平面向量应用举例
平面向量的应用
平面向量的应用平面向量是解决空间内几何问题的重要工具之一，具有广泛的应用。
它们可以用来描述物体的位移、速度、加速度等物理量，帮助我们解决各种实际问题。
本文将介绍平面向量的应用，包括力的作用、力的分解、面积计算以及平衡条件等方面。
1. 力的作用平面向量可以用来描述力的作用。
在物体上施加力可以使其发生位移。
假设有两个力F1和F2作用在物体上，它们的大小和方向可以用平面向量表示。
若这两个力的向量分别为A和B，它们的合力可以表示为A + B。
通过求解合力向量的大小和方向，可以确定物体所受的合力。
2. 力的分解平面向量还可以用来对力进行分解。
在力的分析中，我们常常需要将一个力分解为两个或多个分力，以便更好地理解和研究物体受力情况。
将一个力F进行分解，可以得到两个力F1和F2，它们的合力等于F。
通过适当地选择分解方向和大小，可以使得问题的处理更加简单。
3. 面积计算平面向量可以用来计算平面上的面积。
设有三个非共线的向量A、B和C，它们的起点相同，可以构成一个三角形。
这个三角形的面积可以用向量的叉乘来计算，即：面积 = 1/2 * |A × B|其中，|A × B|表示叉乘的模。
通过面积计算公式，我们可以快速准确地计算出平面上各种形状的面积，如矩形、梯形、圆等。
4. 平衡条件平面向量还可以应用于力系统的平衡条件。
对于一个物体受到多个力的作用，若物体保持平衡，则所有作用力的合力必须为零。
可以将每个力表示为一个平面向量，然后将它们相加得到合力向量。
若合力向量为零，则说明物体处于平衡状态。
在实际问题中，通过平面向量的分析和计算，可以解决许多与平面运动、平衡、受力分析等相关的问题。
例如，在建筑物的结构设计中，我们可以利用平面向量对各个支点受力进行分析，保证建筑物结构的稳定性。
总结平面向量的应用广泛且重要，它们可以用于描述力的作用、力的分解、面积计算以及平衡条件的分析等方面。
通过适当地选择和计算向量，可以解决各种实际问题，并提高问题处理的准确性和效率。
《平面向量应用举例》高一年级下册PPT课件
第二章 平面向量
[解析] 以 B 为原点，BC 所在直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标
系．
∵AB＝AC＝5，BC＝6， ∴B(0,0)，A(3,4)，C(6,0)， 则A→C＝(3，－4)． ∵点 M 是边 AC 上靠近点 A 的一个三等分点， ∴A→M＝31A→C＝(1，－43)，
8
∴M(4，3)，
第二章 平面向量
(3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线 段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件：a⊥b⇔a· b＝0(或 x1x2＋y1y2＝0)
_______________________________.
a· b cosθ＝|a ||b|
(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式________________.
第二章 平面向量
∴B→M＝(4，8)．
3
假设在 BM 上存在点 P 使得 PC⊥BM， 设B→P＝λB→M，且 0<λ<1， 即B→P＝λB→M＝λ(4，83)＝(4λ，83λ)， ∴C→P＝C→B＋B→P＝(－6,0)＋(4λ，83λ)＝(4λ－6，83λ)． ∵PC⊥BM，∴C→P· B→M＝0，
第二章 平面向量
[解析] A→B＝(7－20)i＋(0－15)j＝－13i－15j， (1)F1所做的功 W1＝F1· s＝F1· A→B ＝(i＋j)· (－13i－15j)＝－28； F2 所做的功 W2＝F2· s＝F2· A→B ＝(4i－5j)· (－13i－15j)＝23. (2)因为 F＝F1＋F2＝5i－4j， 所以 F 所做的功 W＝F· s＝F· A→B ＝(5i－4j)· (－13i－15j)＝－5.
1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．
高中数学第二章平面向量向量应用举例例题与探究(含解析)
2.7 向量应用举例典题精讲例1用向量法证明平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。
思路分析：把平行四边形的边和对角线的长看成向量的长度，转化为证明向量长度之间的关系.基向量法和坐标法均可解决.答案：已知：四边形ABCD是平行四边形，求证：|AC｜2＋|BD|2=2|AB｜2＋2|AD|2。
证法一：如图2—7—1所示，设AB=a, AD=b，∴AC=AB＋AD=a＋b，BD=AD-AB=b-a。
图2-7—1∴｜AC｜2=(a+b）2=a2+2a·b+b2，｜BD｜2=（b—a)2=a2-2a·b＋b2。
∴｜AC|2＋|BD|2=2a2+2b2.又∵2|AB|2＋2|AD|2=2｜OB|2＋2|OD|2=2a2+2b2，∴｜AC｜2＋|BD|2=2|AB|2＋2｜AD｜2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.证法二:如图2—7-2所示，以A为原点,以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.设A（0，0）、D（a,b）、B（c，0），∴AC=AB＋AD图2—7-2=OB＋OD=(c，0）+（a，b)=(a+c,b），BD=AD—AB=OD—OB=（a，b)-(c,0）=（a-c,b)。
∴|AC｜2=（c+a）2+b2，|BD｜2=（a-c）2+b2.∴｜AC|2＋|BD｜2=2a2+2c2+2b2。
又∵2｜AB｜2＋2|AD｜2=2|OB｜2＋2｜OD｜2=2a2+2c2+2b2,∴|AC|2＋|BD｜2=2|AB｜2＋2｜AD｜2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。
绿色通道：1。
向量法解决几何问题的步骤:①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;②通过向量运算（有基向量法和坐标法两种),研究几何元素之间的关系；③把运算结果“翻译”成几何关系。
这是用向量法解决平面几何问题的“三步曲”.又简称为：一建二算三译；也可说成为：捡便宜（建算译)。
初中数学知识归纳平面向量的应用
初中数学知识归纳平面向量的应用初中数学知识归纳:平面向量的应用平面向量是初中数学中重要的概念之一，其应用领域非常广泛。
在本文中，我们将归纳总结平面向量的应用，并且探讨其在几何、物理和经济等领域中的具体应用。
一、平面向量在几何中的应用1. 平移变换：平面向量的加法运算可以用于描述平移变换。
假设有一个向量a表示某个点的位置，通过向量b可以将该点平移至另一个位置，新的位置可以表示为a+b。
平移变换在几何图形的移动和构造中有着重要的应用，例如平行四边形的构造、图形的镜像等。
2. 向量共线与线性组合：通过向量的共线性来判断线段的相似性和平面的共面性。
如果两个向量a和b共线，则可以表示为a=kb，其中k 为一个实数。
此外，通过向量的线性组合可以方便地表示平面内的任意一点。
这种方法在平面几何证明和计算中经常被使用。
3. 矢量运算：平面向量的乘法运算包括数量积和向量积。
数量积可以用于计算两个向量的夹角，通过计算a·b=|a||b|cosθ来得到。
而向量积则用于计算两个向量的面积，通过计算a×b=|a||b|sinθ来得到。
这些矢量运算在几何中常常用于求解角度、判断垂直、计算面积等问题。
