离散性随机变量的方差
离散型随机变量的方差
ξ P
x1 p1
x2 … xk … xn p2 … pk … pn
则称 Eξ=x1p1+x2p2+…+xkpk+…+xnpn为ξ的数学期望. 数 学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散 型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实 验中取值的平均值． 但有时两个随机变量只用这一个特征量是无法区 别,还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散 的程度进行刻画．
（2）若x~B(n,P),则Dx=np(1-p) ;
练习1、已知随机变量x的分布列为
-1 0 1 =3x+1 1 1 1 P 6 3 2 1 5 (1) Ex=________ , D x=________ 3 9
(2)E =_______，D = _______. 25 50 5 2.已知x~B(100,0.5),则Ex=___,Dx=____,σx=___. 100 σ(2x-1)=_____ 99 D(2x-1)=____, E(2x-1)=____, 10
∴甲、乙两射手的射击平均水平相同. 又∵ Dx 0.4, Dx 2 0.8, 如果对手在9环 ∴甲射击水平更稳定.
左右,派乙.
注：期望值高,平均值大,水平高 方差值小,稳定性高,水平高
例1.设X是一个离散型随机变量 , 其分布列如下表 , 试求EX , DX .
X P -1 1/2 0 1-2q 1 q2
它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度 的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程 度越小，即越集中于均值。
注：标准差与随机变量有相同的单位。
练习：1.已知随机变量x 的分布列 x P 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1
离散型随机变量的方差公式
离散型随机变量的方差公式离散型随机变量的方差公式是离散型随机变量的方差的计算公式。
方差是用来度量随机变量离其均值的距离的一个指标，方差越大表示离散型随机变量的取值越分散，方差越小表示离散型随机变量的取值越集中。
在统计学中，方差是一种常用的指标，用来描述离散型随机变量的分布的变异程度。
定义：对于离散型随机变量X，其方差定义为：Var(X) = E[(X - E(X))^2]其中，E表示期望函数，E(X)表示随机变量X的期望。
对方差公式的含义进行解释：(1)X-E(X)表示随机变量X与其期望E(X)的差距；(2)(X-E(X))^2表示这个差距的平方，为了保证计算结果为正数；(3)E[(X-E(X))^2]表示随机变量X与其期望E(X)的差距的平方的平均值，即方差。
方差计算的具体步骤如下：(1)计算随机变量X的期望E(X)，即E(X)；(2)计算每个随机变量X取值与期望E(X)的差异(X-E(X))；(3)计算每个差异的平方((X-E(X))^2)；(4) 对所有差异的平方求和，得到方差Var(X)。
方差的计算过程可以通过一个例子来进行说明。
假设有一个离散型随机变量X的概率分布如下：X，1，2，3，4-------，-------，-------，-------，-------P(X)，0.2，0.3，0.4，0.1首先计算期望E(X)：E(X)=(1*0.2)+(2*0.3)+(3*0.4)+(4*0.1)=2.6然后，计算每个差异的平方((X-E(X))^2)：(1-2.6)^2=2.56(2-2.6)^2=0.16(3-2.6)^2=0.16(4-2.6)^2=1.6最后，计算方差Var(X)：Var(X) = E[(X - E(X))^2] = (2.56 * 0.2) + (0.16 * 0.3) + (0.16 * 0.4) + (1.6 * 0.1) = 0.992所以，该离散型随机变量X的方差为0.992需要注意的是，方差是一个非负数，因为方差是差距的平方的平均值，而差距的平方一定是非负的。
2.3.2 离散型随机变量的方差
三、自学检测：6min P68练习1，2
1.直接用公式：E(X)=2
n
D(x) [xi E(X )]2 pi ＝1.2 i1
X DX 1.2 30
5
2.直接用公式：D（X）=[c-E(X)]2×1=0
方差 方差反映了X取值的稳定 与波动，集中与离散程度
(1) E ( a X b ) a E X b
计算 公式
(2)若X服从两点分 布，则 EX=p
(3)若X~B（n,p） 则EX= np
(1) D ( aX b ) a 2 D X
(2)若X服从两点分布， 则 DX=p(1-p)
(3)若X~B（n,p） 则 DX= np(1－p)
【综合应用】
某一大学毕业生参加某一公司的笔试,共有5个问题需
要解答,如该同学答对每个问题的概率均为 2 ,且每个
3
问题的解答互不影响.
(1)求该同学答对问题的个数ξ 的期望与方差.
(2)设答对一个题目得10分,否则扣1分,求该同学得分
η 的期望与方差.
【解题指南】 解答该5个问题可以认为是5次独立重复试验,答 对问题的个数ξ 服从二项分布,求η 的期望与方 差可通过ξ 与η 的线性关系间接求出.
探究点1 离散型随机变量的方差的概念
问题一：统计甲、乙两名射手以往的成绩，得其击
中目标靶的环数X1，X2的分布列分别如下：
X1 5
6
7
8
9
10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
X2 5
高二数学2.3.2 离散型随机变量的方差
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一 求离散型随机变量的方差
求离散型随机变量的方差的步骤: (1)列出随机变量的分布列; (2)求出随机变量的均值; (3)求出随机变量的方差.
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 1】 袋中有 20 个大小相同的球,其中标记 0 的有 10 个,标 记 n 的有 n 个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球.ξ 表示所取球的标号.
探究一
探究二
探究三
探究四
错因分析:忽略了随机变量分布列的性质出现错误,这里只是机械地套 用公式,且对 D(ax+b)=a2D(x)应用错误.
正解:∵0.2+0.2+a+0.2+0.1=1,∴a=0.3. ∴E(X)=0×0.2+1×0.2+2×0.3+3×0.2+4×0.1=1.8.
D(X)=(0-1.8)2×0.2+(1-1.8)2×0.2+(2-1.8)2×0.3+(3-1.8)2×0.2+(4-1.8)2×0
均值 E(X)的平均偏离程度,我们称 D(X)为随机变量 X 的方差,并称其算术平 方根 ������(������)为随机变量 X 的标准差.
(2)意义:随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值 的平均程度,方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小.
(3)离散型随机变量的方差的性质: 设 a,b 为常数,则 D(aX+b)=a2D(X).
探究一
探究二
探究三
探究四
(2)由 D(η)=a2D(ξ),得 a2×2.75=11,得 a=±2. 又 E(η)=aE(ξ)+b,所以, 当 a=2 时,由 1=2×1.5+b,得 b=-2; 当 a=-2 时,由 1=-2×1.5+b,得 b=4.
