2015年高考数学(文)一轮课件：8-2直接证明与间接证明

的一般步骤，熟悉三种方法适用于解决问题的类型；(2)加强训 练，总结、体会解题中的一些技巧，灵活应用三种方法证明一些 实际问题．
教材回归 自主学习
必考必记 夯基固本
1．直接证明 内容 综合法 分析法
利用已知条件和某些数 从要证明的□ 3 ____出发，逐步寻 学定义、公理、定理 4 ______，直至最 求使它成立的□ 1 定义 等，经过一系列的□ 后，把要证明的结论归结为判定 ____，最后推导出所要 一个明显成立的条件(已知条件、 2 ______ 证明的结论□ 定理、定义、公理等)为止
A．分析法 C．综合法、分析法综合使用
解析：因为证明过程是“从左往右”，即由条件⇒结论．
答案：B
4．用反证法证明命题“如果 a＞b，那么 a＞ b”时，假设 的内容是__________．
3
3
解析：“如果 a>b，那么 a> b”若用反证法证明，其假设 为 a≤ b. 3 3
3
3
3 3 答案： a≤ b
5．如果 a a＋b b＞a b＋b a ，则 a、b 应满足的条件是 __________．
解析：∵ a a＋ b b ＞ a b＋ b a ⇔ ( a － b)2( a ＋ b )＞ 0 ⇔ a≥0，b≥0 且 a≠b.
答案：a≥0，b≥0 且 a≠b
核心考点
引领通关
考点研析 变式通关
考点一
答案：证明略.
考点二
分析法的应用
2 2 a＋mb a ＋ mb 2 已知m>0，a，b∈R，求证： 1＋m ≤ 1＋m .
【例2】
思维启迪：本题若使用综合法，不易寻求证题思路．可考虑使 用分析法．
证明：∵m>0，∴1＋m>0. 所以要证原不等式成立， 只需证(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)， 即证m(a2－2ab＋b2)≥0， 即证(a－b)2≥0， 而(a－b)2≥0显然成立， 故原不等式得证．
●三个关键 反证法证明的关键： (1)准确反设； (2)从否定的结论正确推理； (3)得出矛盾．
1 ．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于 60° ”时，应假设( )
A．三个内角都不大于 60° B．三个内角都大于 60° C．三个内角至多有一个大于 60° D．三个内角至多有两个大于 60°
2
证明：要证 只要证
2
1 1 a ＋ 2－ 2≥a＋ －2， a a
2
1 1 a ＋ 2＋2≥a＋ ＋ 2. a a
1 1 2 a ＋ 2＋2 ≥a＋a＋ 22， a
2
∵a>0，故只要证
1 即a ＋ 2＋4 a
2
1 1 1 2 a ＋ 2＋4≥a ＋2＋ 2＋2 2a＋a＋2， a a
解析：假设为“三个内角都大于 60° ”．
答案：B
2．设 a＝lg2＋lg5，b＝ex(x＜0)，则 a 与 b 大小关系为( A．a＞b C．a＝b B．a＜b D．a≤b
)
解析：a＝lg2＋lg5＝lg10＝1，b＝ex＜1，则 a＞b.
答案：A
3． 命题“对于任意角 θ， cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明： “cos4θ －sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程 应用了( ) B．综合法 D．间接证明法
第八章 推理与证明、算法初步
第二节
直接证明与间接证明
教材回归 自主学习
核心考点 引领通关
考题调研 成功体验
开卷速查 规范特训
【考点分析】
(1)考查对直接证明和间接证明原理的理解和
用法；(2)以不等式、立体几何、解析几何、函数与方程、数列知 识为载体，考查分析法、综合法、反证法． 【复习指导】 (1)抓住三种证明方法的特点，把握它们解题
点评：结论若是“都是”“都不是”“至多”“至少”形式 的不等式，或直接从正面入手难以寻觅解题的突破口的问题，宜 考虑使用反证法．用反证法证明命题时，推导出的矛盾可能多种 多样．有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实相违 背等等，推导出的矛盾必须是明显的．
通关训练3 ＝9＋3 2.
等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋ 2 ，S3
证明：因为 a，b，c 均为正数，由基本不等式得 a2＋b2≥2ab， b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac， 所以 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，① 1 1 1 1 1 1 同理a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，② 故 a ＋b ＋c ≥6 3.③ 所以原不等式成立．
2 2 2
1 1 1 1 1 1 2 ＋ a＋b＋c ≥ab ＋ bc ＋ ac ＋ 3 ab ＋ 3 bc ＋ 3 ac
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通关训练 1
2 2 2
已知 a、b、c 为正实数，a＋b＋c＝1.求证：
1 (1)a ＋b ＋c ≥ ； 3 (2) 3a＋2＋ 3b＋2＋ 3c＋2≤6.
1 证明：(1)方法一：a ＋b ＋c －3
2 2 2
1 2 ＝3(3a ＋3b2＋3c2－1) 1 2 ＝3[3a ＋3b2＋3c2－(a＋b＋c)2] 1 2 ＝ (3a ＋3b2＋3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc) 3 1 ＝3[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0， 1 ∴a ＋b ＋c ≥3.
答案：证明略．
点评：分析法的特点和思路是“执果索因”，即从“未知” 看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或 已经证明成立的结论等，运用分析法必须考虑条件的必要性是否 成立．通常采用“欲证—只需证—已知”的格式，在表达中要注 意叙述形式的规范性．
通关训练2
已知a>0，求证：
1 1 a ＋a2－ 2≥a＋a－2.
证明：假设三个方程都没有实数根，则 4a2－4－4a＋3<0 a－12－4a2<0 2a2－4×－2a<0 3 ∴－ <a<－1. 2 这与已知a≥－1矛盾，所以假设不成立，故原结论成立．
答案：证明略．
1 3 －2<a<2， ⇒ 1 a>3或a<－1， －2<a<0，
2 等)成等比数列，则bq ＝bpbr.