二、平面向量在物理中的应用1. 力的合成与分解：平面向量可以用于描述物体所受到的力的合成与分解。
当一个物体受到多个力的作用时，可以将这些力的大小和方向表示为向量，并利用向量的运算求得它们的合力。
相反地，可以将一个力向量分解为多个力向量的和，以便更好地分析物体所受到的力的效果。
2. 平衡力与力的平衡：平面向量的概念在力的平衡问题中有着重要的应用。
当物体所受到的合力为零时，物体处于平衡状态。
利用平面向量，我们可以方便地求解力的平衡条件，并解决各种力的平衡问题。
3. 速度与加速度：平面向量可以用于描述物体的速度和加速度。
速度可以表示为物体位置矢量随时间的变化率，即v=d/dt[r(t)]，其中r(t)为位置矢量。
利用平面向量的运算可以方便地计算物体的速度和加速度，并解决相关的运动学问题。
平面向量应用举例
① ② ③
B F
a
P
E
b
D
c
C
利用向量的线性运算证明共线、平行、长度等问题
探究： 已知直角三角形的两直角边长为4和 6，试用向量方法求两直角边中线所成钝 角的余弦值。 y
B
B (0,6)
C
C (0,3) O A x (4,0)
O
Hale Waihona Puke DAD (2,0)
探究： 用向量方法证明：等腰三角形底边 上的中线垂直于底边.
已知等腰直角三角形ABC,D为BC边上的 中点.
设M 、N 分别是四边形ABCD对边AB、CD的中点， 1 求证： MN ( AD BC ). 2
例1.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、 CD的中点，求 cos EAF的值.
例1.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、 CD的中点，求 cos EAF的值.
例2.已知直角梯形ABCD中，AB//CD，CDA=DAB=90 , 1 CD DA AB, 求证：AC BC. 2
o
向量在几何中的应用（三部曲）：
用基底表示
向量运算
翻译几何结果
建立坐标系
坐标运算
翻译几何结果
O 为中线 AM 上的一个动点，若 在 ABC 中， AM =2，求 OA (OB OC) 的最小值
已知:如图，AC为⊙O的一条直径，∠ABC是圆周角 求证： ∠ABC=90°
B O A
图 2.5-4
C
利用向量的数量积可解决长度、角度、垂直等问题
向量是一个有利的“工具”
用向量法证明三角形三条高交于一点.
如图：AD、BE、CF是 ABC的三条高. 求证：AD、BE、CF 相交于一点.
平面向量的应用向量的投影与反射
平面向量的应用向量的投影与反射平面向量的应用：向量的投影与反射在数学中，向量是用来描述方向和大小的量。
平面向量是二维空间中的向量，广泛应用于各个领域，包括物理、工程和计算机科学等。
本文将重点介绍平面向量的应用之一：向量的投影与反射。
一、向量的投影向量的投影是指将一个向量在另一个向量方向上的分量。
在平面向量中，投影可以用于求解某个向量在另一个向量上的分解，从而简化计算过程。
设有两个非零向量a和b，我们将向量a在向量b上的投影表示为proj<sub>b</sub>a。
1. 向量的投影定义设向量a和b不平行，向量a在向量b上的投影proj<sub>b</sub>a 的大小为a在b方向上的分量，方向与b相同。
可以用下列公式来计算向量的投影：proj<sub>b</sub>a = (a·b / |b|²) * b其中，a·b表示向量a和b的点积，|b|表示向量b的长度。
投影的计算结果是一个向量，其大小为标量a·b与b长度的比例，方向与向量b 相同。
2. 向量的投影应用向量的投影在实际问题中有广泛的应用。
例如，在力学中，我们可以将一个力的大小和方向表示为一个力向量。
在求解斜面上物体的自由体图时，我们可以将物体的重力向量进行投影，分解为沿斜面方向和垂直斜面方向的分量，以便更好地分析问题。
二、向量的反射向量的反射是指一个向量在另一个向量上的镜像反射。
通过向量的反射，我们可以研究光线的传播和折射等现象。
1. 向量的反射定义设向量a和b不平行，向量a关于向量b的反射表示为reflect<sub>b</sub>a。
向量a关于向量b的反射可以通过以下公式计算：reflect<sub>b</sub>a = a - 2 * proj<sub>b</sub>a其中，proj<sub>b</sub>a表示向量a在向量b上的投影。
2.5.1平面向量应用举例三道
3
故AT=RT=TC
练习1、证明直径所对的圆周角是直角
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°A 分析：要证∠ACB=90°，只须证向 量AC CB，即 AC CB 0 。
C
a
b
O
B
解：设 AO a, OC b
则
AC a b, CB a， b
2
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问 题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量 问题；常设基底向量或建立向量坐标。 （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系， 如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何元素。
简述：形到向量
向量的运算
向量和数到形
例2 如图，平行四边形 ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点， 你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
猜想：
D
F T
C
AR=RT=TC
A
E
R
B
解：设 AB a , AD b 则 AC a b 由于 AR 与AC 共线，故设 AR r n(a b) , n R 又因为 ER与 EB 共线，
1 所以设ER mEB m(a b ) 2
D E R
F T B
C
因为 AR AE ER
1 1 所以 r 1 1 因此n(a b ) b m(a b ) 2 2
AB 2 BC 2 CD2 DA2 2( a b )
AC BD a b
向量在生活中的应用159661[整理版]
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向量在生活中的应用159661在生活中向量也有一些具体表现形式，有关的问题也可以充分利用向量求解.应用问题的解决主要是建立数学模型.用向量、三角、解析几何之间的特殊关系，将生活与数学知识之间进行沟通，使动静转换充实到解题过程之中。
一、平面向量在位移与速度上的应用例1 以某市人民广场的中心为原点建立直角坐标系,x轴指向东,y轴指向北一个单位表示实际路程100米,一人步行从广场入口处A(2,0)出发,始终沿一个方向均速前进,6分钟时路过少年宫C,10分钟后到达科技馆B(-3,5).求：此人的位移向量(说明此人位移的距离和方向);此人行走的速度向量(用坐标表示);少年宫C点相对于广场中心所处的位置.(下列数据供选用:tan18°24?＝0.3327,tan18°26?= 13 ,tan2?＝0.0006)分析：⑴AB的坐标等于它终点的坐标减去起点的坐标,代入A,B坐标可求；⑵习惯上单位取百米/小时，故需先将时间换成小时。
而速度等于位移除以时间，由三角知识可求出坐标表示的速度向量。
⑶通过向量的坐标运算及三角函数公式求解。