离散型随机变量的均值、方差和正态分布
10．9 离散型随机变量的均值、方差和正态分布[知识梳理]1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为(1)均值：称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差．2．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ；(2)D (aX ＋b )＝a 2D(X )(a ，b为常数)．3．两点分布与二项分布的均值、方差4．正态曲线(1)正态曲线的定义 函数φμ，σ(x )＝12π·σe －(x －μ)22σ2，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，称φμ，σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差)．(2)正态曲线的特点①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x 轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．5．正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a ，b (a <b )，随机变量X 满足P (a <X ≤b )＝⎠⎛ab φμ，σ(x )d x (即x＝a ，x ＝b ，正态曲线及x 轴围成的曲边梯形的面积)，则称随机变量X 服从正态分布，记作X ～N (μ，σ2)．(2)正态分布的三个常用数据 ①P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.6826； ②P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.9544； ③P (μ－3σ<X <μ＋3σ)＝0.9974.[诊断自测] 1．概念思辨(1)随机变量不可以是负数，随机变量所对应的概率可以是负数，随机变量的均值不可以是负数．( )(2)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．( )(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小. ( )(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．教材衍化(1)(选修A2－3P 68T 1)已知X 的分布列为设Y ＝2X ＋3，则E (Y )的值为( ) A.73 B ．4 C ．－1 D ．1 答案 A解析 E (X )＝－12＋16＝－13，E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝73.故选A. (2)(选修A2－3P 75A 组T 1)正态分布密度函数为 φμ，σ(x )＝18πe －x 28，x ∈(－∞，＋∞)，则总体的平均数和标准差分别为()A ．0和8B ．0和4C ．0和2D ．0和 2答案 C解析 根据已知条件可知μ＝0，σ＝2，故选C.3．小题热身(1)(2015·山东高考)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74% 答案 B解析 P (－3<ξ<3)＝68.26%，P (－6<ξ<6)＝95.44%，则P (3<ξ<6)＝12×(95.44%－68.26%)＝13.59%.故选B.(2)(2018·张掖检测)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E (X )＝( )A.126125B.65C.168125D.75 答案 B解析 设涂0个面的小正方体有x 个，涂1个面的小正方体有y 个，涂2个面的小正方体有z 个，涂3个面的小正方体有w 个，则有0·x ＋1·y ＋2·z ＋3·w ＝25×6＝150，所以E (X )＝0·x 125＋1·y 125＋2·z125＋3·w 125＝150125＝65.故选B.题型1 与二项分布有关的期望与方差典例(2017·山西太原模拟)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下：1．抽奖方案有以下两种，方案a ：从装有2个红球、3个白球(仅颜色不同)的甲袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金30元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；方案b ：从装有3个红球、2个白球(仅颜色不同)的乙袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金15元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中．2．抽奖条件：顾客购买商品的金额满100元，可根据方案a 抽奖一次；满150元，可根据方案b 抽奖一次(例如某顾客购买商品的金额为260元，则该顾客可以根据方案a 抽奖两次或方案b 抽奖一次或方案a 、b 各抽奖一次)．已知顾客A 在该商场购买商品的金额为350元．(1)若顾客A 只选择方案a 进行抽奖，求其所获奖金的期望； (2)要使所获奖金的期望值最大，顾客A 应如何抽奖？解 (1)按方案a 抽奖一次，获得奖金的概率P ＝C 22C 25＝110.顾客A 只选择方案a 进行抽奖，则其可以按方案a 抽奖三次． 此时中奖次数服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，110.设所得奖金为w 1元，则E (w 1)＝3×110×30＝9. 即顾客A 所奖资金的期望为9元．(2)按方案b 抽奖一次，获得奖金的概率P 1＝C 23C 25＝310.若顾客A 按方案a 抽奖两次，按方案b 抽奖一次，则由方案a 中奖的次数服从二项分布B 1⎝⎛⎭⎪⎫2，110，由方案b 中奖的次数服从二项分布B 2⎝⎛⎭⎪⎫1，310，设所得奖金为w 2元，则E (w 2)＝2×110×30＋1×310×15＝10.5. 若顾客A 按方案b 抽奖两次，则中奖的次数服从二项分布B 3⎝⎛⎭⎪⎫2，310.设所得奖金为w3元，则E(w3)＝2×310×15＝9.结合(1)可知，E(w1)＝E(w3)<E(w2)．所以顾客A应该按方案a抽奖两次，按方案b抽奖一次．方法技巧与二项分布有关的期望、方差的求法1．求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．2．有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b)．冲关针对训练(2014·辽宁高考)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．解(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”．因此P (A 1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P (A 2)＝0.003×50＝0.15， P (B )＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108. (2)X 可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P (X ＝0)＝C 03·(1－0.6)3＝0.064， P (X ＝1)＝C 13·0.6(1－0.6)2＝0.288， P (X ＝2)＝C 23·0.62(1－0.6)＝0.432， P (X ＝3)＝C 33·0.63＝0.216.分布列为因为X ～B (3,0.6)，所以期望E (X )＝3×0.6＝1.8，方差D (X )＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.题型2 离散型随机变量的均值与方差角度1 求离散型随机变量的均值与方差典例(2016·山东高考)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望E (X )．解 (1)记事件A ：“甲第一轮猜对”，记事件B ：“乙第一轮猜对”，记事件C ：“甲第二轮猜对”，记事件D ：“乙第二轮猜对”，记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”．由题意，E ＝ABCD ＋A BCD ＋A B CD ＋AB C D ＋ABC D ，由事件的独立性与互斥性，得P (E )＝P (ABCD )＋P (A BCD )＋P (A B CD )＋P (AB C D )＋P (ABC D )＝P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＝34×23×34×23＋2×( 14×23×34×23＋34×13×34×23 )＝23.所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23.(2)由题意，随机变量X 可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得P (X ＝0)＝14×13×14×13＝1144，P (X ＝1)＝2×( 34×13×14×13＋14×23×14×13 )＝10144＝572，P (X ＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144，P (X ＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝12144＝112，P (X ＝4)＝2×( 34×23×34×13＋34×23×14×23 )＝60144＝512，P (X ＝6)＝34×23×34×23＝36144＝14.可得随机变量X 的分布列为所以数学期望E (X )＝0×1144＋1×572＋2×25144＋3×112＋4×512＋6×14＝236. 角度2 均值与方差的应用问题典例(2016·全国卷Ⅰ)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？解(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.可知X的所有可能取值为16、17、18、19、20、21、22，P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.所以X的分布列为(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．当n＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4040.当n＝20时，E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4080.可知当n＝19时所需费用的期望值小于n＝20时所需费用的期望值，故应选n ＝19.方法技巧1．求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值．(2)求ξ取每个值的概率．(3)写出ξ的分布列．(4)由均值的定义求E(ξ)．(5)由方差的定义求D(ξ)．2．由均值与方差情况求参数问题的求解思路先根据题设条件将均值、方差用待求参数表示，再由已知均值与方差构建关于参数的方程(组)，然后求解．