一维不定常流笔记
一维不定常流-笔记
给出初始条件，可以求出函数 f1 x c0t and f 2 x c0t 的解。 3、求解球面声波：
0 2 t r 2 r r u 0 2 c 2 2 2 0 2 r 2 c u t r r r 0 0 t 0 r The form of the solution ' s results :
考虑粘性等耗散效应的流体动力学方程组是抛物型的， 不考虑耗散效应的理想流体方程组是双曲型的； 接触间断面：当间断面与其两边的流体以相同速度运动，即 D u1n u2 n 时，没有质量流穿过间断面； 满足的条件：
法向速度连续： u1n u2 n , 两侧压强相等： p1 p2 ,
第二章
对角部分， 弹性应力 pI , pI 耗散应力 非对角部分， 粘性应力、应力偏量
B-能量方程：
1 E e u 2 , 2 : Potential energy; e : inernal energy
当不考虑势能，动能时，介质的能量等于内能；
C C C p RT 2 0 RT 2 0 R Tw p0 RTw ;
10、间断面及其关系 在 粘性流体和热传导中，流体之间有内摩擦和热量的传递，即耗散效应， 致使各物理量随时间及位置的变化是连续的， 在理想流体中，忽略粘性和热传导，物理量的变化可能出现间断；
相比于平面波，球面波的区别：
f r c0t r
（1） ：平面波的振幅不随时间面改变，球面波振幅随着半径 r 的增大而衰减； Reason：初始给扰动的能量有限、确定的，在传播过程中，扰动的物质增多(或 表面积增大)，导致强度降低； （2） ：对动量方程作用，并积分时间项，得到：
3.2液体动力学
伯努利方程揭示了液体流动过程中的能量变化规律。它指出，对于流动的液体来说，如 果没有能量的输入和输出，液体内的总能量是不变的。它是流体力学中一个重要的基本方程。 它不仅是进行液压传动系统分析的基础，而且还可以对多种液压问题进行研究和计算。
3．2．4动量方程
动量方程是动量定律在流体力学中的具体应用。在液压传动中，要计算液流作用 在固体壁面上的力时，应用动量方程求解比较方便。 刚体力学动量定律指出，作用在物体上的外合力等于物体在力作用方向上单位时间内 动量的变化量，即：
连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的一种具体表现形式。 如图2．9所示的液体在具有不同横截面的任意形状管道中作定常流动时，可任取1、2两 个不同的通流截面，其面积分别为A1和A2，在这两个截面处的液体密度和平均流速分别为ρ 1、 v1和ρ 2、v2，根据质量守恒定律，在单位时间内流过这两个截面的液体质量相等，即：
3．2 液体动力学 3．2．1 基本概念
1．理想液体、定常流动和一维流动 理想液体：一般把既无粘性又不可压缩的假想液体称为理想液体。
定常流动：液体流动时，如果液体中任一空间点处的压力、速度和密度等都不 随时间变化，则称这种流动为定常流动（或稳定流动、恒定流动）；反之，则称为 非定常流动。
一维流动：当液体整个作线形流动时，称为一维流动；当作平面或空间流动时 ，称为二维或三维流动。
式（2．17）就是仅受重力作用的实际液体在流管中作平行（或缓变）流动时的伯努利 方程。它的物理意义是单位重力液体的能量守恒。其中hw为单位重力液体从截面A1流到截面A2 过程中的能量损耗。 在应用上式时，必须注意p和z应为通流截面的同一点上的两上参数，特别是压力参数p 的度量基准应该一样，如用绝对压力都用绝对压力，用相对压力都用相对压力，为方便起见， 通常把这两个参数都取在通流截面的轴心处。 在液压系统的计算中，通常将式（2．17）写成另外一种形式，即：
辽宁石油化工大学工程流体力学第八章
因为 Z 0＝ a 2 A
ua所以波动方程经特征线解法变换的四个常微分方程：
C：Zd0x dt
dQ dt a
dp dt
af
(Q)
0
C：Zd0x dt
dQ dt a
dp dt
af
(Q)
0
第三节 管路水击计算
一、管道水击现象
水击现象：在有压管路系统中，由于阀门突然
确定密度的相对变化率：
压缩系数 ：
p
dV /V dp
1
dp
体积模量 ： K
p dV/V
由微分定理和 MV 可求得：
dp
D(1)dpdtu0
Eb 2 dt K x
考虑压力波传递速度a
上式又可写成： dpa2 u 0
dt
x
二、动量方程
如图8-2所示
压力P密度
g
du
du 可得： dt
du
dx
g
a g
b
二、两个变量的一阶拟线性偏微分方程
设方程组为a11ut a12vt
b1 1ux b1
v 2x
g1
a2
1ut a2
2vt b2
1ux b2
v 2x
g2
N i g A sid n x ( p x)A d x D dpAx
可得： dmuAddxu
dt
dt
Ddx gAdx
pA (pA) dx x
dmu dt
Ni
由A 动量d d d定 u tx 理g A s id n x p xd A 得 x D d x
一维不定常流体运动
一维不定常流体运动【参考文献】L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Fluid Mechanics, Chapter 10.Ya. B. Zel ’dovich and Yu. P. Raizer, Physics of Shock Waves and High-Temperature Hydrodynamic Phenomena, Chapter 1.我们简要学习理想流体的一维不定常流动，可以帮助我们理解ICF 中的流体力学过程。
对于理想流体，在不出现参数发生跃变的情况下，流体的熵是个常数，即 0.u s t x ∂∂⎡⎤+=⎢⎥∂∂⎣⎦如果初始时刻流体的参数不依赖于空间变量，那么流体的熵始终保持不变。
在这种情况下，流体的密度仅依赖于压强，().p ρρ=就只考虑流体的连续性方程和动量方程，()0,10.u t x u u p u t x x ρρρ∂∂+=∂∂∂∂∂++=∂∂∂ 利用绝热方程，连续性方程的形式可以改写为， 210s u u u u t x x p t x u u p c t x xρρρρρ⎛⎞∂∂∂∂∂∂∂⎡⎤⎡⎤++=++⎜⎟⎢⎥⎢⎥p x ∂∂∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦⎝⎠∂∂∂⎡⎤=++⎢⎥∂∂∂⎣⎦=∂ 或10.p u p u c c t c x x ρ∂∂∂++=∂∂∂ 这个方程与动量方程结合，可以得到如下两个方程，1()()1()()u c u u c p t x c t x u c u u c p t x c t x ρρ∂∂∂∂⎡⎤⎡⎤+++++=⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦∂∂∂∂⎡⎤⎡⎤+−−+−=⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦0,0. 引入所谓的特征线，:,:,dx C u dt dx C u dt +−c c =+=− 那么沿着特征线C +，有如下方程， 10,du dp cρ+= 那么沿着特征线C −，有如下方程， 10,du dp cρ−= 引入所谓的Riemann 不变量，其定义为J ±dp d J u u c c ρρρ±=±=±∫∫，那么沿着特征线，是个常数。
