2020届北京市高考适应性测试数学试题(解析版)

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2020 年北京市高考适应性测试数学试卷逐题解析(刘老师)

有 36 名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，
这两科等级均为 A 的学生有5 人，这两科中仅有一科等级为 A 的学生，其
另外一科等级为 B．则该班
等级 A B C D E 科目
（A）物理化学等级都是 B 的学生至多有12人
（B）物理化学等级都是 B 的学生至少有5 人
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
【解析】由“ n N* ，Sn1 Sn ”可知an1 0 ，又{an}是等差数列，所以 d 只能大于0，所以
“ {an}为递增数列”；反过来，“ {an}为递增数列”，不一定 an1 0 ；故选A
（9）学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为 A，B，C，D，E 五个等级．某班共
要”的要求，某生物小组通过抽样检测植物高度的方法来监测培育的某种植物的生长情况．现分
别从 A, B, C 三块试验田中各随机抽取 7 株植物测量高度，数据如下表（单位：厘米）：
A 组 10 11 12 13 14 15 16
B 组 12 13 14 15 16 17 18
C 组 13 14 15 16 17 18 19
假设所有植株的生长情况相互独立．从 A, B, C 三组各随机选1 株， A 组选出的植株记为
甲， B 组选出的植株记为乙， C 组选出的植株记为丙．
（Ⅰ）求丙的高度小于15 厘米的概率；（Ⅱ）求甲的高度大于乙的高度的概率；
（Ⅲ）表格中所有数据的平均数记为 0 ．从 A, B, C 三块试验田中分别再随机抽取1 株该种植
3, an
3 2 n1 ， Sn
3 3 2n 1 2
1
2n
。
由1 2k 2020 得 2k 2019 ，

北京市2020届高三下学期高考适应性测试数学试题含答案

2020年北京市高考适应性测试数学第一部分(选择题共40分)一、选择题共10题，每题4分,共40分。

在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)在复平面内，复数i(i+2)对应的点的坐标为(A) (1, 2) (B) (-1, 2) (C) (2, 1) (D) (2, -1)(2)已知集合A={x|x<2}， B={-1,0,1,2,3}, 则A∩B=(){0,1}A (B) {0,1,2} (C) {-1,0,1} (D) {-1,0,1,2}(3)下列函数中，在区间(0,+∞)上为减函数的是()1A y x =+ 2()1B y x =- 1()()2x C y = 2()log D y x =(4)函数2()56f x x x =-+的定义域为(A) {x|x≤2或x≥3}(B) {x|x≤-3或x≥-2} (C) {x|2≤x≤3}(D) {x|-3≤x≤-2} (5)圆心为(2, 1)且和x 轴相切的圆的方程是22()(2)(1)1A x y -+-=22()(2)(1)1B x y +++= 22()(2)(1)5C x y -+-=22()(2)(1)5D x y +++= (6) 要得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需要将函数y=sin2x 的图象 (A)向左平移3π个单位 (B)向左平移6π个单位 (C)向右平移3π个单位 (D)向右平移6π个单位 (7)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积为2()3A 4()3B (C) 2(D) 4(8)已知点A(2,0)，B(0,-2).若点P 在函数y x =的图象上，则使得△PAB 的面积为2的点P 的个数为 (A) 1 (B) 2 (C) 3(D) 4 (9)设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为.n S 则“*1,n n n S S +∀∈>N ”是“{}n a 为递增数列”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(10)学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A,B,C,D,E 五个等级.某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科,这两科的学业水平测试成绩如图所示.该班学生中，这两科等级均为A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A 的学生，其另外一科等级为B.则该班（A ）物理化学等级都是B 的学生至多有12人（B ）物理化学等级都是B 的学生至少有5人（C ）这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至多有18人（D ）这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至少有1人第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5题，每题5分，共25分。

普通高等学校招生全国统一考试适应性测试(九省联考)数学试题(解析版)