3．利用均值、方差进行决策的方法：均值能够反映随机变量取值的“平均水平”，因此，当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分晓，由此可对实际问题作出决策判断；若两个随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两个变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，方差越小，则偏离均值的平均程度越小，进而进行决策．提醒：均值E(X)由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X值的取值的平均水平．冲关针对训练(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？解(1)由题意知，X所有可能取值为200,300,500，由表格数据知P(X＝200)＝2＋1690＝0.2，P(X＝300)＝3690＝0.4，P(X＝500)＝25＋7＋490＝0.4.因此X的分布列为(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500.当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n；若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1200－2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.因此E(Y)＝2n×0.4＋(1200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.当200≤n＜300时，若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n，因此E(Y)＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.题型3正态分布典例(2015·湖南高考)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为() (附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544) A．2386 B．2718 C．3413 D．4772答案 C解析由曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线可知题图中阴影部分的面积为P(0<X≤1)＝12×0.6826＝0.3413，又题图中正方形面积为1，故它们的比值为0.3413，故落入阴影部分的点的个数的估计值为0.3413×10000＝3413.故选C.[条件探究]若将本典例中条件“曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线”变为“曲线C为正态分布N(－1,1)的密度曲线”，则结果如何？解对于正态分布N(－1,1)，可知μ＝－1，σ＝1，正态曲线关于直线x＝－1对称，故题图中阴影部分的面积为12×[P(－3<X≤1)－P(－2<X≤0)]＝12×[P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)－P(μ－σ<X≤μ＋σ)]＝12×(0.9544－0.6826)＝0.1359，所以点落入题图中阴影部分的概率P＝0.13591＝0.1359，投入10000个点，落入阴影部分的个数约为10000×0.1359＝1359.方法技巧正态分布下两类常见的概率计算1．利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的面积为1.2．利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．冲关针对训练(2014·全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求E(X)．附：150≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)＝0.9544.解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z ～N (200,150)，从而P (187.8<Z <212.2)＝P (200－12.2<Z <200＋12.2)＝0.6826.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826， 依题意知X ～B (100,0.6826)，所以E (X )＝100×0.6826＝68.26.1．(2017·浙江高考)已知随机变量ξi 满足P (ξi ＝1)＝p i ，P (ξi ＝0)＝1－p i ，i ＝1，2.若0＜p 1＜p 2＜12，则( )A ．E (ξ1)<E (ξ2)，D (ξ1)<D (ξ2)B ．E (ξ1)<E (ξ2)，D (ξ1)>D (ξ2)C ．E (ξ1)>E (ξ2)，D (ξ1)<D (ξ2) D ．E (ξ1)>E (ξ2)，D (ξ1)>D (ξ2) 答案 A解析 ∵E (ξ1)＝0×(1－p 1)＋1×p 1＝p 1， 同理，E (ξ2)＝p 2，又0<p 1<p 2， ∴E (ξ1)<E (ξ2)．D (ξ1)＝(0－p 1)2(1－p 1)＋(1－p 1)2·p 1＝p 1－p 21，同理，D (ξ2)＝p 2－p 22.D (ξ1)－D (ξ2)＝p 1－p 2－(p 21－p 22)＝(p 1－p 2)(1－p 1－p 2)．∵0<p 1<p 2<12，∴1－p 1－p 2>0， ∴(p 1－p 2)(1－p 1－p 2)<0. ∴D (ξ1)<D (ξ2)．故选A.2．(2015·湖北高考)设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是( )A ．P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B ．P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C ．对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )D ．对任意正数t ，P (X ≥t )≥P (Y ≥t ) 答案 C解析 由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2，∴P (Y ≥μ2)<P (Y ≥μ1)，故A 错误；P (X ≤σ2)>P (X ≤σ1)，故B 错误；当t 为任意正数时，由题图可知P (X ≤t )≥P (Y ≤t )，而P (X ≤t )＝1－P (X ≥t )，P (Y ≤t )＝1－P (Y ≥t )，∴P (X ≥t )≤P (Y ≥t )，故C 正确，D 错误．故选C.3．(2018·安徽模拟)某小区有1000户，各户每月的用电量近似服从正态分布N (300,102)，则用电量在320度以上的户数约为( )(参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.44%，P (μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝99.74%)A ．17B ．23C ．34D ．46 答案 B解析 P (ξ>320)＝12×[1－P (280<ξ≤320)] ＝12×(1－95.44%)＝0.0228， 0．0228×1000＝22.8≈23，∴用电量在320度以上的户数约为23.故选B.4．(2017·全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________.答案 1.96解析由题意得X～B(100,0.02)，∴D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．已知ξ的分布列为则在下列式中：①E (ξ)＝－13；②D (ξ)＝2327；③P (ξ＝0)＝13.正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 E (ξ)＝(－1)×12＋1×16＝－13，故①正确．D (ξ)＝⎝⎛⎭⎪⎫－1＋132×12＋⎝⎛⎭⎪⎫0＋132×13＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋132×16＝59，故②不正确．由分布列知③正确．故选C.2．已知随机变量X ＋Y ＝8，若X ～B (10,0.6)，则E (Y )，D (Y )分别是( ) A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6 D ．6和5.6答案 B解析 由已知随机变量X ＋Y ＝8，所以Y ＝8－X .因此，求得E (Y )＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2，D (Y )＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4.故选B.3．(2018·广东茂名模拟)若离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E (X )＝( ) A ．2 B ．2或12 C.12 D ．1 答案 C解析 因为分布列中概率和为1，所以a 2＋a 22＝1，即a 2＋a －2＝0，解得a ＝ －2(舍去)或a ＝1，所以E (X )＝12.故选C.4．(2017·青岛质检)设随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，则函数f (x )＝x 2＋2x ＋ξ不存在零点的概率为( )A.12B.23C.34D.45 答案 A解析 函数f (x )＝x 2＋2x ＋ξ不存在零点的条件是 Δ＝22－4×1×ξ<0，解得ξ>1.又ξ～N (1，σ2)，所以P (ξ>1)＝12，即所求事件的概率为12.故选A.5．(2018·山东聊城重点中学联考)已知服从正态分布N (μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%.某校为高一年级1000名新生每人定制一套校服，经统计，学生的身高(单位：cm)服从正态分布(165,52)，则适合身高在155～175 cm 范围内的校服大约要定制( )A ．683套B ．954套C ．972套D ．997套 答案 B解析 P (155<ξ<175)＝P (165－5×2<ξ<165＋5×2)＝P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.4%.因此服装大约定制1000×95.4%＝954套．故选B.6．(2018·皖南十校联考)在某市1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N (98，100)．已知参加本次考试的全市理科学生约9450人．某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第多少名？( )A ．1500B ．1700C ．4500D ．