【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题(教师版)

圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题

【高考要求】

1．熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。 2．掌握解析几何中有关离心率及其范围等问题的求解策略；

3．灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想学）解决问题。

【热点透析】

与圆锥曲线离心率及其范围有关的问题的讨论常用以下方法解决：

（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；

（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的离心率（a,b,c ）适合的不等式（组），通过解不等式组得出离心率的变化范围；

（3）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化范围。

（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；

（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于：

① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；

② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式∆≥0。 2.解题时所使用的数学思想方法。

（1）数形结合的思想方法。一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。

（2）转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化，实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。

（3）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。

（4）分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。

【题型分析】

1. 已知双曲线22

122:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2C 的顶点在原点，

准线与双曲线1C 的左准线重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的

离心率为（ ）

A

B

C

D ．解：由已知可得抛物线的准线为直线2

a x c =-

，∴ 方程为2

2

4a y x c

=；

由双曲线可知2(,)b P c a ，∴ 2224()b a c a c =⨯，

∴ 222222b b a a =⇒=，∴ 2

12e -=，3e =． 2．椭圆22

221x y a b

+=（0a b >>）的两个焦点分别为F 、2F ，以1F 、2F 为边作正三角形，若椭圆

恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率e 为 （ B ）

A ．

312+ B ．31- C ．4(23)- D ．32

4

+ 解析：设点P 为椭圆上且平分正三角形一边的点，如图，

由平面几何知识可得2112||:||:||32PF PF F F =，

所以由椭圆的定义及c

e

a

=

得： 1212||2312||||31

F F c e a PF PF =

===-++，故选B ． 变式提醒：如果将椭圆改为双曲线，其它条件不变，不难得出离心率31e =+．

3. （09

浙江理）过双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲

线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若

1

2

AB BC =

，则双曲线的离心率是 ( ) A 2 B 3 C 5 D 10【解析】对于()

,0A a ，则直线方程为

x y a +-=，直线与两渐近线的交点为B ，C ，

22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪++--⎝⎭

，222222

22(,),,a b a b ab ab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=- ⎪--++⎝⎭， 因此222,4,5AB

BC a b e =∴=∴= C

4. （09

江西理）过椭圆22

221x y a b

+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦

点，若12

60

F PF ∠=，则椭圆的离心率为（ ） A ．

B ．

C ．

1

2

D ．

1

3

【解析】因为2

(,)b P c a

-±，再由1260

F PF ∠=有232,b a a =从而可得c e a == B 5.（08

陕西理）双曲线22

221x y a b

-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角

为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ B ）

A

B C

D 6.（08浙江理）若双曲线122

22=-b

y a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为

3：2,则双曲线的离心率是

（D ）

（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5

7.（08全国一理）在ABC △中，AB BC =，7

cos 18

B =-

．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．

38

8.（10辽宁文）设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线

垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）

（A （B （C （D 解析：选D.不妨设双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为：22

221(0,0)x y a b a b -=>>，

则一个焦点为(,0),(0,)F c B b 一条渐近线斜率为：b a ，直线FB 的斜率为：b c -，()1b b

a c

∴⋅-=-，

2b ac ∴= 220c a ac --=，解得c e a =

=

9.（10全国卷1理）已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF ＝2FD ，则C 的离心率为________．