常州市教育学会学业水平监测高中数学

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2024届江苏省常州市教育学会高一数学第二学期期末质量检测模拟试题含解析

2024届江苏省常州市教育学会高一数学第二学期期末质量检测模拟试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．《趣味数学·屠夫列传》中有如下问题：“戴氏善屠，日益功倍。

初日屠五两，今三十日屠讫，问共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？” （） A ．3052⨯B ．2952⨯C ．3021-D ．()30521⨯-2．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则（） A ．11x y x y->- B ．cos cos 0x y -<C ．110x y-> D ．ln x +ln y >03．ABC ∆的斜二测直观图如图所示，则原ABC ∆的面积为（）A ．22B ．1C 2D ．24．把函数cos y x =的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），然后把图象向左平移4π个单位，则所得图形对应的函数解析式为（） A ．cos 24x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．cos 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．cos 28x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．cos 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭5．函数5()3cos 4f x x π⎛⎫=+图像的一个对称中心是（）A ．,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,06π⎛⎫⎪⎝⎭6．过点(3,2)且与直线450x y --=垂直的直线方程是（） A ．450x y +-= B ．450x y -+= C ．4100x y --=D ．4140x y +-=7．甲、乙两人在相同条件下，射击5次，命中环数如下：根据以上数据估计（） A ．甲比乙的射击技术稳定 B ．乙.比甲的射击技术稳定 C ．两人没有区别D ．两人区别不大8．已知平面内，•0AB AC =，•1AB AC =，且4AB AC AP ABAC=+，则•PB PC 的最大值等于（） A ．13B ．15C ．19D ．219．已知点(2,3),(3,2)A B ---，直线l 方程为10kx y k -++-=，且直线l 与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围为（）A ．34k ≥或 4k ≤- B ．34k ≥或 14k ≤- C ．344k -≤≤D ．344k ≤≤ 10．若实数x ，y 满足约束条件0{2020y x y x y ≥-+≥+-≥，则2z x y =-的取值范围是（）A ．[]44，- B ．[]24-，C ．[)4-+∞，D ．[)2，-+∞ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