8000 答案 A解析 因为学生的数学成绩X ～N (98,100)，所以P (X ≥108)＝12[1－P (88<X <108)]＝12[1－P (μ－σ<X <μ＋σ)]＝12(1－0.6826)＝0.1587，故该学生的数学成绩大约排在全市第0.1587×9450≈1500名，故选A.7．(2017·银川一中一模)一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，(a ，b ，c ∈(0,1))，已知他投篮得分的数学期望是2，则2a ＋13b 的最小值为( )A.323B.283C.143D.163 答案 D解析 由数学期望的定义可知3a ＋2b ＝2，所以2a ＋13b ＝12(3a ＋2b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋13b ＝12( 6＋23＋4b a ＋a b )≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋23＋4＝163，当且仅当4b a ＝a b 即a ＝12，b ＝14时取得等号．故选D.8．若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1<x 2，又已知E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2的值为( )A.53B.73 C ．3 D.113 答案 C 解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 1·23＋x 2·13＝43，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－432·23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－432·13＝29，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝53，x 2＝23或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2. 又∵x 1<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2，∴x 1＋x 2＝3.故选C.9．(2018·广州调研)已知随机变量x 服从正态分布N (μ，σ2)，且P (μ－2σ<x ≤μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－σ<x ≤μ＋σ)＝0.6826，若μ＝4，σ＝1，则P (5<x <6)等于( )A ．0.1358B ．0.1359C ．0.2716D ．0.2718 答案 B解析 由题知x ～N (4,1)，作出相应的正态曲线，如图，依题意P (2<x ≤6)＝0.9544，P (3<x ≤5)＝0.6826，即曲边梯形ABCD 的面积为0.9544，曲边梯形EFGH 的面积为0.6826，其中A ，E ，F ，B 的横坐标分别是2,3,5,6，由曲线关于直线x ＝4对称，可知曲边梯形FBCG 的面积为0.9544－0.68262＝0.1359，即P (5<x <6)＝0.1359，故选B.10．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，712B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫712，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 答案 B解析 根据题意，学生一次发球成功的概率为p ，即P (X ＝1)＝p ，发球二次的概率P (X ＝2)＝p (1－p )，发球三次的概率P (X ＝3)＝(1－p )2，则E (X )＝p ＋2p (1－p )＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3，依题意有E (X )>1.75，则p 2－3p ＋3>1.75，解得p >52或p <12，结合p 的实际意义，可得0<p <12，即p ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.故选B. 二、填空题11．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝______.答案 53解析 ∵P (X ＝0)＝13×(1－p )2＝112，∴p ＝12. 则P (X ＝1)＝23×12×12＋13×12×12×2＝412＝13， P (X ＝2)＝23×12×12×2＋13×12×12＝512， P (X ＝3)＝23×12×12＝16.则E (X )＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.12．某省实验中学高三共有学生600人，一次数学考试的成绩(试卷满分150分)服从正态分布N (100，σ2)，统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的13，则此次考试成绩不低于120分的学生约有________人．答案 100解析 ∵数学考试成绩ξ～N (100，σ2)，作出正态分布图象，可能看出，图象关于直线x ＝100对称．显然P (80≤ξ≤100)＝P (100≤ξ≤120)＝13；∴P (ξ≤80)＝P (ξ≥120)．又∵P (ξ≤80)＋P (ξ≥120)＝1－P (80≤ξ≤100)－P (100≤ξ≤120)＝13，∴P (ξ≥120)＝12×13＝16.∴成绩不低于120分的学生约为600×16＝100人．13．(2018·沧州七校联考)2017年中国汽车销售量达到1700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N (8，σ2)，已知耗油量ξ∈[7,9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有________辆．答案 180解析 由题意可知ξ～N (8，σ2)，故正态分布曲线以μ＝8为对称轴．又因为P (7≤ξ≤9)＝0.7，故P (7≤ξ≤9)＝2P (8≤ξ≤9)＝0.7，所以P (8≤ξ≤9)＝0.35.而P (ξ≥8)＝0.5，所以P (ξ>9)＝0.15.故耗油量大于9升的汽车大约有1200×0.15 ＝180辆．14．(2017·安徽蚌埠模拟)赌博有陷阱．某种赌博游戏每局的规则是：参与者从标有5,6,7,8,9的小球中随机摸取一个(除数字不同外，其余均相同)，将小球上的数字作为其赌金(单位：元)，然后放回该小球，再随机摸取两个小球，将两个小球上数字之差的绝对值的2倍作为其奖金(单位：元)．若随机变量ξ和η分别表示参与者在每一局赌博游戏中的赌金与奖金，则E (ξ)－E (η)＝________元．答案 3解析 ξ的分布列为E (ξ)＝15×(5＋6＋7＋8＋9)＝7(元)． η的分布列为E (η)＝2×25＋4×310＋6×15＋8×110＝4(元)， ∴E (ξ)－E (η)＝7－4＝3(元)．故答案为3.B 级三、解答题15．(2018·湖北八校第二次联考)某手机卖场对市民进行国产手机认可度的调查，随机抽取100名市民，按年龄(单位：岁)进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下：(1)求频率分布表中x、y的值，并补全频率分布直方图；(2)在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加国产手机用户体验问卷调查，现从这20人中随机选取2人各赠送精美礼品一份，设这2名市民中年龄在[35,40)内的人数为X，求X的分布列及数学期望．解(1)由题意知，[25,30)内的频率为0.01×5＝0.05，故x＝100×0.05＝5.因[30,35)内的频率为1－(0.05＋0.35＋0.3＋0.1)＝1－0.8＝0.2，故y＝100×0.2＝20，且[30,35)这组对应的频率组距＝0.25＝0.04.补全频率分布直方图略．(2)∵年龄从小到大的各层人数之间的比为5∶20∶35∶30∶10＝1∶4∶7∶6∶2，且共抽取20人，∴抽取的20人中，年龄在[35,40)内的人数为7.X可取0,1,2，P(X＝0)＝C213C220＝78190，P(X＝1)＝C113C17C220＝91190，P(X＝2)＝C27C220＝21 190，故X的分布列为故E(X)＝91190×1＋21190×2＝133190.16．新生儿Apgar 评分，即阿氏评分，是对新生儿出生后总体状况的一个评估，主要从呼吸、心率、反射、肤色、肌张力这几个方面评分， 评分在8～10分者为正常新生儿，评分在4～7分的新生儿考虑患有轻度窒息，评分在4分以下的新生儿考虑患有重度窒息，大部分新生儿的评分在7～10分之间．某医院妇产科从9月份出生的新生儿中随机抽取了16名，表格记录了他们的评分情况．(1)现从这16名新生儿中随机抽取3名，求至多有1名新生儿的评分不低于9分的概率；(2)用这16名新生儿的Apgar 评分来估计本年度新生儿的总体状况，若从本年度新生儿中任选3名，记X 表示抽到评分不低于9分的新生儿数，求X 的分布列及数学期望．解 (1)设A i 表示所抽取的3名新生儿中有i 名的评分不低于9分， “至多有1名新生儿的评分不低于9分”记为事件A ，则由表格中数据可知P (A )＝P (A 0)＋P (A 1)＝C 312C 316＋C 14C 212C 316＝121140.(2)由表格数据知，从本年度新生儿中任选1名，评分不低于9分的概率为416＝14，由题意知随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3，且P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764；P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫141⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝2764； P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫142⎝ ⎛⎭⎪⎫341＝964；P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164. 所以X 的分布列为E (X )＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝0.75⎝ ⎛⎭⎪⎫或E (X )＝3×14＝0.75.17．(2015·湖南高考)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的数学期望和方差．解 (1)记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意，A 1与A 2相互独立，A 1A －2与A －1A 2互斥，B 1与B 2互斥，且B 1＝A 1A 2，B 2＝A 1A －2＋A －1A 2，C ＝B 1＋B 2.因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝12，所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝25×12＝15，P (B 2)＝P (A 1A －2＋A －1A 2)＝P (A 1A －2)＋P (A －1A 2)＝P (A 1)P (A －2)＋P (A －1)P (A 2)＝P (A 1)[1－P (A 2)]＋[1－P (A 1)]P (A 2)＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×12＝12.