1随机事件与样本空间
1-2节 样本空间和随机事件
A ( B C ) ( A B) ( A C ),
(4)德 摩根律 : A B A B, A B A B.
(对偶律)
A A,
i 1 i i 1 i
样本空间的元素由试验的目的所确定.
二、随机事件
随机事件 在一次试验中可能发生也可能不发
生的结果称为随机事件, 简称事件.事件常用A、
B、C表示. 随机事件是由样本空间的某些样本点构成的. 例如 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 试验中,骰子“出现1点”, “出现2点”, … ,“出现6 点”, “点数不大于4”, “点数为偶数” 等都为随机事件.
空集 和样本空间S都是样本空间S的子集, 在每次试验中 必不发生,称 为不可能事件; S 必发生,称 S为必然事件. 为叙述方便,把不可能事件和必然事件都包括 在随机事件中.
三、事件间的关系及运算
设试验 E 的样本空间为 S , 而 A, B, Ak (k 1,2,) 是 S 的子集.
个事件,称此事件为事件 A与事件B的积事
件. 记作 A I B或AB 显然 A I B {e | e A且e B}.
A AB
B
S
图示:事件A与B 的积事件.
积事件具有如下性质：
(1)若A B, 则A B A; B A, 则A B B.
(2) A B A; A B B.
3. 和事件
“事件 A与事件B至少有一个发生”也是 一 个事件, 称此事件为事件 A 与事件B的和事件. 记作A B，显然A B {e | e A或e B}.
B A
S
1.2样本空间、随机事件
二、随机事件的概念
1. 基本概念
随机试验 E 的样本空间 S 的子集称为 E 的随 机事件, 简称事件.
每次实验中, 当且仅当这一子集中的一个样本 点出现时, 称这一事件发生.
由一个样本点组成的单点集, 称为基本事件.
样本空间 S包含所有的样本 , 它点是S自身的 子集, 在每次实验中它总是发生的, S称为必然事 件.
A S
某种产品的合格与否是由该产品的长度与直
径是否合格所决定, 因此 “产品不合格”是“长
不合格”与“直径不度合格”的并.
n
推广 称 A k为 n个事 A 1,A 2 件 , ,A n的和事 k1
件, 称 A k为可列 A 1,A 个 2, 的 事和 件 . 事件 k1
3 . 事 A B x x 件 A 且 x B , 称为事件A
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模 型, 也可以作为产品检验中合格与不合格的模型, 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型.
课堂练习
写出下列随机试验的样本空间. 1. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和. 2. 生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的 总件数.
所以在具体问题的研究 中, 描述随机现象的第一步 就是建立样本空间.
对立事件与互斥事件的区别
A、B 互斥
A、B 对立
A
BS
AB
互斥
A
B A S
A B S 且 A B
对立
事件间的运算规律 设A,B,C为事,件 则有
(1)交换律 AB BA; AB BA.
(2)结合律 A(BC) (AB)C; A(BC) (AB)C.
(3)分配律 A(BC) (A B ) (A C ); A(BC) (A B ) (A C ).
概率论第一章
下面我们讨论事件之间的关系与运算
1、包含关系
⑶ 两个特殊事件
必然事件U ★ 必然事件U ★ 不可能事φ 不可能事φ
3、随机试验
如果一个试验可能的结果不止一个， 如果一个试验可能的结果不止一个，且事先不能肯定 会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。 会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。
例如, 掷硬币试验 例如, 寿命试验 测试在同一工艺条件下生产 掷骰子试验 掷一枚硬币，观察出正还是反. 掷一枚硬币，观察出正还是反 出的灯泡的寿命. 出的灯泡的寿命 掷一颗骰子， 掷一颗骰子，观察出现的点数
第一章 随机事件及其概率
随机事件及样本空间 频率与概率 条件概率及贝努利概型
§1 随机事件及样本空间
一、随机事件及其有关概念
1、随机事件的定义
试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件” 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”, 简称“事件” 记作A 简称“事件”。记作A、B、C等任何事件均可表示为样本空 间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A 间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中 的元素。 的元素。
例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。 例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。 10个大小 将球编号为1 10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。 将球编号为1－10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。
因为抽取时这些球是完全平等的， 因为抽取时这些球是完全平等的， 我们没有理由认为10个球中的某一个会 我们没有理由认为10个球中的某一个会 10 比另一个更容易取得。也就是说，10个 比另一个更容易取得。也就是说，10个 球中的任一个被取出的机会是相等的， 球中的任一个被取出的机会是相等的， 均为1/10 1/10。 均为1/10。
2022年《1随机事件和样本空间导学案教师版》优秀教案
