中考压轴说理问题,8.代数计算及通过代数计算进行说理问题-教师版

代数计算及通过代数计算进行说理问题

例1 已知二次函数y ＝a (x －m )2－a (x －m )（a 、m 为常数，且a ≠0）．

（1）求证：不论a 与m 为何值，该函数的图像与x 轴总有两个公共点；

（2）设该函数的图像的顶点为C ，与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点D ． ①当△ABC 的面积等于1时，求a 的值

②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，求m 的值．

思路点拨

1．第（1）题判断抛物线与x 轴有两个交点，容易想到用判别式．事实上，抛物线与x 轴的交点A 、B 的坐标分别为 (m ,0)、 (m ＋1,0)，AB ＝1．

2．当△ABC 的面积等于1时，点C 到x 轴的距离为2．

3．当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，C 、D 到x 轴的距离相等． 4．本题大量的工作是代入计算，运算比较繁琐，一定要仔细．

满分解答

（1）由y ＝a (x －m )2－a (x －m )＝a (x －m )( x －m －1)， 得抛物线与x 轴的交点坐标为A (m ,0)、B (m ＋1,0)．

因此不论a 与m 为何值，该函数的图像与x 轴总有两个公共点．

（2）①由y ＝a (x －m )2－a (x －m ) 211

()24

a x m a =---， 得抛物线的顶点坐标为11

(,)24

C m a +

-． 因为AB ＝1，S △ABC ＝

11

124

AB a ⨯-=，所以a ＝±8． ②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，点C 与点D 到x 轴的距离相等． 第一种情况：如图1，C 、D 重合，此时点D 的坐标可以表示为1

(0,)4

a -， 将1(0,)4D a -代入211()24y a x m a =---

，得2111

()424

a a m a -=+-． 解得1

2

m =-

．

图1

第二种情况：如图2，图3，C 、D 在x 轴两侧，此时点D 的坐标可以表示为1

(0,)4

a ， 将1(0,)4D a 代入211()24y a x m a =---

，得2111

()424

a a m a =+-． 解得12

2

m -±=

．

图2 图3

考点伸展

第（1）题也可以这样说理： 由于由211()24y a x m a =---

，抛物线的顶点坐标为11

(,)24

C m a +-． 当a ＞0时，抛物线的开口向上，而顶点在x 轴下方，所以抛物线与x 轴由两个交点；

当a ＜0时，抛物线的开口向下，而顶点在x 轴上方，所以抛物线与x 轴由两个交点． 因此不论a 与m 为何值，该函数的图像与x 轴总有两个公共点． 第（1）题也可以用根的判别式Δ说理：

由y ＝a (x －m )2－a (x －m )＝a [x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ]， 得2222[(21)4()]a m m m a ∆=+-+=＞0．

因此不论a 与m 为何值，该函数的图像与x 轴总有两个公共点．

这种方法是同学们最容易想到的，但是这种方法的运算量很大，一定要仔细．

例 2 已知抛物线y

＝－(x－a n)2＋a n（n为正整数，且0＜a1＜a2＜…＜a n）与x轴的交点为A n－1(b n－1,0)和

n

A n(b n,0)．当n＝1时，第1条抛物线y1＝－(x－a1)2＋a1与x轴的交点为A0(0,0)和A1(b1,0)，其他依此类推

（1）求a、b的值及抛物线y2的解析式；

（2）抛物线y3的顶点坐标为(_____，_____)；

依此类推第n条抛物线y n的顶点坐标为(_____，_____)（用含n的式子表示）；

所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是________________；

（3）探究下列结论：

①若用A n－1 A n表示第n条抛物线被x轴截得的线段的长，直接写出A0A1的值，并求出A n－1 A n；

②是否存在经过点A(2,0)的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．

备用图（仅供草稿使用）

思路点拨

1．本题写在卷面的文字很少很少，可是卷外是大量的运算．

2．最大的纠结莫过于对字母意义的理解，这道题的复杂性就体现在数形结合上．

3．这个备用图怎么用？边画边算，边算边画．

满分解答

（1）将A0(0,0)代入y1＝－(x－a1)2＋a1，得－a12＋a1＝0．

所以符合题意的a1＝1．

此时y1＝－(x－1)2＋1＝－x(x－2)．所以A1的坐标为(2,0)，b1＝2．

将A1(2,0)代入y2＝－(x－a2)2＋a2，得－(2－a2)2＋a2＝0．

所以符合题意的a2＝4．

此时y2＝－(x－4)2＋4＝－(x－2)(x－6)．

（2）抛物线y3的顶点坐标为(9，9)；

第n条抛物线y n的顶点坐标为(n2，n2)；

所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是y＝x．

（3）①如图1，A0A1＝2．

由第（2）题得到，第n条抛物线y n＝－(x－a n)2＋a n的顶点坐标为(n2，n2)．

所以y n＝－(x－n2)2＋n2＝n2－(x－n2)2＝(n－x＋n2)(n＋x－n2)．

所以第n条抛物线与x轴的交点坐标为A n－1(n2－n,0)和A n(n2＋n,0)．

所以A n－1 A n＝(n2＋n)－(n2－n)＝2n．

②如图1，直线y＝x－2和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等．