江苏省常州市教育学会2023-2024学年高二下学期6月学业水平监测数学试题【含答案】

常州市教育学会学业水平监测高二数学2024年6月注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}2230M x x x =--<，{}2ln 5N x x =-≤≤，则M N ⋂=（）A ．[)ln 5,3B ．(]1,ln 5-C ．[)2,1-D ．[)2,3-2．已知曲线()2ay x a x=-∈R 在2x =处的切线斜率为2，则=a （）A ．18-B ．18C ．8-D ．83．对于实数,,a b c ，“a b >”是“22ac bc >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．从3名男生与2名女生中选出2人担任班委，则“恰有1名男生与1名女生当选”的概率是（）A ．310B ．25C ．35D ．235．某市为了解高一新生的身高情况，抽取了10000位高一新生的身高作为样本.若高一新生的身高X 近似服从正态分布()2165,N σ，且()1800.1P X ≥=，则在10000位高一新生中身高在区间[]150,180内的人数约为（）A ．2000B ．4000C ．6000D ．80006．已知0x >，0y >，且21x y +=，则22x yxy+的最小值为（）A ．172B．1+C ．4D．4+7．已知函数()()πtan 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图，则5π18f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．33B．CD．2+8．已知函数()f x 及其导数()f x '的定义域均为R ，对任意实数x ，()()2f x f x x =--，且当0x ≥时，()10f x x '++>.不等式()()232232xf x f x x --<-+的解集为（）A ．(),2-∞B ．2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()2,2,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知符号函数()1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则（）A ．()sgn x 是周期函数B ．对任意的x ∈R ，()sgn x x x =--C ．函数()2sgn xy x =的值域为(][)1,01,-+∞ D ．函数()2sgn ln y x x =-的值域为{1y y <-或}01y ≤<10．现有编号分别为1，2，3的三个袋子，装有质地均匀且大小相同的小球.1号袋中有10个小球，其中红球3个；2号袋中有10个小球，其中红球4个；3号袋中有20个小球，其中红球5个.现将所有小球标记后放入一个袋中混合均匀，从中随机抽取一个小球，记事件M ：该球为红球，事件i A ：该球出自编号为()1,2,3i i =的袋子，则（）A ．()1310P M A =B ．()1920P M =C ．()223P A M =D ．()318P MA =11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A B 的中点，点Q 在正方形11CC D D 内部及其边界上运动，则下列说法正确的有（）A ．当PQ =Q 的轨迹长度为πB ．若//PQ 平面1A BD ，则PQ 长度的最小值为2C ．当PQ =Q AB P --D ．记直线PQ 与平面11AA B B 所成角为θ，则sin θ的取值范围是2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知函数()1e x f x +=，()3g x x =，若存在实数a ，b ，使得()()f a g b =，请写出b a -的一个可能值：.13．如图，在半径为8的半圆形纸片中，O 为圆心，AB 为直径，C 是弧AB 的中点，D 是弧AC 的中点，将该纸片卷成一个侧面积最大的无底圆锥后，异面直线OA 与CD 所成角的余弦值是.14．定义{}min ,,a b c 表示,,a b c中最小的数，已知实数,,a b c 满足0a b ++=，2=-，则{}min ,,a b c 的最大值是.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．已知a ∈R ，命题p ：x ∀∈R ，220x x a ++>为真命题.实数a 的取值集合记为A .(1)求集合A ；(2)设()1ln1x m f x m x--=--的定义域为集合B ，若B A ⊆，求实数m 的取值范围.16．如图，直线PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是梯形，//AB CD ，CD PA ⊥，F 为线段PA 上异于端点的一点，112PD AB AD CD ====，四边形PDCE 是平行四边形.(1)若F 是PA 的中点，求证：//AC 平面DEF ；(2)求二面角F PB C --的大小.17．在①()f x 在区间2π7π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，②0π12f ⎛-⎫= ⎪⎝⎭，③()π03f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭这三个条件中任选一个，补充在下面题目中，并解答.已知函数()()πsin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，___________.(1)当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()1f x m -≤恒成立，求实数m 的取值范围；(2)将函数()f x 的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为12倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，求()g x 的单调增区间.18．某研发团队研发了一款聊天机器人，在对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，机器人作答正确的概率为0.8；如果出现语法错误，机器人作答正确的概率为0.3.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，机器人的作答是否正确相互独立.该研发团队成员小王想挑战一下聊天机器人，与机器人各自从给定的10个问题中随机抽取5个作答.已知在这10个给定的问题中，小王恰好能正确作答其中9个问题.(1)对抽出的5个问题，求小王能全部答对的概率；(2)求聊天机器人答对题数X 的数学期望；(3)答对题数较多者判定为获胜，求小王获胜的概率.19．已知函数()()e ln 1xf x x ax =++-，a ∈R .(1)若()f x 在区间()1,-+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)当3a =时，判断关于x 的方程()1f x =实数根的个数，并证明.1．B【分析】先将集合M 化简，再利用交集运算的定义求解.【详解】集合{}{}2230|13M x x x x x =--<=-<<，因为21ln 5ln e 2lne =<<=，所以{|1ln 5}M N x x ⋂=-<≤，即(1,ln 5]M N ⋂=-.故选：B 2．C【分析】借助导数的运算法则求出导数后，结合导数的几何意义计算即可得.【详解】22a y x x '=+，由题意22222a⨯+=，解得8a =-.故选：C.3．B【详解】试题分析：由于不等式的基本性质，“a ＞b”⇒“ac ＞bc ”必须有c ＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B 考点：不等式的性质点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．4．C【分析】求出从5人中选2人的方法数，再求出选的两人恰有1名男生与1名女生的方法数，然后由古典概型的概率公式求解即可.【详解】因为从3名男生与2名女生中选出2人有25C 10=种选法，选的两人恰有1名男生与1名女生的有1132C C 6=种选法，所以所求的概率为63105=.故选：C 5．D【分析】借助正态分布的对称性可得()150180P X ≤≤，即可得解.【详解】由()2165,X N σ ，()1800.1P X ≥=，则()150180120.10.8P X ≤≤=-⨯=，100000.88000⨯=，故人数约为8000人.故选：D.6．D【分析】借助“1”的活用，结合基本不等式计算即可得.【详解】()22222224=2x y x y xyxy xy xyx y x y +++++⋅=4≥==+，当且仅当222x y =，即47x =，2217y =时，等号成立.故选：D.7．B【分析】利用正切型函数的图像得出T ，再算出,ωϕ，从而得解.【详解】由图像可知：ππ2π2263T T =-⇒=，所以π32T ω==，把π,02⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式得：()3π3πtan 0π224k k ϕϕ⎛⎫⋅+=⇒=-∈ ⎪⎝⎭Z ，因为π2ϕ<，取1k =得π4ϕ=，所以()3πtan 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则5π35ππ2πtan tan1821843f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B.8．B【分析】构造函数()()212g x f x x x =++，从而结合导数与所给条件得到函数()g x 的单调性与对称性，在将所给不等式中()f x 化为()g x 即可得解.【详解】令()()212g x f x x x =++，则()()1g x f x x ''=++，由题意可得，当0x ≥时，()10f x x '++>，即()g x 在()0,∞+上单调递增，由()()2f x f x x =--，则()()2211222g x x x g x x x x --=--+-，即()()g x g x =-，故()g x 为偶函数，故()g x 在(),0∞-上单调递减，则不等式()()232232x f x f x x --<-+可化为：()()()()2221132222223222x g x x x g x x x x ------++<-+，即()()22g x g x -<，则有22x x -<，即()2222x x -<，即()()22220x x x x -+--<，即()()3220x x --<，解得2,23x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造函数()()212g x f x x x =++，从而结合导数与所给条件得到函数()g x 的单调性与对称性.9．BD【分析】对A ：利用周期函数性质举出反例即可得；对B ：将x 与()sgn x 都写成分段形式即可得；对C 、D ：利用符号函数，将所给函数化为分段函数形式后结合指数与对数函数的性质分段计算其值域即可得.【详解】对A ：由()sgn 00=，当0x ≠时，()sgn 0x ≠，故()sgn x 不是周期函数，故A 错误；对B ：,00,0,0x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，由()1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则(),0sgn =0,0,0x x x x x x x >⎧⎪--=⎨⎪-<⎩，故对任意的x ∈R ，()sgn x x x =--，故B 正确；对C ：()2,02sgn 0,02,0x xx x y x x x ⎧>⎪===⎨⎪-<⎩，当0x >时，()21,x y =∈+∞，当0x =时，0y =，当0x <时，()21,0xy =-∈-，综上所述，函数()2sgn xy x =的值域为(]()1,01,⋃-+∞，故C 错误；对D ：()222,01sgn ln =0,1,1x x y x x x x x ⎧<<⎪=-=⎨⎪->⎩，则01x <<时，()20,1y x =∈，当1x =时，0y =，当1x >时，()2,1y x =-∈-∞-，故函数()2sgn ln y x x =-的值域为{1y y <-或}01y ≤<，故D 正确.故选：BD.10．ACD【分析】根据条件概率的计算公式即可结合选项逐一求解.【详解】由题意可知()345310102010P M ++==++，()11011010204P A ==++故()()1113()3401104P MA P M A P A ===,()2235()2403()310P A M P A M P M +===,()33351()(),103458P MA P M P A M =⋅=⨯=++故选：ACD 11．AD【分析】建立适当空间直角坐标系后，设出Q 点坐标，对A ：利用空间两点间距离公式计算即可得点Q 轨迹，即可得其长度；对B ：借助空间向量求出平面1A BD 法向量可得点Q 轨迹，即可得其长度的最小值；对C ：借助空间向量求出两平面的法向量后可得其夹角的余弦值，结合点Q 轨迹即可得其范围；对D ：求出平面11AA B B 法向量后借助空间向量夹角公式计算即可得.【详解】以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则有()0,0,0D ，()2,1,2P ，设()0,,Q m n ，02m ≤≤，02n ≤≤，对A ：PQ ==()()22121m n -+-=，则点Q 的轨迹为以()0,1,2为圆心，1为半径，且在正方形11CC D D 内部的半圆，则点Q 的轨迹长度为12π1π2⨯⨯=，故A 正确；对B ：()2,1,2PQ m n =---，()12,0,2A ，()2,2,0B ，则()12,0,2DA = ，()2,2,0DB = ，令平面1A BD 的法向量为()111,,m x y z =，则有11111220220m DA x z m DB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，可令11x =，则111y z ==-，即()1,1,1m =-- ，由//PQ 平面1A BD ，则有()()()()2111210PQ m m n ⋅=-⨯+-⨯-+-⨯-=，即1m n +=，则PQ ===≥，故B 错误；对C ：()2,0,0A ，()2,,AQ m n =- ，()2,2,BQ m n =--，设平面ABQ 的法向量为()222,,x y z α=，则有()22221220220AQ x my nz BQ x m y nz αα⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+-+=⎪⎩ ，可令2x n =，则20y =，22z =，即(),0,2n α=，易得x 轴⊥平面ABP ，故平面ABP 的法向量可为()1,0,0β=，则cos ,αβαβαβ⋅==⋅ 由A 知()()22121m n -+-=，故()()221120m n -=--≥，即[]1,2n ∈，则52cos ,,52αβ=⎥⎣⎦ ，故二面角Q AB P --C 错误；对D ：()2,1,2PQ m n =--- ，平面11AA B B 法向量为()1,0,0β=，则sin cos ,PQ PQ PQ βθββ⋅===⋅由02m ≤≤，02n ≤≤，则()()[]22120,5m n -+-∈，故2sin ,13θ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于建立适当空间直角坐标系，从而借助平面的法向量研究位置关系，借助空间向量的夹角公式研究二面角或线面角.12．2（答案不唯一）【分析】取1,1a b =-=即可代入求解.【详解】取1,1a b =-=，则()()()()01e 1,11f a f g b g =-====，满足()()f a g b =，此时2b a -=，故答案为：2（答案不唯一）13．24【分析】根据圆锥的几何特征，结合异面直线所成角的几何法，即可利用三角形的边角关系求解.【详解】如图，设圆锥的底面圆半径为r ，则8π2π4r r =⇒=，D 是弧AC 的中点，ADC △为等腰直角三角形，故2DC r ===过A 作//AM DC 交底面圆于M ，则M 为弧AC 中点，故22222AM AC r ==⨯=,又8OA OM ==,所以12cos 84AMOAM OA ∠==，故异面直线OA 与CD ．故答案为：24.14．2-【分析】由题先分析出实数,,a b c ，一负两正，然后利用基本不等式放缩求出最小值的最大值即可.【详解】因为0a b ++=，2=-，所以,a b 两个数中有一个负数，不妔设a<0，所以{}min ,,a b c a =，由已知可得a b =-，所以(2b -+-，所以(2b +=，所以2(b =≥，所以31≤，所以1≤，由2a=≤-，故{}min ,,a b c 的最大值是2-.故答案为：2-15．(1){}|1a a >(2)[)2,+∞【分析】（1）根据Δ0<求出a 的取值范围，即可求出A ；（2）依题意可得101x m m x-->--，解得即可求出B ，再根据B A ⊆，得到11m -≥，解得即可.【详解】（1）因为命题p ：x ∀∈R ，220x x a ++>为真命题，所以2240a ∆=-<，解得1a >，所以{}|1A a a =>；（2）对于函数()1ln 1x m f x m x--=--，则101x m m x -->--，即()()110x m x m -+--<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，因为11m m +>-，解得11m x m -<<+，所以{}|11B x m x m =-<<+，又B A ⊆，所以11m -≥，解得2m ≥，即实数m 的取值范围为[)2,+∞.16．(1)证明见解析(2)5π6【分析】（1）借助中位线的性质可得线线平行，结合线面平行的判定定理即可得；（2）结合所给位置关系，建立适当空间直角坐标系，借助空间向量夹角公式计算即可得.【详解】（1）连接PC ，设其与DE 交于M ，由四边形PDCE 是平行四边形，则M 为PC 中点，连接FM ，又F 是PA 的中点，则//FM AC ，由AC ⊄平面DEF ,FM ⊂平面DEF ,故//AC 平面DEF ；（2）由PD ⊥平面ABCD ，,AD CD ⊂平面ABCD ，则PD CD ⊥，PD AD ⊥，有CD PA ⊥，PA PD P = ，,PA PD ⊂平面PAD ，故CD ⊥平面PAD ，又AD ⊂平面PAD ，故CD AD ⊥，故PD 、DA 、DC 两两垂直，故可以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，有()0,0,0D 、()0,0,1P 、()1,0,0A 、()1,1,0B 、()0,2,0C ，则()1,0,1PA =- 、()1,1,1PB =- 、()0,2,1PC =- ,令平面FPB 与平面PBC 的法向量分别为()111,,m x y z = 、()222,,n x y z = ，则有1111100m PA x z m PB x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，22222020m PB x y z m PC y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令121x x ==，则有10y =，11z =，21y =，12z =，即()1,0,1m = ，()1,1,2n = ，则cos ,m n m n m n ⋅==⋅ 由图可知，二面角F PB C --为钝角，故二面角F PB C --的余弦值为，则二面角F PB C --的大小为5π6.17．(1)11,22⎤-⎢⎥⎣⎦(2)ππππ,,Z 21226k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）首先选出条件，再利用条件求出π6ϕ=，进而求出函数()f x 在ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最值，再结合恒成立的不等式求解即得.（2）根据（1）的结论，利用三角函数图象变换求出()g x ，再利用正弦函数的性质求出递增区间.【详解】（1）选条件①()f x 在区间2π7π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又()()πsin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，得ππ4π7π2,2233x ϕϕϕϕ⎛⎫-<<⇒+∈++ ⎪⎝⎭，所以满足条件π4π2π23,Z 7ππ2π32k k k ϕϕ⎧-≤+⎪⎪∈⎨⎪+≤+⎪⎩，得11π11π2π2π,Z 66k k k ϕ-≤≤-∈，又ππ22ϕ-<<，所以取1k =，所以π6ϕ=；选条件②0π12f ⎛-⎫= ⎪⎝⎭，得ππsin 0126f ϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又ππ22ϕ-<<，所以2πππ363ϕ-<-<，得π06ϕ-=，所以π6ϕ=选条件③()π03f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，知π6x =是()()πsin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的一条对称轴，所以πππ,Z 32k k ϕ+=+∈，则ππ,Z 6k k ϕ=+∈又ππ22ϕ-<<，所以π6ϕ=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，π2π7π2,636x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()12f x -≤，由()1f x m -≤恒成立，得()()11f x m f x -≤≤+，当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，()1f x -的最大值为12-，()1f x +的最小值为12，则1122m -≤≤所以实数m的取值范围11,22⎤-⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知()πsin 26f x x ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，将函数()f x 的图象向右平移π6个单位后，得πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将得到的图象上各点的横坐标变为12倍，得πsin 46y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由πππ2π42π,Z 262k x k k -≤-≤+∈，得ππππ,Z 21226k k x k -≤≤+∈，()g x 的单调增区间是ππππ,,Z 21226k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦18．(1)12(2)3.75(3)11572048【分析】（1）根据组合知识求出相应的概率；（2）根据全概率公式得到聊天机器人作答正确的概率，从而得到()5,0.75X B ~，根据二项分布期望公式求出答案；（3）计算出机器人获胜和两者平局的概率，从而求出小王获胜的概率.【详解】（1）小王能全部答对的概率为59510C 1C 2=；（2）设每次输入的问题出现语法错误为事件A ，则()0.1P A =，聊天机器人作答正确为事件C ，则()()()()()()()P C P AC P AC P A P C A P A P C A =+=⋅+⋅0.10.30.90.80.75=⨯+⨯=，故聊天机器人答对题数()5,0.75X B ~，数学期望50.75 3.75EX =⨯=；（3）由题意可得小王最少答对4道题，小王能答对5道题的概率为59510C 1C 2=，答对4道题的概率为4191510C C 1C 2=，由（2）知，聊天机器人答对题数()5,0.75X B ~，故机器人能答对5道题的概率为5553243C 41024⎛⎫= ⎪⎝⎭，机器人能答对4道题的概率为44531405C 441024⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，故机器人获胜的情况为机器人能答对5题且小王答对4题，故机器人获胜的概率为1243243210242048⨯=，小王和机器人平局的情况为小王和机器人都答对5道题和都答对4道题，其中都答对5道题的概率为1243243210242048⨯=，都答对4道题的概率为1405405210242048⨯=，所以小王获胜的概率为243243405115712048204820482048---=.19．(1)2a ≤(2)3，证明见解析【分析】（1）参变分离后可得1e 1x a x ≤++在()1,∞-+上恒成立，构造相应函数，借助导数研究其单调性即可得其最值，即可得解；（2）构造函数()()e ln 131x x x x μ=++--，结合导数讨论其单调性，可得其极值点，结合零点的存在性定理即可得其零点个数，即可得方程()1f x =的实数根的个数.【详解】（1）()1e 1x f x a x =+-+'，则有()1e 01x f x a x +'=+-≥在()1,∞-+上恒成立，即1e 1x a x ≤++在()1,∞-+上恒成立，令()1e 1x g x x =++，则()()21e 1x g x x =-+'，令()()()21e 1x h x g x x ==-+'，则()()32e 1x h x x =++'，则当()1,x ∞∈-+时，()()32e 01x h x x +'=+>恒成立，故()g x '在()1,∞-+上单调递增，又()()0210e 001g '=-=+，故当()1,0x ∈-时，()00g '<，当()0,x ∞∈+时，()00g '>，故()g x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，即有()()010e 201g x g ≥=+=+，故2a ≤；（2）当3a =时，关于x 的方程()1f x =有三个不同的实数根，证明如下：当3a =时，令()1f x =，即()e ln 131x x x ++-=，令()()e ln 131x x x x μ=++--，则()1e 31x x x μ=+-+'，由（1）知()1e 1x g x x =++在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故()1e 31x x x μ=+-+'在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，又()010e 31001μ=+-=-<+'，()1151e 3e 0112μ=+-=-'>+，223321e 3e 02313μ--⎛⎫-=+-=> ⎪⎭+'⎝-，故存在12,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()20,1x ∈，使()()120x x μμ''==，由()()00e ln 013010μ=++-⨯-=，故0x =是方程()1f x =的一个根，则()10x μ>，()20x μ<，又1x →-时，()x μ∞→-，()()3333e ln 31331e ln 410e 90μ=++-⨯-=+->->故存在()11,m x ∈-，使()0m μ=，即x m =是方程()1f x =的一个根，存在()2,3n x ∈，使()0n μ=，即x n =是方程()1f x =的一个根，综上所述，当3a =时，关于x 的方程()1f x =有三个不同的实数根.【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于灵活利用零点的存在性定理判断函数是否在某个固定区间内有零点，从而得到方程的根的个数.。

江苏省常州市教育学会学业水平监测2025届高考数学必刷试卷含解析

江苏省常州市教育学会学业水平监测2025届高考数学必刷试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合{}(2)0A x x x =->，{}10B x x =->，则A B =A ．{}10x x x ><或B ．{}12x x <<C ．{|2}x x >D ．{}1x x >2．P 是正四面体ABCD 的面ABC 内一动点，E 为棱AD 中点，记DP 与平面BCE 成角为定值θ，若点P 的轨迹为一段抛物线，则tan θ=（） A ．2B ．22C ．24D ．223．若()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x +=-，则 A ．()f x 的值域为RB ．()f x 为周期函数，且6为其一个周期C ．()f x 的图像关于2x =对称D ．函数()f x 的零点有无穷多个4．设函数1()ln1xf x x x+=-，则函数的图像可能为（） A ． B ． C ． D ．5．622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含3x 项的系数为（） A ．60-B ．12-C ．12D ．606．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点为1F ，2F ，且C 上点P 满足120PF PF ⋅=，13PF =，24PF =，则双曲线C 的离心率为 A 10B 5C ．52D ．57．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，点P 是平面1111D C B A 内一点，则三棱锥P BCD -的正视图与侧视图的面积之和为（）A ．2B ．3C ．4D ．58．函数的图象可能是下列哪一个？（）A ．B ．C ．D ．9．设复数z 满足12z zz +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（） A ．221x y =+ B ．221y x =+ C ．221x y =-D ．221y x =-10．直线1y kx =+与抛物线C ：24x y =交于A ，B 两点，直线//l AB ，且l 与C 相切，切点为P ，记PAB 的面积为S ，则S AB -的最小值为( ) A ．94-B ．274-C ．3227-D ．6427-11．已知实数x ，y 满足约束条件202201x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数21y z x -=+的最小值为A ．23-B ．54-C ．43-D ．12-12．已知复数2(1)(1)i z a a =-+-（i 为虚数单位，1a >），则z 在复平面内对应的点所在的象限为（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省常州市教育学会2021届高三上学期学业水平监测数学试题

