中考压轴说理问题,8.代数计算及通过代数计算进行说理问题-教师版
【2019挑战中考数学压轴】第3部分图形运动中的计算说理问题
第三部分图形运动中的计算说理问题3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题例 1 2019年北京市中考第29题在平面直角坐标系中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙C 的反称点的定义如下：若在射线CP 上存在一点P ′，满足CP ＋CP ′＝2r ，则称点P ′为点P 关于⊙C 的反称点．如图1为点P 及其关于⊙C 的反称点P ′的示意图．特别地，当点P ′与圆心C 重合时，规定CP ′＝0． （1）当⊙O 的半径为1时，①分别判断点M (2, 1)，N 3(,0)2，T 关于⊙O 的反称点是否存在？若存在，求其坐标；②点P 在直线y ＝－x ＋2上，若点P 关于⊙O 的反称点P ′存在，且点P ′不在x 轴上，求点P 的横坐标的取值范围；图1（2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线y x =+x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，若线段AB 上存在点P ，使得点P 关于⊙C 的反称点P ′在⊙C 的内部，求圆心C 的横坐标的取值范围．动感体验请打开几何画板文件名“15北京29”，拖动点圆心C 在x 轴上运动，可以体验到，当点P ′在圆内时，CP 的变化范围是1＜CP ≤2．思路点拨1．反称点P ′是否存在，就是看CP ′是否大于或等于0．2．第（2）题反称点P ′在圆内，就是0≤CP ′＜1，进一步转化为0≤2－CP ＜1．满分解答（1）①对于M (2, 1)，OM OM ′＝20，所以点M 不存在反称点（如图2）．如图3，对于N 3(,0)2，ON ＝32．因为ON ′＝31222-=，所以点N ′的坐标为1(,0)2．如图4，对于T ，OT ＝2．因为OT ′＝0，所以点T 关于⊙O 的反称点T ′是(0,0)．图2 图3 图4②如图5，如果点P ′存在，那么OP ′＝2－OP ≥0．所以OP ≤2．设直线y ＝－x ＋2与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，那么OA ＝OB ＝2．如果点P 在线段AB 上，那么OP ≤2．所以满足OP ≤2且点P ′不在x 轴上的点P 的横坐标的取值范围是0≤x ＜2．（2）由3y x =-+A (6, 0)，B (0,．所以tan ∠A ＝3OB OA =． 所以∠A ＝30°．因为点P ′在⊙C 的内部，所以0≤CP ′＜1． 解不等式组0≤2－CP ＜1，得1＜CP ≤2． 过点C 作CP ⊥AB 于P ，那么CP ＝12AC ．所以2＜AC ≤4． 所以2≤OC ＜4．因此圆心C 的横坐标的取值范围是2≤x ＜4（如图6，图7所示）．图5 图6 图7考点伸展第（2）题如果把条件“反称点P ′在⊙C 的内部”改为“反称点P ′存在”，那么圆心C 的横坐标的取值范围是什么呢？如果点P ′存在，那么CP ′≥0． 解不等式2－CP ≥0，得CP ≤2．所以AC ≤4．因此圆心C 的横坐标的取值范围是2≤x ＜6．例2 2019年福州市中考第22题如图1，抛物线21(3)12y x =--与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）联结CD ，过原点O 作OE ⊥CD ，垂足为H ，OE 与抛物线的对称轴交于点E ，联结AE 、AD ．求证：∠AEO ＝∠ADC ；（3）以（2）中的点E 为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P ，过P 作⊙E 的切线，切点为Q ，当PQ 的长最小时，求点P 的坐标，并直接写出点Q 的坐标． 图1动感体验请打开几何画板文件名“14福州22”，拖动点P 在抛物线上运动，可以体验到，当PE 最小时，PQ 也最小．思路点拨1．计算点E 的坐标是关键的一步，充分利用、挖掘等角（或同角）的余角相等． 2．求PE 的最小值，设点P 的坐标为(x , y )，如果把PE 2表示为x 的四次函数，运算很麻烦．如果把PE 2转化为y 的二次函数就比较简便了．满分解答（1）由22117(3)13222y x x x =--=-+，得(3,1)D -，7(0,)2C ．由22111(3)1[(3)2](32)(32)222y x x x x =--=--=-+--，得(32,0)A -，(32,0)B +．（2）设CD 与AE 交于点F ，对称轴与x 轴交于点M ，作DN ⊥y 轴于N ．如图2，由(3,1)D -，7(0,)2C ，得DN ＝3，92CN =．因此2tan 3DN DCN CN ∠==．如图3，由OE ⊥CD ，得∠EOM ＝∠DCN ．因此2tan 3EM EOM OM ∠==．所以EM ＝2，E (3, 2)．由(32,0)A -，(3,0)M ，得2AM =．因此2tan AM AEM EM ∠==，2tan 2DM DAM AM ∠===． 所以∠AEM ＝∠DAM ．于是可得∠AED ＝90°．如图4，在Rt △EHF 与Rt △DAF 中，因为∠EFH ＝∠DF A ， 所以∠HEF ＝∠ADF ，即∠AEO ＝∠ADC ．图2 图3 图4（3）如图5，在Rt △EPQ 中，EQ 为定值，因此当PE 最小时，PQ 也最小．设点P 的坐标为(x , y )，那么PE 2＝(x －3)2＋(y －2)2．已知21(3)12y x =--，所以2(3)22x y -=+．因此222(22)(2)26PE y y y y =++-=-+． 所以当y ＝1时，PE 取得最小值．解方程21(3)112x --=，得x ＝5，或x ＝1（在对称轴左侧，舍去）．因此点P 的坐标为(5, 1)．此时点Q 的坐标为(3, 1)或1913(,)55（如图6所示）．图5 图6 图7考点伸展第（3）题可以这样求点Q 的坐标：设点Q 的坐标为(m , n )．由E (3, 2)、P (5, 1)，可得PE 2＝5．又已知EQ 2＝1，所以PQ 2＝4．列方程组2222(3)(2)1,(5)(1)4,m n m n ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩ 解得113,1,m n =⎧⎨=⎩ 2219,513.5m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩还可以如图7那样求点Q 的坐标：对于Q (m , n )，根据两个阴影三角形相似，可以列方程组321152m n n m --==--．同样地，对于Q ′(m , n )，可以列方程组321152m n n m --==--．例3 2019年南京市中考第26题已知二次函数y ＝a (x －m )2－a (x －m )（a 、m 为常数，且a ≠0）．（1）求证：不论a 与m 为何值，该函数的图像与x 轴总有两个公共点；（2）设该函数的图像的顶点为C ，与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点D ． ①当△ABC 的面积等于1时，求a 的值②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，求m 的值．动感体验请打开几何画板文件名“13南京26”，拖动y 轴上表示实数a 的点可以改变a 的值，拖动点A 可以改变m 的值．分别点击按钮“m 1”、“m 2”、“m 3”，再改变实数a ，可以体验到，这3种情况下，点C 、D 到x 轴的距离相等．请打开超级画板文件名“13南京26”， 拖动点A 可以改变m 的值，竖直拖动点C 可以改变a 的值．分别点击按钮，可得到△ABC 的面积与△ABD 的面积相等的三种情形。
中考数学专题：函数中通过代数计算进行说理问题
中考数学专题3:函数中通过代数计算进行说理问题中考数学中函数计算是必考内容，通常有以下两类：一是通过待定系数法求函数的解析 式，这是函数题中的基础类型；二是在函数中通过计算寻找规律，就是从特殊到一般，通常 难度较大。
本专题选取了 2019年几道中考压轴题，通过解题了解和掌握通过代数计算进行 说理的一般方法。
（使用几何画板，体验函数中动点问题带来的图形和数值的动态变化）1. （2019河北）（12分）如图，若b 是正数，直线I : y = b 与y 轴交于点 A ;直线a ： y = x - b 与y 轴交于 点B;抛物线L ： y =- x 2+bx 的顶点为C,且L 与x 轴右交点为 D（1 ）若AB= 8，求b 的值，并求此时L 的对称轴与a 的交点坐标； （2） 当点C 在I 下方时，求点 C 与I 距离的最大值；（3） 设x o M 0，点（x o ，y 1），（x o ，y 2），（x o ，y 3）分别在I ，a 和L 上，且y 3是y 1，y 2的平均数，求点 （x o ，0）与点D 间的距离；（4）在L 和a 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点” =2019和b = 2019.5时“美点”的个数.【几何画板演示】打开文件“ 2019河北中考数学第 26题”，拖动点A 或点D 运动，可以体验到 △ ABD 保持等腰直角三角形的形状，直线y = x -b 与抛物线左侧交点 E 的横坐标保持不变。
【分析】（1 ）当 x = 0 时，y = x - b =- b ，所以 B （0，- b ），而 AB= 8,而 A （0，b ），贝 U b - （- b ） =8，b = 4.所以L ： y =- x +4x ，对称轴 x = 2，当x = 2吋，y = x - 4 =- 2，于是L 的对称轴与 a 的交点为（2，- 2 ）；2（4）①当b = 2019时，抛物线解析式 L ： y =- x +2019x 直线解析式 a ： y = x - 2019，美点”总计4040 个占I 八\、：2，分别直接写出b）2+圧，顶点C （B,上2） 4 2 4 2（b - 2） +K 1，所以点C 与1距离的最大值为1 ；(2) y =-( x -因为点C 在l 下方，则C 与l 的距离b p（3 ）由題意得2I即 y 1+y 2= 2y 3，得 b +x o - b = 2 (- x o +bx o )解得 x o = 0 或 x o = b .但，取 x0=“二，L ，当 y = 0点D （b ，0）.因此点（x o ,与点D 间的距离b-（ b^） =②当b= 2019.5时，抛物线解析式L：y=- x +2019.5 x，直线解析式a：y= x- 2019.5，“美点”共有1010 个.【解答】解：(1)当 x = 0 时，y = x - b =- b ,「.B (0,— b ), •/AB= 8,而 A (0, b ),2b - (- b )= 8 ,.•• b = 4.「. L : y =- x +4x , - L 的对称轴 x = 2,当 x = 2 吋，y = x - 4 =- 2,•••L 的对称轴与a 的交点为(2,- 2 );y-AYn2(3) -------------------------------- 由題意得站二，即 y 1+y 2= 2y 3, 得 b +x o - b = 2 (- x o +bx o )3 2解得 x o = 0或 x o = b - 丄.但 x o M 0,取 x o = b -丄，对于 L ,当 y = 0 吋，0=- x +bx ,即卩 0=- x (x - b ),解得 X 1 = 0, X 2= b ,： b > 0,•右交点 D(b, 0). •点(X 0, 0)与点D 间的距离b -( b -L)=二2 22(4) ①当b = 2019时，抛物线解析式 L ： y =- x +2019x直线解析式 a ： y = x - 2019联立上述两个解析式可得： X 1 =- 1, X 2= 2019,.••可知每一个整数 x 的值 都对应的一个整数 y 值，且-1和2019之间(包括-1和-2019)共有2021 个整数；•••另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，•线段和抛物线上各有 2021个整数点.••总计4042个点，•••这两段图象交点有 2个点重复，•美点”的个数：4042 - 2 = 4040 (个);②当b = 2019.5时，抛物线解析式 L ： y =- X 2+2019.5X ,直线解析式 a ： y = x - 2019.5 ,联立上述两个解析式可得： X 1 =- 1, X 2= 2019.5，•当x 取整数时，在一次函数 y = x - 2019.5上，y取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0,在二次函数y = X 2+2019.5X 图象上，当x 为偶数时，函数值y 可取整数，可知-1到2019.5之 间有1010个偶数，因此“美点”共有 1010个.故b = 2019时 “美点”的个数为 4040个，b = 2019.5时“美点”的个数为 1010个. 2. (2019福建)(14分)已知抛物 y=ax 2+bx+c(b<0)与轴只有一个公共点. (1) 若公共点坐标为(2 , 0)，求a 、c 满足的关系式；(3分)⑵ 设A 为抛物线上的一定点，直线l : y=kx+1 — k 与抛物线交于点 B 、C 两点，直线BD 垂直于直线y=—1,垂足为点D.当k = 0时，直线l 与抛物线的一个交点在y 轴上，且△ ABC 为等腰直角三角形.① 求点A 的坐标和抛物线的解析式； (6分)② 证明：对于每个给定的实数k ，都有A D C 三点共线.(5分)(2) y =-( x -•••C 与l 的距离b -k) 2+疋• L 的顶点C (B,(b - 2) 2+1< 1，•点C 与1距离的最大值为1；【几何画板演示】打开文件“ 2019福建中考数学第 25题”拖动点B 在对称轴左侧的抛物线上运动, 可以体验到直线 BC 过定点，A C 、D 三点始终在同一直线上。
2019年中考复习3.1代数计算及通过代数计算进行说理
§3．1 代数计算及通过代数计算进行说理问题课前导学计算说理是通过计算得到结论；说理计算侧重说理，说理之后进行代入求值． 压轴题中的代数计算题，主要是函数类题．函数计算题必考的是待定系数法求函数的解析式，按照设、列、解、验、答五步完成，一般来说，解析式中待定几个字母，就要代入几个点的坐标．还有一类计算题，就是从特殊到一般，通过计算寻找规律．代数计算和说理较多的一类题目，是确定直线与抛物线的交点个数.联立直线和抛物线的解析式组成方程组，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，然后根据∆确定交点的个数．我们介绍一下求函数图像交点坐标的几何方法．如图1，已知直线y ＝x ＋1与x 轴交于点A ，抛物线y ＝x 2－2x －3与直线y ＝x ＋1交于A 、B 两点，求点B 的坐标的代数方法，就是联立方程组，方程组的一个解是点A 的坐标，另一个解计算点的坐标．几何法是这样的：设直线AB 与y 轴分别交于C ，那么tan ∠AOC ＝1．作BE ⊥x 轴于E ，那么1BE AE=．设B(x, x 2－2x －3)，于是22311x x x --=+． 请注意，这个分式的分子因式分解后，(1)(3)11x x x +-=+．这个分式能不能约分，为什么？因为x ＝－1的几何意义是点A ，由于点B 与点A 不重合，所以x ≠－1，因此约分以后就是x －3＝1． 这样的题目一般都是这样，已知一个交点求另一个交点，经过约分，直接化为一元一次方程，很简便．图1例 1 2019年湖南省长沙市中考第25题在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1,1），(－2,－2)，，…，都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个．（1）若点P(2, m)是反比例函数nyx=（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y＝3kx＋s－1（k、s为常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；（3）若二次函数y＝ax2＋bx＋1（a、b是常数，a＞0）的图象上存在两个“梦之点”A(x1, x1)、B(x2,x2)，且满足－2＜x1＜2，| x1－x2|＝2，令2157 248t b b=-+，试求t的取值范围．动感体验请打开几何画板文件名“14长沙25”，拖动y轴正半轴上表示实数a的点，可以体验到，A、B两点位于y轴同侧，A、B两点间的水平距离、竖直距离都是2，并且对于同一个a，有两个对应的b和b′，但是t随b、t随b′变化时对应的t的值保持相等．思路点拨1．“梦之点”都在直线y＝x上．2．第（2）题就是讨论两条直线的位置关系，分重合、平行和相交三种情况．3．第（3）题放弃了也是明智的选择．求t关于b的二次函数的最值，b的取值范围由“梦之点”、－2＜x1＜2和| x1－x2|＝2三个条件决定，而且－2＜x1＜2还要分两段讨论．图文解析（1）因为点P(2, m)是“梦之点”，所以P(2, 2)．所以4yx =．（2）“梦之点”一定在直线y＝x上，直线y＝3kx＋s－1与直线y＝x的位置关系有重合、平行、相交．图1 图2 图3①如图1，当直线y＝3kx＋s－1与直线y＝x重合时，有无数个“梦之点”．此时k＝13，s＝1．②如图2，当直线y＝3kx＋s－1与直线y＝x平行时，没有“梦之点”．此时k＝13，s≠1．③如图3，当直线y＝3kx＋s－1与直线y＝x相交时，有1个“梦之点”．此时k≠13，“梦之点”的坐标为11(,)3131s sk k----．（3）因为A(x1,x1)、B(x2,x2)两点是抛物线与直线y＝x的交点，联立y＝ax2＋bx＋1和y＝x，消去y，整理，得ax2＋(b－1)x＋1＝0．所以x1x2＝1a＞0．所以A、B两点在y轴的同侧．如图4，由| x1－x2|＝2，可知A、B两点间的水平距离、竖直距离都是2．已知－2＜x 1＜2，我们分两种情况来探求a 的取值范围：①当A 、B 两点在y 轴右侧时，0＜x 1＜2，2＜x 2＜4．所以0＜x 1x 2＜8． ②当A 、B 两点在y 轴左侧时，－2＜x 1＜0，－4＜x 2＜－2．所以0＜x 1x 2＜8． 综合①、②，不论0＜x 1＜2或－2＜x 1＜0，都有0＜x 1x 2＜8． 所以0＜1a ＜8．所以a ＞18． 由ax 2＋(b －1)x ＋1＝0，得x 1＋x 2＝1b a -，x 1x 2＝1a． 由| x 1－x 2|＝2，得(x 1－x 2)2＝4．所以(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4．所以22(1)44b a a--=．整理，得22(1)44b a a -=+． 所以2157248t b b =-+＝2109(1)48b -+＝21094448a a ++＝261(21)48a ++．如图5，这条抛物线的开口向上，对称轴是直线12a =-，在对称轴右侧，t 随a 的增大而增大．因此当18a =时，t 取得最小值，t ＝2161(1)448++＝176．所以t 的取值范围是t ＞176．图4 图5考点伸展第（3）题我们也可以这样来讨论：一方面，由| x 1－x 2|＝2，得(x 1－x 2)2＝4．所以(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4．所以22(1)44b a a--=．整理，得22(1)44b a a -=+． 另一方面，由f(2)＞0，f(－2)＜0，得f(2)f(－2)＜0．所以[42(1)1][42(1)1]a b a b +-+--+＜0．所以22(41)4(1)a b +--＝22(41)4(44)a a a +-+＝18a -＜0．所以a ＞18．例 2 2019年湖南省怀化市中考第23题设m 是不小于－1的实数，使得关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2－3m ＋3＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）若12111x x +=，求132m -的值； （2）求2121211mx mx m x x +---的最大值．动感体验请打开几何画板文件名“14怀化23”，拖动x 轴上表示实数m 的点运动，可以体验到，当m 小于1时，抛物线与x 轴有两点交点A 、B ．观察点D 随m 运动变化的图像，可以体验到，当m ＝－1时，点D 到达最高点． 思路点拨1．先确定m 的取值范围，由两个条件决定．2．由根与系数的关系，把第（1）题的已知条件转化为关于m 的方程．3．第（2）题首先是繁琐的式子变形，把m 提取出来，可以使得过程简便一点． 图文解析（1）因为方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2－3m ＋3＝0有两个不相等的实数根，所以∆＞0．由∆＝4(m －2)2－4(m 2－3m ＋3)＝－4m ＋4＞0，得m ＜1． 又已知m 是不小于－1的实数，所以－1≤m ＜1．由根与系数的关系，得122(2)24x x m m +=--=-+，21233x x m m ⋅=-+． 若12111x x +=，那么1212x x x x +=⋅．所以22433m m m -+=-+． 整理，得210m m --=．解得m =，或m =．所以323(12m -=-=．所以132m -2． （2）2121211mx mx m x x +---＝121211x xm m x x ⎡⎤+-⎢⎥--⎣⎦＝122112(1)(1)(1)(1)x x x x m m x x ⎡⎤-+--⎢⎥--⎣⎦ ＝12121212()21()x x x x m m x x x x ⎡⎤+--⎢⎥-++⎣⎦＝22(24)2(33)1(24)33m m m m m m m m ⎡⎤-+--+-⎢⎥--++-+⎣⎦ ＝222+42m m m m m m ⎡⎤---⎢⎥-⎣⎦＝22(1)(1)m m m m m ⎡⎤---⎢⎥-⎣⎦＝222m m -+-＝2(1)3m -++．所以当m ＝－1时，它有最大值，最大值为3（如图1所示）．图1考点伸展当m 变化时，抛物线y ＝x 2＋2(m －2)x ＋m 2－3m ＋3＝0的顶点的运动轨迹是什么？ 因为抛物线的对称轴是直线x ＝－(m －2)，所以抛物线的顶点的纵坐标y ＝(m －2)2－2(m －2)2＋m 2－3m ＋3＝m －1．因为x ＋y ＝－(m －2)＋m －1＝1为定值，所以y ＝－x ＋1．也就是说，抛物线的顶点(x, y)的运动轨迹是直线y＝－x＋1（如图2所示）．