解：⑴ AB＝(－3,5)－(2,0)＝(－5,5)，|AB|＝(-5)2+52＝52，∠xOB＝135°⑵t＝10分＝ 16 小时，|V|＝ |AB|t ＝302∴Vx＝|V|cos135°＝－30，Vy＝|V|sin135°＝30，∴V＝(－30,30)⑶∵AC＝ 610 AB，∴OC＝OA＋ 35 AB＝(2,0)＋ 35 (－5,5)＝(－1,3)∴|OC|＝10，又tan(18°24?＋2?)＝0.3327+0.00061-0.3327×0.0006 ＝ 13而tan∠COy＝ 13 ，∴∠COy＝arctan 13 ＝18°26?。
∴少年宫C点相对于广场中心所处的位置为“北偏西18°26?，10百米”处。
平面向量的应用
平面向量的应用平面向量是解决平面几何问题的重要工具之一。
它可以用于求解平面上的距离、角度、垂直、平行等关系，为各种几何问题的解决提供了方便和简洁的方法。
本文将介绍平面向量在几种常见问题中的应用，包括向量的加减法、向量共线垂直性质、向量的数量积和向量的模、方向投影等内容。
一、向量的加减法向量的加减法是平面向量最基本的操作。
当我们要求两个向量的和或差时，可以通过将它们的对应分量相加或相减来得到结果。
例如，有向量 $\overrightarrow{AB} = \langle x_1, y_1 \rangle$ 和$\overrightarrow{CD} = \langle x_2, y_2 \rangle$，它们的和为$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \langle x_1 + x_2, y_1 +y_2 \rangle$，差为 $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} = \langle x_1 - x_2, y_1 - y_2 \rangle$。
二、向量共线与垂直性质对于两个非零向量 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{CD}$，如果它们的方向相同或相反，则称这两个向量共线。
向量共线的判断可以通过它们的方向比较或通过计算它们的比值来得到。
如果两个向量的方向垂直，则称这两个向量垂直。
两个向量垂直的判断可以通过它们的数量积的结果是否为零来确定。
三、向量的数量积向量的数量积也称为点积或内积，用符号 $\cdot$ 表示。
对于向量$\overrightarrow{AB} = \langle x_1, y_1 \rangle$ 和 $\overrightarrow{CD} = \langle x_2, y_2 \rangle$，它们的数量积为 $x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$。
平面向量的数量积和叉积的应用举例
平面向量的数量积和叉积的应用举例平面向量是向量的一种特殊形式，它的位移方向限制在二维平面上。
数量积和叉积是平面向量的两个重要运算，它们在数学和物理中有着广泛的应用。
本文将通过举例，介绍平面向量的数量积和叉积在实际问题中的应用。
一、数量积的应用1. 力的分解和合成假设有一物体施加力F，在平面上有两个方向的分量F1和F2，它们的夹角为θ。
我们可以通过数量积的运算来求解F1和F2的数值。
具体的计算公式为：F = F1 + F2 = |F1|cosθ + |F2|cosθ通过这个公式，我们可以将一个力分解为两个力的和，从而更好地理解力的作用机制。
2. 工作和功当一个物体受力并且发生位移时，力做功。
工作是力在位移方向上的数量积。
对于平面向量而言，工作的计算公式为：W = F·s = |F||s|cosθ其中，W表示工作的大小，F表示力的大小，s表示位移的大小，θ表示力和位移之间的夹角。
3. 判断垂直关系两个向量垂直的充要条件是它们的数量积为零。
因此在实际问题中，通过计算向量的数量积可以判断两个向量是否垂直。
例如，我们可以通过数量积来判断一个物体在斜坡上向上滚动时的加速度是否与斜坡垂直。
二、叉积的应用1. 面积计算对于平面上的两个向量a和b，它们的叉积a×b的大小等于这两个向量所围成的平行四边形的面积。
具体的计算公式为：|a×b| = |a||b|sinθ其中，|a×b|表示叉积的大小，|a|和|b|分别表示向量a和b的大小，θ表示这两个向量之间的夹角。
通过叉积的运算，我们可以直接计算出平行四边形的面积，这在几何学和物理学中有着重要的应用。
2. 判断向量的方向叉积不仅可以计算大小，还可以确定向量的方向。
叉积的结果是一个新的向量，它垂直于原来的两个向量，其方向遵循右手定则。
这一性质在物理学中经常被用来确定电流和磁场之间的方向关系，并被应用于电磁学的研究中。
3. 力矩计算力矩是与平面向量的叉积有关的重要概念，表示力对物体的转动效果。
平面向量的应用
平面向量的应用平面向量在数学和物理等领域中具有广泛的应用。
本文将探讨平面向量在几何、力学和电磁学等方面的实际应用。
一、平面向量在几何中的应用1. 平面向量的位移应用平面向量在几何中常用于描述物体的位移。
假设有一个起点为A，终点为B的平面向量AB，表示从A点移动到B点的位移。
通过平面向量的加法和减法，我们可以准确地计算出物体在平面上的位移及其方向。
2. 平面向量的无理数倍应用在几何中，平面向量的无理数倍也有重要的应用。
通过无理数倍，我们可以精确地描述两个向量之间的比例关系。
这在相似三角形的问题中常常用到，可以帮助我们得到精确的比例值。
二、平面向量在力学中的应用3. 平面向量的力的应用平面向量在力学中广泛应用于描述作用力和力的平衡问题。
通过将力的大小和方向表示成向量，我们可以方便地进行加减运算，并准确地计算出合力和分力。
4. 平面向量的力矩应用在力学中，平面向量的力矩也有重要的应用。
力矩是描述力偏转或转动作用的物理量。
通过平面向量的叉乘运算，我们可以计算出力矩的大小和方向，进而分析物体的旋转和平衡问题。
三、平面向量在电磁学中的应用5. 平面向量的电场强度应用在电磁学中，平面向量广泛应用于描述电场和电荷之间的关系。
通过平面向量表示电场强度和电荷的分布情况，我们可以方便地计算电场的强度和方向，并分析电荷之间的相互作用。
6. 平面向量的磁场强度应用在电磁学中，平面向量也用于描述磁场的强度和方向。
通过平面向量表示磁场强度和电流的分布情况，我们可以准确地计算磁场的强度和方向，并分析电流之间的相互作用。
综上所述，平面向量在几何、力学和电磁学等领域中都具有重要的应用。
通过运用平面向量的概念和运算法则，我们可以更加准确地描述和分析相关问题，为实际应用提供有力的支持。
平面向量在实际问题中的应用
平面向量在实际问题中的应用作者：修宗敏来源：《读与写·下旬刊》2013年第10期中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2013）10-0178-01平面向量不同于一般的数量，相对于我们以前所学过的知识而言，它是一种新的量。
利用向量的有关知识可以解决数学、物理科学等方面中的许多问题，下面就平面向量在实际问题中的应用作一例谈，以飨读者。
1.流水行船中的平面向量例1 一条小船要渡过一条两岸平行的小河，河的宽度d=100m，船速水流速度为试问船头与岸的夹角a为多大时，小船行驶到对岸位移最小？解析：如图所示，设水流速度为.以A为圆心，一船速的大小为半径作圆，则向量的终点在圆上，由向量加法的三角形法则可知，合速度的起点在O点，终点在圆上一点B.设小船行驶到对岸的位移为S，则在三角形AOB中，设，易得即故要使|S|最小，需角a 最大，由平面几何的知识可知，当OB圆相切时，角a最大，且船应逆水而上，且船头与岸的夹角为60。
