连续小波变换CWT以及MATALB例程

4.时频图的绘制
确定了小波基和尺度后，就可以用cwt求小波系数coefs（系数是复数 时要取模），然后用scal2frq将尺度序列转换为实际频率序列f，最后结 合时间序列t，用imagesc(t,f,abs(coefs))便能画出小波时频图。 注意：直接将尺度序列取为等差序列，例如1:1:64，将只能得到正确 的尺度－时间－小波系数图，而无法将其转换为频率－时间－小波系数 图。这是因为此时的频率间隔不为常数。 。
则有： | m0 ( ) | (cos
2 2

2 2 1 2 N 1 jk 式中，m0 ( ) hk e 2 k 0
) P(sin
N
2

)
3.Mexican Hat(mexh)小波
其函数为Gauss函数的二阶导数：
(t ) (1 t )e
2
t2 2
( ) 2 e
2.1.2 连续小波变换的定义和性质
1.连续小波变换的定义 将任意L2（R）空间中的函数f(t)在小波基下 展开，称这种展开为函数f(t)的连续小波变 换（CWT）。其表达式为：
1 WT f (a, ) f (t ), a , (t ) a
1 2

R
t f (t ) ( )dt a

将小波母函数 (t ) 进行伸缩和平移，就可 以得到函数：
1 t a , (t ) ( ), a, R; a 0 a a

(t ) 经伸 小波函数基，它们是由同一母函数 缩和平移后得到的一组函数序列。
伸缩和平移的含义
1.尺度伸缩 2. 时间平移
由于小波基函数在时间、频率域都具有有 限或近似有限的定义域，显然，经过伸缩 平移后的函数在时、频域仍是局部性的。 小波基函数的窗口随尺度因子的不同而伸 缩，当a逐渐增大时，基函数的时间窗口也 逐渐增大，而其对应的频域窗口逐渐减小； 反之亦然。

常用的小波

1.Haar小波。
1 1,0 t 2 1 (t ) 1, t 1 2 0, 其他
2.Daubechies（dbN）小波
令P( y ) C kN 1 k y k，其中，C kN 1 k 为二项式的系数，
k 0 N 1
重建核方程
W f (a0 , 0 )
0
da W f (a, ) K (a0 , 0 ; a, )d a 2
4. 连续小波变换具有以下重要性质： (1)线性性：一个多分量信号的小波变换等于各个分量的 小波变换之和。 (2)平移不变性：若f(t)的小波变换为Wf (a，b)，则f(t－) 的小波变换为 Wf (a，b－) (3)伸缩共变性：若f(t)的小波变换为Wf (a，b)，则f(ct)的 小波变换为
2.4 尺度和频率之间的关系
Fc Fa a

a为尺度；△为采样间隔；Fc为小波的中心 频率； Fa为伪频率。
2.5 应用实例
例已知一信号f(t)＝3sin(100t)＋2sin(68t)＋5cos(72t)，且该信号 混有白噪声，对该信号进行连续小波变换。小波函数取db3，尺度为1、 1.2、1.4、1.6、…、3。其MATLAB程序如下： t＝0：0.01：1； f＝3*sin(100*pi*t)＋2*sin(68*pi*t)＋5*cos(72*pi*t)＋randn(1， length(t))； coefs＝cwt(f，［1：0.2：3］，db3，plot)； title(对不同的尺度小波变换系数值)； Ylabel(尺度)； Xlabel(时间)； 程序输出结果如图所示。
从上面的时频域的讨论可见，连续小波的 时频域窗口中心及其宽度都随a的变化而伸 缩，如果我们称△t·△ ω为窗口函数的窗口 1 t a , a , a t 面积，则： a 可见：连续小波基函数的窗口面积不随参 数的变化而变化。

几点结论：
（1）尺度的倒数1/a在一定意义上对应于频 率ω。即尺度越小，对应的频率越高。如果 我们将尺度理解为时间窗口的话，则小尺度 信号为短时间信号，大尺度信号为长时间信 号。 （2）在任何τ值上，小波的时频窗口大小△t 和△ ω都随频率ω（或a）的变化而变化。 j t g ( t ) g ( t ) e 与短时傅立叶变换中的基 , 不同。来自3. 连续小波变换的再生核
尺度和位移的连续变化的连续小波基函数构成了一组非正 交的过渡完全基，小波展开系数之间有相关关系，采用如 下描述
K (a, ; a, ) 1 a , (t )a, (t )dt C R
1.CWT系数具有很大的冗余，计算量比较大 2.利用冗余性可以实现去噪和数据恢复的目的。

t a , (t ) | a | ( ), b R, a R {0} 其中： a
从定义可以看出：小波变换和傅立叶变换 WT f (a, ) 为小波变换 一样，也是一种变换， 系数。 也可见其与傅立叶变换的区别。