图2例 3 2019年湖南省湘潭市中考第26题如图1，已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝2，且经过原点，直线AC 的解析式为y ＝kx ＋4，直线AC 与y 轴交于点A ，与二次函数的图象交于B 、C 两点．（1）求二次函数解析式； （2）若1=3AOB BOC S S △△，求k 的值； （3）若以BC 为直径的圆经过原点，求k 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“14湘潭26”，拖动点C 在抛物线上运动，可以体验到，当以BC 为直径的圆经过原点时，△BMO ∽△ONC ． 思路点拨1．第（2）题先将面积比转化为AB 与BC 的比，进而转化为B 、C 两点的横坐标的比．2．第（2）题可以用直线的解析式表示B 、C 两点的坐标，再代入抛物线的解析式列方程组；也可以用抛物线的解析式表示B 、C 两点的坐标，再代入直线的解析式列方程组．3．第（3）题先联立抛物线与直线，根据一元二次方程根与系数的关系，得到B 、C 两点的横坐标的和与积，再构造相似三角形列方程． 图文解析（1）因为原点O 关于直线x ＝2的对称点为(4, 0)，所以抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的解析式为y ＝－x(x －4)＝－x 2＋4x ．（2）如图2，因为1==3AOB BOC S AB S BC △△，所以1=4B C x x ．设x B ＝m ，那么x C ＝4m ． 将点B(m, km ＋4)、C(4m, 4km ＋4)分别代入y ＝－x(x －4)，得4(4),444(44).km m m km m m +=--⎧⎨+=--⎩①②①－②÷4，整理，得m 2＝1．所以m ＝1．将m ＝1代入①，得k ＋4＝3．解得k ＝－1．此时点C 落在x 轴上（如图3）． （3）因为B 、C 是直线y ＝kx ＋4与抛物线的交点，设B(x 1,kx 1＋4)，C(x 2,kx 2＋4)． 联立y ＝－x 2＋4x 和y ＝kx ＋4，消去y ，整理，得x 2＋(k －4)x ＋4＝0． 所以x 1＋x 2＝4－k ，x 1x 2＝4．如图5，若以BC 为直径的圆经过原点，那么∠BOC ＝90°． 作BM ⊥y 轴，CN ⊥y 轴，垂足分别为M 、N ，那么△BMO ∽△ONC ． 根据BM ON MO NC=，得1212(4)4x kx kx x -+=+． 所以212121212(4)(4)[4()16]x x kx kx k x x k x x =-++=-+++．将x 1＋x 2＝4－k ，x 1x 2＝4代入，得24[44(4)16]k k k =-+-+．解得54k =-．图2 图3 图4考点伸展第（2）题也可以先用抛物线的解析式设点B 、C 的坐标，再代入直线的解析式列方程组． 将点B(m,－m 2＋4m)、C(4m,－16m 2＋16m)分别代入y ＝kx ＋4，得2244,16164 4.m m km m m km ⎧-+=+⎪⎨-+=+⎪⎩①②①×4－②，得12m 2＝12．所以m ＝1． 将m ＝1代入①，得3＝k ＋4．解得k ＝－1．例 4 2019年湖南省株洲市中考第24题已知抛物线252(2)4k y x k x +=-++和直线2(1)(1)y k x k =+++． （1）求证：无论k 取何实数值，抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）抛物线与x 轴交于A 、B 两点，直线与x 轴交于点C ，设A 、B 、C 三点的横坐标分别是x 1、x 2、x 3，求x 1·x 2·x 3的最大值；（3）如果抛物线与x 轴的两个交点A 、B 在原点的右边，直线与x 轴的交点C 在原点的左边，又抛物线、直线分别交y 轴于点D 、E ，直线AD 交直线CE 于点G （如图1），且CA ·GE ＝CG ·AB ，求抛物线的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“14株洲24”，拖动y 轴上表示实数k 的点运动，可以体验到，抛物线与x 轴总是有两个交点．观察x 1·x 2·x 3随k 变化的函数图像，可以体验到，x 1·x 2·x 3是k 的二次函数．还可以体验到，存在一个正数k ，使得AD 与BE 平行． 思路点拨1．两个解析式像庞然大物，其实第（1）题的语境非常熟悉，走走看，豁然开朗．2．第（2）题x 1·x 2·x 3的最小值由哪个自变量决定呢？当然是k 了．所以先求x 1·x 2·x 3关于k 的函数关系式，就明白下一步该怎么办了．x 1·x 2由根与系数的关系得到，x 3就是点C 的横坐标．3．第（3）题的等积式转化为比例式，就得到AD//BE ．由此根据OD ∶OA ＝OE ∶OB 列方程，再结合根与系数的关系化简．还是走走看，柳暗花明． 图文解析（1）因为222(52)17(2)42()424k k k k k +∆=+-⨯=-+=-+＞0，所以无论k 取何实数值，抛物线与x 轴有两个不同的交点．（2）由2(1)(1)y k x k =+++，得C(－(k ＋1), 0)．所以x 3＝－(k ＋1)．由根与系数的关系，得x 1·x 2＝(52)4k +． 所以x 1·x 2·x 3＝1(52)(1)4k k -++＝21(572)4k k -++．因此710x =-当时，x 1·x 2·x 3取得最大值，最大值＝14949(52)410010-⨯-+＝980．（3）如图2，由CA ·GE ＝CG ·AB ，得CA CGAB GE=． 所以AG//BE ，即AD//BE ．所以OD OE OA OB =，即212(52)(1)4k k x x ++=．所以22122(52)(1)4k k x x x ++=⋅．所以222(1)1k x +=． 所以x 2＝k ＋1，或－k －1（舍）．又因为x 1＋x 2＝k ＋2，所以x 1＝1，即A(1, 0)． 再将点A(1, 0)代入252(2)4k y x k x +=-++，得5201(2)4k k +=-++． 解得k ＝2．所以抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3．图2 图3考点伸展把第（3）题中的条件“CA ·GE ＝CG ·AB ”改为“EC ＝EB ”，其他条件不变，那么抛物线的解析式是怎样的呢？如图3，因为点E 在y 轴上，当EC ＝EB 时，B 、C 两点关于y 轴对称，所以B(k ＋1, 0)． 将点B(k ＋1, 0)代入252(2)4k y x k x +=-++，得252(1)(2)(1)04k k k k ++-+++=． 解得k ＝2．所以抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．已知关于x的不等式组314(1)x xx m--⎧⎨⎩无解，则m的取值范围是（）A．m≤3B．m＞3 C．m＜3 D．m≥32．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AE平分∠CAB，EF∥AC，若AF=4，则CE=（）A.3B.C.D.23．小明参加射击比赛，10次射击的成绩如表：若小明再射击2次，分别命中7环、9环，与前10次相比，小明12次射击的成绩( )A．平均数变大，方差不变B．平均数不变，方差不变C．平均数不变，方差变大D．平均数不变，方差变小4．计算的值等于（）A.1B.C.D.5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕AB上的点O顺时针旋转90°，得到△A′B′C′，连结BC′，若BC′∥A'B′，则OB的值为( )A．52B．3 C．125D．536．2018年安徽省生产总值首次突破3万亿元大关，工业增加直增速创近1年新高居全国第四位、中部第一位（数据来源：安微信息网）．其中数据3万亿用科学记数法表示正确的是（）A．3×104B．3×108C．3×1012D．3×10137．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于AC的长为半径作弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ；②分别以点M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧相交于点O ；③连接AP ，交BC 于点E ．若CE ＝3，BE ＝5，则AC 的长为( )A ．4B ．5C ．6D ．78．点（1，-4）在反比例函数k y x=的图像上，则下列各点在此函数图像上的是（ ） A ．（1，4） B ．（-12，-8） C ．（-1，-4） D ．（4，-1） 9．计算()15-3÷的结果等于( )A ．-5B ．5C ．1-5 D ．1510．下列各式的计算中正确的是（ ） A ．325a a a += B ．236a a a ⋅= C ．632a a a ÷= D ．326()a a -=11．如图是用小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，俯视图上的数字表示小正方体的个数，则搭这个几何体最多需要的小正方体的个数为A ．3B ．4C ．5D ．612．某村粮食总产量为a （a 为常量）吨，设该村粮食的人均产量y （吨），人口数为x （人），则y 与x 之间的函数图象应为图中的（ ）A ．B ．C ．D．二、填空题13．将5700 000用科学记数法表示为______．14．边长为1的正三角形的内切圆半径为________15．若二次函数y=2x2的图象向左平移2个单位长度后，得到函数y=2（x+h）2的图象，则h= ．16．计算：23a a⋅=__________．17．四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD上，以EC为边作正方形CEFG（点D，点F在直线CE 的同侧）.连接BF.（1）如图1，当点E与点A重合时，BF=_______；（2）如图2，当点E在线段AD上时，1AE=，则BF=______.18．分解因式(x－1)2－4的结果是______．三、解答题19．(1)计算：﹣π)0﹣4cos45°﹣|﹣3|；(2)解分式方程：4122x x=-+.20．如图，已知抛物线y=ax2+85x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A(2，0)，C(0，-4)，直线l：y=-12x-4与x轴交于点D，点P是抛物线y=ax2+85x+c上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交直线l于F．(1)试求该抛物线表达式；(2)如图(1)，若点P在第三象限，四边形PCOF是平行四边形，求P点的坐标；(3)如图(2)，连接AC．求证：△ACD是直角三角形．21．请在如图所示的正方形和等边三角形网格内，仅用无刻度的直尺完成下列作图，过点P向线段AB引平行线．22．如图，在矩形ABCD中，BC=1，∠CBD=60°，点E是AB边上一动点（不与点A、B重合），连接DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G．（1）求证：△ADE∽△CDF；（2）设AE的长为x，△DEF的面积为y．求y关于x的函数关系式；（3）当△BEF的面积S取得最大值时，连接BG，请判断此时四边形BGDE的形状，并说明理由．23．（1）问题发现：如图1，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，则AB，AD，DC之间的数量关系为_______．（2）问题探究：如图2，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，点F是DC的延长线上一点，若AE 是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论；（3）问题解决：如图3，AB∥CD，点E在线段BC上，且BE:EC=3:4．点F在线段AE上，且∠EFD =∠EAB，直接写出AB，DF，CD之间的数量关系．24．如图：AB是⊙O的直径，AC交⊙O于G，E是AG上一点，D为△BCE内心，BE交AD于F，且∠DBE＝∠BAD．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)求证：DF＝DG．25．如图，在平行四边形ABCD中，点H为DC上一点，BD、AH交于点O，△ABO为等边三角形，点E在线段AO上，OD＝OE，连接BE，点F为BE的中点，连接AF并延长交BC于点G，且∠GAD＝60°．（1）若CH＝2，AB＝4，求BC的长；（2）求证：BD＝AB+AE．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．7×106．14．15．16．a517．.18．(x－3)( x＋1)三、解答题19．(1)-2；(2)x=-103..【解析】【分析】（1）本题涉及零指数幂、二次根式化简、特殊角三角函数、绝对值化简等4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；（2）通过去分母，两边同乘以（x+2）（x-2），即可将原分式方程转化为一个整式方程，解整式方程后要注意检验，即可得到正确结果．【详解】（1）原式＝+1﹣4×2﹣3＝1﹣3＝﹣2；（2）方程两边同乘以(x+2)(x﹣2)，得4(x+2)＝x﹣2，解得：x＝﹣103，检验：将 x＝﹣103代入(x+2)(x﹣2)中，(x+2)(x﹣2)≠0∴x＝﹣103是原分式方程的根．故原分式方程的根为 x＝﹣103．【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力以及解分式方程．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值、特殊角三角函数等考点的运算．20．(1)y=15x2+85x-4；(2)P点的坐标为(-8，-4)，(-2.5，-274)；(3)证明见解析.【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求a、c的值，从而求得抛物线的表达式;（2）设P点的坐标是（x，15x2+85x-4），则F（x，-12x-4），由OCPF是平行四边形得OC=FP,OC∥PF，从而-15x2-2110x=4，求解即可得P的横坐标，代入解析式即可得P的坐标．（3）分别求出点A、C、D的坐标，可以根据勾股定理的逆定理即可判断【详解】(1)依题意，抛物线经过A(2，0)，C(0，-4)，则c=-4将点A代入得0=4a+85×2-4，解得a=15抛物线的解析式是y=15x2+85x-4(2)设P点的坐标是(x，15x2+85x-4)，则F(x，-12x-4)∴PF=(-12x-4)-(15x2+85x-4)=-15x2-2110x∵四边形OCPF是平行四边形∴OC=FP，OC∥PF∴-15x2-2110x=4即2x2+21x+40=0解得x1=-8 x2=-2.5∴P点的坐标为(-8，-4)，(-2.5，-274)(3)当y=0时，-12x-4=0，得x=-8，即D(-8，0)当x=0时，0-4=y，即C(0，-4)当y=0时，15x2+85x-4=0解得x1=-10 x2=2，即B(-10，0)，A(2，0)∴AD=10∵AC2=22+42=20CD2=82+42=80∴AD2=AC2+CD2∴∠ACD=90°△ACD是直角三角形【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．21．见解析【解析】【分析】利用正方形网格以及等边三角形网格中，网格线的位置关系以及格点连线的位置关系进行作图即可．【详解】如图所示，PQ即为所求．【点睛】本题考查了平行线的判定以及等边三角形的性质的运用，解题时首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．22．（1）证明见解析；（2）222x y +=；（3）四边形BGDE 是菱形，理由见解析 【解析】【分析】（1）利用矩形性质可得∠DCF=90°=∠A ，根据等角的余角相等，可得∠ADE=∠CDF ，利用两角对应相等的两个三角形相似，可证△ADE ∽△CDF.（2） 利用相似三角形的对边成比例，可得DF ，利用勾股定理可得22221DE AD AE x =+=+ ， 利用△DEF 的面积为12 2 ， 代入数据化简即可.（3）利用直角三角形的性质可得CD 的值，利用相似三角形的对边成比例，可得AE AD CF CD = ，即得 CF= x 。
数学中考试题第三部分 图形运动中的计算说理问题
第三部分 图形运动中的计算说理问题§3．1 代数计算及通过代数计算进行说理问题课前导学计算说理是通过计算得到结论；说理计算侧重说理，说理之后进行代入求值．压轴题中的代数计算题，主要是函数类题．函数计算题必考的是待定系数法求函数的解析式，按照设、列、解、验、答五步完成，一般来说，解析式中待定几个字母，就要代入几个点的坐标．还有一类计算题，就是从特殊到一般，通过计算寻找规律．代数计算和说理较多的一类题目，是确定直线与抛物线的交点个数.联立直线和抛物线的解析式组成方程组，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，然后根据∆确定交点的个数．我们介绍一下求函数图像交点坐标的几何方法．如图1，已知直线y ＝x ＋1与x 轴交于点A ，抛物线y ＝x 2－2x －3与直线y ＝x ＋1交于A 、B 两点，求点B 的坐标的代数方法，就是联立方程组，方程组的一个解是点A 的坐标，另一个解计算点的坐标．几何法是这样的：设直线AB 与y 轴分别交于C ，那么tan ∠AOC ＝1．作BE ⊥x 轴于E ，那么1BE AE =．设B(x , x 2－2x －3)，于是22311x x x --=+． 请注意，这个分式的分子因式分解后，(1)(3)11x x x +-=+．这个分式能不能约分，为什么？ 因为x ＝－1的几何意义是点A ，由于点B 与点A 不重合，所以x ≠－1，因此约分以后就是x －3＝1．这样的题目一般都是这样，已知一个交点求另一个交点，经过约分，直接化为一元一次方程，很简便．图1例 1 2014年湖南省长沙市中考第25题在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1,1），(－2,－2)，22（，），…，都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个． （1）若点P (2, m )是反比例函数n y x =（n 为常数，n ≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y ＝3kx ＋s －1（k 、s 为常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；（3）若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1（a 、b 是常数，a ＞0）的图象上存在两个“梦之点”A (x 1, x 1)、B (x 2, x 2)，且满足－2＜x 1＜2，| x 1－x 2|＝2，令2157248t b b =-+，试求t 的取值范围． 动感体验请打开几何画板文件名“14长沙25”，拖动y 轴正半轴上表示实数a 的点，可以体验到，A 、B 两点位于y 轴同侧，A 、B 两点间的水平距离、竖直距离都是2，并且对于同一个a ，有两个对应的b 和b ′，但是t 随b 、t 随b ′变化时对应的t 的值保持相等．思路点拨1．“梦之点”都在直线y ＝x 上．2．第（2）题就是讨论两条直线的位置关系，分重合、平行和相交三种情况．3．第（3）题放弃了也是明智的选择．求t 关于b 的二次函数的最值，b 的取值范围由“梦之点”、－2＜x 1＜2和| x 1－x 2|＝2三个条件决定，而且－2＜x 1＜2还要分两段讨论．图文解析（1）因为点P (2, m )是“梦之点”，所以P (2, 2)．所以4y x=． （2）“梦之点”一定在直线y ＝x 上，直线y ＝3kx ＋s －1与直线y ＝x 的位置关系有重合、平行、相交．图1 图2 图3①如图1，当直线y ＝3kx ＋s －1与直线y ＝x 重合时，有无数个“梦之点”．此时k ＝13，s ＝1．②如图2，当直线y ＝3kx ＋s －1与直线y ＝x 平行时，没有“梦之点”．此时k ＝13，s ≠1． ③如图3，当直线y ＝3kx ＋s －1与直线y ＝x 相交时，有1个“梦之点”．此时k ≠13，“梦之点”的坐标为11(,)3131s s k k ----． （3）因为A (x 1,x 1)、B (x 2,x 2)两点是抛物线与直线y ＝x 的交点，联立y ＝ax 2＋bx ＋1和y ＝x ，消去y ，整理，得ax 2＋(b －1)x ＋1＝0．所以x 1x 2＝1a＞0．所以A 、B 两点在y 轴的同侧． 如图4，由| x 1－x 2|＝2，可知A 、B 两点间的水平距离、竖直距离都是2．已知－2＜x 1＜2，我们分两种情况来探求a 的取值范围：①当A 、B 两点在y 轴右侧时，0＜x 1＜2，2＜x 2＜4．所以0＜x 1x 2＜8．②当A 、B 两点在y 轴左侧时，－2＜x 1＜0，－4＜x 2＜－2．所以0＜x 1x 2＜8．综合①、②，不论0＜x 1＜2或－2＜x 1＜0，都有0＜x 1x 2＜8．所以0＜1a ＜8．所以a ＞18． 由ax 2＋(b －1)x ＋1＝0，得x 1＋x 2＝1b a -，x 1x 2＝1a ． 由| x 1－x 2|＝2，得(x 1－x 2)2＝4．所以(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4． 所以22(1)44b a a--=．整理，得22(1)44b a a -=+． 所以2157248t b b =-+＝2109(1)48b -+＝21094448a a ++＝261(21)48a ++． 如图5，这条抛物线的开口向上，对称轴是直线12a =-，在对称轴右侧，t 随a 的增大而增大．因此当18a =时，t 取得最小值，t ＝2161(1)448++＝176． 所以t 的取值范围是t ＞176．图4 图5考点伸展第（3）题我们也可以这样来讨论：一方面，由| x 1－x 2|＝2，得(x 1－x 2)2＝4．所以(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4． 所以22(1)44b a a--=．整理，得22(1)44b a a -=+． 另一方面，由f (2)＞0，f (－2)＜0，得f (2)f (－2)＜0．所以[42(1)1][42(1)1]a b a b +-+--+＜0．