思维导图之立体几何

向量法

向量化

平面空间一样算！

点的坐标

中点、重心坐标、两点距离公式直线的方向向量v 终点减起点

加、减法

平面的法向量n

与平面垂直的向量

判定

线线、线面、面面平行、垂直的向量判定

三点共线、四点共面

平行线线：共线

,v 1→v 2→

线面：⊥v n

面面：共线

,n 1→n 2→

垂直线线：⊥v 1→v 2

→线面：共线

,v n 面面：⊥n 1→n 2

→计算

长度

|AB |=||=AB →AB

→2−−−−√角度

线线角θ

cosθ=|cos <,>|=v 1→v 2→

|⋅|v 1→v 2→||||

v 1→v 2→线面角α

sinα=|cos <,>|=

v n |⋅|

v n ||||v n 面面角β

|cosβ|=|cos <,>|=n 1→n 2→

|⋅|n 1→n 2→||||

n 1→n 2→

距离

点P、面α距

A ∈α

d =

|⋅|AP →n ||

n 垂直建系

向量坐标

直接求坐标设坐标解方程P∈AB

设AP=λAB

已知长度、距离

设P(x,y,z)

列方程组

几何证明求坐标

运算公式

知识

概念

研究空间图形的形状、大小及位置表示

图像语言

平面表示

直观图

作图：x轴不变；轴外点作垂直，转45°，长取半还原：x轴不变；轴外点作45°，还垂直，长翻倍

三视图

作图：长对正、宽相等、高平齐还原：看轮廓、点切除、线补充

文字语言

符号语言

A∈l，A∈α；l ⊂α；l∩α=P，α∩β=l 性质

表面积、体积

切接球

外接球

多面体的所有顶点都在球面上

球心到所有顶点的距离相等

外接：空间中到两点、三点距离相等的点的轨迹三点取外心垂线两点取中垂面

找同外接球的正(长)方体

对棱都相等的四面体

策略

规则几何体转化为规则几何体面顶点外心垂线

直角、等边△

正弦定理

顶底点等距

内切球

球面与所有面都相切球心到所有面的距离相等多面体每个面到球心的距离相等

体积法求内切球半径

棱切球

球面与所有棱都相切

球心到所有棱的距离相等

多面体的每条棱到球心的距离相等截面

过三点的面的延展平行共面过A作BC的平行线相交共面

过A作AD交BC于D

D在BC及A所在面的公共线上

公理3

几何法

共线、共面

公理1A、B∈l，A、B∈α，则l∈α

公理2

不共线三点确定一个平面

直线与直线外一点

两相交直线

两平行直线公理3A∈α，A∈β，则α∩β=l且A∈l

三点共线三线共点

等角定理两角的两边平行，则两角相等或互补

平行

线线平行

定义：平面上，无公共点

判定及性质：平几 中位线 □ 成比例线面平行

定义

无公共点

判定定理 a ⊄α，b ⊂α，a //b ⇒a //α性质定理

a //α，a ⊂β，α∩β=

b ⇒a //b 面面平行

定义

无公共点

判定定理a//α，b//α，a∩b=P，a、b β⇒α//β⊂性质定理α//β，α∩γ=a，β∩γ=b ⇒a//b 其它

平行传递

a//b，b//c ⇒a//b 公理4

α//β，β//γ⇒α//γ垂直证平行

a⊥α，a⊥β⇒α//βa⊥α，b⊥β⇒a//b

推理关系

线线平行⇔线面平行⇔面面平行⇒线线平行垂直（可算）

线线垂直

定义

平几判定、性质、计算线面垂直

定义

直线垂直于平面内任意直线

判定定理a⊥m，a⊥n，m∩n=P，m、n α⇒a⊥α⊂性质定理

a⊥α，b⊥α⇒a//b

面面垂直

定义(直二面角)判定定理a⊥α，a β⇒α⊥β

⊂性质定理

α⊥β，α∩β=l，a α，a⊥l ⇒a⊥β⊂其它平行证垂直

a⊥α，α//β⇒a⊥βa⊥α，a//b ⇒b⊥α

推理关系

线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直⇔线线垂直

空间角

线线角

等角定理找平行线面角找面的垂线二面角

找平面角找交线的垂面

找面的垂线，作交线的垂线，证平面角

面积法

|cosθ|=α上的平面图在β上的投影面积与原面积的比值

通常找△

长度(距离)、空间角的计算

应用

三视图、切接球、体积表面积

空间平行垂直证明；长度(距离)、空间角计算

点线面的存在性探究问题

载体

空间几何体、折叠问题、截面问题

注意点

策略

立体图形模型化

规则几何体

对称、垂直等

正方体点线面常见位置关系

空间问题平面化几何问题代数化

易错

平几立几区别如何作辅助线步骤

识图作图

化繁为简，只留底面及垂线化生为熟，补立方直柱正锥选法

几何辅线面代数向量系