时，小船行驶到对岸位移最小.2.军事试验中的平面向量例2 美国不顾国际社会的强烈反对，于2001年7月14日进行导弹防御系统拦截技术的第四次试验，军方先从加利福尼亚州的危登堡空军基地发射一枚作为标靶的洲际弹道导弹和诱弹，再从马绍尔群岛的夸贾林环焦发射另一枚导弹对前一枚导弹进行拦截，实施拦截时必须准确计算出标靶的飞行速度及瞬时位置.现假设标靶与拦截导弹的飞行轨迹均在同一个平面内，标靶飞行速度为（基底是上述平面内的单位向量），若标靶的飞行方向为北偏东方向为正东，方向为北偏东试求实数的值.解析：建立如图所示的直角坐标系，则3.空中救援中的平面向量例3 一架执行救灾任务的飞机从A地按北偏西的方向飞行300km后到达B地，然后向C 地飞行.已知C地在A地北偏东的方向处，且A、C两地相距300km，求飞机从B地向C地飞行的方向及B、C两地的距离.解析：首先根据题意作出图形，如右图所示，然后由A地确定B、C两地的方位与距离.根据题意与图形可知由A地在B地东偏南的方向处，可知C地在B地东偏南的方向处.所以可得飞机从B地向C地飞行的方向为东偏南，B、C两地的距离为4.荒岛寻宝中的平面向量例4 乐乐在其曾祖父的遗物中发现了一张羊皮，上面有以下记载：乘船至北纬××度、西经××度有一荒岛，长一株松树（P），从松树面北向左前方行若干步，有一红石（A），然后左拐行同样的步数，打桩再从松树面北向右前方行若干步，有一白石（B），然后右拐行同样的步数，打桩在两桩中点处埋藏着宝物.乐乐看了记载心里很高兴，便乘船到荒岛，在岛上乐乐找到了红石（A）和白石（B），但由于年代久远，松树已经没有了，你能帮助乐乐找到宝物吗？解析：设藏宝地为M，松树P依然存在，便知的位置关系，以AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，设A（-1，0），B（1，0），P（x，y），则有所以藏宝地M所对应的向量，即M的坐标为（0，-1）.5.物理学中的平面向量例5 点在平面上作匀速直线运动，速度是每秒时，点P在处，求点P满足直线方程，并求t=5时点p坐标.。
32 平面向量应用举例-艺考生文化课百日冲刺
命题热点集训（三十二） 平面向量应用举例1．设0为坐标原点，F 为抛物线x y 42=的焦点，A 是抛物线上一点，若,40-=⋅则点A 的坐标是)2,1.(±A )2,1(⋅B )2,1(-⋅C )1,1.(±D2．在△ABC 中，AB =3，AC 边上的中线.,5BD =,5=则AC 的长为1.A2.B3.C4.D3．设O 是坐标原点，A ，B 是圆122=+y x 上的两点，且A ，O ，B 不共线，则-+与的夹角为o A 90. o B 60. 120.C 30.D4．在长江南岸渡口处，江水以12.5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h 渡船要垂直地渡过长江，则航向为A ．北偏东o 30B ．北偏西o 45C ．北偏西060D ．北偏西o 305．在平行四边形ABCD 中，已知BAD AD AB ∠==,1,2,60 =E 为CD 的中点，则=BD AE .6．设a 、b 是两个不共线的非零向量，记t tb a (,==),(31),b a R +=∈那么当实数t 为____时，A 、B 、C 三点共线． 7．设),sin 451,(cos ),,(cos αααα-==b ms a 且a⊥b，则锐角α为 8．如图32 -1，在△ABC 中，=P ,31是BN 上的一点，若=,112m +则实数m 的值为9．设函数,)(b a x f ⋅=其中向量==b x m a ),2cos ,()(),1,2sin 1(x f R x x 且∈+的图象经过点).2,4(π (1)求实数m 的值；(2)求)(x f 的最小正周期．10.已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若).(R k k BC BA AC AB ∈=⋅=⋅(1)判断△ABC 的形状；(2)若,2=c 求k 的值，。
第二章平面向量及其应用（讲义+典型例题）（原卷版）
第二章平面向量及其应用（讲义+典型例题）一．平面向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0例1：（1）．如图，在矩形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是（）A．DA和BC B．DC和ABC．DC和BC D．DC和DA（2）．如图，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA a=，OB b=，OC c=．在以A，B，C，D，E，F，O这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：（1）与a相等的向量有哪些？（2）b的相反向量有哪些？（3）与c共线的向量有哪些？.举一反三1．下列说法正确的是（）A ．若a b =，则a b =±B ．零向量的长度是0C ．长度相等的向量叫相等向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量2．（多选）如图，在四边形ABCD 中，若AB DC =，则图中相等的向量是（ ）A ．AD 与BCB ．OB 与ODC ．AC 与BDD ．AO 与OC3．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ＝2，M ，N 分别为AD 和BC 的中点，以A ，B ，C ，D ，M ，N 为起点和终点作向量，回答下列问题：(1)在模为1的向量中，相等的向量有多少对？ (2)2二.平面向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a . (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ).减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差三角形法则a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算(1)|λa |＝|λ||a |；(2)当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa )＝(λμ)a ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb例2：①．如图，已知平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA a = ，OB b = ，则BC 可以表示为（ ）A ．a b +B ．a b -C ．b a -D ．a b --②．如图，已知下列各组向量a ，b ，求作a b +．③．在ABC 中，已知AB b =，AC c =，求作： (1)2b ； (2)()2b c -；(3)32b c -．④．化简： (1)AB BC DC +-；(2)AB BC DC DE EA +-++； (3)()OA O BC B --． 举一反三1．5()3(2)a b a b ---= ___________.2．如图，已知M ，N 分别是四边形ABCD 的边AB ，CD 的中点，求证：()12MN AD BC =+．3．如图所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，设AB ＝a ，DA ＝b ，OC ＝c ．证明：b c a +-＝OA ．4．