2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）数学试题注意事项：]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（）A.14B.16C.18D.20【答案】B【详解】将这些数据从小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40，则其中位数为16.故选：B.2.椭圆2221(1)x y a a+=>的离心率为12，则=a （）A.233B.C.D.2【答案】A【详解】由题意得112e a ==，解得233a =，故选：A.3.记等差数列{}n a 的前n 项和为3712,6,17n S a a a +==，则16S =（）A.120B.140C.160D.180【答案】C 【解析】【分析】利用下标和性质先求出512a a +的值，然后根据前n 项和公式结合下标和性质求解出16S 的值.【详解】因为37526a a a +==，所以53a =，所以51231720a a +=+=，所以()()116165121681602a a S a a +⨯==+=，故选：C.4.设,αβ是两个平面，,m l 是两条直线，则下列命题为真命题的是（）A.若,,m l αβαβ⊥∥∥，则m l ⊥B.若,,m l m l αβ⊂⊂∥，则αβ∥C.若,,m l l αβαβ= ∥∥，则m l ∥D.若,,m l m l αβ⊥⊥∥，则αβ⊥【答案】C 【解析】【分析】由线面平行性质判断真命题，举反例判定假命题即可.【详解】对于A ，,m l 可能平行，相交或异面，故A 错误，对于B ，,αβ可能相交或平行，故B 错误，对于D ，,αβ可能相交或平行，故D 错误，由线面平行性质得C 正确，故选：C5.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（）A.20种B.16种C.12种D.8种【答案】B 【解析】【分析】分类讨论：乙丙及中间2人占据首四位、乙丙及中间2人占据尾四位，然后根据分类加法计数原理求得结果.【详解】因为乙和丙之间恰有2人，所以乙丙及中间2人占据首四位或尾四位，①当乙丙及中间2人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间，排乙丙有22A 种方法，排甲有12A 种方法，剩余两个位置两人全排列有22A 种排法，所以有212222A A A 8⨯⨯=种方法；②当乙丙及中间2人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间，排乙丙有22A 种方法，排甲有12A 种方法，剩余两个位置两人全排列有22A 种排法，所以有212222A A A 8⨯⨯=种方法；由分类加法计数原理可知，一共有8816+=种排法，故选：B.6.已知Q 为直线:210l x y ++=上的动点，点P 满足()1,3QP =-，记P 的轨迹为E ，则（）A.EB.E 是一条与l 相交的直线C.E 上的点到lD.E 是两条平行直线【答案】C 【解析】【分析】设(),P x y ，由()1,3QP =-可得Q 点坐标，由Q 在直线上，故可将点代入坐标，即可得P 轨迹E ，结合选项即可得出正确答案.【详解】设(),P x y ，由()1,3QP =-，则()1,3Q x y -+，由Q 在直线:210l x y ++=上，故()12310x y -+++=，化简得260x y ++=，即P 的轨迹为E 为直线且与直线l 平行，E 上的点到l的距离d ==A 、B 、D 错误，C 正确.故选：C .7.已知3ππ,π,tan24tan 44θθθ⎛⎫⎛⎫∈=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则21sin22cos sin2θθθ+=+（）A.14 B.34C.1D.32【答案】A 【解析】【分析】根据正弦、余弦、正切二倍角公式，将21sin22cos sin2θθθ++齐次化即可得出答案.【详解】由题3ππ,π,tan24tan 44θθθ⎛⎫⎛⎫∈=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得()()224tan 12tan 4tan 12tan 1tan 1tan θθθθθθ-+=⇒-+=--，则()()2tan 1tan 20tan 2θθθ++=⇒=-或1tan 2θ=-，因为()3π,π,tan 1,04θθ⎛⎫∈∈-⎪⎝⎭，所以1tan 2θ=-，222221sin2sin cos 2sin cos tan 12tan 2cos sin22cos 2sin cos 22tan θθθθθθθθθθθθθ+++++==+++()11114214+-==+-.故选：A8.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过坐标原点的直线与C 交于,A B 两点，211222,4F B F A F A F B a =⋅=，则C 的离心率为（）A.B.2C.D.【答案】D 【解析】【分析】由双曲线的对称性可得12F A F B =、12F B F A =且四边形12AF BF 为平行四边形，由题意可得出21F BF ∠，结合余弦定理表示出与a 、c 有关齐次式即可得离心率.【详解】由双曲线的对称性可知12F A F B =，12F B F A =，有四边形12AF BF 为平行四边形，令12F A F B m ==，则122F B F A m ==，由双曲线定义可知212F A F A a -=，故有22m m a -=，即2m a =，即122F A F B m a ===，124F B F A a ==，2222222cos 24cos 4F A F B F A F B AF B a a AF B a ⋅=⋅∠=⨯∠=，则21cos 2AF B ∠=，即23AF B π∠=，故212π3F BF ∠=，则有()()()222222121221124221cos 22422a a c F B F B F F F BF F B F Ba a+-+-∠===-⋅⨯⨯，即2222041162a c a -=-，即2204116162e -=-，则27e =，由1e >，故e =.故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的离心率，解题关键是找到关于a 、b 、c 之间的等量关系，本题中结合题意与双曲线的定义得出1F A 、2F B 与a 的具体关系及21F BF ∠的大小，借助余弦定理表示出与a 、c 有关齐次式，即可得解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数()3π3πsin 2cos 244f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A.函数π4f x ⎛⎫-⎪⎝⎭为偶函数B.曲线()y f x =的对称轴为π,Z x k k =∈C.()f x 在区间ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭单调递增D.()f x 的最小值为2-【答案】AC 【解析】【分析】利用辅助角公式化简()3π3πsin 2cos 244f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再根据三角函数的性质逐项判断即可.【详解】()3π3πsin 2cos 244f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3π3π3π3πsin 2cos sin cos 2cos2cos sin2sin 4444x x x x =++-2222sin 2cos 2cos2sin22222x x x x x =-+--=，即()f x x =，对于A ，i ππ42n 2x x f x ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭-⎝⎭，易知为偶函数，所以A 正确；对于B ，()f x x =对称轴为πππ2π,Z ,Z 242k x k k x k =+∈⇒=+∈，故B 错误；对于C ，ππ2π,,2,π323x x ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin2y x =单调递减，则()f x x =单调递增，故C 正确；对于D ，()f x x =，则[]sin21,1x ∈-，所以()f x ⎡∈⎣，故D 错误；故选：AC10.已知复数,z w 均不为0，则（）A.22||z z = B.22||z z z z =C.z z w w -=- D.z z w w=【答案】BCD 【解析】【分析】设出i z a b =+、i w c d =+，结合复数的运算、共轭复数定义及复数的模的性质逐个计算即可得.【详解】设i z a b =+(),R a b ∈、i w c d =+(),R c d ∈；对A ：设i z a b =+(),R a b ∈，则()222222i 2i 2i z a b a ab b a b ab =+=+-=-+，2222||z ab ==+，故A 错误；对B ：2z z z z z=⋅，又2z z z ⋅=，即有22||z z z z =，故B 正确；对C ：()i i i a b c d z a c d w b =+-=+----，则()i a c z w b d ----=，i z a b =-，i w c d =-，则()i i i z w a b c d a c b d =--+=----，即有z z w w -=-，故C 正确；对D ：()()()()()22i i i i i i i z c w a b c d ac bd ad bc a b c d c d c d d +-+--+===++-+==22c d ==+，22z w c d ===+22c d =+，故z z w w=，故D 正确.故选：BCD.11.已知函数()f x 的定义域为R ，且102f ⎛⎫≠⎪⎝⎭，若()()()4f x y f x f y xy ++=，则（）A.102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B.122f ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.函数12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数 D.函数12f x ⎛⎫+⎪⎝⎭是减函数【答案】ABD 【解析】【分析】对抽象函数采用赋值法，令12x =、0y =，结合题意可得()01f =-，对A ：令12x =、0y =，代入计算即可得；对B 、C 、D ：令12y =-，可得122f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即可得函数12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭及函数12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭函数的性质，代入1x =，即可得12f ⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】令12x =、0y =，则有()()1110100222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤+⨯=+= ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又102f ⎛⎫≠⎪⎝⎭，故()100f +=，即()01f =-，令12x =、12y =-，则有1111114222222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()110122f f f ⎛⎫⎛⎫+-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()01f =-，可得11022f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又102f ⎛⎫≠⎪⎝⎭，故102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故A 正确；令12y =-，则有()1114222f x f x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即122f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故函数12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是奇函数，有()1121222f x x x ⎛⎫+-=-+=-- ⎪⎝⎭，即1222f x x ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，即函数12f x ⎛⎫+⎪⎝⎭是减函数，令1x =，有12122f ⎛⎫=-⨯=-⎪⎝⎭，故B 正确、C 错误、D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题关键在于利用赋值法解决抽象函数问题，借助赋值法，得到()01f =-，再重新赋值，得到102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再得到122f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知集合{}{}2,0,2,4,3A B x x m =-=-≤，若A B A = ，则m 的最小值为__________．【答案】5【解析】【分析】由A B A = 可得A B ⊆，解出集合B 后结合集合的关系计算即可得.【详解】由A B A = ，故A B ⊆，由3x m -≤，得33m x m -+≤≤+，故有4323m m ≤+⎧⎨-≥-+⎩，即15m m ≥⎧⎨≥⎩，即5m ≥，即m 的最小值为5.故答案为：5.13.已知轴截面为正三角形的圆锥MM '的高与球O 的直径相等，则圆锥MM '的体积与球O 的体积的比值是__________，圆锥MM '的表面积与球O 的表面积的比值是__________．【答案】①.23②.1【解析】【分析】设圆锥的底面圆半径r 以及球的半径R ，用r 表示出圆锥的高h 和母线l 以及球的半径R ，然后根据体积公式求出体积比，根据表面积公式求得表面积之比.【详解】设圆锥的底面半径为r ，球的半径为R ，因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高h =，母线2l r =，由题可知：2h R =，所以球的半径32R =所以圆锥的体积为()23113ππ33V r r =⨯⨯=，球的体积333244πππ3322V R r ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，所以3123π23332rV V ==；圆锥的表面积221ππ3πS rl r r =+=，球的表面积22224π4π3π2S R r ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，所以21223π13πS r S r==，故答案为：23；1.14.以max M表示数集M 中最大的数．设01a b c <<<<，已知2b a ≥或1a b +≤，则{}max ,,1b a c b c ---的最小值为__________．【答案】15##0.2【解析】【分析】利用换元法可得11b n pa m n p =--⎧⎨=---⎩，进而根据不等式的性质，分情况讨论求解.