一维非定常连续流动
一维非定常连续流动集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]一维非定常连续流动一维非定常流动是指气流的速度和热力学参数仅与时间t 和一个坐标变量x 有关的流动，也就是说，在某一时刻，在任何一个垂直于x 轴的平面上，气流的速度和热力学参数是不变的。
它包括连续流（等熵波）和间断流（激波、接触面）。
下面主要介绍连续流。
在进行讨论之前，首先假定气体为常比热完全气体（或称量热完全气体），忽略气流的粘性和热传导作用，流动过程是等熵的。
作为理解非定常连续流动的基础，首先介绍小扰动波的产生，传播及其简化分析。
一、 小扰动波1. 产生小扰动是指气流的速度和热力学参量的相对变化量都很小，例如声波就是一种小扰动波，它以声速传播，因此，通常人们把小扰动在介质中的传播速度称为声速。
对介质的扰动形式有很多，但总归起来不外乎速度不匹配和压力不平衡。
下面将要介绍的是由于活塞运动引起速度不匹配所产生的波。
在一个等截面无限长的圆管中，初始时刻，活塞及其两边的气体处于静止状态。
设活塞在很短的时间内，速度增加至du 。
此后，它以匀速向右运动。
这时，活塞左右两边的气体同时受到一个微弱的扰动：右边的气体被压缩，左边的气体变得稀疏，其效果以小扰动波的形式向两边传播。
这种波通过以后，波后气体均以活塞的速度向右运动。
同时，右边气体压力增加一个微量dp ，左边气体减小一个微量dp ，这两种波分别称为小扰动压缩波和小扰动稀疏波。
上述两类小扰动波得传播过程在(x ，t )图上的图示法如下压缩波通过以后，波后气流速度方向与波面传播方向一致，质点迹线靠近波面迹线；稀疏波通过以后，波后气流速度方向与波面传播方向相反，质点迹线偏离波面迹线。
对于运动的气体，压缩波后气体被加速，稀疏波后气体被减速。
2.传播定义向右为x 轴的正方向，如果气体本身以u （代数值）的速度在运动，则波的传播速度为dd dd=d ±d定义以速度(u+a )传播的波为“右行波”，以速度(u-a )行波”。
高等流体力学-3章
p 2 p ( 1 V 2 ) ( ) 0 x 1 V 2 t
（I）
（6）
（II）
5
又： dV V V ,
dx
x
t
dp p p dt , dx x t dx
同向膨胀波Vw2 Vw1 不交
Vw2 Vw1 互相削弱或抵消 Vw2 Vw1
不交
31
3.4激波管简介 （1）低压区 （3）高压区（V=0） (2)(4)高速区（5）高温区 接触面——另一种间断面 两侧气体p,V相等，但T, ,S不等，且互 不穿越
3
1
4
2
1
32
接触面
5
4
2
3
1
33
d dV a
15
动量方程：
p dp pA aA a dV a
dp dV p a
（17）
dp d dT 2 da p 1 T 1 a
代入 （17）：
2 da dV 0 1
2 a V const Q 即 1
p
由等熵关系，
பைடு நூலகம்
T 2 取对数后微分，可得 dp da a 1
11
c,
p
1
c, 和a 2 RT
代入（12）： 2 da dV 0 1
2 积分之： 1 a V P
（13）
2 a V Q 1
Riemann不变量 （14）
以未扰区音速 a1 无量纲化
（ 7）
对比（6）和（7），欲使（6）成为全微分方程，只须
dp （I）= dx dV （II）= dx
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涡量：速度矢量的旋度，
角速度：
1 1V 22
V 0 无旋流动
流体力学 - 4
V VV B F
t
B : 体积力， F 面积力；
3)、 能量方程：单位时间流入流体的能量、外界传入的热量、外力做功的总和， 等于控制体内能量的增加。
E
t 增加量
EV 流入量
BV 体积力做功
PV 表面力做功
D* t
*t
质量体内的 生成热 ： qdV
D* t
边界面上因 热传导输入 的热量： n TdA
*t
e)、热力学第二定律 dS dQ 0,
T
S 是系统的熵
2、有积分形式到微分形势的方程，有三种方法：
(1)、应用矢量的微积分；
(2)、积分应用于体积元，有体积元趋于零，取极限推得；
(3)、将系统的方程直接应用体积元，再将积分表达式取极限；
第一章 绪论
1、牛顿流体： 剪应力和速度梯度之间的关系式称为牛顿关系式， 遵守 牛顿关系式 的流体是牛顿 流体。 2、理想流体：无粘流体，流体切应力为零，并且没有湍流？。此时，流体内部 没有内摩擦，也就没有 内耗散和损失 。 层流：纯粘性流体，流体分层，流速 比较小 ； 湍流：随着流速增加，流线摆动，称过渡流，流速再增加，出现漩涡，混合。因
为流速增加导致层流出现不稳定性。 定常流：在空间的任何点，流动中的速度分量和热力学参量都不随时间改变， 3、欧拉描述：空间点的坐标； 拉格朗日：质点的坐标； 4、流体的粘性引起剪切力，进而导致耗散。 5、无黏流体 —无摩擦 —流动不分离 —无尾迹。
流体力学 - 1
6、流体的特性：连续性、易流动性、压缩性 不可压缩流体： D 0
流体力学学习笔记
《高等流体力学》学习笔记王恒宇113121001183重点实验室一维非定常流动中的特征线方程和特征关系一、概念特征曲线：对于双曲型方程组，在x，t平面有一系列曲线，若在这些曲线上，任意给定物理参数的值作为Cauchy问题的初始值，这样Cauchy问题的解一般是不存在的。
这些曲线称为方程组的特征曲线。
特征关系：对在这些曲线上的物理参数或未知函数的值给定一定的关系式。
二、推导设x=x(t)为某一特征曲线，在这条曲线上给定u(t)，ρ(t)，S(t)的值。
研究下面方程组的Cauchy问题∂ρ∂t +u∂ρ∂x+ρ∂u∂x=0，ρ∂u ∂t +ρu∂u∂x+∂p∂x=0，（1）∂S∂t+u∂S∂x=0，p=f(ρ,S)。
求解这个问题即要在x=x(t)上求出∂u∂t ，∂u∂x，∂ρ∂t，∂p∂x，∂S∂t，∂S∂x的值。
六个一级微商满足以下六个方程∂ρ∂t +u∂ρ∂x+ρ∂u∂x=0，S∂u ∂t +pρ∂ρ∂x+ρu∂u∂x+p S∂S∂x=0，∂S ∂t +u∂S∂x=0，（2）dt ∂ρ∂t +dx ∂ρ∂x =dρ， dt ∂u ∂t +dx ∂u ∂x =du ， dt∂S ∂t+dx∂S ∂x=dS 。
由于x=x(t)是特征曲线，上方程组无解。
因此，x=x(t)应使该方程组系数行列式等于零，即||100u ρ00ρ0p ρρu p S 00100u dt 00dx 000dt 00dx 000dt 00dx ||=0 （3） 化简得，|udt −dx ρdt 0p ρdtρudt −ρdx p S dt 00udt −dx|=ρ(udt −dx )3−ρp ρ(udt −dx )dt 2=0由于p ρ=c 2，可解得：dx dt=u ，u +c ，u −c （4）即方程组（1）的三族不同的特征线。