§随机事件和样本空间目标要求1、理解并掌握随机试验，样本空间，随机事件、必然事件、不可能事件．2、理解并掌握事件的判断．3、理解并掌握样本空间及随机事件的结果．4、理解并掌握事件的关系及运算学科素养目标通过本章学习，使学生充分感受大千世界中的随机现象，并了解到不仅确定性现象有规律、可以预知结果，可以用数学方法去研究，而且不确定性现象也是有规律可循，能够用数学方法进行研究的．从而使学生对客观世界、自然科学和社会科学的看法和认识更深入、全面，初步形成用科学的态度、辩证的思想，用随机的观念去观察、分析和研究客观世界的态度，寻求并获得认识世界的初步知识和科学方法．重点难点重点：样本空间及随机事件的结果；难点：事件的关系及运算．教学过程根底知识点1随机试验对某随机现象进行的实验、观察,称为随机试验,简称__试验___2样本空间定义:①样本点:随机试验的每一个可能的结果②样本空间:所有样本点组成的集合记作:Ω3随机事件、必然事件、不可能事件1随机事件:样本空间的子集称为随机事件,也简称事件表示:一般用大写英文字母A,B,C表示2根本领件:当一个事件仅包含单一样本点时,称该事件为根本领件3必然事件:Ω全集是必然事件4不可能事件:空集是不可能事件【思考】判断一个事件A是必然事件、不可能事件还是随机事件的关键是什么提示:关键是看每次试验中事件A中某个样本点是否出现,假设试验中总有一个样本点发生,那么事件A为必然事件;假设试验中不包含任何样本点,那么事件A为不可能事件;假设试验中某个样本点可能发生也可能不发生,那么事件A为随机事件【课前根底演练】题1〔多项选择．．．．．．．．．．〕以下命题正确的选项是A随机试验的结果是不确定的B一次随机试验所有可能出现的结果只有一个C样本空间中的样本点是有限的D异性电荷相互吸引是必然事件【答案】选CD提示:A×随机试验的结果可能确定,也可能不确定B×一次随机试验所有可能出现的结果可能有多个C√只讨论样本点为有限的情况D√异性电荷相互吸引一定会发生，所以它是必然事件题2下面的事件:①掷一枚硬币,出现反面;②异性电荷相互吸引;③35>10必然事件是A②B③C①D②③【解析】选A①是随机事件;②是必然事件;③是不可能事件题3“抛掷一枚骰子,结果向上的点数为奇数〞记为事件A,“抛掷一枚骰子,结果向上的点数大于4〞B=________,AB=________【解析】记“抛掷一枚骰子,结果向上的点数为〞为,那么,那么答案:关键能力·合作学习类型一事件的判断数学抽象【题组训练】题4以下事件:①明天下雨;②3>2;③某国发射航天飞机成功;④;⑤某商船航行中遭遇海盗;⑥任给∈R,2=0其中随机事件的个数为【解析】选D①明天下雨这一事件可能发生也可能不发生,是随机事件;②3>2,是必然事件;③某国发射航天飞机成功可能发生也可能不发生,是随机事件;④是不可能事件;⑤这一事件可能发生也可能不发生,是随机事件;⑥任给∈R,2=0可能发生也可能不发生,是随机事件即①③⑤⑥是随机事件题5以下事件中,不可能事件为A三角形内角和为180°B三角形中大边对大角,大角对大边C锐角三角形中两个内角和小于90°D三角形中任意两边的和大于第三边【解析】选C假设两内角的和小于90°,那么第三个内角必大于90°,故不是锐角三角形,所以C为不可能事件,而A,B,D均为必然事件题6从6个篮球、2个排球中任选3个球,那么以下事件中,是必然事件的是个都是篮球B至少有1个是排球个都是排球D至少有1个是篮球【解析】选D从6个篮球、2个排球中任选3个球,A,B是随机事件,C是不可能事件,D是必然事件【解题策略】判断事件类型的方法1看条件:在事件阐述过程中,一定要看试验是在什么条件下,因为三种事件都是相对于一定条件而言的,随着条件的变化,试验的结果也可能会发生相应的改变2看结果:事件是按照事件发生与否标准分类的,结果一定发生的是必然事件;不一定发生的是随机事件;一定不发生的是不可能事件类型二样本空间及随机事件的结果数学抽象【典例】题7袋子中有5个大小和质地相同的小球,其中三个红球,标号为1,2,3,另外两个为黑球,标号为4,5,从中依次随机摸出两个球,写出试验的样本空间【解题策略】试验结果书写的考前须知1准确理解随机试验的条件、结果等有关定义,并能使用它们判断一些事件,指出试验结果,这是求概率的根底2在写试验结果时,一般采用列举法,必须要明确事件发生的条件,根据日常生活经验,按一定次序列举,才能保证所列结果不重不漏【跟踪训练】题8集合,从集合A中选取不相同的两个数,构成平面直角坐标系上的点,观察点的位置,那么事件“点落在轴上〞包含的样本点共有个个个个【解析】选C“点落在轴上〞这一事件记为M,那么,包含9个样本点类型三事件的关系及运算数学抽象、数学运算角度1 事件的关系【典例】题9在掷骰子的试验中,可以定义许多事件例如,事件{出现1点},事件{出现3点},事件{出现4点},{出现5点},事件{出现的点数大于3},事件{出现的点数小于5}与是什么关系【思路导引】判断事件发生时事件是否发生【解析】因为事件发生,那么事件必发生,所以,同理包含于【变式探究】题10 在掷骰子的试验中,可以定义许多事件例如,事件{出现1点},事件{出现3点},事件{出现4点},{出现5点},事件{出现的点数大于3},事件{出现的点数小于5}写出事件的和事件及事件的交事件【解析】设G={出现的点数为奇数}={出现1点,出现3点,出现5点},所以{出现的点数大于3}={出现4点,出现5点,出现6点},{出现的点数小于5}={出现1点,出现2点,出现3点,出现4点},所以角度2 事件的运算【典例】题11盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取3个球,设事件A={3个球中有一个红球,两个白球},事件B={3个球中有两个红球,一个白球},事件C={3个球中至少有一个红球},事件D={3个球中既有红球又有白球}那么:1事件D与事件A,B是什么样的运算关系2事件C与事件A的交事件是什么事件【思路导引】列举出事件中可能的样本点,然后进行各事件的运算【解析】1对于事件D,可能的样本点为1个红球2个白球或2个红球1个白球,故D=A∪B2对于事件C,可能的样本点为1个红球2个白球,2个红球1个白球或3个红球,故C∩A=A【解题策略】事件间运算的方法1利用事件间运算的定义列举出同一条件下的试验所有可能出现的样本点,分析并利用这些样本点进行事件间的运算2利用Venn图借助集合间运算的思想,分析同一条件下的试验所有可能出现的样本点,把这些样本点在图中列出,进行运算【题组训练】题12打靶3次,事件表示“击中i发〞,其中i=0,1,2,3那么表示A全部击中B至少击中1发C至少击中2发D以上均不正确【解析】选B所表示的含义是A1,A2,A3这三个事件中至少有一个发生,即可能击中1发、2发或3发题13抛掷一枚骰子,“向上的点数是1或2〞为事件A,“向上的点数是2或3〞为事件B,那么⊆B=BB表示向上的点数是1或2或3 