【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题(教师版)

合集下载

圆锥曲线重点 3：圆锥曲线的离心率问题 - 解析

微专题3：圆锥曲线的离心率问题离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数,a c 之间的联系。

对离心率的考查集中代表了就是对圆锥曲线基本性质的考查，因此它在高考小题中出现的频率很高，需要重点掌握。

主要题型有两类：求离心率；求离心率范围题型一求离心率知识梳理：1、离心率公式：ce a=（其中c 为圆锥曲线的半焦距）变式有：椭圆e ＝c a = 2c 2a = |F 1F 2||PF 1+PF 2| = sinF 1PF 2sinPF 2F 1+sinPF 1F 2 或者e ＝c a ＝ √1−b 2a 2∈(0，1)双曲线e ＝c a = 2c 2a = |F 1F 2||PF 1−PF 2| = sinF 1PF 2sinPF 2F 1− sinPF 1F 2或者e ＝c a ＝1＋b 2a2∈(1，＋∞) 2、圆锥曲线中,,a b c 的几何性质及联系3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可）方法一：利用几何性质求离心率【例1-1】设M 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，若∠MF 1F 2=75°，∠MF 2F 1=15°，求椭圆的离心率【解析】在△MF 1F 2中，由正弦定理得12122112||||2sin sin sin MF MF cF MF MF F MF F ==∠∠∠，即12||||2sin 90sin15sin 75MF MF c ==︒︒︒∴2|1||2|2sin 90sin15sin 75sin15sin 75c MF MF a +==︒︒+︒︒+︒，∴1sin15sin 75c e a ===︒+︒【例1-2】设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=，则椭圆的离心率为（）A ．33 B ．36C ．13D ．16思路：本题存在焦点三角形12PF F ，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴，从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=，则直角三角形12PF F 中，1212::2:1:3PF PF F F =，且12122,2a PF PF c F F =+=，所以12122323F F c c e a a PF PF ∴====+ 规律方法：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距，从而可求解【变式1】设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为 A.34 B.35 C.49D.3 思路：条件与焦半径相关，所以联想到122PF PF a -=，进而与,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+找到联系，计算出,a b 的比例，从而求得e 解：122PF PF a -=()()221212124PF PF PFPF PF PF ∴+--=⋅即22229499940b a ab b ab a -=⇒--=29940b b a a ⎛⎫∴-⋅-= ⎪⎝⎭ 解得：13b a =-（舍）或43b a =::3:4:5a b c ∴= 53c e a ∴== 【变式2】椭圆()222102312x y b b +=<<与渐近线为20x y ±=的双曲线有相同的焦点12,F F ,P 为它们的一个公共点,且1290F PF ∠=,则椭圆的离心率为________思路：本题的突破口在于椭圆与双曲线共用一对焦点，设122F F c =，在双曲线中，''''1::2:1:52b a bc a =⇒=，不妨设P 在第一象限，则由椭圆定义可得：1243PF PF +=，由双曲线定义可得：'12425PF PF a c -==，因为1290F PF ∠=，222124PF PF c ∴+=而()()2222121212=2PF PF PF PF PF PF ++-+代入可得：2216488105c c c +=⇒= 306c e a ∴==方法二：利用坐标运算【例2】如图所示，已知双曲线()222210x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于,A B 两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（） A.324 B. 233 C. 305 D. 52思路：本题没有焦半径的条件，考虑利用点的坐标求解，则将所涉及的点坐标尽力用,,a b c 表示，再寻找一个等量关系解出,,a b c 的关系。

江苏省无锡市2020年高考数学圆锥曲线的离心率求法

2020年高考数学圆锥曲线篇圆锥曲线离心率的求法经典回顾1、已知点为椭圆上任意一点，、分别为椭圆的左、右焦点，为△的内心，若成立，则λ的值为【解析】试题分析：设△的内切圆的半径为r ，为△的内心，，所以∴=+|,|21||21||212121F F PF r PF r λ |,|||||2121F F PF PF λ=+因为为椭圆上任意一点，、分别为椭圆的左、右焦点，由椭圆的定义得a PF PF 2||||21=+，得2222,22ba ab a a -=∴-⨯=λλ.考点：三角形面积的计算及三角形内心的性质. 离心率求值焦点三角形中2、在ABC △中，90A ∠=o，3tan 4B =．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．[解析]=+====BC AC ABe k BC k AC k AB ,5,3,4123、已知21,F F 为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若3:2:1::211221=∠∠∠PF F F PF F PF ,则此椭圆的离心率为 _________.[解析] 13- [三角形三边的比是2:3:1]4、在ABC △中，3,2||,300===∠∆ABC S AB A ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率 [解析] 3sin ||||21=⋅=∆A AC AB S ABC ， 32||=∴AC ，2cos ||||2||||||22=⋅-+=A AC AB AC AB BCP 22221(0)x y a b a b+=>>1F 2F I 12PF F 1212PIF PIF F IF S S S λ∆∆∆+=22a b-12PF F I 12PF F 1212PIF PIF F IF S S S λ∆∆∆+=P 22221(0)x y a b a b+=>>1F 2F2132322||||||-=+=+=BC AC AB e 【名师指引】（1）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定（2）只要列出c b a 、、的齐次关系式，就能求出离心率（或范围）（3）“焦点三角形”应给予足够关注5、已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且321π=∠PF F ，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率2e ，则=+222131e e ．【答案】4 【解析】试题分析：不妨设椭圆的标准方程为：2222111x y a b += ，双曲线的标准方程为：2222221x y a b -=公共焦点()()12,0,,0F c F c - ，则有：2222221122,a b c c a b =+=+在12PF F ∆中，因为321π=∠PF F ，由余弦定理得：222121212122cos PF PF PF PF F PF F F +-⋅∠=所以，222121212PF PF PF PF F F +-⋅= 所以，22121212()3PF PF F F PF PF +-=⋅22121212()PF PF F F PF PF --=-⋅即：2222112212443,44a c PF PF a c PF PF -=-=-所以，()2222221212223131a a a c a c c c ⎛⎫-=--⇒-=-- ⎪⎝⎭2222121211131314e e e e ⎛⎫⇒-=--⇒+= ⎪⎝⎭ 所以，答案应填：4.考点：1、椭圆的定义、标准方程与简单几何性质；2、双曲线的定义、标准方程与简单几何性质.6、设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足021=⋅PF PF ，则2212221)(e e e e +的值为 2 [解析] .用好定义设a PF PF 2||||21=+，m PF PF 2||||21=-，m a PF +=∴||1，m a PF -=||2，2224)()(c m a m a =-++21122221222=+∴=+∴e e c m a 位置关系 7、如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线1AB 与BF 交于D,且ο901=∠BDB ,则椭圆的离心率为[解析] B .=⇒=-⇒-=-⋅e ac c a c b a b 221)(215- 8、在平面直角坐标系中，椭圆2222x y a b+=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2,0a c ⎛⎫⎪⎝⎭作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ．[解析]=⇒=e a c a 22229、椭圆的左焦点为，若关于直线的对称点是椭圆上的点，则椭圆的离心率为（） A ．B ．C ．D ．【答案】D ．【解析】试题分析：设关于直线的对称点的坐标为，则，所以，，将其代入椭圆方程可得，化简可得，解得，故应选．考点：1、椭圆的定义；2、椭圆的简单几何性质；2222:1(0)x y C a b a b+=>>F F 30x y +=A C C 1231-331-(,0)F c -30x y +=A(m,n)(3)13022nm c m c n ⎧⋅-=-⎪⎪+⎨-⎪⋅+=⎪⎩2c m =3c n =22223441c ca b +=42840e e -+=31e =-D10、已知F 2，F 1是双曲线的上，下两个焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（） A ．2 B ． C ．3 D ．【答案】A 【解析】试题分析：设点F 2关于渐近线的对称点为，由已知得，解得，又以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆的方程为，把点M 的坐标代入上式得，又，所以，解得。