【详解】令,,1,b a m c b n c p -=-=-=其中,,0m n p >，所以11b n p a m n p =--⎧⎨=---⎩，若2b a ≥，则()121b n p m n p =--≥---，故21m n p ++≥，令{}{}=max ,,1max ,,M b a c b c m n p ---=，因此22M mM n M p≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,故421M m n p ≥++≥,则14M ≥，若1a b +≤，则111n p m n p --+---≤，即221m n p ++≥，{}{}=max ,,1max ,,M b a c b c m n p ---=，则2222M mM n M p≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,故5221M m n p ≥++≥,则15M ≥，当22m n p ==时，等号成立，综上可知{}max ,,1b a c b c ---的最小值为15，故答案为：15【点睛】关键点睛：本题的关键是利用换元法，在2b a ≥和1a b +≤前提下进行合理分类讨论，根据题意得到相对应的不等式组，注意题目的条件关键词是“或”.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()2ln 2f x x x ax =+++在点()()22f ,处的切线与直线230x y +=垂直．（1）求a ；（2）求()f x 的单调区间和极值．【答案】（1）3a =-（2）单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭、()1,+∞，单调递减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，极大值3ln 24-，极小值0【解析】【分析】（1）结合导数的几何意义及直线垂直的性质计算即可得；（2）借助导数可讨论单调性，即可得极值.【小问1详解】()12f x x a x '=++，则()1922222f a a '=+⨯+=+，由题意可得92123a ⎛⎫⎛⎫+⨯-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得3a =-；【小问2详解】由3a =-，故()2ln 32f x x x x =+-+，则()()()2211123123x x x x f x x x x x---+'=+-==，0x >，故当102x <<时，()0f x ¢>，当112x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x ¢>，故()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭、()1,+∞，()f x 的单调递减区间为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()f x 有极大值211113ln 32ln 222224f ⎛⎫⎛⎫=+-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有极小值()21ln113120f =+-⨯+=.16.盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．（1）求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；（2）记取出的3个小球上的最小数字为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ．【答案】（1）47（2）分布列见解析，()107E X =【解析】【分析】（1）先确定3个不同数字的小球，然后再从确定的每种小球中取1个，通过计算可求符合要求的取法数，再除以总的取法数可得结果；（2）先确定X 的可取值为1,2,3，然后计算出不同取值的概率，注意X 的每种取值对应两种情况，由此可求分布列和期望()E X .【小问1详解】记“取出的3个小球上的数字两两不同”为事件M ，先确定3个不同数字的小球，有34C 种方法，然后每种小球各取1个，有111222C C C ⨯⨯种取法，所以()3111422238C C C C 4=C 7P M ⨯⨯⨯=.【小问2详解】由题意可知，X 的可取值为1,2,3，当1X =时，分为两种情况：只有一个数字为1的小球、有两个数字为1的小球，所以()1221262638C C C C 91=C 14P X +==；当2X =时，分为两种情况：只有一个数字为2的小球、有两个数字为2的小球，所以()1221242438C C C C 22=C 7P X +==；当3X =时，分为两种情况：只有一个数字为3的小球、有两个数字为3的小球，所以()1221222238C C C C 13=C 14P X +==，所以X 的分布列为：X123P 91427114所以()92110123147147E X =⨯+⨯+⨯=.17.如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，11112,,45AA C CB C CD C CO =∠=∠∠=︒．（1）证明：1C O ⊥平面ABCD ；（2）求二面角1B AA D --的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）223【小问1详解】连接11,BC DC ，因为底面ABCD 是边长为2的正方形，所以BC DC =，又因为11C CB C CD ∠=∠，11CC CC =，所以11C CB C CD ≅ ，所以11BC DC =，点O 为线段BD 中点，所以1C O BD ⊥，在1C CO △中，1122,CC CO AC ===，145C CO ∠=︒，所以222111112cos 22C C OC C O C CO C O C C OC+-∠==⇒=⨯⨯，则222111C C OC C O C O OC =+⇒⊥，又OC BD O = ，OC ⊂平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1C O ⊥平面ABCD .【小问2详解】由题知正方形ABCD 中AC BD ⊥，1C O ⊥平面ABCD ，所以建系如图所示，则()())()(12,0,0,2,0,2,0,0,2,0,0,0,0,2B D A C C ，则112,0,2AA CC == ，()()2,2,0,2,2,0AB AD == ，设面1BAA 的法向量为()111,,m x y z = ，面1DAA 的法向量为()222,,x n y z = ，则()1111122001,1,10220z AA m m AB m ⎧⎧+=⋅=⎪⇒⇒=-⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩ ，()2212222001,1,10220x z AA n n AD m ⎧+=⋅=⎪⇒⇒=--⎨⋅=-=⎪⎪⎩⎩，设二面角1B AA D --大小为θ，则21122cos sin 1cos 3333m n m nθθθ⋅===⇒=-⨯⋅ ，所以二面角1B AA D --的正弦值为223.18.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 的直线l 交C 于,A B 两点，过F 与l 垂直的直线交C 于,D E 两点，其中,B D 在x 轴上方，,M N 分别为,AB DE 的中点．（1）证明：直线MN 过定点；（2）设G 为直线AE 与直线BD 的交点，求GMN 面积的最小值．【答案】（1）证明见解析（2）8【解析】【分析】（1）设出直线AB 与直线CD 的方程，联立曲线后得到与纵坐标有关韦达定理，结合题意，表示出直线MN 后即可得定点坐标；（2）设出直线AE 与直线BD 的方程，联立两直线后结合第一问中韦达定理得出点G 的横坐标恒为1-，再结合面积公式及基本不等式即可得.【小问1详解】由2:4C y x =，故()1,0F ，由直线AB 与直线CD 垂直，故两只直线斜率都存在且不为0，设直线AB 、CD 分别为11x m y =+、21x m y =+，有121m m =-，()11,A x y 、()22,B x y 、()33,E x y 、()44,D x y ，联立2:4C y x =与直线AB ，即有2141y x x m y ⎧=⎨=+⎩，消去x 可得21440y m y --=，2116160m ∆=+>，故1214y y m +=、124y y =-，则()2121112112111242x x m y m y m y y m +=+++=++=+，故2121212x x m +=+，12122y y m +=，即()21121,2M m m +，同理可得()22221,2N m m +，当22122121m m +≠+时，则()()2212112212122:12221MN m m l m m x m y m ---=++-+，即()()21212121212121112221212122m m m m x y x m m m m m m m m m m m m +-+=-+-=--++++1212212121212211212122m m m m x x m m m m m m m m m m =--=-+++-++-，由121m m =-，即()2121213121y x x m m m m m m -=++=-++，故3x =时，有()213013m m y -+==，此时MN 过定点，且该定点为()3,0，当22122121m m +=+时，即2212m m =时，由121m m =-，即11m =±时，有213:MN l x =+=，亦过定点()3,0，故直线MN 过定点，且该定点为()3,0；【小问2详解】由()11,A x y 、()22,B x y 、()33,E x y 、()44,D x y ，则()311131:AE y y l y x x y x x -=-+-，由2114y x =、2224y x =，故22231113131112231313131313144444y y y y y y y y y x x y x y y y y y y y y y y y y y ⎛⎫-+=-+=-+= ⎪+++++⎝⎭-，同理可得2442424:BD y y x l y y y y y =+++，联立两直线，即13313124424244y y x y y y y y y y x y y y y y ⎧=+⎪++⎪⎨⎪=+⎪++⎩，有13243131424244y y y y x x y y y y y y y y +=+++++，即()()()()42134231243144x y y y y y y x y y y y y y +++=+++，有()()()2431134242314y y y y y y y y x y y y y +-+=+--，由124y y =-，同理344y y =-，故()()()()243113422341241341234231423144y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y x y y y y y y y y +-++--==+--+--()()24134231414y y y y y y y y -+--==-+--，故1G x =-，过点G 作//GQ x 轴，交直线MN 于点Q ，则12M N Q G GMN S y y x x =-⨯- ，由()21121,2M m m +、()22221,2N m m +，故121122224M N y y m m m m -=-=+≥，当且仅当11m =±时，等号成立，下证4Q G x x -≥：由抛物线的对称性，不妨设10m >，则20m <，当11m >时，有()2111,0m m =-∈-，则点G 在x 轴上方，点Q 亦在x 轴上方，有21120111m m m m =>+-，由直线MN 过定点()3,0，此时()314Q G x x ->--=，同理，当11m <时，有点G 在x 轴下方，点Q 亦在x 轴下方，有2110m m <+，故此时4Q G x x ->，当且仅当11m =时，3Q x =，故4Q G x x -≥恒成立，且11m =±时，等号成立，故1144822MN M G N Q G S y y x x =-⨯-≥⨯⨯= ，【点睛】关键点睛：第二问关键在于借助直线联立及第一问中韦达定理得出点G 的横坐标恒为1-，此时可根据三角形的面积公式及基本不等式求取最值.19.离散对数在密码学中有重要的应用．设p 是素数，集合{}1,2,,1X p =- ，若,,u v X m ∈∈N ，记u v ⊗为uv 除以p 的余数，,m u ⊗为m u 除以p 的余数；设a X ∈，2,2,1,,,,p a a a ⊗-⊗ 两两不同，若{}(),0,1,,2n a b n p ⊗=∈- ，则称n 是以a 为底b 的离散对数，记为log()a n p b =．（1）若11,2p a ==，求1,p a -⊗；（2）对{}12,0,1,,2m m p ∈- ，记12m m ⊕为12m m +除以1p -的余数（当12m m +能被1p -整除时，120m m ⊕=）．证明：()log()log()log()a a a p b c p b p c ⊗=⊕，其中,b c X ∈；（3）已知log()a n p b =．对{},1,2,,2x X k p ∈∈- ，令,,12,k k y ay x b ⊗⊗==⊗．证明：()2,21n p x y y -⊗=⊗．【答案】（1）1（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）第一问直接根据新定义来即可.（2）第二问结合新定义、带余除法以及费马小定理即可得证.（3）根据新定义进行转换即可得证.【小问1详解】若11,2p a ==，又注意到102102493111==⨯+，所以1,01,21p a -⊗⊗==.【小问2详解】当2p =时，此时{1}X =，此时1b c ==，1b c ⊗=，故()log()0,log()0,log()0a a a p b c p b p c ⊗===，此时()log()log()log()a a a p b c p b p c ⊗=⊕.当2p >时，因2,2,1,,,,p a a a ⊗-⊗ 相异，故2a ≥，而a X ∈，故,a p 互质.设()12=log(),log(),=log()a a a n p b c n p b n p c⊗=记()12=log(),log(),=log()a a a n p b c n p b n p c ⊗=，则12,N m m ∃∈，使得1212,n n a pm b a pm c =+=+，故()()1212n n a pm b pm c +=++，故12(mod )n n a bc p +≡，设()121,02n n t p s s p +=-+≤≤-，则12n n s ⊕=，因为1,2,3,..1p -除以p 的余数两两相异，且(),2,3,..1a a a p a -除以p 的余数两两相异，故()()1!23,..1(mod )p a a a p a p ⎡⎤-≡⨯⨯⨯-⎣⎦，故11mod p a p -≡，故(mod )s a bc p ≡，而(mod )(mod ),n a b c p bc p ≡⊗=其中02n p ≤≤-，故s n =即()log()log()log()a a a p b c p b p c ⊗=⊕.【小问3详解】当2b ≥时，由（2）可得11mod p b p -≡，若1b =，则11mod p b p -≡也成立.因为log()a n p b =，所以()mod na b p ≡.另一方面，()()()()()22,2,,,2121n p n p n p k k y y y y x b a --⊗-⊗⊗⊗⊗≡≡⊗()()()()()()()()112211mod mod k k kn p k p k k p xb a xb b x b x p x p -----≡≡≡≡≡.由于x X ∈，所以()2,21n p x y y -⊗=⊗.【点睛】关键点睛：本题的关键是充分理解新定义，然后结合带余除法以及费马小定理等初等数论知识即可顺利得解.。