即(q＋ 2)2＝(p＋ 2)(r＋ 2)． ∴(q2－pr)＋ 2(2q－p－r)＝0. ∵p，q，r∈N*，
2 q －pr＝0， ∴ 2q－p－r＝0，
p＋r 2 2 ∴ ＝ pr ， ( p － r ) ＝0， 2
∴∠PDA＝∠PDC＝∠PDB＝90° ， ∴PD⊥AC，PD⊥BD， 又AC，BD为平面ABC内两相交的直线． ∴PD⊥平面ABC.
误区警示：分析法与综合法是对立统一的两种方法，分析法 的证明过程，恰好是综合法的分析、思考过程，即综合法是分析 法的逆过程.混淆了它们间的区别与联系易产生思维障碍.要注意 两种证明方法的书写格式，否则易产生逻辑上的错误.特别地，应 用综合法时，要防止出现因果关系不清晰，逻辑表达混乱的情况.
∴p＝r. 与p≠r矛盾． 所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
答案：(1)an＝2n－1＋ 2，Sn＝n(n＋ 2)；(2)证明略.
易错警示系列(30) 逻辑推理不严密致误
【示例】 如图，设四面体PABC中，∠ABC＝90° ，PA＝ PB＝PC，D是AC中点，求证：PD⊥平面ABC.
实质
由因导果
执果索因 Q⇐P1 → P1⇐P2 → 得到一个明显, „→ 成立的条件
框图 P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → 表示 „→ Qn⇒Q
文字 因为„所以„ 语言 或由„得„
要证„只需证„即证„
2.间接证明 5 ______(即在原命题的条件下，结论不 反证法：假设命题 □ 6 ______.因此说明假设错误， 成立)，经过正确的推理，最后得出□ 从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
2 2 2
方法二：∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc≤a2＋b2 ＋c2＋a2＋b2＋a2＋c2＋b2＋c2， 1 ∴3(a ＋b ＋c )≥(a＋b＋c) ＝1，∴a ＋b ＋c ≥ . 3
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 方法三：设 a＝ ＋α，b＝ ＋β，c＝ ＋γ. 3 3 3 ∵a＋b＋c＝1，∴α＋β＋γ＝0. ∴a ＋b ＋c
2
从而只要证2
1 1 a ＋a2≥ 2a＋a，
2
1 2 1 1 2 2 只要证4 a ＋a2 ≥2 a ＋2＋a2 ，即a ＋ 2≥2， a
而上述不等式显然成立，故原不等式成立．
答案：证明略.
考点三
反证法的应用
【例3】 已知a≥－1，求证三个方程： x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0， x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数根． 思维启迪：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“三 个方程都没有实数根”．
当且仅当 a＝b＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当 a＝b ＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3 时，③式等号成立． 1 即当且仅当 a＝b＝c＝34时，原式等号成立．
1 答案：证明略，当且仅当 a＝b＝c＝3 时，原式等号成立． 4
点评：综合法往往以分析法为基础，是分析法的逆过程，但 更要注意从有关不等式的定理、结论或题设条件出发，根据不等 式的性质推导证明．
综合法的应用
2 2 2
【例 1】 已知 a， b， c 均为正数， 证明： a ＋b ＋c
2
1 1 1 ＋a＋b＋c
≥6 3，并确定 a，b，c 为何值时，等号成立． 1 1 2 1 思维启迪：利用 a ＋b ≥2ab，a2＋b2≥ab，再利用 ab＋ab≥2，
2 2
根据这个解题思路去解答本题即可．
2 2 2
1 1 1 2 2 ＝3＋α ＋3＋β ＋3＋γ2
1 2 ＝ ＋ (α＋β＋γ)＋α2＋β2＋γ2 3 3 1 1 2 2 2 ＝3＋α ＋β ＋γ ≥3， 1 ∴a ＋b ＋c ≥ . 3
2 2 2
3a＋2＋1 3a＋3 (2)∵ 3a＋2＝ 3a＋2×1≤ ＝ 2 ， 2 3b＋3 3c＋3 同理 3b＋2≤ ， 3c＋2≤ ， 2 2 3a＋b＋c＋9 ∴ 3a＋2＋ 3b＋2＋ 3c＋2≤ ＝6， 2 ∴原不等式成立．
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn； Sn (2)设bn＝ (n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不 n 可能成为等比数列．
a1＝ 2＋1， 解析：(1)由已知得 3a1＋3d＝9＋3
2，
∴d＝2，
故an＝2n－1＋ 2，Sn＝n(n＋ 2)．
Sn (2)证明：由(1)得bn＝ ＝n＋ 2. n 假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p、q、r∈N*，且互不相
错解：∵PA＝PC，D是AC的中点， ∴PD⊥AC. 又BC⊥AB，∴BC⊥PD. 又AC∩BC＝C， ∴PC⊥平面ABC.
错因分析：本题错误的原因在于证明PD⊥BC时没有理论依 据，完全凭感觉，没有逻辑感．
正确解答：连接BD，因为BD是Rt△ABC斜边上的中线， 所以DA＝DC＝DB. 又PA＝PB＝PC，而PD是公共边， ∴△PAD≌△PBD≌△PCD，
答案：
●一种关系 综合法与分析法的关系：分析法与综合法相辅相成，对较复 杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件的关系，找 到解题思路，再运用综合法证明；或两种方法交叉使用．
●两个防范 (1)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常 常用 “ 要证 (欲证 )„”“ 即要证 „”“ 就要证„” 等分析到一个 明显成立的结论． (2)利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设 命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过 程是错误的．