高等数学：一致收敛
§13..2一致收敛性质.
注 由于连续性是函数的一种局部性质，因此连续函数列 {fn(x)}）在区间 I 上内闭一致收敛于 f(x)，就足以保证 f(x) 在 I 上连续。
推论 若连续函数列{fn(x)}）在区间 I 上内闭一致收敛于 f(x)，
则 f(x)在 I 上连续。
2019年5月12日星期日
8
3.可积性
定理13.10 若 fn( x)
(x)
lim
n
a
n
.
即 fn ( x)
f (x)
则 lim lim x x0 n
fn ( x)
lim lim
n x x0
fn ( x)
证 (1)
证明lim n
an存在。
因为 fn( x)
f ( x) 0,N 0,
p N ,x D,都有| fn (x) fn p (x) | .
nx fn(x) 1 n2 x2
f ( x) 0, x [0,1]
但f ( x) 0在[0，1]连续、可积，且 1 f ( x)dx 0, 0
而
1
0 fn( x)dx
1 nx 0 1 n2 x2 dx
1 ln(1 n2 ) 0
1
f ( x)dx.
f ( x) lim n
fn( x0 )
f ( x0 ),
即f(x)在x0也连续。即有：
2.连续性
定理13.9 若 fn( x)
f (x) x I,
且n, f n ( x)在I连续，则f ( x)也在I上连续.
2019年5月12日星期日
6
定理13.9的逆否命题：
若fn(x)的极限函数f(x)在I上不连续，则
一致收敛性及其判别法(22页)
单调递减且当 y ? ?? 时，对参量 x ,g (x, y) 一致
???
地收敛于 0 ， 则 f(x,y)g(x,y)dy c
在 [a,b ] 上一致收敛.
首页 ×
阿贝尔判别法 设
? ⑴
??
f(x,y)dy 在 [ a,b ] 上一致收敛.
c
⑵ 对每一个固定的 x ∈[a, b]，函数 g (x, y) 为 y
首页 ×
定理19.12 设 f(x,y)在
[a,?? )? [c,?? )上连续.若
??? f(x,y)dx 关于 y在任何闭区间
[c,d ]上一致收敛，
a
??? f(x,y)dy 关于 x在任何闭区间 [a ,b]上一致收敛， c
? ? ? ? ??
??
积分 dx | f(x,y)|dy
a
c
与
?? dy ?? | f(x,y)|d x
c
a
中有一个收敛，则另一个积分也收敛，且
? ? ? ? ??
??
??
??
dx f(x,y)dy ? dy f(x,y)dx
a
c
c
a
首页 ×
例5 计算
? I ?
?? 0
e? px
sinbx ? sinax x
dx
(p ? 0,b ? a)
例6 计算
? I ?
?? sinax dx 0x
例7 计算
? ? (r)? ?? e? x2 cosrxdx 0
都收敛，由反常积分收敛的定义，即
? ? ? 0,?N (?,x)? c, 使得 ? M ? N ,
?| M c
f(x,y)dy ? I(x)|? ?
函数的一致收敛性与一致连续性
函数的一致收敛性与一致连续性函数的一致收敛性和一致连续性是数学分析中重要的概念，它们对于函数的性质和性质的分析具有重要的作用。
本文将从定义、性质以及与其他概念之间的联系等多个方面对函数的一致收敛性和一致连续性进行探讨。
一、一致收敛性的定义与性质函数序列的一致收敛性是指对于给定函数序列{fn(x)}，当自变量x趋向于某个值a时，函数值fn(x)的极限也趋向于某个值f(x)，且这种趋向对序列中的每一个函数都成立。
更正式地说，对于任意ε>0，存在正整数N，使得当n>N时，对于所有的x，有|fn(x)-f(x)|<ε成立。
函数序列的一致收敛性具有以下性质：1. 一致收敛性是逐点收敛性的强化。
如果函数序列一致收敛于f(x)，那么它也是逐点收敛的，即对于每个x，极限lim(n→∞)fn(x)=f(x)成立。
2. 一致收敛性是逐点收敛性的逆命题不成立的。
即逐点收敛的函数序列未必一致收敛。
3. 一致收敛性的极限函数是唯一的。
一致收敛序列的极限函数f(x)是唯一的，即若序列{fn(x)}和{gn(x)}一致收敛于f(x)，则它们极限相等。
4. 一致收敛的函数序列在有界集上一致有界。
若函数序列{fn(x)}一致收敛于f(x)，且对于每个x∈A，函数值fn(x)都有界，则极限函数f(x)在A上有界。
5. 一致收敛的函数序列在有界集上一致可积。
若函数序列{fn(x)}一致收敛于f(x)，且对于每个x∈A，函数值fn(x)都可积，则极限函数f(x)在A上可积。
二、一致连续性的定义与性质函数的一致连续性是指对于给定函数f(x)，当自变量x取值在某个区间上时，函数的变化量可以任意小，并且这种性质对区间上的所有点都成立。
更正式地说，对于任意ε>0，存在Δ>0，使得当|x1-x2|<Δ时，对于所有的x1和x2，有|f(x1)-f(x2)|<ε成立。
函数的一致连续性具有以下性质：1. 一致连续性是局部性质。
一致收敛的概念和判别法
7.1第7讲 一致收敛的概念与判别法所谓函数项级数是指级数的每项均为某一变量或多个变量的函数的级数，也就是说是无穷多个函数求和的问题，研究函数项级数主要回答下列几个问题：1. 收敛区域，即对于函数项级数：()1n n a x ∞=∑，x 在什么范围内级数是收敛的？这一问题是平凡的，因为对于给定x ，由数项级数之收敛性即可判别级数的收敛性，从而确定x 之收敛域。
2. 设()()1n n S x a x ∞==∑是收敛的，若()n a x 均为连续函数，问()S x 是否连续？回答是不一定。
例如：当1x <时，()1n n a x x −=，则有()11S x x=−，()n a x 在1x =处左连续，但()S x 在1x =处不是左连续的。
问题还可以提为：什么时候()S x 连续？ 3. 可导性能否保持？即：若()n a x 均为可导函数，问()S x 是否可导？同样有问题：什么时候可导性可以保持？特别地，如果均可导，()S x 的导数与()n a x 的导数有何关系？4. 可积性问题。
即：若()n a x 均为可积函数，问()S x 是否可积？何时可积？它们的积分有何关系？ 为了研究上述几个问题，我们需要引进“一致收敛”的概念。
7.2§1 一致收敛的概念讨论级数的收敛性实质上是其部分和函数()n S x 的性质，因此我们先考虑极限过程()()lim n n S x S x →∞=的性质。
上面所说的关于和函数的连续性，可导性、可积性有一个共同的特点，就是某一点x 处的连续性与可导性均与函数在该点邻域的性质有关，而不仅仅只与该点函数值相关，而可积性则更是函数在某一区间内的性质了。
另一方面，函数序列()n f x 在0x x =处是否收敛实际上只是数列()0n f x 的性质，与0x 点邻域内的性质是不相干的，因此从这一角度看，我们知道收敛性是无法用来描述其极限函数之性质的，因而有必要引入新的概念来区分不同的收敛性，以刻画函数序列的极限函数的性质。
函数项级数一致收敛的定义
函数项级数一致收敛的定义函数项级数指的是形如$\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)$的无穷级数，其中$f_n(x)$表示一个与自变量$x$有关的函数序列。
一个函数项级数的一致收敛性是指当自变量$x$在其中一个区间$I$上时，函数项级数的部分和函数序列$\{S(x,N)\}$在该区间上一致收敛。
具体地说，给定函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)$，它的部分和函数序列定义为$S(x,N)=\sum_{n=1}^{N} f_n(x)$。
那么函数项级数的一致收敛定义如下：对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在一个正整数$N_0$，当$n>N_0$时，对于任意$x\in I$，都有$，S(x,n)-S(x,N_0)，<\varepsilon$。
换句话说，对于任意的正数$\varepsilon$，存在一个正整数$N_0$，当$n>N_0$时，级数的部分和与部分和函数之间的距离都小于$\varepsilon$，也就是说，在该区间$I$上，级数的每一项与级数的和之间的误差都可以无限接近于零。
要理解函数项级数一致收敛的定义，我们可以通过与其他类型的收敛进行比较。
首先，如果函数项级数在其中一点$x_0$处点态收敛，即级数的部分和序列$\{S(x_0,N)\}$收敛到其中一实数$L$，但这个$L$可能依赖于$x_0$，则我们无法将这个级数称为一致收敛的。
因为一致收敛要求对于任意的$x\in I$，部分和函数序列都收敛到同一个极限，也就是说，部分和函数序列不依赖于$x$。
类似地，如果部分和函数序列在其中一个区间上都是逐点收敛的，并且对于每个$x$都收敛到不同的极限，则也不能称为一致收敛。
一致收敛的概念可以看作是逐点收敛的一个强化版。
因为在逐点收敛中，对于每个$x\in I$，都要存在一个正整数$N_0(x)$使得当$n>N_0(x)$时，$，S(x,n)-S(x,N_0(x))，<\varepsilon$，这样的$N_0(x)$依赖于$x$。
数学分析课件 一致收敛性资料讲解
列(1)在点 x0 发散. 当函数列(1)在数集 D E上每一 点都收敛时, 就称(1)在数集 D 上收敛. 这时 D 上每
一点 x 都有数列 { fn( x)}的一个极限值与之相对应 ,
根据这个对应法则所确定的 D 上的函数, 称为函数
列(1)的极限函数. 若将此极限函数记作f, 则有
lim
n
fn(x)
f (x) ,
xD
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或 fn(x) f (x) (n ) , x D.
