 E最B大值, P 是最佳
x ( y 3.66)( y 3.66（) 1(）3.66 y 45)
于是，对于区域 DAD内A每 一个确定y ，都存在相应的 ，
使得点P(x,yx)是 最(佳y 射3门.66点)(，y 故 3方.6程6)（1）是区域
17
区域 DAD内A射门最佳轨迹方程 x2 y2 3.662 (3.66 y 34.5, x 0)
内射门最佳轨迹方程，整理为
DADA
即为等轴双曲x2线的y2一部3分.6。62 (3.66 y 45, x 0)
16
( 2）若x保持不变，显然，P(x,y)越靠近ox 轴，APB
越大，射门命中率越高。
综上所述，在区域 DAD内A与 边线平行位置射门,在曲
线
x2 y2 3.662
上较好，在与底线平行位置射门，越居中越好。这就打破 了人们传统上离球门越近越好的错误想法。比如，M点与 N点比较，较远的点N处射门较好，K点与H点比较，K点 射门较好。
某一球员在球门前某点向球门内某目标点射门时，该 球员的素质和球员到目标点的距离决定了球到达目标点的
4
概率，即命中球门的概率。事实上，当上述两个因素确定 时，球飞向球门所在平面上的落点呈现一个固定的概率分 布。我们稍作分析，容易判定，该分布应当是一个二维正 态分布，这是我们解决问题的关键所在。
球员从球场上某点射门时，首先必须在球门所在平面 上确定一个目标，射门后球以该概率分布落在球门所在的 平面内。将球门视为所在平面的一个区域，在区域内对该 分布进行积分，即可得到这次射门命中的概率。然而，球 员在球场上选择射门的目标点是任意的，而命中球门的概 率对目标点的选择有很强的依赖性。这样，我们遍历球门 区域内的所有点，对命中概率做积分，将其定义为球场上
13
EB EA
x x
AB
EB EA
EB EA
1 x2
x x
14
即
tan APB
x
AB EB EA
x
由于y不变， x与 EB积 E为A常数。也就是 x
x EB EA 2 EA EB x
当且仅当 x EB， E即A x
x 时 取E等A号 E。B所以
tan APB AB 2 EB EA
2
1. 足球场上哪些位置射门命中率高？哪些位置射门 命中率相同？
2. 针对球员在不Biblioteka Baidu位置射门的威胁程度进行研究， 并绘制出球门的危险区域；
3. 在有一名守门员 的情况下，对于球员射门 威胁程度和威胁区域作进 一步研究.
3
二、问题分析
根据这个问题,要确定球门的危险区域, 也就是要确定 球员射门最容易进球的区域。球员无论从哪个地方射门， 都有进与不进两种可能，这本身就是一个随机事件，无非 是那些地方进球的可能性大一些，哪些地方进球的可能性 小一些。我们把进球可能性大的区域称为危险区域。同样 球员无论从哪个地方射门，都有一个确定的射门角度，不 同的射门地点，其射门角度不尽相同，射门的角度与球场 上的最大射门角度之比称为命中率。
3．射门时无对手进行有效的防守。 4．不考虑球员之间的个体差异及球员的心理、技术等 因素。 5．足球场地是国际上的标准场地。
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四、模型建立与求解
根据我们调查，国际标准足球场地的规格为：长104米、 宽69米，足球门宽7.32米，中圈半径9.15米 。
球门区：在比赛场地两端距球门柱内侧5.50米处的球 门线上，向场内各画一条长5.50米与球门线垂直的线，一 端与球门线相接，另一端画一条连接线与球门线平行，这 三条线与球门线范围内的地区叫球门区。
(1) 若y保持不变，则动点P只能在线段 EE’上移动。连 接PA，PB。
12
1)在区域 DAD内A射 门最佳点的轨迹方程在区域 DADA 内任取一点 P( x, y).
