行程问题相遇追及多次相遇电车
小学数学10种经典行程问题解法总结
小学数学10种经典行程问题解法总结行程问题是小学数学应用题中的基本问题，它包含了简单的相遇及追及问题、多人相遇追及问题、多次相遇追及问题、流水行船问题、环形跑道问题、钟面行程问题、火车过桥问题、猎狗追兔问题等，但万变不离其宗。
行程问题是物体匀速运动的应用题。
不论是同向运动还是相向运动，最后反映出来的基本关系式都可以归纳为：路程＝速度×时间。
要想解答行程问题，首先要弄清物体的具体运动情况，可以在纸上画出相应的运动轨迹，更方便观察思考。
以下是总结的10种经典行程问题的相关解法。
一、简单相遇及追及问题相遇问题:总路程＝(甲速+乙速)×相遇时间相遇时间＝总路程÷(甲速+乙速)甲速或乙速＝总路程÷相遇时间－乙速或甲速追及问题:距离差＝速度差×追及时间追及时间＝距离差÷速度差速度差＝距离差÷追及时间速度差＝快速－慢速相离问题:两地距离＝速度和×相离时间相离时间＝两地距离÷速度和速度和＝两地距离÷相离时间二、流水行船问题(1)船速+水速＝顺水速度(2)船速－水速＝逆水速度(3) (顺水速度+逆水速度)÷2＝船速(4) (顺水速度－逆水速度)÷2＝水速两船在水流中的相遇问题与在静水中及两车在陆地上的相遇问题一样，与水速没有关系因为:甲船顺水速度+乙船逆水速度＝(甲船速+水速) + (乙船速-水速)＝甲船速+乙船速如果两只船在水流中同向运动，一只船追上另一只船的时间，也与水速无关因为:甲船顺水/逆水速度－乙船顺水/逆水速度＝(甲船速+/-水速)－(乙船速+/-水速)＝甲船速－乙船速三、环形跑道问题从同一地点出发(1)如果是相向而行，则每走一图相遇一次(2)如果是同向而行，则每追上一图相過一次四、多人相遇追及问题基本公式:路程和＝速度和×相遇时间路程差＝速度差×追及时间例题:有甲、乙、丙三人，甲每分钟走80米，乙每分钟走60米，丙每分钟走40米，现在甲从东端，乙、丙两人从西端同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇。
奥数——行程、多次相遇和追及问题
精心整理页脚内容但只1.第2第3第N2.第2第3…………，………………；第N 次相遇，共走2N 个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。
折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出多次相遇与追及问题精心整理页脚内容全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。
如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
【例 1】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【巩固】 甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别【例 2】【巩固】【例 3】【巩固】【例 4】【巩固】.【例 5】.【巩固】【例 6】2001次相遇地点之间的距离.【巩固】 甲、乙二人以均匀的速度分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A 地7千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B 地3千米处第二次相遇，求第三次相遇时共走了多少千米.【例 7】A 、B 两地相距2400米，甲从A 地、乙从B 地同时出发，在A 、B 间往返长跑。
甲每分钟跑300米，乙每分钟跑240米，在30分钟后停止运动。
甲、乙两人在第几次相遇时A 地最近？最近距离是多少米？【巩固】 A 、B 两地相距950米。
甲、乙两人同时由A 地出发往返锻炼半小时。
甲步行，每分钟走40米；乙跑步，每分钟行150米。
则甲、乙二人第_____次迎面相遇时距B 地最近。
例题精讲......【例 8】甲、乙两车分别从A ，B 两地出发，并在A ，B 两地间不断往返行驶。
奥数——行程、多次相遇和追及问题
一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．二、多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………， ………………；第N 次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。
即甲第1次如果走了N 米，以后每次都走2N 米。
2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………， ………………；第N 次相遇，共走2N 个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键 几个全程多人相遇追及的解题关键 路程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。
折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。
如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
知识框架 多次相遇与追及问题例题精讲【例 1】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【巩固】甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？【例 2】甲、乙两车同时从A地出发，不停的往返行驶于A，B两地之间。
已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地。
问：甲车的速度是乙车的多少倍？【巩固】甲、乙二人从相距 60千米的两地同时相向而行，6时后相遇。
五年级奥数.行程-.多次相遇和追及问题
多次相遇与追及问题一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．二、多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。
即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N 米。
2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。
折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。
如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
【例 1】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【巩固】甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？【例 2】甲、乙两车同时从A地出发，不停的往返行驶于A，B两地之间。
已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地。
问：甲车的速度是乙车的多少倍？【巩固】甲、乙二人从相距 60千米的两地同时相向而行，6时后相遇。
行程问题专题
行程问题知识点归纳：反映时间、速度、距离三者之间关系的应用题一般称为行程问题。
行程问题的内容相当广泛，常见的有相遇、追及、相离、流水、火车过桥等问题。
解行程问题，关键是要寻找时间、速度、距离三者或它们的差（或和）中的不变量，然后再根据时间、速度、距离三者的关系求解。