函数列极限的 N 定义: 对每一固定的 x D , 任 给正数 , 总存在正数N(注意: 一般说来N值与 和
x 的值都有关, 所以有时也用N( , x)表示三者之间
0, | x | 1,
f
(
x)
1,
x 1.
证 任给 0 (不妨设 1), 当 0 | x | 1 时, 由于
| fn( x) f ( x) || xn |,
只要取 N ( , x) ln , 当 n N ( , x) 时,就有
ln | x |
| fn( x) f ( x) || x |n| x |N .
(1)
是一列定义在同一数集 E 上的函数,称为定义在E
上的函数列. (1) 也可记为
{ fn } 或 fn , n 1, 2,L .
以 x0 E 代入 (1), 可得数列
f1( x0 ), f2( x0 ), L , fn( x0 ), L .
(2)
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如果数列(2)收敛, 则称函数列(1)在点 x0 收敛, x0 称 为函数列(1)的收敛点. 如果数列(2)发散, 则称函数
一致收敛性
n xD n xD
数学分析选讲
多媒体教学课件
三、函数项级数的一致收敛性判别法 定理5(维尔斯特拉斯判别法)设函数项级数un(x)定义 在数集D上, Mn为收敛的正项级数,若对一切xD,有
n 1
由f(x)的连续性,
1 1 k lim f n( x) lim f( x ) f( x t) dt. 0 n n n k 0 n n 1
数学分析选讲
多媒体教学课件
n 1
| fn ( x)
1
0
1 1 k f ( x t )dt || f ( x ) f ( x t )dt | 0 n k 0 n
n n充分大时, x 2 n 2 单调递减收敛于0.故原级数为莱布
尼兹级数.且
n 1 1 | rn ( x ) || 2 , 2 x ( n 1) n 1
故原级数一致收敛.
数学分析选讲
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例4 证明函数列
x f n ( x ) n ln(1 )( n 1, 2,) n
k 1 n k n
k | f ( x ) f ( x t ) | dt | n
数学分析选讲
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由于
k k 1 t [ , ] n n
所以
k k 1 | x ( x t ) || t | , n n n
故取n 充分大,使1/ n <,则
k | f ( x ) f ( x t ) | . n
n 1
在[a, b]上一致收敛.
数学分析选讲
一致收敛通俗解释_解释说明
一致收敛通俗解释解释说明1. 引言1.1 概述在数学和应用领域中，一致收敛是一个重要概念。
它与函数序列或级数的性质有关，经常被用于分析和解释各种问题。
然而，对于非专业人士来说，一致收敛可能是一个陌生而抽象的概念。
因此，本文旨在通俗地解释一致收敛，帮助读者理解其含义及其在数学和应用领域的重要性。
1.2 文章结构本文将首先给出一般的定义和解释，并介绍为什么我们需要关注一致收敛。
随后，我们将详细探讨一致收敛的重要性，并通过实例分析来进一步说明其应用领域。
最后，在结论部分对文章进行总结，并展望未来研究方向。
1.3 目的本文的目标是以通俗易懂的方式解释一致收敛这个概念，并说明它在数学和应用领域中所扮演的角色。
通过阐明一致收敛的定义、重要性以及实例分析，读者将能够更好地理解该概念并认识到它的广泛应用价值。
同时，本文将为未来研究提供展望，希望激发更多人对一致收敛及其相关领域的兴趣和研究。
2. 正文正文部分将深入探讨一致收敛的概念、原理和相关内容。
我们将从数学领域中的一致收敛概念开始，然后转向应用领域中对一致收敛的解释与说明，并通过实例分析和案例说明来加深理解。
在正文部分，我们将全面介绍一致收敛的概念及其意义。
首先，我们将阐述一致收敛的定义和基本思想，解释它与其他收敛性概念之间的区别。
接下来，我们将讨论为什么要关注一致收敛以及在不同领域中对它的重视程度。
随后，我们将从数学领域出发，详细解释一致收敛在数学问题中的作用和应用。
这包括使用极限理论进行函数序列或级数求和时的一致收敛条件、使用一致收敛可以交换极限操作符次序等方面。
我们还会探讨一些经典定理如Weierstrass 定理等与一致收敛相关的研究成果。
接着，我们将深入探究应用领域中对于一致收敛解释与说明。
例如，在计算机科学领域，我们将探讨一致收敛在数值计算和算法设计中的应用，以及如何利用一致收敛来优化算法的性能。
在物理学、经济学等其他领域中，我们将探讨一致收敛的重要意义和实际应用。
一致收敛
定义. 设 S(x) 为
任意给定的 > 0, 都有一个只依赖于 的自然数 N , 使 当n > N 时, 对区间 I 上的一切 x 都有
n 1
un ( x) 在区间 I 上的和函数, 若对
rn ( x) S ( x) S n ( x)
则称该级数在区间 I 上一致收敛于和函数S(x) . 显然, 在区间 I 上
an x n an r n
(n 0 ,1, 2 ,)
而 0 r R, 由阿贝尔定理(第三节定理1) 级数 an r n
n 0
绝对收敛 , 由维尔斯特拉斯判别法即知推论成立. 证毕 说明: 若幂级数在收敛区间的端点收敛, 则一致收敛
区间可包含此端点.
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n
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用一致收敛定义判别级数的一致收敛性时, 需求出
S n ( x) 及 S ( x), 这往往比较困难.下面介绍一个较方便的
判别法. 维尔斯特拉斯(Weierstrass) 判别法 若函数项级数 u n ( x) 在区间 I 上满足:
n 1
1) un ( x) an
因为对任意 x 都有:
sin n x
2
1
cos x cos 2 2 x cos n 2 x
其一般项不趋于0, 所以对任意 x 都发散 .
问题: 对什么样的函数项级数才有:
逐项连续 和函数连续;
逐项求导 = 和函数求导; 逐项积分 = 和函数积分
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un 1 ( x) un 2 ( x) un p ( x) un 1 ( x) un 2 ( x) un p ( x) an 1 an 2 an p 2 令 p , 则由上式得 rn (x) 2 故函数项级数 u n ( x) 在区间 I 上一致收敛 .
《高等数学》第12章无穷级数12_6一致收敛
若函数项级数 un (x) 在区间 I 上满足:
n1
1) un (x) an (n 1, 2,);
2) 正项级数 an 收敛 ,
n1
则函数项级数 un (x) 在区间 I 上一致收敛 .
n1
简介 目录 上页 下页 返回 结束
证: 由条件2), 根据柯西审敛原理, 0, N , 当
1 2
,
因此级数在
[0,
1]
上不
一致收敛 .