专题06 圆锥曲线离心率及范围问题(解析版)

专题6 圆锥曲线离心率及范围问题离心率在圆锥曲线问题中有着重要应用，它的变化会直接导致曲线类型和形状的变化，同时它又是圆锥曲线统一定义中的三要素之一．有关求解圆锥曲线离心率的试题在历年高考试卷中均有出现．关于圆锥曲线离心率（范围）问题处理的主体思想是：建立关于一个,,a b c的方程（或不等式），然后再解方程或不等式，要注意的是建立的方程或不等式应该是齐次式．一般建立方程有两种办法：○1利用圆锥曲线的定义解决；○2利用题中的几何关系来解决问题。

另外，不能忽略了圆锥曲线离心率的自身限制条件(椭圆、双曲线离心率的取值范围不一致)，否则很容易产生增根或者扩大所求离心率的取值范围．一、圆锥曲线的离心率方法1：利用定义法求离心率知识储备：椭圆和双曲线的第一定义。

方法技巧：一般情况题中出现圆锥曲线上的点与焦点联系在一起时，尽量转化为定义去考虑，会更简单！例1.（2015年浙江15题）椭圆22221x ya b+=（0a b>>）的右焦点(),0F c关于直线by xc=的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是．法一：（当时网上的主流解法）大家上网看到的基本上就是这种解法，此方法入手很容易，但是后期的运算量会很大，并且此题高次方程的因式分解要求很高（对大部分学生来说高次方程分解本来就是一个盲区）。

【解析】设左焦点为1F ，由F 关于直线by x c=的对称点Q 在椭圆上，得到OM QF ⊥且M 为QF 中点，又O 为F 1F 的中点，所以OM 为中位线，且1F Q QF ⊥。

由点到线的距离公式计算得到:,bc MF a=再由tan b FOM c ∠=得到：2c OM a =. 所以2,bcQF a=212c QF a =, 据椭圆定义：12QF QF a +=得到：2222bc c a a a+=，化简得： b c =，即22e =．通过比较我们发现法二（定义法）计算过程更加简洁，不易出错。

我在给学生讲题的时候学生经常会问我，哪个时候用定义法，其实大家只要看到有曲线上的点和焦点有联系时，就可以往定义法多思考一些。

2020版高考数学大二轮专题突破文科通用版课件：7.2 热点小专题三圆锥曲线的离心率

A+Be+Ce2=0; (3)求解:解一元二次方程,求得e的值; (4)验算取舍:根据离心率的取值范围e∈(0,1)或e∈(1,+∞)进行取
舍,最终的e值即为所求.
-17-
热点一
热点二
对点训练 5(2019 天津北辰区模拟考试)已知双曲线 C:��22 − ��渐��双的��22=近曲渐1线(线近a>垂的线0直渐垂,b>且近直0)在线且的方在y焦轴程y距轴上为为上的y2=的截c±,直��截距�� x,线距为直为-线l��与2��-;l��以��双��2与,故双曲双直曲线曲线线线ClC的C的的一的方右一条程焦条斜为点斜率y为=率为��圆��为负x-心��负��值 ��2 ,,即值的半关闭焦ax-距by为-c半2=径0.双的曲圆线Ω的与右直焦线点为l 交(c于,0)M,其,N到两l 的点距,若离|MdN=|=|��2��2��3-+��5��2��c|2,=则c-双a,曲半线径
233��+�� -11.又(2a-|F'M|)2+|F'M|2=4c2,故 0<e≤ 3-1.故答案为 3-1.
关闭
解-析9-
答案
热点一
热点二
双曲线的离心率(多维探究)
1.求双曲线的离心率
方法一直接法求离心率
例 3(2019 湖北武汉 5 月模拟)已知双曲线 C:��22 − ��22=1(a>0,b>0)
()
A. 2,1
B. 0, 2
由椭已圆C知C.可上122得,存1 ,在当点点 PPD(在x.0,椭y00,)12圆2(x0的≥0上)使(下得)∠顶P点F处1F时2=,6∠0°P,则F1F920最°>大(∠,要满足

【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线常用解法、常规题型与性质

圆锥曲线八种解题方法、七种常规题型和性质（有相应例题详解）总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法（点参数、K 参数、角参数）7、代入法中的顺序8、充分利用曲线系方程法七种常规题型（1）中点弦问题（2）焦点三角形问题（3）直线与圆锥曲线位置关系问题（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题（5）求曲线的方程问题1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。

2．曲线的形状未知-----求轨迹方程（6）存在两点关于直线对称问题（7）两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法（1）椭圆有两种定义。

第一定义中，r 1+r 2=2a 。

第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。

（2）双曲线有两种定义。

第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。

（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。

设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k b y a x 。

圆锥曲线中求离心率的值与范围的问题(共28张PPT)

分析：在椭圆内的所有焦点三角形，当顶点 P 与短轴重合时，此时面积最大 Smax b
解析：注意，凡是经过原点的直线与椭圆或双曲线相交于两点时，这两点的位置是对
的，本题目中 ABF2 和 AF1F2 是全等的，因此 SABF2 SAF1F2 故当点 A 位于短轴的交点处时，面积最大 Smax bc
这两个区域内直线斜率的取值范围。
求离心率范围问题
②过焦点的直线与双曲线交点个数问题
例
12：已知双曲线 x2 a2

y2 b2
1的右焦点为
F，若过点
F
且倾斜角为 60
的直线与双曲线
的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围为_________.
解析：过双曲线的右焦点可能与右支的交点个数为 1 个或 2 个，取决于这条直线和右渐