一、相遇行程1.简单相遇：总路程=速度和×相遇时间2.二次相遇、多次相遇：第n次相遇，合走2n-1个全程二、追及行程：追及路程=速度差×追及时间三、环形行程四、火车过桥问题1.从头上桥到尾离桥，火车所走路程为：桥长+车长2.从尾上桥到头离桥（即完全在桥上），火车所走路程为：桥长-车长3.两列火车迎面错车而过，错车路程为：两车长度之和。
4.快车超过慢车，超车路程为：两车长度之和5.火车过固定物体，火车所走路程为：火车长6.火车和人相向而行，路程和为：火车长7.人和火车相向而行火车超过人，追及路程为：火车长度8.两火车齐头并进追及路程：快车车长9.两火车齐尾并进所走路程：慢车车长五、流水问题船速：指船在静水中的速度水速：水流速度顺水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速船速=（顺水速度+逆水速度）÷2水速=（顺水速度-逆水速度）÷2六、变速行程及其他行程典型例题解析例1.从A地到B地快车要6小时，慢车要8小时，如果两车同时从A、B两地相对开出，可在距中点35千米处相遇，快车行了多少千米？例2.甲乙两车相向而行，甲如果到达乙出发的地点，需要4小时，乙每小时走80公里，走了120公里时与甲相遇，问相遇时甲乙共走了多少公里？例3.在比例尺是1：1500000的地图上，量得两地距离是20厘米。
甲、乙两辆汽车同时从两地相对开出，3小时相遇。
已知甲、乙两车的速度比是2:3，甲车每小时行多少千米？例4.甲站向乙站开出一辆快车，速度是60千米/时，过了一小时后，又从甲站开出一辆慢车，速度是56千米/时，当快车到达乙站时，慢车离乙站还有80千米，甲、乙两站相距多少千米？例5.甲、乙两人同时从A地出发，与此同时丙从B地出发，出发150分钟后甲与丙相遇，之后又经过15分钟，乙与丙相遇。
多次相遇追及问题及详解
行程问题：多次相遇、追及问题1、五年级行程问题：多次相遇、追及问题------难度：中难度甲、乙两车分别从A,B两地出发,并在A,B两地间不断往返行驶;已知甲车的速度是25千米/时,乙车的速度是15千米/时,甲、乙两车第三次相遇地点与第四次相遇地点相差100千米;求A,B两地的距离分析：多次相遇问题,最好把全程分成分数去考虑甲乙的速度比是25：15=5：3,第一次相遇两车共行了一个全程,其中乙行了;第三次两车共行了5个全程,乙行了5× = 个全程,第四次相遇两车共行了7个全程,乙行了7× = 个全程,两次路程差是个全程,所以AB两地相距200千米2、六年级行程问题：多次相遇、追及问题------难度：中难度甲、乙二人分别从A﹑B两地同时相向而行,乙的速度是甲的,二人相遇后继续行进,甲到B地,乙到A地后立即返回;已知二人第二次相遇到地点距第一次相遇的地点是20千米,那么,A﹑B两地相距多少千米分析：第一次相遇,甲乙的路程和是一个全程,甲行的路程是全程的,乙行了全程的,第二次相遇,甲乙的路程和是3个全程,此时甲行了×3= 个全程,两次相遇的距离是个全程,即20千米,所以AB的距离是20÷=50千米;3、五年级行程问题：多次相遇、追及问题------难度：高难度A、B两地间有条公路,甲从A地出发,步行到B地,乙骑摩托车从B地出发,不停地往返于A、B两地之间,他们同时出发,80分钟后两人第一次相遇,100分钟后乙第一次追上甲,问：当甲到达B地时,乙追上甲几次分析：在第一次相遇与第一次追上之间,乙在100-80=20分钟内所走的路程恰等于线段FA的长度再加上线段AE的长度,即等于甲在80+100分钟内所走的路程,因此,乙的速度是甲的9倍=180÷20,则BF的长为AF的9倍,所以,甲从A到B,共需走80×1+9=800分钟,乙第一次追上甲时,所用的时间为100分钟,且与甲的路程差为一个AB全程.从第一次追上甲时开始,乙每次追上甲的路程差就是两个AB全程,因此,追及时间也变为200分钟,所以,在甲从A到B的800分钟内,乙共有4次追上甲,即在第100分钟,300分钟,500分钟和700分钟.4、五年级行程问题：多次相遇、追及问题-----难度：高难度快车与慢车分别从甲、乙两地同时开出,相向而行,经过5小时相遇;已知慢车从乙地到甲地用12.5小时,慢车到甲地停留1小时后返回,快车到乙地停留2小时后返回,那么两车从第一次相遇到第二次相遇共需多长时间分析：慢车相遇后经过12.5-5=7.5小时到甲地,13.5小时后从甲地返回;所以甲乙的速度比是7.5：5=3：2;因为两车第一次相遇时共行甲、乙两地的一个单程,第二次相遇时共行三个单程,所以若两车都不停留,则第一次相遇到第二次相遇需10小时;现在慢车停留1时,快车停留2小时,所以第一次相遇后11小时两车间的距离还需快车再行1小时;这段距离两车需行3÷3+2=0.6小时;从第一次相遇到第二次相遇共需11.6小时;5、六年级行程问题：多次相遇、追及问题------难度：高难度A、B两地间的距离是950米.甲、乙两人同时由A地出发往返锻炼.甲步行每分走40米,乙跑步每分行150米,40分后停止运动.甲、乙二人第几次迎面相遇时距B地最近,距离是多少米分析：方法一：不用比例甲40分钟行了40×40=1600米,即甲还没有返回到A地,第一次相遇,甲乙行了两个全程,行了950×2÷150+40=10分,甲距离B地950-10×40=550米,第二次相遇,乙比甲多行了2个全程,距B地950-950×2÷150-40×40≈200米,第三次相遇,甲乙共行了4个全程,距B地950-950×4÷150+40×40=150米,第四次相遇,乙比甲多行了4个全程,甲行了950×4÷159-40×40=1.8米,距B地1.8-950=431.8米;所以第三次相遇近;方法二：用比例,把全程分成19份,那么每次相遇的点占全程的积分之几就一目了然了;略。
(完整版)行程问题(相遇、追及、多次相遇、电车)
相遇追及（多次）、电车问题一、知识地图简单相遇追及匀速直线行程多次相遇追及（包括火车过桥）发车间隔问题多次相遇追及环形线路行程（包括钟表问题）⎧⎨⎩⎧⎪⎨⎪⎩变速直线行程（求平均速度）流水行船不同参照系的行程自动扶梯行程中的比例关系其他类型（正、反比例运用）相遇点变化问题二、基础知识在历年“小升初”考试和各类小学奥数竞赛试题中，“行程问题”都占有很大的比重。
同时也是小学奥数专题中的难点，“行程问题”经常作为一份试卷中的压轴难题出现，提高解决“行程问题”的能力不仅能帮助在小升初考试和各类数学竞赛中取得优异成绩，还能为今后初中阶段数学、物理学科的学习打下良好的基础。
（一）典型的相遇和追及所有行程问题是围绕“⨯路程=速度时间”这一条基本关系式的展开，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系，在这里：=⨯路程和速度和相遇时间；=⨯路程差速度差追及时间；这两组关系式中“路程和”或“路程差”实际上对应的是相遇或追及问题中的原始（初始）距离，我们可以通过图示来理解。
相遇问题追及问题（二）多次相遇追及通过图示介绍直线上的相遇和追及的规律这部分内容涉及以下几个方面：1求相遇次数2求相遇地点3由相遇地点求全程“线段示意图”和“折线示意图”是解行程问题特别是多次相遇问题的重要方法。
举个例子：假设A、B两地相距6000米，甲从A地出发在AB间往返运动，速度为6千米/小时，乙从B出发，在AB间往返运动，速度为4千米/小时。
我们可以依次求出甲、乙每次到达A点或B点的时间。
为了说明甲、乙在AB间相遇的规律，我们可以用“折线示意图”来表示。
第四次相遇第五次相遇第六次相遇第二次相遇第三次相遇第一次相遇折线示意图能将整个行程过程比较清晰的呈现出来：例如AD表示的是，甲从A地出发运动到B地的过程，其中D点对应的时间为1小时，表示甲第一次到达B点的时间为1小时，BF表示乙从B地出发到达A地的过程，F点对应的时间为1.5小时，表示乙第一次到达A 地的时间为1.5小时，AD与BF相交于C点，对应甲、乙的第一次相遇事件，同样的G点对应是甲、乙的第二次相遇事件。
行程问题(相遇、追及、多次相遇、电车)