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Sn (x) xn S(x) 0,
1,
0 x 1 x 1
说明: 对任意正数 r < 1,
级数在 [ 0, r ] 上一致收敛 .
y
(1,1)
n 1
n2
n4
n 10
n 30
o
S(x) 1 x
事实上, 因为在 [ 0, r ] 上 rn (x) r n , 任给 > 0, 欲使
(0 x )
因此, 任给
> 0, 取自然数
N
1
1
,
则当n > N 时有
rn (x) (0 x )
这说明级数在
[0,
+∞)
上一致收敛于
S(x)
x
1
. 1
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例2. 证明级数 x (x2 x) (x3 x2 ) (xn xn1)
在 [0,1] 上不一致收敛 .
un (x) 一致收敛于和函数S(x)
n1
部分和序列 Sn (x) 一致收敛于S(x)
余项 rn (x) 一致收敛于 0
一致收敛级数的判别与性质
− nx) 。可知 un (x) 在 x
=
α
n
处达到最大值 ⎜⎛α
⎝e
⎟⎞α ⎠
1 nα
，即
0
≤
un
(
x)
≤
⎜⎛ ⎝
α
e
⎟⎞α ⎠
1 nα
， x ∈[0,+∞) 。
∑ 由 于
α
>1
，正项级数
∞ ⎜⎛ α
n=1 ⎝ e
⎟⎞α ⎠
1 nα
收敛，由
Weierstrass
判别法，
∞
∑ xα e−nx (α > 1) 在[0,+∞) 上一致收敛。
是单调的，且{an(x)}在 D 上一致有界： │an(x)│ ≤ M， x∈D，n∈N+ ；
∞
同时， ∑ bn (x) 在 D 上一致收敛。 n =1 ⑵ （Dirichlet 判别法）函数序列{an(x)}对每一固定的 x∈D 关于 ∞
n 是单调的，且{an(x)}在 D 上一致收敛于 0；同时，函数项级数 ∑ bn (x) n =1
m > n > N 与一切 x∈D，成立
∑ ∑ │ un+1(x) + un+2 (x) + " + um (x)│=
m
uk (x) −
k =1
n
uk (x)
k =1
<
ε 2
∞
固定 x∈D，则数项级数 ∑ un (x) 满足 Cauchy 收敛原理，因而收敛。设 n=1
∞
S(x) = ∑ un (x) ， x∈D， n=1
│ un+1 (x) + un+2 (x) + " + um (x)│ ≤ │ un+1 (x) │ + │ un+2 (x) │ + " + │um (x)│ ≤ an+1 + an+2 + " + am ，
同济大学)高等数学课件D116一致收敛
已知
1
3
收敛, 因此原级数在[0, +∞) 上一致收敛 .
n1 n 2
编辑ppt
14
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二、一致收敛级数的基本性质
定理1. 若级数 un(x)满足:
n1
1 )各un项 (x)在[区 a,b]上 间;连续
2)un(x)在区 [a,b间 ]上一致S收 (x), 敛于
n1
令p a ,n 则 1 由 an 上 2 式 r n(得 a xn )p 22
故函数项级数 un ( x) 在区间 I 上一致收敛 . 证毕
n 1
编辑ppt
11
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推论. 若幂级数 a n x n 的收敛半径 R > 0 , 则此级
n0
数在 (－R, R ) 内任一闭区间 [ a , b ] 上一致收敛 .
编辑ppt
15
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因为级数 u n ( x ) 一致收敛于S (x) , 故 0,N
n 1
N(),使当 n > N 时, 有
rn(x)3, rn(x0)3
对这样选定的 n , Sn(x)在x0连,续 从而必存在 > 0 ,
当 xx0时 ,有
Sn(x)Sn(x0)
n1
S(x)un (x)
n1
证: 先证可逐项求导. 设un (x)(x),根据定理2,
n1
编辑ppt
22
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对 x[a,b],有
ax(x)dx axun (x)dx un(x)un(a)
n1
n1
un(x)un(a)S(x)S(a)
数学分析13.1一致收敛性
第十三章 函数列与函数项级数1 一致收敛性一、函数列及其一致收敛性概念：设f 1,f 2,…,f n ,…是一列定义在同一数集E 上的函数，称为定义在E 上的函数列，也可以简单地写作{f n }或f n , n=1,2,…. 设x 0∈E ，以x 0代入函数列可得数列：f 1(x 0),f 2(x 0),…,f n (x 0),…. 若该数列收敛，则称对应的函数列在点x 0收敛，x 0称为该函数列的收敛点. 若数列发散，则称函数列在点x 0发散. 若函数列在数集D ⊂E 上每一点都收敛，则称该函数列在数集D 上收敛. 这时D 上每一点x 都有数列{f n (x)}的一个极限值与之相对应，由这个对应法则所确定的D 上的函数，称为原函数的极限函数. 若把此极限函数记作f ，则有∞n lim +→f n (x)=f(x), x ∈D ，或f n (x)→f(x) (n →∞), x ∈D.使函数列{f n }收敛的全体收敛点集合，称为函数列{f n }的收敛域.函数列极限的ε-N 定义：对每一个固定的x ∈D ，任给正数ε， 恒存在正数N(ε,x)，使得当n>N 时，总有|f n (x)-f(x)|< ε.例1：设f n (x)=x n , n=1,2,…为定义在R 上的函数列，证明它的收敛域是(-1,1]且有极限函数f(x)=⎩⎨⎧=<1x 11|x |0，，.证：任给正数ε<1, 当|x|<1时，∵|f n (x)-f(x)|=|x|n ， ∴只要取N(ε,x)=|x |ln ln ε，当n>N 时，就有|f n (x)-f(x)|< ε.当x=0或x=1时，对任何正整数n ，都有|f n (x)-f(x)|=0< ε. ∴f n (x)在(-1,1]上收敛，且有极限函数f(x) =⎩⎨⎧=<1x 11|x |0，，.又当|x|>1时，有|x|n →∞ (n →∞)，当x=-1时，对应的数列为： -1,1,-1,1…发散. ∴函数列{x n }在(-1,1]外都是发散的. 得证！例2：证明：函数列f n (x)=nsinnx, n=1,2,…的收敛域是R ，极限函数f(x)=0. 证：∵对任意实数x ，都有n sinnx ≤n 1，∴任给ε>0，只要n>N=ε1, 就有0nsinnx-< ε，得证！定义1：设函数列{f n }与函数f 定义在同一数集D 上，若对任给的正数ε，总存在某一正整数N ，使得当n>N 时，对一切x ∈D ，都有 |f n (x)-f(x)|< ε，则称函数列{f n }在D 上一致收敛于f ，记作 f n (x)⇉f(x) (n →∞), x ∈D.注：反之，若存在某正数ε0，对任何正数N ，都有D 上某一点x ’与正整数n ’>N ，使|f n (x ’)-f(x ’)|≥ε0，则函数列{f n }在D 上不一致收敛于f. 如：例1中的函数列{x n }在(0,1)上收敛于f(x)=0，但不一致收敛.∵令ε0=21，对任何正数N ，取正整数n>N+1及x ’=21n 11⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈(0,1)，则有|x ’2 -0|=1-n 1≥21. ∴函数列{x n }在(0,1)上不一致收敛于f(x)=0.函数列一致收敛于f 的几何意义：对任何正数ε，存在正整数N ，对于一切序号大于N 的曲线y=f n (x)，都落在以曲线y=f(x)+ ε与y=f(x)- ε为边(即以y=f(x)为“中心线”，宽度为2ε)的带形区域内(如图1).(图1)(图2)函数列{x n }在(0,1)内不一致收敛，即对于某个事先给定的正数ε<1， 无论N 多么大，总有曲线y=x n (n>N)不能全部落在以y=ε与y=-ε为边的带形区域内(如图2). 