(上海)数学高一上册-4.1 幂函数的图像与性质(一) 课件
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为你制造一些困难和障碍的人未必是你的敌人，把你从困境里拉出来的人未必是你的朋友。不要用眼前的利益得失看人，要看长远，所谓路遥 知马力，日久见人心！
一、幂函数的概念
函数 y xk k Q 叫做幂函数。
式 子 特
（1）只有1项且系数为1 （2）自变量x在底数位置
点 （3）指数k是常数
:
二 、研究幂函数的性质、图像
定义域
奇偶性
单调区间
最值
yx R 奇
R上递增
无最值
y x1 (,0) (0，+） 奇 (,0)，(0，+）减 无最值
y x2
R
一、幂函数的概念
函数 y xk k Q 叫做幂函数。
下面函数中，哪些是幂函数？
2（1）、（2）、（4）
(1) y x 3
(2) y x0
(3) y x2 2
(5) y 2 3x
(4) y 1 3 x2
(6) y xx
1
1
2
x 3
3 x2
1
1
(7) y 2x
(8) y (x)3 (x)3 x3
x（3 j）；y
x（12 a）；y
3
x（2 d）；y
（ x g）；y
x（3 c）
1
5
1
4
y x（3 h）；y x（3 e）；y x（2 i）；y x（3 f）；y x（2 b）
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
例2 利用幂函数的性质比较下列各组数的大小
(1)0.72.5 与0.82.5
为偶函数，且在区间(0，+）上单调递减，
求函数f(x )的解析式
解： f(x )在(0,)递减 m 2 2m 3 0解得m (1,3)
m Z m 0,1,2
当m 0,f(x ) x 3不为偶函数，舍 当m 1,f(x ) x 4为偶函数 当m 2，f(x)=x3不为偶函数，舍 m 1,f(x) x4
第一象限 在 [0,) 递增
性质
k>1，图像迅速增长
在 (0,)递减
0<k<1，图像缓慢增长
其他象限
偶函数：图像关于y轴对称，在一二象限 奇函数：图像关于原点对称，在一三象限 非奇非偶：图像就在第一象限 不经过第四象限
过（1，1） 无单调性
将下列幂函数图像的标号，填在相应函数后面的括号内
y
2
单调性： [0,)上递增
偶函数 （-，0]上递减
最值： [0,)上递增，（-，0]上递减
最小值为f(0)=0,无最大值
图像：
三 、归纳幂函数的性质、图像
三 、归纳幂函数的性质、图像
第一象限 图像
k>0
y
k>1
2
k=1
1
k<1
-1 -1
1
2x
k<0
y
x
k=0
y
1
x
过（1，1），（0,0）
过（1，1）
y x 2.5在（0，+）递增，
又 0.7<0.8 0.72.5 0.82.5
1
1
(2)3.1 2 与3.2 2
>
(3)(1)c 与(1)c(a ab
b
0,c
0)
y xc(c>0)在（0，+）递增，
又
a
b
00
源自文库
1<1
ab
(1
a
)c
(1
b
)c
例3、已知幂函数 f(x ) x m2 2m 3(m Z )
偶 (,0]减,[0，+）增 有最小值0
,
1
, 研究函数 y x3 , y x2
1
, yx 2
,
2
y x3
的性质,并作出它们的大致图像
2
例1、研究函数 y x3 的定义域、奇偶性、 单调性、最值，并作出它的图像
2
y x3 3 x2
定义域：x R
， 奇偶性： f(x ) 3(x )2 3 x 2 f(x ) 偶函数
练习：已知幂函数
f
(x)
(t3
t
1 (73t 2t2 )
1) x 5
,
t
Z
是偶函数，且在 (0, ) 上为增函数，求实数t 的值。
1、幂函数的定义
2、幂函数的图像、性质： 分k>0; k<0; k=0研究
3、数学思想方法： 从特殊到一般；数形结合
1、复习幂函数的图像、性质 2、完成巩固案
决定一个人的一生，以及整个命运的，只是一瞬之间。——歌德 管你信不信，原本花心的人到最后最痴情，原本专一的人到最后最绝情。 当你对于昨天不再耿耿于怀的时候，就是你开始过得幸福的时候。 我能为你煮东西，但我不能为你吃东西。各人吃饭是各人饱，各人生死是个人了。 最困难的事情就是认识自己。——希腊 你想过普通的生活，就会遇到普通的挫折。你想过最好的生活，就一定会遇上最强的伤害。这个世界很公平，想要最好，就一定会给你最痛。 相信就是强大，怀疑只会抑制能力，而信仰就是力量。 多少人要离开这个世间时，都会说出同一句话：这世界真是无奈与凄凉啊！ 钱可以帮穷人思维的人解决温饱，却可以帮富人思维的人制造财富。 如果把才华比作剑，那么勤奋就是磨刀石。 眼要看远，脚要近迈。
4.1幂函数的 性质与图像（一）
我们先来看两个问题：
1、如果正方形场地的面积为x,它的边长为y,
这里y是x的函数
1
y x 2，x 0
