一维不定常流笔记

内能、焓 、自由能、吉布斯自由能：
e Q W
de TdS pd ;
h e p ; dh TdS dp;
F e TS;
G h TS
dF
SdT
;
pd ;
dG SdT dp
比焓的意义：在等压过程中比焓的变化等于系统所获得的能量；在等压的绝热过
程中比焓不变；
自由能的意义：在等温过程中，外界对系统所做的功全部用于增加系统的自由能；
b
p
0
t
ｆ
ｅ and f int o d :
2 t 2
c022
g 波动 Eq.
2、求解一维平面的波动方程，给出波的形式：
2 t 2
c02
2 x2
,
F1 x c0t F2 x c0t ,
u
x
f1 x c0t
f2 x c0t
f
p
0
t
0c0
f1 x c0t
一维不定常流与冲击波-笔记
讲师：程军波 九所 教材：《一维不定常流与冲击波》 李维新 编
《一维不定常流动力学教程》 卢芳云 编 《一维不定常流体力学》 周毓麟 编 课程内容： 第一章 流体动力学方程组：流体、状态、伯努利方程等 第二章 特征线：处理一维问题，黎曼不变量 第三章 简单波：稀疏波、压缩波 第四章 冲击波 第五章 自模拟运动 第六章 爆轰波
c
u x
1 c
p t
u
c
p x
0
1 a 2 b 0,
1 2 1,
dx u c dt
u t
u
c
u x
1 c
p t
u
c
p x
0
dx u, c dS 0
dt
dt
依赖域：某一时刻，两特征线在 X 轴交点的线段； 影响域：在 X-t 区域中，两特征线之间的区域； 稳定性条件(Courant 条件)：
2、简单波的一般形式：
两类方法求解：特征线法、流体动力学方程；
(1)-特征线法：
=const
dx dt
u
c
,
,
0
，
x , 0 t ,
=u
dp c
u
l
c
0,
c c u,
u c , u,
x u ct u u c u t u, u u x,t
进而可以求出压强、密度、声速等的信息；反之，亦可以求出。
进入波动区； u c u 。 反之，为向后简单波。 u c u
x u ct F u,
=const
u
dp c
const,
C族特征线为直线，
x u ct F u,
=const
u
dp c
const,
C族特征线为直线，
4、稀疏波和压缩波 穿过简单波时，若流体的密度和压强增大，则称压缩波；直线特征线聚拢； 若流体的密度和压强减小，则称稀疏波；直线特征线分散；
热力学第一定律：有能量守恒给出。包含能量传递方式。 de dQ pd
熵：指体系的混乱程度。热能除以温度所得结果，标志热量转化为功的程度。
dS dQ T
热二定律：俗称，熵增定律。 热力学的几个定律： 热力学第零定律：两个热力学系统每一个都与第三个处于热平衡，那么它们也必
定处于热平衡 。 热力学第一定律：能量守恒定律，内能等于热传导和做功； 热力学第二定律：熵增加原理； 热力学第三定律：绝对零度时，所有纯物质的熵值都为零；
（2）：对动量方程作用，并积分时间项，得到：
r c0t
r c0t
u
c0 0
f
r
r
c0t
0
f d
r2
c0 0
0
f d
r2
其中，多出的后一项的差别。
平面波中，波传播之处压力密度增加，通过后，恢复初始值 0,u 0 ，波区
域内的物质都是受压缩的；
球面波中，波通过之后介质要恢复为静止，不仅 0 ，还要求速度的第二项为
第一章 流体动力学方程组
1、拉格朗日方法：关注流体质点，给出每个流体质点自始至终的运动过程，即 他们的位置随时间变化的规律。
dQ 0 Q , U
dt
欧拉方法：关注空间节点上流体运动变化情况。如果所有空间节点的变化情 况都知道了，整个流体的运动状况就清楚了。
Q u Q v Q w Q 0 Q , U
=
u t
+
t
1 c
dp，
因此，针对
cons t的简单波，
=u
1 c
dp=const， c
cu,
2自动满足，1式 u + u c u =0,
t
x
u f x u ct , or x u ct F u ,