相遇追及（多次）、电车问题一、知识地图简单相遇追及匀速直线行程多次相遇追及（包括火车过桥）发车间隔问题多次相遇追及环形线路行程（包括钟表问题）⎧⎨⎩⎧⎪⎨⎪⎩变速直线行程（求平均速度）流水行船不同参照系的行程自动扶梯行程中的比例关系其他类型（正、反比例运用）相遇点变化问题二、基础知识在历年“小升初”考试和各类小学奥数竞赛试题中，“行程问题”都占有很大的比重。
同时也是小学奥数专题中的难点，“行程问题”经常作为一份试卷中的压轴难题出现，提高解决“行程问题”的能力不仅能帮助在小升初考试和各类数学竞赛中取得优异成绩，还能为今后初中阶段数学、物理学科的学习打下良好的基础。
（一）典型的相遇和追及所有行程问题是围绕“⨯路程=速度时间”这一条基本关系式的展开，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系，在这里：=⨯路程和速度和相遇时间；=⨯路程差速度差追及时间；这两组关系式中“路程和”或“路程差”实际上对应的是相遇或追及问题中的原始（初始）距离，我们可以通过图示来理解。
相遇问题追及问题（二）多次相遇追及通过图示介绍直线上的相遇和追及的规律这部分内容涉及以下几个方面：1求相遇次数2求相遇地点3由相遇地点求全程“线段示意图”和“折线示意图”是解行程问题特别是多次相遇问题的重要方法。
举个例子：假设A、B两地相距6000米，甲从A地出发在AB间往返运动，速度为6千米/小时，乙从B出发，在AB间往返运动，速度为4千米/小时。
我们可以依次求出甲、乙每次到达A点或B点的时间。
为了说明甲、乙在AB间相遇的规律，我们可以用“折线示意图”来表示。
第四次相遇第五次相遇第六次相遇第二次相遇第三次相遇第一次相遇折线示意图能将整个行程过程比较清晰的呈现出来：例如AD表示的是，甲从A地出发运动到B地的过程，其中D点对应的时间为1小时，表示甲第一次到达B点的时间为1小时，BF表示乙从B地出发到达A地的过程，F点对应的时间为1.5小时，表示乙第一次到达A 地的时间为1.5小时，AD与BF相交于C点，对应甲、乙的第一次相遇事件，同样的G点对应是甲、乙的第二次相遇事件。
奥数——行程、多次相遇和追及问题
精心整理但只1.第2第3第N2.第2第3…………，………………；第N 次相遇，共走2N 个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。
折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出多次相遇与追及问题全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。
如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
【例 1】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【巩固】 甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别【例 2】【巩固】【例 3】【巩固】【例 4】【巩固】.【例 5】.【巩固】【例 6】2001次相遇地点之间的距离.【巩固】 甲、乙二人以均匀的速度分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A 地7千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B 地3千米处第二次相遇，求第三次相遇时共走了多少千米.【例 7】A 、B 两地相距2400米，甲从A 地、乙从B 地同时出发，在A 、B 间往返长跑。
甲每分钟跑300米，乙每分钟跑240米，在30分钟后停止运动。
甲、乙两人在第几次相遇时A 地最近？最近距离是多少米？【巩固】 A 、B 两地相距950米。
甲、乙两人同时由A 地出发往返锻炼半小时。
甲步行，每分钟走40米；乙跑步，每分钟行150米。
则甲、乙二人第_____次迎面相遇时距B 地最近。
例题精讲【例 8】甲、乙两车分别从A ，B 两地出发，并在A ，B 两地间不断往返行驶。
五年级奥数.行程-.多次相遇和追及问题
多次相遇与追及问题一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．二、多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。
即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N 米。
2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。
折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。
如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
【例 1】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【巩固】甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？【例 2】甲、乙两车同时从A地出发，不停的往返行驶于A，B两地之间。
已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地。
问：甲车的速度是乙车的多少倍？【巩固】甲、乙二人从相距 60千米的两地同时相向而行，6时后相遇。
奥数——行程、多次相遇和追及问题
之袁州冬雪创作一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．二、多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………， ………………；第N 次相遇，共走2N1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程.即甲第1次如果走了N 米，以后每次都走2N 米.2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；知识框架多次相遇与追及问题第3次相遇，共走6个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键旅程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不必基本公式处理，疾速的解法是直接画时间间隔图，再画上密密层层的交叉线，按要求数交点个数即可完成.折线示意图往往可以清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每一个物体走完一个全程时所用的时间是多少.如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来讲不容易.例题精讲【例 1】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向操练跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才干回到出发点？【巩固】甲乙两人在相距90米的直路上往返跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两头出发，10分钟内共相遇几次？【例 2】甲、乙两车同时从A地出发，不断的往返行驶于A，B两地之间.已知甲车的速度比乙车快，而且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地.问：甲车的速度是乙车的多少倍？【巩固】甲、乙二人从相距 60千米的两地同时相向而行，6时后相遇.