故所求概率为P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝710. (2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，15.故X 的数学期望为E (X )＝3×15＝35，方差为D (X )＝3×15×45＝1225.18．(2018·江淮十校联考)某市级教研室对辖区内高三年级10000名学生的数学一轮成绩统计分析发现其服从正态分布N (120,25)，该市一重点高中学校随机抽取了该校成绩介于85分到145分之间的50名学生的数学成绩进行分析，得到如图所示的频率分布直方图．(1)试估算该校高三年级数学的平均成绩；(2)从所抽取的50名学生中成绩在125分(含125分)以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X ，求X 的期望．附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<X <μ＋3σ)＝0.9974. 解 (1)由频率分布直方图可知[125,135)的频率为 1－10×(0.01＋0.024＋0.03＋0.016＋0.008)＝0.12， 该校高三年级数学的平均成绩为90×0.1＋100×0.24＋110×0.3＋120×0.16＋130×0.12＋140×0.08＝112(分)． (2)由于1310000＝0.0013，由正态分布得P (120－3×5<X <120＋3×5)＝0.9974，故P (X ≥135)＝1－0.99742＝0.0013，即0.0013×10000＝13， 所以前13名的成绩全部在135分以上，由频率分布直方图可知这50人中成绩在135以上(包括135分)的有50×0.08＝4人，而在[125,145)的学生有50×(0.12＋0.08)＝10人，所以X 的取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 36C 310＝16，P (X ＝1)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝2)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝3)＝C 34C 310＝130，X 的分布列为数学期望值为E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝1.2.。
离散型随机变量方差
离散型随机变量方差
离散型随机变量方差是概率论中一个重要的概念，它用于描述随机变量的离散程度。
在统计学中，方差是一个非常重要的指标，它可以帮助我们了解数据的分布情况，以及数据的稳定性和可靠性。
离散型随机变量方差的计算公式为：Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2，其中E(X)表示随机变量X的期望值，E(X^2)表示随机变量X的平方的期望值。
方差的计算公式可以帮助我们计算出随机变量的离散程度，从而更好地了解数据的分布情况。
方差的值越大，表示随机变量的离散程度越大，数据的分布越分散。
反之，方差的值越小，表示随机变量的离散程度越小，数据的分布越集中。
因此，方差是一个非常重要的指标，可以帮助我们了解数据的分布情况，以及数据的稳定性和可靠性。
在实际应用中，方差经常被用来评估数据的稳定性和可靠性。
例如，在股票市场中，我们可以使用方差来评估股票的风险程度。
如果一个股票的方差较大，表示该股票的价格波动较大，风险较高；反之，如果一个股票的方差较小，表示该股票的价格波动较小，风险较低。
除了股票市场，方差还可以应用于其他领域，例如医学、金融、工程等。
在医学领域中，方差可以用来评估药物的疗效和副作用；在金融领域中，方差可以用来评估投资组合的风险程度；在工程领域中，方差可以用来评估产品的质量和可靠性。
离散型随机变量方差是一个非常重要的概念，它可以帮助我们了解数据的分布情况，以及数据的稳定性和可靠性。
在实际应用中，方差经常被用来评估数据的稳定性和可靠性，可以应用于股票市场、医学、金融、工程等领域。
离散型随机变量的期望和方差
岚山一中导学学案学习改写人生，反思启迪智慧离散型随机变量的期望和方差【怎么考】1．考查有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念． 2．利用离散型随机变量的均值、方差解决一些实际问题．【复习指导】均值与方差是离散型随机变量的两个重要数字特征，是高考在考查概率时考查的重点，复习时，要掌握期望与方差的计算公式，并能运用其性质解题． 【知识梳理】1、离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为(1)均值称E (X )＝ 为随机变量X 的均值或 ，它反映了离散型随机变量取值的 ． (2)方差称D (X )＝ i ＝1n[x i －E (X )]2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 的 ，其 为随机变量X 的标准差． 2、三种分布(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )；(2)X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )；(3)若X 服从超几何分布，则E (X )＝n MN. 3、六条性质(1)E (C )＝C (C 为常数)(2)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b (a 、b 为常数)(3)E (X 1＋X 2)＝EX 1＋EX 2(4)D (aX ＋b )＝a 2·D (X ) 【基础自测】1．(2010·山东)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )． A.65 B.65C. 2 D ．2 2、已知X 的分布列为设Y ＝2X ＋3，则E (Y )的值为( )．A.73 B ．4 C ．－1 D ．13、(2010·湖北)某射手射击所得环数ξ的分布列如下： 已知ξ的期望E (ξ)＝8.9，则y 的值为________． A ．0.4 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.94．设随机变量X ～B (n ，p )，且E (X )＝1.6，D (X )＝1.28，则( )． A ．n ＝8，p ＝0.2 B ．n ＝4，p ＝0.4 C ．n ＝5，p ＝0.32 D ．n ＝7，p ＝0.45 【考向透析】【例1】（2012济南一模）将编号为1，2，3，4的四张同样材质的卡片，随机放入编码分别为1，2，3，4的四个小盒中，每盒仅放一张卡片，若第k 号卡片恰好落入第k 号小盒中，则称其为一个匹对，用ξ表示匹对的个数. （1）求第2号卡片恰好落入第2号小盒内的概率; （2）求匹对数ξ的分布列和数学期望ξE .【例2】（2012日照一模）某校高二年级甲班有2名男乒乓球选手和3名女乒乓球选手，乙班有3名男乒乓球选手和1名乒乓球选手，学校计划从甲、乙两班各选2名选手参加体育交流活动。
离散型随机变量的期望及方差
3．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个 面上标以数1，一个面上标以数2.将这个小正方体抛掷2次，则向上 的数之积的数学期望________．
解析：随机变量 ξ 的取值为 0,1,2,4，P(ξ＝0)＝34，P(ξ＝1)＝19，P(ξ ＝2)＝19，P(ξ＝4)＝316，因此 Eξ＝49.
(1)X的概率分布；
(2)X的数学期望．
解：摸球的情形有以下5种：甲1白，乙2白(0元)；甲1红，乙2 白或甲1白，乙1红1白(10元)；甲1红，乙1红1白(20元)；甲1白，乙 2红(50元)；甲1红，乙2红(60元)．
(1)X的所有可能的取值为0,10,20,50,60， P(X＝0)＝(190)3＝1702090； P(X＝10)＝110×(190)2＋190×11082＝1204030； P(X＝20)＝110×11082＝110800；
[例1] 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记 上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一个，ξ表示所取球的标 号．
(1)求ξ的分布列、期望和方差；
(2)若η＝aξ＋b，Eη＝1，Dη＝11，试求a，b的值． [课堂记录] (1)ξ 的分布列为
ξ0 1 2 3 4
P
1 2
P(X＝50)＝190×1102＝10900； P(X＝60)＝1103＝10100； ∴X 的概率分布为
(2)EX＝0×1702090＋10×1204030＋20×110800＋50×10900＋60×10100＝ 3.3(元)．
热点之二 期望与方差的性质及应用 利用均值和方差的性质，可以避免复杂的运算．常用性质 有： (1)EC＝C(C为常数)； (2)E(aX＋b)＝aEX＋b(a，b为常数)； (3)E(X1＋X2)＝EX1＋EX2；E(aX1＋bX2)＝aE(X1)＋bE(X2)；
离散型随机变量的方差
2.3离散型随机变量 的方差
复习回顾 1、离散型随机变量 X 的均值（数学期望）
EX xi pi 反映了离散型随机变量取值的平均水平.
i 1
n
E (aX b) aEX b
3、特殊分布的均值 （1）若随机变量X服从两点分布，则 EX p （2）若 X ~ B(n, p) ，则 （3）若X֘
1 1．已知随机变量ξ的分布列为：P(ξ＝k)＝ ，k＝1,2,3， 3 A 则D(3ξ＋5)＝( ) A．6 B．9 C．3 D．4
2 ．设ξ ～B(n，p)，且Eξ ＝ 12， Dξ＝ 4 ，则n与p 的值分别 为( )C 1 2 A．18， B．12， 3 3 2 1 C．18， D．12， 3 3
1
5 ．已知离散型随机变量 X 的分布列如下表．若 EX ＝0 ， DX＝1，则a＝________，b＝________.
X P
－1 a
0 b
1 c
2 1 12
11 1 解析：由题知 a＋b＋c＝ ，－a＋c＋ ＝0,12×a＋12× 12 6 1 5 1 2 c＋2 × ＝1，解得 a＝ ，b＝ . 12 12 4
甲单位不同职位月工资X1/元 1200
获得相应职位的概率P1
0.4
1400 0.3 1400 0.3
1600 0.2 1800 0.2
1800 0.1 2200 0.1
乙单位不同职位月工资X2/元 1000
获得相应职位的概率P2
0.4
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？ 解： EX 1400 , DX2 112000 , EX 2 1400 DX1 40000 1 在两个单位工资的数学期望相等的情况下,如果认为自 己能力很强,应选择工资方差大的单位,即乙单位;如果认为 自己能力不强,就应选择工资方差小的单位,即甲单位.
离散型随机变量的均值与方差
[方法锦囊]
P 0.1 0.2 0.16 0.54
(1)求离散型随机变量的 均值与方差关键是确定
Y 的数学期望为 E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋
随机变量的所有可能 值，写出随机变量的分
85×0.54＝76.4.
