连续小波变换CWT以及MATALB例程

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则有: | m0 ( ) | (cos
2 2

2 2 1 2 N 1 jk 式中,m0 ( ) hk e 2 k 0
) P(sin
N
2

)
3.Mexican Hat(mexh)小波
其函数为Gauss函数的二阶导数:
(t ) (1 t )e
2
t2 2
( ) 2 e
2.1.2 连续小波变换的定义和性质
1.连续小波变换的定义 将任意L2(R)空间中的函数f(t)在小波基下 展开,称这种展开为函数f(t)的连续小波变 换(CWT)。其表达式为:
1 WT f (a, ) f (t ), a , (t ) a
1 2

R
t f (t ) ( )dt a

R
1 da f (t ) WT f (a, ) a , (t )d 逆变换公式: 2 0 C a 1 da 1 t WT ( a , ) ( )d f 2 C 0 a a a
说明:
(1)必须满足“容许条件”,反变换才存 在。 (t ) (2)在实际应用中,对基本小波的要求往 () 往不局限于满足容许条件,对 还要施加 所谓“正则性条件”,使 在频域上表现 | WT f (a, ) | 出较好的局域性能。为了在频域上有较好 的局域性,要求 (t ) 随a的减小而迅速 减小,所以这就要求 的前n阶原点距为0, p 且n值越高越好。 t (t )dt 0, p 1 ~ n, 且n值越大越好。 即:
2.4 尺度和频率之间的关系
Fc Fa a

a为尺度;△为采样间隔;Fc为小波的中心 频率; Fa为伪频率。
2.5 应用实例
例已知一信号f(t)=3sin(100t)+2sin(68t)+5cos(72t),且该信号 混有白噪声,对该信号进行连续小波变换。小波函数取db3,尺度为1、 1.2、1.4、1.6、…、3。其MATLAB程序如下: t=0:0.01:1; f=3*sin(100*pi*t)+2*sin(68*pi*t)+5*cos(72*pi*t)+randn(1, length(t)); coefs=cwt(f,[1:0.2:3],db3,plot); title(对不同的尺度小波变换系数值); Ylabel(尺度); Xlabel(时间); 程序输出结果如图所示。
c/totalscal,...,c/(totalscal-1), c
(2)
其中,totalscal是对信号进行小波变换时所用尺度序列的长 度(通常需要预先设定好),c为一常数。 下面讲讲c的求法。 根据式(1)容易看出,尺度c/totalscal所对应的实际频率应 为fs/2,于是可得 c=2×Fc×totalscal 将式(3)代入式(2)便得到了所需的尺度序列。 (3)
a ,
定量分析-频域

同样,对于小波母函数的频域变换,其频域 窗口中心为ω0,窗口宽度为△ ω,则相应的 连续小波的傅立叶变换为:
a , ( ) a 2 e j (a )
1
其频域窗口中心为: a , 1 窗口宽度为:

1 0 a
a 1 1 1 1 [ 0 , 0 ] 信号在频域窗内: a 2a a 2a
4.时频图的绘制
确定了小波基和尺度后,就可以用cwt求小波系数coefs(系数是复数 时要取模),然后用scal2frq将尺度序列转换为实际频率序列f,最后结 合时间序列t,用imagesc(t,f,abs(coefs))便能画出小波时频图。 注意:直接将尺度序列取为等差序列,例如1:1:64,将只能得到正确 的尺度-时间-小波系数图,而无法将其转换为频率-时间-小波系数 图。这是因为此时的频率间隔不为常数。 。
2.尺度与频率之间的关系
设a为尺度,fs为采样频率,Fc为小波中心频率,则a对应的实际频率 Fa为
Fa=Fc×fs/a (1)
显然,根据采样定理,为使小波尺度图的频率范围为(0,fs/2),尺度范 围应为(2*Fc,inf),其中inf表示为无穷大。在实际应用中,只需取尺度足够 大即可。
3.尺度序列的确定 由式(1)可以看出,为使转换后的频率序列是一等差序列, 尺度序列必须取为以下形式:
2
2
2
4.Morlet小波
它是高斯包络下的单频率复正弦函数
t2 2
(t ) Ce
cos(5 x) C 是重构时的归一化常数。
2.3 连续小波变换的步骤
(1)选择小波函数及其尺度a值。 (2)从信号的起始位置开始,将小波函数和 信号进行比较,即计算小波系数。 (3)沿时间轴移动小波函数,即改变参数b, 在新的位置计算小波系数,直至信号的终点。 (4)改变尺度a值,重复(2)、(3)步。