所以22(41)4(1)a b +--＝22(41)4(44)a a a +-+＝18a -＜0．所以a ＞18． 例 2 2014年湖南省怀化市中考第23题设m 是不小于－1的实数，使得关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2－3m ＋3＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）若12111x x +=，求132m -的值； （2）求2121211mx mx m x x +---的最大值． 动感体验请打开几何画板文件名“14怀化23”，拖动x 轴上表示实数m 的点运动，可以体验到，当m 小于1时，抛物线与x 轴有两点交点A 、B ．观察点D 随m 运动变化的图像，可以体验到，当m ＝－1时，点D 到达最高点．思路点拨1．先确定m 的取值范围，由两个条件决定．2．由根与系数的关系，把第（1）题的已知条件转化为关于m 的方程．3．第（2）题首先是繁琐的式子变形，把m 提取出来，可以使得过程简便一点．图文解析（1）因为方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2－3m ＋3＝0有两个不相等的实数根，所以∆＞0．由∆＝4(m －2)2－4(m 2－3m ＋3)＝－4m ＋4＞0，得m ＜1．又已知m 是不小于－1的实数，所以－1≤m ＜1．由根与系数的关系，得122(2)24x x m m +=--=-+，21233x x m m ⋅=-+． 若12111x x +=，那么1212x x x x +=⋅．所以22433m m m -+=-+．整理，得210m m --=．解得152m -=，或1+52m =（舍去）． 所以323(15)52m -=--=+．所以132m -＝152+＝52-．（2）2121211mx mx m x x +---＝121211x x m m x x ⎡⎤+-⎢⎥--⎣⎦＝122112(1)(1)(1)(1)x x x x m m x x ⎡⎤-+--⎢⎥--⎣⎦＝12121212()21()x x x x m m x x x x ⎡⎤+--⎢⎥-++⎣⎦＝22(24)2(33)1(24)33m m m m m m m m ⎡⎤-+--+-⎢⎥--++-+⎣⎦＝222+42m m m m m m ⎡⎤---⎢⎥-⎣⎦＝22(1)(1)m m m m m ⎡⎤---⎢⎥-⎣⎦＝222m m -+-＝2(1)3m -++．所以当m ＝－1时，它有最大值，最大值为3（如图1所示）．图1考点伸展当m 变化时，抛物线y ＝x 2＋2(m －2)x ＋m 2－3m ＋3＝0的顶点的运动轨迹是什么？因为抛物线的对称轴是直线x ＝－(m －2)，所以抛物线的顶点的纵坐标y ＝(m －2)2－2(m －2)2＋m 2－3m ＋3＝m －1．因为x ＋y ＝－(m －2)＋m －1＝1为定值，所以y ＝－x ＋1．也就是说，抛物线的顶点(x , y )的运动轨迹是直线y ＝－x ＋1（如图2所示）．图2例 3 2014年湖南省湘潭市中考第26题如图1，已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝2，且经过原点，直线AC 的解析式为y ＝kx ＋4，直线AC 与y 轴交于点A ，与二次函数的图象交于B 、C 两点．（1）求二次函数解析式；（2）若1=3AOB BOC S S △△，求k 的值； （3）若以BC 为直径的圆经过原点，求k 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“14湘潭26”，拖动点C 在抛物线上运动，可以体验到，当以BC 为直径的圆经过原点时，△BMO ∽△ONC ．思路点拨1．第（2）题先将面积比转化为AB 与BC 的比，进而转化为B 、C 两点的横坐标的比．2．第（2）题可以用直线的解析式表示B 、C 两点的坐标，再代入抛物线的解析式列方程组；也可以用抛物线的解析式表示B 、C 两点的坐标，再代入直线的解析式列方程组．3．第（3）题先联立抛物线与直线，根据一元二次方程根与系数的关系，得到B 、C 两点的横坐标的和与积，再构造相似三角形列方程．图文解析（1）因为原点O 关于直线x ＝2的对称点为(4, 0)，所以抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的解析式为y ＝－x (x －4)＝－x 2＋4x ．（2）如图2，因为1==3AOB BOC S AB S BC △△，所以1=4B C x x ．设x B ＝m ，那么x C ＝4m ． 将点B (m , km ＋4)、C (4m , 4km ＋4)分别代入y ＝－x (x －4)，得4(4),444(44).km m m km m m +=--⎧⎨+=--⎩①②①－②÷4，整理，得m 2＝1．所以m ＝1．将m ＝1代入①，得k ＋4＝3．解得k ＝－1．此时点C 落在x 轴上（如图3）．（3）因为B 、C 是直线y ＝kx ＋4与抛物线的交点，设B (x 1,kx 1＋4)，C (x 2,kx 2＋4)．联立y ＝－x 2＋4x 和y ＝kx ＋4，消去y ，整理，得x 2＋(k －4)x ＋4＝0．所以x 1＋x 2＝4－k ，x 1x 2＝4．如图5，若以BC 为直径的圆经过原点，那么∠BOC ＝90°．作BM ⊥y 轴，CN ⊥y 轴，垂足分别为M 、N ，那么△BMO ∽△ONC ． 根据BM ON MO NC =，得1212(4)4xkx kx x -+=+．所以212121212(4)(4)[4()16]x x kx kx k x x k x x =-++=-+++．将x 1＋x 2＝4－k ，x 1x 2＝4代入，得24[44(4)16]k k k =-+-+．解得54k =-．图2 图3 图4考点伸展第（2）题也可以先用抛物线的解析式设点B 、C 的坐标，再代入直线的解析式列方程组．将点B (m ,－m 2＋4m )、C (4m ,－16m 2＋16m )分别代入y ＝kx ＋4，得2244,16164 4.m m km m m km ⎧-+=+⎪⎨-+=+⎪⎩①②①×4－②，得12m 2＝12．所以m ＝1．将m ＝1代入①，得3＝k ＋4．解得k ＝－1．例 4 2014年湖南省株洲市中考第24题 已知抛物线252(2)4k y x k x +=-++和直线2(1)(1)y k x k =+++． （1）求证：无论k 取何实数值，抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）抛物线与x 轴交于A 、B 两点，直线与x 轴交于点C ，设A 、B 、C 三点的横坐标分别是x 1、x 2、x 3，求x 1·x 2·x 3的最大值；（3）如果抛物线与x 轴的两个交点A 、B 在原点的右边，直线与x 轴的交点C 在原点的左边，又抛物线、直线分别交y 轴于点D 、E ，直线AD 交直线CE 于点G （如图1），且CA ·GE ＝CG ·AB ，求抛物线的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“14株洲24”，拖动y 轴上表示实数k 的点运动，可以体验到，抛物线与x 轴总是有两个交点．观察x 1·x 2·x 3随k 变化的函数图像，可以体验到，x 1·x 2·x 3是k 的二次函数．还可以体验到，存在一个正数k ，使得AD 与BE 平行．思路点拨1．两个解析式像庞然大物，其实第（1）题的语境非常熟悉，走走看，豁然开朗．2．第（2）题x 1·x 2·x 3的最小值由哪个自变量决定呢？当然是k 了．所以先求x 1·x 2·x 3关于k 的函数关系式，就明白下一步该怎么办了．x 1·x 2由根与系数的关系得到，x 3就是点C 的横坐标．3．第（3）题的等积式转化为比例式，就得到AD //BE ．由此根据OD ∶OA ＝OE ∶OB 列方程，再结合根与系数的关系化简．还是走走看，柳暗花明．图文解析（1）因为222(52)17(2)42()424k k k k k +∆=+-⨯=-+=-+＞0，所以无论k 取何实数值，抛物线与x 轴有两个不同的交点．（2）由2(1)(1)y k x k =+++，得C (－(k ＋1), 0)．所以x 3＝－(k ＋1)．由根与系数的关系，得x 1·x 2＝(52)4k +． 所以x 1·x 2·x 3＝1(52)(1)4k k -++＝21(572)4k k -++． 因此710x =-当时，x 1·x 2·x 3取得最大值，最大值＝14949(52)410010-⨯-+＝980． （3）如图2，由CA ·GE ＝CG ·AB ，得CA CG AB GE =． 所以AG //BE ，即AD //BE ． 所以OD OE OA OB =，即212(52)(1)4k k x x ++=．所以22122(52)(1)4k k x x x ++=⋅．所以222(1)1k x +=． 所以x 2＝k ＋1，或－k －1（舍）．又因为x 1＋x 2＝k ＋2，所以x 1＝1，即A (1, 0)．再将点A (1, 0)代入252(2)4k y x k x +=-++，得5201(2)4k k +=-++． 解得k ＝2．所以抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3．图2 图3考点伸展把第（3）题中的条件“CA ·GE ＝CG ·AB ”改为“EC ＝EB ”，其他条件不变，那么抛物线的解析式是怎样的呢？如图3，因为点E 在y 轴上，当EC ＝EB 时，B 、C 两点关于y 轴对称，所以B (k ＋1, 0)． 将点B (k ＋1, 0)代入252(2)4k y x k x +=-++，得252(1)(2)(1)04k k k k ++-+++=． 解得k ＝2．所以抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3．。
2020年中考数学压轴题专题6 图形运动中的计算说理问题学案(原版+解析)
专题六 图形运动中的计算说理问题【考题研究】从近几年的中考试题来分析，简单的论证与单独的计算已经开始从考题中离去，推理与计算的融合已经成为了近期的考题重点，这种问题主要从计算能力和推理能力进行综合考查，也成为了考题中的压轴之题，从而进行专题压轴训练也是非常重要的。
【解题攻略】计算说理是通过计算得到结论；说理计算侧重说理，说理之后进行代入求值． 压轴题中的代数计算题，主要是函数类题．函数计算题必考的是待定系数法求函数的解析式，按照设、列、解、验、答五步完成，一般来说，解析式中待定几个字母，就要代入几个点的坐标．还有一类计算题，就是从特殊到一般，通过计算寻找规律．代数计算和说理较多的一类题目，是确定直线与抛物线的交点个数.联立直线和抛物线的解析式组成方程组，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，然后根据∆确定交点的个数．【解题类型及其思路】我们介绍一下求函数图像交点坐标的几何方法．如图1，已知直线y ＝x ＋1与x 轴交于点A ，抛物线y ＝x 2－2x －3与直线y ＝x ＋1交于A 、B 两点，求点B 的坐标的代数方法，就是联立方程组，方程组的一个解是点A 的坐标，另一个解计算点的坐标．几何法是这样的：设直线AB 与y 轴分别交于C ，那么tan ∠AOC ＝1．作BE ⊥x 轴于E ，那么1BE AE=．设B (x , x 2－2x －3)，于是22311x x x --=+． 请注意，这个分式的分子因式分解后，(1)(3)11x x x +-=+．这个分式能不能约分，为什么？ 因为x ＝－1的几何意义是点A ，由于点B 与点A 不重合，所以x ≠－1，因此约分以后就是x －3＝1．这样的题目一般都是这样，已知一个交点求另一个交点，经过约分，直接化为一元一次方程，很简便．【典例指引】类型一【计算说理盈利问题】【典例指引1】某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16 元，工厂将该产品进行网络批发，批发单价y（元）与一次性批发量x（件）（x为正整数）之间满足如图所示的函数关系．（1）直接写出y与x之间所满足的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若一次性批发量不低于20 且不超过60 件时，求获得的利润w与x的函数关系式，同时当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？【举一反三】某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y（件）与销售单价x （元）之间的关系如图所示．（1）根据图象直接写出y与x之间的函数关系式．（2）设这种商品月利润为W（元），求W与x之间的函数关系式．（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？类型二【计算解决图形的几何变换问题】【典例指引2】如图1，抛物线y＝ax2+（a+2）x+2（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y 轴交于点B，在x轴上有一动点P（m，0）（0＜m＜4），过点P作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点M．（1）求a的值；（2）若PN：MN＝1：3，求m的值；（3）如图2，在（2）的条件下，设动点P对应的位置是P1，将线段OP1绕点O逆时针旋转得到OP2，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AP2、BP2，求AP2+32BP2的最小值．【举一反三】如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知OA=6，OB=10．点D为y轴上一点，其坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒2 个单位的速度沿线段AC﹣CB的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒．（1）当点P经过点C时，求直线DP的函数解析式；（2）如图②，把长方形沿着OP折叠，点B的对应点B′恰好落在AC边上，求点P的坐标．（3）点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若 不存在，请说明理由．类型三 【计算解决特殊三角形的存在性问题】【典例指引3】已知抛物线2286y x x =++与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C .（1）求点A ，点C 的坐标；（2）我们规定：对于直线111:l y k x b =+，直线222:l y k x b =+，若121k k •=-，则直线12l l ⊥；反过来也成立.请根据这个规定解决下列问题：①直线321x y +=与直线34x y -=是否垂直？并说明理由；②若点P 是抛物线2286y x x =++的对称轴上一动点，是否存在点P 与点A ，点C 构成以AC 为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【举一反三】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-34x2+94x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C：连接BC，点P为线段BC上方抛物线上的一动点，连接OP交BC于点Q．（1）如图1，当PQOQ值最大时，点E为线段AB上一点，在线段BC上有两动点M，N（M在N上方），且MN=1，求PM+MN+NE-35BE的最小值；（2）如图2，连接AC，将△AOC沿射线CB方向平移，点A，C，O平移后的对应点分别记作A1，C1，O1，当C1B=O1B时，连接A1B、O1B，将△A1O1B绕点O1沿顺时针方向旋转90°后得△A2O1B1在直线x=12上是否存在点K，使得△A2B1K为等腰三角形？若存在，直接写出点K的坐标；不存在，请说明理由．类型四【计算解决图形面积的最值问题】【典例指引4】如图1，已知抛物线y =ax2+bx +c 经过A(-3,0),B (1,0 )，C (0,3 )三点，其顶点为D，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H .（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求 PBC 周长的最小值；（3）如图2，若 E 是线段AD 上的一个动点（ E 与A, D 不重合），过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点 F ，交x 轴于点G ，设点E 的横坐标为m ，四边形AODF 的面积为S 。
中考压轴题汇编《代数计算及通过代数计算进行说理》含答案
第三部分图形运动中的计算说理问题3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题例 1 2017年北京市中考第29题在平面直角坐标系中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP＋CP′＝2r，则称点P′为点P 关于⊙C的反称点．如图1为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′＝0．（1）当⊙O的半径为1时，①分别判断点M(2, 1)，N3(,0)2，T (1,3)关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求其坐标；②点P在直线y＝－x＋2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；图1（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线3233y x=-+与x轴、y轴分别交于点A、B，若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．例2 2017年福州市中考第22题如图1，抛物线21(3)12y x =--与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）联结CD ，过原点O 作OE ⊥CD ，垂足为H ，OE 与抛物线的对称轴交于点E ，联结AE 、AD ．求证：∠AEO ＝∠ADC ；（3）以（2）中的点E 为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P ，过P 作⊙E 的切线，切点为Q ，当PQ 的长最小时，求点P 的坐标，并直接写出点Q 的坐标． 图1例3 2017年南京市中考第26题已知二次函数y＝a(x－m)2－a(x－m)（a、m为常数，且a≠0）．（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点；（2）设该函数的图像的顶点为C，与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点D．①当△ABC的面积等于1时，求a的值②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．第三部分图形运动中的计算说理问题答案3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题例 1 2017年北京市中考第29题在平面直角坐标系中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP＋CP′＝2r，则称点P′为点P 关于⊙C的反称点．如图1为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′＝0．（1）当⊙O的半径为1时，①分别判断点M(2, 1)，N3(,0)2，T (1,3)关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求其坐标；②点P在直线y＝－x＋2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；图1（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线3233y x=-+与x轴、y轴分别交于点A、B，若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．动感体验请打开几何画板文件名“15北京29”，拖动点圆心C在x轴上运动，可以体验到，当点P′在圆内时，CP的变化范围是1＜CP≤2．思路点拨1．反称点P′是否存在，就是看CP′是否大于或等于0．2．第（2）题反称点P′在圆内，就是0≤CP′＜1，进一步转化为0≤2－CP＜1．满分解答（1）①对于M(2, 1)，OM＝5．因为OM′＝25-＜0，所以点M不存在反称点（如图2）．如图3，对于N3(,0)2，ON＝32．因为ON′＝31222-=，所以点N′的坐标为1(,0)2．如图4，对于T (1,3)，OT＝2．因为OT′＝0，所以点T关于⊙O的反称点T′是(0,0)．图2 图3 图4②如图5，如果点P′存在，那么OP′＝2－OP≥0．所以OP≤2．设直线y＝－x＋2与x轴、y轴的交点分别为A、B，那么OA＝OB＝2．如果点P在线段AB上，那么OP≤2．所以满足OP≤2且点P′不在x轴上的点P的横坐标的取值范围是0≤x＜2．（2）由3233y x=-+，得A(6, 0)，B(0,23)．所以tan∠A＝33OBOA=．所以∠A＝30°．因为点P′在⊙C的内部，所以0≤CP′＜1．解不等式组0≤2－CP＜1，得1＜CP≤2．过点C作CP⊥AB于P，那么CP＝12AC．所以2＜AC≤4．所以2≤OC＜4．因此圆心C的横坐标的取值范围是2≤x＜4（如图6，图7所示）．图5 图6 图7考点伸展第（2）题如果把条件“反称点P′在⊙C的内部”改为“反称点P′存在”，那么圆心C 的横坐标的取值范围是什么呢？如果点P′存在，那么CP′≥0．解不等式2－CP≥0，得CP≤2．所以AC≤4．因此圆心C的横坐标的取值范围是2≤x＜6．例2 2017年福州市中考第22题如图1，抛物线21(3)12y x =--与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）联结CD ，过原点O 作OE ⊥CD ，垂足为H ，OE 与抛物线的对称轴交于点E ，联结AE 、AD ．求证：∠AEO ＝∠ADC ；（3）以（2）中的点E 为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P ，过P 作⊙E 的切线，切点为Q ，当PQ 的长最小时，求点P 的坐标，并直接写出点Q 的坐标． 