若函数列{x n }只限于在区间(0,b) (b<1)内讨论，则只要n>lnbln ε(其中0<ε<1)，曲线y=x n 就全部落在y=ε与y=-ε为边的带形区域内，所以{x n }在区间(0,b)内一致收敛.定理13.1：(函数列一致收敛的柯西准则)函数列{f n }在数集D 上一致收敛的充要条件是：对任给ε>0，总存在正数N ，使得当n,m>N 时， 对一切x ∈D ，都有|f n (x)-f m (x)|< ε.证：[必要性]若f n (x)⇉f(x) (n →∞), x ∈D ，则∀ε>0，∃正数N ， 使得当n,m>N 时，对一切x ∈D ，都有|f n (x)-f(x)|<2ε及|f m (x)-f(x)|<2ε. ∴|f n (x)- f m (x)|≤|f n (x)-f(x)|+ |f m (x)-f(x)|<2ε+2ε= ε. [充分性]若|f n (x)-f m (x)|< ε, 则由数列收敛的柯西准则知， {f n }在D 上任一点都收敛，记其极限函数f(x)，则有∞m lim +→|f n (x)-f m (x)|=|f n (x)-f(x)|<ε，由定义1知f n (x)⇉f(x) (n →∞), x ∈D.定理13.2：函数列{f n }在区间D 上一致收敛于f 的充要条件是：Dx ∞n sup lim ∈+→|f n (x)-f(x)|=0.证：[必要性]若f n (x)⇉f(x) (n →∞), x ∈D ，则∀ε>0，∃正整数N ，当n>N 时，有|f n (x)-f(x)|<ε, x ∈D.由上确界定义，有Dx sup ∈|f n (x)-f(x)|≤ε. ∴Dx ∞n sup lim ∈+→|f n (x)-f(x)|=0. [充分性]若Dx ∞n sup lim ∈+→|f n (x)-f(x)|=0，则∀ε>0，∃正整数N ， 使得当n>N 时，有Dx sup ∈|f n (x)-f(x)|<ε. 又对一切x ∈D ，总有|f n (x)-f(x)|≤Dx sup ∈|f n (x)-f(x)|<ε，∴{f n }在D 上一致收敛于f.推论：函数列{f n }在D 上不一致收敛于f 的充要条件是： 存在{x n }⊂D ，使得{f n (x n )-f(x n )}不收敛于0.例3：设f n (x)=nx 2-nx e , x ∈D=R +,n=1,2,….判别{f n (x)}在D 上的一致收敛性.解法一：对任意x ∈R +, ∞n lim +→nx 2-nx e=0=f(x). 又当f ’n (x)=222ex 2n -n =0时， x=2n1，且f ”(2n1)=-2e 2n2n <0， ∴在R +上，每个nx 2-nx e 只有一个极大值点x n =2n1，而Dx ∞n sup lim ∈+→|f n (x)-f(x)|=∞n lim +→f n (x n )=2enlim∞n +→=+ ∞≠0， ∴{f n (x)}在D 上不一致收敛于f.解法二：取x n =n1∈R +，则∞n lim +→f n (x n )=n 1-∞n e lim +→=1≠0， ∴{f n }在D 上不一致收敛于f.定义1：设函数列{f n }与f 定义在区间I 上，若对任意闭区间[a,b]⊂I, {f n }在[a,b]上一致收敛于f ，则称{f n }在I 上内闭一致收敛于f.注：若I 为有界闭区间，则{f n }在I 上内闭一致收敛于f 与{f n }在I 上一致收敛于f 是一致的.例1中函数列{x n }在[0,1)上不一致收敛于0，但对任意δ>0,]δ,0[x sup ∈|x n |≤δn→0 (n →∞)，∴{f n }在[0,1)上内闭一致收敛于0.例3中函数列{f n }在R +上不一致收敛于0，但对任意[a,b]⊂R +，]b ,a [x sup ∈|nx 2-nx e |≤nb 2-na e →0 (n →∞)，∴{f n }在R +上内闭一致收敛于0.二、函数项级数及其一致收敛性概念：设{u n (x)}是定义在数集E 上的一个函数列，表达式： u 1(x)+ u 2(x)+…+u n (x)+…, x ∈E称为定义在E 上的函数项级数，简记为∑∞=1n n (x )u 或∑(x)u n .称S n (x)=∑=n1k k (x )u , x ∈E, n=1,2,…为函数项级数∑(x)u n 的部分和函数.若x 0∈E, 数项级数u 1(x 0)+ u 2(x 0)+…+u n (x 0)+…收敛，即部分和 S n (x 0)=∑=n1k 0k )(x u 当n →∞时极限存在，则称级数∑(x)u n 在点x 0收敛，x 0称为级数∑(x)u n 的收敛点.若级数∑)(x u 0n 发散，则称级数∑(x)u n 在点x 0发散.若∑(x)u n 在E 的某个子集D 上每点都收敛，则称∑(x)u n 在D 上收敛. 若D 为级数∑(x)u n 全部收敛点的集合，则称D 为∑(x)u n 的收敛域. 级数∑(x)u n 在D 上每一点x 0与其所对应的数项级数∑)(x u 0n 的和S(x 0)构成一个定义在D 上的函数，称为级数∑(x)u n 的和函数，并写作： S(x)=u 1(x)+ u 2(x)+…+u n (x)+…, x ∈D 即∞n lim +→S n (x)=S(x), x ∈D ，于是函数项级数的收敛性等价于它的部分和函数列{S n (x)}的收敛性.例4：判别函数项级数(几何级数)1+x+x 2+…+x n +…在R 上的收敛性.解：几何级数的部分和函数为S n (x)=x-1x -1n .当|x|<1时，S(x)=∞n lim +→S n (x)=x-11; 当|x|≥1时，S(x)=∞n lim +→S n (x)=+∞.∴几何级数在(-1,1)内收敛于和函数S(x)=x-11；当|x|≥1时，发散.定义3：设{S n (x)}函数项级数∑(x)u n 的部分和函数列. 若{S n (x)}在数集D 上一致收敛于S(x)，则称∑(x)u n 在D 上一致收敛于S(x). 若∑(x)u n 在任意闭区间[a,b]⊂I 上一致收敛，则称∑(x)u n 在I 上内闭一致收敛.定理13.3：(一致收敛的柯西准则)函数项级数∑(x)u n 在数集D 上一致收敛的充要条件是：对任给ε>0，总存在某正整数N ，使得当n>N 时， 对一切x ∈D 和一切正整数p ，都有|S n+p (x)-S n (x)|< ε或∑++=pn 1n k k(x)u< ε.推论：函数项级数∑(x)u n 在数集D 上一致收敛的必要条件是函数列{u n (x)}在D 上一致收敛于0.注：设函数项级数∑(x)u n 在数集D 上的和函数为S(x), 称 R n (x)=S(x)-S n (x)为函数项级数∑(x)u n 的余项.定理13.4：函数项级数∑(x)u n 在数集D 上一致收敛于S(x)的充要条件是：Dx ∞n sup lim∈+→|R n (x)|=Dx ∞n sup lim ∈+→|S(x)-S n (x)|=0.注：几何级数∑n x 在(-1,1)上不一致收敛，因为)(-1,1x sup ∈|S(x)-S n (x)|=1-x x sup n )(-1,1x ∈≥1n n -11n n n+⎪⎭⎫⎝⎛+=n 1-n 1n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+ →∞ (n →∞). 又对任意a(0<a<1)，]a -a,[x sup ∈|S(x)-S n (x)|=1-x x sup n]a -a,[x ∈=a -1a n →0 (n →∞).∴几何级数∑n x 在(-1,1)上内闭一致收敛.三、函数项级数的一致收敛性判别法定理13.5：(魏尔斯特拉斯判别法或M 判别法或优级数判别法) 设函数项级数∑(x)u n 定义在数集D 上，∑n M 为收敛的正项级数， 若对一切x ∈D ，有|u n (x)|≤M n , n=1,2,…， 则函数项级数∑(x)u n 在D 上一致收敛.证：∵∑n M 为收敛的正项级数，根据数项级数的柯西准则， ∀ε>0，∃正整数N ，使得当n>N 及任何正整数p ，有∑++=pn 1n k kM=∑++=pn 1n k kM< ε，又对一切x ∈D ，有|u n (x)|≤M n , n=1,2,…，∴∑++=pn 1n k k(x)u≤∑++=pn 1n k k(x )u≤∑++=pn 1n k kM< ε，由函数项级数一致收敛的柯西准则知，级数∑(x)u n 在D 上一致收敛.