图1.11
小波变换的系数用图所示的 灰度值图表征,横坐标表示变换 系数的系号,纵坐标表示尺度, 灰度颜色越深,表示系数的值越 大。
绘图原理 1.需要用到的小波工具箱中的三个函数 cwt(),centfrq(), scal2frq() COEFS = cwt(S,SCALES,‘wname’) 说明:该函数能实现连续小波变换,其中S为输入信号,SCALES为 尺度,wname为小波名称。
FREQ = centfrq(‘wname’) 说明:该函数能求出以wname命名的母小波的中心频率。
F = scal2frq(A,‘wname’,DELTA) 说明:该函数能将尺度转换为实际频率,其中A为尺度,wname为小 波名称,DELTA为采样周期。 注:这三个函数还有其它格式,具体可参阅matlab的帮助文档。

t a , (t ) | a | ( ), b R, a R {0} 其中: a
从定义可以看出:小波变换和傅立叶变换 WT f (a, ) 为小波变换 一样,也是一种变换, 系数。 也可见其与傅立叶变换的区别。

逆变换
若小波满足容许条件,则连续小波变换存 在着逆变换。 | ( ) |2 d 容许条件: C | |

常用的小波

1.Haar小波。
1 1,0 t 2 1 (t ) 1, t 1 2 0, 其他
2.Daubechies(dbN)小波
令P( y ) C kN 1 k y k,其中,C kN 1 k 为二项式的系数,
k 0 N 1

(3)在任何尺度a,时间点τ上,窗口面积 保持不变,也可以说时间、尺度分辨率是 相互制约的,不可能同时得到提高。 Q (4)品质因素 不随尺度变化而变化。

0Leabharlann Baidu
“恒Q性质”:

假设(t)的中心为t0,有效宽度为Dt; ()的中 心为0,有效宽度为D;则a,b(t)提取的是f(t)在 窗口[b+at0-aDt/2, b+at0+aDt/2]|中的性质,相应 地从频域上说a,b()提取地是F()在窗口[0/aD/(2a), 0/a+D/(2a)]中的性质,因此对于小波 来说时域窗口宽度和频域窗口宽度的乘积始终为 DtD。

3. 连续小波变换的再生核
尺度和位移的连续变化的连续小波基函数构成了一组非正 交的过渡完全基,小波展开系数之间有相关关系,采用如 下描述
K (a, ; a, ) 1 a , (t )a, (t )dt C R
1.CWT系数具有很大的冗余,计算量比较大 2.利用冗余性可以实现去噪和数据恢复的目的。
2.2 几种常用的小波
小波分类的标准 (1) (t )、 ( )、 (t )、 ( ) 的支撑长度, 即当时间或频率趋向于无穷大时,它们从一 个有限值收敛到0。 (2)对称性。它在图像处理中可以有效的 避免移相。