江苏省常州市教育学会2021届高三上学期学业水平监测数学试题常州市教育学会学业水平监测高三数学试题2022年1月一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．A1。

已知集合a？{1,0,2}，b？{2} 如果B？a、那么实数a的值是2．若z?z?z?3．已知双曲线154? 2I（I是一个虚单位），然后是复数z=x29?yb22?1(b?0)的一条渐近线的倾斜角为3，那么B的值是4．用分层抽样的方法从某高中学校学生中抽取一个容量为55的样本参加问卷调查，其中高一年级、高二年级分别抽取10人、25人．若该校高三年级共有学生400人，则该校高一和高二年级的学生总数为人．5.用三种不同的颜色随机绘制三个矩形，每个矩形只绘制一种颜色，则三个矩形中有且只有两个矩形具有相同颜色的概率为。

6.函数f（x）？cos（x×2）？COS（x±6）的最小正周期为7．在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆xa22？yb22？1（a？B？0）的右顶点是a，上顶点是B，m为线段ab的中点，若?moa?30?，则该椭圆的离心率的值为．8.已知等比序列{an}中的每一个都是正数，A1？2a2？3，a42？4a3a7，那么序列{an}的通项公式是9．设m?r，已知函数f(x)??x2?2mx2?(1?2m)x?3m?2，若曲线y?f(x)在x?0处的切线恒过定点p，则点p的坐标为．10．对于函数y?f(x)(x?r)，给出下列命题：（1）在同一直角坐标系中，函数y？F（1？X）和y？关于直线x的F（x？1）的图像？0对称；（2）如果f（1？X）？F（x？1），那么函数y？关于直线x的F（x）的图像？1对称；（3）如果f（1？X）？F（x？1），那么函数y？F（x）是一个周期函数；（4）若f(1?x)??f(x?1)，则函数y?f(x)的图象关于点（0，0）对称．其中所有正确命题的序号是．11.让函数y？F（x）在R中定义。

江苏省常州市2023-2024学年高一上学期期末学业水平监测数学试卷

的最小值为 u
(0)
=1-
a
>
0
，
可得a < 1 ，且u ( x) Î[1- a, 4 - a] ，所以 g(u) = log2 u 在[1- a, 4 - a] 上单调递增，所以 g (u ) Î éëlog2 (1- a), log2 (4 - a)ùû 因为存在 x1, x2 Î[-2, 0] ，满足 f ( x1 ) - f ( x2 ) ³ 3 ，
故选：B. 3．B 【分析】根据已知条件，结合幂函数的定义和性质即可求解.
【详解】设幂函数为 f ( x) = xa ，
因为幂函数
f
( x)
的图象经过点
æ çè
2,
1 4
ö ÷ø
，
所以 2a
=
1 4
，解得a
=
-2 ，
故 f (x) = x-2 ，定义域为{x | x ¹ 0} ，定义域关于原点对称，
标变为原来的
1 2
得到曲线
C2
，最后将曲线
C2
上的每个点的纵坐标变为原来的
2
倍得到
曲线的 C3
．若曲线 C3
恰好是函数ຫໍສະໝຸດ f( x)的图象，则
f
(x)
在区间
éêë0,
πù 2 úû
上的值域是（
）
A．[-1,1]
B． [-1, 2]
C．[1, 2]
D．[-2, 2]
8．已知函数
f
(x)
=
log2
æ çè
1 2x
答案第31 页，共22 页
则 f ( x)max - f ( x)min ³ 3 ，
所以
g (u )max

江苏省常州市教育学会2023-2024学年高二下学期6月学业水平监测数学试题

江苏省常州市教育学会2023-2024学年高二下学期6月学业水平监测数学试题一、单选题1．已知集合{}2230M x x x =--<，{}2ln 5N x x =-≤≤，则M N ⋂=（）A ．[)ln 5,3B ．(]1,ln 5-C ．[)2,1-D ．[)2,3-2．已知曲线()2ay x a x =-∈R 在2x =处的切线斜率为2，则=a （） A ．18-B ．18C ．8-D ．83．对于实数,,a b c ，“a b >”是“22ac bc >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．从3名男生与2名女生中选出2人担任班委，则“恰有1名男生与1名女生当选”的概率是（） A ．310 B ．25C ．35D ．235．某市为了解高一新生的身高情况，抽取了10000位高一新生的身高作为样本.若高一新生的身高X 近似服从正态分布()2165,N σ，且()1800.1P X ≥=，则在10000位高一新生中身高在区间[]150,180内的人数约为（） A ．2000B ．4000C ．6000D ．80006．已知0x >，0y >，且21x y +=，则22x yxy +的最小值为（）A ．172B ．1C ．4D ．47．已知函数()()πtan 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图，则5π18f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A．B．CD．28．已知函数()f x 及其导数()f x '的定义域均为R ，对任意实数x ，()()2f x f x x =--，且当0x ≥时，()10f x x '++>.不等式()()232232x f x f x x --<-+的解集为（） A ．(),2-∞B ．2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．()2,2,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U二、多选题9．已知符号函数()1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则（）A ．()sgn x 是周期函数B ．对任意的x ∈R ，()sgn x x x =--C ．函数()2sgn xy x =的值域为(][)1,01,-+∞UD ．函数()2sgn ln y x x =-的值域为{1y y <-或}01y ≤<10．现有编号分别为1，2，3的三个袋子，装有质地均匀且大小相同的小球.1号袋中有10个小球，其中红球3个；2号袋中有10个小球，其中红球4个；3号袋中有20个小球，其中红球5个.现将所有小球标记后放入一个袋中混合均匀，从中随机抽取一个小球，记事件M ：该球为红球，事件i A ：该球出自编号为()1,2,3i i =的袋子，则（）A ．()1310P M A = B ．()1920P M =C ．()223P A M =D ．()318P MA =11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A B 的中点，点Q 在正方形11CC D D内部及其边界上运动，则下列说法正确的有（）A ．当PQ Q 的轨迹长度为πB ．若//PQ 平面1A BD ，则PQ 长度的最小值为2C ．当PQ Q AB P --D ．记直线PQ 与平面11AA B B 所成角为θ，则sin θ的取值范围是2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、填空题12．已知函数()1e x f x +=，()3g x x =，若存在实数a ，b ，使得()()f a g b =，请写出b a -的一个可能值：.13．如图，在半径为8的半圆形纸片中，O 为圆心，AB 为直径，C 是弧AB 的中点，D 是弧AC 的中点，将该纸片卷成一个侧面积最大的无底圆锥后，异面直线OA 与CD 所成角的余弦值是.14．定义{}min ,,a b c 表示,,a b c 中最小的数，已知实数,,a b c 满足0a b +，2-，则{}min ,,a b c 的最大值是.四、解答题15．已知a ∈R ，命题p ：x ∀∈R ，220x x a ++>为真命题.实数a 的取值集合记为A . (1)求集合A ； (2)设()1ln1x m f x m x--=--的定义域为集合B ，若B A ⊆，求实数m 的取值范围.16．如图，直线PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是梯形，//AB CD ，CD PA ⊥，F 为线段PA 上异于端点的一点，112PD AB AD CD ====，四边形PDCE 是平行四边形.(1)若F 是PA 的中点，求证：//AC 平面DEF ； (2)求二面角F PB C --的大小.17．在①()f x 在区间2π7π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，②0π12f ⎛-⎫= ⎪⎝⎭，③()π03f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭这三个条件中任选一个，补充在下面题目中，并解答.已知函数()()πsin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，___________.(1)当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()1f x m -≤恒成立，求实数m 的取值范围；(2)将函数()f x 的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为12倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，求()g x 的单调增区间.18．某研发团队研发了一款聊天机器人，在对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，机器人作答正确的概率为0.8；如果出现语法错误，机器人作答正确的概率为0.3.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，机器人的作答是否正确相互独立.该研发团队成员小王想挑战一下聊天机器人，与机器人各自从给定的10个问题中随机抽取5个作答.已知在这10个给定的问题中，小王恰好能正确作答其中9个问题. (1)对抽出的5个问题，求小王能全部答对的概率； (2)求聊天机器人答对题数X 的数学期望；(3)答对题数较多者判定为获胜，求小王获胜的概率.19．已知函数()()e ln 1xf x x ax =++-，a ∈R .(1)若()f x 在区间()1,-+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)当3a =时，判断关于x 的方程()1f x =实数根的个数，并证明.。