表示向上的点数是1或2或3【解析】={1,2},B={2,3},A∩B={2},A∪B={1,2,3},AB表示向上的点数是1或2或3课堂检测·素养达标题14以下现象:①连续两次抛掷同一骰子,两次都出现2点;②走到十字路口,遇到红灯;③明天早晨有雨;④抛一石块,下落其中是随机现象的个数是【解析】选C由随机现象的概念可知①②③是随机现象,④是确定性现象题15为了丰富高一学生的课外生活,某校要组建数学、计算机、航空模型3个兴趣小组,小明要选报其中的2个,那么包含的样本点共有个个个个【解析】选C由题意可得,包含的样本点有“数学与计算机〞“数学与航空模型〞“计算机与航空模型〞,共3个题16一个家庭有两个小孩,把第一个孩子的性别写在前边,第二个孩子的性别写在后边,那么所有的样本点有A男,女,男,男,女,女B男,女,女,男C男,男,男,女,女,男,女,女D男,男,女,女【解析】选C由题知所有的样本点是男,男,男,女,女,男,女,女题17在10个学生中,男生有人现从10个学生中任选6人去参加某项活动,有以下事件:①至少有1个女生;②5个男生,1个女生;③3个男生,3个女生假设要使①为必然事件,②为不可能事件,③为随机事件,那么为______【解析】由题意知,10个学生中,男生人数少于5,但不少于3,所以=3或=4答案:3或4题18袋中有8个大小和质地相同的小球,标号为1,2,3,4,5,6,7,8,从中随机摸出一个球,用集合表示以下事件:1A=“摸到球的号码小于5〞;2B=“摸到球的号码为奇数〞【解析】从中摸出一个球,样本空间:Ω={1,2,3,4,5,6,7,8}1事件“摸到球的号码小于5〞表示为A={1,2,3,4}2事件“摸到球的号码为奇数〞表示为B={1,3,5,7}。
1.1(随机试验与样本空间)
第1章 概率论基础
1.1 随机试验与样本空间
1.1.1 随机试验
客观世界中存在着两类现象: 必然现象 随机现象
概括许多内容大不相同的实际问题.
例如 只包含两个样本点的样本空间
Ω {H, T }
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的 模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的 模型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排
队的模型等.
1.1.2 样本空间
在具体问题的 研究中 , 描述随机 现象的第一步就是 建立样本空间.
在一定条件下必然出现的现象，
称为必然现象；
实例: “太阳从东边升起” “水从高处向低处流” “同性电荷互斥”
1.1.1 随机试验
必然现象的特征
条件完全决定结果
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 称为随机现象. 实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况. 结果有可能出现正面也可能出现反面.
1827 ） 、 高 斯 （ Gauss, 德 ,1777-1855 ） 和 泊 松
（Poisson,法,1781-1840）等一批数学家对概率论作 了奠基性的贡献．
【概率论简史】
1812年，拉普拉斯所著《概率的分析理论》实现了
从组合技巧向分析方法的过渡，开辟了概率论发展的
新时期．
19世纪后期，极限理论的发展成为概率论研究的中 心课题，是概率论的又一次飞跃，为后来数理统计的 产生和应用奠定了基础．契比谢夫（Chebyhev，俄， 1821-1894）对此做出了重要贡献．他建立了关于独立
§1.1随机事件与样本空间
§1.1随机事件与样本空间§1.1 随机事件与样本空间随机事件与样本空间是概率论中的两个最基本的概念。
⼀、基本事件与样本空间对于随机试验来说，我们感兴趣的往往是随机试验的所有可能结果。
例如掷⼀枚硬币，我们关⼼的是出现正⾯还是出现反⾯这两个可能结果。
若我们观察的是掷两枚硬币的试验，则可能出现的结果有（正、正）、（正、反）、（反、正）、（反、反）四种，如果掷三枚硬币，其结果还要复杂，但还是可以将它们描述出来的，总之为了研究随机试验，必须知道随机试验的所有可能结果。
1、基本事件通常，据我们研究的⽬的，将随机试验的每⼀个可能的结果，称为基本事件。
因为随机事件的所有可能结果是明确的，从⽽所有的基本事件也是明确的，例如：在抛掷硬币的试验中“出现反⾯”，“出现正⾯”是两个基本事件，⼜如在掷骰⼦试验中“出现⼀点”，“出现两点”，“出现三点”，……，“出现六点”这些都是基本事件。
2、样本空间基本事件的全体，称为样本空间。
也就是试验所有可能结果的全体是样本空间，样本空间通常⽤⼤写的希腊字母Ω表⽰，Ω中的点即是基本事件，也称为样本点，常⽤ω表⽰，有时也⽤A,B,C 等表⽰。
在具体问题中，给定样本空间是研究随机现象的第⼀步。
例1、⼀盒中有⼗个完全相同的球，分别有号码1、2、3……10，从中任取⼀球，观察其标号，令=i {取得球的标号为i }，=i 1,2,3,…,10. 则Ω={1,2,3,…,10},=i ω{标号为i },=i 1,2,3,…,101ω,2ω,…, 10ω为基本事件（样本点）例2 在研究英⽂字母使⽤状况时，通常选⽤这样的样本空间：Ω={空格，A,B,C,…,X,Y,Z}例 1，例 2讨论的样本空间只有有限个样本点，是⽐较简单的样本空间。
例3讨论某寻呼台在单位时间内收到的呼叫次数，可能结果⼀定是⾮负整数⽽且很难制定⼀个数为它的上界，这样，可以把样本空间取为Ω={0,1,2,3,…}这样的样本空间含有⽆穷个样本点，但这些样本点可以依照某种顺序排列起来，称它为可列样本空间。
1.2 样本空间、随机事件
S
A=B，则称事件 相等。 若 A ⊂ B 且 B ⊃ A ，即 A=B，则称事件 A 与事件 B 相等。
2°事件 A U B = { x | x ∈ A 或 x ∈ B }称为事件 A 与 B 的 ° 中至少有一个发生。 和事件，它指的是事件 A 与事件 B 中至少有一个发生。 事件，它指的是事件