图1动感体验请打开几何画板文件名“14福州22”，拖动点P 在抛物线上运动，可以体验到，当PE 最小时，PQ 也最小．思路点拨1．计算点E 的坐标是关键的一步，充分利用、挖掘等角（或同角）的余角相等． 2．求PE 的最小值，设点P 的坐标为(x , y )，如果把PE 2表示为x 的四次函数，运算很麻烦．如果把PE 2转化为y 的二次函数就比较简便了．满分解答（1）由22117(3)13222y x x x =--=-+，得(3,1)D -，7(0,)2C ．由22111(3)1[(3)2](32)(32)222y x x x x =--=--=-+--，得(32,0)A -，(32,0)B +．（2）设CD 与AE 交于点F ，对称轴与x 轴交于点M ，作DN ⊥y 轴于N ．如图2，由(3,1)D -，7(0,)2C ，得DN ＝3，92CN =．因此2tan 3DN DCN CN ∠==．如图3，由OE ⊥CD ，得∠EOM ＝∠DCN ．因此2tan 3EM EOM OM ∠==． 所以EM ＝2，E (3, 2)．由(32,0)A -，(3,0)M ，得2AM =．因此2tan 2AM AEM EM ∠==，12tan 22DM DAM AM ∠===． 所以∠AEM ＝∠DAM ．于是可得∠AED ＝90°．如图4，在Rt △EHF 与Rt △DAF 中，因为∠EFH ＝∠DF A ， 所以∠HEF ＝∠ADF ，即∠AEO ＝∠ADC ．图2 图3 图4（3）如图5，在Rt △EPQ 中，EQ 为定值，因此当PE 最小时，PQ 也最小． 设点P 的坐标为(x , y )，那么PE 2＝(x －3)2＋(y －2)2．已知21(3)12y x =--，所以2(3)22x y -=+．因此222(22)(2)26PE y y y y =++-=-+． 所以当y ＝1时，PE 取得最小值．解方程21(3)112x --=，得x ＝5，或x ＝1（在对称轴左侧，舍去）．因此点P 的坐标为(5, 1)．此时点Q 的坐标为(3, 1)或1913(,)55（如图6所示）．图5 图6 图7考点伸展第（3）题可以这样求点Q 的坐标：设点Q 的坐标为(m , n )．由E (3, 2)、P (5, 1)，可得PE 2＝5．又已知EQ 2＝1，所以PQ 2＝4． 列方程组2222(3)(2)1,(5)(1)4,m n m n ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩ 解得113,1,m n =⎧⎨=⎩ 2219,513.5m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩还可以如图7那样求点Q 的坐标：对于Q (m , n )，根据两个阴影三角形相似，可以列方程组321152m n n m --==--． 同样地，对于Q ′(m , n )，可以列方程组321152m n n m --==--．例3 2017年南京市中考第26题已知二次函数y ＝a (x －m )2－a (x －m )（a 、m 为常数，且a ≠0）．（1）求证：不论a 与m 为何值，该函数的图像与x 轴总有两个公共点；（2）设该函数的图像的顶点为C ，与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点D ． ①当△ABC 的面积等于1时，求a 的值②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，求m 的值．动感体验请打开几何画板文件名“13南京26”，拖动y 轴上表示实数a 的点可以改变a 的值，拖动点A 可以改变m 的值．分别点击按钮“m 1”、“m 2”、“m 3”，再改变实数a ，可以体验到，这3种情况下，点C 、D 到x 轴的距离相等．请打开超级画板文件名“13南京26”， 拖动点A 可以改变m 的值，竖直拖动点C 可以改变a 的值．分别点击按钮，可得到△ABC 的面积与△ABD 的面积相等的三种情形。
【挑战中考数学压轴】第3部分图形运动中的计算说理问题
第三部分图形运动中的计算说理问题3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题例 1 北京市中考第29题在平面直角坐标系中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP＋CP′＝2r，则称点P′为点P 关于⊙C的反称点．如图1为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′＝0．（1）当⊙O的半径为1时，①分别判断点M(2, 1)，N3(,0)2，T (1,3)关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求其坐标；②点P在直线y＝－x＋2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；图1（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线3233y x=-+与x轴、y轴分别交于点A、B，若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．动感体验请打开几何画板文件名“15北京29”，拖动点圆心C在x轴上运动，可以体验到，当点P′在圆内时，CP的变化范围是1＜CP≤2．思路点拨1．反称点P′是否存在，就是看CP′是否大于或等于0．2．第（2）题反称点P′在圆内，就是0≤CP′＜1，进一步转化为0≤2－CP＜1．满分解答（1）①对于M(2, 1)，OM＝5．因为OM′＝25-＜0，所以点M不存在反称点（如图2）．如图3，对于N3(,0)2，ON＝32．因为ON′＝31222-=，所以点N′的坐标为1(,0)2．如图4，对于T (1,3)，OT＝2．因为OT′＝0，所以点T关于⊙O的反称点T′是(0,0)．图2 图3 图4②如图5，如果点P′存在，那么OP′＝2－OP≥0．所以OP≤2．设直线y＝－x＋2与x轴、y轴的交点分别为A、B，那么OA＝OB＝2．如果点P在线段AB上，那么OP≤2．所以满足OP≤2且点P′不在x轴上的点P的横坐标的取值范围是0≤x＜2．（2）由3233y x=-+，得A(6, 0)，B(0,23)．所以tan∠A＝33OBOA=．所以∠A＝30°．因为点P′在⊙C的内部，所以0≤CP′＜1．解不等式组0≤2－CP＜1，得1＜CP≤2．过点C作CP⊥AB于P，那么CP＝12AC．所以2＜AC≤4．所以2≤OC＜4．因此圆心C的横坐标的取值范围是2≤x＜4（如图6，图7所示）．图5 图6 图7考点伸展第（2）题如果把条件“反称点P′在⊙C的内部”改为“反称点P′存在”，那么圆心C的横坐标的取值范围是什么呢？如果点P′存在，那么CP′≥0．解不等式2－CP≥0，得CP≤2．所以AC≤4．因此圆心C的横坐标的取值范围是2≤x＜6．例2 福州市中考第22题如图1，抛物线21(3)12y x =--与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）联结CD ，过原点O 作OE ⊥CD ，垂足为H ，OE 与抛物线的对称轴交于点E ，联结AE 、AD ．求证：∠AEO ＝∠ADC ；（3）以（2）中的点E 为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P ，过P 作⊙E 的切线，切点为Q ，当PQ 的长最小时，求点P 的坐标，并直接写出点Q 的坐标． 图1动感体验请打开几何画板文件名“14福州22”，拖动点P 在抛物线上运动，可以体验到，当PE 最小时，PQ 也最小．思路点拨1．计算点E 的坐标是关键的一步，充分利用、挖掘等角（或同角）的余角相等． 2．求PE 的最小值，设点P 的坐标为(x , y )，如果把PE 2表示为x 的四次函数，运算很麻烦．如果把PE 2转化为y 的二次函数就比较简便了．满分解答（1）由22117(3)13222y x x x =--=-+，得(3,1)D -，7(0,)2C ．由22111(3)1[(3)2](32)(32)222y x x x x =--=--=-+--，得(32,0)A -，(32,0)B +．（2）设CD 与AE 交于点F ，对称轴与x 轴交于点M ，作DN ⊥y 轴于N ．如图2，由(3,1)D -，7(0,)2C ，得DN ＝3，92CN =．因此2tan 3DN DCN CN ∠==．如图3，由OE ⊥CD ，得∠EOM ＝∠DCN ．因此2tan 3EM EOM OM ∠==．所以EM ＝2，E (3, 2)．由(32,0)A -，(3,0)M ，得2AM =． 因此2tan 2AM AEM EM ∠==，12tan 22DM DAM AM ∠===． 所以∠AEM ＝∠DAM ．于是可得∠AED ＝90°．如图4，在Rt △EHF 与Rt △DAF 中，因为∠EFH ＝∠DF A ， 所以∠HEF ＝∠ADF ，即∠AEO ＝∠ADC ．图2 图3 图4（3）如图5，在Rt △EPQ 中，EQ 为定值，因此当PE 最小时，PQ 也最小． 设点P 的坐标为(x , y )，那么PE 2＝(x －3)2＋(y －2)2．已知21(3)12y x =--，所以2(3)22x y -=+．因此222(22)(2)26PE y y y y =++-=-+． 所以当y ＝1时，PE 取得最小值．解方程21(3)112x --=，得x ＝5，或x ＝1（在对称轴左侧，舍去）．因此点P 的坐标为(5, 1)．此时点Q 的坐标为(3, 1)或1913(,)55（如图6所示）．图5 图6 图7考点伸展第（3）题可以这样求点Q 的坐标：设点Q 的坐标为(m , n )．由E (3, 2)、P (5, 1)，可得PE 2＝5．又已知EQ 2＝1，所以PQ 2＝4．列方程组2222(3)(2)1,(5)(1)4,m n m n ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩ 解得113,1,m n =⎧⎨=⎩ 2219,513.5m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩还可以如图7那样求点Q 的坐标：对于Q (m , n )，根据两个阴影三角形相似，可以列方程组321152m n n m --==--．同样地，对于Q ′(m , n )，可以列方程组321152m n n m --==--．例3 南京市中考第26题已知二次函数y ＝a (x －m )2－a (x －m )（a 、m 为常数，且a ≠0）．（1）求证：不论a 与m 为何值，该函数的图像与x 轴总有两个公共点；（2）设该函数的图像的顶点为C ，与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点D ． ①当△ABC 的面积等于1时，求a 的值②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，求m 的值．动感体验请打开几何画板文件名“13南京26”，拖动y 轴上表示实数a 的点可以改变a 的值，拖动点A 可以改变m 的值．分别点击按钮“m 1”、“m 2”、“m 3”，再改变实数a ，可以体验到，这3种情况下，点C 、D 到x 轴的距离相等．请打开超级画板文件名“13南京26”， 拖动点A 可以改变m 的值，竖直拖动点C 可以改变a 的值．分别点击按钮，可得到△ABC 的面积与△ABD 的面积相等的三种情形。
专题一代数计算及通过代数计算进行说理问题
§3．1 代数计算及通过代数计算进行说理问题课前导学计算说理是通过计算得到结论；说理计算侧重说理，说理之后进行代入求值． 压轴题中的代数计算题，主要是函数类题．函数计算题必考的是待定系数法求函数的解析式，按照设、列、解、验、答五步完成，一般来说，解析式中待定几个字母，就要代入几个点的坐标．还有一类计算题，就是从特殊到一般，通过计算寻找规律．代数计算和说理较多的一类题目，是确定直线与抛物线的交点个数.联立直线和抛物线的解析式组成方程组，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，然后根据∆确定交点的个数． 我们介绍一下求函数图像交点坐标的几何方法．如图1，已知直线y ＝x ＋1与x 轴交于点A ，抛物线y ＝x 2－2x －3与直线y ＝x ＋1交于A 、B 两点，求点B 的坐标的代数方法，就是联立方程组，方程组的一个解是点A 的坐标，另一个解计算点的坐标．几何法是这样的：设直线AB 与y 轴分别交于C ，那么tan ∠AOC ＝1．作BE ⊥x 轴于E ，那么1BE AE=．设B(x , x 2－2x －3)，于是22311x x x --=+． 请注意，这个分式的分子因式分解后，(1)(3)11x x x +-=+．这个分式能不能约分，为什么？因为x ＝－1的几何意义是点A ，由于点B 与点A 不重合，所以x ≠－1，因此约分以后就是x －3＝1．这样的题目一般都是这样，已知一个交点求另一个交点，经过约分，直接化为一元一次方程，很简便．图1例 1 2014年湖南省长沙市中考第25题在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1,1），(－2,－2)，，…，都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个． （1）若点P (2, m )是反比例函数n y x=（n 为常数，n ≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y ＝3kx ＋s －1（k 、s 为常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；（3）若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1（a 、b 是常数，a ＞0）的图象上存在两个“梦之点”A (x 1, x 1)、B (x 2, x 2)，且满足－2＜x 1＜2，| x 1－x 2|＝2，令2157248t b b =-+，试求t 的取值范围．动感体验 请打开几何画板文件名“14长沙25”，拖动y 轴正半轴上表示实数a 的点，可以体验到，A 、B 两点位于y 轴同侧，A 、B 两点间的水平距离、竖直距离都是2，并且对于同一个a ，有两个对应的b 和b ′，但是t 随b 、t 随b ′变化时对应的t 的值保持相等．思路点拨1．“梦之点”都在直线y ＝x 上．2．第（2）题就是讨论两条直线的位置关系，分重合、平行和相交三种情况．3．第（3）题放弃了也是明智的选择．求t 关于b 的二次函数的最值，b 的取值范围由“梦之点”、－2＜x 1＜2和| x 1－x 2|＝2三个条件决定，而且－2＜x 1＜2还要分两段讨论． 图文解析（1）因为点P (2, m )是“梦之点”，所以P (2, 2)．所以4y x=． （2）“梦之点”一定在直线y ＝x 上，直线y ＝3kx ＋s －1与直线y ＝x 的位置关系有重合、平行、相交．图1 图2 图3①如图1，当直线y ＝3kx ＋s －1与直线y ＝x 重合时，有无数个“梦之点”．此时k ＝13，s ＝1．②如图2，当直线y ＝3kx ＋s －1与直线y ＝x 平行时，没有“梦之点”．此时k ＝13，s ≠1．③如图3，当直线y ＝3kx ＋s －1与直线y ＝x 相交时，有1个“梦之点”．此时k ≠13，“梦之点”的坐标为11(,)3131s s k k ----． （3）因为A (x 1,x 1)、B (x 2,x 2)两点是抛物线与直线y ＝x 的交点，联立y ＝ax 2＋bx ＋1和 y ＝x ，消去y ，整理，得ax 2＋(b －1)x ＋1＝0．所以x 1x 2＝1a＞0．所以A 、B 两点在y 轴的同侧． 如图4，由| x 1－x 2|＝2，可知A 、B 两点间的水平距离、竖直距离都是2． 已知－2＜x 1＜2，我们分两种情况来探求a 的取值范围：①当A 、B 两点在y 轴右侧时，0＜x 1＜2，2＜x 2＜4．所以0＜x 1x 2＜8．②当A 、B 两点在y 轴左侧时，－2＜x 1＜0，－4＜x 2＜－2．所以0＜x 1x 2＜8． 综合①、②，不论0＜x 1＜2或－2＜x 1＜0，都有0＜x 1x 2＜8．所以0＜1a ＜8．所以a ＞18． 由ax 2＋(b －1)x ＋1＝0，得x 1＋x 2＝1b a -，x 1x 2＝1a． 由| x 1－x 2|＝2，得(x 1－x 2)2＝4．所以(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4． 所以22(1)44b a a--=．整理，得22(1)44b a a -=+． 所以2157248t b b =-+＝2109(1)48b -+＝21094448a a ++＝261(21)48a ++． 如图5，这条抛物线的开口向上，对称轴是直线12a =-，在对称轴右侧，t 随a 的增大而增大．因此当18a =时，t 取得最小值，t ＝2161(1)448++＝176． 所以t 的取值范围是t ＞176．图4 图5考点伸展第（3）题我们也可以这样来讨论：一方面，由| x 1－x 2|＝2，得(x 1－x 2)2＝4．所以(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4．所以22(1)44b a a--=．整理，得22(1)44b a a -=+． 另一方面，由f (2)＞0，f (－2)＜0，得f (2)f (－2)＜0．所以[42(1)1][42(1)1]a b a b +-+--+＜0．所以22(41)4(1)a b +--＝22(41)4(44)a a a +-+＝18a -＜0．所以a ＞18．例 2 2014年湖南省怀化市中考第23题设m 是不小于－1的实数，使得关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2－3m ＋3＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）若12111x x +=，求132m-的值； （2）求2121211mx mx m x x +---的最大值． 动感体验请打开几何画板文件名“14怀化23”，拖动x 轴上表示实数m 的点运动，可以体验到，当m 小于1时，抛物线与x 轴有两点交点A 、B ．观察点D 随m 运动变化的图像，可以体验到，当m ＝－1时，点D 到达最高点．思路点拨1．先确定m 的取值范围，由两个条件决定．2．由根与系数的关系，把第（1）题的已知条件转化为关于m 的方程．3．第（2）题首先是繁琐的式子变形，把m 提取出来，可以使得过程简便一点． 图文解析（1）因为方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2－3m ＋3＝0有两个不相等的实数根，所以∆＞0．由∆＝4(m －2)2－4(m 2－3m ＋3)＝－4m ＋4＞0，得m ＜1．又已知m 是不小于－1的实数，所以－1≤m ＜1．由根与系数的关系，得122(2)24x x m m +=--=-+，21233x x m m ⋅=-+． 若12111x x +=，那么1212x x x x +=⋅．所以22433m m m -+=-+． 整理，得210m m --=．解得m =m =．所以323(12m -=--=．所以132m -2． （2）2121211mx mx m x x +---＝121211x x m m x x ⎡⎤+-⎢⎥--⎣⎦＝122112(1)(1)(1)(1)x x x x m m x x ⎡⎤-+--⎢⎥--⎣⎦＝12121212()21()x x x x m m x x x x ⎡⎤+--⎢⎥-++⎣⎦＝22(24)2(33)1(24)33m m m m m m m m ⎡⎤-+--+-⎢⎥--++-+⎣⎦＝222+42m m m m m m ⎡⎤---⎢⎥-⎣⎦＝22(1)(1)m m m m m ⎡⎤---⎢⎥-⎣⎦＝222m m -+-＝2(1)3m -++．所以当m ＝－1时，它有最大值，最大值为3（如图1所示）．图1考点伸展当m 变化时，抛物线y ＝x 2＋2(m －2)x ＋m 2－3m ＋3＝0的顶点的运动轨迹是什么？因为抛物线的对称轴是直线x ＝－(m －2)，所以抛物线的顶点的纵坐标y ＝(m －2)2－2(m －2)2＋m 2－3m ＋3＝m －1．因为x ＋y ＝－(m －2)＋m －1＝1为定值，所以y ＝－x ＋1．也就是说，抛物线的顶点(x , y )的运动轨迹是直线y ＝－x ＋1（如图2所示）．图2例 3 2014年湖南省湘潭市中考第26题如图1，已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝2，且经过原点，直线AC 的解析式为y ＝kx ＋4，直线AC 与y 轴交于点A ，与二次函数的图象交于B 、C 两点．（1）求二次函数解析式；（2）若1=3AOB BOC S S △△，求k 的值； （3）若以BC 为直径的圆经过原点，求k 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“14湘潭26”，拖动点C 在抛物线上运动，可以体验到，当以BC 为直径的圆经过原点时，△BMO ∽△ONC ．思路点拨1．第（2）题先将面积比转化为AB 与BC 的比，进而转化为B 、C 两点的横坐标的比．2．第（2）题可以用直线的解析式表示B 、C 两点的坐标，再代入抛物线的解析式列方程组；也可以用抛物线的解析式表示B 、C 两点的坐标，再代入直线的解析式列方程组．3．第（3）题先联立抛物线与直线，根据一元二次方程根与系数的关系，得到B 、C 两点的横坐标的和与积，再构造相似三角形列方程．图文解析（1）因为原点O 关于直线x ＝2的对称点为(4, 0)，所以抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的解析式为y ＝－x (x －4)＝－x 2＋4x ．（2）如图2，因为1==3AOB BOC S AB S BC △△，所以1=4B C x x ．设x B ＝m ，那么x C ＝4m ． 将点B (m , km ＋4)、C (4m , 4km ＋4)分别代入y ＝－x (x －4)，得4(4),444(44).km m m km m m +=--⎧⎨+=--⎩①② ①－②÷4，整理，得m 2＝1．所以m ＝1．将m ＝1代入①，得k ＋4＝3．解得k ＝－1．此时点C 落在x 轴上（如图3）．（3）因为B 、C 是直线y ＝kx ＋4与抛物线的交点，设B (x 1,kx 1＋4)，C (x 2,kx 2＋4)． 联立y ＝－x 2＋4x 和y ＝kx ＋4，消去y ，整理，得x 2＋(k －4)x ＋4＝0．