常州市2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题含答案

常州市教育学会学业水平监测高二数学 2023年6月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知z 为复数，z 为z 的共轭复数，且||15i z z =−+，则z 的虚部是A ．5iB ．5i −C ．5D ．-52．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列选项中能得出a ⊥b 的是A ．a ⊂α，b ⊥β，α∥βB ．a ⊥α，b ⊥β，α∥βC ．a ⊥α，b ∥β，α⊥βD ．a ⊂α，b ∥β，α⊥β3．投掷3枚质地均匀的正方体骰子，观察正面向上的点数，则对于这3个点数，下列说法正确的是A ．有且只有1个奇数的概率为18B ．事件“都是奇数”和事件“都是偶数”是对立事件C ．在已知有奇数的条件下，至少有2个奇数的概率为47D ．事件“至少有1个是奇数”和事件“至少有1个是偶数”是互斥事件4．已知平面上的三点A ，B ，C 满足||2||AB BC = =，，向量AB 与BC 的夹角为45°，且()BC AB AB λ−⊥，则实数λ= A ．0B ．1C ．-2D ．25．一个不透明的盒子里装有10个大小形状都相同的小球，其中3个黑色、7个白色，现在3个人依次从中随机地各取一个小球，前一个人取出一个小球记录颜色后放回盒子，后一个人接着取球，则这3个人中恰有一人取到黑球的概率为A ．310B ．21733103A A A ⋅ C ．3210C 0.70.3⨯⨯ D ．123C 0.70.3⨯⨯6．已知圆锥的高为1，体积为π，则过圆锥顶点作圆锥截面的面积最大值为AB ．2C．D ．3π7．对一个十位数1234567890，现将其中3个数位上的数字进行调换，使得这3个数字都不在原来的数位上，其他数位上的数字不变，则可以得到不同的十位数（首位不为0）的个数为 A ．120B ．232C ．240D ．3608．正四棱锥S ABCD −，各侧棱长为2，各顶点都在同一个球面上，则过球心与底面平行的平面截得的台体体积是 ABCD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知复数123z z z ，，，则下列说法正确的有 A ．123231z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅B ．11222()(0)z zz z z =≠ C ．若1212||||z z z z −=+，则120z z ⋅= D ．若1223z z z z ⋅>⋅，则13||||z z >10．下列说法正确的有A ．在ABC ∆中，0BC CA ⋅<，则ABC ∆为锐角三角形B ．已知O 为ABC ∆的内心，且o o 3060A B = =，，则320OA OB OC ++=C ．已知非零向量，a b 满足：242⋅= =+ ，a b a c a b ，则||||⋅b c b c 的最小值为12D ．已知(12)(11)= = ，，，a b ，且a 与λ+a b 的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是5()3−∞−，11．某课外兴趣小组在探究学习活动中，测得()x y ，的10组数据如下表所示：由最小二乘法计算得到线性回归方程为11ˆˆy a b x =+，相关系数为；经过观察散点图，分析残差，把数据(16889) ，去掉后，再用剩下的9组数据计算得到线性回归方程为22ˆˆˆy a b x =+，相关系数为．则 A ．12ˆˆaa < B ．12ˆˆb b < C ．2212r r <D ．12ˆˆ00b b > >， 12．已知在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D −中，点O 为正方形1111A B C D 的中心，点P 在棱1CC 上，下列说法正确的有 A ．BD PO ⊥B ．当直线AP 与平面11BCC B 所成角的正切值为45时，3PC =C ．当1PC =时，点1C 到平面1APD 的距离是32D ．当2PC =时，以O 为球心，OP 为半径的球面与侧面11ABB A 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．101(2)2x +的展开式中二项式系数最大的项的系数是．（用数字作答）14．在平面直角坐标系xOy 中，已知0)(01)A B ，，，以A 为旋转中心，将线段AB 按顺时针方向旋转30°，得到线段AC ，则向量AB 在向量AC 上的投影向量的坐标是． 15．已知平面四边形ABCD ，o 90ADC ∠=，34AB BC CD AD === =，，则AC BD ⋅= ．16．已知在矩形ABCD 中，2AB BC = =，P 为AB 的中点，将ADP ∆沿DP 翻折，得到四棱锥1A BCDP −，则二面角1A DC B −−的余弦值最小是．12r四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）设z 是虚数，在平面直角坐标系xOy 中，1z z z，，对应的向量分别为OA OB OC ，，．（1）证明：O B C ，，三点共线；（2）若31z =，求向量OA OC +的坐标．18．（12分）如图，在六面体1111ABCD A B C D −中，11AA CC ，平面11AAC C ⊥菱形ABCD ．证明：（1）11B B D D ，，，四点共面；（2）1BD DD ⊥．19．（12分）在平面直角坐标系中三点A ，B ，C 满足(12)(23)AB AC = =− ，，，，D E ，分别是线段BC AC ，上的点，满足22BD CD CE AE = =，，AD 与BE 的交点为G ．（1）求BGD ∠的余弦值；（2）求向量AG 的坐标．A 1B 1C 1D 1DCBA20．（12分）某种季节性疾病可分为轻症、重症两种类型，为了解该疾病症状轻重与年龄的关系，在某地随机抽取了患该疾病的3s 位病人进行调查，其中年龄不超过50岁的患者人数为s ，轻症占56；年龄超过50岁的患者人数为2s ，轻症占13．（1）完成下面的22⨯列联表．若要有99%以上的把握认为“该疾病症状轻重”与“年龄”有关，则抽取的年龄不超过50岁的患者至少有多少人？附：2()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++(其中n a b c d =+++)，2 6.6350.01()P χ=>．（2）某药品研发公司安排甲、乙两个研发团队分别研发预防此疾病的疫苗，两个团队各至多安排2个周期进行疫苗接种试验，每人每次疫苗接种花费t （0t >）元．甲团队研发的药物每次疫苗接种后产生抗体的概率为p （01p <<），根据以往试验统计，甲团队平均花费为236tp t −+．乙团队研发的药物每次疫苗接种后产生抗体的概率为q （01q <<），每个周期必须完成3次疫苗接种，若第一个周期内至少出现2次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个疫苗接种周期．假设两个研发团队每次疫苗接种后产生抗体与否均相互独立．若p q <，从两个团队试验的平均花费考虑，该公司应如何选择团队进行药品研发？21．（12分）记1011()(1)n n n n n n f x x a x a x a x a −−=+=++++，*n ∈N ．（1）化简：1(1)ni i i a =+∑；（2）证明：12()2()()()n n n k n f x f x kf x nf x +++2+++++（*n ∈N ）的展开式中含项的系数为221(1)C n n n +++．22．（12分）如图，在多面体EF ABCD −中，底面ABCD 是菱形，且CE ⊥底面ABCD ，AFCE ，1AC CD CE AF ====，点M 在线段EF 上．（1）若M 为EF 的中点，求直线AM 和平面BDE 的距离；（2）试确定M 点位置，使二面角D AM B −−的余弦值为3567−．F EDCBA常州市教育学会学业水平监测高二数学（参考答案）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．D 2．A 3．C 4．D 5．D 6．B 7．B 8．C 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 9．AB10．BD11．BCD12．ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．25214．3()2，15．7216四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（1）设i 0z a b b =+ ≠，，则i z a b =−，a b ∈R ，，所以()OB a b = −，． ……………………2分 2211i i a b z a b a b −==++，所以222211()OC a b OB a b a b= −=++，．所以OB OC ．……………………4分又因为O 为公共点，所以O B C ，，三点共线． ……………………5分（2）因为31z =，则2(1)(1)0z z z −++=，又因为z 是虚数，所以210z z ++=． ……………………8分2111z z z z++==−，所以(10)OA OC +=− ，． ……………………10分 18．证明：（1）由11AA CC ，1AA ⊄平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，所以1AA 平面11BCC B ．……………………2分又因为1AA ⊂平面11ABB A ，平面11ABB A ⋂平面111BCC B BB =，所以11AA BB ． ……………………4分同理：11AA DD ，所以11BB DD ，所以11B B D D ，，，四点共面． ……………………6分（2）菱形ABCD 中AC BD ⊥，又因为平面11AAC C ⊥平面ABCD ，且平面11AAC C平面ABCD AC =，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面11AA C C ．……………………10分因为1AA ⊂平面11AA C C ，所以1BD AA ⊥，由（1）有11AA DD ，所以1BD DD ⊥． ……………………12分19．解：（1）因为22BD CD BD CD = =，，所以128(1)333AD AB AC =+=− ，． ……………………2分又125(,1)333BE BC BA =+=−−． ……………………4分5833cos BGD −+∠==．……………………6分（2）由A G D ，，三点共线，1233AG AD AB AC λλλ==+，又1(1)(1)3AG AB AE AB AC μμμμ=+−=+−． ……………………8分由平面向量基本定理，得1321(1)33λμλμ⎧= ⎪⎨⎪=−⎩，．……………………10分所以17μ=，所以1238()7777AG AB AC =+=− ，． ……………………12分 20. （1）列联表如下：……………………2分要有99%以上的把握认为“该疾病症状轻重”与“年龄”有关，则225423()26363 6.635333222s s s s s s s s s s χ⨯−⨯==>⨯⨯⨯． ……………………4分解得9.9525s >，由题意知，s 的最小整数值为12．所以抽取的年龄不超过50岁的患者至少有12人． ……………………6分（2）甲研发团队试验总花费为X 元，根据以往试验统计得2()36E X tp t =−+，设乙研发团队试验总花费为Y 元，则Y 的可能取值为3t ，6t ，所以223323(3)(1)23P Y t C q q q q q ==−+=−+，32(6)123P Y t q q ==+−，所以323232()3(23)6(123)696E Y t q q t q q tq tq t =−+++−=−+． ……………………10分因为01p q <<<，所以3222()()696(36)6(1)0E Y E X tq tq t tp t tq q −=−+−−+<−<，所以乙团队试验的平均花费较少，所以该公司应选择乙团队进行研发． ……………………12分21．（1）11(1)(1)nnii n i i i a i C ==+=+∑∑． ……………………2分1211(1)23(1)nin nn n n n n i i CC C nC n C −=+=+++++∑，012111(1)23(1)n i n nn n n n n n i i C C C C nC n C −=++=++++++∑． ……………………4分右侧倒序相加得，012112(1(1))(2)()(2)2ni n nn nn n n n n i i C n C C C C C n −=++=++++++=+∑，所以11(1)(2)21nn i i i a n −=+=+−∑． ……………………6分（2）(1)2(2)()()f x n f x n kf x n k f x n ++ +++ +++ 2，，，，的展开式中含n x 项的系数为123223n n nnn n n n C C C nC +++++++，因为1()!()!()!(1)(1)!!!(1)!(1)!(1)!nn n k n k n k n k n k kC kn n C n k n k n k ++++++===+=+−+−． …………………9分所以含n x 项的系数为：1111123212322111223223(1)()(1)()n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C nC n C C C C n C C C C +++++++++++++++++++++=+++++ =+++++ 211332221(1)()(1).n n n n n n n n n C C C n C +++++++ =++++ =+……………………12分22．（1）连接BD 交AC 于O ，取EF 中点G ，因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，O 为AC 中点．因为AFCE ，AF CE =，所以四边形ACEF 为平行四边形．因为O G ，分别为AC EF ，中点，所以OG CE ．因为CE ⊥平面ABCD ，AC BD ⊂，平面ABCD ，所以CE AC CE BD ⊥ ⊥，，所以OG AC OG BD ⊥ ⊥，． ……………………3分以O 为原点，建立如图空间直角坐标系O xyz −，则3311(00)(001)(00)(00)(01)2222A MB D E − − ，，，，，，，，，，，，，，，所以31(300)(1)22BD BE = = − ，，，，，，设平面BDE 的法向量0000()n x y z = ，，， 0000n BD n BE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，所以00003031022x x y z ⎧=⎪⎨−+=⎪⎩，，所以01(021)(01)2n AM = = − ，，，，，． ……………5分 0102102n AM =−+=，设A 到平面BDE 距离为d ，00||351(0)225||AB n AB d n = ==，，，，所以直线AM 和平面BDE 的距离为55． ………7分（2）设11(01)[]22M m m ∈− ，，，，，31(0)(011)22AD AM m = − = − ，，，，，，31(0)22AB =− − ，，，设平面ADM ，平面ABM 的法向量分别为11112222()()n x y z n x y z = = ，，，，，， 12120000AD n AB n AM n AM n ⎧⎧= = ⎪⎪⎨⎨= = ⎪⎪⎩⎩，，，，取1233(133)(133)22n m n m = −+ = − −，，，，，．………9分因为二面角D AM B −−的余弦值为3567−，所以2121221213()2352|cos |||167||||3()42m n n n n n n m −+< >===−+，．解得1344m = ，（舍），即14FM FE =． ……………………12分OABCDEFxyz G。

江苏省常州市教育学会2019-2020年上学期学生期末学业水平检测高一数学试题(含解析)