由此得出简单波是单向行波。
简单波的直线族特征线，都有一个共同的起点，即 x x0 ，这样的简单波叫做中 心简单波。 3、向前和向后波 向前波：若波的传播速度大于质点的速度，则流体质点将从 x 大的一边，即右边
4、局部热动平衡：考虑的系统在每一个宏观小、微观大的局部区域中都达到热 动平衡。 理想气体：是指粒子之间的相互作用很微弱，可以忽略不计。
多方气体：当理想气体的比定容热容 cV 为常数时，
5、动量和能量方程：能量=动能+内能+势能；
A-动量方程：
u uu F
t
动量密度： u 动量密度的源： F
考虑粘性等耗散效应的流体动力学方程组是抛物型的， 不考虑耗散效应的理想流体方程组是双曲型的；
接触间断面：当间断面与其两边的流体以相同速度运动，即 D u1n u2n
时，没有质量流穿过间断面；
法向速度连续： 满足的条件： 两侧压强相等：
u1n p1
u2n , p2 ,
第二章 特征线
1、小扰动波动方程：
The form of the solution ' s results : f r c0t
r
相比于平面波，球面波的区别：
（1）：平面波的振幅不随时间面改变，球面波振幅随着半径 r 的增大而衰减；
Reason：初始给扰动的能量有限、确定的，在传播过程中，扰动的物质增多(或
表面积增大)，导致强度降低；
B-多方气体： e CVT de CV dT , e0 T0 0,
内能与温度成正比，
c2
p
S
p
RT ,
C-凝聚介质：
8、凝聚介质：
凝聚介质的小扰动传播速度即声速，与气体的不同，他与温度无关，而是有介质
的弹性压缩率决定。
凝聚介质的特性
其状态方程，包含两部分，温度低和温度高时的情形，内里包含弹性的特性，
第三次作业第一题的解题过程：
de dW dq;
de
pdV
dq;
d
RT 1
RTd
1
hf
R
dT ;
1 1
hf
dT
T
d;
1
1
h
f
ln
T
Tw ln 0 ;
T
Tw
0 C ;
C 1
1
1
h
f
2 7
;
V
1 2 V0 ,
20; p0 0RTw, 0 p0 RTw ;
在等温过程中，通常取自由能热力学函数；
7、状态方程 比定容热容、比定压热容：
cV
Q T
,
cp
Q T
p
声速：
c2
p
S
理想气体的声速： p RT,
dp
p
T
d
p T
dT
c2
p
S
p
T
p T
T
S
几类状态方程：
A-理想气体： p RT ,
理想气体只是温度的函数； e eT ,
(2)-流体动力学方程： 有第二章第 5 问题给出：
u t
u
c
u x
1 c
p t
u
c
p x
0,
1
u t
u
c
u x
1 c
p t
u
c
p x
0,
2
因等熵，p p , c c p, c c p, du 1 dp 0全微分
c
=u
1 c
dp，
u t
+
1 c
p t
后续在利用时可以参照此处关于状态方程的信息。
9、伯努利方程：定常绝热运动的方程
u u 1 p 0,
1 2
u
u
h
u
u
u
u
1 2
u
u
u
u
dh
TdS
1
dp
Βιβλιοθήκη Baidu
Due to
Adiabatic
process dS
0
由于矢量积垂直于速度，故它在流线切线方向上的投影为零，于是可得：
1 q2 h const; q2 u u u2 v2 w2 2
零。因扰动中物质受压，一部分区域的密度 0 ，则必有一段区域 0 ，即：
球面声波的受压区域后面必定跟随一个稀疏波。 4、特征线 有小扰动时，特征线存在；静止区域内，也可以通过偏微分方程给出特征线； 5、绝热运动的特征方程
t
u
t
u u x
u u 1 x
x p x
1 p
0 0
d dS
dt
p 0
S
dp
S
p
dS
p
S
dp
1 c2
dp
c u t
t u
c u u p x c x
u 1 p 0 x x
0
a b
S t
u
S x
0
S
t
u
S x
0
c
1 a 2 b 0, 1 2 1,