（1）设O 是正五边形ABCDE 的中心，求OA OB OC OD OE ++++； （2）设O 是正n 边形12n A A A 的中心，求12n OA OA OA +++．5．如图，已知a ，b 为两个非零向量．(1)求作向量a b +及a b -；(2)向量a ，b 成什么位置关系时，a b a b +=-？（不要求证明）三.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa .例3（1）如图，OA ，OB 不共线，且()AP t AB t =∈R ，用OA ，OB 表示OP ．(2)已知任意两个非零向量a ，b ，若23OA a b =+，22OB a b =+，25OC a b =+，你能判断A ，B ，C 三点之间的位置关系吗？为什么？ 举一反三1．在ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若13CD CA CB λ=+，则λ等于（ ）A ．13B ．23C ．12D ．342．设1e 与2e 是不共线的非零向量，若12ke e +与12e ke +共线且方向相反，则k 的值是（ ） A ．1- B ．1C ．±1D ．任意不为零的实数3．已知1e 与2e 不共线，12AB e e =+，1228BC e e =+，()123CD e e =-．求证：A ，B ，D 三点共线．四．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．例4（1）．等腰直角三角形ABC 中，90A ︒=，,AB AC D =是斜边BC 上一点，且3BD DC =，则AD =（ ）A ．3544AC AB +B ．3144AC AB +C ．5144AC AB +D ．3144AC AB -（2）（多选）．在ABC 中，边BC 上的中线与边AC 上的中线的交点为E ，若CE AB AC λμ=+，则2λμ+=______．举一反三1．在平面四边形ABCD 中，已知ABC 的面积是ACD △的面积的2倍.若存在正实数,x y 使得1141AC AB AD x y ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，则2x y +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．（多选）如图，在等腰梯形ABCD 中，222AB AD CD BC ===，E 是BC 的中点，连接AE ，BD 相交于点F ，连接CF ，则下列说法正确的是（ ）A ．3142AE AB AD →→→=+ B ．3255AF AB AD →→→=+ C ．1255BF AB AD →→→=-+D ．13105CF AB AD →→→=-五．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 6．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.例5（1）已知向量(1,4)a =-，(2,3)b =，则2a b -的坐标为（ ） A ．(－3，－10) B ．(－3，－2) C ．(－3，2)D ．(3，－10)（2）．已知向量1(1,)2a =-，(2,)b m =-，若a 与b 共线，则||b =（ ）A ．3B ．5C ．6D ．22（3）．已知向量a ，b 满足()1,2a λ=+，()1,b λ=，//a b ，则实数λ的值为______． 举一反三1．已知向量()3,4a =-，2AB a =，点A 的坐标为()3,4-，则点B 的坐标为______． 2．若(1,1),(1,2)a b ==-，则与a b +同方向的单位向量是_______. 3．已知点A （1，2），B （4，5），O （0，0）及OP mOA AB =+． (1)当m 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第四象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的m 的值；若不能，说明为什么．六．平面向量的数量积1，概念：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是 a·b ＝0，两个非零向量a 与b 平行的充要条件是 a·b ＝±|a||b|.2．平面向量数量积的几何意义数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 3．平面向量数量积的重要性质(1)e·a ＝a·e ＝|a |cos θ； (2)非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a·b ＝0； (3)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|，a·a ＝|a |2，|a |＝a·a ； (4)cos θ＝a·b |a||b|； (5)|a·b |__≤__|a||b|.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b ＝b·a (交换律)； (2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c . 5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到(1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.例6：（1）．如图，在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =，2AP BP ⋅=，则AB AD ⋅的值是（ ）A ．18B ．22C ．18-D ．22-（2）．已知,a b 是非零向量，且,a b 不共线，3,4a b ==，若向量a kb +与a kb -互相垂直，则实数k 的值为（ ） A ．2± B ．12±C ．43±D ．34±3．已知平面向量a ，b 满足()1,2a =，10b =，522a b ⋅=，则cos a b ⋅=______.举一反三1．设两向量12,e e 满足12122,1,,e e e e ==的夹角为60︒，12122,2=+=+a e e b e e ，则a 在b 上的投影为（ ） A 53B 521C 57D 522．（多选）已知在△ABC 中，2AB =，2AB AM =，2CM CN =，若0AN BC ⋅=，则（ ）A ．23AB AC AN += B ．()2AB ACCM -C ．AB AC ⊥D ．45ACM ∠=︒3．已知向量()3,2a =-，()1,0b =，向量()()2a b a b λ+⊥-，则向量()()a b a kb λ-+时实数k的值为______.4．已知向量()2,3a =，()3,1b =，若()a ab λ⊥+，则λ的值为___________.七．向量在平面几何中的应用 用向量解决常见平面几何问题的技巧： 问题类型 所用知识 公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0， 其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) 垂直问题 数量积的运算性质a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中a ，b 为非零向量夹角问题 数量积的定义 cos θ＝a ·b|a |·|b |(θ为向量a ，b 的夹角)长度问题 数量积的定义|a |＝a 2＝x 2＋y 2，其中a ＝(x ，y )例7：①．