布列，正确运用均值、
由以上的计算结果可以看出，E(X)<E(Y)，即购进 17 枝玫瑰花时的平均利润大于购进 16 枝时的平均利 润．故花店一天应购进 17 枝玫瑰花．
方差公式进行计算． (2)要注意观察随机变量 的概率分布特征，若属 二项分布的，可用二项
分布的均值与方差公式
计算，则更为简单．
考向一离散型随机变量的均值和方差
【训练 1】 A、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名
队员，A 队队员是 A1、A2、A3，B 队队员是 B1、B2、B3，按 以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：
P(X＝3)＝23×25×25＝785，
P(X＝2)＝23×25×35＋13×25×25＋23×35×25＝2758，
[审题视点]
(1)根 据 日 需求 量 分 类 求 出 函 数 解析 式 ． (2) ①根据当天的需求量， 写出相应的利润，列 出分布列，求出数学 期望和方差，②比较 两种情况的数学期望 或方差即可．
【例 2】►设随机变量 X 具有分布 P(X＝k)＝15，k＝ 1,2,3,4,5，求 E(X＋2)2，D(2X－1)， DX－1. 解 ∵E(X)＝1×15＋2×15＋3×15＋4×15＋5×15＝155＝3. E(X2)＝1×15＋22×15＋32×15＋42×15＋52×15＝11. D(X)＝(1－3)2×15＋(2－3)2×15＋(3－3)2×15＋(4－3)2×15 ＋(5－3)2×15＝15(4＋1＋0＋1＋4)＝2. ∴ E(X ＋ 2)2 ＝ E(X2 ＋ 4X ＋ 4) ＝ E(X2) ＋ 4E(X) ＋ 4 ＝ 11 ＋ 12＋4＝27. D(2X－1)＝4D(X)＝8， DX－1＝ DX＝ 2.
2.5.2离散型随机变量的方差
问题引入
甲、乙两名工人生产同一种产品，在相同条件下， 他们生产 100 件产品所出的不合格品数分别用 X1、X2 表示，X1、X2 的概率分布表如下：
X1 p X2 p
0 0.6 0 0.5
1 0.2 1 0.3
2 0.1 2 0.2
3 0.1 3 0
(2)求其射击 4 次，射中次数 Y 的数学期望和方差．
若 X～B(n, p)(二项分布)，则 E(X)＝np，V(X)＝np(1－p)
基础练习2
3．独立地抛掷 500 次质地均匀的骰子，设出现 3 点 向上的次数为 X，则 X 的数学期望为________， X 的标准差为________．
4．口袋中有若干个大小相同的红球和白球，从中有放 回地取若干次小球，设其中出现红球次数为 X，且 E(X)＝10，V(X)＝8，则共摸出了_______个小球．
例4
口袋中装有 7 个红球和 3 个白球，这些球除颜色 以外完全相同，某学生一次从中摸出 5 个球，其中红 球的个数为 X，求 X 的数学期望和方差．
若 X～H(n， M，N)(超几何分布)，则
nM ( N n )( N M ) nM E(X)＝ ，V(X)＝ N N ( N 1) N
对于一组数据的稳定性的描述，我们是用方差或 标准差来刻画的.
§2.5.2 离散型随机变量的方差和标准差
2008－3－13
定义
一般地，若随机变量 X 的概率分布如下图所示， 则 ( xi )2 ( E( X )) 描述了 xi (i 1,2,..., n) 相对于 均值 的偏离程度，故
问题：如何比较甲、乙两人的技术？
问题引入
数学期望是离散型随机变量的一个特征数， 它反映 了离散型随机变量取值的平均水平， 表示了随机变量在 随机实验中取值的平均值， 所以又常称为随机变量的平 均数、均值．但有时两个随机变量只用这一个特征量是 无法区别他们的。还需要对随机变量取值的稳定与波 动、集中与离散的程度进行刻画．
离散型随机变量的方差
离散型随机变量的方差
独立离散型随机变量的方差是指该随机变量的方差，它是由其不同可能变量值的概率
乘以它们的差的平方而得出的。
离散型随机变量的方差也称为分散度，因为它是使变量值
分布分散的一种度量。
离散型随机变量的方差的计算公式为：方差=概率乘以值的平方的差的和的的乘以期
待数的差的平方，其中，概率乘以值的平方的差的和描述了变量值之间的差距，而期望数
描述变量的均值。
假设有一组随机变量，它们的概率分布为1/3,1/3,1/3，其中 x1=1,x2=2,x3=3，则该组变量的方差为σ2=(1-1.5)²×(1/3)+(2-1.5)²×(1/3)+(3-1.5)²×(1/3)= 0.25 。
许多情况下，方差是一种衡量变量聚集程度的有效指标，当离散型随机变量的方差小
于1时，表明变量的分布比较集中，变量的值处于一些比较定值的范围内；而当离散型随
机变量的方差大于1时，则表明变量的分布比较分散，变量的值不会集中于特定的范围内，它的分布越集中，方差越大。
方差的大小可以依据变量的概率分布来计算，例如有一组数，概率分布分别为
p1,p2,...,pn，值相应地分别为x1,x2,...,xn，则该组数据的方差为σ2= Σ(xi-
μ)²×pi，其中μ表示随机变量的期望数，即期望数= Σxi×pi。
总之，离散型随机变量的方差是用来描述变量的分散程度的一种量化方式，由其可以
进一步了解和掌握变量的分布形式，为数据分析提供有效的指导信息。
离散型随机变量的方差
离散型随机变量的方差
离散型随机变量的方差：
1. 定义：
离散型随机变量的方差是指离散型随机变量的取值的波动的程度，是衡量离散型随机变量的离散性程度的一个数字特征。
其定义为：离散型随机变量的方差，就是
它的可能取值分量的概率值的平方与它的期望的差的绝对值的期望，用数学公式表示为： σ2=E（|X-E(X)|^2）。
2. 具体计算：
一般地，若离散型随机变量X有n种可能取值x1, x2,…，xn，且各取值的概率分
别为P1, P2,…, Pn，则它的方差可以计算为：σ2=Σ(xk-E(X))^2Pk（k=1,2,…,n），
这种表达式把概率积分变为概率和相乘。
3. 概念及特性：
（1）离散型随机变量的方差表示该变量取值分量和期望之间的偏离程度，值越大，变动程度越大，离散性越大，反之，若方差越小，说明变动越小，离散性越小。
（2）离散型随机变量的方差不是一个稳定的值，而是跟概率有关，若改变概率值，则方差值也会改变。
（3）方差是不等号两边的和，当方差的值大于0，则离散型随机变量的变动是有
方向的，反之，如果等于0，则表明该变量不会发生变化。
（4）方差在评价投资机会时，可用来衡量投资收益率的范围，当它越大时，投资
收益绝对值的变动也越大，说明投资机会的收益风险也增大。
原创1 ：2.3.2离散型随机变量的方差
6
6
6
1
1
2
2
(5 3.5) (6 3.5) 2.92
6
6
2
sX
DX 1.71
题后感悟
求离散型随机变量X的方差、标准差的一般步骤：
①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；
②求X取各个值的概率，写出分布列；
③根据分布列，由期望的定义求出 EX；
新疆
王新敞
奎屯
④根据方差、标准差的定义求出、.
解：根据月工资的分布列，可算得
EX 1 1200 0.4 + 1 400 0.3 + 1600 0.2 + 1800 0.1 =1400
DX 1 (1200 -1400)
2
0. 4 (1400 -1400 ) 2 0.3 (1600 -1400 ) 2 0.2
X2
P
5
0.01
6
0.05
7
0.20
8
0.41
9
0.33
请问应该派哪名同学参赛？
EX 1 8 , EX 2 8
发现两个均值相等
因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.