如果二人的速度各增加1千米／时，那末相遇地点距前一次相遇地点1千米.问：甲、乙二人的速度各是多少？【例 3】如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两头点同时开端以匀速按相反的方向绕此圆形道路运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长．【巩固】A、B是圆的直径的两头，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇．已知C离A 有75米，D离B有55米，求这个圆的周长是多少米？【例 4】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目标地后又立即返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的间隔是多少千米？【巩固】甲、乙二人以平均的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后当即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的间隔.【例 5】甲、乙二人以平均的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地18千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后当即返回，在距B地13千米处第二次相遇，求AB两地之间的间隔.【巩固】甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，在距B地54千米处相遇.他们各自到达对方车站后当即返回原地，途中又在距A地42千米处相遇.求两次相遇地点的间隔.【例 6】甲、乙二人以平均的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地3千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后当即返回，在距B地2千米处第二次相遇，求第2000次相遇地点与第次相遇地点之间的间隔.【巩固】甲、乙二人以平均的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地7千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后当即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求第三次相遇时共走了多少千米.【例 7】A、B两地相距2400米，甲从A地、乙从B地同时出发，在A、B间往返长跑.甲每分钟跑300米，乙每分钟跑240米，在30分钟后停止运动.甲、乙两人在第几次相遇时A地最近？最近间隔是多少米？【巩固】A、B两地相距950米.甲、乙两人同时由A 地出发往返锻炼半小时.甲步行，每分钟走40米；乙跑步，每分钟行150米.则甲、乙二人第_____次迎面相遇时距B地最近.【例 8】甲、乙两车分别从A，B两地出发，并在A，B两地间不竭往返行驶.已知甲车的速度是 15千米／时，乙车的速度是25千米／时，甲、乙两车第三次相遇地点与第四次相遇地点相差100千米.求A，B两地的间隔.【巩固】欢欢和乐乐在操场上的A、B两点之间操练往返跑，欢欢的速度是每秒8米，乐乐的速度是每秒5米.两人同时从A点出发，到达B点后返回，已知他们第二次迎面相遇的地点间隔AB 的中点5米，AB之间的间隔是________.【例 9】甲、乙二人停止游泳追逐赛，规定两人分别从游泳池50米泳道的两头同时开端游，直到一方追上另外一方为止，追上者为胜.已知甲、乙的速度分别为 1.0米／秒和0.8米／秒.问：（1）比赛开端后多长时间甲追上乙？（2）甲追上乙时两人共迎面相遇了几次？【巩固】小明和小红两人在长100米的直线跑道上往返跑步，做体能训练，小明的速度为6米/秒，小红的速度为4米/秒．他们同时从跑道两头出发，持续跑了12分钟．在这段时间内，他们迎面相遇了多少次？【例 10】天天中午有一条汽船从哈佛开往纽约，且天天同一时刻也有一艘汽船从纽约开往哈佛．汽船在途中均要航行七天七夜．试问：某条从哈佛开出的汽船在到达纽约前（途中）能遇上几艘从纽约开来的汽船？【巩固】一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟．有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站．他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站．在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车．到达甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出．问他从乙站到甲站用了多少分钟？讲堂检测【随练1】如右图，A，B是圆的直径的两头，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇.已知C离A有80米，D离B有60米，求这个圆的周长.【随练2】甲、乙二人以平均的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地7千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后当即返回，在距B地5千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的间隔.【随练3】A、B两地间有条公路，甲从A地出发，步行到B地，乙骑摩托车从B地出发，不断地往返于A、B两地之间，他们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100分钟后乙第一次追上甲，问：当甲到达B地时，乙追上甲几次？【随练4】甲、乙两人在一条长为30米的直路上往返跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6米．如果他们同时分别从直路的两头出发，当他们跑了10分钟后，共相遇几次？家庭作业【作业1】甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒钟甲比乙多走0.1米，那末两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短旅程是多少米?【作业2】上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸当即回家，到家后又立即回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？【作业3】甲、乙二人以平均的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地6千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后当即返回，在距B地4千米处第二次相遇，求两人第5次相遇地点距B 多远.【作业4】湖中有A，B两岛，甲、乙二人都要在两岛间游一个往返.两人分别从A，B两岛同时出发，他们第一次相遇时距A岛700米，第二次相遇时距B岛400米.问：两岛相距多远？【作业5】在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，6分后两人相遇，再过4分甲到达B点，又过8分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？【作业6】A、B两地位于同一条河上，B地在A地下游100千米处．甲船从A地、乙船从B地同时出发，相向而行，甲船到达B地、乙船到达A地后，都当即按原去道路返航．水速为2米/秒，且两船在静水中的速度相同．如果两船两次相遇的地点相距20千米，那末两船在静水中的速度是米/秒．讲授反馈学生对本次课的评价○特别称心○称心○一般家长意见及建议家长签字：。