2a PF2 PF2
注意 PF2 为焦半径，因此 a c PF2 a c
所以不等关系就能找出来了，解不等式可得 2 1 e 1
离心率范围问题
（2）焦点三角形顶角的取值范围：当 P 点处于 B 位置时，顶角最大，例：
例
10：设
P
是椭圆
x2 a2

y2 b2
1上一点，且 F1PF2
求离心率范围问题
和求离心率的值相似，求解离心率的取值范围问题依旧是需要建立一个不等关系，且不等关系中含有 a,b, c 或数字的形式，至于如何建立不等关系，可总结为四
种思考方向：
1.从圆锥曲线本身所具有的不等关系入手，以椭圆为例：
（1）焦半径的取值范围为 a c PF1 a c .
求离心率范围问题
例
7：椭圆
x2 a2

【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线之轨迹方程的求法

圆锥曲线之轨迹方程的求法（一）【复习目标】□1. 了解曲线与方程的对应关系，掌握求曲线方程的一般步骤；□2. 会用直接法、定义法、相关点法（坐标代换法）求方程。

【基础练习】1．到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是( )A ．y x =B ．||y x =C ．22y x =D ．220x y +=2．已知点(,)P x y 4，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．两条射线D ．以上都不对3．设定点1(0,3)F -、2(0,3)F ，动点P 满足条件129(0)PF PF a a a+=+>，则点P 的轨迹( ) A ．椭圆 B ．线段 C. 不存在 D ．椭圆或线段4．动点P 与定点(1,0)A -、(1,0)B 的连线的斜率之积为1-，则P 点的轨迹方程为______________.【例题精选】一、直接法求曲线方程根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。

即把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程了。

例1．已知ABC ∆中，2,AB BC m AC==，试求A 点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.练习：已知两点M （-1，0）、N （1，0），且点P 使MP MN ，PM PN ，NM NP 成公差小于零的等差数列。

点P 的轨迹是什么曲线？二定义法若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程。

例1．⊙C ：22(16x y +=内部一点0)A 与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于BQ R A P o yx P ，求点P 的轨迹方程.例2．设动点(,)(0)P x y x ≥到定点1(,0)2F 的距离比它到y 轴的距离大12。

记点P 的轨迹为曲线C 求点P 的轨迹方程；练习．若动圆与圆1)2(:221=++y x C 相外切，且与直线1=x 相切，则动圆圆心轨迹方程是 .三代入法有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的。

(完整版)圆锥曲线离心率范围四种题型

圆锥曲线离心率范围四种题型椭圆的离心率的范围是高考的要点，其主假如列出 a, b,c 的不等式，从而求出离心率的范围。

此中列不等式是这类题目的要点，下边我们说以下不等式的几种方法。

一、依据圆锥曲线中所隐含的不等关系列式例 1：已知椭圆x 2y 2 1( ab 0) 的左右焦点分别是F 1 ( ,0), F 2 ( ,0)a 2b 2c c ，若椭圆上存在点 P （异于长轴的端点），使得 csin PF 1 F 2 a sin PF 2 F 1 ，则该椭圆的离心率的范围是 _________.c sin PF 2 F 1 PF 1 sin PF 2 F 1解：由已知得 esin PF 1F 2 ，由正弦定理得sinPF 1F 2aPF 2 PF 12a PF 2PF 22a 2因此 ePF 2，从而 a。

PF 2c又由于 a cPF 2 a c 且 0 e 1 ，解得离心率范围是 ( 21,1) 。

变式训练 1：设椭圆x 2y 2 1(ab 0) 的两焦点为 F 1 , F 2 ，若在其右准线上存在一a 2b 2点 P ，使得线段 PF 1 的中垂线过点 F 2 ，求椭圆离心率的范围。

变式训练 2：双曲线x 2y 2 1(a 0, b 0) 的两个焦点为 F 1 , F 2 ，若 P 为其上一点， a 2b 2且 PF 1 2 PF 2 ，则双曲线离心率的取值范围。

变式训练 3：双曲线x 2y 2 1(a 0, b 0) 的两个焦点为 F 1, F 2 ，若 P 为右支上一点，a 2b 2且PF 1 4 PF 2 ，则双曲线离心率的取值范围。

二、相关存在性问题求离心率例 2：设 P 是椭圆 x2y 2 1( a b 0) 上的一点， F 1, F 2 是椭圆的左右焦点，已知a 2b 2F 1 PF 2 60o ，求椭圆离心率的范围。

剖析：要想使得存在椭圆上的一点P ，知足F 1 PF 2 60o ，也就是要求当点 P 在椭圆上运动时， ( F 1PF 2 ) min 60o ,( F 1PF 2 )max 60o 即可。

2020届高三数学备考冲刺140分问题33求圆锥曲线离心率或离心率范围(含解析)

