2020届北京市高考适应性测试数学试题(解析版)
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2020 届北京市高考适应性测试数学试题
一、单选题
1．在复平面内，复数 i (2 i) 对应的点的坐标为（ ）
A． (1, 2)
B． (2, 1)
C． (1, 2)
D． (2, 1)
【答案】C 【解析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出． 【详解】 解：复数 i（2+i）＝2i﹣1 对应的点的坐标为（﹣1，2）， 故选：C 【点睛】 本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
【答案】 3 4
15 7 4
【解析】利用余弦定理可求得 cos A的值，进而可得出 sin A 的值，最后利用三角形的
面积公式可得出 ABC 的面积.
【详解】
由余弦定理得 cos A b2 c2 a2 52 62 42 3 ，则 sin A 1 cos2 A 7 ，
2bc
256 4
表格变为：
A
B
C
D
E
物理
10 55 0 16 3 13 9
1
0
化学
853 0 19 5 14 7
2
0
对于 A 选项，物理化学等级都是 B 的学生至多有13 人，A 选项错误； 对于 B 选项，当物理 C 和 D ，化学都是 B 时，或化学 C 和 D ，物理都是 B 时，物理、 化学都是 B 的人数最少，至少为13 7 2 4 （人），B 选项错误；
D． x 22 y 12 5
【答案】A 【解析】求出所求圆的半径，可得出所求圆的标准方程. 【详解】
圆心为 2,1 且和 x 轴相切的圆的半径为1，因此，所求圆的方程为 x 22 y 12 1.
第 2 页 共 17 页
故选：A. 【点睛】 本题考查圆的方程的求解，一般求出圆的圆心和半径，考查计算能力，属于基础题.
第 8 页 共 17 页
ห้องสมุดไป่ตู้
① g 0 0； ②函数 g x 在 1,5 内有且仅有 3 个零点；
③不等式 f x 0 的解集为x 1 x 0 ．
其中，正确结论的序号是________． 【答案】①③
【解析】利用奇函数和 g 2 x g x 0 ，得出函数 y g x 的周期为 2 ，由图可 直接判断①；利用赋值法求得 g 1 0 ，结合 g 0 0，进而可判断函数 y g x 在 1,5 内的零点个数，可判断②的正误；采用换元法，结合图象即可得解，可判断③
【详解】
an 是等差数列，且公差 d 不为零，其前 n 项和为 Sn ，
充分性： Sn1 Sn ，则 an1 0 对任意的 n N 恒成立，则 a2 0 ，
d 0 ，若 d 0 ，则数列an为单调递减数列，则必存在 k N ，使得当 n k 时，
an1 0 ，则 Sn1 Sn ，不合乎题意；
离，利用点到直线的距离公式可得出关于 a 的方程，求出方程的解，即可得出结论.
【详解】
设点 P 的坐标为 a, a ，直线 AB 的方程为 x y 1，即 x y 2 0 ， 22
设点 P 到直线 AB 的距离为 d
，则 S
PAB
1 2
AB
d
12 2
2 d 2 ，解得 d
2，
a a 2
3．下列函数中，在区间 0, 上为减函数的是（ ）
A． y x 1
【答案】C
B． y x2 1
C．
y
1 2
x
D． y log2 x
【解析】利用基本初等函数的单调性判断各选项中函数在区间 0, 上的单调性，进
而可得出结果. 【详解】
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对于 A 选项，函数 y x 1 在区间 0, 上为增函数；
【解析】根据题意分别计算出物理等级为 A ，化学等级为 B 的学生人数以及物理等级 为 B ，化学等级为 A 的学生人数，结合表格中的数据进行分析，可得出合适的选项.
【详解】
根据题意可知，36 名学生减去 5 名全 A 和一科为 A 另一科为 B 的学生10 5 8 5 8 人（其中物理 A 化学 B 的有 5 人，物理 B 化学 A 的有 3 人），
时 y0 0 .
因此，抛物线 y2 4x 上到其焦点的距离为1的点的个数为1.
故答案为：1.
【点睛】 本题考查利用抛物线的定义求点的坐标，考查计算能力，属于基础题.
14．在 ABC 中， a 4 ， b 5 ， c 6 ，则 cos A ________， ABC 的面积为
________．
4
因此，
ABC 的面积为 S
ABC
1 bc sin 2
A
1 56 2
7 15 7 . 44
故答案为： 3 ； 15 7 . 44
【点睛】 本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积的计算，考查计算能力，属 于基础题.
15．函数 f x 的定义域为1,1 ，其图象如图所示．函数 g x 是定义域为 R 的奇函 数，满足 g 2 x g x 0 ，且当 x 0,1时，g x f x ．给出下列三个结论：
1
4 3
.