江苏省常州市教育学会2019-2020学年上学期学生期末学业水平检测高一数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若集合M＝{x|﹣2＜x＜1}，N＝{x|0≤x＜2}，则M∩N＝（）A．{x|﹣2＜x＜2} B．{x|0＜x＜1} C．{x|﹣2＜x≤0} D．{x|0≤x＜1}2．若扇形的圆心角为1rad，半径为2，则该扇形的面积为（）A．12B．1 C．2 D．43．log6432的值为（）A．12B．2 C．56D．654．已知角α的终边经过点P（4，﹣3），则tanα＝（）A．−34B．−43C．−35D．455．若sss(7s2+s)=35，则cosα＝（）A．−45B．−35C．45D．356．已知s=2√3，s=√3，c＝log23，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a7．已知s1→，s2→是夹角为60°的两个单位向量，则s→=2s1→+s2→与s→=−3s1→+2s2→的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°8．函数s(s)=1−s s1+s s（e是自然对数的底数）的图象大致为（）A．B．C．D．9．人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，强度为x的声音对应的等级为f（x）＝10lg s10−2(ss)．喷气式飞机起飞时，声音约为140dB，一般说话时，声音约为60dB，则喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的（）倍． A ．73B ．1073C ．8D ．10810．关于函数f （x ）＝cos x +|cos x |，有下列四个论述，其中正确的个数为（） ①f （x ）是偶函数； ②f （x ）在区间(−s2，0)上单调递增； ③f （x ）的最小正周期为2π； ④f （x ）的值域为[0，2]． A ．1B ．2C ．3D ．411．已知△ABC 是以C 为直角顶点且斜边长为2的等腰直角三角形，P 为△ABC 所在平面内一点，则ss →⋅(ss→+ss →)的最小值为（） A ．−12B ．−54C ．−18D ．−5212．已知函数s (s )={sss (s2s )−1，s ≥0，−sss s (−s )，s＜0，（a ＞0且a ≠1），若函数图象上关于原点对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（） A ．(0，√66)B ．(√66，1)C ．(0，√55)D ．(√55，1)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知幂函数y ＝f （x ）的图象过点(2，√22)，则s (18)= ． 14．函数y ＝sin （12x +s3），x ∈[﹣2π，2π]的单调递增区间为．15．如图，在△ABC 中，ss →=13ss →，点E 为CD 的中点．设ss →=s →，ss →=s →，则ss →= （用s →，s →表示）．16．对于函数f （x ），g （x ），设m ∈{x |f （x ）＝0}，n ∈{x |g （x ）＝0}，若存在m ，n 使得|m ﹣n |＜1，则称f （x ）与g （x ）互为“近邻函数”．已知函数s (s )=sss 3(s +2)−s 1−s 与g （x ）＝a •4x﹣2x +1+2互为“近邻函数”，则实数a 的取值范围是．（e 是自然对数的底数）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）设P 1，P 2为直线l 上的两个不同的点，我们把向量s 1s 2→及与它平行的非零向量都称为直线l 的方向向量，把与直线l 垂直的向量称为直线l 的法向量．已知直线l 有两点A （2，﹣1），B （﹣1，3）．（1）若向量s→=(4，s )是直线l 的一个法向量，求实数m 的值；（2）若向量s→是直线l 的一个方向向量，且s →是单位向量，求向量s →的坐标． 18．（12分）记函数s (s )=√sss 0.5(4s −3)的定义域为集合A ，函数g （x ）＝cos x ﹣sin 2x +a （a ∈R ）的值域为集合B ．（1）若a ＝2，求（∁R A ）∩B ；（2）若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围． 19．（12分）（1）求sss17s 6+sss (−16s 3)−sss (−4s3)的值；（2）已知α是第三象限角，化简，√sss 2s (1+1ssss)+sss 2s (1+ssss )． 20．（12分）已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x +6）＝f （x ），当x ∈（0，3）时，s (s )=sss s (s 2−s +1)．（1）当x ∈（﹣3，0）时，求f （x ）的解析式；（2）求函数f （x ）在[﹣3，3]上的零点构成的集合．21．（12分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+B （其中A ，ω，φ，B 均为常数，A ＞0，ω＞0，|s |＜s2）的部分图象如图所示．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）若先将函数f （x ）图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），再将图象向左平移m （m ＞0）个单位长度，得到函数g （x ）的图象，若g （x ）是偶函数，求实数m 的最小值．22．（12分）已知定义在R 上的函数s (s )=−4s +s4s +1+s是奇函数．（1）求a ，b 的值；（2）若关于x 的方程f （x ）+m ＝0有正根，求实数m 的取值范围；（3）当s ∈(12，1)时，不等式4x+mf （x ）﹣3＞0恒成立，求实数m 的取值范围．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．【详解详析】M ＝{x |﹣2＜x ＜1}，N ＝{x |0≤x ＜2}， ∴M ∩N ＝{x |0≤x ＜1}．故选：D ．2．【详解详析】扇形的弧长l ＝R α＝1×2＝2，则扇形的面积S =12lR =12×2×2＝2．故选：C ．3．【详解详析】log 6432=ss32ss64=56．故选：C ．4．【详解详析】∵角α的终边经过点P （4，﹣3），∴x ＝4，y ＝﹣3，则tan α=ss =−34，故选：A ．5．【详解详析】∵sss (7s2+s )=35，∴﹣cos α=35， ∴cos α=−35，故选：B ．6．【详解详析】根据指数运算与对数运算的性质，s =2√3＞2，1＜s =√3＜2，1＜c ＝log 23＜2，设b =√3=sss 22√3，c ＝log 23，由于函数m ＝log 2t 为增函数，则设s =2√3的值接近于4，所以2√3＞3．所以a ＞b ＞c ．故选：C ．7．【详解详析】∵已知s 1→，s 2→是夹角为60°的两个单位向量，∴s 1→•s 2→=1×1×cos60°=12，设s →=2s 1→+s 2→与s →=−3s 1→+2s 2→的夹角为θ，θ∈（0°，180°）， ∵|s →|=√(2s 1→+s 2→)2=√4s 1→2+4s 1→⋅s 2→+s 2→2=√7，|s →|=√(−3s 1→+2s 2→)2=√9s 1→2−12s 1→⋅s 2→+4s 2→2=√7，s →•s →=（2s 1→+s 2→）•（﹣3s 1→+2s 2→）＝﹣6s 1→2+s 1→•s 2→+2s 2→2=−6+12+2=−72， ∴cos θ=s→⋅s →|s→|⋅|s →|=−72√7⋅√7=−12，∴θ＝120°，故选：C ．8．【详解详析】当x ＞0时，f （x ）＜0恒成立，排除C ，D ，s (s )=1−s s1+s s=−(1+s s )+21+s s=−1+21+s s ，当x ＞0时，﹣1＜f （x ）＜0，即当x →+∞，f （x ）→﹣1，排除B ，故选：A ．9．【详解详析】∵喷气式飞机起飞时，声音约为140dB ，∴10ss s 10−2=140，∴s10−2=1014，∴x ＝1012，∵一般说话时，声音约为60dB ，∴10ss s 10−2=60，∴s10−2=106，∴x ＝104，∴1012104=108，故选：D ．10．【详解详析】因为f （x ）＝cos x +|cos x |={2ssss，s ∈[2ss −s 2，2ss +s2]，s ∈s0，(2ss +s 2，2ss +3s2)，s ∈s，画出y ＝f （x ）的图象如右： ①，f （x ）是偶函数，正确； ②，f （x ）在区间(−s2，0)上单调递增，正确； ③，f （x ）的最小正周期为2π，正确； ④，f （x ）的值域为[0，2]，正确．故选：D ．11．【详解详析】以BA 为x 轴，以BA 边上的高为y 轴建立坐标系， △ABC 是斜边为2的等腰直角三角形，且C 为直角顶点，直角边BC =√2，则A （1，0），B （﹣1，0），C （ 0，1），设P （x ，y ），则 ss →+ss →=（﹣1﹣x ，﹣y ）+（﹣x ，1﹣y ）＝（﹣1﹣2x ，1﹣2y ）， ss →=（1﹣x ，﹣y ），∴ss→⋅(ss →+ss →)=2x 2﹣x ﹣1+2y 2﹣y ＝2（x −14）2+2（y −14）2−54，∴当x =14，y =14 时，则ss→⋅(ss →+ss →)取得最小值−54．故选：B ．12．【详解详析】当x ＜0时，f （x ）＝﹣log a （﹣x ），则x ＞0时，函数g （x ）＝log a x 的图象与函数f （x ）的图象关于原点对称；又x ≥0时，f （x ）＝cos （s2x ）﹣1，画出函数f （x ）＝cos （s2x ）﹣1（x ≥0）和函数g （x ）＝log a x 的图象，如图所示；要使f （x ）＝cos （s2x ）﹣1（x ≥0）与g （x ）＝log a x （x ＞0）的图象至少有3个交点，需使0＜a ＜1，且f （6）＜g （6）；即{0＜s＜1−2＜sss s 6，所以{0＜s＜1s −2＞6，解得{0＜s＜1−√66＜s＜√66，即0＜a ＜√66；所以a 的取值范围是（0，√66）．故选：A ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13．【详解详析】设幂函数解析式为f （x ）＝x α， ∵幂函数y ＝f （x ）的图象过点(2，√22)，∴2s =√22，∴s =−12， ∴s (s )=s −12， ∴s (18)=2√2，故答案为：2√2． 14．【详解详析】由−s 2+2k π≤12x +s3≤s 2+2k π（k ∈Z ）得−5s 3+4k π≤x ≤s3+4k π（k ∈Z ），当k ＝0时，得−5s3≤x ≤s3，[−5s 3，s 3]⊂[﹣2π，2π]，且仅当k ＝0时符合题意，∴函数y ＝sin （12x +s3），x ∈[﹣2π，2π]的单调递增区间是，[−5s 3，s3]，故答案为：[−5s 3，s3]． 15．【详解详析】∵E 为CD 的中点，ss →=13ss →，ss →=s →，ss →=s →， ∴ss→=12(ss →+ss →) =−12ss→+16ss → =−12ss →+16(ss →−ss →) =16ss →−23ss → =16s →−23s →．故答案为：16s →−23s →．16．【详解详析】函数s (s )=sss 3(s +2)−s 1−s =0，可得：log 3（x +2）＝e 1﹣x，y 1＝log 3（x +2），单调递增，y 2＝e1﹣x单调递减，如图所示，可得x ＝1为函数f （x ）的零点，由题意可得m ＝1，由题意要使若存在m ，n 使得|m ﹣n |＜1，则可得0＜n ＜2，所以由题意可得g （x ）＝0解集为（0，2）．而g （x ）＝0，即a •4x﹣2x +1+2＝0，可得：a =2s +1−24s=2⋅2s −2(2s )2=−2(2s )2+22s ，令t =12s ∈（14，1），所以a ＝﹣2t 2+2t ＝﹣2（t −12）2+12，t ∈(14，1)，则该二次函数开口向下，对称轴t =12∈(14，1)，由1−12＞12−14，所以当t ＝1时，a ＝0为最小值，当t =12时a =12为最大值，所以实数a 的取值范围是（0，12），故答案为：（0，12）．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【详解详析】（1）ss→=(−3，4)，由题意，s→⋅ss →=0，即（﹣3）×4+4m ＝0，所以m ＝3．（2）由题意，s →与ss →平行，所以设s →=sss →（λ≠0），因为s→是单位向量，所以|s →|=|sss →|=|s |⋅√(−3)2+42=1，解得s =±15，故s →=(−35，45)或s →=(35，−45)． 18．【详解详析】（1）由log 0.5（4x ﹣3）≥0，得0＜4x ﹣3≤1，解得34＜s ≤1，所以s =(34，1]．s (s )=ssss −sss 2s +s =ssss −(1−sss 2s )+s =sss 2s +ssss +s −1=(ssss +12)2+s −54，当a ＝2时，因为cos x ∈[﹣1，1]，所以s =[34，3]．因为∁R A ＝（﹣∞，34]∪（1，+∞），所以（∁R A ）∩B ＝{34}∪（1，3）．（2）由s (s )=(ssss +12)2+s −54，cos x ∈[﹣1，1]，得s =[s −54，s +1]，因为A ∩B ＝A ，所以A ⊆B ，所以{s −54≤34s +1≥1，解得0≤a ≤2．故实数a 的取值范围是[0，2]． 19．【详解详析】（1）∵sss17s6=sss5s 6=−√32，sss (−16s3)=−sss16s3=−sss (5s +s3)=ssss 3=√32，sss (−4s 3)=−sss4s 3=−sss s 3=−√3，∴sss17s 6+sss (−16s 3)−sss (−4s3)=−√32+√32+(−√3)=√3；（2）√sss 2s (1+1ssss)+sss 2s (1+ssss ) =√sss 2s (ssss +ssss ssss )+sss 2s (ssss +ssssssss)=√(ssss +ssss )2=|ssss +ssss |， ∵α是第三象限角，∴sin α＜0，cos α＜0，∴√sss 2s (1+1ssss )+sss 2s (1+ssss )=−sin α﹣cos α． 20．【详解详析】（1）当x ∈（﹣3，0）时，﹣x ∈（0，3），所以s (−s )=sss s [(−s )2−(−s )+1]=sss s (s 2+s +1)，因为f （x ）是定义在R 上的奇函数，s (s )=−s (−s )=−sss s (s 2+s +1)，即当x ∈（﹣3，0）时，s (s )=−sss s (s 2+s +1)．（2）因为f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以f （0）＝0，且f （﹣3）＝﹣f （3），因为f （x +6）＝f （x ），所以f （﹣3）＝f （3），所以f （﹣3）＝f （3）＝0，当x ∈（0，3）时，令s (s )=sss s (s 2−s +1)=0，得x 2﹣x +1＝1，解得x ＝0（舍去），或x ＝1，即f （1）＝0，又因为f （x ）是奇函数，所以f （﹣1）＝﹣f （1）＝0，所以函数f （x ）在[﹣3，3]上的零点构成的集合为{﹣3，﹣1，0，1，3}．21．【详解详析】（1）由函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+B 的图象知，{s +s =3−s +s =1，解得A ＝1，B ＝2；由32T =11s 12−（−7s 12）=3s2，解得T ＝π，所以ω=2s s=2，所以f （x ）＝sin （2x +φ）+2；又s (11s12)=sss (11s6+s )+2=1，得11s6+s =2ss +3s2，k ∈Z ，解得s =2ss −s 3，k ∈Z ；因为|s |＜s2，所以s =−s3；所以s (s )=sss (2s −s3)+2．（2）由题意知，g （x ）＝f （2（x +m ））+2＝sin[4（x +m ）−s3]+2＝sin （4x +4m −s3）+2，因为g （x ）是偶函数，所以4s −s 3=ss +s 2，k ∈Z ，解得s =ss 4+5s24，k ∈Z ；又因为m ＞0，所以当k ＝0时，m 取得最小值为5s24． 22．【详解详析】（1）由题意，f （0）＝0，解得b ＝1，再由f （1）＝﹣f （﹣1），得−4+142+s=−−4−1+140+s，解得a ＝4，当a ＝4，b ＝1时，s (s )=−4s +14s +1+4，定义域为R ，s (−s )=−4−s +14−s +1+4=−1+4s4+4s +1=−s (s )，f （x ）为奇函数，所以a ＝4，b ＝1．（2）s =−s (s )=4s −14s +1+4=4s +1−24(4s +1)=14−12(4s+1)，当x ＞0时，4x+1＞2，0＜12(4s +1)＜14，所以0＜14−12(4s +1)＜14，因为m ＝﹣f （x ）有正根，所以s ∈(0，14)．（3）由4x+mf （x ）﹣3＞0，得s ⋅−4s +14s 1+4＞3−4s ，江苏省常州市教育学会2019-2020年上学期学生期末学业水平检测高一数学试题（含解析） 11 / 11 因为s ∈(12，1)，所以−4s +14s +1+4＜0，所以s＜(3−4s )(4s +1+4)−4s +1 令﹣4x +1＝t ，则t ∈（﹣3，﹣1），此时不等式可化为s＜4(4s −s )，记ℎ(s )=4(4s −s )，因为当t ∈（﹣3，﹣1）时，s =4s 和y ＝﹣t 均为减函数，所以h （t ）为减函数，故ℎ(s )∈(−12，203)，因为m ＜h （t ）恒成立，所以m ≤﹣12．。