问题探究
1、定性分析
除平均中靶环数以外，还有其他刻画两名同学各自射击特点的指标吗？
（1）分别画出1 , 2 的分布列图.
得正品之前已取出次品数的期望与方差．
新疆
王新敞
奎屯
EX=0.3 ；DX=351/1100
课堂小结
1、离散型随机变量取值的方差、标准差及意义
2、记住几个常见公式
D(aX b) a 2 DX
若X服从两点分布，则DX
离散型随机变量期望和方差
1.期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=x i的概率为P（ξ=x i）=P i（i=1，2，…，n，…），则称Eξ=∑x i p i为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.Eξ由ξ的分布列唯一确定.2.方差：称Dξ=∑（x i－Eξ）2p i为随机变量ξ的均方差，简称方差.D叫标准差，反映了ξ的离散程度.3.性质：（1）E（aξ+b）=aEξ+b，D（aξ+b）=a2Dξ（a、b为常数）.（2）二项分布的期望与方差：若ξ～B（n，p），则Eξ=np，Dξ=npq（q=1－p）.Dξ表示ξ对Eξ的平均偏离程度，Dξ越大表示平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散.1．（2013•广东）已知离散型随机变量X的分布列为X 1 2 3P则X的数学期望E（X）=（）A．B． 2 C．D． 32．（2010•宁夏）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（）A． 100 B． 200 C． 300 D． 4003．（2007•四川）某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量（单位：克）分别为：150，152，153，149，148，146，151，150，152，147，由此估计这车苹果单个重量的期望值是（）A．150.2克B．149.8克C．149.4克D．147.8克4．（2014•浙江二模）李先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，途中（不绕行）共要经过6个交叉路口，假设每个交叉路口发生堵车事件的概率均为，则李先生在一次上班途中会遇到堵车次数ξ的期望值Eξ是（）A．B． 1 C．6×（）6D． 6×（）6 5．从装有颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X，已知E（X）=3，则D（X）=（）A．B．C．D．6．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若ξ表示取到次品的个数，则Eξ等于（）A．B．C．D． 17．某射手射击击中目标的概率为0.8，从开始射击到击中目标所需的射击次数为ξ，则Eξ等于（）A．B．C．D．58．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ_________（结果用最简分数表示）．9．设离散型随机变量ξ可能取的值为1，2，3，4．P（ξ=k）=ak+b（k=1，2，3，4），又ξ的数学期望Eξ=3，则a+b= _________．10．同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量ξ=1表示结果中有正面向上，ξ=0表示结果中没有正面向上，则Eξ=_________．11．一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个球，则其中含红球个数的数学期望是_________．12．（2014•温州一模）现有三个小球全部随机放入三个盒子中，设随机变量ξ为三个盒子中含球最多的盒子里的球数，则ξ的数学期望Eξ为_________．13．从1，2，3，…，n﹣1，n这n个数中任取两个数，设这两个数之积的数学期望为Eξ，则Eξ=_________．14．（2013•闸北区二模）一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球共10个．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．从袋中任意摸出2个球，记得到白球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ=_________．15．某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为ξ，则ξ的方差Dξ=_________．16．（2013•嘉兴一模）一盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球•从盒中一次任取3个球，若为黑球则放回盒中，若为白球则涂黑后再放回盒中．此时盒中黑球个数X的均值E（X）=_________．17．（2013•虹口区二模）从集合的所有非空子集中，等可能地取出一个，记取出的非空子集中元素个数为ξ，则ξ的数学期望Eξ=_________．18．（2012•台州一模）把2对孪生兄弟共4人随机排成一排，记随机变量ξ为这一排中孪生兄弟相邻的对数，则随机变量ξ的期望Eξ=_________．19．（2012•杭州二模）（理）设整数m是从不等式x2﹣2x﹣8≤0的整数解的集合S中随机抽取的一个元素，记随机变量ξ=m2，则ξ的数学期望Eξ=_________．20．（2011•温州二模）甲、乙两个同学每人有两本书，把四本书混放在一起，每人随机从中拿回两本，记甲同学拿到自己书的本数为ξ，则Eξ=_________．21．一个人随机的将编号为1，2，3，4的四个小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了．设放对的个数记为ξ，则ξ的期望Eξ=_________．22．设口袋中有黑球、白球共9个球，从中任取2个球，若取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为_________．23．（2011•嘉定区三模）某班从5名班干部（其中男生3人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选．设所选3人中女生人数为ξ，则随机变量ξ的方差Dξ=_________．24．（2012•重庆）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．（Ⅰ）求甲获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望．25．（2012•四川）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为和p．（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；（Ⅱ）设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望Eξ．26．（2012•山东）现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．（Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX．27．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为．（Ⅰ）求乙投球的命中率p；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．28．甲、乙俩人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为．（Ⅰ）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望Eξ；（Ⅱ）求乙至多击中目标2次的概率；（Ⅲ）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．29．一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响．假设该时刻有ξ部电话占线．试求随机变量ξ的概率分布和它的期望．30．（2014•淄博三模）一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1，2，3，4，5，4个白球编号分剐为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球．（Ⅰ）求取出的3个球编号都不相同的概率；（Ⅱ）记X为取出的3个球中编号的最小值，求X的分布列与数学期望．。
课件12：2.3.2 离散型随机变量的方差
发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为
甲保护区
X
0
1 23
P 0.3 0.3 0.2 0.2
乙保护区
Y0
1
2
P 0.1 0.5 0.4
试评定这两个保护区的管理水平．
解：甲保护区的违规次数 X 的均值和方差分别为： E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3； D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－ 1.3)2×0.2＝1.21. 乙保护区的违规次数 Y 的均值和方差分别为： E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3； D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.
仅知道均值大小是不够的，比如：两个随机变量的 均值相等(即均值相等)，这时还需要知道随机变量的 取值如何在均值附近变化，即计算其方差，方差大 说明随机变量取值比较分散；方差小说明随机变量 的取值比较集中、稳定．
活学活用
甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生
动物的种类和数量也大致相等．两个保护区内每个季度
解得 a＝152，b＝c＝14.
【答案】152
1 4
5．已知某运动员投篮命中率 p＝0.6. (1)求一次投篮命中次数 ξ 的均值与方差； (2)求重复 5 次投篮时，命中次数 η 的均值与方差．
解：(1)投篮一次命中次数 ξ 的分布列为 ξ0 1 P 0.4 0.6
则 E(ξ)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6， D(ξ)＝(0－0.6)2×0.4＋(1－0.6)2×0.6＝0.24.
3．对于已知 D(X)求 D(aX＋b)型，利用方差的性质 求解，即利用 D(aX＋b)＝a2D(X)求解．
第七章 离散型随机变量的方差
P
1 2
1 3
1 6
(1)求 E(ξ)，D(ξ)， Dξ；
解 E(ξ)＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，
D(ξ)＝－1＋132×12＋0＋132×13＋1＋132×16＝59，
Dξ＝
5 3.
(2)设η＝2ξ＋3，求E(η)，D(η). 解 E(η)＝2E(ξ)＋3＝73，D(η)＝4D(ξ)＝290.
X0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2
Y0
1
2
P 0.1 0.5 0.4
试评定这两个保护区的管理水平.
