华南农业大学现代控制理论期末考试试卷

华南农业大学期末考试试卷（A卷）2007 学年第1 学期考试科目：自动控制原理II考试类型：闭卷考试时间：120 分钟学号年级专业题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总分得分评阅人1、已知下图电路，以电源电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容中的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R2上的电压为输出量的输出方程。

并画出相应的模拟结构图。

（10分）解：（1）由电路原理得：112212111122211111LL cLL ccL Ldi Ri u udt L L Ldi Ri udt L Ldui idt c c=--+=-+=-222R Lu R i=1122111122210110011L LL Lc cRi iL LLRi i uL Lu uc c⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦ggg[]122200L R L c i u R i u ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦2、建立下列输入－输出高阶微分方程的状态空间表达式。

（8分）322y y y y u u u +++=++&&&&&&&&&解：方法一：12301233,2,10,1,2,1a a ab b b b =======()001110221120331221300130123120113121102b b a b a a b a a a ββββββββββ===-=-⨯==--=-⨯-⨯=-=---=-⨯--⨯-⨯=()010100111232100x x u y x ⎧⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+-⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎪⎪=⎩&方法二：()23221321s s g s s s s ++=+++系统的传递函数为()010000101231121x x uy x ⎧⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎪⎪=⎩&能控型实现为()001110220131001x x uy x⎧-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-+⎪ ⎪ ⎪⎨ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎪⎪=⎩&或能观型实现为3、将下列状态空间表达式化为对角标准型，并计算其传递函数（10分） 解：（1）[]11202ˆˆˆ013ˆˆ11P AP P Bu u y CP ---⎡⎤⎡⎤=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦==x x x xx &（2）[]112114()()1023132s s G s C SI A B s s s ---⎡⎤⎡⎤-=-==⎢⎥⎢⎥---+⎣⎦⎣⎦4、求定常控制系统的状态响应（10分）()()()()()()0101,0,0,11210x t x t u t t x u t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+≥== ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭&解：11t t t At t tt t tt e te te e e t t te e te -------+⎛⎫+⎛⎫== ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ ()()()()0100t A t s Atx t e x ebu s ds -⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎰()011,10231x x u y x ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭&5、设系统的状态方程及输出方程为110001010111x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦& []001y x = 试判定系统的能控性和能观性。

（10分）解：（1） 2c u BABA B ⎡⎤=⎣⎦012111101⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，秩为2， 系统状态不完全能控。

（2）2001011021o C u CA CA ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，秩为2 系统状态不完全能观。

6、已知系统 u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=110011&试将其化为能控标准型。

（10分）解：1210c u ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1112201c u -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦[][][]1111221122010101c p u -⎡⎤===-⎢⎥-⎣⎦[][]11112122221100p p A ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦11221112211,11P P --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦能控标准型为u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101010&7、应用Lyapunov 第一方法分析非线性系统在平衡状态的稳定性（10分）1132122x x x x x x =-=--&& 解：（1）求平衡点1200x x ==&&所以平衡点为：(0,0)（2）雅克比矩阵为11122110(,)113n T n n n f f x x f x t x x f f x x ∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂⎢⎥-⎡⎤∂==⎢⎥⎢⎥∂--⎢⎥⎣⎦∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦L M LM L 对平衡点(0,0)，系数矩阵1011A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，其特征值为：－1,－1，所以平衡点(0,0)是渐进稳定的；8、已知系统的状态方程为0123⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦x x & 试从亚普诺夫方程T PA A P I +=-解出矩阵P ，来判断系统的稳定性。

（10分）解：令1112122210,01p p I P p p ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 由T A P PA I +=-得 1112111212221222020110132301p p p p p p p p --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ P 11=5/4，P 12=1/4，P 22=1/4,5/41/41/41/4P ⎡⎤⇒=⎢⎥⎣⎦ 125/41/45/40,1/401/41/4∆=>∆==>可知P 是正定的。

因此系统在原点处是大围渐近稳定的。

9、已知系统[]xy u x x 011100300100010=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=&求使系统极点配置到-1，-2，-3的状态反馈阵K 。

并说明其配置新极点后的状态能控性及能观测性。

（12分）解：（1）系统完全能控，可用状态反馈任意配置闭环极点。

期望特征多项式为6116)3)(2)(1(23*+++=+++=s s s s s s ∆状态反馈系统的特征方程为()12233321)3()3(1001det )(det k s k s k s k s k k s ss ++++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++--=--=bK A I K ∆ 比较以上二式得61=k ，112=k ，33=k 。

即[]3116=K（2）闭环状态空间表达式为[]0100()001061161110x A BK x Bv v y Cx ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦==&x x2001,,0161625Uc B AB A B ⎡⎤⎢⎥⎡⎤==-⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，rank(Uc)=3，所以闭环系统能控。

21100116115C Uo CA CA ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦，rank(Uo)=2，所以闭环系统不完全能观。

10、设系统的状态空间表达式为[]xx x 01101012=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=y u & 试设计全维状态观测器的G 阵，使观测器的极点均为-2.5。

（10分）解：系统能观测性矩阵01021U ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦C CA 02rankU n ==系统能观测，故状态观测器存在。

期望状态观测器特征多项式为25.65)5.2()(22*++=+=s s s s f设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21g g G ，则状态观测器特征多项式为[])2()3(112det )(det )(211221g g s g s s g g s s s f +++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=--=GC A I 比较以上二式得21=g ，25.22=g 。

即⎥⎦⎤⎢⎣⎡=25.22G 系统的状态观测器为y u G b x GC A x++-=ˆ)(ˆ& 即y u ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=25.2210ˆ125.214ˆx x &。