已知2a =，4b =，a 与b 的夹角为60︒.（1）计算()a ab ⋅+的值；（2）若()0a a kb ⋅-=，求实数k 的值.②．已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥. （1）求a 与b 的夹角；（2）若14a b +=，求b .③．已知2a =，3b =，在下列情况下，求()2()a b a b +-的值： （1）//a b ；（2）a b ⊥；（3）a 与b 的夹角为120°.举一反三1．已知向量(5,12)a =-，(3,4)b =-.（1）求a 与b 夹角θ的余弦值；（2）若向量a tb +与a b -垂直，求实数t 的值. 2．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若()2,4AB =，()1,3AC =.（1）求cos DAB ∠的值；（2）求BD AD ⋅的值．3．已知向量2,1(),1,),3,1(b m a b n b a a k -==+=-=-. (1)若mn ，求k 的值；(2)当=2k 时，求m 与n 夹角的余弦值．八、正弦定理和余弦定理解三角形正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 R C cB b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C ++===A +B +A B ．2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=；;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A =;sin sin c b C B =;sin sin c aC A = 5）化角为边： RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===二.三角形面积1.B ac A bcC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆三.余弦定理1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即A bc c b a cos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+=C ab b a c cos 2222-+=2.变形：bc a c b A 2cos 222-+=ac b c a B 2cos 222-+=ab c b a C 2cos 222-+= 注意整体代入，如：21cos 222=⇒=-+B ac b c a利用余弦定理判断三角形形状：设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若，，所以为锐角②若为直角A a b c ⇔=+222 ③若， 所以为钝角，则是钝角三角形三角形中常见的结论三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；三角形三边关系：两边之和大于第三边：，，； 两边之差小于第三边：，，； 在同一个三角形中大边对大角：B A b a B A sin sin >⇔>⇔>4) 三角形内的诱导公式：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-)2sin()2cos()22cos()22sin()22tan(2tan C C C C C B A =--=-=+πππ7) 三角形的五心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点外心——三角形三边垂直平分线相交于一点内心——三角形三内角的平分线相交于一点旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点例9：1．在ABC 中，角,,A B C 分别对应边,,a b c ，已知2a =，3b =．角60B =，求角C ．2．已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，2AB AD ==，60A ∠=︒，5BC =，求CD 的长3．△ABC 中，a ＝7，c ＝3，且sin sin C B ＝35． （1）求b ；（2）求∠A ．4．已知b ，a ，c 是ABC 中B ，A ，C 的对边，且B ，A ，C 成等差数列. （1）求A ；（2）若2b =，6c =，求ABC 的面积.5．已知b ，a ，c 是ABC 中B ，A ，C 的对边，且B ，A ，C 成等差数列. （1）求A ；（2）若2b =，6c =，求ABC 的面积.举一反三1．若ABC 的面积为22,1,6b c ==，且A ∠为锐角. (1) 求cos A 的值；(2) 求sin 2sin A C的值. 2．在ABC ∆中，32b =，6cos 3A =，2B A π=+． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求cos 2C 的值．3．在ABC 中，a 、b 、c 分别是角A．B．C 的对边，且()2cos cos a c B b C -=. （1）求角B 的大小；（2）若7b =，8a c +=，求ABC 的面积.4．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且22(2)(2)a b c b c b c =-+-． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若2cos b c A =，试判断ABC 的形状5．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足1cos 2a b c B +=⋅. （1）求角C ;（2）若2,3a b ==，求ABC 外接圆的半径.6．在ABC中，已知12 tan5A .（1）若ABC外接圆的直径长为132，求BC的值；（2）若ABC为锐角三角形，其面积为6，求BC的取值范围．。
平面向量的综合应用
2、向量数量积： a b a b cos a， b 若a x1，y1 、 b x 2，y 2 则a b x1x 2 y1y 2 3、 a与b的夹角： cos a， b a b ab x1x 2 y1 y 2 x 21 y 21 x 2 2 y 2 2
2
2
2
C
3、已知向量OA 1, 2 , OB 2, m ，若OA OB，则向量OA与 AB
C
3 2 A、 B、 C、 D、 4 4 3 3 重 心。 4、已知在 ABC中， OA OB OB OC OC OA, 则O是 ABC的____
1
y
2
6、平移公式：
x xh
'
y yk
'
或
x x h
'
y y' k
基础检测
1、已知正方形ABCD的边长为1， AB a、 BC =b、 AC =c，则a b c 的模等于
C
2
A、 0 B、 3 C、 2 2 D、
2、设a、是两个非零向量，则 b a b a b 是a b的 A、充分不必要 C、充要条件 夹角为 B、必要不充分 D、既不充分也不必要条件
1、求函数的正周期. 2 、若x 0,2 ,当OP OQ
1时，求x的取值范围.