通过特征线方程可求出相应于每条特征线的特征关系式，这些关系式应使方程组（2）有解。
这样用方程组（2）的自由项（0，0，0，d ρ，du ，dS ）来代替行列式（3）中的任意一行时，所得到的新的行列式应该等于零。
1空气动力学基础重点梳理
《空气动力学基础》重点梳理（2013年6月 陈辰编）第一章 引述一、空气动力学基本变量1．压强——作用在单位面积上的正压力dAdFp dA 0lim→=（0dA dA →）其中：L dA l <<<0，l 为分子间距，L 为特征长度（如弦长、展长、直径等）压强具有点的属性：无粘流体，流体内部任意一点的压强均是各向同性的，即压强值与受压面的方位无关。
2．密度——单位体积内的质量dvdmdv 0lim→=ρ（dv 不能趋向于0）密度具有点的属性。
3．温度kT KE 23=温度具有点的属性。
4．流动速度 5．切应力6．完全气体状态方程 （1）所用假设①它的分子是一种完全弹性的微小球粒； ②分子除彼此碰撞瞬间外没有作用力；③分子的体积可以忽略不计（微粒的实有总体积和气体所占空间相比可忽略不计）。
（2）完全气体状态方程R 为通用气体常数，其数值为)/(831522K s m ⋅；m 为所研究气体的相对分子质量；T 为绝对温度(K)。
如将m R /改为R R 为气体常数。
7．单位二、空气动力及力矩 1．空气动力的来源（1）物体表面的压力分布；（2）物体表面的剪应力（摩擦应力）分布。
压力垂直作用在物体表面，剪应力相切作用在物体表面且与运动方向相反。
2．R 的分解（1）投影到风轴系L ：升力（垂直于∞V ）；D ：阻力（平行于∞V ） （2）投影到体轴系N ：轴向力（垂直于弦长c ）；A ：法向力（平行于弦长c ） （3）风轴系与体轴系之间关系⎩⎨⎧+=-=ααααcos sin sin cos A N D A N L （迎角α——弦长c 与来流速度∞V 之间的夹角） 3．空气动力与力矩表达式 （1）单位展长的法向力与轴向力：()()⎰⎰-++-='TELE l l l TE LEu u u ds p ds p N θτθθτθsin cos sin cos()()⎰⎰+++-='TELE l l l TELEu u u ds p ds p A θτθθτθcos sin cos sin （2）单位展长的前缘力矩：()()[]⎰--+='TELEu u u u u LEds y p x p M θτθθτθsin cos sin cos ()()[]⎰+-+-+TELEl l l l l ds y p x p θτθθτθcos sin sin cos4．力与力矩的无量纲系数 （1）动压的定义221∞∞∞=V q ρ，∞∞V ,ρ为物体远前方的密度和速度。
可压缩一维非定常流动
上式被称为特征标准型方程，它是由n个如下所示的标量方程所组成，即
i （这里不对 作和）
如果曲线上的任意一点（
）满足
(4-2-23)
则曲线被称作第i族特征线。由式（4-2-23）得出，沿第i族特征线 有
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4.2.2 两类基本方程组间的相互转换及特征 分析
令，于是（4-2-47）式又可写为
，这表明接触间断面两侧压强相等，速度相等，而气
体的密度和温度等可以有任意间断。
② 对于激波，由式（4-3-10）可知，因为
，所以
即表示切向速度连续，而气流穿过激波时密度、法向、速度、压强和
能量都要产生间断。
（4-3-7） （4-3-8） （4-3-10）
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4.3.3 典型模型方程的经典解
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§4.9 激波管及流动分析
4.9.1 激波管各区流动的计算与分析 4.9.2 获得较高试验温度与速度的途径
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4.1.1 可压缩、无粘、完全气体非定常流动 基本组的数学结构
(4-1-5) (4-1-15) (4-1-20)
将上述方程按照运动方程式（4-1-5）、连续方程式（4-1-20）及 能量方程式（4-1-15）的次序排列，便得到如下矩阵形式
足下列两点性质：
都是标量函数，尤其是熵函数它满
1. 是 的凸函数，即 的Hessian矩阵
2.U*满足相容性条件，即
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4.3.2 强间断以及接触间断面两侧参数间的 关系
① 对于接触间断面，由定义知它是没有流体穿过的间断面即 ，
因此这时由式（4-3-7）便可得
；另外，由式（4-3-
8）可得§4ຫໍສະໝຸດ 7 波的相互作用4.7.1 特征线在刚性边界上的反射 4.7.2 膨胀波或压缩波在开口端处的反射 4.7.3 等熵波之间的相互作用
定常与非定常流动
定常流动流体（气体、液体）流动时，若流体中任何一点的压力，速度和密度等物理量都不随时间变化，则这种流动就称为定常流动；反之，只要压力，速度和密度中任意一个物理量随时间而变化，液体就是作非定常流动或者说液体作时变流动。
所以，定常流动时，管中流体每单位时间流过的体积(体积流量)qV为常量，流体每单位体积的质量(密度)ρ也是常量。
非定常流动流体的流动状态随时间改变的流动。
若流动状态不随时间而变化，则为定常流动。
流体通常的流动几乎都是非定常的。
分类按流动随时间变化的速率，非定常流动可分为三类：①流场变化速率极慢的流动：流场中任意一点的平均速度随时间逐渐增加或减小，在这种情况下可以忽略加速度效应，这种流动又称为准定常流动。
水库的排灌过程就属于准定常流动。
可认为准定常流动在每一瞬间都服从定常流动的方程，时间效应只是以参量形式表现出来。
②流场变化速率很快的流动：在这种情况下须考虑加速度效应。
活塞式水泵或真空泵所造成的流动，飞行器和船舶操纵问题中所考虑的流动都属这一类。
这类流动和定常流动有本质上的差别。
例如，用伯努利方程（见伯努利定理）描述这类流动，就须增加一个与加速度有关的项，成为：,式中为理想流体沿流线的速度分布；A和B表示同一流线上的两个点;P 为压强;为密度；g为重力加速度；z为重力方向上的坐标；ds为流线上的长度元。
③流场变化速率极快的流动：在这种情况下流体的弹性力显得十分重要，例如瞬间关闭水管的阀门。
阀门突然关闭时，整个流场中流体不可能立即完全静止下来，速度和压强的变化以压力波（或激波）的形式从阀门向上游传播，产生很大的振动和声响，即所谓水击现象。
这种现象不仅发生在水流中，也发生在其他任何流体中。
在空气中的核爆炸也会发生类似现象。
除上述三类流动外，某些状态反复出现的流动也被认为是一种非定常流动。
气体动力学基础笔记手写
气体动力学基础笔记手写一、气体动力学基本概念1. 气体：由大量分子组成的混合物，其分子在不断地运动和碰撞。
