多项式回归分析的例子

多项式回归分析的例子

例如, 不能用变量代换的方法将其转换为可按线性模型方式分析的模型, 需要使用多项式回归分析方法, 令, , , 则模型变换为

, 即可按线性模型方式进行分析。

若回归方程是下面这样拟合的非线性方程:

, (1)

其中所有的都是自变量的已知函数而不包括任何未知参数, 若令

,

,

…………………

,

则式(1)可写成

,

从而可按多元线性回归方式进行分析处理。

多项式回归在回归问题中占特殊的地位, 因为任何函数至少在一个比较小的邻域内可用多项式任意逼近, 因此通常在比较复杂的实际问题中, 可以不问与诸因素的确切关系如何, 而用多项式回归(当然首先应试用最简单的一次多项式即线性回归)进行分析和计算。

例在某化合物的合成试验中, 为了提高产量, 选取了原料配比()、溶剂量()和反应时间()三个因素, 试验结果如表１所示, 请用多项式回归模型拟合试验数据(显著性水平等于0.05)。

表１

(

若收率()与原料配比()、溶剂量()和反应时间()三个因素之间的函数关系近似满足二次回归模型: , (其中溶剂用量对作用很小, 建模时可以不考虑), 按表２数据进行数据输入:

表２

)^2()

本软件给出的回归分析有关的结果如下(与回归分析无关的内容未列出):

指标名称: 收率单位: ?

因素１名称: 时间单位: ?

因素２名称: 时间^2 单位: ?

因素３名称: 配比×时间单位: ?

------------------- 多元回归分析 -------------------

回归分析采用全回归法, 显著性水平α＝0.05

拟建立回归方程:

ｙ = b(0) + b(1)*Ｘ(1) + b(2)*Ｘ(2) + b(3)*Ｘ(3)

回归系数 b(i):

b(0)＝ 5.79e-2

b(1)＝ 0.252

b(2)＝-6.48e-2

b(3)＝ 2.83e-2

标准回归系数 B(i):

B(1)＝ 2.62

B(2)＝-2.76

B(3)＝ 1.02

复相关系数Ｒ＝0.9838

决定系数Ｒ^2＝0.9679

修正的决定系数Ｒ^2a＝0.9518

回归方程显著性检验:

变量分析表

样本容量Ｎ＝７, 显著性水平α＝0.05, 检验值Ｆt＝30.14, 临界值Ｆ(0.05,3,3)＝9.277, Ｆt＞Ｆ(0.05,3,3), 回归方程显著。

剩余标准差ｓ＝2.63e-2

回归系数检验值:

ｔ检验值(df＝3):

ｔ(1)＝ 5.313

ｔ(2)＝-5.033

ｔ(3)＝ 4.862

Ｆ检验值(df1＝1, df2＝3):

Ｆ(1)＝ 28.22

Ｆ(2)＝ 25.33

Ｆ(3)＝ 23.64

偏回归平方和 U(i):

U(1)＝1.96e-2

U(2)＝1.76e-2

U(3)＝1.64e-2

偏相关系数ρ(i):

ρ1,23＝ 0.9507

ρ2,13＝-0.9456

ρ3,12＝ 0.9420

各方程项对回归的贡献(按偏回归平方和降序排列):

U(1)＝1.96e-2, U(1)/U＝31.2%

U(2)＝1.76e-2, U(2)/U＝28.0%

U(3)＝1.64e-2, U(3)/U＝26.1%

第３方程项[Ｘ(3)]对回归的贡献最小, 对其进行显著性检验:

检验值Ｆ(3)＝23.64, 临界值Ｆ(0.05,1,3)＝10.13,

Ｆ(3)＞Ｆ(0.05,1,3), 此方程项显著。

残差分析:

残差分析表

------------------ 回归分析结束 ------------------

以上分析的结果即是建立了的回归方程, 它在显著性水平α＝0.05上是显著的。

包含此例子的均匀设计数据文件为 MultinomialReg.udc。