故选：B.
【点睛】
本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，是基础题．
8．已知点 A2,0 、 B0, 2 ．若点 P 在函数 y x 的图象上，则使得△PAB 的面
积为 2 的点 P 的个数为（ ）
A．1
B． 2
C． 3
D． 4
【答案】C
【解析】设出点 P 的坐标，以 AB 为底结合△PAB 的面积计算出点 P 到直线 AB 的距
【答案】B
B． 4 3
C． 2
D． 4
【解析】由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，由此求出四棱锥
的体积．
【详解】
由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，画出四棱锥的直观图，如
图所示：
第 3 页 共 17 页
则该四棱锥的体积为V
1 3 S正方形ABCD
PA
1 22 3
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B 的学生最少14 13 1（人），D 选项正确.
故选：D. 【点睛】 本题考查合情推理，考查推理能力，属于中等题.
二、填空题
11．已知双曲线
x2 a2
y2
1a
0 的一条渐近线方程为
x
y
0 ，则 a
________．
【答案】1 【解析】根据双曲线的标准方程写出双曲线的渐近线方程，结合题意可求得正实数 a 的
值.
【详解】
双曲线
x2 a2
y2
1a
0 的渐近线方程为
x a
y
0，
由于该双曲线的一条渐近线方程为 x y 0 ， 1 1，解得 a 1. a
故答案为：1.
【点睛】
本题考查利用双曲线的渐近线方程求参数，考查计算能力，属于基础题.
12．已知向量 a 1, m ， b 2,1 ，且 a b ，则 m ________．
因此，函数 y f x 的定义域为 x x 2 或 x 3 .
故选：A. 【点睛】 本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.
5．圆心为 2,1 且和 x 轴相切的圆的方程是（ ）
A． x 22 y 12 1
B． x 22 y 12 1
C． x 22 y 12 5
若 d 0 ，由 a2 0 且数列 an 为单调递增数列，则对任意的 n N ，an1 0 ，合乎
题意.
所以，“ n N* ， Sn1 Sn ” “ an 为递增数列”；
必要性：设 an n 10 ，当 n 8 时，an1 n 9 0 ，此时， Sn1 Sn ，但数列 an
是递增数列.
所以，“ n N* ， Sn1 Sn ” “ an 为递增数列”.
因此，“ n N* ， Sn1 Sn ”是“ an 为递增数列”的充分而不必要条件.
故选：A. 【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前 n 项和公式是解决本题的
关键，属于中等题．
10．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为 A 、B 、C 、D 、E 五个等级．某 班共有 36 名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该 班学生中，这两科等级均为 A 的学生有 5 人，这两科中仅有一科等级为 A 的学生，其
对于 C 选项，在表格中，除去物理化学都是 B 的学生，剩下的都是一科为 B 且最高等 级为 B 的学生，
因为都是 B 的学生最少 4 人，所以一科为 B 且最高等级为 B 的学生最多为 13 9 1 4 19 （人），
C 选项错误；
对于 D 选项，物理化学都是 B 的最多13 人，所以两科只有一科等级为 B 且最高等级为
的正误.综合可得出结论. 【详解】
因为函数 y g x 是奇函数，所以 g x g x ， 又 g 2 x g x 0 ，所以 g 2 x g x ，即 g x 2 g x ， 所以，函数 y g x 的周期为 2 . 对于①，由于函数 y g x 是 R 上的奇函数，所以， f 0 0，故①正确； 对于②， g 2 x g x 0 ，令 x 1，可得 2g 1 0 ，得 g 1 0 ， 所以，函数 y g x 在区间1,1 上的零点为 0 和1. 因为函数 y g x 的周期为 2 ，所以函数 y g x 在 1,5 内有 5 个零点，分别是 0 、
4．函数 f x x2 5x 6 的定义域为（ ）
A．x x 2 或 x 3
B．x x 3或 x 2
C．x 2 x 3
D．x 3 x 2
【答案】A
【解析】根据偶次根式被开方数非负可得出关于 x 的不等式，即可解得函数 y f x 的
定义域. 【详解】
由题意可得 x2 5x 6 0 ，解得 x 2 或 x 3 .
对于 B 选项，函数 y x2 1在区间 0, 上为增函数；
对于
C
选项，函数
y
1 2
x
在区间
0,
上为减函数；
对于 D 选项，函数 y log2 x 在区间 0, 上为增函数.
故选：C. 【点睛】 本题考查函数在区间上单调性的判断，熟悉一些常见的基本初等函数的单调性是判断的 关键，属于基础题.