江苏省常州市高三上学期期末学业水平监测数学试题含解析

常州市教育学会学业水平监测高三数学 2020.1一、填空题：1、已知集合{}{}21,0,1,|0A B x x =-=>，则A ∩B ＝答案：｛－1，1｝解析：B ＝｛x ｜x ＜0或x ＞0｝，所以，A ∩B ＝｛－1，1｝ 2、若复数z 满足1,z i i ⋅=-则z 的实部为答案：－1 解析：1(1)11i i iz i i --===---，所以，实部为－1。

3、右图是一个算法的流程图，则输出的S 的值是答案.10解析：第1步：S ＝1，i ＝3；第2步：S ＝1＋32＝10，i ＝4＞3，退出循环，输出S ＝10。

4、函数21x y =-的定义域是答案：［0，＋∞）解析：由二次根式的意义，有：210x-≥，即0212x≥=，所以，0x ≥5、已知一组数据17,18,19,20,21，则该组数据的方差是答案：2解析：平均数为：19，方差为：21(41014)5s =++++＝2 6、某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率是答案：710解析：该同学“选到文科类选修课程”的可能有：112232C C C +＝7，任选2门课程，所有可能为：25C ＝10，所以，所求概率为：710 7、已知函数231,0,1(),0,x x f x x x ⎧≤⎪-=⎨⎪->⎩ 则((8))f f =答案：－15解析：(8)f ＝223338(2)-=-＝－4，((8))(4)f f f =-＝－158、函数3sin(2),[0,]3y x x ππ=+∈取得最大值时自变量x 的值为答案：12π 解析：因为0x π≤≤，所以，72333x πππ≤+≤，则1sin(2)13x π-≤+≤，当232x ππ+=，即x =12π时，函数y 取得最大值。

9、等比数列{}n a 中，若12341,4,2,a a a a =成等差数列，则17a a = 答案：64解析：设等比数列{}n a 的公比为q ，2344,2,a a a 成等差数列，所以，32444a a a =+，即2344q q q =+，解得：q ＝2，所以，6171a a a q =＝6410、已知cos 22cos παα⎛⎫- ⎪⎝⎭=，则tan 2α=答案：－22解析：cos 2cos παα⎛⎫- ⎪⎝⎭=sin 2cos αα=，即tan α＝222tan tan 21tan ααα=-＝－2211、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A,过A 做x轴的垂线与C 的一条渐近线交于点B,若2OB a =，则C 的离心率为答案：2解析：显然OA ＝a ，双曲线的渐近线为b y x a =±，不妨设过A 做x 轴的垂线与by x a=交于B ，则B 点坐标为（a ，b ），即AB ＝b ，在直角三角形OAB 中，OB 2＝OA 2＋AB 2，即4a 2＝a 2＋b 2，解得：3b a =，所以，离心率为：221c b e a a==+＝212、已知函数()lg(2),f x x =-互不相等的实数,a b 满足()()f a f b =，则4a b +的最小值为答案：14解析：如下图，由()()f a f b =，－lg(2)a -＝lg(2)b -，即lg(2)(2)a b --＝0，所以，(2)(2)1a b --=，4a b +＝(2)4(2)102(2)4(2)10a b a b -+-+≥-⨯-+＝14，当54,2a b ==时取等号。

2022届江苏省常州市教育学会高三上学期学业水平监测数学试题PDF版

常州市教育学会学业水平监测高三数学一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2320,{ln 20}A x x x B x x =-+==-<∣∣, 则A B ⋂=A. Ø{}.1B {}.2CD. {}1,22. 已知,a b 是平面内两个向量, 且0,0≠=“”a b 是=+“”a a b 的A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数()sin2tan f x x x =+的最小正周期是A.4π B. 2πC. πD. 2π.4. 已知随机变量()()26,,,X B p Y N μσ~~, 且()()()12,2P Y E X E Y ≥==, 则p = A. 12 B. 13C. 14D. 165. 已知点(),1,3AB -是圆22:10C x y +=上两点, 动点P 从A 出发, 沿着圆周按逆时针方向走到B , 其路径长度的最小值为A.4C.D.6. 已知20212021012021(1)x a a x a x -=+++L , 则系数012021,,,a a a ⋯中最小的是A. 0aB. 1010aC. 1011aD. 2021a7. 小李在 2022 年 1 月 1 日采用分期付款的方式贷款购买一台价值a 元的家电, 在购买一个月后的2 月 1 日第一次还款, 且以后每月的 1 日等额还款一次, 一年内还清全部代款（ 2022 年 12 月 1 日最后一次还款）, 月利率为r . 按复利计算, 则小李每个月应还A. 1111(1)(1)1ar r r ++-元 B. 1212r(1)(1)1a r r ++-元C. 11r(1)11a r +元D. 12(1)12ar r +元8. 已知函数()1y f x =-图象关于点()1,0对称, 且当0x >时, ()()sin cos 0f x x f x x +>', 则下列说法正确的是 A. 57666f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-<--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ B. 75666f f fπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<<--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C. 75666f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D. 57666f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭二、选择题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分.9. 如图, 用 4 种不同的颜色, 对四边形中的四个区域进行着色, 要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色, 则不同的着色方法数为A. 3142A A ⨯ B. 2244A A ⨯ C. ()22142A A⨯D. ()212224342C A C A ⨯+⨯10. 已知数列{}n a 中, 1112,1n n na a a a ++==-, 使12n a =-的n 可以是A.2019B.2021C. 2022D.202311. 已知函数()ln sin cos 4f x x x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭, 下列说法正确的有 A. 函数()f x 是周期函数B. 函数()f x 有唯一零点C. 函数()f x 有无数个极值点D. 函数()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不是单调函数12. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3a . , 点M 是棱BC 上的定点, 且2BM CM =. 点P 是棱11C D 上的动点, 则A. 当123PC a =时, PAM V 是直角三角形 B. 四棱锥 A 1-PAM 的体积最小值为232aC. 存在点P , 使得直线1BD ⊥平面PAMD. 任意点P , 都有直线1//BB 平面PAM 三、填空题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分.13. i 是虚数单位, 已知复数z 满足等式20z ii z+=, 则z 的模z =________.14. 已知α为第四象限角, 且tan 32πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 则sin α=________.15. 已知定义域都是R 的两个不同的函数()(),f x g x 满足()()f x g x '=, 且()()g x f x '=. 写出一个符合条件的函数()f x 的解析式()f x =________.16. 已知抛物线21:2C y px =的焦点与双曲线2222:1(0)x C y a a-=>的右焦点F 重合, 抛物线1C 的准线与双曲线2C 的渐近线交于点,A B . 若三角形FAB 是直角三角形, 则p =, 双曲线2C 的离心率e =________.四、解答题: 本题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

常州市2021-2022学年高一上学期期末学业水平监测数学试题(含解析)