例2：已知向量a、 b、 c、，设实数 d x、y满足 a b 1， c a x 2 3 b d ya xb, 若a b、 c d，且 c 10
向量的综合应用（一）
娄底一中：刘瑞华
知识网络
概念
1 5730 p 2
用向量解决几何问题的步骤平面向量的应用举例知识点
一、平面向量在几何、物理中的应用
1、用向量解决几何问题的步骤：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如：距离，夹角等；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系。
2、用向量中的有关知识研究物理中的相关问题，步骤如下：
（1）问题的转化，即把物理问题转化为数学问题；
（2）模型的建立，即建立以向量为主题的数学模型；
（3）求出数学模型的有关解；
（4）将问题的答案转化为相关的物理问题。
二、平面向量在几何、物理中的应用
1、向量在平面几何中的应用：
（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；
（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；
（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；
1、向量在三角函数中的应用：
（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；
（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。
2、向量在物理学中的应用：
由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。
3、向量在解析几何中的应用：
（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；
（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。
平面向量的应用(解析版)
平面向量的应用(解析版)平面向量的应用(解析版)平面向量是数学中一个重要的概念，它在现实生活中有着广泛的应用。
本文将通过解析的方式介绍平面向量的应用。
以下是几个实际问题，通过解析平面向量可以得到解决。
1. 物体运动的描述在物理学中，我们经常需要描述物体的运动。
平面向量可以用来描述物体在平面上的位置和运动情况。
我们可以用一个有向线段来表示一个物体的位移，该有向线段的长度表示位移的大小，而箭头的指向表示位移的方向。
通过将位移向量进行相加、相减和缩放等运算，可以得到物体相对于某一初始位置的位置矢量，从而描述物体的运动轨迹和速度等信息。
2. 力的合成和分解在力学中，我们经常需要计算合力和分力的情况。
平面向量可以用来描述物体受到的力以及力的作用方向。
对于多个力的合力，我们可以通过将这些力的向量相加得到。
同样地，对于一个力的分解，我们可以将该力的向量按照一定比例分解为多个力的向量。
通过使用平面向量，我们可以更加方便地计算合力和分力的大小和方向。
3. 平面图形的性质在几何学中，平面向量可以用来描述和证明平面图形的性质。
例如，通过向量的加法可以证明平行四边形的对角线互相平分；通过向量的减法可以证明平行四边形的对边相等；通过向量的数量积可以计算平面图形的面积；通过向量的夹角可以判断平面图形是否垂直或平行等等。
平面向量在解析几何中起到了重要的作用，使得我们能够更加简单地研究平面图形的性质。
4. 导航和地图定位在导航和地图定位中，平面向量可以用来表示位置和方向。
我们可以将某一固定点作为原点，建立一个坐标系，通过向量来表示目标位置相对于原点的位置矢量。
同时，我们也可以通过向量的加法和缩放来表示导航的方向和距离。
通过平面向量，我们可以更加准确地确定目标位置，并指导我们的行进方向。
总结:平面向量的应用涉及到物理学、力学、几何学、导航和地图等多个领域。
通过解析平面向量，我们可以更加方便地描述物体的运动，计算合力和分力，研究平面图形的性质，以及进行导航和地图定位。
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教材整理 2 向量在物理中的应用
阅读教材 P111 例 3 至 P112 例 4 以上内容，完成下列问题． 1．物理问题中常见的向量有_力__，__速__度__，__加__速__度__，__位__移____等． 2．向量的加减法运算体现在_力__，__速__度__，__加__速__度__，__位__移__的__合__成__与__分__解___．
【解】 设 P(x，y)，R(x0，y0)， 则R→A＝(1，0)－(x0，y0)＝(1－x0，－y0)， A→P＝(x，y)－(1，0)＝(x－1，y)．
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由R→A＝2A→P，得1－－y0x＝0＝22y，（x－1），
又∵点 R 在直线 l：y＝2x－6 上，∴y0＝2x0－6，
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所以摩擦力的大小为 |f|＝|μFN|＝0.02×55＝1.1(N)． 又 f 与 s 反向， 所以 f·s＝|f|·|s|cos 180° ＝1.1×20×(－1)＝－22(J)． 即 F 与 f 所做的功分别是 500 3 J 与－22 J.
∴16－ －x20x＝0＝2x2－y，2，②
①
由①得 x0＝3－2x，代入②得 6－2(3－2x)＝2y，整理得 y＝2x，即为点 P 的
轨迹方程．
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向量在物理中的应用
(1)一个质点受到平面上的三个力 F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用
而处于平衡状态，已知 F1，F2 成 60°角且|F1|＝2，|F2|＝4，则|F3|＝( )
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[再练一题]
1．如图 2－5－2 所示，若 D 是△ABC 内的一点，且 AB2－AC2＝DB2－DC2，
求证：AD⊥BC．
【导学号：00680060】
图 2－5－2
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【证明】 设A→B＝a，A→C＝b，A→D＝e，D→B＝c，D→C＝d，则 a＝e＋c，b＝e＋d， ∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2 ＝c2＋2e·c－2e·d－d2. 由已知 a2－b2＝c2－d2， ∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，即 e·(c－d)＝0. ∵B→C＝B→D＋D→C＝d－c， ∴A→D·B→C＝e·(d－c)＝0，
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【解】 设木块的位移为 s，则：
W＝F·s＝|F|·|s|cos
30°＝50×20×
3 2
＝500 3(J)．
因为 F 在竖直方向上的分力的大小为
|F1|＝|F|·sin 30°＝50×12＝25(N)，
所以物体所受的支持力的大小为
|FN|＝|mg|－|F1|＝8×10－25＝55(N)．
4)＋3×3＝1. 【答案】 1
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[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑：
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[小组合作型] 向量在平面几何中的应用
如图 2－5－1，在正三角形 ABC 中，D、E 分别是 AB、BC 上的一
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向量在物理中的应用： (1)求力向量，速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和 的平行四边形法则求解． (2)用向量方法解决物理问题的步骤： ①把物理问题中的相关量用向量表示； ②转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决； ③结果还原为物理问题．
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【自主解答】 设所求直线上任意一点 P(x，y)， ∵A(－2，1)，∴A→P＝(x＋2，y－1)． (1)由题意知A→P∥a，∴(x＋2)×1－3(y－1)＝0， 即 x－3y＋5＝0， ∴所求直线方程为 x－3y＋5＝0. (2)由题意，知A→P⊥b， ∴(x＋2)×(－1)＋(y－1)×2＝0， 即 x－2y＋4＝0， ∴所求直线方程为 x－2y＋4＝0.