奥数——行程、多次相遇和追及问题
奥数——行程、多次相遇和追及问题一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=?路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．二、多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………，………………；第N 次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。
即甲第1次如果走了N 米，以后每次都走2N 米。
2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………，………………；第N 次相遇，共走2N 个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求知识框架多次相遇与追及问题数交点个数即可完成。
折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。
如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
【例1】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【巩固】甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？【例2】甲、乙两车同时从A 地出发，不停的往返行驶于A ，B 两地之间。
已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C 地。
问：甲车的速度是乙车的多少倍？例题精讲【巩固】甲、乙二人从相距60千米的两地同时相向而行，6时后相遇。
多次相遇、追及问题及详解
行程问题：多次相遇、追及问题1、五年级行程问题：多次相遇、追及问题------难度：中难度甲、乙两车分别从A，B两地出发，并在A，B两地间不断往返行驶。
已知甲车的速度是25千米/时，乙车的速度是15千米/时，甲、乙两车第三次相遇地点与第四次相遇地点相差100千米。
求A，B两地的距离？【分析】：多次相遇问题，最好把全程分成分数去考虑甲乙的速度比是25：15=5：3，第一次相遇两车共行了一个全程，其中乙行了。
第三次两车共行了5个全程，乙行了5×= 个全程，第四次相遇两车共行了7个全程，乙行了7×= 个全程，两次路程差是个全程，所以AB两地相距200千米2、六年级行程问题：多次相遇、追及问题------难度：中难度甲、乙二人分别从A﹑B两地同时相向而行，乙的速度是甲的，二人相遇后继续行进，甲到B地，乙到A地后立即返回。
已知二人第二次相遇到地点距第一次相遇的地点是20千米，那么，A﹑B两地相距多少千米？【分析】：第一次相遇，甲乙的路程和是一个全程，甲行的路程是全程的，乙行了全程的，第二次相遇，甲乙的路程和是3个全程，此时甲行了×3= 个全程，两次相遇的距离是个全程，即20千米，所以AB的距离是20÷=50千米。
3、五年级行程问题：多次相遇、追及问题------难度：高难度A、B两地间有条公路，甲从A地出发，步行到B地，乙骑摩托车从B地出发，不停地往返于A、B两地之间，他们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100分钟后乙第一次追上甲，问：当甲到达B地时，乙追上甲几次？【分析】：在第一次相遇与第一次追上之间，乙在100-80=20（分钟）内所走的路程恰等于线段FA的长度再加上线段AE的长度，即等于甲在（80+100）分钟内所走的路程，因此，乙的速度是甲的9倍（=180÷20），则BF的长为AF的9倍，所以，甲从A到B，共需走80×（1+9）=800（分钟），乙第一次追上甲时，所用的时间为100分钟，且与甲的路程差为一个AB全程.从第一次追上甲时开始，乙每次追上甲的路程差就是两个AB全程，因此，追及时间也变为200分钟，所以，在甲从A 到B的800分钟内，乙共有4次追上甲，即在第100分钟，300分钟，500分钟和700分钟.4、五年级行程问题：多次相遇、追及问题-----难度：高难度快车与慢车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行，经过5小时相遇。
小学数学行程问题之多人多次相遇和追及问题含答案
多次相遇和追及问题知识框架一、多人相遇追及问题多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。
所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化．由此还可以得到如下两条关系式：路程和速度和相遇时间；=⨯路程差速度差追及时间；=⨯多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．二、多次相遇追及问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。
即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N 米。
2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。
折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。
如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
例题精讲【例 1】A 、B 两地相距203米，甲、乙、丙的速度分别是4米/分、6米/分、5米/分。
如果甲、乙从A ，丙从B 地同时出发相向而行，那么，在__________分钟或________分钟后，丙与乙的距离是丙与甲的距离的2倍。
奥数——行程、多次相遇和追及问题
一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．二、多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………， ………………；第N 次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。
即甲第1次如果走了N 米，以后每次都走2N 米。
2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………， ………………；第N 次相遇，共走2N 个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键 几个全程多人相遇追及的解题关键 路程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。
折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。
如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