(1) 若y保持不变，则动点P只能在线段 EE’上移动。连 接PA，PB。
Q APB EPB EPA
tanAPB tan(EPB EPA) tanEPB tanEPB 1 tanEPB tanEPB
罚球区： 在比赛场地两端距球门柱内侧16.50米处的 球门线上，向场内各画一条长16.50米与球门线垂直的线, 一端与球门线相接,另一端画一条连接线与球门线平行,这 三条线与球门线范围内的地区叫罚球区，在两球门线中点
8
垂直向场内量11米处各做一个清晰的标记，叫罚球点。 以罚球点为圆心，以9.15米为半径,在罚球区外画一段弧 线,叫罚球弧。这里仅需讨论一个球门的情形。如示图1
带型区域：ABAB,
BCBC, DADA.
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并以AB所在的直线为oy轴，以垂直于AB平分线为ox轴,
建立平面直角坐标系如图 2，因此可求得 A(0, 3.66),
B(0, 3.66), C(0, 34.5), D(0, 34.5)
图2
11
1)在区域 DAD内A射 门最佳点的轨迹方程在区域 DADA 内任取一点 P( x, y).
数学建模
1
第五讲 足球射门的数学模型
一、问题的提出
足球运动已成为一种世界性的运动，也是我们大家喜 欢欣赏的一种体育活动。在比赛的过程中，运动员在对 方球门前不同的位置起脚射门对球门的威胁是不相同的。 在球门的正前方的威胁要大于在球门两侧的射门；近距 离射门对球门的威胁要远大于远距离的射门。在实际中， 球员之间的基本素质可能有所差异，但对于职业球员来 讲一般可以认为这种差异不大。请你结合球场和 足球比赛的实际情况建模分析，并回答以下几个问题：
5
某点对球门的威胁程度，根据威胁程度的大小来确定球门 的危险区域。
6
三、模型假设
为解决上述问题，我们对足球运动进行必要、合理、 适当的假设：
1．足球相对于足球场所占的空间可以忽略不计，即将 足球看成一个质点。
2．不考虑球员射门后空气、地面对球速的影响，根据 统计资料，射门时球的速度为v0=10米/秒。
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1. 问题1的讨论
由平面几何知识知:沿边线 D总D可以找到一点使得
∠APB 最大。 大家知道， 球员水平一定的情况下，角
∠APB越大，在P点射门的命中率就越大，因此我们称使
得∠APB最大的点P为足球场射门的最佳点。那么在足球
场内，哪些点属于足 球射门的最佳点呢？ 为研究方便，我们把 足球场地划分为三条
15
又因为 APB， 所 以当
2 射门点，此时
x 时E，A取 E最B大值, P 是最佳
x ( y 3.66)( y 3.66（) 1(）3.66 y 45)
于是，对于区域 DAD内A每 一个确定y ，都存在相应的 ，
使得点P(x,yx)是 最(佳y 射3门.66点)(，y 故 3方.6程6)（1）是区域
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区域 DAD内A射门最佳轨迹方程 x2 y2 3.662 (3.66 y 34.5, x 0)
内射门最佳轨迹方程，整理为
DADA
即为等轴双曲x2线的y2一部3分.6。62 (3.66 y 45, x 0)
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( 2）若x保持不变，显然，P(x,y)越靠近ox 轴，APB
越大，射门命中率越高。
综上所述，在区域 DAD内A与 边线平行位置射门,在曲
线
x2 y2 3.662
上较好，在与底线平行位置射门，越居中越好。这就打破 了人们传统上离球门越近越好的错误想法。比如，M点与 N点比较，较远的点N处射门较好，K点与H点比较，K点 射门较好。
某一球员在球门前某点向球门内某目标点射门时，该 球员的素质和球员到目标点的距离决定了球到达目标点的
4
概率，即命中球门的概率。事实上，当上述两个因素确定 时，球飞向球门所在平面上的落点呈现一个固定的概率分 布。我们稍作分析，容易判定，该分布应当是一个二维正 态分布，这是我们解决问题的关键所在。
球员从球场上某点射门时，首先必须在球门所在平面 上确定一个目标，射门后球以该概率分布落在球门所在的 平面内。将球门视为所在平面的一个区域，在区域内对该 分布进行积分，即可得到这次射门命中的概率。然而，球 员在球场上选择射门的目标点是任意的，而命中球门的概 率对目标点的选择有很强的依赖性。这样，我们遍历球门 区域内的所有点，对命中概率做积分，将其定义为球场上
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EB EA
x x
AB
EB EA
EB EA
1 x2
x x
14
即
tan APB
x
AB EB EA
x
由于y不变， x与 EB积 E为A常数。也就是 x
x EB EA 2 EA EB x
当且仅当 x EB， E即A x
x 时 取E等A号 E。B所以
tan APB AB 2 EB EA
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1. 足球场上哪些位置射门命中率高？哪些位置射门 命中率相同？
2. 针对球员在不Biblioteka Baidu位置射门的威胁程度进行研究， 并绘制出球门的危险区域；
3. 在有一名守门员 的情况下，对于球员射门 威胁程度和威胁区域作进 一步研究.