A．6
B．2
C．2 3
D．2 7
(2)某人骑车以每小时 a 千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而
当速度为每小时 2a 千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向． 【精彩点拨】 (1)可利用 F1＋F2＋F3＝0 分离 F3 得 F3＝－F1－F2，平方
可求|F3|.
(2)用相关向量表示行驶速度与风速，可利用三角形法则求解．
∴A→D⊥B→C，即 AD⊥BC．
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向量在解析几何中的应用
过点 A(－2，1)，求： (1)与向量 a＝(3，1)平行的直线方程； (2)与向量 b＝(－1，2)垂直的直线方程． 【精彩点拨】 在直线上任取一点 P(x，y)，则A→P＝(x＋2，y－1)，由A→P∥ a 可以得(1)，由A→P⊥b 可以得(2)．
由向量垂直的条件知，BP⊥DC．
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目标线段的垂直转化为向量的数量积为 零，而在此过程中，则需运用线性运算，将目标向量用基底表示，通过基底的 数量积运算式使问题获解，如本题便是将向量B→P，C→D由基底B→A，B→C线性表示．当 然基底的选取应以能够方便运算为准，即它们的夹角是明确的，且长度易知．
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两个力 F1＝i＋j，F2＝4i－5j 作用于同一质点，使该质点从点 A(20， 15)移动到点 B(7，0)(其中 i，j 分别是与 x 轴、y 轴同方向的单位向量)．
求(1)F1，F2 分别对该质点做的功； (2)F1，F2 的合力 F 对该质点做的功．
【精彩点拨】 向量数量积的物理背景是做功问题，所以本题需将做功问 题转化为求向量的数量积的问题．
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【自主解答】 (1)因为物体处于平衡状态，所以 F1＋F2＋F3＝0，所以 F3 ＝－(F1＋F2)，所以|F3|＝|F1＋F2|
＝ （F1＋F2）2 ＝ |F1|2＋|F2|2＋2F1·F2 ＝ 4＋16＋2×2×4×12＝2 7.
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【答案】 D (2)设 a 表示此人以每小时 a 千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到 风速为－a，设实际风速为 v，那么此时人感到的风速为 v－a，设O→A＝－a，O→B ＝－2a，P→O＝v，因为P→O＋O→A＝P→A，
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所以P→A＝v－a，这就是感到由正北方向吹来的风速， 因为P→O＋O→B＝P→B，所以P→B＝v－2a. 于是当此人的速度是原来的 2 倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是 → PB. 由题意：∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO，从而，△POB 为等腰直角三 角形，所以 PO＝PB＝ 2a，即|v|＝ 2a，所以实际风速是每小时 2a 千米的西 北风．
[再练一题] 3．在静水中划船速度的大小是每分钟 40 m，水流速度的大小是每分钟 20 m，如果一小船从岸边 O 处出发，沿着垂直于水流的航线到达对岸，则小船的 行进方向应指向哪里？ 【解】 如图所示，
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设向量O→A的长度和方向表示水流速度的大小和方向，向量O→B的长度和方 向表示船在静水中速度的大小和方向，以O→A，O→B为邻边作平行四边形 OACB，
个三等分点，且 AE、CD 交于点 P，求证：BP⊥DC．
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图 2－5－1
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【精彩点拨】 先表示出图中向量对应的线段，再计算所需向量的数量积．
【自主解答】 设P→D＝λC→D，并设正三角形 ABC 的边长为 a，则有：C→D＝ 23B→A－B→C，
P→A＝P→D＋D→A＝λC→D＋13B→A＝λ23B→A－B→C＋13B→A＝13(2λ＋1)B→A－λB→C. 又E→A＝B→A－13B→C，P→A∥E→A，
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1．求几个力的合力：可以用几何法，通过解三角形求边长及角，也可以用 向量法求解．
2．如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，那么力 F 所做的功 W＝|F||s|cos
θ，其中 θ 是 F 与 s 的夹角．由于力和位移都是向量，所以力所做的功就是力
与位移的数量积．
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教材整理 1 平面几何中的向量方法
阅读教材 P109～P110 例 2 以上内容，完成下列问题． 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用__向__量___表示问题中涉及的几何元素， 将平面几何问题转化为__向__量___问题； (2)通过___向__量__运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把___运__算__结__果_____“翻译”成几何关系．
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【自主解答】 A→B＝(7－20)i＋(0－15)j＝－13i－15j. (1)F1 做的功 W1＝F1·s＝F1·A→B ＝(i＋j)·(－13i－15j)＝－28 J. F2 做的功 W2＝F2·s＝F2·A→B ＝(4i－5j)·(－13i－15j)＝23 J. (2)F＝F1＋F2＝5i－4j， 所以 F 做的功 W＝F·s＝F·A→B＝(5i－4j)·(－13i－15j)＝－5 J.
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探究 2 用向量方法解决物理问题的一般步骤是什么？
【提示】 用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： ①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量 为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问 题，即把所得的数学结论回归到物理问题中．