2. 温度：气体分子平均动能的量度，与分子平均动能成正比。
3. 压力：气体对容器壁的压强，由大量气体分子对容器壁的碰撞产生。
4. 密度：单位体积内的气体质量，与分子数和分子质量有关。
5. 流场：描述气体流动的空间和时间的函数，由速度、压力、密度等物理量描述。
二、理想气体状态方程1. 理想气体状态方程：pV = nRT，其中p为压力，V为体积，n为摩尔数，R为气体常数，T为温度。
2. 实际气体与理想气体的关系：实际气体在一定条件下可以近似为理想气体，但在某些情况下需要考虑分子间相互作用和分子内能等效应。
三、气体流动的基本方程1. 连续性方程：质量守恒方程，表示单位时间内流入流出控制体的质量流量相等。
2. 动量守恒方程：牛顿第二定律，表示单位时间内流入流出控制体的动量流量等于作用在控制体上的外力之和。
3. 能量守恒方程：热力学第一定律，表示单位时间内流入流出控制体的热量流量等于控制体内能的变化率加上作用在控制体上的外力所做的功。
四、一维定常流1. 一维流：流场中所有点的流速方向都在同一直线上。
2. 定常流：流场中各物理量不随时间变化而变化的流动。
3. 声速：气体中声速与温度和气体种类有关，是气体的特征速度。
4. 马赫数：流场中任意一点上流速与当地声速之比，是描述流动状态的重要参数。
五、膨胀波与压缩波1. 膨胀波：由于流体受压缩而产生的波，传播方向与流体运动方向相反，波前压力低于波后压力。
2. 压缩波：由于流体受扩张而产生的波，传播方向与流体运动方向相同，波前压力高于波后压力。
渗流力学第一章笔记
1.渗流：流体在多孔介质中流动叫做渗流。
渗透率为压力梯度为1时，动力黏滞系数为l的液体在介质中的渗透速度。
是表征土或岩石本身传导液体能力的参数。
其大小与孔隙度、液体渗透方向上空隙的几何形状、颗粒大小以及排列方向等因素有关，而与在介质中运动的液体性质无关。
渗透率（k）用来表示渗透性的大小。
在一定压差下，岩石允许流体通过的性质称为渗透性；在一定压差下，岩石允许流体通过的能力叫渗透率。
2.开敞式油藏：如果油气藏外围与天然水源相连通，可向油气藏供液就是开敞式油气藏。
如果外围封闭且边缘高程与油水界面高程一致则称为封闭式油藏。
3.原始地层压力：油气藏开发以前，一般处于平衡状态，此时油层的流体所承受的压力叫原始地层压力。
4.供给压力：油气藏中存在液源供给区时，在供给边缘上的压力称为供给压力。
5.驱动方式可分为：水压驱动，弹性驱动，溶解气驱动和重力驱动。
6.在渗流过程中，如果运动的各主要元素只随位置变化而与时间没有关系，则称为稳定流。
反之，若各主要元素之一与时间有关，则称为非定常渗流或者不稳定渗流。
7.渗流的基本方式：平面一维渗流，平面径向渗流，和球面渗流。
8.绘制渗流图时规定这样的原则：任何相邻两条等压线之间的压差必须相等，同时，任何两条流线之间的流量必须相等。
9.井底结构和井底附近地区油层性质发生变化的井称为渗流不完善井。
不完善井可以分为打开程度不完善，打开性质不完善，双重不完善井。
10.试井：直接从实测的产量压力数据反求地层参数，然后用求得的地层参数来预测新的工作制度下的产量。
11.井间干扰：油水井工作制度的变化以及新井的投产会使原来的压力分布状态遭受到破坏引起整个渗流场发生变化，自然会影响到邻井的产量，这种井间相互影响的现象称为井间干扰。
12.压降叠加原理：多井同时工作时，地层中任一点外的压降等于各井以各自不变的产量单独工作时在该点处造成的压降代数和。
13.势的叠加原理：如果均质等厚不可压缩无限大底层上有许多点源，点汇同时工作，我们自然会想到地层上任一点的势应该等于每个点源点汇单独工作时在该点所引起的势的代数和，这就是势的叠加原理。
流体力学知识点
第一章流体物性与黏性1、流体质点是体积无穷小的流体微团，指相对于流场无穷小2、连续性假设是将流体认为是连续分布的流体质点所组成3、流体力学中物理量的基本量纲是L、M、T、Θ4、静止流体具有粘性5、理想流体没有黏性6、牛顿流体层与层之间的黏性切应力与速度梯度成正比7、液体的粘度随着温度的升高而降低8、黏性使紧贴固体表面的薄层流体随固体一起运动9、由于流体的黏性，可使流体在流动时出现速度梯度，同时使流体之间存在黏性切应力10、流体的可压缩性是指流体密度或体积在压力变化时而有变化的属性11、流体的热膨胀性是指流体密度或体积在温度变化时而有变化的属性12、马赫数小于0.3为低速空气空气动力学，可忽略其中流体密度的变化第二章流体静力学1、重力场中，单位质量的质量力是已知的2、流体静止是指流体相邻流体质点间没有相对运动3、静止流体的表面力具有沿作用面内法线方向的特性4、锅炉内静止水中的压强计算选择p0+γh计算式5、静压力的通用计算式p=p0+γh在绝对静止流体、重力场中、不可压缩流体、连通的同种流体情况下使用6、在绝对静止流体、重力场中、不可压缩流体、连通的同种流体条件下，等高面就是等压面7、在重力作用下静止液体中，等压面是水平面的条件是相互连通8、静止流体中，任一点处流体的压强增加不一定等值传递9、静止不可压缩液体中，任一点处压强的增加可在液体中等值地传递到其他点10、液体受到表面压强p作用后，它将毫不改变地传递到液体内部任何一点11、真空度是低于当地大气压的那部分压强12、一般情况下，平板静压力合力的压力中在面积形心之下13、计算静压合力的竖直分力时，压力体的体积一般在受力壁面的上方14、平壁面静水压力的合力作用点在压力中心15、压力中心的位置在受压面的形心以下或受压面的形心处16、任意形状平壁上所受静水压力等于该平壁的形心处静水压强与该受压面的面积的乘积17、静止流体中，任一点处流体的压强来自各个方向，并相等18、对于高于当地大气压的那部分压强用表压力计量19、一般情况下，自由液面肯定是等压面20、计算静压合力的竖直分力时，压力体内不一定有流体21、流体中某点的相对压强/记示压强是指该点的绝对压强与当地大气压的差值22、静止流体中存在压应力23、平衡液体中的等压面必为与质量力相正交的面，等压面与质量力正交24、欧拉平衡微分方程理想流体和实际流体均适用25、相对压强必为正值×26、作用于两种不同液体接触面上的压力是质量力×27、静压强变化仅是由质量力引起的√28、静压强的大小与受压面的方位无关√29、静水总压力的方向垂直指向受压面30、用图解法计算静水总压力适用于受压平面是矩形31、二维曲面上的静水总压力的作用点就是静水总压力的水平分力与铅直分力的交点×32、物体在水中受到的浮力等于作用于物体表面的静水总压力√33、水深相同的静止水面一定是等压面×34、单位质量力是指作用在单位质量流体上的质量力35、粘性流体在宏观尺度上其在固体物面上的速度等于当地物面的速度36、静止流体受到的切应力为037、静止液体中任意一点的静水压强与自由面上压强的一次方成正比38、仅在重力作用下，静止液体中任意一点对同一基准面的单位势能为常数39、容器内盛有静止液体，则容器底部承受的合压力与自由面上的压强无关1、图示的容器a中盛有密度为r1的液体，容器b中盛有密度为r1和r2的两种液体，则两个容器中曲面AB上压力体相同，但压力不相等。
三、特种设备原理一维非定常等熵流、运动激波关系.J..