2020年北京市高考数学适应性试卷(3月份) (含答案解析)

2020年北京市高考数学适应性试卷（3月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.复数i(1+i)的虚部为()A. √2B. 1C. 0D. −12.已知集合A={1,2，3，4，5}，B={x|x≤3}，则A∩B=()A. {3}B. {1,2}C. {2,3}D. {1,2，3}3.下列函数中，在区间(−1,1)上为减函数的是()A. y=11−xB. y=cosxC. y=ln(x+1)D. y=2−x4.设函数f(x)=2x+1的定义域为[1,5]，则函数f(2x−3)的定义域为()A. [1,5]B. [3,11]C. [3,7]D. [2,4]5.与x轴相切，且圆心坐标为(−2,3)的圆的标准方程为()A. (x+2)2+(y−3)2=4B. (x−2)2+(y+3)2=4C. (x+2)2+(y−3)2=9D. (x−2)2+(y+3)2=96.将函数y=3sin(2x−π4)的图象经过()变换，可以得到函数y=3sin2x的图象．A. 沿x轴向右平移π8个单位 B. 沿x轴向左平移π8个单位C. 沿x轴向右平移π4个单位 D. 沿x轴向左平移π4个单位7.某四棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是()A. 43B. 83C. 4D. 6+2√38.抛物线y=x2上的点到直线2x−y=4的最短距离是()A. 35B. 3√55C. 2√55D. 3√1059.在数列{a n}中，已知a n+1=√2a n+3(∀n∈N∗)，则数列{a n}满足：a n+1<a n(∀n∈N∗)的充要条件为()A. a1>−1B. a1>3C. a1<−1或a1>3D. −1<a1<310.为培养学生分组合作能力，现将某班分成A，B，C三个小组，甲、乙、丙三人分到不同组，某次数学建模考试中三人成绩情况如下：在B组中的那位的成绩与甲不一样，在A组中的那位的成绩比丙低，在B组中的那位的成绩比乙低．若甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序，则排序正确的是()A. 甲、丙、乙B. 乙、甲、丙C. 乙、丙、甲D. 丙、乙、甲二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知双曲线x2−y2=1的一条渐近线方程为x−2y=0，则该双曲线的离心率为______．a212.已知向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(1,m)，且a⃗⊥(a⃗−b⃗ )，则实数m的值为______．13.抛物线y2=12x上到焦点的距离等于9的点的坐标是______ ．14.已知△ABC的面积为√3且b=2，c=2，则∠A=______ ．15.已知奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称，当x∈[0,1]时，f(x)=log2(x+1)，则函数y=6f(x)−x在[−3,9]上的零点个数是．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图，四棱锥P−ABCD底面为正方形，已知PD⊥平面ABCD，PD=AD，点M为线段PA上任意一点(不含端点)，点N在线段BD上，且PM=DN．(Ⅰ)求证：直线MN//平面PCD；(Ⅱ)若M为线段PA中点，求直线PB与平面AMN所成的角的正弦值．17.等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3+3S2=0，求公比q．18.某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株，设甲，乙两种大树移栽的成活率分别为5和64，求移栽的4株大树中5(1)至少1株成活的概率(2)两种大树各成活1株的概率19.设函数f(x)=ax2−(1+a)x+2−a．e x(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(4,f(4))处的切线方程；4(2)若f(x)在x=3处取得极小值，求实数a的取值范围．20.椭圆C： x2a2+y2b2=1的右焦点为F(1,0)，离心率为12．(1)求椭圆C的方程；(2)过F且斜率为1的直线交椭圆于M，N两点，P是直线x=4上任意一点．求证：直线PM，PF，PN的斜率成等差数列．21.用三段论证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵i(1+i)=−1+i ， ∴i(1+i)的虚部为1．故选：B ．2.答案：D解析：解：∵A ={1,2，3，4，5}，B ={x|x ≤3}； ∴A ∩B ={1,2，3}．故选：D ．进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．3.答案：D解析：【分析】本题考查函数的单调性，属于基础题．分别分析各个函数的单调性：函数y =11−x ，y =ln (x +1)在(−1,1)上都是增函数，函数y =cosx 在(−1,0)上是增函数，在(0,1)上是减函数，而函数y =2−x =(12)x在(−1,1)上是减函数，故而可选答案．【解答】解：函数y =11−x ，y =ln (x +1)在(−1,1)上都是增函数，函数y =cosx 在(−1,0)上是增函数，在(0,1)上是减函数，而函数y =2−x =(12)x在(−1,1)上是减函数，故选D ．4.答案：D解析：∵函数f(x)的定义域为[1,5]， ∴1≤2x −3≤5，解得2≤x ≤4， ∴所求函数f(2x −3)的定义域是[2,4]．故选D ．本题考查函数的定义域问题，注意解决此类问题的原则，属于易错题．5.答案：C解析：【分析】本题主要考查求圆的标准方程的方法，属于基础题．由题意求得圆的半径，可得圆的标准方程．【解答】解：∵与x 轴相切，且圆心坐标为(−2,3)的圆的半径为3，故该圆的标准方程为(x +2)2+(y −3)2=9，故选：C ．6.答案：B解析：解：把函数y =3sin(2x −π4)的图象，沿x 轴向左平移π8个单位，可以得到函数y =3sin[2(x +π8)−π4]=3sin2x 的图象，故选：B ．由条件根据函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，可得结论．本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．7.答案：A解析：解：由三视图可知：该几何体为三棱锥P −ABC ，其中PA ⊥底面ABC ，AB ⊥AC ，AB =AC =2，PA =2． ∴V =13×2×12×22=43．故选：A．由三视图可知：该几何体为三棱锥P−ABC，其中PA⊥底面ABC，AB⊥AC，AB=AC=2，PA=2．本题考查了三棱锥的三视图、体积的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.答案：B解析：设抛物线y=x2上的点的坐标为(x,y)，则由点到直线的距离公式可得d=5=2√5=2√5≥3√55，∴抛物线y=x2上的点到直线2x−y=4的最短距离是3√55．9.答案：B解析：【分析】本题考查了数列的单调性，充分必要条件的判定，考查了推理能力，属于基础题．数列{a n}满足：a n+1<a n(∀n∈N∗)的充要条件为√2a n+3<a n，解得：a n范围．【解答】解：数列{a n}满足：a n+1<a n(∀n∈N∗)的充要条件为√2a n+3<a n，即a n2−2a n−3>0，解得：a n>3或a n<−1(∀n∈N∗)∵a n+1=√2a n+3≥0(∀n∈N∗)，∴a n+1≥0，(∀n∈N∗)即a n≥0(∀n∈N∗且n>1)即2a n+3>0(∀n∈N∗且n>1)即a n+1=√2a n+3>0(∀n∈N∗且n>1)∴a n>0，(∀n∈N∗且n>1)∴a n>3(∀n∈N∗且n>1)所以只要再满足a1>3，则有a n>3(∀n∈N∗)故选：B．10.答案：C解析：解：由“在B组中的那位的成绩与甲不一样，在B组中的那位的成绩比乙低”可得B组是丙，且丙的成绩比乙低，又在A组中的那位的成绩比丙低，∴A中是甲，∴甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序是：乙、丙、甲，故选：C．由“在B组中的那位的成绩与甲不一样，在B组中的那位的成绩比乙低”可得B组是丙，且丙的成绩比乙低，又在A组中的那位的成绩比丙低，A中是甲，即可求解．本题考查了推理与证明，属于基础题．11.答案：√52解析：【分析】本题主要考查了双曲线的性质的应用，属于基础题.根据双曲线的方程和渐近线得到a值，即可求解其离心率．【解答】解：因为一条渐近线方程为x−2y=0，所以b2a =(12)2=14，所以1a2=14，所以a2=4,b2=1,c2=5，所以e=√52，故答案为√52．12.答案：3解析：解：∵向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(1,m)，∴a⃗−b⃗ =(1,1−m)，∵a⃗⊥(a⃗−b⃗ )，∴a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=2+1−m=0．解得m=3．∴实数m的值为3．故答案为3．利用向量坐标运算法则得到a⃗−b⃗ =(1,1−m)，再由a⃗⊥(a⃗−b⃗ )，能求出实数m的值．本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．13.答案：(6,±6√2)解析：解：抛物线y2=12x的准线方程为x=−3∵抛物线y2=12x上点到焦点的距离等于9∴根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离，可得所求点的横坐标为6代入抛物线方程，可得y2=72，∴y=±6√2即所求点的坐标为(6,±6√2)故答案为：(6,±6√2).根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离，可得所求点的横坐标，即可求得结论．本题考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．14.答案：π3或2π3解析：解：由于△ABC的面积为√3=12bc⋅sinA=2sinA，求得sinA=√32，∴A=π3，或A=2π3，故答案为：π3或2π3．△ABC的面积为√3=12bc⋅sinA，求得sin A的值，可得A的值．本题主要考查三角形的面积公式，根据三角函数的值求角，属于基础题．15.答案：5解析：【分析】本题考查了函数的奇偶性、函数的周期性和函数的零点与方程根的关系，函数y=6f(x)−x在[−3,9]上的零点个数即为y=f(x)与y=x6的函数图象的交点的个数，由图象可知结论．【解答】解：由奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称，可知f(x)为周期函数，周期为4，作出函数，x∈[0,1]的图象，再根据周期为4，作出x∈[−3,9]上的图象，函数y =6f(x)−x 在[−3,9]上的零点个数即为y =f(x)与y =x6的函数图象的交点的个数，由图象可知在x ∈[−3,9]一共5个交点，所以函数y =6f(x)−x 在[−3,9]上的零点个数是5，故答案为5．16.答案：(Ⅰ)证明：延长AN ，交CD 于点G ，由相似三角形知AN NG =BNND ,由题意AP =BD,又PM =DN,则AM =BN,故BNDN =AMPM ,故ANNG =AMPM , 可得：MN//PG ，MN ⊄平面PCD ，PG ⊂平面PCD ，则直线MN//平面PCD ； (Ⅱ)解：由于PD ⊥平面ABCD ，DA ，DC ，DP 两两垂直，以DA ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设A(1,0，0)，则B(1,1，0)，C(0,1，0)，P(0,0，1)， M(12,0,12)，N(12,12,0)，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−1)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,0,12),AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,12,0), 设平面AMN 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z ),则{m ⃗⃗⃗ ·AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{−12x +12z =0−12x +12y =0, 取x =1,则x =y =z =1,平面AMN 的法向量为m⃗⃗⃗ =(1,1,1)，设直线PB 与平面AMN 所成的角为θ，则．直线PB 与平面AMN 所成的角的正弦值为13.解析：本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查计算能力以及空间想象能力．(Ⅰ)延长AN ，交CD 于点G ，由题意知AN NG =BN ND =AM MP ，推出MN//PG ，然后证明直线MN//平面PCD ； (Ⅱ)以DA ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设A(1,0，0)，求出相关点的坐标， PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−1)，平面AMN 的法向量，利用向量的数量积求解PB 与平面AMN 夹角的正弦值． 17.答案：解：显然公比q ≠1，设首项为a 1，则由S 3+3S 2=0，得a 1(1−q 3)1−q =−3×a 1(1−q 2)1−q ，即q 3+3q 2−4=0，即q 3−q 2+4q 2−4=q 2(q −1)+4(q 2−1)=0，即(q −1)(q 2+4q +4)=0，所以q 2+4q +4=(q +2)2=0，解得q =−2．解析：本题考查了等比数列的求和公式，直接利用公式求解．18.答案：解：记事件A k 为第k(k =1,2)株甲种大树成活，记事件B l 为第l(l =1,2)株乙种大树成活，则A 1,A 2,B 1,B 2相互独立，且P(A 1)=P(A 2)=56，P(B 1)=P(B 2)=45；(1)至少有1 株成活的概率为1−P(A 1A 2B 1B 2)=1−P(A 1)P(A 2)P(B 1)P(B 2)=1−(16)2(15)2=899900；(2)由独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率公式知，所求概率为P =C 21(56)(16)×C 21(45)(15)=445．解析：本题主要考查相互独立事件、独立重复试验、概率的基础知识，考查用概率知识解决实际问题的能力.(I)因各株大树是否成活互不影响，本题考查的是相互独立事件同时发生的概率，至少有1株成活包括的情况较多，所以从它的对立事件1株也不活来考虑. (II)应用独立重复试验中事件发生的概率公式，同时又有相互独立事件同时发生的概率，代入公式进行运算．19.答案：解：(1)f′(x)=−(ax−1)(x−3)e x ,x ∈R ，当a =14时，f′(x)=−(14x−1)(x−3)e x ,f(4)=34e 4,k =f′(4)=0，则曲线y =f (x )在点(4,f (4))处的切线方程为y =34e 4(2)①当a =0时，f′(x)=x−3e x ,f′(x)>0⇒x >3,f′(x)<0⇒x <3,所以f(x)在(−∞,3)上单调递减，在(3,+∞)上单调递增，则f(x)在x =3处取得极小值，符合题意②当a <0时，f′(x)>0⇒x >3或x <1a ,f′(x)<0⇒1a <x <3,所以f(x)在(−∞,1a )上单调递增，在(1a ,3)上单调递减，在(3,+∞)上单调递增，则f(x)在x =3处取得极小值，符合题意③当0<a <13时,f′(x)>0⇒3<x <1a ,f′(x)<0⇒x <3或x >1a ，所以f(x)在(−∞,3)上单调递减，在(3,1a )上单调递增，在(1a ,+∞)上单调递减，则f(x)在x =3处取得极小值，符合题意④当a =13时，f′(x)=−13(x−3)2e x ≤0在R 上恒成立，所以f(x)在R 上单调递减，则f(x)无极小值， ⑤当a >13时,f′(x)>0⇒1a <x <3,f′(x)<0⇒x >3或x <1a ，所以f(x)在(−∞,1a )上单调递减，在(1a ,3)上单调递增，在(3,+∞)上单调递减，则f(x)在x =3处取得极大值，不符合题意，综上，a ∈(−∞,13)解析：本题考查导数的运用：求切线的斜率和极值，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．(1)求得f(x)的导数，由导数的几何意义可得f′(4)=0，故可求曲线y =f (x )在点(4,f (4))处的切线方程；(2)求得f(x)的导数，注意分解因式，讨论a =0，a =13，0<a <13,a >13，a <0，由极小值的定义，即可得到所求a 的范围． 20.答案：解：(1)由题意可得c =1，e =c a =12，解得a =2，b =√a 2−c 2=√3，则椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(2)证明：设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，P(4,y 0)，由题意可得直线MN 的方程为y =x −1，代入椭圆方程x 24+y 23=1，可得7x 2−8x −8=0，x 1+x 2=87，x 1x 2=−87，k PM +k PN =y 0−y 14−x 1+y 0−y 24−x 2 =(y 0−x 1+1)(4−x 2)+(y 0−x 2+1)(4−x 1)(4−x 1)(4−x 2) =8y 0+8+2x 1x 2−(y 0+5)(x 1+x 2)16+x 1x 2−4(x 1+x 2) =8y 0+8−167−87(y 0+5)16−87−327=2y 03，又k PF =y 03，则k PM +k PN =2k PF ，则直线PM ，PF ，PN 的斜率成等差数列．解析：本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的性质：离心率，考查直线的斜率成等差数列，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和点满足直线方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．(1)由焦点坐标可得c =1，运用椭圆的离心率公式，可得a =2，再由a ，b ，c 的关系求得b ，进而得到所求椭圆方程；(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，P(4,y 0)，求得直线MN 的方程，代入椭圆方程，消去y ，可得x 的方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，结合等差数列的中项的性质，即可得证． 21.答案：略解析：首先，我们知道a 2+b 2≥2ab ，则有2(a 2+b 2)≥a 2+b2+2ab ，所以√a 2+b 2≥√22|a +b |≥√22(a +b )，同理，得√b 2+c 2≥√22(b +c )，√a 2+c 2≥√22(a +c )，则有。

高三数学2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试(九省联考)数学试题(解析版)