如何来研究随机现象? 如何来研究随机现象 随机现象是通过随机试验来研究的！ 随机现象是通过随机试验来研究的！ 随机试验来研究的 研究方法？数学方法？ 研究方法？数学方法？ 将E的结果数量化！---用集合：S={e}，A，B… 的结果数量化！---用集合：S={e}， 用集合 引进（随机）变量、函数（概率、分布函数） 引进（随机）变量、函数（概率、分布函数）… 概率论研究的主线？ 概率论研究的主线？ 1、事件表示：---利用事件间关系、运算表示较复 事件表示：---利用事件间关系、 利用事件间关系 杂事件… 杂事件 计算事件的概率：----利用概率的定义 性质、 利用概率的定义、 2、计算事件的概率：----利用概率的定义、性质、 概率运算公式… 概率运算公式
2. 几点说明
由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。 由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。 基本事件
S 作为自己的一个子集，在每次试验中必然发生，称为 作为自己的一个子集，在每次试验中必然发生， 必然发生 必然事件; 必然事件; 空集∅ 作为 S 的一个子集，在每次试验中都不会发生，称 的一个子集，在每次试验中都不会发生， 都不会发生 为不可能事件 不可能事件. 事件
子集
事件间关系。。。 随机事件→事件间关系。。。 事件间关系
集合→ 集合→集合间关系运算
定义于集合的函数： 定义于集合的函数：函数
1.随机事件与样本空间
6.逆事件(或对立事件)
在一次试验中，事件A与事件B必然有一个发生，且仅 有一个发生，即事件A与B满足条件
A B U, A B 则称事件A与事件B互逆，又称A是B的对立事件或逆事 件(B是A的对立事件或逆事件)，记成A= B (B= ). A 显然， A =U-A. 例如：抛骰子时，A=“出现奇数点” B=“出现偶数点” 则A与B为对立事件.
概率统计的研究内容？
观察自然界的现象 ■ 确定性现象：在一定条件下必然发生的现象。
实例： “上抛的石子必然下落”， “太阳从东方升起”， “水从高处往低处流”， “同性电荷互斥” 等。
随机现象
在一定条件下，可能出现也可能不出现的现象。
E1
“在相同条件下抛一枚硬币，观察哪面朝上”
结果有可能出现正面 也可能出现反面
事件的运算法则
对于任意三个事件 A，B，C，满足下列运算：
1) 若 2) 则
A B, B C ,， A C
3)A B A B A A 交换律
4) 结合律 A ( B C ) ( A B) C
A B B A, A B B A
A ( B C ) ( A B) C
样本空间 样本点
随机试验的每一个可能的结果称为样本点，用w表示. 由全体样本点组成的集合称为样本空间，用U表示.
实例
E1：“抛一枚硬币，观察哪面朝上”. 则样本空间 U={正面朝上，反面朝上}. 若用w_1表示正面朝上，w_2表示反面朝上, 则样本空间也可表示为 U={w_1，w_2}.
E2 “掷一颗均匀骰子，观察出现的点数情况” 则样本空间为 U={1，2，3，4，5，6}.
随机事件与样本空间的关系
随机事件与样本空间的关系在概率论中，随机事件与样本空间是密不可分的概念。
理解二者之间的关系对于概率计算和推理至关重要。
本文将介绍随机事件和样本空间的定义、关系以及在概率计算中的应用。
一、随机事件的概念随机事件是指在一次特定的试验中可能发生或不发生的现象。
它是样本空间中的一个子集。
例如，掷一枚硬币，其试验结果可以是正面朝上（事件A）或反面朝上（事件B）。
在这个例子中，事件A和事件B分别是试验的两个随机事件。
二、样本空间的定义样本空间是指一个随机试验中所有可能结果的集合。
它包含了实验中的每一个可能结果。
以掷一枚硬币为例，样本空间为{正面，反面}。
样本空间可以有有限个元素，也可以是一个无穷集合。
三、随机事件与样本空间的关系随机事件是样本空间的子集。
它们之间的关系可以用包含关系来描述。
具体而言，一个事件A发生意味着试验的结果属于A所对应的样本点集合。
相反，如果试验结果属于事件A，那么事件A就发生了。
四、概率计算中的应用概率计算是研究随机事件发生可能性的重要方法。
随机事件和样本空间的关系在概率计算中起着关键作用。
1. 计算概率概率可以通过事件发生的样本点数量与样本空间中样本点总数的比值来计算。
例如，假设在掷一枚硬币的试验中，事件A表示正面朝上，那么事件A发生的概率为P(A) = |A| / |样本空间|，其中|A|表示事件A中的样本点数量，|样本空间|表示样本空间中的样本点数量。
2. 事件间的运算根据随机事件和样本空间的关系，可以进行并、交、差等运算。
例如，事件A和事件B的并集为A∪B，表示A和B中至少有一个发生的样本点的集合。
交集为A∩B，表示A和B同时发生的样本点的集合。
差集为A-B，表示A发生而B不发生的样本点的集合。
3. 条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率计算中，样本空间会根据已知事件的发生而被限制在一个子集中，从而影响概率的计算。
例如，已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率可以表示为P(B|A) = P(A∩B) / P(A)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
随机事件与样本空间
问题情境
木柴燃烧,产生热量
明天，地球还会转动
实心铁块丢入水中,铁块浮起
在0 C下，这些雪融化
0
在一定条件下: 必然会发生的事件叫必然事件; 必然不会发生的事件叫不可能事件;
试判断这些事件发生的可能性：
（1）木柴燃烧，产生热量 必然发生 （2）明天,地球仍会转动 必然发生
必然事件
（3）实心铁块丢入水中,铁块浮起 不可能发生 （4）在标准大气压00C以下，雪融化 不可能发生
乙同学
布 剪子 石头
． ． ． ． ． ． ． ． ．
石头 剪子 布
甲同学
• • • •
练习 写出下列随机试验的样本空间： （1）种下一粒种子，观察种子是否发芽； （2）甲乙两队进行一场比赛，观察甲队的 胜负结果； • （3）从含有15件次品的100件产品中任取5 件，观察其中的次品数。
Ω１＝｛发芽，不发芽｝ Ω２＝｛胜，负，平｝ Ω３＝｛０，１，２，３，４，５｝
不可能事件
（5）在刚才的图中转动转盘后，指针指向黄色区域
可能发生也可能不发生 （6）两人各买1张彩票，均中奖 可能发生也可能不发生 随机事件
试分析:“从一堆牌中任意抽一张抽到红牌”这一事 件的发生的可能性?