弹道靶 火箭车
原理：以一维非定常 流为理论基础
组合式
逆流靶 激波管 + 弹道靶
复习：一维非定常连续流（等熵流）
连续：
动量：
u u 0 t x x u u 1 p u 0 t x x
a u u u a u a 0 t x t x a d du dx 0 along u a dt dt dt
2 4 4 1
2区参数：
2a1 1 u2 Ms 1 1 Ms
2 1 2 p2 p1 1 M s 1 1 1
激波管（风洞） Shock Tube (Shock Tunnel)
T2
2 M T
1 1
2 s
活塞
储气罐 压缩管 膜 膜 低压段 膜
重活塞，压缩管内非定常等熵压缩， 低压段内非定常激波压缩。 高温、高压。（高焓、高Re数）
管风洞 (Tube Tunnel)
管风洞的概念最初是由德国Ludwieg教授提出 来的，这是一个利用非定常等熵膨胀产生高速 气流的设备。 它和激波风洞、炮风洞的不同之处是，管风洞 利用稀疏波非定常等熵膨胀（而不是通过非定 常压缩）, 再经过喷管作定常等熵膨胀产生实 验气流。
驱动气体 机械压缩 引射器 等容加热 激波压缩 定常等熵膨胀 非定常等熵膨胀 被驱动气体 机械压缩 节流 等容膨胀 等压加热 等熵压缩 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
or or
气体动力学基础chapter3
x
（3.2）
2．欧拉（Euler)法 ．欧拉（ 法 该方法着眼点是流场中的空间点或着眼于控制体。即研究运 动流体所占空间中某固定空间点流体的速度、压强和密度等物理 量随时间的变化；以及找出任意相邻空间点之间这些物理量的变 化关系，即分析由空间某一点转到另一点时流动参数的变化。从 而得出整个流体的运动情况。可见，欧拉法不需要注意各个流体 质点的运动过程，而是研究运动流体所占空间各点的流体参数的 变化。研究一切描述流体运动的物理参数在空间的分布，即研究 各流动参数的场。如速度场、压强场、密度场等向量场和标量场。
Vx 2 f1(a, b, c, t) ax = = t t 2 Vx 2 f2 (a, b, c, t) ay = = t t 2 Vz 2 f3 (a, b, c, t) az = = t t 2
z f3 (a, b, c, t) Vz = = t t
（3.3）
在欧拉法中用流体质点的空间坐标 ( x, y, z)与时间变量 t 来 表达流体的运动规律， x, y, z, t ) 叫欧拉变数，欧拉变数不是各自独 ( 立的，因为流体质点在场中的空间位置与时间 t有关，不同的时 间 t ，流体质点有不同的空间坐标 x, y, z 。因此对于任一个流体 质点的位置变量 x 、 y、 z 是时间 t 的函数，即
y
y=x
y = Cx
M(1,1)
x
3.脉线 脉线
所谓脉线是指在一段时间内，将相继通过某一空间固定点 的不同流体质点，在某一瞬时（即观察的瞬时）连成的曲线。 如果该空间固定点是释放染色的源，则在某一瞬时观察到一条 染色线，故脉线也称为染色线。染色线也是同一时刻不同流体 质点的连线。经过烟头和烟囱冒出的烟都是形成脉线的例子。
第三章定常一维流动1
dT (k − 1) M 2 dA = T 1− M 2 A
p = ρRT
M =V a =V
dp dρ dT − − =0 p T ρ
1 dV dA ) = −( V 1− M 2 A
dM =− M 1+ k −1 2 M dA 2 2 A 1− M
kRT
dM dV dT − + =0 M V 2T
V 2 V 2 a *2 M 2 = 2 = *2 ⋅ 2 a a a
M2 λ = k −1 1+ ( M 2 − 1) k +1
2
沿流线的等熵关系式
V2 k k + RT = RT0 k −1 2 k −1
τ (λ ) ≡
T = T0 k −1 2 1 = 1− λ k −1 2 k +1 M 1+ 2
气体以低M数（M是小量）作定常等熵流动
1 k −1
ρ ⎛ k −1 2 ⎞ = ⎜1 + M ⎟ ρ0 ⎝ 2 ⎠
−
M2 = 1− + …… 2
k ⎡ ⎤ ⎞ p0 − p p ⎢⎛ k − 1 2 ⎞ k −1 ⎥ p ⎛ p0 ⎜ M ⎟ −1 = ⎜1 + ⎜ p − 1⎟ = 1 ⎟ 1 1 ⎥ 2 2 2 ⎝ 2 ⎢⎝ ⎠ ⎠ ρV ρV ρV ⎣ ⎦ 2 2 2 p 2k ⎞ ⎤ 1 ρ ⎡⎛ kM 2 k 4 ⎜1 + = + M + ……⎟ − 1⎥ = 1 + M 2 + …… ⎢ ⎟ 2 8 4 kV 2 ⎣⎜ ⎝ ⎠ ⎦
V2 cpT + = const 2
a2 V 2 + = const k −1 2
k p V2 + = const k −1 ρ 2
一维非定常连续流动
一维非定常连续流动一维非定常流动是指气流的速度和热力学参数仅与时间t和一个坐标变量x有关的流动，也就是说，在某一时刻，在任何一个垂直于x轴的平面上，气流的速度和热力学参数是不变的。
它包括连续流（等熵波）和间断流（激波、接触面）。
下面主要介绍连续流。
在进行讨论之前，首先假定气体为常比热完全气体（或称量热完全气体），忽略气流的粘性和热传导作用，流动过程是等熵的。
作为理解非定常连续流动的基础，首先介绍小扰动波的产生，传播及其简化分析。
一、小扰动波1.产生小扰动是指气流的速度和热力学参量的相对变化量都很小，例如声波就是一种小扰动波，它以声速传播，因此，通常人们把小扰动在介质中的传播速度称为声速。
对介质的扰动形式有很多，但总归起来不外乎速度不匹配和压力不平衡。
下面将要介绍的是由于活塞运动引起速度不匹配所产生的波。