【例 1】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙例题精讲知识框架 多次相遇与追及问题每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【巩固】甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？【例 2】甲、乙两车同时从A地出发，不停的往返行驶于A，B两地之间。
已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地。
问：甲车的速度是乙车的多少倍？【巩固】甲、乙二人从相距 60千米的两地同时相向而行，6时后相遇。
行程问题之多次相遇与追及问题 非常完整版题型训练+答案解析
行程问题之多次相遇与追及问题非常完整版题型训练+答案解析本文介绍了行程体系中多次相遇和追及的问题。
其中，对于两地相向出发的情况，第N次相遇共走2N-1个全程；对于同地同向出发的情况，第N次相遇共走2N个全程。
在多人多次相遇追及的解题过程中，需要注意路程差和几个全程的关键。
例1中，甲、乙两车分别从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇，第二次在离B地25千米处相遇。
根据题意可知，A、B两地间的距离为260千米。
例2中，甲和乙两人在一圆形场地上按相反的方向绕圆形路线运动，第一次相遇时甲乙共走完0.5圈的路程，第二次相遇时甲乙共走完1.5圈的路程。
根据题意可得，此圆形场地的周长为480米。
例3中，甲、乙两人从环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后第五次相遇。
已知甲比乙每秒钟多走0.1米，求第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程。
根据题意可得，第五次相遇时共合走5个全程，相遇点与点A沿跑道上的最短路程为2000米。
甲和乙的速度分别为250米/分和122米/分，他们在周长为300米的圆形跑道上背向而行。
甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米。
他们第十次相遇时，甲还需跑100米才能回到出发点。
___和爸爸在上午8点8分开始在家门口的100米直线跑道上跑步。
___的速度为6米/秒，爸爸的速度为4米/秒。
爸爸在8分钟后追上___，然后回家，再次追上___时离家12千米，此时是8点32分。
___和___在长100米的直线跑道上来回跑步，___的速度为6米/秒，___的速度为4米/秒。
他们同时从跑道两端出发，连续跑了12分钟。
在这段时间内，他们迎面相遇了5次。
甲、乙两人从A、B两地同时出发，相向而行。
已知乙的速度是甲的速度的2倍。
解答：由于甲、乙的速度比是1:2，所以在相同的时间内，两人所走的路程之比也是1:2.第一次相遇时，两人共走完了AB的长度，可以把AB的长度看作3份，甲、乙各走了1份和2份。
第100次相遇时，甲、乙共走了199个AB，甲走了1×199=199份。
奥数——行程、多次相遇和追及问题
之杨若古兰创作一、由简单行程成绩拓展出的多次相遇成绩所有行程成绩都是环绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式睁开的，多人相遇与追及成绩虽然较复杂，但只需捉住这个公式，慢慢表征题目中所涉及的数量，成绩即可水到渠成．二、多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………， ………………；第N 次相遇，共走2N1个全程；留意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程.即甲第1次如果走了N 米，当前每次都走2N 米.2. 同地同向出发：常识框架多次相遇与追及成绩第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………，………………；第N次相遇，共走2N个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差三、解多次相遇成绩的工具——柳卡柳卡图，不必基本公式解决，快速的解法是直接画时间距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按请求数交点个数即可完成.折线示意图常常能够清晰的体现活动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，和“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法普通须要我们晓得每个物体走完一个全程时所用的时间是多少.如果不画图，单凭想象似乎对于像我如许的普通人儿来说不容易.例题精讲【例 1】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才干回到出发点？【巩固】甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？【例 2】甲、乙两车同时从A地出发，不断的来回行驶于A，B两地之间.已知甲车的速度比乙车快，而且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地.问：甲车的速度是乙车的多少倍？【巩固】甲、乙二人从相距 60千米的两地同时相向而行，6时后相遇.如果二人的速度各添加1千米／时，那么相遇地点距前一次相遇地点1千米.问：甲、乙二人的速度各是多少？【例 3】如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线活动，当乙走了100米当前，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长．【巩固】A、B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇．已知C 离A有75米，D离B有55米，求这个圆的周长是多少米？【例 4】甲、乙两车分别同时从A、B两地绝对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离是多少千米？【巩固】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.【例 5】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地18千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地13千米处第二次相遇，求AB两地之间的距离.【巩固】甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，在距B地54千米处相遇.他们各自到达对方车站后立即返回原地，途中又在距A地42千米处相遇.求两次相遇地点的距离.【例 6】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地3千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地2千米处第二次相遇，求第2000次相遇地点与第次相遇地点之间的距离.【巩固】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地7千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求第三次相遇时共走了多少千米.【例 7】A、B两地相距2400米，甲从A地、乙从B地同时出发，在A、B间来回短跑.甲每分钟跑300米，乙每分钟跑240米，在30分钟后停止活动.甲、乙两人在第几次相遇时A地比来？比来距离是多少米？【巩固】A、B两地相距950米.甲、乙两人同时由A 地出发来回锻炼半小时.