中考压轴说理问题,8.代数计算及通过代数计算进行说理问题-教师版
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代数计算及通过代数计算进行说理问题
例1 已知二次函数y =a (x -m )2-a (x -m )(a 、m 为常数,且a ≠0).
(1)求证:不论a 与m 为何值,该函数的图像与x 轴总有两个公共点;
(2)设该函数的图像的顶点为C ,与x 轴相交于A 、B 两点,与y 轴交于点D . ①当△ABC 的面积等于1时,求a 的值
②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时,求m 的值.
思路点拨
1.第(1)题判断抛物线与x 轴有两个交点,容易想到用判别式.事实上,抛物线与x 轴的交点A 、B 的坐标分别为 (m ,0)、 (m +1,0),AB =1.
2.当△ABC 的面积等于1时,点C 到x 轴的距离为2.
3.当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时,C 、D 到x 轴的距离相等. 4.本题大量的工作是代入计算,运算比较繁琐,一定要仔细.
满分解答
(1)由y =a (x -m )2-a (x -m )=a (x -m )( x -m -1), 得抛物线与x 轴的交点坐标为A (m ,0)、B (m +1,0).
因此不论a 与m 为何值,该函数的图像与x 轴总有两个公共点.
(2)①由y =a (x -m )2-a (x -m ) 211
()24
a x m a =---, 得抛物线的顶点坐标为11
(,)24
C m a +
-. 因为AB =1,S △ABC =
11
124
AB a ⨯-=,所以a =±8. ②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时,点C 与点D 到x 轴的距离相等. 第一种情况:如图1,C 、D 重合,此时点D 的坐标可以表示为1
(0,)4
a -, 将1(0,)4D a -代入211()24y a x m a =---
,得2111
()424
a a m a -=+-. 解得1
2
m =-
.
图1
第二种情况:如图2,图3,C 、D 在x 轴两侧,此时点D 的坐标可以表示为1
(0,)4
a , 将1(0,)4D a 代入211()24y a x m a =---
,得2111
()424
a a m a =+-. 解得12
2
m -±=
.
图2 图3
考点伸展
第(1)题也可以这样说理: 由于由211()24y a x m a =---
,抛物线的顶点坐标为11
(,)24
C m a +-. 当a >0时,抛物线的开口向上,而顶点在x 轴下方,所以抛物线与x 轴由两个交点;
当a <0时,抛物线的开口向下,而顶点在x 轴上方,所以抛物线与x 轴由两个交点. 因此不论a 与m 为何值,该函数的图像与x 轴总有两个公共点. 第(1)题也可以用根的判别式Δ说理:
由y =a (x -m )2-a (x -m )=a [x 2-(2m +1)x +m 2+m ], 得2222[(21)4()]a m m m a ∆=+-+=>0.
因此不论a 与m 为何值,该函数的图像与x 轴总有两个公共点.
这种方法是同学们最容易想到的,但是这种方法的运算量很大,一定要仔细.
例 2 已知抛物线y
=-(x-a n)2+a n(n为正整数,且0<a1<a2<…<a n)与x轴的交点为A n-1(b n-1,0)和
n
A n(b n,0).当n=1时,第1条抛物线y1=-(x-a1)2+a1与x轴的交点为A0(0,0)和A1(b1,0),其他依此类推
(1)求a、b的值及抛物线y2的解析式;
(2)抛物线y3的顶点坐标为(_____,_____);
依此类推第n条抛物线y n的顶点坐标为(_____,_____)(用含n的式子表示);
所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是________________;
(3)探究下列结论:
①若用A n-1 A n表示第n条抛物线被x轴截得的线段的长,直接写出A0A1的值,并求出A n-1 A n;
②是否存在经过点A(2,0)的直线和所有抛物线都相交,且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等?若存在,直接写出直线的表达式;若不存在,请说明理由.
备用图(仅供草稿使用)
思路点拨
1.本题写在卷面的文字很少很少,可是卷外是大量的运算.
2.最大的纠结莫过于对字母意义的理解,这道题的复杂性就体现在数形结合上.
3.这个备用图怎么用?边画边算,边算边画.
满分解答
(1)将A0(0,0)代入y1=-(x-a1)2+a1,得-a12+a1=0.
所以符合题意的a1=1.
此时y1=-(x-1)2+1=-x(x-2).所以A1的坐标为(2,0),b1=2.
将A1(2,0)代入y2=-(x-a2)2+a2,得-(2-a2)2+a2=0.
所以符合题意的a2=4.
此时y2=-(x-4)2+4=-(x-2)(x-6).
(2)抛物线y3的顶点坐标为(9,9);
第n条抛物线y n的顶点坐标为(n2,n2);
所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是y=x.
(3)①如图1,A0A1=2.
由第(2)题得到,第n条抛物线y n=-(x-a n)2+a n的顶点坐标为(n2,n2).
所以y n=-(x-n2)2+n2=n2-(x-n2)2=(n-x+n2)(n+x-n2).
所以第n条抛物线与x轴的交点坐标为A n-1(n2-n,0)和A n(n2+n,0).
所以A n-1 A n=(n2+n)-(n2-n)=2n.
②如图1,直线y=x-2和所有抛物线都相交,且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等.