在一个等截面无限长的圆管中，初始时刻，活塞及其两边的气体处于静止状态。
设活塞在很短的时间内，速度增加至du。
此后，它以匀速向右运动。
这时，活塞左右两边的气体同时受到一个微弱的扰动：右边的气体被压缩，左边的气体变得稀疏，其效果以小扰动波的形式向两边传播。
这种波通过以后，波后气体均以活塞的速度向右运动。
同时，右边气体压力增加一个微量dp，左边气体减小一个微量dp，这两种波分别称为小扰动压缩波和小扰动稀疏波。
上述两类小扰动波得传播过程在(x，t)图上的图示法如下压缩波通过以后，波后气流速度方向与波面传播方向一致，质点迹线靠近波面迹线；稀疏波通过以后，波后气流速度方向与波面传播方向相反，质点迹线偏离波面迹线。
对于运动的气体，压缩波后气体被加速，稀疏波后气体被减速。
2.传播定义向右为x轴的正方向，如果气体本身以u（代数值）的速度在运动，则波的传播速度为定义以速度(u+a)传播的波为“右行波”，以速度(u-a)传播“左行波”。
对于右行波而言，气体质点一定从右边（x轴正向）进入波阵面，对于左行波而言，气体质点一定从左边（x轴负向）进入2. 小扰动波的简化物理分析以一道右行小扰动波为例进行分析。
一维非定常连续流动
一维非定常连续流动一维非定常流动是指气流的速度和热力学参数仅与时间t和一个坐标变量x有关的流动,也就是说,在某一时刻,在任何一个垂直于x轴的平面上,气流的速度和热力学参数是不变的;它包括连续流等熵波和间断流激波、接触面;下面主要介绍连续流;在进行讨论之前,首先假定气体为常比热完全气体或称量热完全气体,忽略气流的粘性和热传导作用,流动过程是等熵的;作为理解非定常连续流动的基础,首先介绍小扰动波的产生,传播及其简化分析;一、小扰动波1.产生小扰动是指气流的速度和热力学参量的相对变化量都很小,例如声波就是一种小扰动波,它以声速传播,因此,通常人们把小扰动在介质中的传播速度称为声速;对介质的扰动形式有很多,但总归起来不外乎速度不匹配和压力不平衡;下面将要介绍的是由于活塞运动引起速度不匹配所产生的波;在一个等截面无限长的圆管中,初始时刻,活塞及其两边的气体处于静止状态;设活塞在很短的时间内,速度增加至du;此后,它以匀速向右运动;这时,活塞左右两边的气体同时受到一个微弱的扰动：右边的气体被压缩,左边的气体变得稀疏,其效果以小扰动波的形式向两边传播;这种波通过以后,波后气体均以活塞的速度向右运动;同时,右边气体压力增加一个微量dp,左边气体减小一个微量dp,这两种波分别称为小扰动压缩波和小扰动稀疏波;上述两类小扰动波得传播过程在x,t图上的图示法如下压缩波通过以后,波后气流速度方向与波面传播方向一致,质点迹线靠近波面迹线；稀疏波通过以后,波后气流速度方向与波面传播方向相反,质点迹线偏离波面迹线;对于运动的气体,压缩波后气体被加速,稀疏波后气体被减速;2.传播定义向右为x轴的正方向,如果气体本身以u代数值的速度在运动,则波的传播速度为dxdt=u±a定义以速度u+a传播的波为“右行波”,以速度u-a传播的波行波”;对于右行波而言,气体质点一定从右边x轴正向进入波阵面,对于左行波而言,气体质点一定从左边x轴负向进入波阵面;2.小扰动波的简化物理分析以一道右行小扰动波为例进行分析;把坐标系取在波阵面上,则变成驻波,波前的气体以-a 的速度流进波面,而波后的气体以-a+du 的速度流出波面; 由连续性方程ρ(−a )=(ρ+dρ)(−a +du)略去二阶小量,得dρρ=du a小扰动波是一种等熵波,满足下列关系式：p =Cργ,p =ρRT 和a 2其微分形式为：dρρ=1γdp p=1γ−1dTT=2γ−1da a代入上式,可得du =2γ−1da对于左行波,则有du =−2γ−1da二、 特征线方法在可压缩流体中,有限幅值连续波流动所满足的方程一般是一组非线性偏微分方程,不能再采用小扰动线化方法,否则,将造成较大的误差;特征线法根据数学上特征线所具有的性质,运用数值解法或者图解法,为解决这类问题提供了一种比较简便而实用的计算方法;1. 基本方程连续性方程,在等截面管中ρt+x(ρu )=0动量方程,在忽略体积力和粘性力情况下u t+u ux =−1ρpx能量方程,忽略粘性和热传导作用,流动过程是等熵的,热力学第二定律可写成st+u sx =0 状态方程,对于多方气体来说,等熵关系为p =Cργ 有时为了便于应用,可将方程改写成统一用u ,a ,s 参量表示式;a t+u a x +γ−12a ux =0u t +u u x +2a γ−1ax −a 2γR sx =0st+u sx =0 2. 特征线及其相容关系假定上述方程组和x ,t 平面内沿着某一曲线x 0=x 0(t)上各点的u 0,a 0,s 0的值已知,如果不能单值地决定曲线x 0=x 0(t)附近任意点的u ,a ,s 的值,则表示x 0(t)是弱间断线,它就是所求的特征线; 特征线及其相容关系为 第一族特征线(dxdt )1=u +adu +2γ−1da =aγR ds第二族特征线(dxdt )2=u −adu −2γ−1da =−aγR ds第三族特征线(dxdt )s =uds =0 从公式可以看出,气体的流速和热力学参数的扰动沿着第第二族特征线以音速传播;熵的扰动沿着第三族特征线传播,而第三族特征线就是流体质点的运动轨迹,这就表明,对于某一个流体质点而言,在运动过程中熵值保持不变;在均熵条件下,st =0,sx =0,因而,在全流场的任何时刻都有ds =0;因此第三族特征线已经失去意义,第一族和第二族特征线简化为：第一族特征线(dxdt )1=u +adu +2γ−1da =0第二族特征线(dxdt )2=u −adu −2γ−1da =0此时特征线相容关系可以直接积分u +2γ−1a =K 1u −2γ−1a =K 2式中K 1和K 2称为黎曼不变量;(dxdt )1和(dxdt )2代表x ,t 平面上的两族特征线,称为物理平面上的特征线,见图1-3a ；K 1和K 2在u ,a 平面上构成两族特征线,称为状态平面特征线,见图1-3b;在x ,t 平面上,第一族特征线中的每一根,对应于一个确定的K 1值,第二族特征线中的每一根对应于一个确定的K 2值;物理平面特征线表达了小扰动波的位置随时间的变化关系,也就是小扰动波波阵面的运动迹线;其中,第一族特征线对应于右行波,第二族特征线对应于左行波;不过,此时的u ,a在不同的位置x 和时同的,可以应用节点法求解流场中气流的速度和音速; 根据K 1和K 2是否为绝维非定常均熵流动分为三类：第一类：K 1和K 2均为绝对常数K 10和K 20,此时u 和a 均为常数;第二类：K 1和K 2中有一个为绝对常数,称为简单波流动,这是流场中只有单向传播的波;第三类：K 1和K 2均不是绝对常数,称为双波流;在流场中既有左行波,也有右行波;三、 简单波假定黎曼不变量之一K 2在整个波区为绝对常数K 20,可以得到u =K 1+K 202a =γ−14(K 1−K 20)由于沿着第一族特征线,K 1保持不变,可知沿着第一族特征线流u 和a 等均为常数;dx dt=u +a =常数由此可以断定,第一族特征线一定是直线,沿着这一族特征线的根,流动参量保持不变,整个简单波流场只需用u ,a 平面上的一根特征线表示;1. 简单波的产生和分类简单波是由无穷多道小扰动波迭加而成的;在图1-5所示的一根两端敞开的无限长管中,活塞在静止气体中向右持续加速;活塞右边不断产生小扰动压缩波,当无穷多道压缩波通过后,波后气体压力、音速和质点速度便增加一个有限量;对于右行简单压缩波而言,由于小扰动压缩波连续通过时,后面压缩波的传播速度一定比前面的块,因而波面迹线第一族特征线为一族收敛的直线;同时,在活塞左边,连疏波,波面迹线第二族特征线为一族发散的直线;图1-5中各画出了四道小扰动压缩波和稀疏波的产生过程,其中1-4是一段曲线,表示活塞的加速过程,4点以后为直线,表示活塞作匀速运动,没有非定常波产生;简单波大致可分为四类：右行稀疏波,右行压缩波,左行稀疏波和左行压缩波;2. 简单波的基本关系跨过简单波波面迹线时气体参数之间的关系如下： 对于右行波x =(u +a )t +f(u)u −2γ−1a =K 20对于左行波x =(u −a )t +f(u) u +2γ−1a =K 10f(u)是速度的任意函数;若已知简单波波前气流参数u 1和a 1,求波后参数时,由K 10或K 20为常数可得u 2γ−1a =u 12γ−1a 1整理后得到a a 1=1±γ−12(u−u 1a 1)如果波前气体是静止的,u 1=0,则有a a 1=1±γ−12u a 1“+”号表示右行波,“−”号表示左行波;对于波后气流的温度、压力和密度变化,利用等熵关系得T T 1=(aa 1)2p p 1=(aa 1)2γγ−1 ρρ1=(aa 1)2γ−1四、 中心稀疏波在一维非定常简单波中,有一种比较特殊的情况,就是所谓“中心稀疏波”;它的一个重要特点是流场中的速度u 和音速a 等参数不是单独地依赖于x 和t ,而是依赖于它们的组合参数x/t ,这种运动通常称为“一维自模拟运动”;1. 中心稀疏波的产生假定活塞由静止突然向右加速至某一均匀速度,那么,在图中,活塞迹线1-4的长度便缩短为零,即图1-6;由图可见,由于活塞突然加速,在x ,t 图的坐标原点发出的所有压缩波汇聚成一道运动激波,向右传播;在活塞左边,同样由坐标原点发出一束左行稀疏波,把它称为中心稀疏波;波头与波尾之间的区域称为中心稀疏波区,波尾与活塞之间的区域属于均匀区,在该区中气流通过中心稀疏波区以后,被等熵地加速到等于活塞的速度；可以是亚音速的,等音速的,也可以是超音速的,究竟属于哪一种情况,完全由; 若要求通过稀疏波以等于音速u=a ,所需活塞的速度大小由方程2-15在波头和波尾之间积分来确定,即du =−2γ−1da ∫du u u 1=−2γ−1∫da aa 1所以U p =u =2γ+1a 1当活塞速度U p >2γ+1a 1时,波后气流将被加速到超音速,但是由于极限速度的存在,波后气流速度最大只能被加速到u max =2γ−1a 1逃逸速度;使波后气流速度达到逃逸速度的稀疏波称为“完全膨胀的稀疏波”; 2. 中心稀疏波的基本关系式中心稀疏波是简单波的一种特殊形式,因此,只要令简单波关系式中的任意函数f (u )=0,即可得到中心稀疏波的相应关系式; 对于右行波x =(u +a )tu −2γ−1a =K 20对于左行波x =(u −a )t +f(u)u +2γ−1a =K 10以左行中心稀疏波为例,可以直接解出u 和a 的表达式;u =2γ+1(xt +a 1) a =2γ+1a 1−γ−1γ+1xt由上述公式可见,u 和a 仅是x/t 的函数;根据中心系数波得基本关系式,可以确定整个波区的范围;波头前面气体u1=0,波尾通过以后,气体速度等于活塞速度,代入公式4-8,得到−a1≤xt ≤γ+12U p−a13.通过中心稀疏波时气体质点的加速度气体质点通过左行稀疏波时的速度由4-8确定; 加速度可表示为b=dudt =ut+u ux结合公式4-9,可得b=2a(γ+1)t。
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b
p
0
t
ｆ
ｅ and f int o d :
2 t 2
c022
g 波动 Eq.