常州市教育学会学业水平监测高一数学2022年1月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知1sin 3α=，α为第二象限角，则cos α的值为（）A.3 B.3-C.23D.23-2.若幂函数()y f x =的图象过点(4,2)，则()f x =（）A.12xB.12x -C.xD.x3.已知集合2{|320}M x xx =-+≤，{|(1)()0,}N x x x a a =--∈R ≤，若“x M ∈”是“x ∈N ”的充分不必要条件，则实数a 的取值集合为（）A.(,2)-∞B.[2,)+∞C.(1,2]D.(2,)+∞4.函数32()1x x f x x -=+的大致图象是（）A. B.C. D.5.函数2231,0,()log (1)2,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨+->⎩的零点个数是（）A.1B.2C.3D.46.已知偶函数()g x 在[0,)+∞上单调递增，若(1)a g =-，0.2(2)b g =，31(log )2c g =，则（）A.c a b <<B.b c a <<C.c b a<< D.a c b<<7.2021年初，某地区甲、乙、丙三位经销商出售钢材的原价相同．受钢材进价普遍上涨的影响，甲、乙计划分两次提价，丙计划一次提价．设0p q <<，甲第一次提价%p ，第二次提价%q ；乙两次均提价%2p q+；丙一次性提价()%p q +．各经销商提价计划实施后，钢材售价由高到低的经销商依次为（）A.乙、甲、丙B.甲、乙、丙C .乙、丙、甲D.丙、甲、乙8.已知3()23f x x x =---，若对于任意的(0,)x π∈，都有9(sin )()6sin f x f a x++-≤，则实数a 的最小值为（）A.6-B.10-C.6D.10二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得50分，部分选对的得2分．9.若函数()xf x a =（0a >且1a ≠）在区间[]22-,上的最大值和最小值的和为103，则a 的值可能是（）A.13B.3C.D.310.已知函数210,1,()1,1x kx x f x k x x⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩是R 上的减函数，则实数k 的可能的取值有（）A.4B.5C.6D.711.下图是函数sin()y x ωϕ=+的部分图象，则sin()x ωϕ+=（）A.πsin(3x -）B.4πsin(2)3x -C.πcos(26+x D.5πcos(2)6x -12.已知函数cos sin ()e e x x f x =-，其中e 是自然对数的底数，则下列说法中正确的有（）A.()f x 是周期函数B.()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数C.关于x 的方程1()e ef x =-有实数解D.()f x 的图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.2log 3312log 27⋅的值为___________14.半径为2cm ，面积为21cm 的扇形的圆心角为______弧度．15.已知函数()sin(2)3f x x π=+，且关于x 的方程()()f x t t =∈R 在区间[0,2π上有唯一解，则t 的取值范围是______．16.德国数学家康托（Cantor ）创立的集合论奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的产物，具有典型的分形特征，其构造的操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,33，记为第1次操作；再将剩下的两个区间1[0,3，2[,1]3分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；以此类推，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为3段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的元素构成的集合为“康托三分集”．定义区间(,)a b 长度为b a -，则构造“康托三分集”的第n 次操作去掉的各区间的长度之和为______，若第n 次操作去掉的各区间的长度之和小于1100，则n 的最小值为______．（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合2{|280}A x x x =+-≤，集合1{|0}6x B x x -=<-，设集合()I A B =R ð．（1）求I ；（2）当x I ∈时，求函数9()2f x x x =+-的最小值．18.在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 轴的非负半轴，终边经过点(2,1)P -，求下列各式的值：（1）2sin +3sin cos ααα；（2）3sin()cos()tan()2sin()cos()2αααααπ+-π-ππ-+．19.将正弦曲线sin y x =上的所有的点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变得到曲线1C ，再将曲线1C 向左平移6π个单位得到曲线2C ，曲线2C 恰为函数()y f x =的图象．（1）直接写出函数()f x 的解析式，并求出()f x 的最小正周期与单调增区间；（2）若不等式()2m f x m <<+对,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围．20.设a ，b 为实数，已知定义在R 上的函数()51xb f x a =-+为奇函数，且其图象经过点21,3⎛⎫⎪⎝⎭．（1）求()f x 的解析式；（2）用定义证明()f x 为R 上的增函数，并求()f x 在(1,2]-上的值域．21.已知函数()2cos sin 29f x a x x a =---，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）若0a <，求()f x 的最小值()g a ；（2）若关于x 的方程()f x a =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求a 的取值范围．22.已知函数4()log (41)2xxf x =+-，x ∈R ．（1）求证：()f x 为R 上的偶函数；（2）若函数21()log (2)(0)2()xh f x x a a =--⋅+>在R 上只有一个零点，求实数a 的取值范围常州市教育学会学业水平监测高一数学2022年1月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知1sin3α=，α为第二象限角，则cos α的值为（）A.3B.3-C.23D.23-【答案】B 【解析】【分析】由平方关系求解即可.【详解】αQ 为第二象限角，则cos 3α==-.故选：B.【点睛】本题主要考查了已知正弦求余弦，属于基础题.2.若幂函数()y f x =的图象过点(4,2)，则()f x =（）A.12xB.12x-C.xD.x【答案】A 【解析】【分析】根据()y f x =为幂函数，可设()n f x x =，代入点(4,2)，可求得n 值，即可得答案.【详解】因为()y f x =为幂函数，所以设()n f x x =，又过点(4,2)，所以24n =，解得12n =，所以12()f x x=.故选：A3.已知集合2{|320}M x x x =-+≤，{|(1)()0,}N x x x a a =--∈R ≤，若“x M ∈”是“x ∈N ”的充分不必要条件，则实数a 的取值集合为（）A.(,2)-∞ B.[2,)+∞C.(1,2]D.(2,)+∞【答案】D 【解析】【分析】根据充分不必要条件建立不等式即可求解.【详解】因为2{|320}{|(1)(2)0}{|12}M x x x x x x x x =-+≤=--≤=≤≤，根据“x M∈”是“x ∈N ”的充分条件，可知1a >，所以{|(1)()0,}{|1}N x x x a a x x a =--∈=≤≤R ≤，再“x M ∈”是“x ∈N ”的充分不必要条件，可知2a >.故选：D4.函数32()1x x f x x -=+的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据函数奇偶性，可排除BD ，代入特殊值检验，即可得答案.【详解】由题意得333222()()()()111x x x x x x f x f x x x x ----+--===-=--+++，所以()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除BD ，又13(1)0,0210f f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，所以A 错误，C 正确.故选：C5.函数2231,0,()log (1)2,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨+->⎩的零点个数是（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据()0f x =直接求解即可.【详解】当0x ≤时，令2310x x +-=，解得32x --=，当0x >时，令2log (1)20x +-=，解得3x =，所以此函数有2个零点.故选：B6.已知偶函数()g x 在[0,)+∞上单调递增，若(1)a g =-，0.2(2)b g =，31(log 2c g =，则（）A.c a b <<B.b c a<<C.c b a<< D.a c b<<【答案】A 【解析】【分析】根据偶函数及在[0,)+∞上单调性，可得在(,0)-∞上单调性，根据指数函数、对数函数的单调性，可得自变量的大小关系，分析即可得答案.【详解】因为()g x 为偶函数，且在[0,)+∞上单调递增，所以0.20.2(2)(2)bg g ==-，且()g x 在(,0)-∞上单调递减，又因为0.20221>=，所以0.221-<-，又3311log log 123>=-，所以0.23121log 2-<-<又()g x 在(,0)-∞上单调递减，所以0.231(2)(1)(log )2g g g >->，即b a c >>.故选：A7.2021年初，某地区甲、乙、丙三位经销商出售钢材的原价相同．受钢材进价普遍上涨的影响，甲、乙计划分两次提价，丙计划一次提价．设0p q <<，甲第一次提价%p ，第二次提价%q ；乙两次均提价%2p q+；丙一次性提价()%p q +．各经销商提价计划实施后，钢材售价由高到低的经销商依次为（）A.乙、甲、丙B.甲、乙、丙C.乙、丙、甲D.丙、甲、乙【答案】A 【解析】【分析】根据题意，分别计算出提价后的价格，结合基本不等式，分析即可得答案.【详解】设提价前价格为1，则甲提价后的价格为：(1%)(1%)1%%0.01%p q p q pq ++=+++，乙提价后价格为：21%1%1%%0.01%222p q p q p q p q +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++⨯ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，丙提价后价格为：()%11%%p q p q +=+++，因为0p q <<，所以22p q pq +⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以1%1%(1%)(1%)12(%2)p q p p q p q q ++⎛⎫⎛⎫++>++>+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+，即乙>甲>丙.故选：A8.已知3()23f x x x =---，若对于任意的(0,)x π∈，都有9(sin )()6sin f x f a x++-≤，则实数a 的最小值为（）A.6- B.10-C.6D.10【答案】B 【解析】【分析】利用导数分析函数()f x 的单调性，令(]sin 0,1t x =∈，求出9y t t=+的最值，进而得()f y 的最大值，即可求出结果．【详解】由2()320f x x '=--<，所以3()23f x x x =---在R 上单调递减，设9sin sin y x x=+，令(]sin 0,1t x =∈所以9y t t =+，2910y t '=-<，则9y t t=+在(]0,1单调递减，故91101y ≥+=所以()()310102031023f y f ≤=---=-由于9(sin ()6sin f x f a x++-≤，则()6()f a f y ≤--所以()1017(10)f a f ≤=-，得10a≥-故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.若函数()x f x a =（0a >且1a ≠）在区间[]22-,上的最大值和最小值的和为103，则a 的值可能是（）A.13B.3C. D.3【答案】BC 【解析】【分析】分01a <<、1a >两种情况讨论，分析函数()xf x a=在[]22-,上的单调性，根据已知条件可得出关于实数a 的等式，即可求得实数a 的值.【详解】当01a <<时，函数()xf x a=在[]22-,上为减函数，则()()()()22max min 110223f x f x f a a +=-+=+=，解得3a =；当1a>时，函数()xf x a=在[]22-,上为增函数，则()()()()22max min 110223f x f x f f a a +=+-=+=，解得a =综上所述，3a=故选：BC.10.已知函数210,1,()1,1x kx x f x k x x⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩是R 上的减函数，则实数k 的可能的取值有（）A.4B.5C.6D.7【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数()f x 在R 上是减函数，然后结合二次函数与反比例（型）函数的单调性即可求得答案.【详解】因为函数()f x 是R 上的减函数，所以1210261101k k k k k ⎧≥⎪⎪->⇒≤≤⎨⎪-+≥-⎪⎩.故选：ABC .11.下图是函数sin()y x ωϕ=+的部分图象，则sin()x ωϕ+=（）A.πsin(3x - B.4πsin(2)3x -C.πcos(26）+x D.5πcos(2)6x -【答案】BD 【解析】【分析】根据图象可得2ω=±，根据512x π=时，函数取得最大值1，即可得到答案；【详解】22T ππωω==⇒=±，排除A ，当512x π=时，函数取得最大值1，5cos 2cos 1126πππ⎛⎫⨯+==- ⎪⎝⎭，故排除C ；验证B ，D45sin 2sin 13122πππ⎛⎫-⨯== ⎪⎝⎭，55cos 21612ππ⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭，故选：BD12.已知函数cos sin ()e e x x f x =-，其中e 是自然对数的底数，则下列说法中正确的有（）A.()f x 是周期函数B.()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数C.关于x 的方程1()e ef x =-有实数解D.()f x 的图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】ABD 【解析】【分析】根据周期性，计算(2)f x π+即可得判定A 的正误；根据复合函数单调性的原则，即可判断B 的正误；根据sin x 、cos x 的值域，结合题意，分析即可判断C 的正误；根据对称性的定义，计算得44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可判断D 的正误，即可得答案.【详解】对于A ：cos(2)sin(2)cos sin (2)e e e e ()x x x x f x f x πππ+++=-=-=，所以()f x 是以2π为周期的周期函数，故A 正确；对于B ：因为cos y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，e x y =在R 上为增函数，根据复合函数单调性同增异减原则，可得cos exy =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，同理sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，所以sin e xy =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，所以cos sin ()e e x x f x =-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，故B 正确；对于C ：因为cos [1,1],sin [1,1]x x ∈-∈-，所以cos sin 11e,e ,e ,e e e xx ⎡⎤⎡⎤∈∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，当且仅当cos sin 1e e,e e x x ==时方程有解，即cos 1x =且sin 1x =-时方程有解，此时2xk =π且22x k ππ=-，无法同时满足，所以关于x 的方程1()e ef x =-没有实数解；对于D ：cos sin 44e e 4x x f x πππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，cos sin cos sin sin cos 24244444e e e e e e 4x x x x x x f x πππππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++--++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭，所以44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()f x 的图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 正确.故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.2log 3312log 27⋅的值为___________【答案】9-【解析】【分析】根据对数运算性质即可求解.【详解】解：()2log 3312log 33927⋅=⨯-=-，故答案为：9-14.半径为2cm ，面积为21cm 的扇形的圆心角为______弧度．【答案】12##0.5【解析】【分析】设扇形的圆心角为θ弧度，根据扇形面积公式即可求解．【详解】设扇形的圆心角为θ弧度，则扇形的面积为22112122Sr θθ==⨯=解得12θ=.故答案为:0.515.已知函数()sin(2)3f x x π=+，且关于x 的方程()()f x t t =∈R 在区间[0,2π上有唯一解，则t 的取值范围是______．【答案】[){1}22- 【解析】【分析】根据图像即可求解.【详解】解：4[0,]2,,2333x x ππππ⎡⎤∈+∈⎢⎥⎣⎦，如图所示，()()f x t t R =∈在区间[0,]2π上有唯一解，即函数sin y x =与函数y t =的图像有一个交点.则t 的取值范围是33[){1} ，故答案为：33[{1} 16.德国数学家康托（Cantor ）创立的集合论奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的产物，具有典型的分形特征，其构造的操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,)33，记为第1次操作；再将剩下的两个区间1[0,]3，2[,1]3分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；以此类推，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为3段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的元素构成的集合为“康托三分集”．定义区间(,)a b 长度为b a -，则构造“康托三分集”的第n次操作去掉的各区间的长度之和为______，若第n 次操作去掉的各区间的长度之和小于1100，则n 的最小值为______．（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）【答案】①.123n n-②.10【解析】【分析】根据定义，第n 次操作，去掉12n -个长度为13n的区间；解对数不等式，即可得到答案；【详解】第1次操作，去掉1个长度为13的区间，第2次操作，去掉2个长度为213的区间，第3次操作，去掉22个长度为313的区间，第n 次操作，去掉12n -个长度为13n的区间，∴第n 次操作去掉的各区间的长度之和为123n n -；1111112lg(2)lg (1)lg 2lg 329.64731003100n n n n n n n --⋅<⇒⋅<⇒-⋅-⋅<-⇒>，10min n ∴=，故答案为：123n n-；10四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合2{|280}A x x x =+-≤，集合1{|0}6x B x x -=<-，设集合()I A B =R ð．（1）求I；（2）当x I ∈时，求函数9()2f x x x =+-的最小值．【答案】（1）(2,6)（2）8【解析】【分析】（1）解一元二次不等式化简集合A ，再进行集合补集、交集运算，即可得到答案；（2）利用基本不等式求函数的最小值即可；【小问1详解】因为2{|280}[4,2]A x x x =+-≤=-，所以(,4)(2,)A =-∞-+∞R ð，1{|0}(1,6)6x B x x -=<=-，故()(2,6)R I A B =⋂=ð．【小问2详解】当x I ∈时，有20x ->，则99()(2)22822f x x x x x =+=-+++=--≥，当且仅当92,22x x x ⎧-=⎪-⎨⎪>⎩即5(2,6)x =∈时取等号．故当x I ∈时，函数9()2f x x x =+-的最小值为(5)8f =．18.在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 轴的非负半轴，终边经过点(2,1)P -，求下列各式的值：（1）2sin +3sin cos ααα；（2）3sin()cos()tan()2sin()cos()2αααααπ+-π-ππ-+．【答案】（1）-1（2）2【解析】【分析】根据三角函数的定义，1tan 2α=-，再利用三角恒等变换，分别化简两个式子，将正切值代入，即可得到答案；【小问1详解】根据三角函数的定义，1tan 2α=-．原式222222211()3()sin +3sin cos tan 3tan 2211sin +cos tan 1()12αααααααα-+-+====-+-+；【小问2详解】原式cos cos (tan )12sin (sin )tan αααααα-⋅⋅-==-=⋅-．19.将正弦曲线sin y x =上的所有的点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变得到曲线1C ，再将曲线1C 向左平移6π个单位得到曲线2C ，曲线2C 恰为函数()y f x =的图象．（1）直接写出函数()f x 的解析式，并求出()f x 的最小正周期与单调增区间；（2）若不等式()2mf x m <<+对,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最小正周期为π，单调递增区间为()5,Z 1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）3,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）根据三角函数图象变换可直接写出函数()f x 的解析式，利用正弦型函数的周期公式可得出函数()f x 的最小正周期，解不等式()222Z 232k x k k πππππ-≤+≤+∈可得出函数()f x 单调单调递增区间；（2）由42ππx ≤≤可求得23x π+的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得函数()f x 的值域，可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.【小问1详解】解：根据题意，()sin 2sin 263f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．所以，函数()f x 的最小正周期为22T ππ==．由()222Z 232k x k k πππππ-≤+≤+∈得，()5Z 1212k x k k ππππ-≤≤+∈，则函数()f x 的单调增区间为()5,Z 1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．【小问2详解】解：由42ππx ≤≤得，542633x πππ≤+≤，则1sin 2232x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，即()122f x -≤≤．由不等式()2m f x m <<+对,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，得到2122m m ⎧<-⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，得232m -<<-，即m的取值范围是3,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭．20.设a ，b 为实数，已知定义在R 上的函数()51x bf x a =-+为奇函数，且其图象经过点21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的解析式；（2）用定义证明()f x 为R 上的增函数，并求()f x 在(1,2]-上的值域．【答案】（1）2()151x f x =-+（2）212,313⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据()f x 为奇函数，可得(0)=0f ，可得02b a -=，又过点21,3⎛⎫⎪⎝⎭，代入，可求得a ，b 的值，经检验符合题意，即可得答案.（2）利用定义法取值、作差、变形、定号，得结论，即可证明()f x 的单调性，根据单调性，代入数据，即可得值域.【小问1详解】因为()f x 为R 上的奇函数，所以(0)=0f ，即02ba -=．又因为函数()f x 的图象经过点21,3⎛⎫⎪⎝⎭，所以2(1)=3f ，即263b a -=．解得12a b =⎧⎨=⎩，故2()151xf x =-+，当2()151x f x =-+时，22225()()112051515151xxx x x f x f x -⋅+-=-+-=--=++++，即()f x 为奇函数，故2()151x f x =-+符合条件．【小问2详解】任取12,x x R ∈，且12x x <，则121222()()1(1)5151x x f x f x -=---++122112222(55)5151(51)(51)x x x x x x -=-=++++．因为12x x <，所以12550x x -<，又因为12(51)(51)0x x ++>，所以12())0(f x f x -<．即12()()f x f x <，故()f x 为R 上的增函数．因为()f x 在(1,2]-上也递增，所以当(1,2]x ∈-时，(1)()(2)f f x f -<≤，即212()313f x -<≤，所以()f x 在(2,3]-上的值域为212,313⎛⎤- ⎥⎝⎦21.已知函数()2cos sin 29f x a x x a =---，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）若0a<，求()f x 的最小值()g a ；（2）若关于x 的方程()f x a =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求a 的取值范围．【答案】（1）()2210,2049,2a a a g a a a ⎧----<<⎪=⎨⎪--≤-⎩；（2）910,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）化简得出()22cos 21024a a f x x a ⎛⎫=+--- ⎪⎝⎭，令cos t x=，则[]0,1t ∈，可得出()()2221024a a f x h t t a ⎛⎫==+--- ⎪⎝⎭，分012a <-<、12a -≥两种情况讨论，利用二次函数的基本性质可求得()g a 的表达式；（2）分析可知关于x 的方程2cos 103cos x a x -=-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，令[]3cos 2,3p x =-∈，可得出16a p p =--，利用函数的单调性求出函数()16H p p p=--在[]2,3的值域，即可求得实数a 的取值范围.【小问1详解】解：因为函数()2222cos sin 29cos cos 210cos 21024a a f x a x x a x a x a x a ⎛⎫=---=+--=+--- ⎪⎝⎭，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]cos 0,1x ∈，令cos t x =，则[]0,1t ∈．则()()2221024a af x h t t a ⎛⎫==+--- ⎪⎝⎭．又因为0a<，所以02a->．当012a <-<，即20a -<<时，则()h t 在0,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,12a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故()h t 在[]0,1上的最小值为()221024a a g a h a ⎛⎫=-=--- ⎪⎝⎭；当12a-≥，即2a ≤-时，()h t 在[0,1上单调递减，故()h t 在[]0,1上的最小值为()()19g a h a ==--．综上所述，()2210,2049,2a a a g a a a ⎧----<<⎪=⎨⎪--≤-⎩.【小问2详解】解：因为关于x 的方程()f x a =在[0,2π上有解，即关于x 的方程2cos cos 1030x a x a +--=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，所以2cos 103cos x a x -=-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解．因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]cos 0,1x ∈，令[]3cos 2,3p x =-∈，则()231016p a p pp--==--，因为函数()16H p p p =--在[]2,3上单调递增，则()910,23H p ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，故a 的取值范围是910,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．22.已知函数4()log (41)2x xf x =+-，x ∈R ．（1）求证：()f x 为R 上的偶函数；（2）若函数21()log (2)(0)2()x h f x x a a =--⋅+>在R 上只有一个零点，求实数a 的取值范围【答案】（1）证明见解析（2）1{}[1,)3+∞ 【解析】【分析】（1）根据偶函数定义，结合指数、对数的运算性质，即可得证（2）()h x 在R 上只有一个零点，转化为421log (41)log (2)22xx x a +-=⋅+有唯一实数根，令20x t =>，可得2(1)10a t -+-=在(0,)+∞上有唯一实数根，分别讨论1,1,1a a a >=<三种情况，根据二次函数的性质，即可得答案.【小问1详解】证明：对任意的x ∈R ，441log (41)log (1)242()x x f x x x -=++=+-+44414log ()log (14)log (14)()4222x x x x x x xx f x +=+=+-+=+-=，因此，函数()f x 为偶函数．【小问2详解】解：2211()log (2)()log (2)2()2x x f x h a f x a x =--⋅+=-⋅+．因为()h x 在R 上只有一个零点，所以关于x 的方程21()log (2)02x f x a -⋅+=（※）有唯一的实数解．方程（※）即421log (41)log (2)22xx x a +-=⋅+，即4441log ()log (2)2x x xa +=⋅+，化简得(1)4210x x a -⋅+⋅-=．令20x t=>，研究关于t 的方程2(1)10a t -+-=（※※）．21当1a =时，t =，符合条件；当1a >时，则2244(1)0a a ∆=+->，且101a -<-，故方程（※※）有异号的两个实根，符合条件；当1a <时，则101a ->-，故只需2Δ244(1)0,01a a a ⎧=+-=⎪⎨->⎪-⎩，解得13a =，此时方程（※※）有两个相等的正根，符合条件．综上所述，实数a 的取值范围为1{}[1,)3+∞ ．【点睛】解题的关键是熟练掌握偶函数的定义、指数、对数的运算性质，并灵活应用，难点在于需讨论三种情况，并结合二次函数性质求解，属中档题.。