所以x 1＋x 2＝4－k ，x 1x 2＝4．如图5，若以BC 为直径的圆经过原点，那么∠BOC ＝90°．作BM ⊥y 轴，CN ⊥y 轴，垂足分别为M 、N ，那么△BMO ∽△ONC ．根据BM ON MO NC=，得1212(4)4x kx kx x -+=+． 所以212121212(4)(4)[4()16]x x kx kx k x x k x x =-++=-+++．将x 1＋x 2＝4－k ，x 1x 2＝4代入，得24[44(4)16]k k k =-+-+．解得54k =-．图2 图3 图4考点伸展第（2）题也可以先用抛物线的解析式设点B 、C 的坐标，再代入直线的解析式列方程组． 将点B (m ,－m 2＋4m )、C (4m ,－16m 2＋16m )分别代入y ＝kx ＋4，得2244,16164 4.m m km m m km ⎧-+=+⎪⎨-+=+⎪⎩①② ①×4－②，得12m 2＝12．所以m ＝1．将m ＝1代入①，得3＝k ＋4．解得k ＝－1．例 4 2014年湖南省株洲市中考第24题 已知抛物线252(2)4k y x k x +=-++和直线2(1)(1)y k x k =+++． （1）求证：无论k 取何实数值，抛物线与x 轴有两个不同的交点； （2）抛物线与x 轴交于A 、B 两点，直线与x 轴交于点C ，设A 、B 、C 三点的横坐标分别是x 1、x 2、x 3，求x 1·x 2·x 3的最大值；（3）如果抛物线与x 轴的两个交点A 、B 在原点的右边，直线与x 轴的交点C 在原点的左边，又抛物线、直线分别交y 轴于点D 、E ，直线AD 交直线CE 于点G （如图1），且CA ·GE ＝CG ·AB ，求抛物线的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“14株洲24”，拖动y 轴上表示实数k 的点运动，可以体验到，抛物线与x 轴总是有两个交点．观察x 1·x 2·x 3随k 变化的函数图像，可以体验到，x 1·x 2·x 3是k 的二次函数．还可以体验到，存在一个正数k ，使得AD 与BE 平行．思路点拨1．两个解析式像庞然大物，其实第（1）题的语境非常熟悉，走走看，豁然开朗．2．第（2）题x 1·x 2·x 3的最小值由哪个自变量决定呢？当然是k 了．所以先求x 1·x 2·x 3关于k 的函数关系式，就明白下一步该怎么办了．x 1·x 2由根与系数的关系得到，x 3就是点C 的横坐标．3．第（3）题的等积式转化为比例式，就得到AD //BE ．由此根据OD ∶OA ＝OE ∶OB 列方程，再结合根与系数的关系化简．还是走走看，柳暗花明．图文解析（1）因为222(52)17(2)42()424k k k k k +∆=+-⨯=-+=-+＞0，所以无论k 取何实数值，抛物线与x 轴有两个不同的交点．（2）由2(1)(1)y k x k =+++，得C (－(k ＋1), 0)．所以x 3＝－(k ＋1)．由根与系数的关系，得x 1·x 2＝(52)4k +． 所以x 1·x 2·x 3＝1(52)(1)4k k -++＝21(572)4k k -++．因此710x =-当时，x 1·x 2·x 3取得最大值，最大值＝14949(52)410010-⨯-+＝980． （3）如图2，由CA ·GE ＝CG ·AB ，得CA CG AB GE=． 所以AG //BE ，即AD //BE ． 所以OD OE OA OB =，即212(52)(1)4k k x x ++=．所以22122(52)(1)4k k x x x ++=⋅．所以222(1)1k x +=． 所以x 2＝k ＋1，或－k －1（舍）．又因为x 1＋x 2＝k ＋2，所以x 1＝1，即A (1, 0)．再将点A (1, 0)代入252(2)4k y x k x +=-++，得5201(2)4k k +=-++． 解得k ＝2．所以抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3．图2 图3考点伸展把第（3）题中的条件“CA ·GE ＝CG ·AB ”改为“EC ＝EB ”，其他条件不变，那么抛物线的解析式是怎样的呢？如图3，因为点E 在y 轴上，当EC ＝EB 时，B 、C 两点关于y 轴对称，所以B (k ＋1, 0)．将点B (k ＋1, 0)代入252(2)4k y x k x +=-++，得252(1)(2)(1)04k k k k ++-+++=． 解得k ＝2．所以抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3．。
人教版初中数学讲义第11讲 代数计算及通过代数计算进行说理问题
第11讲 代数计算及通过代数计算进行说理问题例 1北京市中考第29题在平面直角坐标系中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙C 的反称点的定义如下：若在射线CP 上存在一点P ′，满足CP ＋CP ′＝2r ，则称点P ′为点P 关于⊙C 的反称点．如图1为点P 及其关于⊙C 的反称点P ′的示意图．特别地，当点P ′与圆心C 重合时，规定CP ′＝0． （1）当⊙O 的半径为1时，①分别判断点M (2, 1)，N 3(,0)2，T 关于⊙O 的反称点是否存在？若存在，求其坐标； ②点P 在直线y ＝－x ＋2上，若点P 关于⊙O 的反称点P ′存在，且点P ′不在x 轴上，求点P 的横坐标的取值范围；（2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线y =+x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，若线段AB 上存在点P ，使得点P 关于⊙C 的反称点P ′在⊙C 的内部，求圆心C 的横坐标的取值范围．思路点拨1．反称点P ′是否存在，就是看CP ′是否大于或等于0．2．第（2）题反称点P ′在圆内，就是0≤CP ′＜1，进一步转化为0≤2－CP ＜1．满分解答（1）①对于M (2, 1)，OM OM ′＝2＜0，所以点M 不存在反称点（如图2）． 如图3，对于N 3(,0)2，ON ＝32．因为ON ′＝31222-=，所以点N ′的坐标为1(,0)2．如图4，对于T ，OT ＝2．因为OT ′＝0，所以点T 关于⊙O 的反称点T ′是(0,0)．图2 图3 图4②如图5，如果点P ′存在，那么OP ′＝2－OP ≥0．所以OP ≤2． 设直线y ＝－x ＋2与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，那么OA ＝OB ＝2． 如果点P 在线段AB 上，那么OP ≤2．所以满足OP ≤2且点P ′不在x 轴上的点P 的横坐标的取值范围是0≤x ＜2．（2）由y x =+A (6, 0)，B (0,．所以tan ∠A ＝OB OA =． 所以∠A ＝30°．因为点P ′在⊙C 的内部，所以0≤CP ′＜1． 解不等式组0≤2－CP ＜1，得1＜CP ≤2． 过点C 作CP ⊥AB 于P ，那么CP ＝12AC ．所以2＜AC ≤4． 所以2≤OC ＜4．因此圆心C 的横坐标的取值范围是2≤x ＜4（如图6，图7所示）．图5 图6 图7考点伸展第（2）题如果把条件“反称点P ′在⊙C 的内部”改为“反称点P ′存在”，那么圆心C 的横坐标的取值范围是什么呢？如果点P ′存在，那么CP ′≥0． 解不等式2－CP ≥0，得CP ≤2．所以AC ≤4．因此圆心C 的横坐标的取值范围是2≤x ＜6．例2福州市中考第22题如图1，抛物线21(3)12y x =--与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ． （1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）联结CD ，过原点O 作OE ⊥CD ，垂足为H ，OE 与抛物线的对称轴交于点E ，联结AE 、AD ．求证：∠AEO ＝∠ADC ；（3）以（2）中的点E 为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P ，过P 作⊙E 的切线，切点为Q ，当PQ 的长最小时，求点P 的坐标，并直接写出点Q 的坐标．图1思路点拨1．计算点E 的坐标是关键的一步，充分利用、挖掘等角（或同角）的余角相等．2．求PE 的最小值，设点P 的坐标为(x , y )，如果把PE 2表示为x 的四次函数，运算很麻烦．如果把PE 2转化为y 的二次函数就比较简便了．满分解答（1）由22117(3)13222y x x x =--=-+，得(3,1)D -，7(0,)2C ．由22111(3)1[(3)2](33222y x x x x =--=--=--，得(3A ，(3B ．（2）设CD 与AE 交于点F ，对称轴与x 轴交于点M ，作DN ⊥y 轴于N ．如图2，由(3,1)D -，7(0,)2C ，得DN ＝3，92CN =．因此2tan 3DN DCN CN ∠==．如图3，由OE ⊥CD ，得∠EOM ＝∠DCN ．因此2tan 3EM EOM OM ∠==． 所以EM ＝2，E (3, 2)．由(3A -，(3,0)M ，得AM =因此tan AM AEM ∠==tan DM DAM ∠===．所以∠AEM ＝∠DAM ．于是可得∠AED ＝90°．如图4，在Rt △EHF 与Rt △DAF 中，因为∠EFH ＝∠DF A ， 所以∠HEF ＝∠ADF ，即∠AEO ＝∠ADC ．图2 图3 图4（3）如图5，在Rt △EPQ 中，EQ 为定值，因此当PE 最小时，PQ 也最小． 设点P 的坐标为(x , y )，那么PE 2＝(x －3)2＋(y －2)2．已知21(3)12y x =--，所以2(3)22x y -=+．因此222(22)(2)26PE y y y y =++-=-+． 所以当y ＝1时，PE 取得最小值．解方程21(3)112x --=，得x ＝5，或x ＝1（在对称轴左侧，舍去）．因此点P 的坐标为(5, 1)．此时点Q 的坐标为(3, 1)或1913(,)55（如图6所示）．图5 图6 图7考点伸展第（3）题可以这样求点Q 的坐标：设点Q 的坐标为(m , n )．由E (3, 2)、P (5, 1)，可得PE 2＝5．又已知EQ 2＝1，所以PQ 2＝4． 列方程组2222(3)(2)1,(5)(1)4,m n m n ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩ 解得113,1,m n =⎧⎨=⎩ 2219,513.5m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩还可以如图7那样求点Q 的坐标：对于Q (m , n )，根据两个阴影三角形相似，可以列方程组321152m n n m --==--． 同样地，对于Q ′(m , n )，可以列方程组321152m n n m --==--．例3 南京市中考第26题已知二次函数y ＝a (x －m )2－a (x －m )（a 、m 为常数，且a ≠0）．（1）求证：不论a 与m 为何值，该函数的图像与x 轴总有两个公共点；（2）设该函数的图像的顶点为C ，与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点D ． ①当△ABC 的面积等于1时，求a 的值②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，求m 的值．思路点拨1．第（1）题判断抛物线与x 轴有两个交点，容易想到用判别式．事实上，抛物线与x 轴的交点A 、B 的坐标分别为 (m ,0)、 (m ＋1,0)，AB ＝1．2．当△ABC 的面积等于1时，点C 到x 轴的距离为2．3．当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，C 、D 到x 轴的距离相等． 4．本题大量的工作是代入计算，运算比较繁琐，一定要仔细．满分解答（1）由y ＝a (x －m )2－a (x －m )＝a (x －m )( x －m －1)， 得抛物线与x 轴的交点坐标为A (m ,0)、B (m ＋1,0)．因此不论a 与m 为何值，该函数的图像与x 轴总有两个公共点．（2）①由y ＝a (x －m )2－a (x －m ) 211()24a x m a =---， 得抛物线的顶点坐标为11(,)24C m a +-． 因为AB ＝1，S △ABC ＝11124AB a ⨯-=，所以a ＝±8． ②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，点C 与点D 到x 轴的距离相等． 第一种情况：如图1，C 、D 重合，此时点D 的坐标可以表示为1(0,)4a -， 将1(0,)4D a -代入211()24y a x m a =---，得2111()424a a m a -=+-． 解得12m =-．第二种情况：如图2，图3，C 、D 在x 轴两侧，此时点D 的坐标可以表示为1(0,)4a ， 将1(0,)4D a 代入211()24y a x m a =---，得2111()424a a m a =+-．解得12m -=．图2 图3考点伸展第（1）题也可以这样说理： 由于由211()24y a x m a =---，抛物线的顶点坐标为11(,)24C m a +-． 当a ＞0时，抛物线的开口向上，而顶点在x 轴下方，所以抛物线与x 轴由两个交点；当a ＜0时，抛物线的开口向下，而顶点在x 轴上方，所以抛物线与x 轴由两个交点． 因此不论a 与m 为何值，该函数的图像与x 轴总有两个公共点． 第（1）题也可以用根的判别式Δ说理：由y ＝a (x －m )2－a (x －m )＝a [x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ]， 得2222[(21)4()]a m m m a ∆=+-+=＞0．因此不论a 与m 为何值，该函数的图像与x 轴总有两个公共点．这种方法是同学们最容易想到的，但是这种方法的运算量很大，一定要仔细．例4 南昌市中考第25题已知抛物线y n＝－(x－a n)2＋a n（n为正整数，且0＜a1＜a2＜…＜a n）与x轴的交点为A n－1(b n－1,0)和A n(b n,0)．当n＝1时，第1条抛物线y1＝－(x－a1)2＋a1与x轴的交点为A0(0,0)和A1(b1,0)，其他依此类推（1）求a、b的值及抛物线y2的解析式；（2）抛物线y3的顶点坐标为(_____，_____)；依此类推第n条抛物线y n的顶点坐标为(_____，_____)（用含n的式子表示）；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是________________；（3）探究下列结论：①若用A n－1 A n表示第n条抛物线被x轴截得的线段的长，直接写出A0A1的值，并求出A n－1 A n；②是否存在经过点A(2,0)的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．备用图（仅供草稿使用）思路点拨1．本题写在卷面的文字很少很少，可是卷外是大量的运算．2．最大的纠结莫过于对字母意义的理解，这道题的复杂性就体现在数形结合上．3．这个备用图怎么用？边画边算，边算边画．满分解答（1）将A0(0,0)代入y1＝－(x－a1)2＋a1，得－a12＋a1＝0．所以符合题意的a1＝1．此时y1＝－(x－1)2＋1＝－x(x－2)．所以A1的坐标为(2,0)，b1＝2．将A1(2,0)代入y2＝－(x－a2)2＋a2，得－(2－a2)2＋a2＝0．所以符合题意的a2＝4．此时y2＝－(x－4)2＋4＝－(x－2)(x－6)．（2）抛物线y3的顶点坐标为(9，9)；第n条抛物线y n的顶点坐标为(n2，n2)；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是y＝x．（3）①如图1，A0A1＝2．由第（2）题得到，第n条抛物线y n＝－(x－a n)2＋a n的顶点坐标为(n2，n2)．所以y n＝－(x－n2)2＋n2＝n2－(x－n2)2＝(n－x＋n2)(n＋x－n2)．所以第n条抛物线与x轴的交点坐标为A n－1(n2－n,0)和A n(n2＋n,0)．②如图1，直线y＝x－2和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等．图1考点伸展我们一起来梳理一下这道题目的备用图怎么用．第一步，由y n＝－(x－a n)2＋a n，得抛物线的顶点坐标为(a n, a n)．顶点的横坐标和纵坐标相等，而且已知a n＞0，因此先画出顶点所在的射线y＝x(x＞0)．第二步，计算出y1，画抛物线y1的顶点、与x轴的右交点．第三步，计算出y2，画抛物线y2的顶点、与x轴的右交点．xyM HC D BO A xy CBO A【强化训练】1.如图，在平面直角坐标系中，A 、B 是x 正半轴上的两个点，且OA=AB ，过点A 、B 分别作x 轴的垂线，分别交抛物线2x y =于点C 和点D ，直线OC 交BD 于点M ，直线CD 交y 轴于点H. （1）求△CMD 与四边形ABMC 的面积比；（2）求证：H D C y x x -=⋅.（C x 、D x 、H y 分别表示点C 的横坐标、点D 的横坐标、点H 的纵坐标）2．如图，已知二次函数:1L 342+-=x x y 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C.（1）写出A 、B 的坐标；（2）二次函数:2L )0(342≠+-=k k kx kx y ，顶点为P 。
中考数学： 代数计算及通过代数计算进行说理问题(精选大题2例,含13中考,含精细思路点拨, 5页)
3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题例1 2019年南京市中考第26题已知二次函数y ＝a (x －m )2－a (x －m )（a 、m 为常数，且a ≠0）．（1）求证：不论a 与m 为何值，该函数的图像与x 轴总有两个公共点；（2）设该函数的图像的顶点为C ，与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点D ． ①当△ABC 的面积等于1时，求a 的值②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，求m 的值．动感体验请打开几何画板文件名“13南京26”，拖动y 轴上表示实数a 的点可以改变a 的值，拖动点A 可以改变m 的值．分别点击按钮“m 1”、“m 2”、“m 3”，再改变实数a ，可以体验到，这3种情况下，点C 、D 到x 轴的距离相等．请打开超级画板文件名“13南京26”， 拖动点A 可以改变m 的值，竖直拖动点C 可以改变a 的值．分别点击按钮，可得到△ABC 的面积与△ABD 的面积相等的三种情形。
思路点拨1．第（1）题判断抛物线与x 轴有两个交点，容易想到用判别式．事实上，抛物线与x 轴的交点A 、B 的坐标分别为 (m ,0)、 (m ＋1,0)，AB ＝1．2．当△ABC 的面积等于1时，点C 到x 轴的距离为2．3．当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，C 、D 到x 轴的距离相等． 4．本题大量的工作是代入计算，运算比较繁琐，一定要仔细．满分解答（1）由y ＝a (x －m )2－a (x －m )＝a (x －m )( x －m －1)， 得抛物线与x 轴的交点坐标为A (m ,0)、B (m ＋1,0)．因此不论a 与m 为何值，该函数的图像与x 轴总有两个公共点．（2）①由y ＝a (x －m )2－a (x －m ) 211()24a x m a =---， 得抛物线的顶点坐标为11(,)24C m a +-． 因为AB ＝1，S △ABC ＝11124AB a ⨯-=，所以a ＝±8． ②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，点C 与点D 到x 轴的距离相等． 第一种情况：如图1，C 、D 重合，此时点D 的坐标可以表示为1(0,)4a -， 将1(0,)4D a -代入211()24y a x m a =---，得2111()424a a m a -=+-． 解得12m =-．图1第二种情况：如图2，图3，C 、D 在x 轴两侧，此时点D 的坐标可以表示为1(0,)4a ， 将1(0,)4D a 代入211()24y a x m a =---，得2111()424a a m a =+-．解得12m -=．图2 图3考点伸展第（1）题也可以这样说理： 由于由211()24y a x m a =---，抛物线的顶点坐标为11(,)24C m a +-． 当a ＞0时，抛物线的开口向上，而顶点在x 轴下方，所以抛物线与x 轴由两个交点；当a ＜0时，抛物线的开口向下，而顶点在x 轴上方，所以抛物线与x 轴由两个交点． 因此不论a 与m 为何值，该函数的图像与x 轴总有两个公共点． 第（1）题也可以用根的判别式Δ说理：由y ＝a (x －m )2－a (x －m )＝a [x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ]， 得2222[(21)4()]a m m m a ∆=+-+=＞0．因此不论a 与m 为何值，该函数的图像与x 轴总有两个公共点．这种方法是同学们最容易想到的，但是这种方法的运算量很大，一定要仔细．例2 2019年南昌市中考第25题已知抛物线y n＝－(x－a n)2＋a n（n为正整数，且0＜a1＜a2＜…＜a n）与x轴的交点为A n－1(b n－1,0)和A n(b n,0)．当n＝1时，第1条抛物线y1＝－(x－a1)2＋a1与x轴的交点为A0(0,0)和A1(b1,0)，其他依此类推（1）求a、b的值及抛物线y2的解析式；（2）抛物线y3的顶点坐标为(_____，_____)；依此类推第n条抛物线y n的顶点坐标为(_____，_____)（用含n的式子表示）；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是________________；（3）探究下列结论：①若用A n－1 A n表示第n条抛物线被x轴截得的线段的长，直接写出A0A1的值，并求出A n－1 A n；②是否存在经过点A(2,0)的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．备用图（仅供草稿使用）动感体验请打开几何画板文件名“13南昌25”，拖动抛物线的顶点P在射线y＝x(x＞0)上运动，可以体验到，经过点(2,0)与这条射线平行的直线截抛物线所得的线段都相等．请打开超级画板文件名“13南昌25”，拖动抛物线的顶点P在射线y＝x(x＞0)上运动，可以体验到，经过点(2,0)与这条射线平行的直线截抛物线所得的线段都相等．思路点拨1．本题写在卷面的文字很少很少，可是卷外是大量的运算．2．最大的纠结莫过于对字母意义的理解，这道题的复杂性就体现在数形结合上．3．这个备用图怎么用？边画边算，边算边画．满分解答（1）将A0(0,0)代入y1＝－(x－a1)2＋a1，得－a12＋a1＝0．所以符合题意的a1＝1．此时y1＝－(x－1)2＋1＝－x(x－2)．所以A1的坐标为(2,0)，b1＝2．将A1(2,0)代入y2＝－(x－a2)2＋a2，得－(2－a2)2＋a2＝0．所以符合题意的a2＝4．此时y2＝－(x－4)2＋4＝－(x－2)(x－6)．（2）抛物线y3的顶点坐标为(9，9)；第n条抛物线y n的顶点坐标为(n2，n2)；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是y＝x．（3）①如图1，A0A1＝2．由第（2）题得到，第n条抛物线y n＝－(x－a n)2＋a n的顶点坐标为(n2，n2)．所以y n＝－(x－n2)2＋n2＝n2－(x－n2)2＝(n－x＋n2)(n＋x－n2)．所以第n条抛物线与x轴的交点坐标为A n－1(n2－n,0)和A n(n2＋n,0)．所以A n－1 A n＝(n2＋n)－(n2－n)＝2n．②如图1，直线y＝x－2和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等．图1考点伸展我们一起来梳理一下这道题目的备用图怎么用．第一步，由y n＝－(x－a n)2＋a n，得抛物线的顶点坐标为(a n, a n)．顶点的横坐标和纵坐标相等，而且已知a n＞0，因此先画出顶点所在的射线y＝x(x＞0)．第二步，计算出y1，画抛物线y1的顶点、与x轴的右交点．第三步，计算出y2，画抛物线y2的顶点、与x轴的右交点．。