6．为得到
的图象，只需要将
的图象（ ）
A．向左平移 个单位 B．向左平移 个单位
C．向右平移 个单位 【答案】D
D．向右平移 个单位
【解析】试题分析：因为
，所以为得到
的
图象，只需要将
的图象向右平移 个单位；故选 D．
【考点】三角函数的图像变换．
7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）
A． 2 3
另外一科等级为 B ，则该班（ ）
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A．物理化学等级都是 B 的学生至多有12 人 B．物理化学等级都是 B 的学生至少有 5 人 C．这两科只有一科等级为 B 且最高等级为 B 的学生至多有18 人 D．这两科只有一科等级为 B 且最高等级为 B 的学生至少有1人
【答案】D
2．已知集合 A x x 2 ， B 1,0,1, 2,3，则 A B （ ）
A．0,1
B．0,1, 2
C． 1, 0,1
D． 1,0,1, 2
【答案】C
【解析】根据交集的定义可求得集合 A B .
【详解】
A x x 2， B 1,0,1, 2,3，因此， A B 1,0,1.
故选：C. 【点睛】 本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.
【答案】 2 【解析】根据垂直向量的坐标表示可得出关于实数 m 的等式，即可求得实数 m 的值. 【详解】
a 1, m ， b 2,1 且 a b ，则 a b 2 m 0 ，解得 m 2 .
故答案为： 2 . 【点睛】 本题考查利用向量垂直求参数，涉及垂直向量的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.
9．设 an 是等差数列，且公差不为零，其前 n 项和为 Sn ．则“ n N* ， Sn1 Sn ”
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是“an为递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据等差数列的前 n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
13．抛物线 y2 4x 上到其焦点的距离为1的点的个数为________．
【答案】1
【解析】设抛物线上任意一点的坐标为 x0, y0 ，根据抛物线的定义求得 x0 ，并求出对
应的 y0 ，即可得出结果.
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【详解】
设抛物线上任意一点的坐标为 x0, y0 ，
抛物线 y2 4x 的准线方程为 x 1 ，由抛物线的定义得 x0 1 1，解得 x0 0 ，此
另一方面，由点到直线的距离公式得 d
2，
2
整理得 a a 0 或 a a 4 0 ， a 0，解得 a 0 或 a 1或 a 9 17 . 2
综上，满足条件的点 P 共有三个． 故选：C. 【点睛】 本题考查三角形面积的计算，涉及点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属 于中等题．
一、单选题
1．在复平面内，复数 i (2 i) 对应的点的坐标为（ ）
A． (1, 2)
B． (2, 1)
C． (1, 2)
D． (2, 1)
【答案】C 【解析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出． 【详解】 解：复数 i（2+i）＝2i﹣1 对应的点的坐标为（﹣1，2）， 故选：C 【点睛】 本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
【答案】 3 4
15 7 4
【解析】利用余弦定理可求得 cos A的值，进而可得出 sin A 的值，最后利用三角形的
面积公式可得出 ABC 的面积.
【详解】
由余弦定理得 cos A b2 c2 a2 52 62 42 3 ，则 sin A 1 cos2 A 7 ，
2bc
256 4
表格变为：
A
B
C
D
E
物理
10 55 0 16 3 13 9
1
0
化学
853 0 19 5 14 7
2
0
对于 A 选项，物理化学等级都是 B 的学生至多有13 人，A 选项错误； 对于 B 选项，当物理 C 和 D ，化学都是 B 时，或化学 C 和 D ，物理都是 B 时，物理、 化学都是 B 的人数最少，至少为13 7 2 4 （人），B 选项错误；
D． x 22 y 12 5
【答案】A 【解析】求出所求圆的半径，可得出所求圆的标准方程. 【详解】
圆心为 2,1 且和 x 轴相切的圆的半径为1，因此，所求圆的方程为 x 22 y 12 1.
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故选：A. 【点睛】 本题考查圆的方程的求解，一般求出圆的圆心和半径，考查计算能力，属于基础题.
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ห้องสมุดไป่ตู้
① g 0 0； ②函数 g x 在 1,5 内有且仅有 3 个零点；
③不等式 f x 0 的解集为x 1 x 0 ．
其中，正确结论的序号是________． 【答案】①③
【解析】利用奇函数和 g 2 x g x 0 ，得出函数 y g x 的周期为 2 ，由图可 直接判断①；利用赋值法求得 g 1 0 ，结合 g 0 0，进而可判断函数 y g x 在 1,5 内的零点个数，可判断②的正误；采用换元法，结合图象即可得解，可判断③
【详解】
an 是等差数列，且公差 d 不为零，其前 n 项和为 Sn ，
充分性： Sn1 Sn ，则 an1 0 对任意的 n N 恒成立，则 a2 0 ，
d 0 ，若 d 0 ，则数列an为单调递减数列，则必存在 k N ，使得当 n k 时，
an1 0 ，则 Sn1 Sn ，不合乎题意；
离，利用点到直线的距离公式可得出关于 a 的方程，求出方程的解，即可得出结论.