必然发生
必然不会发生
可能发生, 也 可能不发生
三人每次都能摸到红球吗？
思考：
1、样本空间本身表示的事件是必然事件吗？ 2、用空集φ表示的事件是不可能事件吗？举例 说明 3、某同学投篮5次，“他投中6次”和“他投 中的次数小于6”分别是什么事件？
你能列举几个随 机现象的例子吗?
二、随机试验
在实际中,一般通过观察试验来研究随机现象.
对随机现象的观察或试验称为随机试验,简称 试验。
随机事件与样本空间
随机事件与样本空间随机事件与样本空间是概率论中的两个基本概念，它们对于理解概率和计算概率具有重要意义。
本文将介绍随机事件与样本空间的定义、性质以及与概率相关的概念。
1. 随机事件的定义及性质在概率论中，随机事件是指可以观察或发生的事情。
形式上，随机事件可以用集合表示。
假设我们在某次实验中观察到了一个事件A，它可以是一个点，也可以是多个点的集合。
这个事件A的发生与否由实验的结果决定。
随机事件可以满足以下几个性质：- 任意事件A发生的概率介于0和1之间：0 <= P(A) <= 1。
- 必然事件的概率为1：P(样本空间) = 1。
- 不可能事件的概率为0：P(空集) = 0。
- 若事件A与事件B互斥（不能同时发生），则它们的概率为零：P(A∩B) = 0。
2. 样本空间的定义及性质样本空间是指一个实验中所有可能结果的集合，常用Ω表示。
样本空间中的每个元素都代表了一个可能的结果。
例如，掷一枚硬币的样本空间为{正面，反面}，掷一颗骰子的样本空间为{1，2，3，4，5，6}。
样本空间具有以下性质：- 样本空间是事件的基本组成单元，所有的事件都是由样本空间中的元素构成的。
- 样本空间的元素个数有限且不为0。
- 不同实验的样本空间可以不同。
3. 随机事件的关系与运算在概率论中，我们常常需要对事件之间的关系和事件的运算进行讨论和计算。
常见的事件关系和运算包括：包含关系、互斥关系、并、交、差等。
- 包含关系：事件A包含事件B，表示为A⊇B，当且仅当A发生蕴含B发生。
若A⊇B且B⊇A，则称A与B相等。
- 互斥关系：事件A与事件B互斥，表示为A∩B=∅，即A与B不能同时发生。
- 并：事件A和事件B的并事件，表示为A∪B，包含了A和B中任意一个事件发生的情况。
- 交：事件A和事件B的交事件，表示为A∩B，包含了A和B同时发生的情况。
- 差：事件A减去事件B，表示为A-B，包含了A发生而B不发生的情况。
4. 随机事件的概率计算概率是描述随机事件发生可能性的数值。
样本空间和随机事件的定义
样本空间和随机事件的定义
样本空间和随机事件是统计学中的常用概念，主要用来表示一种不确
定的结果或者过程。
它们的定义比较特殊，可以概括为以下几个步骤：
#### 一、定义样本空间
样本空间是统计学中表示实验抽样结果集合的概念，可以理解为“实
验集合”，它包含所有可能的实验抽样结果，其中所有元素叫做样本点。
要想定义一个样本空间，需要明确几个要素：样本空间的类型，
即数量上的限制；样本空间元素的表示方式；样本空间元素之间的关系，例如概率。
#### 二、定义随机事件
随机事件是指在某个样本空间里，我们关注的一个特定的实验结果。
它是用来描述一定条件下事件发生的概率。
相对于样本空间，随机事
件一般具有较小的范围，并且只包含满足某一特定条件的样本点。
也
就是说，随机事件是根据样本空间里的某一部分的元素而进一步定义的。
#### 三、样本空间和随机事件的关系
在定义完样本空间和随机事件之后，我们可以把它们两个之间的关系
总结为一句话：随机事件是样本空间的子集。
也就是说，样本空间是
一个完整的集合，而随机事件是它的一部分。
定义好样本空间和随机
事件之后，可以通过求解概率，来推断未知变量的取值情况，或者预
测某个事件是否会发生。
总之，样本空间和随机事件是统计学中经常使用的概念，它们之间的关系是样本空间是随机事件的父集，而随机事件是样本空间的子集，可以用来描述某个事件发生的概率，决定未知事件发生的可能性。
它们的定义和使用是根据不同的应用场景而有所不同，且有其自身的特点。
随机事件和样本空间知识点
随机事件和样本空间知识点
随机事件是在一次试验中可能发生或不发生的事件。
样本空间是指所有可能的结果构成的集合。
以下是关于随机事件和样本空间的相关知识点：
1. 样本空间：在一次试验中，所有可能的结果构成的集合。
通常用大写字母S表示，其中的元素称为样本点。
例如，掷一
枚硬币的样本空间为S = {正面，反面}。
2. 随机事件：样本空间中的一个子集称为随机事件。
也就是说，随机事件是样本空间中的一个特定的结果组合。
例如，从掷一枚硬币的样本空间中，可以定义一个事件A，表示出现正面，即A = {正面}。