2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）数学试题注意事项：]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（）A.14B.16C.18D.20【答案】B 【解析】【分析】由中位数定义即可得.【详解】将这些数据从小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40，则其中位数为16.故选：B.2.椭圆2221(1)x y a a+=>的离心率为12，则=a （）A.233B.C.D.2【答案】A 【解析】【分析】由椭圆的离心率公式即可求解.【详解】由题意得12e a ==，解得233a =，故选：A.3.记等差数列{}n a 的前n 项和为3712,6,17n S a a a +==，则16S =（）A.120B.140C.160D.180【答案】C 【解析】【分析】利用下标和性质先求出512a a +的值，然后根据前n 项和公式结合下标和性质求解出16S 的值.【详解】因为37526a a a +==，所以53a =，所以51231720a a +=+=，所以()()116165121681602a a S a a +⨯==+=，故选：C.4.设,αβ是两个平面，,m l 是两条直线，则下列命题为真命题的是（）A.若,,m l αβαβ⊥∥∥，则m l ⊥B.若,,m l m l αβ⊂⊂∥，则αβ∥C.若,,m l l αβαβ= ∥∥，则m l ∥D.若,,m l m l αβ⊥⊥∥，则αβ⊥【答案】C 【解析】【分析】由线面平行性质判断真命题，举反例判定假命题即可.【详解】对于A ，,m l 可能平行，相交或异面，故A 错误，对于B ，,αβ可能相交或平行，故B 错误，对于D ，,αβ平行，不可能垂直，故D 错误，由线面平行性质得C 正确，故选：C5.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（）A.20种B.16种C.12种D.8种【答案】B 【解析】【分析】分类讨论：乙丙及中间2人占据首四位、乙丙及中间2人占据尾四位，然后根据分类加法计数原理求得结果.【详解】因为乙和丙之间恰有2人，所以乙丙及中间2人占据首四位或尾四位，①当乙丙及中间2人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间，排乙丙有22A 种方法，排甲有12A 种方法，剩余两个位置两人全排列有22A 种排法，所以有212222A A A 8⨯⨯=种方法；②当乙丙及中间2人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间，排乙丙有22A 种方法，排甲有12A 种方法，剩余两个位置两人全排列有22A 种排法，所以有212222A A A 8⨯⨯=种方法；由分类加法计数原理可知，一共有8816+=种排法，故选：B.6.已知Q 为直线:210l x y ++=上的动点，点P 满足()1,3QP =-，记P 的轨迹为E ，则（）A.EB.E 是一条与l 相交的直线C.E 上的点到lD.E 是两条平行直线【答案】C 【解析】【分析】设(),P x y ，由()1,3QP =-可得Q 点坐标，由Q 在直线上，故可将点代入坐标，即可得P 轨迹E ，结合选项即可得出正确答案.【详解】设(),P x y ，由()1,3QP =-，则()1,3Q x y -+，由Q 在直线:210l x y ++=上，故()12310x y -+++=，化简得260x y ++=，即P 的轨迹为E 为直线且与直线l 平行，E 上的点到l的距离d ==A 、B 、D 错误，C 正确.故选：C .7.已知3ππ,π,tan24tan 44θθθ⎛⎫⎛⎫∈=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则21sin22cos sin2θθθ+=+（）A.14 B.34C.1D.32【答案】A 【解析】【分析】根据正弦、余弦、正切二倍角公式，将21sin22cos sin2θθθ++齐次化即可得出答案.【详解】由题3ππ,π,tan24tan 44θθθ⎛⎫⎛⎫∈=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得()()224tan 12tan 4tan 12tan 1tan 1tan θθθθθθ-+=⇒-+=--，则()()2tan 1tan 20tan 2θθθ++=⇒=-或1tan 2θ=-，因为()3π,π,tan 1,04θθ⎛⎫∈∈-⎪⎝⎭，所以1tan 2θ=-，222221sin2sin cos 2sin cos tan 12tan 2cos sin22cos 2sin cos 22tan θθθθθθθθθθθθθ+++++==+++()11114214+-==+-.故选：A8.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过坐标原点的直线与C 交于,A B 两点，211222,4F B F A F A F B a =⋅=，则C 的离心率为（）A.B.2C.D.【答案】D 【解析】【分析】由双曲线的对称性可得12F A F B =、12F B F A =且四边形12AF BF 为平行四边形，由题意可得出21F BF ∠，结合余弦定理表示出与a 、c 有关齐次式即可得离心率.【详解】由双曲线的对称性可知12F A F B =，12F B F A =，有四边形12AF BF 为平行四边形，令12F A F B m ==，则122F B F A m ==，由双曲线定义可知212F A F A a -=，故有22m m a -=，即2m a =，即122F A F B m a ===，124F B F A a ==，2222222cos 24cos 4F A F B F A F B AF B a a AF B a ⋅=⋅∠=⨯∠=，则21cos 2AF B ∠=，即23AF B π∠=，故212π3F BF ∠=，则有()()()222222121221124221cos 22422a a c F B F B F F F BF F B F Ba a+-+-∠===-⋅⨯⨯，即2222041162a c a -=-，即2204116162e -=-，则27e =，由1e >，故e =.故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的离心率，解题关键是找到关于a 、b 、c 之间的等量关系，本题中结合题意与双曲线的定义得出1F A 、2F B 与a 的具体关系及21F BF ∠的大小，借助余弦定理表示出与a 、c 有关齐次式，即可得解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数()3π3πsin 2cos 244f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A.函数π4f x ⎛⎫-⎪⎝⎭为偶函数B.曲线()y f x =的对称轴为π,Z x k k =∈C.()f x 在区间ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭单调递增D.()f x 的最小值为2-【答案】AC 【解析】【分析】利用辅助角公式化简()3π3πsin 2cos 244f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再根据三角函数的性质逐项判断即可.【详解】()3π3πsin 2cos 244f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3π3π3π3πsin 2cos sin cos 2cos2cos sin2sin 4444x x x x =++-2222sin 2cos 2cos2sin22222x x x x x =-+--=，即()f x x =，对于A ，i ππ42n 2x x f x ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭-⎝⎭，易知为偶函数，所以A 正确；对于B ，()f x x =对称轴为πππ2π,Z ,Z 242k x k k x k =+∈⇒=+∈，故B 错误；对于C ，ππ2π,,2,π323x x ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin2y x =单调递减，则()f x x =单调递增，故C 正确；对于D ，()f x x =，则[]sin21,1x ∈-，所以()f x ⎡∈⎣，故D 错误；故选：AC10.已知复数,z w 均不为0，则（）A.22||z z = B.22||z z z z =C .z z w w-=- D.z z w w=【答案】BCD 【解析】【分析】设出i z a b =+、i w c d =+，结合复数的运算、共轭复数定义及复数的模的性质逐个计算即可得.【详解】设i z a b =+(),R a b ∈、i w c d =+(),R c d ∈；对A ：设i z a b =+(),R a b ∈，则()222222i 2i 2i z a b a ab b a b ab =+=+-=-+，2222||z ab ==+，故A 错误；对B ：2z z z z z=⋅，又2z z z ⋅=，即有22||z z z z =，故B 正确；对C ：()i i i a b c d z a c d w b =+-=+----，则()i a c z w b d ----=，i z a b =-，i w c d =-，则()i i i z w a b c d a c b d =--+=----，即有z z w w -=-，故C 正确；对D ：()()()()()22i i i i i i i z c w a b c d ac bd ad bc a b c d c d c d d +-+--+===++-+==22c d ==+，22z w c d ===+22c d =+，故z z w w=，故D 正确.故选：BCD.11.已知函数()f x 的定义域为R ，且102f ⎛⎫≠⎪⎝⎭，若()()()4f x y f x f y xy ++=，则（）A.102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B.122f ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.函数12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数 D.函数12f x ⎛⎫+⎪⎝⎭是减函数【答案】ABD 【解析】【分析】对抽象函数采用赋值法，令12x =、0y =，结合题意可得()01f =-，对A ：令12x =、0y =，代入计算即可得；对B 、C 、D ：令12y =-，可得122f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即可得函数12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭及函数12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭函数的性质，代入1x =，即可得12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【详解】令12x =、0y =，则有()()1110100222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤+⨯=+= ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又102f ⎛⎫≠⎪⎝⎭，故()100f +=，即()01f =-，令12x =、12y =-，则有1111114222222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()110122f f f ⎛⎫⎛⎫+-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()01f =-，可得11022f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又102f ⎛⎫≠⎪⎝⎭，故102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故A 正确；令12y =-，则有()1114222f x f x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即122f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故函数12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是奇函数，有()1121222f x x x ⎛⎫+-=-+=-- ⎪⎝⎭，即1222f x x ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，即函数12f x ⎛⎫+⎪⎝⎭是减函数，令1x =，有12122f ⎛⎫=-⨯=-⎪⎝⎭，故B 正确、C 错误、D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题关键在于利用赋值法解决抽象函数问题，借助赋值法，得到()01f =-，再重新赋值，得到102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再得到122f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知集合{}{}2,0,2,4,3A B x x m =-=-≤，若A B A = ，则m 的最小值为__________．【答案】5【解析】【分析】由A B A = 可得A B ⊆，解出集合B 后结合集合的关系计算即可得.【详解】由A B A = ，故A B ⊆，由3x m -≤，得33m x m -+≤≤+，故有4323m m ≤+⎧⎨-≥-+⎩，即15m m ≥⎧⎨≥⎩，即5m ≥，即m 的最小值为5.故答案为：5.13.已知轴截面为正三角形的圆锥MM '的高与球O 的直径相等，则圆锥MM '的体积与球O 的体积的比值是__________，圆锥MM '的表面积与球O 的表面积的比值是__________．【答案】①.23②.1【解析】【分析】设圆锥的底面圆半径r 以及球的半径R ，用r 表示出圆锥的高h 和母线l 以及球的半径R ，然后根据体积公式求出体积比，根据表面积公式求得表面积之比.【详解】设圆锥的底面半径为r ，球的半径为R ，因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高h =，母线2l r =，由题可知：2h R =，所以球的半径32R =所以圆锥的体积为()23113ππ33V r r =⨯⨯=，球的体积33324433πππ3322V R r ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，所以3123π233rV V ==；圆锥的表面积221ππ3πS rl r r =+=，球的表面积222234π4π3π2S R r ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，所以21223π13πS r S r ==，故答案为：23；1.14.以max M表示数集M 中最大的数．设01a b c <<<<，已知2b a ≥或1a b +≤，则{}max ,,1b a c b c ---的最小值为__________．【答案】15##0.2【解析】【分析】利用换元法可得11b n pa m n p =--⎧⎨=---⎩，进而根据不等式的性质，分情况讨论求解.【详解】令,,1,b a m c b n c p -=-=-=其中,,0m n p >，所以11b n pa m n p =--⎧⎨=---⎩，若2b a ≥，则()121b n p m n p =--≥---，故21m n p ++≥，令{}{}=max ,,1max ,,M b a c b c m n p ---=，因此22M mM n M p≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,故421M m n p ≥++≥,则14M ≥，若1a b +≤，则111n p m n p --+---≤，即221m n p ++≥，{}{}=max ,,1max ,,M b a c b c m n p ---=，则2222M mM n M p≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,故5221M m n p ≥++≥,则15M ≥，当且仅当221m n p ++=且{}1max ,,5m n p =时等号成立，如取15m n p ===时可满足等号成立，综上可知{}max ,,1b a c b c ---的最小值为15，故答案为：15【点睛】关键点睛：本题的关键是利用换元法，在2b a ≥和1a b +≤前提下进行合理分类讨论，根据题意得到相对应的不等式组，注意题目的条件关键词是“或”.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数()2ln 2f x x x ax =+++在点()()22f ,处的切线与直线230x y +=垂直．（1）求a ；（2）求()f x 的单调区间和极值．【答案】（1）3a =-（2）单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭、()1,+∞，单调递减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，极大值3ln 24-，极小值0【解析】【分析】（1）结合导数的几何意义及直线垂直的性质计算即可得；（2）借助导数可讨论单调性，即可得极值.