【详解】
设点 P 的坐标为 a, a ，直线 AB 的方程为 x y 1，即 x y 2 0 ， 22
设点 P 到直线 AB 的距离为 d
，则 S
PAB
1 2
AB
d
12 2
2 d 2 ，解得 d
2，
a a 2
3．下列函数中，在区间 0, 上为减函数的是（ ）
A． y x 1
【答案】C
B． y x2 1
C．
y
1 2
x
D． y log2 x
【解析】利用基本初等函数的单调性判断各选项中函数在区间 0, 上的单调性，进
而可得出结果. 【详解】
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对于 A 选项，函数 y x 1 在区间 0, 上为增函数；
【解析】根据题意分别计算出物理等级为 A ，化学等级为 B 的学生人数以及物理等级 为 B ，化学等级为 A 的学生人数，结合表格中的数据进行分析，可得出合适的选项.
【详解】
根据题意可知，36 名学生减去 5 名全 A 和一科为 A 另一科为 B 的学生10 5 8 5 8 人（其中物理 A 化学 B 的有 5 人，物理 B 化学 A 的有 3 人），
时 y0 0 .
因此，抛物线 y2 4x 上到其焦点的距离为1的点的个数为1.
故答案为：1.
【点睛】 本题考查利用抛物线的定义求点的坐标，考查计算能力，属于基础题.
14．在 ABC 中， a 4 ， b 5 ， c 6 ，则 cos A ________， ABC 的面积为
________．
4
因此，
ABC 的面积为 S
ABC
1 bc sin 2
A
1 56 2
7 15 7 . 44
故答案为： 3 ； 15 7 . 44
【点睛】 本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积的计算，考查计算能力，属 于基础题.
15．函数 f x 的定义域为1,1 ，其图象如图所示．函数 g x 是定义域为 R 的奇函 数，满足 g 2 x g x 0 ，且当 x 0,1时，g x f x ．给出下列三个结论：
1
4 3
.
故选：B.
【点睛】
本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，是基础题．
8．已知点 A2,0 、 B0, 2 ．若点 P 在函数 y x 的图象上，则使得△PAB 的面
积为 2 的点 P 的个数为（ ）
A．1
B． 2
C． 3
D． 4
【答案】C
【解析】设出点 P 的坐标，以 AB 为底结合△PAB 的面积计算出点 P 到直线 AB 的距
【答案】B
B． 4 3
C． 2
D． 4
【解析】由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，由此求出四棱锥
的体积．
【详解】
由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，画出四棱锥的直观图，如
图所示：
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则该四棱锥的体积为V
1 3 S正方形ABCD
PA
1 22 3
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B 的学生最少14 13 1（人），D 选项正确.
故选：D. 【点睛】 本题考查合情推理，考查推理能力，属于中等题.
二、填空题
11．已知双曲线
x2 a2
y2
1a
0 的一条渐近线方程为
x
y
0 ，则 a
________．
【答案】1 【解析】根据双曲线的标准方程写出双曲线的渐近线方程，结合题意可求得正实数 a 的
值.
【详解】
双曲线
x2 a2
y2
1a
0 的渐近线方程为
x a
y
0，
由于该双曲线的一条渐近线方程为 x y 0 ， 1 1，解得 a 1. a
故答案为：1.
【点睛】
本题考查利用双曲线的渐近线方程求参数，考查计算能力，属于基础题.
12．已知向量 a 1, m ， b 2,1 ，且 a b ，则 m ________．
因此，函数 y f x 的定义域为 x x 2 或 x 3 .
故选：A. 【点睛】 本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.
5．圆心为 2,1 且和 x 轴相切的圆的方程是（ ）
A． x 22 y 12 1
B． x 22 y 12 1
C． x 22 y 12 5
若 d 0 ，由 a2 0 且数列 an 为单调递增数列，则对任意的 n N ，an1 0 ，合乎
题意.
所以，“ n N* ， Sn1 Sn ” “ an 为递增数列”；
必要性：设 an n 10 ，当 n 8 时，an1 n 9 0 ，此时， Sn1 Sn ，但数列 an
是递增数列.
所以，“ n N* ， Sn1 Sn ” “ an 为递增数列”.
因此，“ n N* ， Sn1 Sn ”是“ an 为递增数列”的充分而不必要条件.