3. 必然事件和不可能事件：样本空间和空集分别对应着必然事件和不可能事件。
必然事件是指在每次试验中必然发生的事件，记作S；而不可能事件是指在每次试验中不可能发生的事件，
记作∅。
4. 事件的运算：事件之间可以进行运算，包括并集、交集和补集。
- 并集：表示同时包含两个事件的结果。
例如，事件A和事
件B的并集为A∪B，表示包含事件A和事件B中任意一个
结果的集合。
- 交集：表示同时满足两个事件的结果。
例如，事件A和事件B的交集为A∩B，表示包含同时满足事件A和事件B结果的集合。
- 补集：表示不属于一个事件的结果。
例如，事件A的补集为A的补，记作A'，表示所有不属于事件A结果的集合。
5. 事件的概率：事件发生的可能性称为概率。
概率一般用一个实数表示，范围在0到1之间。
这些是关于随机事件和样本空间的基本知识点，可以帮助我们理解随机事件的概念和计算概率的方法。
概率与统计中的样本空间与随机事件
概率与统计中的样本空间与随机事件概率与统计是数学中非常重要的一个分支，它研究的是在不确定性条件下，通过样本空间和随机事件的概念，对现实世界中事件的发生进行量化和解释。
在本文中，我们将深入探讨概率与统计中的样本空间与随机事件的概念、性质以及其在实际问题中的应用。
一、样本空间的定义与性质在概率与统计中，样本空间指的是一个随机试验所有可能结果的集合。
举个例子来说，如果我们进行一次抛硬币的实验，那么样本空间可以表示为{正面，反面}。
样本空间中的每个元素称为一个样本点，而样本空间的大小称为样本点的个数。
样本空间可以用数学符号Ω表示。
样本空间具有以下性质：1. 样本空间是一个集合，其中的元素表示所有可能的结果。
2. 样本空间中的元素是互斥的，即一个实验结果只能对应样本空间中的一个元素。
3. 样本空间中的元素是完备的，即包含了实验的所有可能结果。
4. 样本空间是随机试验的基本概念，是进行概率计算的起点。
二、随机事件的定义与性质在样本空间的基础上，我们可以定义随机事件。
随机事件是指样本空间的子集，即由样本空间中的若干个样本点构成的集合。
举个例子来说，如果我们定义事件A为抛硬币的结果是正面朝上，那么事件A 可以表示为{正面}，它是样本空间的一个子集。
随机事件具有以下性质：1. 随机事件是样本空间的一个子集，由样本点构成。
2. 随机事件可以是单个样本点，也可以是多个样本点组成的集合。
3. 随机事件可以是空集，即不包含任何样本点的事件。
4. 样本空间本身以及包含所有样本点和空集的事件也是随机事件。
三、样本空间与随机事件在实际问题中的应用概率与统计作为一门应用广泛的学科，其样本空间与随机事件的概念在实际问题中具有重要的应用价值。
以下是一些典型的应用场景：1. 投资决策：在金融领域中，投资决策往往需要对不同投资方案的风险和回报进行评估。
通过建立样本空间和定义相应的随机事件，可以对不同投资方案进行量化和比较，从而做出更明智的决策。
1.1随机试验、样本空间、随机事件
随机试验E
例如：抛一颗骰子，观察其出现的点数.
样本点
可能的结果：1 点、2 点、3 点、4 点、5 点、6 点.
所有可能结果的集合：{1 点、2 点、3 点、4 点、5 点、6 点}.
样本空间
随机试验、样本空间、随机事件
定义 随机试验 E 的所有可能结果组成的集合，称为 E 的样本空间， 记为 S. 样本空间的元素，即 E 的每个结果，称为样本点，记为ei .
结合律： AU( BUC) = ( AUB) UC ， ( AI B) I C = AI ( BI C) .
分配律： AU( BI C) = ( AUB) I ( AUC) ， AI ( BUC) = ( AI B) U( AI C) .
德摩根律： A U B = A I B ， A I B = A U B .
随机现象 概率论与数理统计
——研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科！
随机试验、样本空间、随机事件
二、随机试验 E1：抛一枚硬币，观察其出现正面 H 、反面T 的情况； E2 ：抛一颗骰子，观察其出现的点数； E3：抛一颗骰子，观察点数 2 是否出现； E4 ：记录车站售票处一天内售出的车票数； E5 ：任取同一生产线上生产的一只灯泡，测试其寿命； E6 ：在[0,1]之间随机地投一点，记录该点的坐标.
随机试验、样本空间、随机事件
例 1 设 A、B、C 为三个事件，试用其运算关系表示下列事件：
（1）A、B、C 同时发生；
ABC
（2）A、B、C 至少有一个发生；
AU B UC
（3）A、B、C 至少有两个发生；
AB U BC U AC
（4）A、B、C 都不发生；
ABC
（5）A、B、C 不都发生.