问题33求圆锥曲线离心率或离心率范围一、考情分析离心率的范围问题是高考的热点问题，各种题型均有涉及，因联系的知识点较多，且处理的思路和方法比较灵活，关键在于如何找到不等关系式，从而得到关于离心率的不等式，进而求其范围.很多同学掌握起来比较困难，本文就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳二、经验分享离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b, c的关系式（等式或不等式），并且最后要把其中的b用a, c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法.2.要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于a, c的齐次式，进而求解.（2）要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征 1 PF|+ 1 P日>2 C的运用三、知识拓展2 21.在求椭圆务+与=1（a Ab >0 ）离心率范围时常用的不等关系：x兰a，y^b , a — c^FP^a + c,a bb兰OP兰a （P为椭圆上一点）2.在双曲线务岭=1a 0,b 0中，e=2=,1b,a2 b2 a Y 匕丿四、题型分析（一）借助平面几何图形中的不等关系根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，然后将这些量结合曲线的几何性质用a，b，c进行表示，进而得到不等式，从而确定离心率的范围.【例1】已知两定点A -1,0和B 1,0，动点P x，y在直线l： ^x 3上移动，椭圆C以代B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A. 5B C.2、5D2后5555【答案】A【解析】A -1,0关于直线丨：y =x 3的对称点为A -3,2 ,连接AB交直线I于点P,则椭圆C的长轴长的最小值为AB =2 5,所以椭圆C的离心率的最大值为° = I -5 ,故选A.1 1 a 岳5【点评】求解本题的关键是利用对称性求距离的最小值2 2【小试牛刀】已知椭圆G :冷•占“（a ■ b ■ 0）与圆C2：x2 y^b2,若在椭圆G上存在点P,使得由点a bP所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆G的离心率的取值范围是（）AI B -今弓C •日）D详‘1）【答案】C【解析】椭圆上长轴端点向圆外两条切线PA,PB,则两切线形成的角.APB最小，若椭圆C i上存在点P令切线互相垂直，则只需.APB _ 900,即? - ■ APO _ 450,炸前450诗,解得U e_2,即°_手,而°：：：e ",彳池"即e曰）（二）借助题目中给出的不等信息根据试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，厶的范围等，进一步得到离心率的不等关系式，从而求解.2 2【例2】已知椭圆^2 ^7 =1（a b 0）上一点A关于原点O的对称点为B, F为其右焦点，若AF _ BF ,a b设"BF—且一药厂则椭圆离心率的取值范围是——【答案】【解析】左焦点为 F i .连结AF i ,BF i 可得四边形AF i BF 是矩形，所以AO =0F =0B = c .所以AB = 2c 又AF _ BF ,所以.AF = 2csin , BF = 2ccos 、f .又因为 AF^ BF , AF 1 AF = 2a .所以【点评】本题的关键是利用椭圆的定义建立等量关系式2csin t ' 2ccos ： = 2a ,然后借助已知条件五，4，利用三角函数的图象求解离心率的范围【百校联盟 2018届TOP202018届高三三月联考】•已知平行四边形ABCD 内接于椭圆【答案】A D.B 关于原点对称，设 D X 0,y ° , B -x °,-y ° , A X, y , - k AD2csin ：亠2ccos ：=2a ・即 a sin 匚：:cos ：、、2 sin( )4r n jr "I.因为，一，所以_12 4今―云吩亍门.所以子、;甞故填.63y —y 。

2020高考圆锥曲线离心率专题总结

圆锥曲线的几何性质1.求解曲线的离心率：求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求c a 的值；在双曲线中由于221()b e a=+，，求离心率的范围问题关键是确立一个关于a ，b ，c 的不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到关于a ，c 的不等式，由这个不等式确定a ，c 的关系． 2.求解特定字母取值范围问题的常用方法：（1）构造不等式法：根据题设条件以及曲线的几何性质(如：曲线的范围、对称性、位置关系等)，建立关于特定字母的不等式(或不等式组)，然后解不等式(或不等式组)，求得特定字母的取值范围．（2）构造函数法：根据题设条件，用其他的变量或参数表示欲求范围的特定字母，即建立关于特定字母的目标函数，然后研究该函数的值域或最值情况，从而得到特定字母的取值范围．（3）数形结合法：研究特定字母所对应的几何意义，然后根据相关曲线的定义、几何性质，利用数形结合的方法求解.3.圆锥曲线中的最值问题：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．考点一圆锥曲线的离心率问题例1．（2020·福建厦门高三期末）已知双曲线()2222:100x y a b a bΓ--=>>，的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于A B ，两点，延长BF 交右支于点，若AF FB ⊥，3CF FB =，则双曲线Γ的离心率是（） AB ．32 C ．53 D例2．（2020·安徽安庆高三期末）已知1,F 2F 分别是双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，直线l 过1F ，且l 与一条渐近线平行，若2F 到l 的距离大于a ，则双曲线C 的离心率的取值范围为（）A．)+∞ B． C．⎫+∞⎪⎪⎝⎭ D．⎛ ⎝⎭C（2020·福建漳州质检）已知1F 、2F 为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，过右焦点2F 的直线l ，交的左、右两支于A 、B 两点，若B 为线段2AF 的中点且1BF l ⊥，则双曲线的离心率为（） A ．4 B ．5 C ．6D ．7（2020·河南许昌质检）已知斜率为13的直线l 经过双曲线22221y x a b-=的上焦点F ，且与双曲线的上、下两支都相交，则双曲线的离心率e 的取值范围是（） A．1e <<B．1e <<C．e > D．e > 考点二与圆锥曲线有关的最值问题例3．（2020·黑龙江哈尔滨三中高三期末）一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是[]221,1,10y x y -=∈,在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（）A ．1B ．2C ．3D ．2.5例4．（2020·浙江嘉兴一中高三期末）已知A ，B 是椭圆：2213y x +=短轴的两个端点，点O 为坐标原点，点P 是椭圆上不同于A ，B 的动点，若直线PA ，PB 分别与直线4x =-交于点M ，N ，则OMN ∆面积的最小值为（） A．B．C．D．CC C C（2020·山西运城高三期末）已知1F ，2F 为椭圆2214x y +=的左、右焦点，P 是椭圆上异于顶点的任意一点，点Q 是12F PF ∆内切圆的圆心，过1F 作1F M PQ ⊥于M ，O 为坐标原点，则||OM 的取值范围为（）A ．()0,1B ．(C ．(D ．(（2020·广东惠州三调）已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（）A ．2B ．3C D考点三圆锥曲线综合问题典例5．（2020·武邑县教育局教研室高三期）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，在x 轴上F 的右侧有一点A ，以FA 为直径的圆与椭圆在x 轴上方部分交于M N 、两点，则||||||FM FN FA +的值为（）AB C D例6．（2020·安徽六安示范高中质检）已知抛物线24x y =-的焦点为F ，A 是抛物线上异于坐标原点的任意一点，以F 为圆心，AF 为半径的圆交y 轴负半轴于点B .平行于AB 的直线l 与抛物线相切于点D ，设A ，D 两点的横坐标分别为A x 和D x ，则A D x x ⋅=（）A ．-4B ．2C ．-2D ．4【举一反三】（2020·安徽淮南一模）已知双曲线22214x y b-=()0b >的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒．则1ABF ∆的周长为（）A 8B ．)41-C 8+D ．)22（2020·四川南充适应性考试）已知14m <<，1F ，2F 为曲线22:144x y C m +=-的左、右焦点，点P 为曲线与曲线22:11E y x m -=-在第一象限的交点，直线l 为曲线在点P 处的切线，若三角形12F PF 的内心为点M ，直线1F M 与直线l 交于N 点，则点M ，N 横坐标之差为（） A ．1- B ．2-C ．3-D ．随m 的变化而变化课后练习1．（2020·辽宁高三月考）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别为直线1l 与2l ，若点A ，B 为直线1l 上关于原点对称的不同两点，点M 为直线2l上一点，且AM BM k k ⋅=，则双曲线C 的离心率为（） A ．1BC ．2D2．（2020·河北高三期末）椭圆2222:11x y C a a +=-与抛物线24y x =在第一象限相交于点12,,P F F 为椭圆的左、右焦点.若22PF =,则椭圆的离心率是（）A ．12 BC ．34 D13．（2020·河南高三期末）已知F 1，F 2为双曲线22221x y a b-=(a >0，b >0)的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P ，PF 1与双曲线相交于点Q ，且|PQ |＝2|QF 1|，则该双曲线的离心率为( ) AB ．2CD4．（2020·陕西高三期末）已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两个焦点分别为1F ,2F ，以12F F 为直径的圆交双曲线于P ,Q ,M ,N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线的离心率为（） A．2BC．2+ DC C CC C C5．（2020·辽河油田第二高级中学高三月考）已知直线()0y kx k =≠与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>交于,A B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF ∆的面积为24a ，则双曲线的离心率为ABC ．2D6．（2020·石嘴山市第三中学高三期末）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，P 是双曲线右支上一点，且212PF F F =．若直线1PF 与圆222x y a +=相切，则双曲线的离心率为（） A ．43B ．53C ．2D ．37．（2020·天津高三期末）抛物线22y px =(0)p >的焦点与双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点F重合，且相交于A ，B 两点，直线AF 交抛物线于另一点，且与双曲线的一条渐近线平行，若1||||2AF FC =，则双曲线的离心率为（）ABC ．2D ．38．（2020·甘肃高三期末）F 为双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>右焦点，,M N 为双曲线上的点，四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN 的面积为bc ，则双曲线的离心率为（）A ．2 B．CDB ．2eC ．eD ．2eCC。