2、如果正方形盒子的边长为x,它的体积为y,
这里y是x的函数
y x3, x 0
1
形如 y x, y x1, y x2 , y x 2 , y x3
的函数叫做幂函数
一、幂函数的概念
函数 y xk k Q 叫做幂函数。
式 子 特
（1）只有1项且系数为1 （2）自变量x在底数位置
点 （3）指数k是常数
:
二 、研究幂函数的性质、图像
定义域
奇偶性
单调区间
最值
yx R 奇
R上递增
无最值
y x1 (,0) (0，+） 奇 (,0)，(0，+）减 无最值
y x2
R
一、幂函数的概念
函数 y xk k Q 叫做幂函数。
下面函数中，哪些是幂函数？
2（1）、（2）、（4）
(1) y x 3
(2) y x0
(3) y x2 2
(5) y 2 3x
(4) y 1 3 x2
(6) y xx
1
1
2
x 3
3 x2
1
1
(7) y 2x
(8) y (x)3 (x)3 x3
x（3 j）；y
x（12 a）；y
3
x（2 d）；y
（ x g）；y
x（3 c）
1
5
1
4
y x（3 h）；y x（3 e）；y x（2 i）；y x（3 f）；y x（2 b）
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
例2 利用幂函数的性质比较下列各组数的大小
(1)0.72.5 与0.82.5
为偶函数，且在区间(0，+）上单调递减，
求函数f(x )的解析式
解： f(x )在(0,)递减 m 2 2m 3 0解得m (1,3)
m Z m 0,1,2
当m 0,f(x ) x 3不为偶函数，舍 当m 1,f(x ) x 4为偶函数 当m 2，f(x)=x3不为偶函数，舍 m 1,f(x) x4
第一象限 在 [0,) 递增
性质
k>1，图像迅速增长
在 (0,)递减
0<k<1，图像缓慢增长
其他象限
偶函数：图像关于y轴对称，在一二象限 奇函数：图像关于原点对称，在一三象限 非奇非偶：图像就在第一象限 不经过第四象限
过（1，1） 无单调性
将下列幂函数图像的标号，填在相应函数后面的括号内
y
2
单调性： [0,)上递增
偶函数 （-，0]上递减
最值： [0,)上递增，（-，0]上递减
最小值为f(0)=0,无最大值
图像：
三 、归纳幂函数的性质、图像
三 、归纳幂函数的性质、图像
第一象限 图像
k>0
y
k>1
2
k=1
1
k<1
-1 -1
1
2x
k<0
y
x
k=0
y
1
x
过（1，1），（0,0）
过（1，1）
y x 2.5在（0，+）递增，
又 0.7<0.8 0.72.5 0.82.5
1
1
(2)3.1 2 与3.2 2
>
(3)(1)c 与(1)c(a ab
b
0,c
0)
y xc(c>0)在（0，+）递增，
又
a
b
00
源自文库
1<1
ab
(1
a
)c
(1
b
)c
例3、已知幂函数 f(x ) x m2 2m 3(m Z )
偶 (,0]减,[0，+）增 有最小值0
,
1
, 研究函数 y x3 , y x2
1
, yx 2
,
2
y x3
的性质,并作出它们的大致图像
2
例1、研究函数 y x3 的定义域、奇偶性、 单调性、最值，并作出它的图像
2
y x3 3 x2
定义域：x R
， 奇偶性： f(x ) 3(x )2 3 x 2 f(x ) 偶函数
练习：已知幂函数
f
(x)
(t3
t
1 (73t 2t2 )
1) x 5
,
t
Z
是偶函数，且在 (0, ) 上为增函数，求实数t 的值。
1、幂函数的定义
2、幂函数的图像、性质： 分k>0; k<0; k=0研究
3、数学思想方法： 从特殊到一般；数形结合
1、复习幂函数的图像、性质 2、完成巩固案
决定一个人的一生，以及整个命运的，只是一瞬之间。——歌德 管你信不信，原本花心的人到最后最痴情，原本专一的人到最后最绝情。 当你对于昨天不再耿耿于怀的时候，就是你开始过得幸福的时候。 我能为你煮东西，但我不能为你吃东西。各人吃饭是各人饱，各人生死是个人了。 最困难的事情就是认识自己。——希腊 你想过普通的生活，就会遇到普通的挫折。你想过最好的生活，就一定会遇上最强的伤害。这个世界很公平，想要最好，就一定会给你最痛。 相信就是强大，怀疑只会抑制能力，而信仰就是力量。 多少人要离开这个世间时，都会说出同一句话：这世界真是无奈与凄凉啊！ 钱可以帮穷人思维的人解决温饱，却可以帮富人思维的人制造财富。 如果把才华比作剑，那么勤奋就是磨刀石。 眼要看远，脚要近迈。
4.1幂函数的 性质与图像（一）
我们先来看两个问题：
1、如果正方形场地的面积为x,它的边长为y,
这里y是x的函数
1
y x 2，x 0
2、如果正方形盒子的边长为x,它的体积为y,
这里y是x的函数
y x3, x 0
1
形如 y x, y x1, y x2 , y x 2 , y x3
的函数叫做幂函数