【小问1详解】()12f x x a x '=++，则()1922222f a a '=+⨯+=+，由题意可得92123a ⎛⎫⎛⎫+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得3a =-；【小问2详解】由3a =-，故()2ln 32f x x x x =+-+，则()()()2211123123x x x x f x x x x x---+'=+-==，0x >，故当102x <<时，()0f x ¢>，当112x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x ¢>，故()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭、()1,+∞，()f x 的单调递减区间为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()f x 有极大值211113ln 32ln 222224f ⎛⎫⎛⎫=+-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有极小值()21ln113120f =+-⨯+=.16.盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．（1）求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；（2）记取出的3个小球上的最小数字为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ．【答案】（1）47（2）分布列见解析，()107E X =【解析】【分析】（1）先确定3个不同数字的小球，然后再从确定的每种小球中取1个，通过计算可求符合要求的取法数，再除以总的取法数可得结果；（2）先确定X 的可取值为1,2,3，然后计算出不同取值的概率，注意X 的每种取值对应两种情况，由此可求分布列和期望()E X .【小问1详解】记“取出的3个小球上的数字两两不同”为事件M ，先确定3个不同数字的小球，有34C 种方法，然后每种小球各取1个，有111222C C C ⨯⨯种取法，所以()3111422238C C C C 4=C 7P M ⨯⨯⨯=.【小问2详解】由题意可知，X 的可取值为1,2,3，当1X =时，分为两种情况：只有一个数字为1的小球、有两个数字为1的小球，所以()1221262638C C C C 91=C 14P X +==；当2X =时，分为两种情况：只有一个数字为2的小球、有两个数字为2的小球，所以()1221242438C C C C 22=C 7P X +==；当3X =时，分为两种情况：只有一个数字为3的小球、有两个数字为3的小球，所以()1221222238C C C C 13=C 14P X +==，所以X 的分布列为：X123P 91427114所以()92110123147147E X =⨯+⨯+⨯=.17.如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，11112,,45AA C CB C CD C CO =∠=∠∠=︒．（1）证明：1C O ⊥平面ABCD ；（2）求二面角1B AA D --的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）223【解析】【分析】（1）根据题意，利用线面垂直的判定定理证明即可.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的正弦值.【小问1详解】连接11,BC DC ，因为底面ABCD 是边长为2的正方形，所以BC DC =，又因为11C CB C CD ∠=∠，11CC CC =，所以11C CB C CD ≅ ，所以11BC DC =，点O 为线段BD 中点，所以1C O BD ⊥，在1C CO △中，1122,CC CO AC ===，145C CO ∠=︒，所以222111112cos 22C C OC C O C CO C O C C OC+-∠==⇒=⨯⨯，则222111C C OC C O C O OC =+⇒⊥，又OC BD O = ，OC ⊂平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1C O ⊥平面ABCD .【小问2详解】【方法一】：由题知正方形ABCD 中AC BD ⊥，1C O ⊥平面ABCD ，所以建系如图所示，则()())()(12,0,0,2,0,2,0,0,2,0,0,0,0,2B D A C C ，则112,0,2AA CC == ，()()2,2,0,2,2,0AB AD == ，设面1BAA 的法向量为()111,,m x y z = ，面1DAA 的法向量为()222,,n x y z = ，则1111122000220z AA m AB m x ⎧⎧+=⋅=⎪⇒⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩ ，取11x =，则()1,1,1m =- 2212222000220z AA n AD m x ⎧=⋅=⎪⇒⎨⋅=-=⎪⎪⎩⎩ 取21x =，则()1,1,1n =-- .设二面角1B AA D --大小为θ，则21122cos sin 1cos 3333m n m n θθθ⋅===⇒=-=⋅⨯ ，所以二面角1B AA D --的正弦值为223.【方法二】：以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．由题设得2,0,0)B ，(0,2,0)A ，1(0,22,2)A -，(2,0,0)D ，(12C ，()2,0C ，11(0,2,2)AA CC ==- ，2,2,0)AB = ，(2,2,0)AD = ．设(,,)m x y z = 是平面1AA B 的法向量，则100m AA m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00⎧+=⎪+=，可取(1,1,1)m =-- ．设(,,)n p q r = 是平面1AA D 的法向量，则100n AA n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00⎧+=⎪⎨=⎪⎩，可取(1,1,1)n = ．所以1cos ,||||3m n m n m n ⋅〈〉==-⋅ ．因此二面角1B AA D --的正弦值为223．18.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 的直线l 交C 于,A B 两点，过F 与l 垂直的直线交C 于,D E 两点，其中,B D 在x 轴上方，,M N 分别为,AB DE 的中点．（1）证明：直线MN 过定点；（2）设G 为直线AE 与直线BD 的交点，求GMN 面积的最小值．【答案】（1）证明见解析（2）8【解析】【分析】（1）设出直线AB 与直线CD 的方程，联立曲线后得到与纵坐标有关韦达定理，结合题意，表示出直线MN 后即可得定点坐标；（2）设出直线AE 与直线BD 的方程，联立两直线后结合第一问中韦达定理得出点G 的横坐标恒为1-，再结合面积公式及基本不等式即可得.我们也可以利用面积得到1||||8GMN S AB DE =⨯⨯△，再结合基本不等式可求最小值.【小问1详解】【方法一】：由2:4C y x =，故()1,0F ，由直线AB 与直线CD 垂直，故两只直线斜率都存在且不为0，设直线AB 、CD 分别为11x m y =+、21x m y =+，有121m m =-，()11,A x y 、()22,B x y 、()33,E x y 、()44,D x y ，联立2:4C y x =与直线AB ，即有2141y x x m y ⎧=⎨=+⎩，消去x 可得21440y m y --=，2116160m ∆=+>，故1214y y m +=、124y y =-，则()2121112112111242x x m y m y m y y m +=+++=++=+，故2121212x x m +=+，12122y y m +=，即()21121,2M m m +，同理可得()22221,2N m m +，当22122121m m +≠+时，则()()22111222122:2122121MN m m l y x m m m m -=--++-+，即()()21212211112221212121221212m m m m m m x y x m m m m m m m m m m +-+=--+=-+-+++1212212121212211212122m m m m x x m m m m m m m m m m =--=-+++-++-，由121m m =-，即()2121211213x y x m m m m m m +=-=-+++，故3x =时，有()211330y m m =-=+，此时MN 过定点，且该定点为()3,0，当22122121m m +=+时，即2212m m =时，由121m m =-，即11m =±时，有213:MN l x =+=，亦过定点()3,0，故直线MN 过定点，且该定点为()3,0；【方法二】：设()11,A x y ，()22,B x y ，不妨设12x x <．设:1l x my =+，则0m >．由241y x x my ⎧=⎨=+⎩，得2440y my --=，故124y y m +=，124y y =-，1222y y m +=，()1221222122m y y x x m +++==+．所以()221,2M m m +．同理可得2221,N m m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭．若1m ≠，则直线()222:212(3)11m m MN y x m m x m m =--+=---，MN 过点(3,0)．若1m =，则直线:3MN x =，MN 过点(3,0)．综上，直线MN 过定点(3,0)．【小问2详解】法1：由()11,A x y 、()22,B x y 、()33,E x y 、()44,D x y ，则()311131:AE y y l y x x y x x -=-+-，由2114y x =、2224y x =，故22231113131112231313131313144444y y y y y y y y y x x y x y y y y y y y y y y y y y ⎛⎫-+=-+=-+=+ ⎪+++++⎝⎭-，同理可得2442424:BD y y x l y y y y y =+++，联立两直线，即13313124424244y y x y y y y y y y x y y y y y ⎧=+⎪++⎪⎨⎪=+⎪++⎩，有13243131424244y y y y x x y y y y y y y y +=+++++，即()()()()42134231243144x y y y y y y x y y y y y y +++=+++，有()()()2431134242314y y y y y y y y x y y y y +-+=+--，由124y y =-，同理344y y =-，故()()()()243113422341241341234231423144y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y x y y y y y y y y +-++--==+--+--()()24134231414y y y y y y y y -+--==-+--，故1G x =-，过点G 作//GQ x 轴，交直线MN 于点Q ，则12GMN M N Q G S y y x x =-⨯- ，由()21121,2M m m +、()22221,2N m m +，故121122224M N y y m m m m -=-=+≥，当且仅当11m =±时，等号成立，下证4Q G x x -≥：由抛物线的对称性，不妨设10m >，则20m <，当11m >时，有()2111,0m m =-∈-，则点G 在x 轴上方，点Q 亦在x 轴上方，有21111101m m m m =>+-，由直线MN 过定点()3,0，此时()314Q G x x ->--=，同理，当11m <时，有点G 在x 轴下方，点Q 亦在x 轴下方，有2110m m <+，故此时4Q G x x ->，当且仅当11m =时，3Q x =，故4Q G x x -≥恒成立，且11m =±时，等号成立，故1144822GMN M N Q G S y y x x =-⨯-≥⨯⨯= ，法2：设H 为AD 的中点，S 为直线GM 与AD 的交点．由M ，H 分别为AB ，AD 的中点知MH DG ∥，所以GHD MGD S S =△△，故GSH MSD S S =△△．设T 为直线GN 与AD 的交点，同理可得GHT TAN S S =△△．所以GMN ADMN S S =△四边形．由（1）中的法2可得()21241AB y m =-=+，同理可得2141DE m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．所以()22111211828GMN S DN AM AB DE m m ⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯=++≥ ⎪⎝⎭ ，当且仅当21m =时等号成立．因此GMN 的面积的最小值为8．【点睛】关键点睛：第二问关键在于借助直线联立及第一问中韦达定理得出点G 的横坐标恒为1-，此时可根据三角形的面积公式及基本不等式求取最值.19.离散对数在密码学中有重要的应用．设p 是素数，集合{}1,2,,1X p =- ，若,,u v X m ∈∈N ，记u v⊗为uv 除以p 的余数，,m u ⊗为m u 除以p 的余数；设a X ∈，2,2,1,,,,p a a a ⊗-⊗ 两两不同，若{}(),0,1,,2n a b n p ⊗=∈- ，则称n 是以a 为底b 的离散对数，记为log()a n p b =．（1）若11,2p a ==，求1,p a -⊗；（2）对{}12,0,1,,2m m p ∈- ，记12m m ⊕为12m m +除以1p -的余数（当12m m +能被1p -整除时，120m m ⊕=）．证明：()log()log()log()a a a p b c p b p c ⊗=⊕，其中,b c X ∈；（3）已知log()a n p b =．对{},1,2,,2x X k p ∈∈- ，令,,12,k k y ay x b ⊗⊗==⊗．证明：()2,21n p x y y -⊗=⊗．【答案】（1）1（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）第一问直接根据新定义来即可.（2）第二问结合新定义、带余除法以及费马小定理即可得证.（3）根据新定义进行转换即可得证.【小问1详解】若11,2p a ==，又注意到102102493111==⨯+，所以1,01,21p a -⊗⊗==.【小问2详解】【方法一】：当2p =时，此时{1}X =，此时1b c ==，1b c ⊗=，故()log()0,log()0,log()0a a a p b c p b p c ⊗===，此时()log()log()log()a a a p b c p b p c ⊗=⊕.当2p >时，因2,2,1,,,,p a a a ⊗-⊗ 相异，故2a ≥，而a X ∈，故,a p 互质.记()12=log(),log(),=log()a a a n p b c n p b n p c ⊗=，则12,N m m ∃∈，使得1212,n n a pm b a pm c =+=+，故()()1212n n a pm b pm c +=++，故12(mod )n n a bc p +≡，设()121,02n n t p s s p +=-+≤≤-，则12n n s ⊕=，因为1,2,3,..1p -除以p 的余数两两相异，且(),2,3,..1a a a p a -除以p 的余数两两相异，故()()1!23,..1(mod )p a a a p a p ⎡⎤-≡⨯⨯⨯-⎣⎦，故()11mod p ap -≡，故()12mod n n s a a bc p +≡≡，而(mod )(mod ),n a b c p bc p ≡⊗=其中02n p ≤≤-，故s n =即()log()log()log()a a a p b c p b p c ⊗=⊕.法2：记11,1n n a a m p ⊗=+，22,2n n a a m p ⊗=+，1212,,,,n n n n kp a a a a ⊗⊗⊗⊗=+⊗⨯，其中1m ，2m ，k 是整数，则()121221.,..1212n n n n n n aa a m a m a m m p k p ⋅⊗⊗⊗⊗=⊗++++，可知2211,,,n n n n a a a ⊗⊗⋅⊗⊗=．因为1，a ，2,a ⊗，…，2,p a -⊗两两不同，所以存在{0,1,,2}i p ∈⋅⋅⋅-，使得1,,p i a a -⊗⊗=，即1p i i a a a --=()11p i a ---可以被p 整除，于是11p i a ---可以被p 整除，即1,1p i a --⊗=．若0i ≠，则1{1,2,,2}p i p --∈⋅⋅⋅-，1,1p i a --⊗≠，因此0i =，,11p a -⊗=．记log()a n p b =，log()a m p c =，(1)n m n m l p +=⊕+-，其中l 是整数，则,,,(1),,(1),,n m n m n m l p n m l p n m b c a a a a a a a ⊗⊗⋅⊗⊕+-⊗⊕⊗-⊗⊕⊗=⊗=⊗==⊗=，即log()()log()log()a a a p b c p b p c ⊗=⊕．【小问3详解】【方法二】：当2b ≥时，由（2）可得()11mod p bp -≡，若1b =，则()11mod p b p -≡也成立.因为log()a n p b =，所以()mod n a b p ≡.另一方面，()()()()()22,2,,,2121n p n p n p k k y y y y x b a --⊗-⊗⊗⊗⊗≡≡⊗()()()()()()()()112211mod mod k k kn p k p k k p xb a xb b x b x p x p -----≡≡≡≡≡.由于x X ∈，所以()2,21n p x y y -⊗=⊗.法2：由题设和（2）的法2的证明知：,,,,2(k k nk k n n n y x b x b b b x a a a x a a a ⊗⊗⊗⊗=⊗=⊗⊗⊗⋅⋅⋅⊗=⊗⊗⊗⋅⋅⋅⊗=⊗⊗⊗⋅⋅⋅⊗ ，(2)(2)(2),,,,2,2,2,1111n p nk n p n p k k k p p p y y y y a a a a a a ---⊗⊗⊗⊗-⊗-⊗-⊗=⊗⊗⋅⋅⋅⊗=⊗⊗⋅⋅⋅⊗=⊗⊗⋅⋅⋅⊗ ．故(2),2,2,2,21nk nk n p p p p y y x a a a a a a -⊗-⊗-⊗-⊗⊗=⊗⊗⊗⋅⋅⋅⊗⊗⊗⊗⋅⋅⋅⊗ 1,1,1,nk p p p x a a a -⊗-⊗-⊗=⊗⊗⊗⋅⋅⋅⊗ ．由（2）法2的证明知,11p a -⊗=，所以(2).21n p y y x -⊗⊗=．【点睛】关键点睛：本题的关键是充分理解新定义，然后结合带余除法以及费马小定理等初等数论知识即可顺利得解.。