高考必考的求圆锥曲线的离心率或取值范围问题

《中学生数理化》特别奉献编者的话：高考是•种竞技，考验的是平时的努力。

要想在高考中取得优异成绩，贵在平时的训练，平日从严，高考坦然。

练习就是高考，高考就是练习！面对即将到来的高考，在明确命题规律的基础上，平时的训练要有针对性，要学会总结。

高考必考的求圆铀线的离心率或取值輻问题§求圆锥曲线的离心率或取值范围问题是一类较为常见的问题，历年高考试题中也常出现此类问题。

特别是在处理离心率的取值范围问题时，不少同学无从下手，不知道确定参数范围的函数关系或不等关系从何而来。

下面通过*些实例介绍圆锥曲线的离心率的求法，及离心率取值范围问题形成的几个背景及相应的解法，期望对同学们的学习有所帮助。

一、求离心率的值关键是找到含有a 、b 、c (或a 、b 、c 中的两个)的一个不等式，可借助图形、圆锥曲线定义或常见结论等知识寻求解决问题的突破口。

例1在直角坐标系.幼中，双曲线G ：吕耳=1 (a>0,6>0)的渐近线与抛物线C 2^2 3=2py(p>0)交于0, A,B.若4/18(7的垂心为0的焦点，则G 的离心率为_______。

(参考答案：丫=丸:2. 利用己知变量的范围。

利用题中给出的某个已知变量的范围，或由已知条件求出某个变量的范围，然后找出这个变量与欲求的参变量之间的关系，进而求解。

” ”例4己知椭圆p+p=l(a>6>0) ±有一点4,它关于原点的对称点为B,点F 为椭圆的右焦点，且满足丄 BF,设§BF=a ，且砖隔，刽'则该椭圆的离心率e的取值范围为()。

A.卜尹，马]B.|竽，纠C. J-Z3-1, |D. [a /3- 1 > j(参考答■案：C)3. 利用图形的位置关系。

，，例5斜率为2的直线/过双曲线-T-jJ=l(a >0,6>0)的右焦点，且与双曲线的左、右两支分别相交，则双曲线的离心率的取值范是()。

2020高考数学复习专题63 圆锥曲线的离心率(解析版)

专题63圆锥曲线的离心率专题知识梳理1.离心率的概念：在圆锥曲线中，我们把c a 称为离心率，在椭圆中a 是长半轴长，在双曲线中，a 是实半轴长，c 都称为半焦距，离心率都用字母e 表示.当离心率1e >时，表示的图形是双曲线；当离心率1e =时，表示的图形是抛物线；当离心率01e <<时，表示的图形是椭圆．2.在计算离心率的大小时，通常有三种方法：一是根据题目中的条件，直接求出,,a b c 的值，再计算离心率；二是建立,,a b c 之间的齐次等量关系，再化归为关于离心率e 的方程求解；三是建立,,a b c 之间的齐次不等式，再化归为关于离心率e 的不等式，求离心率e 的取值范围．3.要得到a 、b 、c 的关系式，常常有两种途径，一是利用图形中存在的几何特征，譬如焦点三角形，圆锥曲线的定义等构造等式；二是利用坐标运算，如果题目中的条件难以发掘几何关系，则考虑将点的坐标用a 、b 、c 表示，再利用条件列出等式或不等式求解．.考点探究【例1】已知椭圆方程为22143x y +=，则椭圆的离心率为．【解析】由题意知，椭圆的长半轴长为2a =，短半轴长为b =，解得1c ==，∴离心率12c e a ==．【例2】如图，F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支交于A 、B 两点，若△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为____．【解析】连接AF 1，则△AF 1F 2为直角三角形，由△F 2AB 是等边三角形，得∠AF 2F 1＝30°，|AF 2|＝3c ，|AF 1|＝c ，|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝(3－1)c ，e ＝c a ＝23－1＝3＋1.【例3】在平面直角坐标系xOy 中，设直线:10l x y ++=与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线都相交且交点都在y 轴左侧，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是．【解析】∵双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线方程为b y x a =±，而直线:10l x y ++=与b y x a =的交点肯定在y 轴左侧，只要保证直线:10l x y ++=与b y x a =-的交点也在y 轴左侧，即1b a->-，∴b a <，222c a a -<，离心率1e <<题组训练1.已知双曲线22221x y a b -=的一焦点坐标为，且这点到一条渐近线的距离为1，则双曲线的离心率为．【解析】由题意知半焦距为c =，且到渐近线b y x a=的距离为1，1=，解得224a b =，又225a b +=，解得24=a ，2,1=b ∴离心率为2e =．2.设双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为该双曲线上一点，若1PF 与x 轴垂直，2112cos 13PF F ∠=,则该双曲线的离心率为▲．【解析】在12PF F ∆中，∵2112cos 13PF F ∠=，122F F c =，∴2136c PF =，156c PF =，又∵212PF PF a -=，∴135266c c a -=，得32c a =．即离心率为32e =．3.椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1作倾斜角为45°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 2垂直于x 轴，则椭圆的离心率为____．【解析】过F 1作倾斜角为45°的直线y ＝x ＋c ，由MF 2垂直于x 轴得点M 的横坐标为c ，所以点M 的纵坐标为2c ，代入椭圆方程得c 2a 2＋4c 2b 2＝1，∴e 2＋4c 2a 2－c2＝1，∴(1－e 2)2＝4e 2，∴e ＝2－1.4．在平面直角坐标系xOy 中，以椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的一点A 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的一个焦点，与y 轴相交于B 、C 两点，若△ABC 是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是____．【解析】由题意得，圆半径r ＝b 2a ，因为△ABC 是锐角三角形，所以cos 0＞cos A 2＝c r >cos π4，即22<c r<1，所以22<ac a 2－c 2<1，即22<e 1－e 2<1，解得e ∈(6－22，5－12)．5．椭圆x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若△FAB 的外接圆圆心P (m ，n )在直线y ＝－x 的左下方，则该椭圆离心率e 的取值范围是____．【解析】设F(－c ，0)，A(0，b)，B (a ，0)，且ΔFAB 的外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将F (－c ，0)，A (0，b )，B (a ，0)分别代入可得m ＝－c ＋a 2，n ＝b 2－ac 2b ，由m ＋n <0可得－c ＋a 2＋b 2－ac 2b<0，即1－c ＋b －c b <0⇒b －c ＋b －c b<0，所以b －c <0，即b 2<c 2∴e 2>12，所以e 6.（2019徐州期中调研）设双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为该双曲线上一点，若1PF 与x 轴垂直，2112cos 13PF F ∠=,则该双曲线的离心率为▲．【解析】在12PF F ∆中，∵2112cos 13PF F ∠=，122F F c =，∴2136c PF =，156c PF =，又∵212PF PF a -=，∴135266c c a -=，得32c a =．即离心率为32e =．7.如图，椭圆22221(0)xya b a b+=>>的右焦点为F ，其右准线l 与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是.【解析】设00(,)P x y ，∵线段AP 的垂直平分线过点F ，∴PF AF =，又∵20PFc a ax c =-，∴0PF a ex =-，2a AF c c =-，∴20a c a ex c -=-，即20a a ex a c a c-≤=+-≤11e -≤<．8.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点分别为A ，B ，M 为线段AB 的中点，且OM →·AB →＝－32b 2．则椭圆的离心率为.【解析】由题意知(,0),(0,)A a B b ，则(,22a b M ，∴2223(,)(,)22222a b a b b OM AB a b ⋅=-=-+=- ，即2222444a b a c ==-，∴234e =，即2e =．9.椭圆22221(0)xya b a b+=>>，右焦点为F ,右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则离心率e =【解析】由题意知(,0),(0,)F c B b ，直线2:a l x c =，则1d =，22a d c c =-，∵126d d =，∴22a c c -=，即2224()6a c a c -=，∴42610e e +-=，解得213e =，即3e =．10.椭圆的左焦点为F,若F 关于直线03=+y x 的对称点A 是椭圆上的点，则椭圆的离心率为【解析】设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，点(,0)F c -0y +=的对称点00(,)A x y ，则000(1,0,2y x c y ⎧⋅=-⎪+⎪=解得00,2,2c x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∵点00(,)A x y 在椭圆上，∴22223144c c a b +=，解得1e =-．。