常州教育学会学业水平监测高三数学Ⅰ试题

常州教育学会学业水平监测高三数学Ⅰ试题一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案写在答题卡相应位置． )1．已知集合A ＝｛0，1｝，B ＝｛－1，1｝，则A ∩B ＝．2．已知复数z 满足z (1＋i )＝1－i (i 是虚数单位)，则复数z ＝．3．已知5位裁判给某运动员打出的分数为9.1，9.3，x ，9.2，9.4，且这5个分数的平均数为9.3，则实数x ＝．4．一个算法的伪代码如右图所示，执行此算法，若输出的y 值为1，则输入的实数x 的值为．5．函数y ＝1－ln x 的定义域为．6．某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从选修2门课程，某同学从中选修2门课程，则该同学恰好选中1文1理的概率为．7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，直线x ＋y ＋2＝0经过双曲线C 的焦点，则双曲线C 的渐近线方程为．8．已知圆锥SO ，过SO 的中点P 作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO ，圆柱的下底面落在圆锥的底面上（如图），则圆柱PO 的体积与圆锥SO 的体积的比值为．9．已知正数x ，y 满足x ＋y x ＝1，则1x ＋x y的最小值为． 10．若直线kx －y －k ＝0与曲线y ＝e x (e 是自然对数的底数)相切，则实数k ＝．11．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，φ∈R )是偶函数，点（1，0）是函数y ＝f (x )图像的对称中心，则ω的最小值为．12．平面内不共线的三点O ，A ，B ，满足|OA →|＝1，|OB →|＝2，点C 为线段AB 的中点，∠AOB 的平分线交线段AB 于D ，若|OC →|＝32，则|OD →|＝． 13．过原点的直线l 与圆x 2＋y 2＝1交于P ，Q 两点，点A 是该圆与x 轴负半轴的交点，以AQ 为直径的圆与直线l 有异于Q 的交点N ，且直线AN 与直线AP 的斜率之积等于1，那么直线l 的方程为．14．数列｛a n ｝，｛b n ｝满足b n ＝a n ＋1＋(－1)n a n (n ∈N *)，且数列｛b n ｝的前n 项和为n 2．已知数列｛a n －n ｝的前2018项和为1，那么数列｛a n ｝的首项a 1＝．二、解答题：(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，点M，N分别是AB，CC1的中点．求证：⑴CM∥平面AB1N；⑵平面A1BN⊥平面AA1B1B．16．（本小题满分14分）已知△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且b2－232＝a2．3bc sin A＋c⑴求角A；⑵若tan B tan C＝3，且a＝2，求△ABC的周长．已知，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1上，其中a ＞b ＞0，且点P (63，63)是椭圆C 1，C 2位于第一象限的交点． ⑴求椭圆C 1，C 2的标准方程；⑵过y 轴上一点P 的直线l 与椭圆C 2相切，与椭圆C 1交于点A ，B ，已知PA →＝35PB →，求直线l 的斜率．18．（本小题满分16分）某公园要设计如图一所示的景观窗格（其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等三角形所得，如图二中所示多边形ABCDEFGH ），整体设计方案要求：内部井字形的两根水平横轴AF ＝BE ＝1.6米，两根竖轴CH ＝DG ＝1.2米，记景观窗格的外框（图二实线部分，轴和边框的粗细忽略不计）总长度为l 米．⑴若∠ABC ＝2π3，且两根横轴之间的距离为0.6米，求景观窗格的外框总长度； ⑵由于预算经费限制，景观窗格的外框总长度不超过5米，当景观窗格的面积（多边形ABCDEFGH 的面积）最大时，给出此景观窗格的设计方案中∠ABC 的大小与BC 长度．已知数列｛a n｝中，a1＝1，且a n＋3a n＋4＝0，n∈N*．＋1（1）求证：｛a n＋1｝是等比数列，并求数列｛a n｝的通项公式；（2）数列｛a n｝中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？若存在，求出满足条件的项；若不存在，说明理由．20．（本小题满分16分）已知函数m(x)＝x2，函数n(x)＝a ln x＋1(a∈R)．（1）若a＝2，求曲线y＝n(x)在点(1，n(1))处的切线方程；（2）若函数f(x)＝m(x)－n(x)有且只有一个零点，求实数a的取值范围；（3）若函数g(x)＝m(x)＋e x－ex≥0对x∈[1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．（e是自然对数的底数，e＝2.71828…）。