2020年北京高考适应性测试数学(PDF版)

数学参考答案第 1 页（共 6 页）2020年北京市高考适应性测试数学参考答案一、选择题（共10题，每题4分，共40分）（ 1 ）B（ 2 ）C （ 3 ）C （ 4 ）A （ 5 ）A （ 6 ）D （ 7 ）B （ 8 ）C （ 9 ）A （10）D二、填空题（共5题，每题5分，共25分）（11）1 （12）2-（13）1 （14）34（15）①③ 注：第14题第一空3分,第二空2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。

三、解答题（共6题，共85分）（16）（共14分）解：（Ⅰ）因为,M N 分别为,AD PD 的中点，所以//PA MN ．又因为PA ⊄平面MNC ，所以//PA 平面MNC ．（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系D xyz -．设2AD =，则(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,4)P ，(1,0,0)M (0,0,2)N ，(2,2,4)PB =-， (0,2,2)NC =-，(1,0,2)MN =-．设平面M NC 的法向量为(,,)n x y z =，则 0,0,MN NC −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即20,220.x z y z -+=⎧⎨-=⎩ 令1z =，则2x =，1y =．所以(2,1,1)=n ．数学参考答案第 2 页（共 6 页）设直线PB 与平面MNC 所成角为α，所以||1sin |cos ,|6||||PB PB PB α−−→−−→−−→⋅=〈〉==n n n ．（17）（共14分）解1：选择①因为312a =，所以13a =．所以3(12)3(21)12n n n S -==--．令2020k S >，即202323k >．所以使得2020k S >的正整数k 的最小值为10．解2：选择② 因为312a =，所以148a =，148(1)1296(1)1212n n n S ⨯-==--．因为962020n S <<，所以不存在满足条件的正整数k .解3：选择③因为312a =，所以13a =，所以3(1(2))1(2)1(2)n n n S ⨯--==----．令2020k S >, 即1(2)2020k -->，整理得(2)2019k -<-．当k 为偶数时，原不等式无解；当k 为奇数时，原不等式等价于22019k >，所以使得2020k S >的正整数k 的最小值为11．数学参考答案第 3 页（共 6 页）（18）（共14分）解：设事件i A 为“甲是A 组的第i 株植物”，事件i B 为“乙是B 组的第i 株植物”，事件i C 为“丙是C 组的第i 株植物”，1,2,,7i =．由题意可知1()()()7i i i P A P B P C ===，1,2,,7i =．（Ⅰ）设事件D 为“丙的高度小于15厘米”，由题意知，12D C C =，又1C 与2C 互斥，所以事件D 的概率12122()()()()7P D P C C P C P C ==+=．（Ⅱ）设事件E 为“甲的高度大于乙的高度”．由题意知，41516171526272637374E A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B =．所以事件E 的概率4151617152()()()()()()P E P A B P A B P A B P A B P A B =++++6272637374()()()()()P A B P A B P A B P A B P A B +++++ 4110()P A B =4110()()P A P B = 1049=．（Ⅲ）0μ<1μ．（19）（共15分）解：（Ⅰ）因为21()e (1)e 2x a f x x x =--，所以()e e x a f x x x '=-．所以(0)1f =-，(0)0f '=．所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线为1y =-．（Ⅱ）因为()e e (e e )x a x a f x x x x '=-=-，令()0f x '=，得0x =或a (0)a <．数学参考答案第 4 页（共 6 页） ()f x 与()f x '在R 上的变化情况如下：由上表可知，当0x =时，()f x 有极小值(0)1f =-．（Ⅲ）当1x ≤时，()0f x <，且22(2)e 2e >e 20a f =-->．由（Ⅱ）可知，()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以函数()f x 的零点个数为1．（20）（共14分）解：（Ⅰ）由题设，得1,b c =⎧⎪⎨=⎪⎩所以2224a b c =+=，即2a =．故椭圆C 的方程为2214x y +=．（Ⅱ）设1(,)M x m ，则1(,)N x m -，10x ≠，11m -<<．所以直线BM 的斜率为11(1)10m m x x --+=-．因为直线BD ，BM 的斜率的积为14-，所以直线BD 的斜率为14(1)x m -+．直线AN 的方程为111m y x x -=+．直线BD 的方程为114(1)x y x m =--+．联立1111,1,4(1)m y x x x y x m -⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪+⎩数学参考答案第 5 页（共 6 页）解得点D 的纵坐标为221221114114D x m y x m --+=-+-．因为点M 在椭圆C 上，所以22114x m +=，则0D y =．所以点D 在x 轴上．（21）（共14分）解：（Ⅰ）11215A --⎛⎫= ⎪⎝⎭．（Ⅱ）01336A ⎛⎫= ⎪⎝⎭经S ϕ变换后得1336⎛⎫⎪--⎝⎭，故0()13365S T A =+--=-．（Ⅲ）若1112a a ≠，在{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，含有11a 且不含12a 的子集共42个，经过变换后第一行均变为1112,a a --；含有12a 且不含11a 的子集共42个，经过变换后第一行均变为1112,a a --；同时含有11a 和12a 的子集共42个，经过变换后第一行仍为1112,a a ；不含11a 也不含12a 的子集共421-个，经过变换后第一行仍为1112,a a ．所以经过变换后所有l A 的第一行的所有数的和为444411121112111211122()2()2()(21)()a a a a a a a a ⨯--+⨯--+⨯++-⨯+1112a a =--．若1112a a =，则{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，含有11a 的子集共52个，经过变换后第一行均变为1112,a a --；不含有11a 的子集共521-个，经过变换后第一行仍为1112,a a ．数学参考答案第 6 页（共 6 页）所以经过变换后所有l A 的第一行的所有数的和为55111211122()(21)()a a a a ⨯--+-⨯+1112a a =--．同理，经过变换后所有l A 的第二行的所有数的和为2122a a --．所以0()S T A 的所有可能取值的和为11122122a a a a ----，又因为11122122,,,{1,2,,6}a a a a ∈，所以0()S T A 的所有可能取值的和不超过4-．。