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二、问题分析
根据这个问题,要确定球门的危险区域, 也就是要确定 球员射门最容易进球的区域。球员无论从哪个地方射门， 都有进与不进两种可能，这本身就是一个随机事件，无非 是那些地方进球的可能性大一些，哪些地方进球的可能性 小一些。我们把进球可能性大的区域称为危险区域。同样 球员无论从哪个地方射门，都有一个确定的射门角度，不 同的射门地点，其射门角度不尽相同，射门的角度与球场 上的最大射门角度之比称为命中率。
3．射门时无对手进行有效的防守。 4．不考虑球员之间的个体差异及球员的心理、技术等 因素。 5．足球场地是国际上的标准场地。
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四、模型建立与求解
根据我们调查，国际标准足球场地的规格为：长104米、 宽69米，足球门宽7.32米，中圈半径9.15米 。
球门区：在比赛场地两端距球门柱内侧5.50米处的球 门线上，向场内各画一条长5.50米与球门线垂直的线，一 端与球门线相接，另一端画一条连接线与球门线平行，这 三条线与球门线范围内的地区叫球门区。
(1) 若y保持不变，则动点P只能在线段 EE’上移动。连 接PA，PB。
12
1)在区域 DAD内A射 门最佳点的轨迹方程在区域 DADA 内任取一点 P( x, y).
(1) 若y保持不变，则动点P只能在线段 EE’上移动。连 接PA，PB。
Q APB EPB EPA
tanAPB tan(EPB EPA) tanEPB tanEPB 1 tanEPB tanEPB
罚球区： 在比赛场地两端距球门柱内侧16.50米处的 球门线上，向场内各画一条长16.50米与球门线垂直的线, 一端与球门线相接,另一端画一条连接线与球门线平行,这 三条线与球门线范围内的地区叫罚球区，在两球门线中点
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垂直向场内量11米处各做一个清晰的标记，叫罚球点。 以罚球点为圆心，以9.15米为半径,在罚球区外画一段弧 线,叫罚球弧。这里仅需讨论一个球门的情形。如示图1
带型区域：ABAB,
BCBC, DADA.
10
并以AB所在的直线为oy轴，以垂直于AB平分线为ox轴,
建立平面直角坐标系如图 2，因此可求得 A(0, 3.66),
B(0, 3.66), C(0, 34.5), D(0, 34.5)
图2
11
1)在区域 DAD内A射 门最佳点的轨迹方程在区域 DADA 内任取一点 P( x, y).
数学建模
1
第五讲 足球射门的数学模型
一、问题的提出
足球运动已成为一种世界性的运动，也是我们大家喜 欢欣赏的一种体育活动。在比赛的过程中，运动员在对 方球门前不同的位置起脚射门对球门的威胁是不相同的。 在球门的正前方的威胁要大于在球门两侧的射门；近距 离射门对球门的威胁要远大于远距离的射门。在实际中， 球员之间的基本素质可能有所差异，但对于职业球员来 讲一般可以认为这种差异不大。请你结合球场和 足球比赛的实际情况建模分析，并回答以下几个问题：
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某点对球门的威胁程度，根据威胁程度的大小来确定球门 的危险区域。
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三、模型假设
为解决上述问题，我们对足球运动进行必要、合理、 适当的假设：
1．足球相对于足球场所占的空间可以忽略不计，即将 足球看成一个质点。
2．不考虑球员射门后空气、地面对球速的影响，根据 统计资料，射门时球的速度为v0=10米/秒。