2、求解一维平面的波动方程，给出波的形式：
2 t 2
c02
2 x2
,
F1 x c0t F2 x c0t ,
u
x
f1 x c0t
f2 x c0t
f
p
0
t
0c0
f1 x c0t
4、局部热动平衡：考虑的系统在每一个宏观小、微观大的局部区域中都达到热 动平衡。 理想气体：是指粒子之间的相互作用很微弱，可以忽略不计。
多方气体：当理想气体的比定容热容 cV 为常数时，
5、动量和能量方程：能量=动能+内能+势能；
A-动量方程：
u uu F
t
动量密度： u 动量密度的源： F
2、简单波的一般形式：
两类方法求解：特征线法、流体动力学方程；
(1)-特征线法：
=const
dx dt
u
c
,
,
0
，
x , 0 t ,
=u
dp c
u
l
c
0,
c c u,
u c , u,
x u ct u u c u t u, u u x,t
进而可以求出压强、密度、声速等的信息；反之，亦可以求出。
p p0 p 0
int
o
t
u t
u 0 uu
p
u
t 0 u 0 a t 1 p 0 b
0
p , S
p
0
,
S
p
S
0
2
p
p
S
c02
c
c substitute int o a :
p t
0c02
u
0
d
Due to : u , ｅ
内能、焓 、自由能、吉布斯自由能：
e Q W
de TdS pd ;
h e p ; dh TdS dp;
F e TS;
G h TS
dF
SdT
;
pd ;
dG SdT dp
比焓的意义：在等压过程中比焓的变化等于系统所获得的能量；在等压的绝热过
程中比焓不变；
自由能的意义：在等温过程中，外界对系统所做的功全部用于增加系统的自由能；
The form of the solution ' s results : f r c0t
r
相比于平面波，球面波的区别：
（1）：平面波的振幅不随时间面改变，球面波振幅随着半径 r 的增大而衰减；
Reason：初始给扰动的能量有限、确定的，在传播过程中，扰动的物质增多(或
表面积增大)，导致强度降低；
c
u x
1 c
p t
u
c
p x
0
1 a 2 b 0,
1 2 1,
dx u c dt
u t
u
c
u x
1 c
p t
u
c
p x
0
dx u, c dS 0
dt
dt
依赖域：某一时刻，两特征线在 X 轴交点的线段； 影响域：在 X-t 区域中，两特征线之间的区域； 稳定性条件(Courant 条件)：
运流： 即随质点运动带走的动量密度流 uu
扩散流：介质中的应力张量 导致动量的扩散，因此，表面上将产生流过该面
的扩散流：
动量密度的流：运流 和 扩散流： j uu
扩散流解析：
对角部分，
弹性应力
pI
非对角部分，
耗散应力
粘性应力、应力偏量
, pI
B-能量方程：
E e 1 u2 , : Potential energy; e : inernal energy 2
在数值计算中，时间步长与空间步长的关系： t x uc
6、特征线的性质 （a）、在连续流动区域中，同族特征线不相交；若相交，则此处将会出现间断； （b）、弱间断只沿特征线传播； （c）、相邻的不用类型流动区域的分界线是特征线；
第三章 简单波
1、定义：某一流动的一族特征线上的黎曼不变量是同一个常数，即各特征线上 的黎曼不变量是相等的，称为简单波。
能量流项： 运流 + 扩散流 (能量流+做功)
j Eu q pIu u E pu q u ，
一般情况下，介质的内能增量有以下几部分： （1）、周围介质对本介质做的压缩功，（2）、外界对介质输入的热量； （3）、介质表面上应力做的功； （4）、介质本身释放的能量。
三大守恒方程组：
6、热力学方程
进入波动区； u c u 。 反之，为向后简单波。 u c u
x u ct F u,
=const
u
dp c
const,
C族特征线为直线，
x u ct F u,
=const
u
dp c
const,
C族特征线为直线，
4、稀疏波和压缩波 穿过简单波时，若流体的密度和压强增大，则称压缩波；直线特征线聚拢； 若流体的密度和压强减小，则称稀疏波；直线特征线分散；
（2）：对动量方程作用，并积分时间项，得到：
r c0t
r c0t
u
c0 0
f
r
r
c0t
0
f d
r2
c0 0
0
f d
r2
其中，多出的后一项的差别。
平面波中，波传播之处压力密度增加，通过后，恢复初始值 0,u 0 ，波区
域内的物质都是受压缩的；
球面波中，波通过之后介质要恢复为静止，不仅 0 ，还要求速度的第二项为
若管道内气体的初始状态是均匀的，则沿 x 轴有 0 和 0 ，于是进入扰动
区中的整族 C 族特征线上 为同一值 0 ，扰动区域的流动是简单波。
故：简单波有一族特征线是直线。在波区中， x,t 0
C族特征线：
dx dt
u
c
d
,
,
0
因每条C的斜率都为常数，故：x , 0 t
第三次作业第一题的解题过程：
de dW dq;
de
pdV
dq;
d
RT 1
RTd
1
hf
R
dT ;
1 1
hf
dT
T
d;
1
1
h
f
ln
T
Tw ln 0 ;
T
Tw
0 C ;
C 1
1
1
h
f
2 7
;
V
1 2 V0 ,
20; p0 0RTw, 0 p0 RTw ;
f2
x
c0t
c
1 c02
p
0 c0
f1 x c0t
f2 x c0t
给出初始条件，可以求出函数 f1 x c0t and f2 x c0t 的解。
3、求解球面声波：
t
0 r2
r
r 2u
u
c02
0
0
2 t 2
c02 r2
r
r
2
r
t 0 r
考虑粘性等耗散效应的流体动力学方程组是抛物型的， 不考虑耗散效应的理想流体方程组是双曲型的；
接触间断面：当间断面与其两边的流体以相同速度运动，即 D u1n u2n
时，没有质量流穿过间断面；
法向速度连续： 满足的条件： 两侧压强相等：
u1n p1
u2n , p2 ,
第二章 特征线
1、小扰动波动方程：
第一章 流体动力学方程组
1、拉格朗日方法：关注流体质点，给出每个流体质点自始至终的运动过程，即 他们的位置随时间变化的规律。
dQ 0 Q , U
dt
欧拉方法：关注空间节点上流体运动变化情况。如果所有空间节点的变化情 况都知道了，整个流体的运动状况就清楚了。
Q u Q v Q w Q 0 Q , U
零。因扰动中物质受压，一部分区域的密度 0 ，则必有一段区域 0 ，即：
球面声波的受压区域后面必定跟随一个稀疏波。 4、特征线 有小扰动时，特征线存在；静止区域内，也可以通过偏微分方程给出特征线； 5、绝热运动的特征方程
t
u
t
u u x
u u 1 x
x p x
1 p
=
u t
+
t
1 c
dp，
因此，针对
cons t的简单波，
=u
1 c
dp=const， c
cu,
2自动满足，1式 u + u c u =0,
t
x
u f x u ct , or x u ct F u ,
由此得出简单波是单向行波。
简单波的直线族特征线，都有一个共同的起点，即 x x0 ，这样的简单波叫做中 心简单波。 3、向前和向后波 向前波：若波的传播速度大于质点的速度，则流体质点将从 x 大的一边，即右边
当不考虑势能，动能时，介质的能量等于内能；
E t
E
p
u
q
u
R
Fu
能量密度： E, E e 1 u2 2
能量的源两部分：本身释放的能量、外力做功 R F u
总能的流：
运流： 随质点运动带走的 Eu ，
q 能量流：热传导在单位时间内流过单位面积的能量流 ，
做功：应力单位时间内在单位面积上所作的功： u pIu u ，
在等温过程中，通常取自由能热力学函数；
7、状态方程 比定容热容、比定压热容：
cV