2020年中考数学压轴题专题6 图形运动中的计算说理问题学案(原版+解析)
专题六 图形运动中的计算说理问题【考题研究】从近几年的中考试题来分析，简单的论证与单独的计算已经开始从考题中离去，推理与计算的融合已经成为了近期的考题重点，这种问题主要从计算能力和推理能力进行综合考查，也成为了考题中的压轴之题，从而进行专题压轴训练也是非常重要的。
【解题攻略】计算说理是通过计算得到结论；说理计算侧重说理，说理之后进行代入求值． 压轴题中的代数计算题，主要是函数类题．函数计算题必考的是待定系数法求函数的解析式，按照设、列、解、验、答五步完成，一般来说，解析式中待定几个字母，就要代入几个点的坐标．还有一类计算题，就是从特殊到一般，通过计算寻找规律．代数计算和说理较多的一类题目，是确定直线与抛物线的交点个数.联立直线和抛物线的解析式组成方程组，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，然后根据∆确定交点的个数．【解题类型及其思路】我们介绍一下求函数图像交点坐标的几何方法．如图1，已知直线y ＝x ＋1与x 轴交于点A ，抛物线y ＝x 2－2x －3与直线y ＝x ＋1交于A 、B 两点，求点B 的坐标的代数方法，就是联立方程组，方程组的一个解是点A 的坐标，另一个解计算点的坐标．几何法是这样的：设直线AB 与y 轴分别交于C ，那么tan ∠AOC ＝1．作BE ⊥x 轴于E ，那么1BE AE=．设B (x , x 2－2x －3)，于是22311x x x --=+． 请注意，这个分式的分子因式分解后，(1)(3)11x x x +-=+．这个分式能不能约分，为什么？因为x ＝－1的几何意义是点A ，由于点B 与点A 不重合，所以x ≠－1，因此约分以后就是x －3＝1．这样的题目一般都是这样，已知一个交点求另一个交点，经过约分，直接化为一元一次方程，很简便．【典例指引】类型一【计算说理盈利问题】【典例指引1】某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16 元，工厂将该产品进行网络批发，批发单价y（元）与一次性批发量x（件）（x为正整数）之间满足如图所示的函数关系．（1）直接写出y与x之间所满足的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若一次性批发量不低于20 且不超过60 件时，求获得的利润w与x的函数关系式，同时当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？【举一反三】某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y（件）与销售单价x （元）之间的关系如图所示．（1）根据图象直接写出y与x之间的函数关系式．（2）设这种商品月利润为W（元），求W与x之间的函数关系式．（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？类型二【计算解决图形的几何变换问题】【典例指引2】如图1，抛物线y＝ax2+（a+2）x+2（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点P（m，0）（0＜m＜4），过点P作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点M．（1）求a的值；（2）若PN：MN＝1：3，求m的值；（3）如图2，在（2）的条件下，设动点P对应的位置是P1，将线段OP1绕点O逆时针旋转得到OP2，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AP2、BP2，求AP2+32BP2的最小值．【举一反三】如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知OA=6，OB=10．点D为y轴上一点，其坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒2 个单位的速度沿线段AC﹣CB的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒．（1）当点P经过点C时，求直线DP的函数解析式；（2）如图②，把长方形沿着OP折叠，点B的对应点B′恰好落在AC边上，求点P的坐标．（3）点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若 不存在，请说明理由．类型三 【计算解决特殊三角形的存在性问题】【典例指引3】已知抛物线2286y x x =++与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C .（1）求点A ，点C 的坐标；（2）我们规定：对于直线111:l y k x b =+，直线222:l y k x b =+，若121k k •=-，则直线12l l ⊥；反过来也成立.请根据这个规定解决下列问题：①直线321x y +=与直线34x y -=是否垂直？并说明理由；②若点P 是抛物线2286y x x =++的对称轴上一动点，是否存在点P 与点A ，点C 构成以AC 为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【举一反三】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-34x2+94x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C：连接BC，点P为线段BC上方抛物线上的一动点，连接OP交BC于点Q．（1）如图1，当PQOQ值最大时，点E为线段AB上一点，在线段BC上有两动点M，N（M在N上方），且MN=1，求PM+MN+NE-35BE的最小值；（2）如图2，连接AC，将△AOC沿射线CB方向平移，点A，C，O平移后的对应点分别记作A1，C1，O1，当C1B=O1B时，连接A1B、O1B，将△A1O1B绕点O1沿顺时针方向旋转90°后得△A2O1B1在直线x=12上是否存在点K，使得△A2B1K为等腰三角形？若存在，直接写出点K的坐标；不存在，请说明理由．类型四【计算解决图形面积的最值问题】【典例指引4】如图1，已知抛物线y =ax2+bx +c 经过A(-3,0),B (1,0 )，C (0,3 )三点，其顶点为D，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H .（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求 PBC 周长的最小值；（3）如图2，若E 是线段AD 上的一个动点（E 与A, D 不重合），过 E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ，交x 轴于点G ，设点E 的横坐标为m ，四边形AODF 的面积为S 。
2019届中考数学压轴题精练：代数计算及通过代数计算进行说理(含2019试题,含详解)
代数计算及通过代数计算进行说理问题例1 2019年南京市中考第26题已知二次函数y ＝a(x －m)2－a(x －m)（a 、m 为常数，且a ≠0）．（1）求证：不论a 与m 为何值，该函数的图像与x 轴总有两个公共点；（2）设该函数的图像的顶点为C ，与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点D ． ①当△ABC 的面积等于1时，求a 的值②当△ABC 的面积与△AB D 的面积相等时，求m 的值． 动感体验请打开几何画板文件名“13南京26”，拖动y 轴上表示实数a 的点可以改变a 的值，拖动点A 可以改变m 的值．分别点击按钮“m 1”、“m 2”、“m 3”，再改变实数a ，可以体验到，这3种情况下，点C 、D 到x 轴的距离相等．请打开超级画板文件名“13南京26”， 拖动点A 可以改变m 的值，竖直拖动点C 可以改变a 的值．分别点击按钮，可得到△ABC 的面积与△ABD 的面积相等的三种情形。
思路点拨1．第（1）题判断抛物线与x 轴有两个交点，容易想到用判别式．事实上，抛物线与x 轴的交点A 、B 的坐标分别为 (m,0)、 (m ＋1,0)，AB ＝1．2．当△ABC 的面积等于1时，点C 到x 轴的距离为2．3．当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，C 、D 到x 轴的距离相等． 4．本题大量的工作是代入计算，运算比较繁琐，一定要仔细． 满分解答（1）由y ＝a(x －m)2－a(x －m)＝a(x －m)( x －m －1)， 得抛物线与x 轴的交点坐标为A(m,0)、B(m ＋1,0)．因此不论a 与m 为何值，该函数的图像与x 轴总有两个公共点．（2）①由y ＝a(x －m)2－a(x －m) 211()24a x m a =---， 得抛物线的顶点坐标为11(,)24C m a +-．因为AB ＝1，S △ABC ＝11124AB a ⨯-=，所以a ＝±8．②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，点C 与点D 到x 轴的距离相等． 第一种情况：如图1，C 、D 重合，此时点D 的坐标可以表示为1(0,)4a -，将1(0,)4D a -代入211()24y a x m a =---，得2111()424a a m a -=+-． 解得12m =-．图1第二种情况：如图2，图3，C 、D 在x 轴两侧，此时点D 的坐标可以表示为1(0,)4a ，将1(0,)4D a 代入211()24y a x m a =---，得2111()424a a m a =+-． 解得122m -±=．图2 图3考点伸展[%^:@*中教&]第（1）题也可以这样说理：由于由211()24y a x m a =---，抛物线的顶点坐标为11(,)24C m a +-． 当a ＞0时，抛物线的开口向上，而顶点在x 轴下方，所以抛物线与x 轴由两个交点；当a ＜0时，抛物线的开口向下，而顶点在x 轴上方，所以抛物线与x 轴由两个交点． 因此不论a 与m 为何值，该函数的图像与x 轴总有两个公共点． 第（1）题也可以用根的判别式Δ说理：由y ＝a(x －m)2－a(x －m)＝a[x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m]， 得2222[(21)4()]a m m m a ∆=+-+=＞0．因此不论a 与m 为何值，该函数的图像与x 轴总有两个公共点．这种方法是同学们最容易想到的，但是这种方法的运算量很大，一定要仔细．例2 2019年南昌市中考第25题已知抛物线y n ＝－(x －a n )2＋a n （n 为正整数，且0＜a 1＜a 2＜…＜a n ）与x 轴的交点为A n －1(b n －1,0)和A n (b n ,0)．当n ＝1时，第1条抛物线y 1＝－(x －a 1)2＋a 1与x 轴的交点为A 0(0,0)和A 1(b 1,0)，其他依此类推（1）求a 、b 的值及抛物线y 2的解析式；（2）抛物线y 3的顶点坐标为(_____，_____)；依此类推第n 条抛物线y n 的顶点坐标为(_____，_____)（用含n 的式子表示）； 所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是________________； （3）探究下列结论：①若用A n －1 A n 表示第n 条抛物线被x 轴截得的线段的长，直接写出A 0A 1的值，并求出A n －1 A n ；②是否存在经过点A(2,0)的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．备用图（仅供草稿使用）动感体验请打开几何画板文件名“13南昌25”，拖动抛物线的顶点P在射线y＝x(x＞0)上运动，可以体验到，经过点(2,0)与这条射线平行的直线截抛物线所得的线段都相等．请打开超级画板文件名“13南昌25”，拖动抛物线的顶点P在射线y＝x(x＞0)上运动，可以体验到，经过点(2,0)与这条射线平行的直线截抛物线所得的线段都相等．思路点拨1．本题写在卷面的文字很少很少，可是卷外是大量的运算．2．最大的纠结莫过于对字母意义的理解，这道题的复杂性就体现在数形结合上．3．这个备用图怎么用？边画边算，边算边画．满分解答（1）将A0(0,0)代入y1＝－(x－a1)2＋a1，得－a12＋a1＝0．所以符合题意的a1＝1．此时y1＝－(x－1)2＋1＝－x(x－2)．所以A1的坐标为(2,0)，b1＝2．将A1(2,0)代入y2＝－(x－a2)2＋a2，得－(2－a2)2＋a2＝0．所以符合题意的a2＝4．此时y2＝－(x－4)2＋4＝－(x－2)(x－6)．（2）抛物线y3的顶点坐标为(9，9)；第n条抛物线y n的顶点坐标为(n2，n2)；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是y＝x．（3）①如图1，A0A1＝2．由第（2）题得到，第n条抛物线y n＝－(x－a n)2＋a n的顶点坐标为(n2，n2)．所以y n＝－(x－n2)2＋n2＝n2－(x－n2)2＝(n－x＋n2)(n＋x－n2)．所以第n条抛物线与x轴的交点坐标为A n－1(n2－n,0)和A n(n2＋n,0)．所以A n－1 A n＝(n2＋n)－(n2－n)＝2n．②如图1，直线y＝x－2和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等．图1考点伸展我们一起来梳理一下这道题目的备用图怎么用．第一步，由y n＝－(x－a n)2＋a n，得抛物线的顶点坐标为(a n, a n)．顶点的横坐标和纵坐标相等，而且已知a n＞0，因此先画出顶点所在的射线y＝x(x＞0)．第二步，计算出y1，画抛物线y1的顶点、与x轴的右交点．第三步，计算出y2，画抛物线y2的顶点、与x轴的右交点．。
2020中考专题练习----代数计算及通过代数计算进行说理问题(解析版)
xOyA C BE PD【例1】 已知在平面直角坐标系xoy （如图）中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点A （1-，0）与点C （3，0），与y 轴交于点B ，点P 为OB 上一点，过点B 作射线AP 的垂线，垂足为点D ，射线BD 交x 轴于点E ． （1）求该抛物线解析式；（2）联结BC ，当P 点坐标为（0，32）时，求EBC ∆的面积；（3）当点D 落在抛物线的对称轴上时，求点P 的坐标．【解析】（1）∵抛物线2y x bx c =-++交x 轴于点A （1-，0）与点C （3，0），∴10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩ 解得：23b c =⎧⎨=⎩；∴该抛物线的解析式：223y x x =-++；（2）由223y x x =-++得点B （0，3）， ∵AD ⊥CD ，∴∠DBP+∠BPD = 90°， ∵∠POA = 90°， ∴∠OAP+∠APO = 90°，∵∠BPD =∠APO ，∴∠DBP =∠OAP ， ∵∠AOP =∠BOE = 90°， ∴AOP ∆∽BOE ∆； ∴AO POBO OE=； 代数计算及通过代数计算进行说理问题例题解析∵OA =1，PO =32，BO =3， ∴2133OE=，∴OE = 2； ∵OC =3，∴EC =1， ∴131322EBC S ∆=⨯⨯=．（3）设点P （0，y ），则OP =y ，BP =3y -，AP ； ∵点D 在抛物线的对称轴上，过点D 作DH ⊥x 轴，垂足为点H ， ∴AH = 2，∴AO = OH ，∴PD = AP∵∠BPD =∠APO ，∠AOP=∠BDP=90°， ∴AOP ∆∽BDP ∆；∴AP POBP PD == 解得：12y =，212y =． 经检验：12y =，212y =都是原方程的根， ∴1P （0，1），2P （0，12）． 【总结】本题是一道有关二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式及相似三 角形性质的综合运用．【例2】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y ax bx =+-经过点A （2，1-），它的对称轴与x 轴相交于点B ． （1）求点B 的坐标；（2）如果直线1y x =+与此抛物线的对称轴交于点C ， 与抛物线在对称轴右侧交于点D ，且∠BDC =∠ACB ． 求此抛物线的表达式．【解析】（1）∵抛物线12-+=bx ax y 与y 轴的交点为（0，1），点（0，1-）与点A （2，1-）是关于抛物线对称轴的对称点，∴抛物线的对称轴为直线1x =，∴点B 的坐标为（1，0）．∵抛物线21y ax bx =+-经过点A （2，1-），∴1421a b -=+-， ∴2b a =-， ∴抛物线对称轴为直线2122b ax a a-=-=-=， ∴点B 的坐标为（1，0）．（2）∵直线1+=x y 与此抛物线的对称轴交于点C ，∴点C （1，2）．设直线1+=x y 与x 轴交于点E ，当y =0时，x =－1，∴点E 坐标为（1-，0）．∴BC = BE = 2，∴∠BCE = 45°，过点A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，AF = BF = 1，∴∠ABF = 45°，AB = 2．∴∠BCD =∠ABC = 135°，∵∠BDC =∠ACB ， ∴BCD ∆∽ABC ∆．∴CD BCBC AB =，222=CD ， ∴CD = 22． xE CDABO yG过点D 作DG ⊥BC ，垂足为G ，∵∠DCG =∠BCE = 45°，∴DG = CH = 2．∴点D （3，4）．∵2b a =-， ∴抛物线为221y ax ax =--，∴4961a a =--，解得：53a =， ∴该抛物线的表达式为2510133y x x =--．【总结】本题是二次函数的综合题，主要考查了对称轴的确定以及相似三角形的性质和判定， 确定特殊角及判定两三角形相似是解本题的关键．HOCBAy x【例3】 如图1，已知直线y = kx ＋2与x 轴的正半轴交于点A （t ，0），与y 轴相交于点B ，抛物线y = -x 2＋bx ＋c 经过点A 和点B ，点C 在第三象限内，且AC ⊥AB ，tan ∠ACB =12． （1）当t = 1时，求抛物线的表达式； （2）试用含t 的代数式表示点C 的坐标；（3）如果点C 在这条抛物线的对称轴上，求t 的值．【解析】（1）∵t = 1，y = kx + 2， ∴A （1，0），B （0，2）．把点A （1，0），B （0，2）分别代入抛物线的表达式，得：012b c c =-++⎧⎨=⎩，解得：12b c =-⎧⎨=⎩．∴所求抛物线的表达式为22y x x =--+；（2）作CH ⊥x 轴，垂足为点H ，得∠AHC =∠AOB = 90°（如图）． ∵AC ⊥AB ， ∴∠OAB +∠CAH = 90°．又∵∠CAH +∠ACH = 90°， ∴∠OAB =∠ACH ． ∴AOB ∆∽CHA ∆， ∴OA OB ABCH AH AC==． ∵tan ∠ACB =12AB AC =， ∴12OA OB CH AH ==．∵OA = t ，OB = 2，∴CH = 2t ，AH = 4． ∴点C 的坐标为(42)t t --，；（3）∵点(42)C t t --，在抛物线2y x bx c =-++的对称轴上，∴42bt -=，即28b t =-． OCBAy x把点A（t，0）、B（0，2）代入抛物线的表达式，得：-t2+ bt + 2 = 0．∴2(28)20-+-+=，即2820t t t-+=，解得：t =4t t∵点(4,2)--在第三象限，∴t=4+C t t∴t=4【总结】本题主要考查了二次函数与相似三角形的结合，包含了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，注意点的坐标与距离间的关系．OEDCBAy【例4】 如图，反比例函数的图像经过点A （2-，5）和点B （5-，p ），平行四边形ABCD的顶点C 、D 分别在y 轴的负半轴、x 轴的正半轴上，二次函数的图像经过点A 、C 、D ． （1）求直线AB 的表达式； （2）求点C 、D 的坐标；（3）如果点E 在第四象限内的二次函数的图像上， 且∠DCE = ∠BDO ，求点E 的坐标．【解析】（1）设反比例函数的解析式为：(0)ky k x=≠，∵反比例函数的图像经过点A (25)-，和点B (5)p -，， ∴52k=-， ∴10k =-．∴反比例函数的解析式为：10y x=-， ∴1052p =--=， ∴点B 的坐标为(52)-，．设直线AB 的表达式为：(0)y mx n m =+≠． 