故选：A. 【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前 n 项和公式是解决本题的
关键，属于中等题．
10．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为 A 、B 、C 、D 、E 五个等级．某 班共有 36 名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该 班学生中，这两科等级均为 A 的学生有 5 人，这两科中仅有一科等级为 A 的学生，其
对于 C 选项，在表格中，除去物理化学都是 B 的学生，剩下的都是一科为 B 且最高等 级为 B 的学生，
因为都是 B 的学生最少 4 人，所以一科为 B 且最高等级为 B 的学生最多为 13 9 1 4 19 （人），
C 选项错误；
对于 D 选项，物理化学都是 B 的最多13 人，所以两科只有一科等级为 B 且最高等级为
的正误.综合可得出结论. 【详解】
因为函数 y g x 是奇函数，所以 g x g x ， 又 g 2 x g x 0 ，所以 g 2 x g x ，即 g x 2 g x ， 所以，函数 y g x 的周期为 2 . 对于①，由于函数 y g x 是 R 上的奇函数，所以， f 0 0，故①正确； 对于②， g 2 x g x 0 ，令 x 1，可得 2g 1 0 ，得 g 1 0 ， 所以，函数 y g x 在区间1,1 上的零点为 0 和1. 因为函数 y g x 的周期为 2 ，所以函数 y g x 在 1,5 内有 5 个零点，分别是 0 、
4．函数 f x x2 5x 6 的定义域为（ ）
A．x x 2 或 x 3
B．x x 3或 x 2
C．x 2 x 3
D．x 3 x 2
【答案】A
【解析】根据偶次根式被开方数非负可得出关于 x 的不等式，即可解得函数 y f x 的
定义域. 【详解】
由题意可得 x2 5x 6 0 ，解得 x 2 或 x 3 .
对于 B 选项，函数 y x2 1在区间 0, 上为增函数；
对于
C
选项，函数
y
1 2
x
在区间
0,
上为减函数；
对于 D 选项，函数 y log2 x 在区间 0, 上为增函数.
故选：C. 【点睛】 本题考查函数在区间上单调性的判断，熟悉一些常见的基本初等函数的单调性是判断的 关键，属于基础题.
6．为得到
的图象，只需要将
的图象（ ）
A．向左平移 个单位 B．向左平移 个单位
C．向右平移 个单位 【答案】D
D．向右平移 个单位
【解析】试题分析：因为
，所以为得到
的
图象，只需要将
的图象向右平移 个单位；故选 D．
【考点】三角函数的图像变换．
7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）
A． 2 3
另外一科等级为 B ，则该班（ ）
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A．物理化学等级都是 B 的学生至多有12 人 B．物理化学等级都是 B 的学生至少有 5 人 C．这两科只有一科等级为 B 且最高等级为 B 的学生至多有18 人 D．这两科只有一科等级为 B 且最高等级为 B 的学生至少有1人
【答案】D
2．已知集合 A x x 2 ， B 1,0,1, 2,3，则 A B （ ）
A．0,1
B．0,1, 2
C． 1, 0,1
D． 1,0,1, 2
【答案】C
【解析】根据交集的定义可求得集合 A B .
【详解】
A x x 2， B 1,0,1, 2,3，因此， A B 1,0,1.
故选：C. 【点睛】 本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.
【答案】 2 【解析】根据垂直向量的坐标表示可得出关于实数 m 的等式，即可求得实数 m 的值. 【详解】
a 1, m ， b 2,1 且 a b ，则 a b 2 m 0 ，解得 m 2 .
故答案为： 2 . 【点睛】 本题考查利用向量垂直求参数，涉及垂直向量的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.
9．设 an 是等差数列，且公差不为零，其前 n 项和为 Sn ．则“ n N* ， Sn1 Sn ”
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是“an为递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据等差数列的前 n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
13．抛物线 y2 4x 上到其焦点的距离为1的点的个数为________．
【答案】1
【解析】设抛物线上任意一点的坐标为 x0, y0 ，根据抛物线的定义求得 x0 ，并求出对
应的 y0 ，即可得出结果.
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【详解】
设抛物线上任意一点的坐标为 x0, y0 ，
抛物线 y2 4x 的准线方程为 x 1 ，由抛物线的定义得 x0 1 1，解得 x0 0 ，此
另一方面，由点到直线的距离公式得 d
2，
2
整理得 a a 0 或 a a 4 0 ， a 0，解得 a 0 或 a 1或 a 9 17 . 2
综上，满足条件的点 P 共有三个． 故选：C. 【点睛】 本题考查三角形面积的计算，涉及点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属 于中等题．