例5：证明函数项级数∑2n nx sin 和∑2n cosnx在R 上一致收敛. 证：∵对一切x ∈R ，有2n nx sin ≤2n 1，∑2n cosnx ≤2n1. 又级数∑2n 1收敛，∴函数项级数∑2n nx sin 和∑2n cosnx在R 上一致收敛.注：当级数∑(x)u n 与级数∑n M 在 [a,b]上，都有|u n (x)|≤M n , n=1,2,…时，称级数∑n M 在[a,b]优于∑(x)u n ，或称∑n M 为∑(x)u n 的优级数.定理13.6：(阿贝尔判别法)设 (1)∑(x)u n 在区间I 上一致收敛； (2)对每一个x ∈I ，{v n (x)}是单调的；(3){v n (x)}在I 上一致有界，即对一切x ∈I 和正整数n ，存在正数M ，使得|v n (x)|≤M ，则级数∑(x)(x)v u n n 在I 上一致收敛. 证：由条件(1)，∀ε>0，∃某正整数N ，使得 当n>N 及任何正整数p ，对一切x ∈I ，有∑++=pn 1n k k(x)u< ε.又由条件(2),(3)，根据阿贝尔引理得：∑++=pn 1n k k k(x)(x)v u≤[|v n+1(x)|+2|v n+p (x)|]ε≤3M ε.由函数项级数一致收敛的柯西准则知，∑(x)(x)v u n n 在I 上一致收敛.定理13.7：(狄利克雷判别法)设(1)∑(x)u n 的部分和函数列S n (x)=∑=n1k k (x )u , (n=1,2,…)在I 上一致有界；(2)对于每一个x ∈I ，{v n (x)}是单调的； (3)在I 上v n (x)⇉0 (n →∞)， 则级数∑(x)(x)v u n n 在I 上一致收敛.证：由条件(1)，存在正数M ，对一切x ∈I ，有|S n (x)|≤M ， ∴当n,p 为任何正整数时，∑++=pn 1n k k(x)u=|S n+p (x)-S n (x)|<2M.对任何一个x ∈I ，由条件(2)及阿贝尔引理得：∑++=pn 1n k k k(x)(x)v u≤2M[|v n+1(x)|+2|v n+p (x)|]又由条件(3)，∀ε>0，∃正数N ，使得当n>N 时，对一切x ∈I ， 有|v n (x)|<ε. ∴∑++=pn 1n k k k(x)(x)v u<6M ε.由函数项级数一致收敛的柯西准则知，∑(x)(x)v u n n 在I 上一致收敛.例6：证明：函数项级数∑++-1n nn n )n x ()1(在[0,1]上一致收敛. 证：记u n (x)=n )1(n -, v n (x)=nn x 1⎪⎭⎫⎝⎛+，则∑(x)u n 在[0,1]上一致收敛；又{v n (x)}单调增，且1≤v n (x)≤e, x ∈[0,1]，即{ v n (x)}在[0,1]上一致有界.根据阿贝尔判别法知数∑++-1n n n )n x ()1(在[0,1]上一致收敛.例7：证明：若数列{a n }单调且收敛于0，则级数∑cosnx a n 在[α,2π-α] (0<α<π)上一致收敛.证：∵∑=n1k coskx = 21-2x 2sin x 21n sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤2x sin21+21≤2α2sin 1+21, x ∈[α,2π-α]，∴级数∑cosnx 的部分和函数列在[α,2π-α]上一致有界. 令u n (x)=cosnx, v n (x)=a n ，∵数列{a n }单调且收敛于0， 根据狄利克雷判别法知，级数∑cosnx a n 在[α,2π-α]上一致收敛.注：只要{a n }单调且收敛于0，那么级数∑cosnx a n 在不包含2k π (k 为整数)的任何闭区间上都一致收敛.习题1、讨论下列函数列在所示区间D 上是否一致收敛或内闭一致收敛，并说明理由： (1)f n (x)=22n1x +, n=1,2,…，D=(-1,1)； (2)f n (x)=22xn 1x+, n=1,2,…，D=R ；(3)f n (x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤<++≤≤++-1x 1n 101n 1x 01x )1n (，，, n=1,2,…； (4)f n (x)=n x, n=1,2,…，D=[0,+∞)；(5)f n (x)=nxsin , n=1,2,…，D=R.解：(1)∞n lim +→f n (x)=22∞n n 1x lim ++→ =|x|=f(x), x ∈D=(-1,1)；又 D x sup ∈|f n (x)-f(x)|=|x |n 1x sup 22D x -+∈=|x |n1x n 1sup 222D x ++∈≤n 1→0(n →∞).∴22n 1x +⇉|x| (n →∞)，x ∈(-1,1). (2)∞n lim +→f n (x)=22∞n x n 1xlim++→ =0=f(x), x ∈D=R ；又Dx sup ∈|f n (x)-f(x)|=22D x xn 1x sup+∈≤nx 2x =n 21→0(n →∞). ∴22x n 1x+⇉0 (n →∞)，x ∈R.(3)当x=0时，∞n lim +→f n (x)=1；当0<x ≤1时，只要n>x1-1，就有f n (x)=0， ∴f n (x)在[0,1]上的极限函数为f(x)= ⎩⎨⎧≤<=1x 000x 1，，.又]1,0[x ∞n sup lim ∈+→|f n (x)-f(x)|=1≠0. ∴f n (x)在[0,1]上不一致收敛. (4)∞n lim +→f n (x)=nxlim ∞n +→=0=f(x), x ∈D=[0,+∞)；又 )∞[0,+x ∞n sup lim ∈+→|f n (x)-f(x)|=nxsuplim )∞[0,+x ∞n ∈+→=+∞, ∴f n (x)在[0,+∞)上不一致收敛. 在任意[0,a]上，a][0,x ∞n sup lim∈+→|f n (x)-f(x)|=nalim ∞n +→=0, ∴f n (x)在[0,+∞)上内闭一致收敛.(5)∞n lim +→f n (x)=nx sin lim ∞n +→=0=f(x), x ∈D=R ；又 Rx ∞n sup lim ∈+→|f n (x)-f(x)|=nxsinsup lim Rx ∞n ∈+→=1, ∴f n (x)在R 上不一致收敛. 在任意[-a,a]上，a][-a,x ∞n sup lim∈+→|f n (x)-f(x)|=nx sin sup lim a][-a,x ∞n ∈+→≤n a lim ∞n +→=0, ∴f n (x)在R 上内闭一致收敛.2、证明：设f n (x)→f(x), x ∈D ， a n →0(n →∞) (a n >0). 若对每一个正整数n 有|f n (x)-f(x)|≤a n , x ∈D ，则{f n }在D 上一致收敛于f. 证：∵|f n (x)-f(x)|≤a n , x ∈D ，且a n →0(n →∞)，∴a][-a,x ∞n sup lim∈+→|f n (x)-f(x)|= 0，∴f n (x)⇉f(x) (n →∞)，x ∈D.3、判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性：(1)∑1)!-(n x n , x ∈[-r,r]；(2)∑+n221-n )x (1x (-1), x ∈R ；(3)∑n x n , |x|>r>1； (4)∑2n n x , x ∈[0,1]；(5)∑+n x (-1)21-n , x ∈R ；(6)∑+1-n 22)x (1x , x ∈R. 解：(1)∀x ∈[-r,r], 有1)!-(n x n≤1)!-(n r n ,记u n =1)!-(n r n ,则n 1n u u +=n r →0(n →∞)，∴∑1)!-(n r n 收敛，∴∑1)!-(n x n在[-r,r]上一致收敛.