则5225m n m n =-+⎧⎨=-+⎩，解得：17m n =⎧⎨=⎩，∴直线AB 的表达式为：7y x =+； （2）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴//AB CD ．设CD 的表达式为：y x c =+，∴(0)C c ，，(0)D c -，． ∵CD AB =，∴2222(52)(25)c c +=-++-，解得：3c =±． ∴点C 、D 的坐标分别为(03)-，、(30)，；（3）设二次函数的解析式为：23y ax bx =+-(0)a ≠．分别代入A (25)-，和D (30)，， 得：54230933a b a b =--⎧⎨=+-⎩，解得：12a b =⎧⎨=-⎩．∴二次函数的解析式为：223y x x =--． 作EF y ⊥轴，BG y ⊥轴，垂足分别为F 、G ． ∵OC OD =，BG CG =， ∴45BCG OCD ODC ∠=∠=∠=． ∴90BCD ∠=．∵DCE BDO ∠=∠，∴ECF BDC ∠=∠．∴2222(05)(32)5tan tan 3(30)(03)BCECF BDC CD +++∠=∠===-++．设3CF t =，则5EF t =，33OF t =-．∴点E 的坐标为(533)t t -，． ∴23325103t t t -=--，解得：10t =（舍去），21325t =． ∴点E 的坐标为1336()525E -，．【总结】本题综合性较强，难度较大，考查了待定系数法求函数解析式，直角三角形判定及G F OED CBAyxA BCD O MHxy性质、平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质及锐角三角比的综合运用，解题 时注意方程思想与数形结合思想的应用． 【习题1】 如图，在平面直角坐标系中，A 、B 是x 轴正半轴上的两个点，且OA = AB ，过点A 、B 分别作x 轴的垂线，分别交抛物线y = x 2于点C 和点D ，直线OC 交BD 于点M ，直线CD 交y 轴于点H ．（1）求CMD ∆与四边形ABMC 的面积比； （2）求证：C D H x x y ⋅=-． 【解析】（1）设(0)(0)A a a >，． ∵OA = AB ，∴(20)B a ，．∵AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，且点C 和点D 在抛物线2y x =上，∴2()C a a ，，2(24)D a a ，．设直线OC 解析式为：11(0)y k x k =≠，代入2()C a a ，， 得直线OC 解析式为：y ax =．∵直线OC 交BD 于点M ，∴2(22)M a a ，． ∴2311222CMDSDM AB a a a =⋅⋅=⋅⋅=，223113)(2)222ABMC S AC BM AB a a a a =⋅+⋅=⋅+⋅=四边形(，∴CMD ∆与四边形ABMC 的面积比为2:3；（2）设直线CD 的解析式为：22(0)y k x b k =+≠．分别代入2()C a a ，，2(24)D a a ，，得：222224a k b aa kb a ⎧⋅+=⎪⎨⋅+=⎪⎩，解得：2232k a b a =⎧⎪⎨=-⎪⎩． 随堂检测∴直线CD 的解析式为：232y ax a =-．∵直线CD 交y 轴于点H ，∴2(02)H a -，． ∵222C D x x a a a ⋅=⋅=，22H y a =-，∴C D H x x y ⋅=-．【总结】本题相对比较基础，主要考查点的坐标与函数解析式的关系，注意认真分析． 【习题2】 如果一条抛物线y = ax 2＋bx ＋c （0a ≠）与x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为“抛物线三角形”． （1）“抛物线三角形”一定是_______三角形；（2）若抛物线2y x bx =-+（0b >）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b 的值；（3）如图，OAB ∆是抛物线2y x b x '=-+（0b '>）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O 为对称中心的矩形ABCD ？若存在，求出过O 、C 、D 三点的抛物线的表达式； 若不存在，请说明理由． 【解析】（1）等腰．（2）∵抛物线的解析式为2(0)y x bx b =-+>，∴该抛物线的顶点坐标为2()24b b ，．∵该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，∴2(0)24b b b =>，∴2b =； （3）存在．如图，作OCD ∆与OAB ∆关于原点O 中心对称，则四边形ABCD 为平行四边形．xyABCDO EO A BCxy当OA OB =时，平行四边形ABCD 是矩形．又∵OA AB =，∴OAB ∆为等边三角形， ∴60AOB ∠=．作AE ⊥OB ，垂足为E ．∴tan 3AE OE AOB OE =⋅∠， ∴23(0)42b b b '''=>，解得：23b '=． ∴(33)A ，(230)B ， ∴(33)C -，(230)D -．设过O 、C 、D 三点的抛物线解析式为：2y mx nx =+，则12230333m n m n ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩， 解得：123m n =⎧⎪⎨=⎪⎩∴过O 、C 、D 三点的抛物线解析式为：223y x x =+．如图，已知二次函数L 1：y = x 2－4x ＋3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y轴交于点C ．（1）写出A 、B 两点的坐标；（2）二次函数L 2：y = kx 2－4kx ＋3k （0k ≠），顶点为P ．①直接写出二次函数L 2与二次函数L 1有关图像的两条相同的性质；②是否存在实数k ，使ABP ∆为等边三角形？如果存在，请求出k 的值；如果不存在， 请说明理由；③若直线y = 8k 与抛物线交于E 、F 两点，问线段EF 的长度是否发生变化？如果不会， 请求出EF 的长度；如果会，请说明理由． 【解析】（1）(10)A ，，(30)B ，；（2）①L 2与L 1有关图像的两条相同的性质为： （Ⅰ）对称轴都为直线2x =； （Ⅱ）都经过(1,0)A ，(3,0)B 两点． ②存在实数k ，使ABP 为等边三角形．课后作业∵P 为二次函数L 2：y = kx 2－4kx ＋3k （0k ≠）的顶点， ∴(2)P k -，．∵(10)A ，，(30)B ，， ∴2AB =．要使ABP ∆为等边三角形，必满足k -=，∴k =．③线段EF 的长度不会发生变化． ∵直线y = 8k 与抛物线交于E 、F 两点， ∴2438kx kx k k -+=． ∵0k ≠，∴2438x x -+=． ∴11x =-，25x =． ∴216EF x x =-=．即线段EF 的长度不会发生变化．【总结】本题主要考查二次函数的图像与性质的综合运用，第（2）问注意利用等边三角形 的相关性质，第（3）小问实质上是将线段长度转化为求交点坐标的问题．【作业1】 在平面直角坐标系中，已知抛物线y = ax 2＋4ax ＋c 经过A （0，4）、B （3-，1）两点，顶点为C ．（1）求该抛物线的解析式及顶点C 的坐标；（2）将（1）中求得的抛物线沿y 轴向上平移m （0m >）个单位，所得新抛物线与y 轴的交点记为点D ．当ACD ∆是等腰三角形时，求点D 的坐标；（3）若点P 在（1）中求得的抛物线的对称轴上，联结PO ，将线段PO 绕点P 逆时针 旋转90°得到线段PO ′，若点O ′恰好在（1）中求得的抛物线上，求点P 的坐标． 【解析】（1）将A (0， 4)、B (－3， 1)两点坐标分别代入抛物线解析式，得：49121c a a c =⎧⎨-+=⎩， 解得：41c a =⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为：2244(2)y x x x =++=+，顶点坐标为(20)C -，； （2）由题意，得：(04)D m +，．在Rt AOC∆中，4OA =，2OC =，∴AC 当ACD ∆是等腰三角形时，易得DAC ∠为钝角，则只有DA DC ==．∴DA m ==，∴点D 的坐标为(04)； （3）设(2)P n -，，过点O '作O M x '⊥轴于点M ，过点P 作PN O M '⊥于点N （如图）． 则PO PO '=，90PCO PNO '∠=∠=︒，∠∴PCO ∆≌'NPO ∆．∴2O N OC '==． ∵四边形PCMN 为矩形， ∴MN PC n ==．○1当0n >时，(22)O n n '-+，得：220n n --=，解得：2n =或1n =-（舍去）；②当0n <时，(22)O n n '-+，得：220n n --=，解得：2n =（舍去）或1n =-．综上，可得点P 的坐标为(22)-，或(21)--，． 【总结】本题综合性较强，主要考查了函数背景下的图形运动，难度较大，解题时注意利用 数形结合的思想及分类讨论思想的综合运用．。
2020年中考数学压轴题专题6 图形运动中的计算说理问题学案(原版+解析)
专题六 图形运动中的计算说理问题【考题研究】从近几年的中考试题来分析，简单的论证与单独的计算已经开始从考题中离去，推理与计算的融合已经成为了近期的考题重点，这种问题主要从计算能力和推理能力进行综合考查，也成为了考题中的压轴之题，从而进行专题压轴训练也是非常重要的。
【解题攻略】计算说理是通过计算得到结论；说理计算侧重说理，说理之后进行代入求值． 压轴题中的代数计算题，主要是函数类题．函数计算题必考的是待定系数法求函数的解析式，按照设、列、解、验、答五步完成，一般来说，解析式中待定几个字母，就要代入几个点的坐标．还有一类计算题，就是从特殊到一般，通过计算寻找规律．代数计算和说理较多的一类题目，是确定直线与抛物线的交点个数.联立直线和抛物线的解析式组成方程组，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，然后根据∆确定交点的个数．【解题类型及其思路】我们介绍一下求函数图像交点坐标的几何方法．如图1，已知直线y ＝x ＋1与x 轴交于点A ，抛物线y ＝x 2－2x －3与直线y ＝x ＋1交于A 、B 两点，求点B 的坐标的代数方法，就是联立方程组，方程组的一个解是点A 的坐标，另一个解计算点的坐标．几何法是这样的：设直线AB 与y 轴分别交于C ，那么tan ∠AOC ＝1．作BE ⊥x 轴于E ，那么1BE AE=．设B (x , x 2－2x －3)，于是22311x x x --=+． 请注意，这个分式的分子因式分解后，(1)(3)11x x x +-=+．这个分式能不能约分，为什么？ 因为x ＝－1的几何意义是点A ，由于点B 与点A 不重合，所以x ≠－1，因此约分以后就是x －3＝1．这样的题目一般都是这样，已知一个交点求另一个交点，经过约分，直接化为一元一次方程，很简便．【典例指引】类型一【计算说理盈利问题】【典例指引1】某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16 元，工厂将该产品进行网络批发，批发单价y（元）与一次性批发量x（件）（x为正整数）之间满足如图所示的函数关系．（1）直接写出y与x之间所满足的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若一次性批发量不低于20 且不超过60 件时，求获得的利润w与x的函数关系式，同时当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？【举一反三】某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y（件）与销售单价x （元）之间的关系如图所示．（1）根据图象直接写出y与x之间的函数关系式．（2）设这种商品月利润为W（元），求W与x之间的函数关系式．（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？类型二【计算解决图形的几何变换问题】【典例指引2】如图1，抛物线y＝ax2+（a+2）x+2（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y 轴交于点B，在x轴上有一动点P（m，0）（0＜m＜4），过点P作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点M．（1）求a的值；（2）若PN：MN＝1：3，求m的值；（3）如图2，在（2）的条件下，设动点P对应的位置是P1，将线段OP1绕点O逆时针旋转得到OP2，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AP2、BP2，求AP2+32BP2的最小值．【举一反三】如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知OA=6，OB=10．点D为y轴上一点，其坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒2 个单位的速度沿线段AC﹣CB的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒．（1）当点P经过点C时，求直线DP的函数解析式；（2）如图②，把长方形沿着OP折叠，点B的对应点B′恰好落在AC边上，求点P的坐标．（3）点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若 不存在，请说明理由．类型三 【计算解决特殊三角形的存在性问题】【典例指引3】已知抛物线2286y x x =++与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C .（1）求点A ，点C 的坐标；（2）我们规定：对于直线111:l y k x b =+，直线222:l y k x b =+，若121k k •=-，则直线12l l ⊥；反过来也成立.请根据这个规定解决下列问题：①直线321x y +=与直线34x y -=是否垂直？并说明理由；②若点P 是抛物线2286y x x =++的对称轴上一动点，是否存在点P 与点A ，点C 构成以AC 为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【举一反三】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-34x2+94x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C：连接BC，点P为线段BC上方抛物线上的一动点，连接OP交BC于点Q．（1）如图1，当PQOQ值最大时，点E为线段AB上一点，在线段BC上有两动点M，N（M在N上方），且MN=1，求PM+MN+NE-35BE的最小值；（2）如图2，连接AC，将△AOC沿射线CB方向平移，点A，C，O平移后的对应点分别记作A1，C1，O1，当C1B=O1B时，连接A1B、O1B，将△A1O1B绕点O1沿顺时针方向旋转90°后得△A2O1B1在直线x=12上是否存在点K，使得△A2B1K为等腰三角形？若存在，直接写出点K的坐标；不存在，请说明理由．类型四【计算解决图形面积的最值问题】【典例指引4】如图1，已知抛物线y =ax2+bx +c 经过A(-3,0),B (1,0 )，C (0,3 )三点，其顶点为D，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H .（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求 PBC 周长的最小值；（3）如图2，若 E 是线段AD 上的一个动点（ E 与A, D 不重合），过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点 F ，交x 轴于点G ，设点E 的横坐标为m ，四边形AODF 的面积为S 。
2.2 代数计算及通过代数计算进行说理问题
2.2 代数计算及通过代数计算进行说理问题例 1 (2015年北京市中考第29题)在平面直角坐标系中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙C 的反称点的定义如下：若在射线CP 上存在一点P ′，满足CP ＋CP ′＝2r ，则称点P ′为点P 关于⊙C 的反称点．如图1为点P 及其关于⊙C 的反称点P ′的示意图． 特别地，当点P ′与圆心C 重合时，规定CP ′＝0． （1）当⊙O 的半径为1时，①分别判断点M (2, 1)，N 3(,0)2，T 关于⊙O 的反称点是否存在？若存在，求其坐标；②点P 在直线y ＝－x ＋2上，若点P 关于⊙O 的反称点P ′存在，且点P ′不在x 轴上，求点P 的横坐标的取值范围；（2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线y =+x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，若线段AB 上存在点P ，使得点P 关于⊙C 的反称点P ′在⊙C 的内部，求圆心C 的横坐标的取值范围．例2 (2014年福州市中考第22题)如图1，抛物线21(3)12y x =--与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ． （1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）联结CD ，过原点O 作OE ⊥CD ，垂足为H ，OE 与抛物线的对称轴交于点E ，联结AE 、AD ．求证：∠AEO ＝∠ADC ；（3）以（2）中的点E 为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P ，过P 作⊙E 的切线，切点为Q ，当PQ 的长最小时，求点P 的坐标，并直接写出点Q 的坐标．例3(2013年南京市中考第26题)已知二次函数y ＝a (x －m )2－a (x －m )（a 、m 为常数，且a ≠0）．（1）求证：不论a 与m 为何值，该函数的图像与x 轴总有两个公共点；（2）设该函数的图像的顶点为C ，与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点D ． ①当△ABC 的面积等于1时，求a 的值②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，求m 的值．。
中考数学压轴试题复习 第三部分 专题一 代数计算及通过代数计算进行说理问题-人教版初中九年级全册数学
§3．1 代数计算及通过代数计算进行说理问题课前导学计算说理是通过计算得到结论；说理计算侧重说理，说理之后进行代入求值．压轴题中的代数计算题，主要是函数类题．函数计算题必考的是待定系数法求函数的解析式，按照设、列、解、验、答五步完成，一般来说，解析式中待定几个字母，就要代入几个点的坐标．还有一类计算题，就是从特殊到一般，通过计算寻找规律．代数计算和说理较多的一类题目，是确定直线与抛物线的交点个数.联立直线和抛物线的解析式组成方程组，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，然后根据∆确定交点的个数．我们介绍一下求函数图像交点坐标的几何方法．如图1，已知直线y ＝x ＋1与x 轴交于点A ，抛物线y ＝x 2－2x －3与直线y ＝x ＋1交于A 、B 两点，求点B 的坐标的代数方法，就是联立方程组，方程组的一个解是点A 的坐标，另一个解计算点的坐标．几何法是这样的：设直线AB 与y 轴分别交于C ，那么tan ∠AOC ＝1．作BE ⊥x 轴于E ，那么1BE AE=．设B(x , x 2－2x －3)，于是22311x x x --=+． 请注意，这个分式的分子因式分解后，(1)(3)11x x x +-=+．这个分式能不能约分，为什么？因为x ＝－1的几何意义是点A ，由于点B 与点A 不重合，所以x ≠－1，因此约分以后就是x －3＝1．这样的题目一般都是这样，已知一个交点求另一个交点，经过约分，直接化为一元一次方程，很简便．图1例 1 2014年某某省某某市中考第25题在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1,1），(－2,－2)，，…，都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个．（1）若点P(2, m)是反比例函数nyx=（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y＝3kx＋s－1（k、s为常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；（3）若二次函数y＝ax2＋bx＋1（a、b是常数，a＞0）的图象上存在两个“梦之点”A(x1, x1)、B(x2, x2)，且满足－2＜x1＜2，| x1－x2|＝2，令2157 248t b b=-+，试求t的取值X围．动感体验请打开几何画板文件名“14某某25”，拖动y轴正半轴上表示实数a的点，可以体验到，A、B两点位于y轴同侧，A、B两点间的水平距离、竖直距离都是2，并且对于同一个a，有两个对应的b和b′，但是t随b、t随b′变化时对应的t的值保持相等．思路点拨1．“梦之点”都在直线y＝x上．2．第（2）题就是讨论两条直线的位置关系，分重合、平行和相交三种情况．3．第（3）题放弃了也是明智的选择．求t关于b的二次函数的最值，b的取值X围由“梦之点”、－2＜x1＜2和| x1－x2|＝2三个条件决定，而且－2＜x1＜2还要分两段讨论．图文解析（1）因为点P(2, m)是“梦之点”，所以P(2, 2)．所以4yx =．（2）“梦之点”一定在直线y＝x上，直线y＝3kx＋s－1与直线y＝x的位置关系有重合、平行、相交．图1 图2 图3①如图1，当直线y ＝3kx ＋s －1与直线y ＝x 重合时，有无数个“梦之点”．此时k ＝13，s ＝1．②如图2，当直线y ＝3kx ＋s －1与直线y ＝x 平行时，没有“梦之点”．此时k ＝13，s ≠1．③如图3，当直线y ＝3kx ＋s －1与直线y ＝x 相交时，有1个“梦之点”．此时k ≠13，“梦之点”的坐标为11(,)3131s s k k ----． （3）因为A (x 1,x 1)、B (x 2,x 2)两点是抛物线与直线y ＝x 的交点，联立y ＝ax 2＋bx ＋1和y ＝x ，消去y ，整理，得ax 2＋(b －1)x ＋1＝0．