静电场的环路定理

定义电势差 定义电势差 ua − ub 电场中任意两点 的 电势之差（电压） 电势之差（电压） ∞ r r ∞r r b r r uab = ua − ub = ∫ E • dl − ∫ E • dl = ∫ E • dl
a b
a
a、b两点的电势差等于将单位正电荷从 点移 两点的电势差等于将单位正电荷从a点移 两点的电势差等于将单位正电荷从 到b时，电场力所做的功。 时 电场力所做的功。
r r uP = ∫ E • dl
P
∞
♠由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算 由点电荷电势公式，
求电偶极子电场中任一点P的电势 例1 、求电偶极子电场中任一点 的电势
Y
由叠加原理
q(r2 − r1) uP = u1 + u2 = − = 4πε0r1 4πε0r2 4πε0r1r2 q q
•
P( x, y)
r r r r 推广 A = q ( E + E +L + E )• dl ∫ 0 1 2 L n ab
b a
b r r r r b r r L = ∫ q0E1 • dl + ∫ q0E2 • dl +L ∫ q0En • dl a a a b
q0qi 1 1 L ( − ) = A + A2 +L + An = ∑ 1 πε ia rib i 4 0 r
方法二
定义法
∞ P
q 4 0r2 πε
由高斯定理求出场强分布 E =
r>R r<R
r r 由定义 u = ∫ E • dl
r<R R r r ∞r r u = ∫ E • dl + ∫ E • dl
r R
0
r>R
R
dθ
O
∞
θ
l
P
= 0+ ∫
∞
q
4 0r πε R q = 4 0R πε
dr 2
u= ∫
取 W =0 ∞
注意
r r W = A ∞ = ∫ q0E • dl a a
a
∞
a
r Wa属于 0及 E 属于q 系统
四、电势 电势差
r r W 定义电势 定义电势 ua = a = ∫ E • dl q0 a
单位正电荷在该点 所具有的电势能
∞
r r W = ∫ q0E • dl a
a
∞
单位正电荷从该点到无穷远 电势零)电场力所作的功 点(电势零 电场力所作的功 电势零
∞ r r r r r r = ∫ E1 • dl +∫ E2 • dl + .......+ ∫ En • dl
P ∞ P ∞
r r r r 场强 E = E1 + E2 + .......+ En
∞
= u1 + u2 + ......+ un = ∑ui
i =1
P
P
n
P
各点电荷单独存在时在该点电势的代数和 各点电荷单独存在时在该点电势的代数和
(与路径无关 与路径无关) 与路径无关
结论 试验电荷在任何静电场中移动时， 试验电荷在任何静电场中移动时，静电场力所做 的功只与路径的起点和终点位置有关，而与路径无关。 的功只与路径的起点和终点位置有关，而与路径无关。
二、静电场的环路定理 q0沿闭合路径 acbda 一周电场力所作的功 r r r r r r c A = ∫ q0E • dl = ∫ q0E • dl + ∫ q0E • dl
①求
uo
q1
q2
O
u =4
4πε0r
q1
= 28.8×102V
q4
r
q3
−9 ②将 q0 = 1.0×10 c 从
∞
0 电场力所作的功
A 0 = q0 (u∞ − u0 ) = q0 (0 − 28.8×102 ) = −28.8×10−7 J ∞
③求该过程中电势能的改变
A 0 = W −W = −28.8×10 < 0 0 ∞ ∞
五、电势的计算
1、点电荷电场中的电势 r 如图 P点的场强为 E = 点的场强为
q
4πε0r ∞ r r ∞ 由电势定义得 uP = ∫ E • dl = ∫
P r
r q• r 2 0
r r0
•P
r
2
q 4 0r πε
dr =
q 4 0r πε
讨论 大小
q > 0 u > 0 r ↑ u ↓ r →∞ u最小 q < 0 u < 0 r ↑ u ↑ r →∞ u最大
将电荷q从 → 电场力的功 将电荷 从a→b电场力的功
r r A =W −W = q0 ∫ E • dl = q0(ua − ub ) ab a b
a
b
注意 1、电势是相对量，电势零点的选择是任意的。 1、电势是相对量，电势零点的选择是任意的。 2、两点间的电势差与电势零点选择无关。 、两点间的电势差与电势零点选择无关。 3、电势零点的选择。 、电势零点的选择。
例3、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知 ，q 、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R 微元法) 微元法 解: 方法一 叠加法 (微元法
dq = σdS = σ 2πR2 sinθdθ π 任一圆环 dS = 2 RsinθRdθ