(2)记u n (x)=(-1)n-1, v n (x)=n22)x (1x +，则对任意的x ∈R ，有 |∑=n1k k (x )u |≤1, (n=1,2,…)，即{u n (x)}的部分和函数列在R 上有界；又{v n (x)}单调减，且由0≤n22)x (1x +≤n 1→0(n →∞)知，v n (x)⇉0 (n →∞)， 由狄利克雷判别法知∑+n221-n )x (1x (-1)在R 上一致收敛. (3)∀|x|>r>1, 有n x n <n r n ,记u n =nrn,则n 1n u u +=rn 1n +→r 1<1 (n →∞)， ∴∑n r n 收敛，∴∑n xn在|x|>r>1上一致收敛. (4)∀x ∈[0,1], 有2nnx ≤2n 1, 又∑2n 1收敛，∴∑2n n x 在[0,1]上一致收敛.(5)方法一：记u n (x)=(-1)n-1, v n (x)=nx 12+，则对任意的x ∈R ，有 |∑=n1k k (x )u |≤1, (n=1,2,…)，即{u n (x)}的部分和函数列在R 上有界；又{v n (x)}单调减，且由0<nx 12+≤n 1→0(n →∞)知，v n (x)⇉0 (n →∞)， 由狄利克雷判别法知∑+n x (-1)21-n 在R 上一致收敛.方法二：|∑++=+pn 1n k 21-k kx (-1)|≤1n x 12+++p n x 12++≤n 2.∀ε>0，只要取N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ε2，则当n>N 及任意自然数p ，就有|∑++=+pn 1n k 21-k kx (-1)|<ε，由柯西准则知，∑+n x (-1)21-n 在R 上一致收敛.方法三：由莱布尼兹判别法知，对R 上的任意一点x ，∑+nx (-1)21-n 收敛.又)x (R sup lim n R x ∞n ∈+→=1n 1lim ∞n ++→=0，∴∑+nx (-1)21-n 在R 上一致收敛.(6)当x ≠0时，该函数项级数的部分和函数S n (x)=x 2+22x 1x ++…+1-n 22)x (1x +=1+x 2-1-n 2)x (11+→1+x 2=S(x) (n →∞)， ∴Rx sup ∈|R n (x)|=1-n 2Rx )x (11sup+∈=1→/0 (n →∞)， ∴∑+1-n 22)x (1x 在R 上不一致收敛.4、设函数项级数∑)x (u n 在D 上一致收敛于S(x)，函数g(x)在D 上有界. 证明：级数∑)x (g(x)u n 在D 上一致收敛于g(x)S(x).证：可设|g(x)|≤M ，x ∈D. ∵∑)x (u n 在D 上一致收敛于S(x)， ∴∀ε>0，∃N>0，当n>N 时，对一切x ∈D ，都有|∑=n1k k (x )u -S(x)|<Mε. ∴|∑=n 1k k (x )g(x )u - g(x)S(x)|=|g(x)|·|∑=n1k k (x )u -S(x)|< ε. 得证！5、若区间I 上，对任何正整数n ，|u n (x)|≤v n (x)，证明： 当∑)x (v n 在I 上一致收敛时，级数∑)x (u n 在I 上也一致收敛. 证：∵|u n (x)|≤v n (x)，∴∑=+p1k k n |(x )u |≤∑=+p1k k n (x )v .又∑)x (v n 在I 上一致收敛，∴∀ε>0，∃N>0，当n>N 时， 对一切x ∈I 和一切自然数p ，都有|∑=+p1k k n (x )v |<ε.∴|∑=+p 1k k n (x )u |≤∑=+p 1k k n |(x )u |≤∑=+p 1k k n (x )v ≤|∑=+p1k k n (x )v |<ε，得证！6、设u n (x)(n=1,2,…)是[a,b]上的单调函数，证明：若∑)a (u n 与∑)b (u n 都绝对收敛，则∑)x (u n 在[a,b]绝对且一致收敛. 证：∵u n (x)(n=1,2,…)在[a,b]上单调，∴|u n (x)|≤|u n (a)|+|u n (b)|， 又∑|)a (u |n 与∑|)b (u |n 都收敛，∴正项级数|))b (u ||)a (u (|n n +∑收敛； 根据优级数判别法知，∑)x (u n 在[a,b]绝对且一致收敛.7、证明：{f n } 区间I 上内闭一致收敛于f 的充要条件是：对任意x 0∈I ，存在x 0的邻域U(x 0)，使{f n }在U(x 0)∩I 上一致收敛于f. 证： [必要性]设{f n } 区间I 上内闭一致收敛于f ，对任意x 0∈I ，任意邻域U(x 0)∩I ⊂I ，根据内闭一致收敛的定义， {f n }在U(x 0)∩I 上一致收敛于f.[充分性]设任意x 0∈I ，存在x 0的一个邻域U(x 0)， 使得{f n }在U(x 0)∩I 上一致收敛于f ，即 对一切x ∈I ，{f n }一致收敛于f ，∴{f n }在I 上一致收敛，从而内闭一致收敛.8、在[0,1]上定义函数列u n (x)=⎪⎩⎪⎨⎧≠=n 1x 0n 1x n1，，，证明： 级数∑)x (u n 在[0,1]上一致收敛，但它不存在优级数.证：∵|∑=+p1k k n (x )u |=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=⋯+=+==+⋯++++=++⋯+⋯+=+⋯++++=+⋯+++其它点p n 1x 2n 1x 1n 1x 00000p n 1p n 102n 102n 101n 1001n 1，，，，，∴当0≤x<1时，恒有|∑=+p1k k n (x )u |<n1，于是∀ε>0，取N=[ε1]，则当n>N 时，对一切x ∈[0,1]和一切自然数p ，都有|∑=+p1k k n (x )u |<ε，∴级数∑)x (u n 在[0,1]上一致收敛.若∑)x (u n 在[0,1]上存在优级数∑n M ，取x=n1，则M n ≥|u n (x)|=|u n (n 1)|=n 1>0. 由∑n M 收敛知∑n1收敛，不合理! ∴∑)x (u n 不存在优级数.9、讨论下列函数列或函数项级数在所示区间D 上的一致连续性： (1)∑∞=++2n 2222]1)-(n )[x n (x 2n -1, D=[-1,1]；(2)∑nn3x sin 2, D=R +； (3)∑++)nx 1](1)x -(n [1x 222, D=R +；(4)∑nx n , D=[-1,0]； (5)∑++1n 2x (-1)12n n, D=(-1,1)；(6)∑∞=1n n sinnx, D=(0,2π).解：(1)∵∑++=++pn 1n k 2222]1)-(k )[x k (x 2k -1=2222n x 1p)(n x 1+-++<22n x 1+≤2n 1； ∴∀ε>0，取N=[ε1]+1，当n>N 时，对一切x ∈[-1,1]和一切自然数p ，都有∑++=++pn 1n k 2222]1)-(k )[x k (x 2k-1<ε，∴原级数在[-1,1]上一致收敛. (2)对任意自然数n ，取x n =n 32π⋅∈R +，有|n n 3x sin 2|=2n →/ 0 (n →∞)， ∵原级数在R +上不一致收敛. (3)S n (x)=∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+n1k 22kx 111)x-(k 11=1-2nx 11+→1(n →∞)，+∈R x sup |S n (x)-1|=≥2n 1n 11⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21(n=1,2,…)；∵原级数在R +上不一致收敛.(4)记u n (x)=(-1)n, v n (x)=n(-x)n，则对任意的x ∈[-1,0]，有|∑=n1k k (x )u |≤1, (n=1,2,…)，即{u n (x)}的部分和函数列在[-1,0]上有界；又{v n (x)}单调减，且由0<n(-x)n≤n1→0(n →∞)知，v n (x)⇉0 (n →∞)，由狄利克雷判别法知原级数在[-1,0]上一致收敛.(5)记u n (x)=(-1)n, v n (x)=1n 2x 12n ++，则对任意的x ∈(-1,1)，有|∑=n1k k (x )u |≤1, (n=1,2,…)，即{u n (x)}的部分和函数列在(-1,1)上有界；又{v n (x)}单调减，且由0<1n 2x 12n ++≤1n 21+→0(n →∞)知，v n (x)⇉0 (n →∞)，由狄利克雷判别法知原级数在(-1,1)上一致收敛. (6)取ε0=21sin 31，对任意自然数N ，存在n=N ，p=N+1，x 0=1)2(N 1+∈(0,2π),使∑++=pn 1n k 0k )(x u =∑++=+1N 21N k 1)2(N k sin k1>∑++=1N 21N k 2k 1sin >21sin 21>ε0.