5 第三章 弹性力学平面问题的解析解法

上下边界： X Y 0 左、右端面受线性分布面力作用；面力合力
R X d y 6 fyd y 0 M

h 2 h 2 h 2 h 2
h 2 h 2
yX d y
h 2 h 2
1 3 6 fy d y fh 2
2
对应纯弯曲
M
M
对应纯弯曲
x 2 y
2


y 2 x
2
xy
2 xy
(2-28)
（无体力情形）
（3） 再让 x , y , xy满足应力边界条件和位移单值条件 （多连体问题）。
第三章 弹性力学平面问题的 解析解法
第四节 逆解法与半逆解法—多项式解答 第五节 矩形梁的纯弯曲
上下边界： X Y 0
Y xy 0 Y xy 0
2b x
对应于矩形板左右端面均匀拉伸（b>0） 或均匀压缩（b<0）。（包括轴向拉压）
y
（2）
cx
2
2
应力分量： y 2c 2
x
x xy 0
2c
x
对应于矩形板上下端面均匀拉伸（b>0） 或均匀压缩（b<0）。（包括轴向拉压）
（2 ）
axy
2
y
a 应力分量： x y 0 xy xy
对应于矩形板纯剪切状态
a
a>0
3. 三次式
fy
3
2 x 2 6 fy 应力分量： y
y xy 0
Y xy 0
左、右边界： X x 6 fy
Y xy 0
如图坐标位置，可解矩形梁偏心拉伸问题 问：坐标位置如右图，
fy 3 可解何问题？
总结： （多项式应力函数 的性质）
（1） 多项式次数 n < 4 时，则系数可以任意选取，总可满足 多项式次数
0 。 n ≥ 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足 4 0。
为四阶偏微分方程
三阶及以下的多项式作为应力函数，必定满足相容 方程，不论其系数如何。

应力函数表示的相容方程
4 4 4 2 2 2 4 0 4 x x y y
为四阶偏微分方程
三阶及以下的多项式作为应力函数，必定满足相容 方程，不论其系数如何。
1. 一次式
a bx cy
M
l
M y
x
1
h
y 0 xy 0
My M x y 3 I h / 12


(a)
1 My My xy 0 x y E I E I
(b)
（2）位移分量
将式（b）代入几何方程得：
平面应力情况下的物理方程：
E y 1 ( y x) E xy xy
按应力求解平面问题（X = 常量、Y = 常量）的归结为： （1） 先由方程（2-27）求出应力函数： ( x , y )
4 4 4 4 2 0 (2-27) 0 4 2 2 4 x x y y x , y , xy （2） 然后将 ( x , y ) 代入式（2-26）求出应力分量：
M
M
M

h 2 h 2
yX d y
h 2 h 2
1 3 6 fy d y fh 2
2
2M f 3 h
2 又，应力分量： x 2 6 fy y 2 12M x 2 3 y 所以 y h
y xy 0 y xy 0 y xy 0
2. 二次式
（1 ）
by
fy
2
3. 三次式
3

1. 一次式
a bx cy
由应力函数与应力分量的关系式 2 2 2 xy x 2 y 2 得
y
x
xy
2 2 0 y 2 0 xy xy x 代入应力边界条件方程，得面力 2 x 2 0 y
平衡方程：
E 2u 1 2u 1 2 v 2 X 0 2 2 2 y 2 xy 1 x 2 2 2 E v 1 v 1 u 2 Y 0 2 2 2 x 2 xy 1 y
（2）边界条件： 位移边界条件： 应力边界条件：
（1 ）
u s u , vs v
（2）
E u v 1 u v l m X 2 y s 2 y x s 1 x （3 ） v u 1 v u E m l Y 2 1 y x s 2 x y s


x 2 Xx y 2 Yy xy (2-26) y x 再让 x , y , xy 满足应力边界条件和位移单值条件 （3）
2
源自文库
2
2 xy
（多连体问题）。