dx u c dt
u t
u
运流： 即随质点运动带走的动量密度流 uu
扩散流：介质中的应力张量 导致动量的扩散，因此，表面上将产生流过该面
的扩散流：
动量密度的流：运流 和 扩散流： j uu
扩散流解析：
对角部分，
弹性应力
pI
非对角部分，
耗散应力
粘性应力、应力偏量
, pI
B-能量方程：
E e 1 u2 , : Potential energy; e : inernal energy 2
T Tw 0 C Tw p0 RTw C ;
p RT 20RT 20R Tw p0
RTw
C
;
10、间断面及其关系
在 粘性流体和热传导中，流体之间有内摩擦和热量的传递，即耗散效应，
致使各物理量随时间及位置的变化是连续的，
在理想流体中，忽略粘性和热传导，物理量的变化可能出现间断；
若管道内气体的初始状态是均匀的，则沿 x 轴有 0 和 0 ，于是进入扰动
区中的整族 C 族特征线上 为同一值 0 ，扰动区域的流动是简单波。
故：简单波有一族特征线是直线。在波区中， x,t 0
C族特征线：
dx dt
u
c
d
,
,
0
因每条C的斜率都为常数，故：x , 0 t
在数值计算中，时间步长与空间步长的关系： t x uc
6、特征线的性质 （a）、在连续流动区域中，同族特征线不相交；若相交，则此处将会出现间断； （b）、弱间断只沿特征线传播； （c）、相邻的不用类型流动区域的分界线是特征线；
第三章 简单波
1、定义：某一流动的一族特征线上的黎曼不变量是同一个常数，即各特征线上 的黎曼不变量是相等的，称为简单波。
t x y z 2、爆轰过程是快过程，不同的组分来不及通过扩散产生扩散流，即流项中的扩
散流部分可以忽略不计，各组分都只有相同的宏观速度，于是质量守恒方程：
i t
iu iui
mi wi
其中， iui
0
爆轰力学方程：
i t
iu
mi wi
3、含有粘性的流体动量方程：纳维-斯托克斯方程 NS 方程， 不考虑粘性的流体，既是欧拉方程 Euler Equation；
能量流项： 运流 + 扩散流 (能量流+做功)
j Eu q pIu u E pu q u ，
一般情况下，介质的内能增量有以下几部分： （1）、周围介质对本介质做的压缩功，（2）、外界对介质输入的热量； （3）、介质表面上应力做的功； （4）、介质本身释放的能量。
三大守恒方程组：
6、热力学方程
p p0 p 0
int
o
t
u t
u 0 uu
p
u
t 0 u 0 a t 1 p 0 b
0
p , S
p
0
,
S
p
S
0
2
p
p
S
c02
c
c substitute int o a :
p t
0c02
u
0
d
Due to : u , ｅ
f2
x
c0t
c
1 c02
p
0 c0
f1 x c0t
f2 x c0t
给出初始条件，可以求出函数 f1 x c0t and f2 x c0t 的解。
3、求解球面声波：
t
0 r2
r
r 2u
u
c02
0
0
2 t 2
c02 r2
r
r
2
r
t 0 r
理想气体的简单波：
l
c
dp c
2c 1
,
5、简单波性质： (1)、简单波中有一族特征线是直线； (2)、简单波是单向行波； (3)、简单波的传播速度随流体质点速度的增大而增大，反之亦然； (4)、因常态区的边界是特征线，故与常态区毗邻的区域中的等熵流动，必定是
简单波； 完全稀疏波：气体与活塞脱离，稀疏波使得气体出现自由面，并达到逃逸速度， 此时的压力和密度降低为零，气体所内稀疏到的最大程度，就称为完全稀疏波；
当不考虑势能，动能时，介质的能量等于内能；
E t
E
p
u
q
u
R
Fu
能量密度： E, E e 1 u2 2
能量的源两部分：本身释放的能量、外力做功 R F u
总能的流：
运流： 随质点运动带走的 Eu ，
q 能量流：热传导在单位时间内流过单位面积的能量流 ，
做功：应力单位时间内在单位面积上所作的功： u pIu u ，