所以x 1x 2＝1a＞0．所以A 、B 两点在y 轴的同侧． 如图4，由| x 1－x 2|＝2，可知A 、B 两点间的水平距离、竖直距离都是2．已知－2＜x 1＜2，我们分两种情况来探求a 的取值X 围：①当A 、B 两点在y 轴右侧时，0＜x 1＜2，2＜x 2＜4．所以0＜x 1x 2＜8．②当A 、B 两点在y 轴左侧时，－2＜x 1＜0，－4＜x 2＜－2．所以0＜x 1x 2＜8． 综合①、②，不论0＜x 1＜2或－2＜x 1＜0，都有0＜x 1x 2＜8．所以0＜1a ＜8．所以a ＞18． 由ax 2＋(b －1)x ＋1＝0，得x 1＋x 2＝1b a -，x 1x 2＝1a． 由| x 1－x 2|＝2，得(x 1－x 2)2＝4．所以(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4．所以22(1)44b a a--=．整理，得22(1)44b a a -=+． 所以2157248t b b =-+＝2109(1)48b -+＝21094448a a ++＝261(21)48a ++．如图5，这条抛物线的开口向上，对称轴是直线12a =-，在对称轴右侧，t 随a 的增大而增大．因此当18a =时，t 取得最小值，t ＝2161(1)448++＝176． 所以t 的取值X 围是t ＞176．图4 图5考点伸展第（3）题我们也可以这样来讨论：一方面，由| x 1－x 2|＝2，得(x 1－x 2)2＝4．所以(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4． 所以22(1)44b a a--=．整理，得22(1)44b a a -=+． 另一方面，由f (2)＞0，f (－2)＜0，得f (2)f (－2)＜0． 所以[42(1)1][42(1)1]a b a b +-+--+＜0．所以22(41)4(1)a b +--＝22(41)4(44)a a a +-+＝18a -＜0．所以a ＞18．例 2 2014年某某省某某市中考第23题设m 是不小于－1的实数，使得关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2－3m ＋3＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）若12111x x +=，求132m-的值； （2）求2121211mx mx m x x +---的最大值． 动感体验请打开几何画板文件名“14某某23”，拖动x 轴上表示实数m 的点运动，可以体验到，当m 小于1时，抛物线与x 轴有两点交点A 、B ．观察点D 随m 运动变化的图像，可以体验到，当m ＝－1时，点D 到达最高点．思路点拨1．先确定m 的取值X 围，由两个条件决定．2．由根与系数的关系，把第（1）题的已知条件转化为关于m 的方程．3．第（2）题首先是繁琐的式子变形，把m 提取出来，可以使得过程简便一点． 图文解析（1）因为方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2－3m ＋3＝0有两个不相等的实数根，所以∆＞0． 由∆＝4(m －2)2－4(m 2－3m ＋3)＝－4m ＋4＞0，得m ＜1．又已知m 是不小于－1的实数，所以－1≤m ＜1．由根与系数的关系，得122(2)24x x m m +=--=-+，21233x x m m ⋅=-+． 若12111x x +=，那么1212x x x x +=⋅．所以22433m m m -+=-+． 整理，得210m m --=．解得m =m =．所以323(12m -=-=．所以132m -2． （2）2121211mx mx m x x +---＝121211x x m m x x ⎡⎤+-⎢⎥--⎣⎦＝122112(1)(1)(1)(1)x x x x m m x x ⎡⎤-+--⎢⎥--⎣⎦＝12121212()21()x x x x m m x x x x ⎡⎤+--⎢⎥-++⎣⎦＝22(24)2(33)1(24)33m m m m m m m m ⎡⎤-+--+-⎢⎥--++-+⎣⎦ ＝222+42m m m m m m ⎡⎤---⎢⎥-⎣⎦＝22(1)(1)m m m m m ⎡⎤---⎢⎥-⎣⎦＝222m m -+-＝2(1)3m -++．所以当m ＝－1时，它有最大值，最大值为3（如图1所示）．图1考点伸展当m变化时，抛物线y＝x2＋2(m－2)x＋m2－3m＋3＝0的顶点的运动轨迹是什么？因为抛物线的对称轴是直线x＝－(m－2)，所以抛物线的顶点的纵坐标y＝(m－2)2－2(m－2)2＋m2－3m＋3＝m－1．因为x＋y＝－(m－2)＋m－1＝1为定值，所以y＝－x＋1．也就是说，抛物线的顶点(x, y)的运动轨迹是直线y＝－x＋1（如图2所示）．图2例 3 2014年某某省某某市中考第26题如图1，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的对称轴为x＝2，且经过原点，直线AC的解析式为y＝kx＋4，直线AC与y轴交于点A，与二次函数的图象交于B、C两点．（1）求二次函数解析式； （2）若1=3AOB BOC S S △△，求k 的值； （3）若以BC 为直径的圆经过原点，求k 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“14某某26”，拖动点C 在抛物线上运动，可以体验到，当以BC 为直径的圆经过原点时，△BMO ∽△ONC ．思路点拨1．第（2）题先将面积比转化为AB 与BC 的比，进而转化为B 、C 两点的横坐标的比．2．第（2）题可以用直线的解析式表示B 、C 两点的坐标，再代入抛物线的解析式列方程组；也可以用抛物线的解析式表示B 、C 两点的坐标，再代入直线的解析式列方程组．3．第（3）题先联立抛物线与直线，根据一元二次方程根与系数的关系，得到B 、C 两点的横坐标的和与积，再构造相似三角形列方程．图文解析（1）因为原点O 关于直线x ＝2的对称点为(4, 0)，所以抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的解析式为y ＝－x (x －4)＝－x 2＋4x ．（2）如图2，因为1==3AOB BOC S AB S BC △△，所以1=4B C x x ．设x B ＝m ，那么x C ＝4m ． 将点B (m , km ＋4)、C (4m , 4km ＋4)分别代入y ＝－x (x －4)，得4(4),444(44).km m m km m m +=--⎧⎨+=--⎩①② ①－②÷4，整理，得m 2＝1．所以m ＝1．将m ＝1代入①，得k ＋4＝3．解得k ＝－1．此时点C 落在x 轴上（如图3）．（3）因为B 、C 是直线y ＝kx ＋4与抛物线的交点，设B (x 1,kx 1＋4)，C (x 2,kx 2＋4)． 联立y ＝－x 2＋4x 和y ＝kx ＋4，消去y ，整理，得x 2＋(k －4)x ＋4＝0．所以x 1＋x 2＝4－k ，x 1x 2＝4．如图5，若以BC 为直径的圆经过原点，那么∠BOC ＝90°．作BM ⊥y 轴，⊥y 轴，垂足分别为M 、N ，那么△BMO ∽△ONC ．根据BM ON MO NC=，得1212(4)4x kx kx x -+=+． 所以212121212(4)(4)[4()16]x x kx kx k x x k x x =-++=-+++．将x 1＋x 2＝4－k ，x 1x 2＝4代入，得24[44(4)16]k k k =-+-+．解得54k =-．图2 图3 图4考点伸展第（2）题也可以先用抛物线的解析式设点B 、C 的坐标，再代入直线的解析式列方程组． 将点B (m ,－m 2＋4m )、C (4m ,－16m 2＋16m )分别代入y ＝kx ＋4，得 2244,16164 4.m m km m m km ⎧-+=+⎪⎨-+=+⎪⎩①②①×4－②，得12m 2＝12．所以m ＝1．将m ＝1代入①，得3＝k ＋4．解得k ＝－1．例 4 2014年某某省株洲市中考第24题已知抛物线252(2)4k y x k x +=-++和直线2(1)(1)y k x k =+++． （1）求证：无论k 取何实数值，抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）抛物线与x 轴交于A 、B 两点，直线与x 轴交于点C ，设A 、B 、C 三点的横坐标分别是x 1、x 2、x 3，求x 1·x 2·x 3的最大值；（3）如果抛物线与x 轴的两个交点A 、B 在原点的右边，直线与x 轴的交点C 在原点的左边，又抛物线、直线分别交y 轴于点D 、E ，直线AD 交直线CE 于点G （如图1），且CA ·GE ＝CG ·AB ，求抛物线的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“14株洲24”，拖动y 轴上表示实数k 的点运动，可以体验到，抛物线与x 轴总是有两个交点．观察x 1·x 2·x 3随k 变化的函数图像，可以体验到，x 1·x 2·x 3是k 的二次函数．还可以体验到，存在一个正数k ，使得AD 与BE 平行．思路点拨1．两个解析式像庞然大物，其实第（1）题的语境非常熟悉，走走看，豁然开朗．2．第（2）题x 1·x 2·x 3的最小值由哪个自变量决定呢？当然是k 了．所以先求x 1·x 2·x 3关于k 的函数关系式，就明白下一步该怎么办了．x 1·x 2由根与系数的关系得到，x 3就是点C 的横坐标．3．第（3）题的等积式转化为比例式，就得到AD //BE ．由此根据OD ∶OA ＝OE ∶OB 列方程，再结合根与系数的关系化简．还是走走看，柳暗花明．图文解析（1）因为222(52)17(2)42()424k k k k k +∆=+-⨯=-+=-+＞0，所以无论k 取何实数值，抛物线与x 轴有两个不同的交点．（2）由2(1)(1)y k x k =+++，得C (－(k ＋1), 0)．所以x 3＝－(k ＋1)．由根与系数的关系，得x 1·x 2＝(52)4k +． 所以x 1·x 2·x 3＝1(52)(1)4k k -++＝21(572)4k k -++． 因此710x =-当时，x 1·x 2·x 3取得最大值，最大值＝14949(52)410010-⨯-+＝980． （3）如图2，由CA ·GE ＝CG ·AB ，得CA CG AB GE =． 所以AG //BE ，即AD //BE ．所以OD OE OA OB =，即212(52)(1)4k k x x ++=．所以22122(52)(1)4k k x x x ++=⋅．所以222(1)1k x +=． 所以x 2＝k ＋1，或－k －1（舍）．又因为x 1＋x 2＝k ＋2，所以x 1＝1，即A (1, 0)．再将点A (1, 0)代入252(2)4k y x k x +=-++，得5201(2)4k k +=-++． 解得k ＝2．所以抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3．图2 图3考点伸展把第（3）题中的条件“CA ·GE ＝CG ·AB ”改为“EC ＝EB ”，其他条件不变，那么抛物线的解析式是怎样的呢？如图3，因为点E 在y 轴上，当EC ＝EB 时，B 、C 两点关于y 轴对称，所以B (k ＋1, 0)． 将点B (k ＋1, 0)代入252(2)4k y x k x +=-++，得252(1)(2)(1)04k k k k ++-+++=． 解得k ＝2．所以抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3．。
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代数计算及通过代数计算进行说理问题例1 已知二次函数y ＝a (x －m )2－a (x －m )（a 、m 为常数，且a ≠0）．（1）求证：不论a 与m 为何值，该函数的图像与x 轴总有两个公共点；（2）设该函数的图像的顶点为C ，与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点D ． ①当△ABC 的面积等于1时，求a 的值②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，求m 的值．思路点拨1．第（1）题判断抛物线与x 轴有两个交点，容易想到用判别式．事实上，抛物线与x 轴的交点A 、B 的坐标分别为 (m ,0)、 (m ＋1,0)，AB ＝1．2．当△ABC 的面积等于1时，点C 到x 轴的距离为2．3．当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，C 、D 到x 轴的距离相等． 4．本题大量的工作是代入计算，运算比较繁琐，一定要仔细．满分解答（1）由y ＝a (x －m )2－a (x －m )＝a (x －m )( x －m －1)， 得抛物线与x 轴的交点坐标为A (m ,0)、B (m ＋1,0)．因此不论a 与m 为何值，该函数的图像与x 轴总有两个公共点．（2）①由y ＝a (x －m )2－a (x －m ) 211()24a x m a =---， 得抛物线的顶点坐标为11(,)24C m a +-． 因为AB ＝1，S △ABC ＝11124AB a ⨯-=，所以a ＝±8． ②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，点C 与点D 到x 轴的距离相等． 第一种情况：如图1，C 、D 重合，此时点D 的坐标可以表示为1(0,)4a -， 将1(0,)4D a -代入211()24y a x m a =---，得2111()424a a m a -=+-． 解得12m =-．图1第二种情况：如图2，图3，C 、D 在x 轴两侧，此时点D 的坐标可以表示为1(0,)4a ， 将1(0,)4D a 代入211()24y a x m a =---，得2111()424a a m a =+-． 解得122m -±=．图2 图3考点伸展第（1）题也可以这样说理： 由于由211()24y a x m a =---，抛物线的顶点坐标为11(,)24C m a +-． 当a ＞0时，抛物线的开口向上，而顶点在x 轴下方，所以抛物线与x 轴由两个交点；当a ＜0时，抛物线的开口向下，而顶点在x 轴上方，所以抛物线与x 轴由两个交点． 因此不论a 与m 为何值，该函数的图像与x 轴总有两个公共点． 第（1）题也可以用根的判别式Δ说理：由y ＝a (x －m )2－a (x －m )＝a [x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ]， 得2222[(21)4()]a m m m a ∆=+-+=＞0．因此不论a 与m 为何值，该函数的图像与x 轴总有两个公共点．这种方法是同学们最容易想到的，但是这种方法的运算量很大，一定要仔细．例 2 已知抛物线y＝－(x－a n)2＋a n（n为正整数，且0＜a1＜a2＜…＜a n）与x轴的交点为A n－1(b n－1,0)和nA n(b n,0)．当n＝1时，第1条抛物线y1＝－(x－a1)2＋a1与x轴的交点为A0(0,0)和A1(b1,0)，其他依此类推（1）求a、b的值及抛物线y2的解析式；（2）抛物线y3的顶点坐标为(_____，_____)；依此类推第n条抛物线y n的顶点坐标为(_____，_____)（用含n的式子表示）；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是________________；（3）探究下列结论：①若用A n－1 A n表示第n条抛物线被x轴截得的线段的长，直接写出A0A1的值，并求出A n－1 A n；②是否存在经过点A(2,0)的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．备用图（仅供草稿使用）思路点拨1．本题写在卷面的文字很少很少，可是卷外是大量的运算．2．最大的纠结莫过于对字母意义的理解，这道题的复杂性就体现在数形结合上．3．这个备用图怎么用？边画边算，边算边画．满分解答（1）将A0(0,0)代入y1＝－(x－a1)2＋a1，得－a12＋a1＝0．所以符合题意的a1＝1．此时y1＝－(x－1)2＋1＝－x(x－2)．所以A1的坐标为(2,0)，b1＝2．将A1(2,0)代入y2＝－(x－a2)2＋a2，得－(2－a2)2＋a2＝0．所以符合题意的a2＝4．此时y2＝－(x－4)2＋4＝－(x－2)(x－6)．（2）抛物线y3的顶点坐标为(9，9)；第n条抛物线y n的顶点坐标为(n2，n2)；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是y＝x．（3）①如图1，A0A1＝2．由第（2）题得到，第n条抛物线y n＝－(x－a n)2＋a n的顶点坐标为(n2，n2)．所以y n＝－(x－n2)2＋n2＝n2－(x－n2)2＝(n－x＋n2)(n＋x－n2)．所以第n条抛物线与x轴的交点坐标为A n－1(n2－n,0)和A n(n2＋n,0)．所以A n－1 A n＝(n2＋n)－(n2－n)＝2n．②如图1，直线y＝x－2和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等．图1考点伸展我们一起来梳理一下这道题目的备用图怎么用．第一步，由y n＝－(x－a n)2＋a n，得抛物线的顶点坐标为(a n, a n)．顶点的横坐标和纵坐标相等，而且已知a n＞0，因此先画出顶点所在的射线y＝x(x＞0)．第二步，计算出y1，画抛物线y1的顶点、与x轴的右交点．第三步，计算出y2，画抛物线y2的顶点、与x轴的右交点．几何证明及通过几何计算进行说理问题例1 已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图像经过点P (0, 1)与Q (2, －3)．（1）求此二次函数的解析式；（2）若点A 是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A 作x 轴的平行线交二次函数图像于点B ，分别过点B 、A 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，且所得四边形ABCD 恰为正方形．①求正方形的ABCD 的面积；②联结P A 、PD ，PD 交AB 于点E ，求证：△P AD ∽△PEA ．思路点拨1．数形结合，用抛物线的解析式表示点A 的坐标，用点A 的坐标表示AD 、AB 的长，当四边形ABCD 是正方形时，AD ＝AB ．2．通过计算∠P AE 与∠DPO 的正切值，得到∠P AE ＝∠DPO ＝∠PDA ，从而证明△P AD ∽△PEA ．满分解答（1）将点P (0, 1)、Q (2, －3)分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得1,421 3.c b =⎧⎨-++=-⎩ 解得0,1.b c =⎧⎨=⎩ 所以该二次函数的解析式为y ＝－x 2＋1．（2）①如图1，设点A 的坐标为(x , －x 2＋1)，当四边形ABCD 恰为正方形时，AD ＝AB ． 此时y A ＝2x A ．解方程－x 2＋1＝2x ，得12x =-±． 所以点A 的横坐标为21-． 因此正方形ABCD 的面积等于2[2(21)]1282-=-．②设OP 与AB 交于点F ，那么212(21)322(21)PF OP OF =-=--=-=-．所以2(21)tan 2121PF PAE AF -∠===--．又因为tan tan 21ODPDA DPO OP∠=∠==-， 所以∠P AE ＝∠PDA ．又因为∠P 公用，所以△P AD ∽△PEA ．图1 图2考点伸展事实上，对于矩形ABCD，总有结论△P AD∽△PEA．证明如下：如图2，设点A的坐标为(x, －x2＋1)，那么PF＝OP－OF＝1－(－x2＋1)＝x2．所以2tanPF xPAE xAF x∠===．又因为tan tan ODPDA DPO xOP∠=∠==，所以∠P AE＝∠PDA．因此△P AD∽△PEA．例2 某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：（1）操作发现：在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连结MD和ME，则下列结论正确的是__________（填序号即可）．①AF＝AG＝12AB；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME．（2）数学思考：在任意△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连结MD和ME，则MD与ME有怎样的数量关系？请给出证明过程；（3）类比探究：在任意△ABC中，仍分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连结MD和ME，试判断△MDE的形状．答：_________．图1思路点拨1．本题图形中的线条错综复杂，怎样寻找数量关系和位置关系？最好的建议是按照题意把图形规范、准确地重新画一遍．2．三个中点M、F、G的作用重大，既能产生中位线，又是直角三角形斜边上的中线．3．两组中位线构成了平行四边形，由此相等的角都标注出来，还能组合出那些相等的角？满分解答（1）填写序号①②③④．（2）如图4，作DF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G．因为DF、EG分别是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE斜边上的高，所以F、G分别是AB、AC的中点．又已知M是BC的中点，所以MF、MG是△ABC的中位线．所以12MF AC=，12MG AB=，MF//AC，MG//AB．所以∠BFM＝∠BAC，∠MGC＝∠BAC．所以∠BFM＝∠MGC．所以∠DFM＝∠MGE．因为DF、EG分别是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜边上的中线，所以12EG AC=，12DF AB=．所以MF＝EG，DF＝NG．所以△DFM≌△MGE．所以DM＝ME．（3）△MDE是等腰直角三角形．图4 图5考点伸展第（2）题和第（3）题证明△DFM≌△MGE的思路是相同的，不同的是证明∠DFM＝∠MGE的过程有一些不同．如图4，如图5，∠BFM＝∠BAC＝∠MGC．如图4，∠DFM＝90°＋∠BFM，∠MGE＝90°＋∠MGC，所以∠DFM＝∠MGE．如图5，∠DFM＝90°－∠BFM，∠MGE＝90°－∠MGC，所以∠DFM＝∠MGE．。