概率论中的随机事件和样本空间
概率论中的随机事件和样本空间概率论是数学中的一个重要分支，是研究随机事件发生的规律的学科。
在概率论中，随机事件和样本空间是非常基础的概念。
它们的理解对于理解概率论的整个体系以及应用非常重要。
本文将深入解析随机事件和样本空间的概念、性质和应用。
一、随机事件和样本空间的概念随机事件指可能发生也可能不发生的结果，可以用事件的形式来描述。
例如扔一枚硬币，事件可以表示为“正面朝上”或“反面朝上”。
而样本空间指所有可能出现的结果组成的集合，通常用大写字母S来表示。
以扔一枚硬币为例，样本空间可以表示为S={正，反}。
其中正和反为样本点，也可以表示为ω1和ω2。
二、随机事件和样本空间的性质1、不可能事件：事件不会发生，即概率为0。
例如扔一枚硬币出现“正”和“反”的可能性是相等的，所以不可能事件为硬币竖直立着，既不朝上也不朝下。
2、必然事件：事件一定会发生，即概率为1。
例如扔一枚硬币一定朝上或朝下，所以必然事件为“硬币朝上”和“硬币朝下”。
3、事件的互斥性：如果两个事件A和B至少有一个发生的话，那么这个事件的概率就是A和B概率之和。
4、事件的独立性：如果事件A发生与否不影响事件B发生的可能性，那么称A和B是互相独立的。
三、样本空间和事件的应用概率论在现实生活中有广泛应用，例如赌博、证券交易、保险、抽样调查等。
下面以抽样调查为例，说明样本空间和事件的应用。
在抽样调查中，研究对象的总数往往很大，难以全部进行统计和研究。
因此，需要从总体中抽取一部分进行研究，这部分就被称为样本。
在这个过程中，样本空间是指可能被抽到的所有样本组成的集合。
例如，假设要进行某市民的选举调查，抽取1000人作为样本。
样本空间可以表示为S={第1个受访者，第2个受访者，…，第1000个受访者}。
而事件则是针对研究对象的某种特征或情况而定义的，例如这1000个受访者中有多少人会投票选某位政治人物。
事件的概率表示着该事件发生的可能性大小，它是通过概率分布函数（PDF）或概率密度函数（PDF）来计算的。
1.1 样本空间与随机事件解析
H→正面，T→反面
S1 { H , T }.
(2)抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
可能结果为: “1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”.
S2 {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
(3)4件产品，2正，2次，从中任取3件，观察正次品出 现情况.
“点数不大于4”, “点数为偶数” 等均为随机事件
例2：将一枚硬币抛两次，事件A表示“第一次出现正 面”，事件B表示“两次出现同一面”，事件C表示“至 少出现一次正面”。试写出该试验的样本空间、随机 事件A,B,C。 练习：同时投掷两枚骰子，试写出该试验的样本空间、 随机事件A,B,C。事件A表示“出现的点数之和大于 10”, 事件B表示“出现的点数均为奇数”，事件C表示“出 现 的点数之差的绝对值小于2”。
习题3：袋中装有6个球，4白(a,b,c,d)，2红 (x,y)，试用列举法写出下列试验的样本空间。
E1( 放回抽样)：取一个，放回后，再取一个。
{(i1 , i2 ) 1 i1 , i2 6} 1 i1 i2 6}
n 6 6 n 65
65 n 15 1 2
练习4：观察某时间段内某交通路口的机动车流量情况。
综合习题：
试用列举法写出下列试验的样本空间、随机事件。 习题1：同时掷两枚硬币，观察正反面出现情况，事 件A表示掷出同一面，事件B表示其中一枚掷出正面。
习题2：将一枚骰子连续掷两次，记录骰子点数出现 情况，事件A表示点数之和等于7，事件B表示两枚 骰子点数之差等于1。
S5 {t t 0}. 其中t表示灯泡的使用寿命
注 1. 试验不同, 对应的样本空间一般不同. eg S={H,T} 可以作为抛掷硬币试验的样本空间
考研数学《概率论与数理统计》知识点总结
考研数学《概率论与数理统计》知识点总结引言《概率论与数理统计》是考研数学中的一个重要分支，它不仅要求学生掌握理论知识，还要求能够运用这些知识解决实际问题。
本文档旨在对《概率论与数理统计》的核心知识点进行总结，帮助考生系统复习。
第一部分：概率论基础1. 随机事件与样本空间随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。
样本空间：所有可能结果的集合。
2. 概率的定义古典定义：适用于有限样本空间，每个样本点等可能发生。
频率定义：长期频率的极限。
主观定义：基于个人信念或偏好。
3. 概率的性质非负性：概率值非负。
归一性：所有事件的概率之和为1。
加法定理：互斥事件概率的和。
4. 条件概率与独立性条件概率：已知一个事件发生的情况下，另一个事件发生的概率。
独立性：两个事件同时发生的概率等于各自概率的乘积。
5. 随机变量及其分布离散型随机变量：可能取有限个或可数无限个值。
连续型随机变量：可能取无限连续区间内的任何值。
分布函数：随机变量取值小于或等于某个值的概率。
第二部分：随机变量及其分布1. 离散型随机变量的分布概率质量函数：描述离散型随机变量取特定值的概率。
常见分布：二项分布、泊松分布、几何分布等。
2. 连续型随机变量的分布概率密度函数：描述连续型随机变量在某区间的概率密度。
常见分布：均匀分布、正态分布、指数分布等。
3. 多维随机变量及其分布联合分布：描述多个随机变量联合取值的概率。
边缘分布：从联合分布中得到的单一随机变量的分布。
条件分布：给定一个随机变量的条件下，另一个随机变量的分布。
第三部分：数理统计基础1. 数理统计的基本概念总体与样本：总体是研究对象的全体，样本是总体中所抽取的一部分。
统计量：根据样本数据计算得到的量。
2. 参数估计点估计：用样本统计量估计总体参数的单个值。
区间估计：在一定概率下，总体参数落在某个区间的估计。
3. 假设检验原假设与备择假设：研究问题中的两个对立假设。
检验统计量：用于决定是否拒绝原假设的量。
11.2.1随机事件与样本空间
二、随机事件的概念
1. 基本概念
随机事件 随机试验每种可能的结果称为 随机事件, 简称事件.也就是样本空间的任一个子集
基本事件 不能再分的最简单的随机事件称为基本事件. 实例 “出现1点”, “出现2点”, … , “出现6点”. 必然事件 随机试验中必然会出现的结果. 实例 上述试验中 “点数不大于6” 就是必然事件. 不可能事件 随机试验中不可能出现的结果. 实例 上述试验中 “点数大于6” 就是不可能事件.