∴原级数在(0,2π)上不一致收敛.10、证明：级数∑∞=-0n n n )x 1(x (-1)在[0,1]上绝对收敛并一致收敛，但由其各项绝对值组成的级数在[0,1]上却不一致收敛. 证：易见|R n |≤(1-x)x n+1. 又由((1-x)x n+1)’=(n+1)(1-x)x n -x n+1=(n+1)x n -(n+2)x n+1=(n+2)x n (2n 1n ++-x)，知 当x=2n 1n ++时，|R n |≤(1-2n 1n ++)1n 2n 1n +⎪⎭⎫ ⎝⎛++=1n 2n 1n 2n 1+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++<2n 1+， ∴[0,1]x ∞n sup lim ∈+→|R n |≤2n 1lim ∞n ++→=0. ∴原级数在[0,1]上一致收敛. 对级数∑∞=-0n nn)x 1(x (-1)各项绝对值组成的级数∑∞=-0n n )x 1(x ，∵)x 1(x lim n ∞n -+→=0, x ∈[0,1]，∴原级数在[0,1]上绝对收敛.又∞n lim +→S n (x)=∞n lim +→(1-x)∑=nk k x =∞n lim +→(1-x n )=⎩⎨⎧=<≤1x 01x 01，，，可见[0,1]x ∞n sup lim ∈+→|R n |=1→/ 0 (n →∞)，得证.11、设f 为定义在区间(a,b)内的任一函数，记f n (x)=n[nf(x)], n=1,2,…， 证明：函数列{f n }在(a,b)内一致收敛于f. 证：由|R n |=|n [nf(x)]-f(x)|=n nf(x )-[nf(x )]≤n11→0 (n →∞)，得证！12、设{u n (x)}为[a,b]上正的递减且收敛于零的函数列，每一个u n (x)都是[a,b]上的单调函数. 证明：级数u 1(x)-u 2(x)+u 3(x)-u 4(x)+…在[a,b]上不仅收敛，而且一致收敛. 证：根据莱布尼茨判别法，该级数在[a,b]上收敛. 记v n (x)=(-1)n-1，则对任意的x ∈[a,b]，有|∑=n1k k (x )v |≤1, (n=1,2,…)，即{v n (x)}的部分和函数列在[a,b]上有界；又u n (x)在[a,b]上单调，且u n (a),u n (b)都收敛于零，∴0<u n (x)<u n (a)+u n (b)→0(n →∞)，∴u n (x)⇉0 (n →∞)， 由狄利克雷判别法知该级数在[a,b]上一致收敛.13、证明：若{f n (x)}在区间I 上一致收敛于0，则存在子列{in f }，使得∑=n1k n if在I 上一致收敛.证：∵{f n (x)}在区间I 上一致收敛于0，∴对任意自然数i ，总存在自然数n i ，使得∀x ∈I ，有|i n f |<2i 1，又级数∑=n1k 2i1收敛，由魏尔斯特拉斯判别法知，∑=n1k n if 在I 上一致收敛.。
函数列收敛和一致收敛的区别和联系
函数列收敛和一致收敛的区别和联系
函数列收敛和一致收敛是指函数序列的收敛性质，它们可以用来分析某个函数序列是否收敛。
函数列收敛是指函数序列中的每一个函数都收敛到某一点，即每一个函数都朝着某一个点收敛。
一致收敛是指当函数序列中的每一个函数收敛到同一个点时，函数序列就是一致收敛的。
虽然函数列收敛和一致收敛之间有联系，但也有区别。
函数列收敛是指函数序列中的每一个函数都收敛到某一点，而一致收敛是指当函数序列中的每一个函数收敛到同一个点时，函数序列就是一致收敛的。
因此，可以说，函数列收敛是一致收敛的前提条件，而一致收敛是一种更强的收敛性质。
另外，函数列收敛和一致收敛之间也有联系。
当函数序列中的每一个函数都收敛到同一个点时，这个函数序列就是一致收敛的，因此它也是函数列收敛的。
因此，可以说，一致收敛是函数列收敛的特例。
一致收敛的定义
一致收敛的定义
“一致收敛”是高等数学中的一个重要概念，又称均匀收敛。
一致收敛是一个区间（或点集）相联系，而不是与某单独的点相联系。
函数项级数∑(n:1 → +∞) Un(x)在Un(x)的定义区间A上收敛于极限函数f(x)，若对于任意给定的正实数ε，都存在一个只与ε有关与x无关的正整数N，使得对于任意的n>N以及x∈A都有|f(x) - ∑(i:1→n) Ui(x)|<ε，则称函数项级数∑(n:1 → +∞) Un(x)
在定义区间A上一致收敛。
在数学中，一致收敛性(或称均匀收敛)
是函数序列的一种收敛定义，它较逐点收敛更强，并能保持一些重要的分析性质(如连续性)。
第1节一致收敛性
0, f ( x) 1,
x 1 x 1
n
证明 : 0, ( 1),当0 x 1时， f n ( x ) f ( x ) x
ln 取N ,当n N时， 有 f n ( x ) f ( x ) ln x n N ,当x 0有 f n (0) f (0) 0 ,
sin nx 例2 : 求f n 的收敛域以及极限函数 f ( x ). n 解 : x ( ,), sin nx 1 n n
1 0, N ,当n N时, 有 sin nx 1 0 n n sin nx 的收敛域为R， 极限函数为f ( x ) 0. n
2.用拉贝判别法判别下列 级数的敛散性 :
1 3( 2n 1) 1 (1) 2 4( 2n) 2n 1
解:
un1 ( 2n 1)!! 2n 1 ( 2n)!! n(1 ) n 1 un ( 2 n 2 )! ! 2 n 3 ( 2 n 1 )! !
当n N (, x )时， 总有 f n ( x ) f ( x ) .
注：使函数列 f n
收敛的全体收敛点的集合为收敛域
例1 : 设f n ( x ) x n , n 1,2,为定义在 ( , )
上的函数列, 则其收敛域为( 1,1], 且有极限函数 :
n(6n 5) 3 (n ) ( 2n 2)( 2n 3) 2
由拉贝判别法知 : 原级数收敛 .
3.设an 0, 证明数列1 a1 1 a2 1 an
与级数 an同敛散 . 证明 : 原命题等价于证明 ln(1 an )与 an同敛散 .
一致收敛性
这就证明了 { f n } 在( 1 , 1] 上收敛, 且极限就是(3)
式所表示的函数.
又 当 | x | 1 时, 有 | x |n (n ), 当 x 1 时,
对应的数列为 1, 1, 1, 1 , 显然是发散的. 所以
函数列 { x n } 在区间 (1, 1] 外都是发散的. 故所讨论 的函数列的收敛域是 (1, 1].
lim f n ( x ) f ( x ) ,
n
xD
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或
f n ( x ) f ( x ) ( n ) , x D.
函数列极限的 N 定义: 对每一固定的 x D , 任 给正数 , 总存在正数N(注意: 一般说来N值与 和
x 的值都有关, 所以有时也用N( , x)表示三者之间
N ( ).
显然, 若函数列 f n 在 D 上一致收敛, 则必在 D 上 每一点都收敛. 反之, 在 D 上每一点都收敛的函数列, 它在 D 上不一定一致收敛.
sin nx 例2 中的函数列 是一致收敛的, 因为对任意 n
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给定的 正数 , 不论 x 取(-,+) 上什么值, 都有
| f n ( x ) f ( x ) || x n |,
ln 只要取 N ( , x ) , 当 n N ( , x ) 时,就有 ln | x |
| f n ( x ) f ( x ) || x |n | x | N .
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当 x 0 和 x 1 时, 则对任何正整数 n, 都有 | f n (0) f (0) | 0 ， | f n (1) f (1) | 0 .