2020北京市高考适应性测试-数学试卷及评析

2020北京市高考适应性测试-数学试卷及评析一、试卷结构分值2020年北京高考适应性测试数学试题题型题目数量分值•选择题共10题，40分•填空题共5题，25分•解答题共6题，85分•本试卷共6页，150分。

•考试时长120分钟。

二、试卷结构对比1、北京2020模拟卷与2019高考卷相比题型在大结构（单选题、填空题、解答题）不变的情况下，做了一定的创新：单选题：由8个增加到10个，分值由每个5分降为4分，总分保持不变；填空题：由6个（含2或3个两空题）变为5个（含1个两空题），分值仍为每小题5分，总分减少5分；解答题：仍为6个，总分增加5分。

2、北京2020模拟卷与2020山东模拟卷相比题型结构有明显差异，山东由单选题、多选题、填空题、解答题组成，比北京多了多选题，总题数多1道。

具体题型、题量、分值分布如下表：三、试卷考点分布四、北京2020模拟卷的变化与创新1、试卷题型结构没有变化，但考查侧重比有所调整2020年北京模拟卷仍然是选择、填空、解答三种题型，选择题没有出现多选类型，填空题中继续有多空题，整套试卷比2019年北京高考卷多了1道，其中选择题数量多了2道，填空题数量少了1道，解答题数量没有变化。

选择题数量虽多了2道，看上去客观题多了，但选择题的总分值没有变化，每道选择题分值由原来的5分减为4分，也就是要想得到和原来一样的分数，阅读解题量增加了；填空题较原来少了1道题，虽然每道题的分值没有变化，但减少了1题，所以填空题的总分值减少了5分，填空虽然不是客观题，但解题过程是看不到的，而填空题减少的5分则加到了解答题的分值上，也就是解答题每道题的分值都不少于原来的分值，可以看出，试卷对考生的解题步骤考查加强了。

从整套试卷来说就是，要求考生要有更快的答题解题能力，还要注重解题步骤和推理过程，既加强了思维速度的考查，又加强了思维过程的考查。

2、试卷命题既秉承以往特色，又有创新变化北京2019高考卷和2020模拟卷的试题设置上，选材真实、合理，源于生活，难易分配层次明显，通俗的说就是简单的简单，难的难，所谓的简单就是考查基础知识和基本能力的题目没有太多障碍点，难就是在综合运用考查方面，常常有思维障碍。

2020北京高考适应性测试-数学试卷(1)_带答案

A 组 10 11 12 13 14 15 16
B 组 12 13 14 15 16 17 18
C 组 13 14 15 16 17 18 19
假设所有植株的生长情况相互独立．从 A, B, C 三组各随机选1 株， A 组选出的植株记为甲， B 组选出的植株记为乙， C 组选出的植株记为丙．（Ⅰ）求丙的高度小于15 厘米的概率；（Ⅱ）求甲的高度大于乙的高度的概率；
已知函数
f
(x)
=
ex (x
− 1)
−
1 2
ea
x2
，a
<
0
．
（Ⅰ）求曲线 y = f (x) 在点 ( 0, f (0) ) 处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 f (x) 的极小值；
（Ⅲ）求函数 f (x) 的零点个数．
数学第 5 页（共 6 页）
（20）（本小题 14 分）已知椭圆 C 的短轴的两个端点分别为 A(0, 1) ， B(0, −1) ，焦距为 2 3 ．
（Ⅲ）表格中所有数据的平均数记为 μ 0 ．从 A, B, C 三块试验田中分别再随机抽取1 株该种植
物，它们的高度依次是14, 16, 15（单位：厘米）．这 3 个新数据与表格中的所有数据构
成的新样本的平均数记为 μ1，试比较 μ 0 和 μ1的大小．（结论不要求证明）
（19）（本小题 15 分）
化学 8 19 7 2 0
至少有1 人
数学第 2 页（共 6 页）
第二部分（非选择题共 110 分）
二、填空题共 5 题，每题 5 分，共 25 分。
（11）已知双曲线
x2 a2
−
y2
=1
(a
>

2020年度北京地区高等考试数学适应性检验(含答案解析)

（Ⅰ）若
A0
=
1 1
2 5
，写出
A0
经过
2
变换后得到的数阵
A1
；
（Ⅱ）若
A0
=
1
3
3
6
，
S
=
{1,3} ，求 TS
( A0 )
的值；
（Ⅲ）对任意确定的一个数阵 A0 ，证明： TS (A0 ) 的所有可能取值的和不超过 −4 ．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
数学第 6 页（共 6 页）
（B） 2
（Cn}是等差数列，且公差不为零，其前 n 项和为 Sn ．则“ n N* ，Sn+1 Sn ”是“{an}
为递增数列”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
（10）学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为 A，B，C，D，E 五个等级．某班共
， △ABC 的面积为
．
（15）函数 f (x) 的定义域为[−1,1) ，其图象如图所示．函数 g(x) 是定义域为 R 的奇函数，满足
g(2 − x) + g(x) = 0 ，且当 x (0,1) 时， g(x) = f (x) ．给出下列三个结论：
① g(0) = 0 ； ②函数 g(x) 在 (−1, 5) 内有且仅有 3 个零点；
BM 的斜率的积为 − 1 ．证明：点 D 在 x 轴上．
4
（21）（本小题 14 分）
设数阵
A0
=
a11
a21
a12 a22
，其中
a11,
a12
,
a21,

2020届北京市东城区高三高考第一次模拟(4月)数学试题(解析版)

单调性.
故选：A.
【点睛】
本题考查对勾型函数的性质，其中涉及到基本不等式求最值，是一道容易题.
5．已知曲线C的方程为，则“ ”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
,即为票价,
当时, ,则为固定成本,
由图象(2)知,直线向上平移,
不变,即票价不变,
变大,则变小,成本减小.
故①错误,②正确;
由图象(3)知,直线与轴的交点不变,直线斜率变大,
变大,即提高票价,
不变,则不变,成本不变.
故③正确,④错误;
故答案为:②③
【点睛】
本题考查一次函数图象的变化,以及和对一次函数图象的影响,是基础题.
以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示
，， .
，
.
设平面的法向量为，
则，即，令，则， .
设直线和平面所成的角为，则
，
所以直线和平面所成角的正弦值为 .
【点睛】
本题考查线面垂直的性质定理和用向量的方法求空间角，考查学生的运算能力，属于中档题.
③图（3）对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;
④图（3）对应的方案是:提高票价,并降低成本.
其中,正确的说法是____________.（填写所有正确说法的编号）
【答案】②③
【解析】根据图象可知盈利额与观影人数成一次函数关系,再分别根据(2)和(3)的图象进行分析即可得出答案.
【详解】

2020 年北京市高考适应性测试数学试卷终结篇

2020 年北京市高考适应性测试数学本试卷共 6 页，150 分。

考试时长 120 分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40 分）一、选择题共 10 题，每题 4 分，共 40 分。

在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）在复平面内，复数i (i + 2) 对应的点的坐标为（A） (1, 2 ) （B）(1,2 )（C）( 2, 1) （D）( 2, 1) （2）已知集合 A { x x 2} ， B { 1, 0,1, 2, 3 } ，则A ∩ B（A）{0, 1} （B）{ 0, 1, 2 } （C）{ 1, 0,1}（3）下列函数中，在区间(0, ) 上为减函数的是（D）{ 1, 0, 1, 2 }（A）y x1 （B）y x21（C）y(1)x2（D）y log2 x（4）函数 f ( x)（A）{x | x ≤2 或x ≥3}（C）{x | 2 ≤x ≤3}（B）{x | x ≤ 3 或x ≥2}（D）{x | 3 ≤ x ≤2}（5）圆心为( 2, 1) 且和x 轴相切的圆的方程是（A）(x 2)2 ( y 1)2 1 （B）(x 2)2 ( y 1)2 1 （C）(x 2)2 ( y 1)2 5 （D）(x 2)2 ( y 1)2 5（6）要得到函数 y sin(2x π) 的图象，只需要将函数 y sin 2x 的图象3（A）向左平移π个单位（B）向左平移π个单位3 6（C）向右平移π个单位（D）向右平移π个单位3 6x2- 5x + 6第 1 页（共6 页）第 2 页（共 6 页）x （7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（A ） 23 （B ） 43（C ） 2 （D ） 4正（主）视图侧（左）视图俯视图（8）已知点 A ( 2, 0 ) ， B ( 0,2 ) ．若点 P 在函数 y 的图象上，则使得△ PAB的面积为 2的点 P 的个数为（A ）1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 4（9）设{a n }是等差数列，且公差不为零，其前 n 项和为 S n ．则“ n N *，S n1S n ”是“ {a n }为递增数列”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（10）学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为 A ，B ，C ，D ，E 五个等级．某班共有36 名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为 A 的学生有5 人，这两科中仅有一科等级为 A 的学生，其另外一科等级为 B ．则该班（A ）物理化学等级都是 B 的学生至多有12 人（B ）物理化学等级都是 B 的学生至少有5 人（C ）这两科只有一科等级为 B 且最高等级为 B 的学生至多有18 人（D ）这两科只有一科等级为 B 且最高等级为 B 的学212等级科目ABCDE物理 10 16 9 1 0 化学81972生至少有1 人第 3 页（共6 页）第 4 页（共 6 页）x - 2第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 5 题，每题 5 分，共 25 分。