应力函数表示的相容方程
4 4 4 2 2 2 4 0 4 x x y y
4.
按应力求解平面问题的基本方程 说明：
（1）对位移边界问题，不易按应力 求解。
（1）平衡方程
x xy X 0 x y yx y Y 0 x y
（2）相容方程（形变协调方程）
（2）对应力边界问题，且为单连通 问题，满足上述方程的解是唯 一正确解。
（3）对多连通问题，满足上述方程 外，还需满足位移单值条件， 才是唯一正确解。
M x f 2( x) f1( y ) 整理得： EI
要使上式成立，须有 (c)
（仅为 x 的函数） （仅为 y 的函数）
f1( y)
M x f 2( x) EI
(e)
将式（c）前两式积分，得：
式中：ω为常数。 积分上式，得
M u xy f1 ( y ) (d) EI M 2 v y f 2 ( x) 2 EI 式中： f1 ( y), f 2 ( x) 为待定函数。
G
将式（a）代入得：
x 1 ( x y)
My u 1 x x E I My v y y E I xy u v 0 y x
(c)
（2）位移分量
u 1 My x x E I v My y y E I u v xy 0 y x
第六节 位移分量的求出
第四节 逆解法与半逆解法—多项式解答
（1） 逆解法
（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），
假设各种满足应力函数表示相容方程的φ(x,y) 的形式；
（2）然后利用应力分量计算式求出
x , y , xy（具有待定系数）；
（3）再利用应力边界条件式，来考察这些应力函数φ(x,y) 对应什么样 的边界面力问题，从而得知所设应力函数φ(x,y) 可以求解什么问 题。 —— 主要适用于简单边界条件的问题。
上节课内容回顾：
1. 弹性力学问题的求解方法 （1）按位移求解（位移法、刚度法） 以u、v 为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用u、v 表示， 并求出u、v ，再由几何方程、物理方程求出应力与形变分量。 （2）按应力求解（力法，柔度法） 以应力分量 为基本未知函数，将所有方程都用应力分量表示，并 求出应力分量 ，再由几何方程、物理方程求出形变分量与位移。 （3）混合求解 以部分位移分量 和部分应力分量 为基本未知函数，将，并求出这 些未知量，再求出其余未知量。 2. 按位移求解平面问题的基本方程
2 X Y 2 x y y 2 x 2 ( x y ) (1 )
（平面应力情形）
（3）边界条件：
l ( x ) s m( xy ) s X m( y ) s l ( xy ) s Y
X 0
Y 0
结论 （1）线性应力函数对应于无外力作用的零 应力状态。 （2）应力函数线性项不影响应力分布。

2. 二次式
（1 ）
by
2
2 应力分量： x 2 2b y
y xy 0
应力分量与坐标无关，为均匀应力状态。
对应的边界面力： 左边界： X x 2 b 右边界： X x 2 b
5.
相容方程的应力函数表示
4 4 4 2 2 2 4 0 4 x x y y
—— 应力函数表示的相容方程
按应力求解平面问题（X = 常量、Y = 常量）的归结为： ( x, y ) （1） 先由方程（2-27）求出应力函数：
4 4 4 4 (3-11) 2 0 0 4 2 2 4 x x y y （2） 然后将 3-9）求出应力分量： ( x , y代入式（ ) x , y , xy 2 2 2 x 2 Xx y 2 Yy xy (2-26) xy y x
3.
按位移求解平面问题的基本方程
E 2u 1 2u 1 2 v 2 X 0 2 2 1 x 2 y 2 xy （1）平衡方程： 2 2 2 E v 1 v 1 u 2 Y 0 2 2 2 x 2 xy 1 y
问题：
按应力求解平面问题，其基本未知量为： 如何由
x , y , xy
求出形变分量、位移分量？
x
, y , xy
，本节说明
第六节 位移分量的求出 以纯弯曲梁为例，说明如何由 , , 求出形变分量、位移分量？ x y xy
1. 形变分量与位移分量
（1）形变分量
由前节可知，其应力分量为：
梁截面的惯性矩是 故
2 M x 2 y y I
1 h I 12
3

同一个应力函数由于所给出的坐标轴不同，可解 决不同的问题
例：

fy
3
2 应力分量： y 2 6 fy x
x xy 0
左、右边界： X x 6 fy 上下边界： X Y 0
（2） 半逆解法
（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），
假设部分应力分量 x , y , xy 的某种函数形式 ； （ 2） 4 根据 x , y , xy 与应力函数φ(x,y)的关系及 0 ，求 出φ(x,y) 的形式；
（3）最后利用式（2-26）计算出 x , y , xy 并让其满足边界条件和 位移单值条件。 —— 半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。
将式 (d) 代入 (c) 中第三式，得：
M 2 f 2 ( x) x x v0 EI
将上式代入式（d），得
f1 ( y) y u0
M x f1( y ) f 2( x) 0 EI
4
多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。 （2） 一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数φ(x,y)上加 上或减去一个一次多项式，对应力无影响。 （3） 二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式， 对应于线性分布应力。 （4） 用多项式构造应力函数φ(x,y) 的方法 —— 逆解法（只能解决简单直 线应力边界问题）。