2020届高三理科数学二轮复习专题02求圆锥曲线的离心率

专题 02求圆锥曲线的离心率一、基础梳理：除了利用定义求离心率以外，通常情况下，求离心率的基本方法是：在特殊图形中寻找等量关系，建立关于 a 与 c 的齐次等式。

（1）正三角形：高等于边长的3倍；2（2）直角三角形：勾股定理；（3）等腰三角形（含等腰直角三角形）：两腰相等；（4）正方形：两对角线长相等（实质上是等腰直角三角形的两腰相等）或对角线长等于边长的 2 倍。

（5）若出现两条焦半径的比，则采用“赋值法”。

（6）若出现直角三角形斜边上的高，则利用等积法。

（7）若出现比例关系或相似三角形，则利用“坐标比”或“相似比”。

注意：如果找不到特殊图形，一般都是把曲线上的动点坐标用a.b.c 表示出来，然后代入曲线方程建立等式。

二、题型分解：（ 1）正三角形：高等于边长的3倍。

2例 1. 设F1和F2为双曲线x2y 21( a 0, b 0 )的两个焦点，若F1， F2，P(0,2 b)是正a2b2三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为解析： OP3F1F2，即 2b32c，4b 23c2，224a2 c 2，所以e 2 .（ 2）直角三角形：勾股定理。

例 2.已知点 F , A 分别是椭圆x2y 21(a0, b 0)的左焦点、右顶点，B(0,b) 满足a 2 b 2FB AB 0 ，则椭圆的离心率等于（）A.31B.5122C.31D.5122解析： FB a ， AB22， FA a c 。

a b因为 FB AB 0，即FB AB ，所以FB2AB 2FA2，a2(a2 b 2 ) 2( a c) 2，e2e10 ，解得 e 5 1.2说明：本题还可以用“等积法”，即 FB AB FA OB 求解，也可以用“射影定理” 求解。

（3）等腰三角形（含等腰直角三角形）：两腰相等。

例 3. 已知点 F 1 ,F 2 分别是椭圆x 2y 2 1(a0,b0) 的两个焦点，过 F 1且与椭圆长轴垂a 2b 2直的直线交椭圆于 A, B 两点，若ABF 2 是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（）32A.B.22C. 2 1D. 2解析：因为 AF 1F 2 是等腰直角三角形，所以F 1 A F 1F 2 ，b 2 2c ， e 2 2e 10 ，解得 e2 1。

圆锥曲线离心率题型归纳及解题技巧

圆锥曲线离心率题型归纳及解题技巧圆锥曲线是一类常见的数学曲线形状，它的离心率是重要的曲线特征之一。

离心率的概念和求解方法由此可知，有关离心率的题目也就成为高考中的重要题目之一了。

本文将针对离心率圆锥曲线题型，从概念讲解其特点和求解方法，总结出常见的解题技巧，帮助学生们以更加有效的方式解答高考中的有关题目。

一、圆锥曲线离心率概念介绍圆锥曲线（又称双曲线）是由两个圆组成的曲线形状，它的离心率是重要的曲线特征之一。

离心率e的含义是：沿着椭圆的曲线，两个焦点到远点的距离与远点到椭圆长轴之间的比值。

它的取值范围在0到1之间，且不会等于1。

e=|FO|/2a其中FO是椭圆的焦距，2a为椭圆的长轴长度。

显然，离心率越大，椭圆所在的曲线就越“扁”，当离心率等于1时，椭圆就变成了一条直线。

二、离心率椭圆曲线的求解1.解题时首先要判断该圆锥曲线是否为椭圆曲线，及其离心率；2.如果是椭圆曲线，那么根据上述定义，可以计算离心率e，即：e=|FO|/2a；3.若有给定椭圆轴长2a和焦距|FO|，则可直接求出离心率e，即：e=|FO|/2a；4.若有给定椭圆轴长2a和离心率e，则可求出焦距|FO|，即：|FO|=2ae。