甲步行，每分钟走40米；乙跑步，每分钟行150米.则甲、乙二人第_____次迎面相遇时距B地比来.【例 8】甲、乙两车分别从A，B两地出发，并在A，B两地间不竭来回行驶.已知甲车的速度是15千米／时，乙车的速度是25千米／时，甲、乙两车第三次相遇地点与第四次相遇地点相差100千米.求A，B两地的距离.【巩固】欢欢和乐乐在操场上的A、B两点之间练习来回跑，欢欢的速度是每秒8米，乐乐的速度是每秒5米.两人同时从A点出发，到达B点后返回，已知他们第二次迎面相遇的地点距离AB的中点5米，AB之间的距离是________.【例 9】甲、乙二人进行泅水追逐赛，规定两人分别从泅水池50米泳道的两端同时开始游，直到一方追上另一方为止，追上者为胜.已知甲、乙的速度分别为1.0米／秒和0.8米／秒.问：（1）角逐开始后多长时间甲追上乙？（2）甲追上乙时两人共迎面相遇了几次？【巩固】小明和小红两人在长100米的直线跑道上来回跑步，做体能练习，小明的速度为6米/秒，小红的速度为4米/秒．他们同时从跑道两端出发，连续跑了12分钟．在这段时间内，他们迎面相遇了多少次？【例 10】每天半夜有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛．轮船在途中均要航行七天七夜．试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途中）能赶上几艘从纽约开来的轮船？【巩固】一条电车线路的起点站和起点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟．有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站．他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站．在路上他又碰到了10辆迎面开来的电车．到达甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出．问他从乙站到甲站用了多少分钟？课堂检测【随练1】如右图，A，B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇.已知C离A有80米，D离B有60米，求这个圆的周长.【随练2】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地7千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地5千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.【随练3】A、B两地间有条公路，甲从A地出发，步行到B地，乙骑摩托车从B地出发，不断地来回于A、B两地之间，他们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100分钟后乙第一次追上甲，问：当甲到达B地时，乙追上甲几次？【随练4】甲、乙两人在一条长为30米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6米．如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇几次？家庭功课【作业1】甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒钟甲比乙多走0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是多少米?【作业2】上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时候是几点几分？【作业3】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地6千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地4千米处第二次相遇，求两人第5次相遇地点距B 多远.【作业4】湖中有A，B两岛，甲、乙二人都要在两岛间游一个来回.两人分别从A，B两岛同时出发，他们第一次相遇时距A岛700米，第二次相遇时距B岛400米.问：两岛相距多远？【作业5】在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，6分后两人相遇，再过4分甲到达B点，又过8分两人再次相遇.甲、乙环行一周各须要多少分？【作业6】A、B两地位于同一条河上，B地在A地下流100千米处．甲船从A地、乙船从B地同时出发，相向而行，甲船到达B地、乙船到达A地后，都立即按本来路线返航．水速为2米/秒，且两船在静水中的速度不异．如果两船两次相遇的地点相距20千米，那么两船在静水中的速度是米/秒．教学反馈先生对本次课的评价○特别满意○满意○普通家长定见及建议家长签字：。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
相遇追及（多次）、电车问题一、知识地图简单相遇追及匀速直线行程多次相遇追及（包括火车过桥）发车间隔问题多次相遇追及环形线路行程（包括钟表问题）二、基础知识在历年“小升初”考试和各类小学奥数竞赛试题中，“行程问题”都占有很大的比重。
同时也是小学奥数专题中的难点，“行程问题”经常作为一份试卷中的压轴难题出现，提高解决“行程问题”的能力不仅能帮助在小升初考试和各类数学竞赛中取得优异成绩，还能为今后初中阶段数学、物理学科的学习打下良好的基础。
（一）典型的相遇和追及路程=速度时间”这一条基本关系式的展开，比如我们遇到所有行程问题是围绕“⨯的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系，在这里：路程和速度和相遇时间；=⨯路程差速度差追及时间；=⨯这两组关系式中“路程和”或“路程差”实际上对应的是相遇或追及问题中的原始（初始）距离，我们可以通过图示来理解。
（二）多次相遇追及通过图示介绍直线上的相遇和追及的规律这部分内容涉及以下几个方面：1求相遇次数2求相遇地点3由相遇地点求全程“线段示意图”和“折线示意图”是解行程问题特别是多次相遇问题的重要方法。
举个例子：假设A、B两地相距6000米，甲从A地出发在AB间往返运动，速度为6千米/小时，乙从B出发，在AB间往返运动，速度为4千米/小时。
我们可以依次求出甲、乙每次到达A点或B点的时间。
为了说明甲、乙在AB间相遇的规律，我们可以用“折线示意图”来表示。
折线示意图能将整个行程过程比较清晰的呈现出来：例如AD表示的是，甲从A地出发运动到B地的过程，其中D点对应的时间为1小时，表示甲第一次到达B点的时间为1小时，BF表示乙从B地出发到达A地的过程，F点对应的时间为1.5小时，表示乙第一次到达A 地的时间为1.5小时，AD与BF相交于C点，对应甲、乙的第一次相遇事件，同样的G点对应是甲、乙的第二次相遇事件。
折线图只能直观的表示出相遇的次数和大致时间和地点，具体的时间和地点还必须通过相遇和追及问题的公式进行计算。
通过计算，我们能得出：甲、乙第一次相遇的时间为6÷（6+4）=0.6（小时），即36分钟。
相遇点距离B地0.6×4=2.4（千米），从第一次相遇到第二次相遇，甲、乙行程的路程总和等于两个AB长，所以两次相遇的时间间隔为72分钟。
第二次相遇发生的时间为108分钟。
事实上，我们从折线示意图就能看出来，任意两次相邻的相遇事件的时间间隔都是72分钟，而每72分钟，甲乙两人运动的总路程都等于2个AB长，所以我们能得到如下推论：如果甲、乙是从线段两端出发，那么相邻的两次相遇事件的时间间隔都相等，并且第n 次相遇时，他俩行走路程和相当于（2n-1）个线段总长。
同样的相邻两次的追及事件（速度快的追上速度慢的）发生的时间间隔都相等。