绝对收敛与一致收敛
绝对收敛与一致收敛
绝对收敛是指数列或级数的收敛性质，而一致收敛是函数序列或函数级数的收敛性质。
对于数列来说，如果数列的绝对值收敛，即数列的绝对值序列收敛，则称该数列绝对收敛。
绝对收敛的一个重要性质是，绝对收敛的序列一定是收敛的，也就是说，如果数列绝对收敛，则它必定收敛。
对于级数来说，如果级数的绝对值序列收敛，即级数的绝对值级数收敛，则称该级数绝对收敛。
绝对收敛的一个重要性质是，绝对收敛的级数对于项的排列顺序是不敏感的，即无论如何重新排列级数中的项，仍然会收敛到同一个值。
一致收敛是指函数序列或函数级数在其定义域内的每一个点上都收敛，并且收敛速度对于不同点是一致的。
具体来说，对于函数序列来说，如果对于任意给定的ε>0，存在一个正整数N，当n≥N时，函数序列的每一个函数都满足|fn(x)-f(x)|<ε，其中
f(x)是函数序列的极限函数，则称函数序列一致收敛于f(x)。
对于函数级数来说，如果对于任意给定的ε>0，存在一个正整
数N，当n≥N时，函数级数的部分和函数与其极限函数的差
的绝对值在定义域内的每一个点上都小于ε，则称函数级数一
致收敛于其极限函数。
绝对收敛与一致收敛的区别在于，绝对收敛关注的是数列或级数的项的绝对值的收敛性质，而一致收敛关注的是函数序列或函数级数在定义域内的每一个点上的收敛性质。
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2n
2
xe
n2 x 2
2(n 1) xe
2
( n 1) 2 x 2
证: 只需证明 x0 [a, b] , lim S ( x) S ( x0 ) .
由于
S ( x) S ( x0 )
x x0
[Sn ( x) rn ( x)] [Sn ( x0 ) rn ( x0 )] Sn ( x) Sn ( x0 ) rn ( x) rn ( x0 )
n 1
un ( x) 一致收敛于和函数S(x)
部分和序列 S n ( x) 一致收敛于S(x)
余项 rn ( x) 一致收敛于 0
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几何解释 : (如图)
0, N Z , 当n > N 时, S ( x) S n ( x) 表示 曲线 y S n ( x) 总位于曲线 y S ( x) 与 y S ( x)
之间.
y S ( x)
y S ( x)
y S ( x)
y S n ( x)
I
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x
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例1. 研究级数 1 1 1 ( x 1)( x 2) ( x 2)( x 3) ( x n)( x n 1)
在区间 [0, +∞) 上的收敛性. 1 1 1 解: (k 1,2,) ( x k )( x k 1) x k x k 1 1 1 1 1 S n ( x) ( )( ) x 1 x 2 x2 x3 1 1 ( ) x n x n 1 1 1 x 1 x n 1
u n 1 ( x) u n 2 ( x) u n p ( x) u n 1 ( x) u n 2 ( x) u n p ( x)
2 令 p , 则由上式得 rn ( x) 2 故函数项级数 u n ( x) 在区间 I 上一致收敛 .
0, 1,
0 x 1 x 1
说明: 对任意正数 r < 1,
级数在 [ 0, r ] 上一致收敛 .
o
S ( x)
1 x
事实上, 因为在 [ 0, r ] 上 rn ( x) r n , 任给 > 0, 欲使
ln ln r , 只要 n , 因此取 N , 只要 n N , ln r ln r n 必有 rn ( x) r , 即级数在 [ 0, r ] 上一致收敛 .
lim
u n ( x)
n 1 x x0
lim u n ( x)
(2) 若函数项级数不一致收敛时, 定理结论不一定成立.
例如, 级数 2 n 1 x x( x 1) x ( x 1) x ( x 1) 在区间 [ 0 , 1 ] 上处处收敛, 而其和函数 0, 0 x 1 S ( x) 在 x = 1 处不连续 . 1, x 1
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1 1 1 ) S ( x) lim S n ( x) lim ( x 1 n x 1 x n 1 n (0 x ) 余项的绝对值: 1 1 rn ( x) S ( x) Sn ( x) x n 1 n 1 (0 x )
n
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用一致收敛定义判别级数的一致收敛性时, 需求出
S n ( x) 及 S ( x), 这往往比较困难.下面介绍一个较方便的
判别法. 维尔斯特拉斯(Weierstrass) 判别法 若函数项级数 u n ( x) 在区间 I 上满足:
n 1
1) un ( x) an
2
3
2
n
n 1
)
n
每项在 [0,1] 上都连续, 其前 n 项之和为 S n ( x) x ,
和函数 S ( x) lim S n ( x)
n
0,
1,
0 x 1 x 1
该和函数在 x＝1 间断.
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又如, 函数项级数
( n 1 , 2 , ) n2 n2 所以它的收敛域为 (－∞, +∞) , 但逐项求导后的级数
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因为级数
N ( ), 使当 n > N 时, 有
n 1
u n ( x) 一致收敛于S (x) , 故 0, N
rn ( x) , rn ( x0 ) 3 3 对这样选定的 n , Sn ( x) 在 x0 连续, 从而必存在 > 0 , 当 x x0 时, 有 S n ( x) S n ( x0 )
x
x
x0 Sn ( x) d x x0 S ( x) d x
b a
x
x
x x0
Байду номын сангаас
S n ( x) S ( x) d x
S n ( x) S ( x) d x
证毕
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因此定理结论正确.
说明: 若级数不一致收敛时, 定理结论不一定成立.
例如, 级数
*第六节
第十二章
函数项级数的一致收敛性 及一致收敛级数的基本性质
一、函数项级数的一致收敛性
二、一致收敛级数的基本性质
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一、函数项级数的一致收敛性
幂级数在收敛域内的性质类似于多项式, 但一般函数 项级数则不一定有这么好的特点. 例如, 级数
x ( x x) ( x x ) ( x x
从而得
S ( x) S ( x0 )
x x0
3
故 S ( x) 在 x0 连续, 即 lim S ( x) S ( x0 ).
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证毕
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说明:
(1) 定理1 表明, 对一致收敛的级数, 极限运算与无限 求和运算可交换, 即有
x x0 n 1
因为对任意 x 都有:
sin n x
2
1
cos x cos 22 x cos n 2 x
其一般项不趋于0, 所以对任意 x 都发散 .
问题: 对什么样的函数项级数才有:
逐项连续 和函数连续;
逐项求导 = 和函数求导; 逐项积分 = 和函数积分
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因此, 任给 > 0, 取自然数 N 1 1 , 则当n > N 时有
rn ( x)
(0 x )
1 这说明级数在 [0, +∞) 上一致收敛于 S ( x) . x 1
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例2. 证明级数 x ( x 2 x) ( x3 x 2 ) ( x n x n1 )
定义. 设 S(x) 为
任意给定的 > 0, 都有一个只依赖于 的自然数 N , 使 当n > N 时, 对区间 I 上的一切 x 都有
n 1
un ( x) 在区间 I 上的和函数, 若对
rn ( x) S ( x) Sn ( x)
则称该级数在区间 I 上一致收敛于和函数S(x) . 显然, 在区间 I 上
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定理2. 若级数 u n ( x) 满足 :
n 1
1) 各项un ( x) 在区间[a, b] 上连续;
2) un ( x) 在区间[a, b] 上一致收敛于S ( x) ,
n 1
则该级数在 [a, b] 上可逐项积分, 即对 a x0 x b,
敛性, 而且能判别其绝对收敛性. 可利用导数求 当不易观察到不等式 un ( x) an 时，
an max un ( x)
xI
nx nx , , x [0, ), un ( x) 例如, 级数 5 2 5 2 1 n x n 1 1 n x
1 1 1 u , 用求导法可得 an max n 5 3 [ 0, ) 1 n 5 x 2 n 2 2 n2 1 已知 3 收敛, 因此原级数在[0, +∞) 上一致收敛 . n 1 n 2
所以只需证明对任意 x0 , x [a, b] ( x0 x), 一致有
S n ( x) d x S ( x) d x x0 n x0 lim
根据级数的一致收敛性, 0, N N ( ), 使当 n > N 时, 有 S ( x) S n ( x) ba 于是, 当 n > N 时, 对一切 x0 , x [a, b] ( x0 x), 有
区间可包含此端点.
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例3. 证明级数
在(－∞, +∞) 上 一致收敛 . 证: 因对任意x (, ),
1 而级数 2 收敛, 由维尔斯特拉斯判别法知所给级数 n 0 n
在 (－∞, +∞) 上 一致收敛 .
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说明: 维尔斯特拉斯判别法不仅能判别级数的一致收
n 1
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an 1 an 2 an p
证毕
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n a x 推论. 若幂级数 n 的收敛半径 R > 0 , 则此级 n 0