解 甲保护区内违反保护条例的次数X的均值和方差分别为 E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3， D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21. 乙保护区内违反保护条例的次数Y的均值和方差分别为 E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3， D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41. 因为E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)， 所以两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件的平均次数相同， 但甲保护区内违反保护条例的事件次数相对分散且波动较大， 乙保护区内违反保护条例的事件次数更加集中和稳定， 相对而言，乙保护区的管理更好一些.
三、分布列、均值、方差的综合应用
例3 甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否 则由对方投篮；第一次由甲投篮，已知每次投篮甲、乙命中的概率分别 为13，34 . (1)求第三次由乙投篮的概率；
解 P＝13×23＋23×34＝1138.
(2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为X，求X的分布列、均值及标准差.
离散型随机变量的方差标准差
射手成绩的稳定情况
例2：有一批数量很大的商品的次品率为1%， 从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数 为ξ，求Eξ，Dξ 分析：
1、“数量很大”意味着取这批商品中的200件 出现次品数服从二项分布；
2、套用二项分布的期望与方差公式计算即可 练习：
设ξ ～B(n、p)且Eξ =12，Dξ =4，求n、p
2、满足线性关系的离散型随机变量的方差
D（ aξ+ b）= a2·Dξ
3、服从二项分布的随机变量的方差
Dξ=q Eξ=n p q，（q=1-p）
4、服从几何分布的随机变量的方差
Dx
q p2
练习:P67 1、2、3
作业: 课本： P71 3、4、6 步步高课时作业： P39-40 2. 5.2离散型随机变量的 方差与标准差 自选强化练习：优化方案相应部分 复习计数原理、排列、组合、二项式定理 预告：现在可以开始逐步完成步步高单元测试卷 第二章（A）、（B）卷，下周二上午收（A）卷， 下周三上午收（B）卷.
一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为:
X
x1 x2 x3 …… xn ……
p
p1 p2 p3 …… pn ……
则称 E（X）= x1 p1+ x2p2+…+ xn pn+… 为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称
为期望.或用 表示！
它体现了离散型随机变量取值的平均水平.
一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为:
几个重要结论（建议抄写在书上并记忆在脑中）
① 若 ax b ， 则 E E (ax b ) aE x b
② 若 x ~ B(n, p )，则 Ex np
D D(ax b) a2Dx
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复习
前面，我们认识了数学期望. 数学期望: 一般地，若离散型随机变量 ξ 的概率分布 列为
ξ x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn
则称 E x1 p1 x2 p2 … xk pk … xn pn 为 ξ 的数
学期望，简称期望．数学期望是离散型随机变量的一个特征 数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机 变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的 平均数、均值．但有时两个随机变量只用这一个特征量是无 法区别他们的。还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中 与离散的程度进行刻画．
下面的分析对吗？
显然两名选手
∵ E 8 0.2 9 0.6 10 0.2 9 的水平是不同的,
E2 8 0.4 9 0.2 10 0.4 9 这里要进一步去 ∴甲、乙两射手的射击水平相同. 分析他们的成绩
（你赞成吗？为什么？）
的稳定性.
x 我的想法是，看谁命中的环数 i 与其平均环数
( xi E )2 pi 为随机变量的方差. 称 D
i 1
为随机变量的标准差.
它们都是反映离散型随机变量偏离于均 值的平均程度的量，它们的值越小，则随 机变量偏离于均值的平均程度越小，即越 集中于均值.
(1).利用定义计算:
n
D ( xi E )2 pi i1
(2).利用公式变形计算:
解:∵ E 8 0.2 9 0.6 10 0.2 9 E2 8 0.4 9 0.2 10 0.4 9
∴甲、乙两射手的射击平均水平相同.
如果对手在 8环左右,派甲.
又∵ D 0.4, D2 0.8, ∴甲射击水平更稳定.
如果对手在9 环左右,派乙.
例题
例题：甲乙两人每天产量相同，它们的次品个数
EX 偏差的绝对值 xi EX 最小.
出现了新的问题，每一个环数与偏差的绝对值 也是一大堆的数，不好确定，怎么办？
有了新思路：把这一大堆数再取平均值 E X EX
就可以了.
为什么这样可以？
E X EX 愈小，X的值就愈集中于 EX 附近，
表明此射手发挥愈稳定; 反之就愈分散，表明此射
同一条件下射击，所得环数ξ1、ξ2的 分布列如下：
ξ1 8 9 10
ξ2 8 9 10
P 0.2 0.6 0.2
P 0.4 0.2 0.4
试比较两名射手的射击水平.如果其他对手的射击成绩都
在8环左右，应派哪一名选手参赛？如果其他对手的射击成
绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？
分别为 ，其分布列为
0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2
0 1 2 P 0.1 0.5 0.4
判断甲乙两人生产水平的高低？
解答
E=0×0.3+1×0.3＋2×0.2＋3×0.2=1.3 E=0×0.1+1×0.5＋2×0.4=1.3
2.已知x~B(100,0.5),则Ex=5__0_,Dx=_2_5__,σx=_5__. E(2x-1)=__9_9_, D(2x-1)=_1_0_0_, σ(2x-1)=__1_0__
3、有一批数量很大的商品，其中次品占1％，现 从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为 X，求EX和DX. 2，1.98
(3 2)2 0.2 (4 2)2 0.1 1.2
D 1.2 1.095
2. 若随机变量X 满足P（X＝c）＝1，其中c为常数， 求EX 和 DX.
EX＝c×1＝c DX＝（c－c）2×1＝0
结论
根据期望的定义可推出下面两个重要结论:
结论1：若 a b, 则 E aE b ;
结论2：若ξ~B(n，p)，则Eξ= np.
那么,根据方差的定义你能推出类似的什么结论:
可以证明, 对于方差有下面两个重要性质：
⑴ D(a b) a2D
⑵ 若 ~ B(n, p)，则D npq
(其中q 1 p)
练习一下
练习
1.已知随机变量ξ的分布列为则Eξ与Dξ的值为( ) D
(A) 0.6和0.7 (B)1.7和0.3 1 2 (C) 0.3和0.7 (D)1.7和0.21 P 0.3 0.7
然而在实际中E X EX 带有绝对值，在数学运
算上不方便，因而，通常用 E X EX 2来表达随机
变量 X 取值的分散程度或集中程度．
现在我可以确定派谁去了.
据此分析，我可以算得：
E(X EX )2 (8 9)2 0.2 (9 9)2 0.6 (10 9)2 0.2 0.4 E(Y EY )2 (8 9)2 0.1 (9 9)2 0.8 (10 9)2 0.1 0.2
D E( 2 ) (E )2
练习
1. 已知随机变量ξ 的分布列
ξ01234
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 求D和σ.
解：E 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1 2 D (0 2)2 0.1 (1 2)2 0.2 (2 2)2 0.4
离散性随机变量的方差
温故而知新
1、离散型随机变量 X 的均值（数学期望）
n
EX xi pi 反映了离散型随机变量取值的平均水平. i 1
2、均值的性质
E(aX b) aEX b
3、两种特殊分布的均值
（1）若随机变量X服从两点分布，则 EX p
（2）若 X ~ B(n, p) ，则 EX np
探究
已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数1、 2的分布列如下：
ξ1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2
ξ2 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4
试比较两名射手的射击水平.如果其他对手的射击成 绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？如果其他对手的 射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？
由于 EX EX 2 EY EY 2,因此乙射击水平
更稳定一些，看来甲无话可说了．
定义
离散型随机变量取值的方差和标准差: 一般地,若离散型随机变量的概率分布列为：
x1 x2 ··· xi ··· xn
P p1 p2 ··· pi ··· pn
则称 n
D ( x1 E )2 p1 L ( xi E )2 pi L ( xn E )2 pn