第n次追及时，他俩行走路程差相当于（2n-1）个线段总长。
注意：如果甲、乙在线段的端点碰面，既可以算作相遇事件也可以算作追及事件，例如例子当中的E点，既是甲、乙的第三次相遇，也是甲第一次从后面追上乙。
（三）发车间隔问题有关公共汽车与行人的问题，主要涉及到这几个量：行人速度、汽车速度、前后相邻汽车间距、汽车发车时间间隔、相遇（追及）事件时间间隔。
这些貌似不相关的数量之间隐含着很多数量关系：1.我们首先分析一下公共汽车的发车过程：从一辆汽车发车到下一辆汽车发车，经过一个“汽车发车时间间隔”，所以当下一辆车发车的时候，前一辆车已经开走了“一个汽车发车时间间隔”的时间，这个时间内前一辆车共行驶了“一个汽车发车时间间隔”乘以“汽车速度”，之后两辆车之间的距离保持不变，即距离保持为“相邻汽车间距”，所以我们得到第一条公式：2.与公共汽车发车过程类似的，如果行人和汽车相向（反向）行驶，那么从行人遇到第一辆车到遇到第二辆车的过程可以看作一个相遇问题，所以有如下数量关系：同样的如果行人和汽车同向行驶，则有关系式：三、经典透析【例1】甲、乙、丙三人每分钟分别行60米、50米和40米，甲从B地、乙和丙从A地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后15分又遇到丙。
求A，B两地的距离。
[审题要点]从已知条件中唯一的时间量入手，明确甲、乙、丙之间的距离变化关系，逐步求解。
[详解过程]甲遇到乙后15分钟，甲遇到了丙，所以遇到乙的时候，甲和丙之间的距离为：（60＋40）×15＝1500（米），而乙丙之间拉开这么大的距离一共要1500÷（50-40）=150（分），即从三人出发到甲与乙相遇一共经过了150分钟，所以A、B之间的距离为：（60+50）×150＝16500（米）。
[点评]此题实质上有着三个行程基本问题：两个相遇问题：甲和乙相遇，甲和丙相遇；一个追及问题：丙和乙的追及问题。
而且这三个问题之间有着相互的联系，甲和丙的相遇路程就是丙和乙的追及路程，丙和乙的追及时间就是甲和乙的相遇时间。
利用这些关系层层推进即可解出答案。
【例2】甲、乙、丙三车同时从A地沿同一公路开往B地，途中有个骑摩托车的人也在同方向行进，这三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑摩托车人。
已知甲车每分钟行1000米，丙车每分钟行800米，求乙车的速度是多少？[审题要点]摩托车在各时间点行驶的位置是甲、乙、丙三车行驶距离的度量，所以本题的关键是求出摩托车的速度。
[详解过程]甲与丙行驶7分钟的距离差为：（1000－800）×7＝1400（米），也就是说当甲追上骑摩托车人的时候，丙离骑摩托车人还有1400米，丙用了14-7=7（分）追上了这1400米，所以丙车和骑摩托车人的速度差为：1400÷（14－7）＝200（米／分），骑摩托车人的速度为：800－200＝600（米／分），三辆车与骑摩托车人的初始距离为：（1000－600）×7＝2800（米），乙车追上这2800米一共用了8分钟，所以乙车的速度为：2800÷8＋600＝950（米／分）。
[点评]从整体考虑，7分钟的时候摩托车与甲车在同一位置即7×1000=7000（米），14分钟的时候摩托车与丙车在同一位置即14×800=11200（米），所以所以摩托车在7-14分这7分钟内一共行驶了11200-7000=4200（米），所以摩托车的速度为4200÷7=600（米/秒），摩托车在8分钟时的位置为7000+600=7600（米），所以乙车的速度为7600÷8=950（米/分），这种解法比较类似于牛吃草问题。
【例3】铁路旁一条小路，一列长为110米的火车以每小时30千米的速度向南驶去，8点时追上向南行走的一名军人，15秒后离他而去，8点6分迎面遇到一个向北行走的农民，12秒后离开这个农民，问：军人与农民何时相遇？[审题要点]涉及火车的行程问题中，火车的长度当然不能忽略，解题关键是找出15秒（12秒）内，火车行驶和人步行与火车车长之间的数量关系。
[详解过程]分析：火车速度为30×1000÷60=500（米/分）。
要求军人与农民的速度必须先知道知道军人和农民的速度。
由题目条件，从军人被火车头追上到车尾离他而去，一共有15秒，这十五秒可以看作车尾追及军人的时间，所以根据追及公式，火车速度减去军人速度等于110÷（15÷60）=440（米/分），所以军人的速度为500-440==60（米/分），即60米/分，同样的我们还可以求出农民的速度：110÷（12÷60）-500=50（米/分），即50米/分，8点06火车与农民相遇，所以8点时火车头与农民的距离为：（500+50）×6=3300（米），这么长一段路，军人与农民相遇需要3300÷（60+50）=30（分）。
此时的时间为8点30分。
[点评]1、此题中有着三个基本问题。
火车追及军人，火车农民相遇，军人和农民相遇，找到三者之间的关系就是解决题目的关键。
2、解决行程问题的关键是三步：a：正确画出示意图；b：把复杂的行程问题分解为每一个基本的相遇或追及问题；c：找到这些相遇或追及问题之间的数量关系，包括路程关系，时间关系与速度关系。
【例4】一辆卡车和一辆摩托车同时从A、B两地相对开出，两车在途中距A地60千米处第一次相遇，然后两车继续前进，卡车到达B地，摩托车到达A地后都立即返回，两车又在途中距B地30千米处第二次相遇。
A、B两地之间的距离是多少千米？[审题要点]结合两次相遇的时间规律，找出两个相遇点位置和A、B两地距离的关系。
[详解过程]根据题目中所给的条件，可以画出整个行程过程的线段示意图：由示意图看出卡车从A地出发后行驶了60千米时与摩托车相遇，此时卡车和摩托车共同行驶的路程和相当于一个AB距离。
而卡车和摩托车第二次相遇的时候，卡车和摩托车共同行驶的路程和相当于三个AB距离。
所以如果卡车、摩托车从出发到第一次相遇时所用时间为t的话，那么卡车、摩托车从出发到第二次相遇时所用时间为3t，因此第二次相遇时卡车行驶的距离为：60×3=180（千米）。
这180千米等于AB的全程再加上B地到第二个相遇点的距离30千米，所以AB的距离为：180-30=150（千米）。
[点评]本题是甘肃省第十四届小学生数学冬令营原题，类似的题目在很多杯赛中出现过。
题目中使用了比例的知识，题目并没有直接求出卡车和摩托车的速度和时间，但使用了两次的比例转换：首先是利用总路程的三倍关系得出时间的三倍关系，然后利用时间的三倍关系得出卡车的路程三倍关系。
【例5】如下图所示，某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形。
甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发。
如果甲每分走90米，乙每分走70米，那么经过多少时间甲才能看到乙？[审题要点]当甲看到乙的时候，甲和乙在同一条边上，甲乙两人之间的距离最多有300米长。
[详解过程]当甲、乙之间的距离等于300米时，即甲追上乙一条边（300米）需300÷（90－70）＝15（分），此时甲走了90×15÷300＝4.5（条）边，所以甲、乙不在同一条边上，甲看不到乙。
但是甲只要再走0.5条边就可以看到乙了，即甲从出发走5条边后可看到乙，共需2300590163⨯÷=（分），即16分40秒。
[点评]解决此类相遇问题或追及问题时，一般是先利用一般的基本问题公式求出答案，但是此时要加入一个判断的过程，不符合要求就在此基础上往后推或往前推，直至得出符合要求的答案。
如果题目要求从甲第一次看到乙到乙从甲视线中消失一共经历多少分钟，应该怎么做呢？分析：只要甲没有超过乙，乙只要转过一个拐角，甲就看不到乙了，甲第一次看到乙是2 163分，乙走了287016300339⨯÷=条边，乙再走19条边，甲便看不到乙了（这里最好检验一下甲到底走到了哪里），所以甲看到乙的时间一共只有11030070921⨯÷=（分）。