三、离心率椭圆曲线常用解题技巧1.学生们在解离心率椭圆曲线的题目时，可以先把题目的数据推导出离心率的大小，这会使问题更加容易解答；2.若问题涉及曲线上某点的坐标，可以根据离心率的大小，判断出曲线的形状，从而更方便的求解曲线上某点的坐标；3.若问题中出现“最大长短轴之比”，可以考虑根据离心率求出曲线的长短轴，然后求出最大长短轴之比；4.若问题中出现“最近点到焦点的距离”，可以考虑从曲线的射影中求解，也可以根据离心率的大小，判断出最近点到焦点的距离；5.还可以根据椭圆的倾斜角，求出椭圆的方程，以及椭圆上某点的关系，从而解答相关题目。

四、结语圆锥曲线离心率是数学曲线形状的重要特征，对于圆锥曲线题来说，学生们应该根据离心率概念及求解方法，掌握一些常用的解题技巧，以达到以更有效的方式解答高考中的有关题目。

2020届新高考数学二轮微专题突破专题06 圆锥曲线中的离心率的问题(解析版)

专题06 圆锥曲线中的离心率的问题一、题型选讲题型一求离心率的值求离心率的值关键是找到等式关系，解出a 与c 的关系，进而求出离心率。

常见的等式关系主要有：1、题目中给出等式关系；2、通过几何关系如垂直或者夹角的关系得出等式关系；3、挖掘题目中的等式关系。

例1、(2017苏北四市一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a＞b ＞0)的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是________．【答案】5－12【解析】因为F (c,0)，B 2(0，b )，B 1(0，－b )，A (a,0)，所以B 2F →＝(c ，－b )，B 1A →＝(a ，b )．因为FB 2⊥AB 1，所以ac －b 2＝0，即c 2＋ac －a 2＝0，故e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1＋52(负值舍去)．例2、(2017苏北四市摸底）如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上、下顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，且OP ⊥AF .(1) 若点P 坐标为(3，1)，求椭圆C 的方程；(2) 延长AF 交椭圆C 于点Q ，若直线OP 的斜率是直线BQ 的斜率的2倍，求椭圆C 的离心率；思路分析第(1)问根据条件求出a ，b ，c 的值，从而可得椭圆的方程；第(2)问根据条件转化为a ，b ，c 的等量关系，即可求得椭圆的离心率，对运算求解的能力要求较高；第规范解答 (1) 因为点P (3，1)，所以k OP ＝13，又因为AF ⊥OP ，则－b c ×13＝－1，所以3c ＝b ，所以3a 2＝4b 2.(2分) 又点P (3，1)在椭圆上，所以3a 2＋1b2＝1，解得a 2＝133，b 2＝134.故椭圆方程为x 2133＋y 2134＝1.(4分) (2) 解法1 由题意，直线AF 的方程为x c ＋y b ＝1，与椭圆C 方程x 2a 2＋y 2b 2＝1联立消去y ，得a 2＋c 2a 2c 2x 2－2x c ＝0,解得x ＝0或x ＝2a 2c a 2＋c 2，所以点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b (c 2－a 2)a 2＋c 2.(7分)所以直线BQ 的斜率为k BQ ＝b (c 2－a 2)a 2＋c 2＋b2a 2c a 2＋c 2＝bca 2，又OP ⊥AF ，所以k OP ＝cb.由题意得c b ＝2bca 2，所以a 2＝2b 2.(9分)所以椭圆的离心率e ＝ca＝1－b 2a 2＝22.(10分) 解法2 设点Q 坐标为(x 0，y 0)，则有x 20a 2＋y 20b 2＝1，得y 20＝b 2⎝⎛⎭⎫1－x 20a 2，又k AQ ＝y 0－b x 0，k BQ ＝y 0＋b x 0，所以k AQ ·k BQ ＝y 20－b2x 20，将y 20＝b2⎝⎛⎭⎫1－x 20a 2代入上式，化简得k AQ ·k BQ＝－b 2a 2.(7分) 又k AQ ＝－b c ，所以k BQ ＝bca 2.因为OP ⊥AF ，所以k OP ＝cb .由题意得c b ＝2bca 2，所以a 2＝2b 2.(9分)所以椭圆的离心率e ＝ca＝1－b 2a 2＝22.(10分) 解后反思从阅卷的情况看，主要的问题是考生运算与化简的能力差，对复杂式子的运算缺乏信心和耐心，缺乏方法；问题的解决缺乏严谨，综合运用知识的能力差，例3、(2019南通、泰州、扬州一调）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B.(1) 已知椭圆的离心率为12，线段AF 中点的横坐标为22，求椭圆的标准方程；(2) 已知△ABF 外接圆的圆心在直线y ＝－x 上，求椭圆的离心率e 的值．【解】(1)因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为12，所以c a ＝12，则a ＝2c.因为线段AF 中点的横坐标为22，所以a －c 2＝22. 所以c ＝2，则a 2＝8，b 2＝a 2－c 2＝6. 所以椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1.(4分)(2)因为A(a ，0)，F(－c ，0)，所以线段AF 的中垂线方程为：x ＝a －c2.又因为△ABF 外接圆的圆心C 在直线y ＝－x 上，所以C ⎝⎛⎭⎫a －c 2，－a －c 2.(6分) 因为A(a ，0)，B(0，b)，所以线段AB 的中垂线方程为：y －b 2＝ab ⎝⎛⎭⎫x －a 2. 由C 在线段AB 的中垂线上，得－a －c 2－b 2＝a b ⎝⎛⎭⎫a －c 2－a 2，整理得，b(a －c)＋b 2＝ac ，(10分) 即(b －c)(a ＋b)＝0.因为a ＋b>0，所以b ＝c.(12分)所以椭圆的离心率e ＝c a ＝c b 2＋c 2＝22.(14分)题型二求离心率的范围求离心率的值关键是找到不等关系，解出a 与c 的关系，进而求出离心率的范围。

圆锥曲线中离心率取值范围的求解(典型例题讲解)