(t )和 (t ) 的消失矩阵数。这对于压缩 (3) 非常有用。 (4)正则性。它在对信号或图像的重构获 得较好的平滑效果作用上是非常有用的。 具有对称性的小波不易产生相位畸变;具 有好的正则性的小波,易于获得光滑的重 构曲线和图像,从而减小误差。
重建核方程
W f (a0 , 0 )
0
da W f (a, ) K (a0 , 0 ; a, )d a 2
4. 连续小波变换具有以下重要性质: (1)线性性:一个多分量信号的小波变换等于各个分量的 小波变换之和。 (2)平移不变性:若f(t)的小波变换为Wf (a,b),则f(t-) 的小波变换为 Wf (a,b-) (3)伸缩共变性:若f(t)的小波变换为Wf (a,b),则f(ct)的 小波变换为
1 c
W f (ca, cb)
c0
(4)自相似性:对应不同尺度 参数a和不同平移参数b的连续小 波变换之间是自相似的。 (5)冗余性:连续小波变换把 一维信号变换到二维空间,因此 在连续小波变换中存在信息表述 的冗余度(redundancy)。小波变 换的逆变换公式不是唯一的。
小波变换的冗余性事实上也是自相似性的直接反映,它主要表现在 以下两个面: ①由连续小波变换恢复原信号的重构分式不是唯一的。也就是说, 信号f(t)的小波变换与小波重构不存在一一对应关系,而傅里叶变换与傅 里叶反变换是一一对应的。 ②小波变换的核函数即小波函数a,b(t)存在许多可能的选择(例如, 它们可以是非正交小波、正交小波、双正交小波,甚至允许是彼此线性 相关的)。 小波变换在不同的(a,b)之间的相关性增加了分析和解释小波变换 结果的困难,因此,小波变换的冗余度应尽可能减小,它是小波分析中 的主要问题之一。在MATLAB中,可以用cwt函数实现对信号的连续小波 变换。

将小波母函数 (t ) 进行伸缩和平移,就可 以得到函数:
1 t a , (t ) ( ), a, R; a 0 a a

(t ) 经伸 小波函数基,它们是由同一母函数 缩和平移后得到的一组函数序列。
伸缩和平移的含义
1.尺度伸缩 2. 时间平移
由于小波基函数在时间、频率域都具有有 限或近似有限的定义域,显然,经过伸缩 平移后的函数在时、频域仍是局部性的。 小波基函数的窗口随尺度因子的不同而伸 缩,当a逐渐增大时,基函数的时间窗口也 逐渐增大,而其对应的频域窗口逐渐减小; 反之亦然。
连续小波变换(CWT)
以及MATALB例程
2.1连续小波变换及其性质
2.1.1 连续小波基函数 小波,即小区域的波,是一种特殊的长度 有限、平均值为零的波形。 小波的可容许条件:
| ( ) | C | | R
2
^
小波特点:
(一)“小”。即在时域都具有紧
支集或近似紧支集。 (二)正负交替的“波动性”。即 直流分量为零。 信号可分解为一系列由同一个母小 波函数经平移与尺度伸缩得到的小 波函数的叠加。
从上面的时频域的讨论可见,连续小波的 时频域窗口中心及其宽度都随a的变化而伸 缩,如果我们称△t·△ ω为窗口函数的窗口 1 t a , a , a t 面积,则: a 可见:连续小波基函数的窗口面积不随参 数的变化而变化。

几点结论:
(1)尺度的倒数1/a在一定意义上对应于频 率ω。即尺度越小,对应的频率越高。如果 我们将尺度理解为时间窗口的话,则小尺度 信号为短时间信号,大尺度信号为长时间信 号。 (2)在任何τ值上,小波的时频窗口大小△t 和△ ω都随频率ω(或a)的变化而变化。 j t g ( t ) g ( t ) e 与短时傅立叶变换中的基 , 不同。

Haar小波
1 (t ) 1 0
1
0 t 1/ 2 1/ 2 t 1 其它
ˆ ( ) i
4

ei / 2 sin 2 / 4
(t )
0
1 2
1
1
定量分析-时域
假定小波母函数窗口宽度为△t,窗
口中心为t0,则相应可求出连续小波 1 t (t ) ( ) 的窗口中心为at0+τ,窗 a a 口宽度为a·△t。 即信号限制在时间窗内:[at0+τ△t ·a/2, at0+τ+△t ·a/2]
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