离散性随机变量的方差

解:∵ E 8 0.2 9 0.6 10 0.2 9 E2 8 0.4 9 0.2 10 0.4 9
∴甲、乙两射手的射击平均水平相同.
如果对手在 8环左右,派甲.
又∵ D 0.4, D2 0.8, ∴甲射击水平更稳定.
如果对手在9 环左右,派乙.
例题
例题：甲乙两人每天产量相同，它们的次品个数
EX 偏差的绝对值 xi EX 最小.
出现了新的问题，每一个环数与偏差的绝对值 也是一大堆的数，不好确定，怎么办？
有了新思路：把这一大堆数再取平均值 E X EX
就可以了.
为什么这样可以？
E X EX 愈小，X的值就愈集中于 EX 附近，
表明此射手发挥愈稳定; 反之就愈分散，表明此射
手发挥愈不稳定．
2.已知x~B(100,0.5),则Ex=5__0_,Dx=_2_5__,σx=_5__. E(2x-1)=__9_9_, D(2x-1)=_1_0_0_, σ(2x-1)=__1_0__
3、有一批数量很大的商品，其中次品占1％，现 从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为 X，求EX和DX. 2，1.98
下面的分析对吗？
显然两名选手
∵ E 8 0.2 9 0.6 10 0.2 9 的水平是不同的,
E2 8 0.4 9 0.2 10 0.4 9 这里要进一步去 ∴甲、乙两射手的射击水平相同. 分析他们的成绩
（你赞成吗？为什么？）
的稳定性.
x 我的想法是，看谁命中的环数 i 与其平均环数
( xi E )2 pi 为随机变量的方差. 称 D
i 1
为随机变量的标准差.
它们都是反映离散型随机变量偏离于均 值的平均程度的量，它们的值越小，则随 机变量偏离于均值的平均程度越小，即越 集中于均值.
(1).利用定义计算:
n
D ( xi E )2 pi i1
(2).利用公式变形计算:
复习
前面，我们认识了数学期望. 数学期望: 一般地，若离散型随机变量 ξ 的概率分布 列为
ξ x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn
则称 E x1 p1 x2 p2 … xk pk … xn pn 为 ξ 的数
学期望，简称期望．数学期望是离散型随机变量的一个特征 数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机 变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的 平均数、均值．但有时两个随机变量只用这一个特征量是无 法区别他们的。还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中 与离散的程度进行刻画．
由于 EX EX 2 EY EY 2,因此乙射击水平
更稳定一些，看来甲无话可说了．
定义
离散型随机变量取值的方差和标准差: 一般地,若离散型随机变量的概率分布列为：
x1 x2 ··· xi ··· xn
P p1 p2 ··· pi ··· pn
则称 n
D ( x1 E )2 p1 L ( xi E )2 pi L ( xn E )2 pn
分别为 ，其分布列为
0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2
0 1 2 P 0.1 0.5 0.4
判断甲乙两人生产水平的高低？
解答
E=0×0.3+1×0.3＋2×0.2＋3×0.2=1.3 E=0×0.1+1×0.5＋2×0.4=1.3
(3 2)2 0.2 (4 2)2 0.1 1.2
D 1.2 1.095
2. 若随机变量X 满足P（X＝cຫໍສະໝຸດ Baidu＝1，其中c为常数， 求EX 和 DX.
EX＝c×1＝c DX＝（c－c）2×1＝0
结论
根据期望的定义可推出下面两个重要结论:
结论1：若 a b, 则 E aE b ;
D E( 2 ) (E )2
练习
1. 已知随机变量ξ 的分布列
ξ01234
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 求D和σ.
解：E 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1 2 D (0 2)2 0.1 (1 2)2 0.2 (2 2)2 0.4
然而在实际中E X EX 带有绝对值，在数学运
算上不方便，因而，通常用 E X EX 2来表达随机
变量 X 取值的分散程度或集中程度．
现在我可以确定派谁去了.
据此分析，我可以算得：
E(X EX )2 (8 9)2 0.2 (9 9)2 0.6 (10 9)2 0.2 0.4 E(Y EY )2 (8 9)2 0.1 (9 9)2 0.8 (10 9)2 0.1 0.2
离散性随机变量的方差
温故而知新
1、离散型随机变量 X 的均值（数学期望）
n
EX xi pi 反映了离散型随机变量取值的平均水平. i 1
2、均值的性质
E(aX b) aEX b
3、两种特殊分布的均值
（1）若随机变量X服从两点分布，则 EX p
（2）若 X ~ B(n, p) ，则 EX np
思考
已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数ξ1、ξ2的 分布列如下：
ξ1 8 9 10
ξ2 8 9 10
P 0.2 0.6 0.2
P 0.4 0.2 0.4
试比较两名射手的射击水平.如果其他对手的射击成绩都
在8环左右，应派哪一名选手参赛？如果其他对手的射击成
绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？
结论2：若ξ~B(n，p)，则Eξ= np.
那么,根据方差的定义你能推出类似的什么结论:
可以证明, 对于方差有下面两个重要性质：
⑴ D(a b) a2D
⑵ 若 ~ B(n, p)，则D npq
(其中q 1 p)
练习一下
练习
1.已知随机变量ξ的分布列为则Eξ与Dξ的值为( ) D
(A) 0.6和0.7 (B)1.7和0.3 1 2 (C) 0.3和0.7 (D)1.7和0.21 P 0.3 0.7
探究
已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数1、 2的分布列如下：
ξ1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2
ξ2 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4
试比较两名射手的射击水平.如果其他对手的射击成 绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？如果其他对手的 射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？