圆锥曲线中离心率取值范围的求解范围问题是数学中的一大类问题，在高考试题中占有很大的比重，圆锥曲线中离心率取值范围问题也是高考中解析几何试题的一个倍受青睐的考查点，其求解策略的关键是建立目标的不等式，建立不等式的方法一般有：利用曲线定义，曲线的几何性质，题设指定条件等．策略一：利用曲线的定义例1若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线的离心率的取值范围是（）Ａ．(1,2) Ｂ．(2,)+∞ Ｃ．(1,5) Ｄ．(5,)+∞例2双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（）Ａ．Ｂ．)+∞Ｃ．1]Ｄ．1,)+∞策略二：利用曲线的几何性质例3已知12、F F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF =的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）Ａ．(0,1) Ｂ．1(0,]2Ｃ．Ｄ．例4已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）Ａ．(1,2] Ｂ．(1,2) Ｃ．[2,)+∞ 策略三：利用题设指定条件例5椭圆22221x y a b+=的焦点为12,F F ，两条准线与x 轴的交点分别为,M N ．若122MN F F ≤，则该椭圆离心率的取值范围是（）Ａ．1(0,]2Ｂ．(0,2 Ｃ．1[,1)2Ｄ．,1)2 例6设12、F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，若在其右准线上存在点P ，使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是（）Ａ．(0,2Ｂ．(0,3Ｃ．[2Ｄ．,1)3 例7已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -．若双曲线上存在点P 使1221sin sin PF F aPF F c∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是例8双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为12,F F ，若P 为其上一点，且122PF PF =，则双曲线离心率的取值范围是（）Ａ．(1,3) Ｂ．(1,3] Ｃ．(3,)+∞ Ｄ．[3,)+∞策略六：利用二次函数的性质例9设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（）Ａ．2) Ｂ．Ｃ．(2,5) Ｄ．例10、已知12,F F 是椭圆的左右焦点，椭圆上存在一点P ，使01260F PF ∠=，求椭圆的离心率e 的取值范围。

高中数学最全圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题

慧学上进
的直线交双曲线右支于 M 点，若 MF2 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率为（ B ）
A． 6
B． 3
C． 2
3
D．
3
x2
6.（08 浙江理）若双曲线
a2
y2 b2
1 的两个焦点到一条准线的距离之比为 3：2,则双曲线的离心率是（D）
（A）3
（B）5
（C） 3
（D） 5
7.（08 全国一理）在 △ABC 中， AB BC ， cos B 7 ．若以 A，B 为焦点的椭圆经过点 C ，则 18
该椭圆的离心率 e
3
．
8
8.（10 辽宁文）设双曲线的一个焦点为 F ，虚轴的一个端点为 B ,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂
直，那么此双曲线的离心率为（）
（A） 2
（B） 3
3 1
（C）
2
5 1
（D）
2
解析：选 D.不妨设双曲线的焦点在 x 轴上，设其方程为：
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0) ，
a2
2
15.
x2 （08 湖南）若双曲线 a2
y2 b2
1（a＞0,b＞0）上横坐标为 3a 的点到右焦点的距离大于它到左准线的 2
距离，则双曲线离心率的取值范围是
A.(1,2)
B.(2,+ )
C.(1,5)
D. (5,+ )
解析由题意可知 ( 3 a a2 )e ( 3 a a2 ) 即 3 e 1 3 1 解得 e 2 故选 B.
),
AB
ab ab
,
ab ab
，
因此 2 AB BC, 4a2 b2 ,e 5 ．答案：C

圆锥曲线——求解离心率专题篇

圆锥曲线专题05 离心率的求法一、求离心率值的问题求离心率的值需要构造一个含有,,a b c 或数字的等式，而等式关系如何构造，只能依照题目中给出的条件结合几何形状见招拆招，没套路可言。

1、基本方法：从定义出发，特别注意第一定义中的焦点三角形问题，以椭圆为例，在焦点三角形中三条边中蕴含了,a c 的关系，因此如果能找出三条边的关系也就可以求出离心率的值。

例1：如图，12,F F 是椭圆221:14x C y +=和双曲线2C 的公共焦点，若四边形12AF BF 为矩形，则双曲线的离心率为____________.【解析】关于共焦点的问题，c 相等，在椭圆里面1224AF AF a +==在12RT AF F ∆中满足2221212+=AF AF F F ，解得12AF AF则在双曲线中a c ==2e =例2：设椭圆的两个焦点分别是12,F F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为_________.2、几何法，几何方法不是方法，而是分析几何图形的能力，根据题目中给出的或隐含的条件找出等量关系即可，比如题目中给出的等腰，中垂线，垂直等条件都可能是破解题目的入手点。

例3：已知,A B 为双曲线E 的左右顶点，点M 在E 上，ABM ∆为等腰三角形且顶角为120︒，则E 的离心率为_________.上图中A,B 两点不是焦点，2AB a =,且条件中没有b 和c 的量，因此无法构成等量关系，但是注意双曲线的方程本身就是包含,a b 的等式，因此题目的关键不是构造等式而是求出点M 的坐标，代入到双曲线的方程中即可求出离心率。

【解析】从M 点作x 轴的垂线，垂足为C ，因为2,60BM a MBC ︒=∠=所以,BC a MC ==，所以点M 的坐标为(2)a代入到双曲线中得2222(2))1a a b-=整理得e =例4：设12,F F 分别是椭圆2222:1x y E a b+=的左右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于A,B 两点，11||3||AF BF =，若23cos 5AF B ∠=，求椭圆E 的离心率。

高中数学专题——圆锥曲线--离心率

x1x2 0
V 0 （4）两个交点在双曲线的右支: x1 x2 0
x1x2 0
三．焦点弦与离心率关系
AF
BF ，则有 e cos
1 1
(
为直线与焦点所在轴的夹角)。
例题举证
技巧 1 焦点三角形中的离心率
【例
1】(1)．已知 F1 ， F2 是双曲线 E ：
x2 a2
y2 b2
1 的左、右焦点，点 M
点坐标为 1,1 ，则双曲线 C 的离心率为（）
A．2
B． 3
C． 2
D．3
【答案】B
【解析】设 A(x1, y1) 、 B(x2 , y2 ) ，
则
x12 a2
y12 b2
1
，
x22 a2
y22 b2
1，
所以
x12 x22 a2
y12 y22 b2
，所以
y1 y2 x1 x2
b2 x1 x2 a 2 y1 x2
根据余弦定理： cosF1PF2
PF12 PF22 F1F22 2PF1 PF2
PF1 PF2 2 2PF1 PF F1F22 2PF1 PF2
4a2 4c2 2PF1 PF2
1
4a2 4c2 2a 2
1
1 3
.故选：
A.
技巧 2 点差法中的离心率
【例 2】（1）（2020·四川外国语大学附属外国语学校）过点 M 1, 2 作直线 y 1 x m 与椭圆
【答案】A
【解析】已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b 0)
的右焦点为 F
，
若过点 F 且倾斜角为 3 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，