dq 1 σ 2πR sinθdθ du = = 4πε0l 4πε0 l
静电场的两个基本性质： 静电场的两个基本性质：有源且处处无旋
三、电势能 保守力的功=相应势能的减少 保守力的功 相应势能的减少 所以 静电力的功=静电势能增量的负值 静电力的功 静电势能增量的负值 a点电势能 点电势能 试验电荷q0 处于 b点电势能 点电势能
b
b
W a
W b
a
r r 则a→b电场力的功 A = q0 ∫ E • dl =W −W → 电场力的功 ab a b
2
R
dθ
qsin qsinθdθ = 8 0l πε
O
θ
l
r
r>R
r +R
P
由图 l = R + r − 2Rr cosθ
2 2 2
2ldl = 2rRsinθdθ
qdl du = 8 0rR πε
qdl q u= ∫ = 8 0rR 4 0r πε πε r −R r<R R+r qdl q u= ∫ = 8 0rR 4 0R πε πε R−r
点电荷系的电势 由电势叠加原理， 的电势为 由电势叠加原理，P的电势为
q2 • r 1
q1 •
r 2
• qn
P
u = ∑ui = ∑ 4 0ri πε
连续带电体的电势 由电势叠加原理
qi
rn
dq
u = ∫ du = ∫
dq 4 0r πε
r
•P
电势计算的两种方法： 电势计算的两种方法： 方法
♠根据已知的场强分布，按定义计算 根据已知的场强分布，
r2
θ
O
Qr >> l r2 − r1 ≈ l cosθ r1r2 ≈ r
q l cosθ ∴u = πε 4 0 r2
其中
2
−q
r r 1
+q
X
l
u= 1 4πε0 px ( x2 + y )
3 2 2
r2 = x2 + y2
cosθ = x x2 + பைடு நூலகம்2
−9 课堂练习： 课堂练习：已知正方形顶点有四个等量的电点荷 4.0×10 C r=5cm
r
q 4πε0r
2
dr
r
=
q 4 0r πε
课堂练习 ：1.求等量异号的同心带电球面的电势差 求等量异号的同心带电球面的电势差 已知+q 已知 、-q、RA 、RB 、 解: 由高斯定理
−q +q
RA
0
E=
r < RA r > RB
2
•
R B
q 4 0r πε
RA < r < RB
由电势差定义
r r RB uAB = uA − uB = ∫ E • dl = ∫
为球心的同一球面上的点电势相等 对称性 以q为球心的同一球面上的点电势相等
2、电势叠加原理 、 若场源为q ……q 若场源为 1 、q2 …… n的点电荷系 根据电场叠加原理场中任一点的
r r r ∞ r r r 电势 u = ∫ E • dl = ∫ (E1 + E2 +L+ En ) • dl
静电场的环路定理 一．电场力做功
与路径无关 保守力
r r r r dA= F •dl = q0E•dl = q0Ecosθdl
其中 则
b
b
rb
dr
cosθdl = dr
dA = q0Edr
r + dr
c′r
dl
∴A = ∫ q0Edr
a rb
q•
ra
r
a
c
r E
θ
qq0 1 1 dr = ( − ) = ∫ qo 2 4πε0 ra rb 4πε0r ra q
−7
电势能
Y
例2、求均匀带电圆环轴线 、 上的电势分布。已知： 、 上的电势分布。已知：R、q 解:方法一 微元法 方法一
dl +
R +
+
+
+ + + +
r
x
• P
du =
dq 4 0r πε
O
+
X
方法二 定义法 Z λdl 由电场强度的分布 = 4 0r πε qx E= 2πR 3 λdl 2πRλ 2 2 2 4πε0( x + R ) uP = ∫ du = ∫ = 4πε0r 4πε0r ∞ ∞ 0 qxdx u = ∫ Edx = ∫ 3 q 2 2 2 xp xp 4 πε0( x + R ) = 4 0 R2 + x2 πε
B A
1 1 dr = ( − ) 2 4πε0r 4πε0 RA RB RA
q
q
2.如图已知 、-q、R 如图已知+q 如图已知 、 移至c ①求单位正电荷沿odc 移至 ，电场力所作的功 求单位正电荷沿
d q −q A = uo − uc = 0−( ) + oc 4πε0 3R 4πε0R a b c q 0 +q −q = 6 0R πε R R R
② 将单位负电荷由 ∞ O电场力所作的功
A O = u∞ − uo = 0 ∞
b
r r r r = ∫ q0E • dl − ∫ q0E • dl = 0
acb adb
acb
bda
a
d
即静电场力移动电荷沿任一闭和路径所作的功为零。 即静电场力移动电荷沿任一闭和路径所作的功为零。
Qq0 ≠ 0
r r ∴ ∫ E•dl = 0
——静电场的环路定理 静电场的环路定理 静电场的
在静电场中，电场强度的环流恒为零。 在静电场中，电场强度的环流恒为零。