逆变换
若小波满足容许条件，则连续小波变换存 在着逆变换。 | ( ) |2 d 容许条件： C | |
2
2
2
4.Morlet小波
它是高斯包络下的单频率复正弦函数
t2 2
(t ) Ce
cos(5 x) C 是重构时的归一化常数。
2.3 连续小波变换的步骤
（1）选择小波函数及其尺度a值。 （2）从信号的起始位置开始，将小波函数和 信号进行比较，即计算小波系数。 （3）沿时间轴移动小波函数，即改变参数b， 在新的位置计算小波系数，直至信号的终点。 （4）改变尺度a值，重复（2）、（3）步。

图1.11
小波变换的系数用图所示的 灰度值图表征，横坐标表示变换 系数的系号，纵坐标表示尺度， 灰度颜色越深，表示系数的值越 大。
绘图原理 1.需要用到的小波工具箱中的三个函数 cwt（），centfrq（）， scal2frq（） COEFS = cwt(S,SCALES,‘wname’) 说明：该函数能实现连续小波变换，其中S为输入信号，SCALES为 尺度，wname为小波名称。
2.尺度与频率之间的关系
设a为尺度，fs为采样频率，Fc为小波中心频率，则a对应的实际频率 Fa为
Fa＝Fc×fs/a (1)
显然，根据采样定理，为使小波尺度图的频率范围为(0,fs/2)，尺度范 围应为(2*Fc,inf),其中inf表示为无穷大。在实际应用中，只需取尺度足够 大即可。
3.尺度序列的确定 由式(1)可以看出，为使转换后的频率序列是一等差序列， 尺度序列必须取为以下形式：

Haar小波
1 (t ) 1 0
1
0 t 1/ 2 1/ 2 t 1 其它
ˆ ( ) i
4

ei / 2 sin 2 / 4
(t )
0
1 2
1
1
定量分析-时域
假定小波母函数窗口宽度为△t，窗
口中心为t0，则相应可求出连续小波 1 t (t ) ( ) 的窗口中心为at0+τ，窗 a a 口宽度为a·△t。 即信号限制在时间窗内：[at0+τ△t ·a/2, at0+τ+△t ·a/2]
a ,
定量分析-频域

同样，对于小波母函数的频域变换，其频域 窗口中心为ω0，窗口宽度为△ ω，则相应的 连续小波的傅立叶变换为：
a , ( ) a 2 e j (a )
1
其频域窗口中心为： a , 1 窗口宽度为：

1 0 a
a 1 1 1 1 [ 0 , 0 ] 信号在频域窗内： a 2a a 2a
1 c
W f (ca, cb)
c0
(4)自相似性：对应不同尺度 参数a和不同平移参数b的连续小 波变换之间是自相似的。 (5)冗余性：连续小波变换把 一维信号变换到二维空间，因此 在连续小波变换中存在信息表述 的冗余度(redundancy)。小波变 换的逆变换公式不是唯一的。
小波变换的冗余性事实上也是自相似性的直接反映，它主要表现在 以下两个面： ①由连续小波变换恢复原信号的重构分式不是唯一的。也就是说， 信号f(t)的小波变换与小波重构不存在一一对应关系，而傅里叶变换与傅 里叶反变换是一一对应的。 ②小波变换的核函数即小波函数a，b(t)存在许多可能的选择(例如， 它们可以是非正交小波、正交小波、双正交小波，甚至允许是彼此线性 相关的)。 小波变换在不同的(a，b)之间的相关性增加了分析和解释小波变换 结果的困难，因此，小波变换的冗余度应尽可能减小，它是小波分析中 的主要问题之一。在MATLAB中，可以用cwt函数实现对信号的连续小波 变换。
c/totalscal,...,c/(totalscal-1), c
(2)
其中，totalscal是对信号进行小波变换时所用尺度序列的长 度(通常需要预先设定好)，c为一常数。 下面讲讲c的求法。 根据式(1)容易看出，尺度c/totalscal所对应的实际频率应 为fs/2，于是可得 c=2×Fc×totalscal 将式(3)代入式(2)便得到了所需的尺度序列。 (3)

R
1 da f (t ) WT f (a, ) a , (t )d 逆变换公式： 2 0 C a 1 da 1 t WT ( a , ) ( )d f 2 C 0 a a a
说明：
（1）必须满足“容许条件”，反变换才存 在。 (t ) （2）在实际应用中，对基本小波的要求往 () 往不局限于满足容许条件，对 还要施加 所谓“正则性条件”，使 在频域上表现 | WT f (a, ) | 出较好的局域性能。为了在频域上有较好 的局域性，要求 (t ) 随a的减小而迅速 减小，所以这就要求 的前n阶原点距为0， p 且n值越高越好。 t (t )dt 0, p 1 ~ n, 且n值越大越好。 即：