任务二：利用概念学习例1
例1 甲、乙两同学做一次猜拳游戏（石头、 剪子、布）： （1）写出这个随机试验的样本空间 （2）求这个随机试验的基本事件的个数 （3）“出现平局”这一事件的包含哪几个基 本事件
｛(石头，石头),(石头，剪子）,（石头，布）,（剪子，石头）, (剪子，剪子），(剪子,布）,（布，石头）,（布，剪子）,（布,布）｝
例1 甲、乙两同学做一次猜拳游戏（石头、 剪子、布）： （1）写出这个随机试验的样本空间 （2）求这个随机试验的基本事件的个数 （3）“出现平局”这一事件的包含哪几个基 本事件
｛(石头，石头),(石头，剪子）,（石头，布）,（剪子，石头）, (剪子，剪子），(剪子,布）,（布，石头）,（布，剪子）,（布,布）｝
二、随机事件的概念
1. 基本概念
随机事件 随机试验每种可能的结果称为 随机事件, 简称事件.也就是样本空间的任一个子集
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数.
试验中,骰子“出现1点”, “出现2点”, … ,“出现6点” “点数不大于4”, “点数为偶数” 等都为随机事件.
一、概念
随机现象 事先不能确定哪一种结果将会发生的现象 随机ห้องสมุดไป่ตู้验 在实际中，一般通过观察试验来研究随机现象 对随机现象的观察或试验称为随机试验 随机事件 随机试验中每种可能的结果。简称事件 基本事件 不能再分的最简单的随机事件。 样本空间 全体基本事件构成的集合。通常用 表示 实例1 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
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〖教学关键〗以例子引入,用集合知识来理解有关概念
【课 型】新授课
【教 法】启发式讲授法
【教具及课前准备】实物投影仪
【教学过程】
〖组织教学〗做好教学准备工作,及时到岗维持秩序
〖引入课题〗教师投影问题,学生观察思考
1. 观察下列一些现象。
（1）抛一块石头，下落；
三、样本空间：一个随机试验的一切可能结果构成的集合。通常用大写希腊字母Ω表示。
四、基本事件：样本空间的元素（随机试验每一个可能出现的结果）。通常用小写希腊字母ω表示。
五、随机事件：样本空间的任一个子集，(在一定条件下可能发生也可能不发生的事件)简称事件，通常用大写英文字母A、B、C等表示。
例子：1、投掷一枚硬币。
样本空间Ω＝｛正面向上，反面向下｝，简记Ω＝｛正，反｝
基本事件有两个：正面向上，反面向下。
2、掷一颗骰子。
样本空间Ω＝｛1点，2点，3点，4点，5点，6点｝，
简记Ω＝｛1，2，3，4，5，6｝；基本事件有6个。
掷一颗骰子样本空间的一个子集A＝｛2，4，6｝表示掷得偶数点的事件
六、两个特殊的事件：必然事件和不可能事件
〖指定作业〗P208 A组 2、3随机现象
引例：
二、随机试验
三、样本空间
四、基本事件
五、随机事件
六、两个特殊事件
必然事件
不可能事件
事例说明
例题讲授
例题：
【课 后 记】本节学习了样本空间和随机事件的有关概念，从集合的角度来理解，学生掌握较好。
（2）在常温下，焊锡熔化；
（3）掷一枚硬币，可能正面向上,也可能反面向上；
（4）买一张彩票,可能中奖也可能不中奖；
（5）某足球运动员踢点球一次,可能踢中也可能踢不中;
（6）从含有次品的一批产品中,任意抽取5件进行检验,其中可能有0、1、2、3、4、5件次品
教师和学生一起分析：上面事件发生与否，各有特点。
样本空间本身表示的事件。在一定的条件下必然发生的事件是必然事件。
空集Φ表示的事件。在一定的条件下不可能发生的事件是不可能事件
例子：掷一枚硬币，正面向上或反面向上是必然事件。
掷一枚硬币，不出现正面向上或且不出现反面向上是不可能事件
例题讲评：连续掷3枚硬币：
（1）写出这一试验的样本空间；
（2）求这个试验的基本事件的个数；
教 学 内 容
第课时
【课 题】随机事件与样本空间
【教学目标】
〖知识目标〗1.了解随机现象和随机实验的概念,掌握样本空间的概念.
2. 了解必然事件，不可能事件，随机事件的概念
〖技能目标〗学生学会写出随机实验的样本空间
〖德育目标〗培养学生科学的数学思想和治学态度.
【教材分析】
〖教学重点〗了解样本空间,随机事件的概念
（3）“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件？
解：（1）Ω＝｛正，正，正｝，｛正，反，正｝，｛正，正，反｝，｛正，反，反｝，｛反，正，正｝，｛反，反，正｝，｛反，正，反｝，｛反，反，反｝；
（2）基本事件的个数是8；
（3）“恰有两枚正面向上”包含以下三个基本事件：
｛正，反，正｝，｛正，正，反｝，｛反，正，正｝。
（4）一个电影院某天的上座率超过50%.
2、作投掷一颗骰子试验，用样本空间的子集写出下列事件：
（1）“出现奇数点”； （2）“点数大于3”
3、出下列随机试验的样本空间：
（1）下一粒种子，观察发芽情况；
（2）甲、乙两队进行一场足球比赛，观察甲队的胜负结果；
(3)从含有15件次品的100件产品中任取5件，观察其中的次品数。
〖教师小结〗本节学习了样本空间和随机事件的有关概念，
从集合的角度来理解：
样本空间——基本事件——随机事件——必然事件——不可能事件
集合——元素——子集——集合本身——空集
〖效果检测〗
1、指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件.
（1）某地1月1日刮西北风；
（2）当x是实数时，x2≥0;
（3）手电筒的电池没电，灯泡发亮；
现象（1）是必然的；
（2）是不可能的；
（3）、（4）、（5）、（6）是有多种可能发生的结果。
〖顺序讲解〗
一、随机现象：事前不能完全确定，事后会出现各种可能结果之一的现象如（3）、（4）、（5）、（6）
二、随机试验：试验的结果不能预测，但一切可能出现的结果是可以知道的试验。
如（3）、（4）、（5）、（6）这些试验。