狭义相对论中加速度a与力f的关系

第18卷第2期

荆州师专学报(自然科学版)Vo l.18N o.21995年4月Jo urnal of Jingzhou T eacher s Co lleg e(N atur al Science)A pr.1995收稿日期:1994狭义相对论中加速度a 与力f 的关系

阳荣华 程庆华

(荆门市竹园中学) (物理系)

摘要　本文针对关于狭义相对论中加速度a 与力f 的方向关系的一些讨论[1],

采用更为直观、简单的方法,同样得出了加速度a 与力f 的方向关系的普适结果;并通过典型例子较全面地讨论和描述了加速度a 和力f 的方向和大小的相互关系,揭示了在狭义相对论和经典力学中a 与f 相互关系的不同;并讨论了在v /c →0时它们的一致性,从一个侧面说明了经典力学的局限性。

关键词　四维矢量;洛仑兹变换;协变

1　引言

众所周知,在洛仑兹变换下,牛顿力学定律不能保持协变性。由牛顿第二定律f =m a 可以看出,在经典情况下,f 与a 方向一致,a 与f 大小成正比。在狭义相对论中,力f 与加速度a 的方向、大小关系如何呢?本文从狭义相对论基本方程出发,采用直观、简单的方法,较全面地讨论了狭义相对论中f 与a 的关系。

2　相对论的基本方程

静止质量为m 0,相对于参考系速度为u 的质点,其四维速度矢量为[2]:

U = u (u ,ic )

(1)其四维加速度矢量为:

A =d U d ={ u 2a +1c 2 u 4u(u ・a )},1c i u

4(u ・a )(2)其四维动量为[2]:

P =m 0U =m 0 u (u ,ic )=(P ,ic u m 0)

(3)

质点所受的四维力为[2]:

K =

d P d = (dp t ,i c d E d t )= u (f,i c f ・u)(4)狭义相对论的基本方程为[3]:

K =dP /d =m 0A

(5)将(2)、(4)两式代入(5)式可得:

f= u m 0a +1c 2 3u m 0

(u ・a )u (6)其中 u =(1-u 2/c 2)-1/2,a =du /d t 为三维加速度,P =m 0 u u 为三维动量,f 为三维力。

3　f,a ,u 的关系

在经典力学中,物体受到的力f 和其产生的加速度a 的方向是一致的。在狭义相对论中,由(6)式可知,f 与a 的方向一般是不一致的。f,u,a 三矢量共面,f 的方向由a 和u 共同决定。由下面的讨论我们还可看到,f 与a 大小变化关系也与经典情形不同。下面结合具体的例子,分四种情况加以讨论。

(Ⅰ)u=0;此时, u =1,(6)式成为f=m 0a ,即有f ∥a ,且a 与f 大小成正比,

与经典情形一致。

图1　静止质量为m 0,带电量为q 的粒子在匀强电场E 中从静止开始加速

(Ⅱ)u ‖a;(6)式为f=m 0 3u a ,此时亦有f ∥a ,我们称 3u m 0为纵

向质量。因 u 随u 值不断改变,可知a 与f 不是简单的正比关系。

我们用初速度为零的带电粒子在均匀电场中的运动来说明a 与f 的大

小关系及其运动规律,并与经典情形相比较。

设粒子静止质量为m 0,带电量q ,在均匀电场E 中从静止开始加

速,如图1。

粒子所受的力为f=q E,由(6)式可得:

d d t ( u m 0

u)=qE (7)初始条件为u t =0=0,对t 积分得:u =(qE /m 0)t /1+(qEt /m 0c )2

(8)式中(q E /m 0)t 是经典加速度与时间之积,即经典速度u 经=(q E /m 0)t .于是:

u =u 经/1+u 2经/c 2(9)

从(8)、(9)两式可以看出,粒子的相对论加速度和速度均小于其经典加速度和速度。

将(8)式对t 积分,得:x =(m 0c 2/qE )[

1+(qEt /m 0c )2-1](10)

整理上式得:(x +m 0c /qE )2-(ct )2=m 0c 4/q 2E 2

(11)显然,(11)式为一双曲线方程。因而我们称这种运动为双曲线运动。

用二项式定理展开(10)式:

x =(m 0c 2/qE )[1+(1/2)q 2(E 2t 2/m 20c 2)+ (1)

(12)可见,在qEt /m 0<

x =12(qE m 0)t 2=12qE m 0c 2

・(ct )2(

13)图2　经典抛物线(虚线)与相对论双

曲线(实线)之比较这正是在经典常力作用下粒子运动的抛物线。

图2给出了两种不同运动曲线的比较。从图中可以看到,t 很小时,ct

较小,粒子速度u 也较小,虚线与实线有“重合”现象.这说明在低速情况

下,相对论结果与经典结果趋于一致。而随着ct 的增加,两线的“差别”越

来越显著,这是因为 u >1,相对论速度(加速度)小于经典速度(加速度),

从而导致相对论位移小于经典位移,而且两者位移之差随着u 值的增大

而增大。双曲线的渐近线与ct 成45°夹角,A 为渐近线与ct 轴之交点。由

渐近线性质,随着ct 的增大,双曲线与渐近线趋于一致,在极端情形下两者重合。此时,双曲线满足x =OA +ct 。所以,粒子的速度为x =c ;加速度

为x =0。即极端情况下加速度为零。这也可以说明电场不可能无限制地加

速带电粒子,带电粒子在加速电场中所获的最大速度为c 。

因而,在u ∥a 时,f 与a 的关系虽然形式上与经典情形相同,但其包含的物理内容却大不相同。

(Ⅲ)u ⊥a ;此时,u ・a =0,(6)式成为f = u m 0a ,故亦有f ∥a ,我们称 u m 0为横向质量。

还可看到,只有当u 值保持不变时, u 值才不会变,a 与f 的大小才有正比关系。下面就用一带电粒子在均匀磁场中运动的典型例子来加以说明。在均匀磁场内,静止质量为m 0,带电量为q ,以速度u 垂直于磁场的方向进入磁场,磁场垂直于纸面向里,

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