高等数学：一致收敛

n 1
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an 1 an 2 an p

证毕
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n a x 推论. 若幂级数 n 的收敛半径 R > 0 , 则此级 n 0

数在 (－R, R ) 内任一闭区间 [ a , b ] 上一致收敛 .
证: 设 r max{ a , b },
则对[ a , b ] 上的一切 x , 都有
R a o b R x

an x n an r n
(n 0 ,1, 2 ,)
而 0 r R, 由阿贝尔定理(第三节定理1) 级数 an r n
n 0
绝对收敛 , 由维尔斯特拉斯判别法即知推论成立. 证毕 说明: 若幂级数在收敛区间的端点收敛, 则一致收敛
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nx
二、一致收敛级数的基本性质
定理1. 若级数 u n ( x) 满足 :
n 1
1) 各项un ( x) 在区间[a, b] 上连续;
2) un ( x) 在区间[a, b] 上一致收敛于S ( x) ,
n 1
则S ( x) 在[a, b] 上连续.
敛性, 而且能判别其绝对收敛性. 可利用导数求 当不易观察到不等式 un ( x) an 时，
an max un ( x)
xI
nx nx , , x [0, ), un ( x) 例如, 级数 5 2 5 2 1 n x n 1 1 n x
1 1 1 u , 用求导法可得 an max n 5 3 [ 0, ) 1 n 5 x 2 n 2 2 n2 1 已知 3 收敛, 因此原级数在[0, +∞) 上一致收敛 . n 1 n 2
n
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用一致收敛定义判别级数的一致收敛性时, 需求出
S n ( x) 及 S ( x), 这往往比较困难.下面介绍一个较方便的
判别法. 维尔斯特拉斯(Weierstrass) 判别法 若函数项级数 u n ( x) 在区间 I 上满足:
n 1
1) un ( x) an
0, 1,
0 x 1 x 1
说明: 对任意正数 r < 1,
级数在 [ 0, r ] 上一致收敛 .
o
S ( x)
1 x
事实上, 因为在 [ 0, r ] 上 rn ( x) r n , 任给 > 0, 欲使
ln ln r , 只要 n , 因此取 N , 只要 n N , ln r ln r n 必有 rn ( x) r , 即级数在 [ 0, r ] 上一致收敛 .
u n 1 ( x) u n 2 ( x) u n p ( x) u n 1 ( x) u n 2 ( x) u n p ( x)
2 令 p , 则由上式得 rn ( x) 2 故函数项级数 u n ( x) 在区间 I 上一致收敛 .
n 1
un ( x) 一致收敛于和函数S(x)
部分和序列 S n ( x) 一致收敛于S(x)

余项 rn ( x) 一致收敛于 0
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几何解释 : (如图)
0, N Z , 当n > N 时, S ( x) S n ( x) 表示 曲线 y S n ( x) 总位于曲线 y S ( x) 与 y S ( x)
x
证: 因为
k 1
x
0
S ( x) d x

n 1
x
x
0
u n ( x) d x
且上式右端级数在 [a, b] 上也一致收敛 .
x
n
x
0
u k ( x) d x
x x0
k 1
uk ( x) d x x
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n
x
0
S n ( x) d x
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在区间 [0, +∞) 上的收敛性. 1 1 1 解: (k 1,2,) ( x k )( x k 1) x k x k 1 1 1 1 1 S n ( x) ( )( ) x 1 x 2 x2 x3 1 1 ( ) x n x n 1 1 1 x 1 x n 1
因此, 任给 > 0, 取自然数 N 1 1 , 则当n > N 时有
rn ( x)
(0 x )
1 这说明级数在 [0, +∞) 上一致收敛于 S ( x) . x 1
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例2. 证明级数 x ( x 2 x) ( x3 x 2 ) ( x n x n1 )
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1 1 1 ) S ( x) lim S n ( x) lim ( x 1 n x 1 x n 1 n (0 x ) 余项的绝对值: 1 1 rn ( x) S ( x) Sn ( x) x n 1 n 1 (0 x )
2
3
2
n
n 1
)
n
每项在 [0,1] 上都连续, 其前 n 项之和为 S n ( x) x ,
和函数 S ( x) lim S n ( x)
n
0,
1,
0 x 1 x 1
该和函数在 x＝1 间断.
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又如, 函数项级数
( n 1 , 2 , ) n2 n2 所以它的收敛域为 (－∞, +∞) , 但逐项求导后的级数
lim
u n ( x)
n 1 x x0
lim u n ( x)
(2) 若函数项级数不一致收敛时, 定理结论不一定成立.
例如, 级数 2 n 1 x x( x 1) x ( x 1) x ( x 1) 在区间 [ 0 , 1 ] 上处处收敛, 而其和函数 0, 0 x 1 S ( x) 在 x = 1 处不连续 . 1, x 1
定义. 设 S(x) 为
任意给定的 > 0, 都有一个只依赖于 的自然数 N , 使 当n > N 时, 对区间 I 上的一切 x 都有
n 1
un ( x) 在区间 I 上的和函数, 若对

rn ( x) S ( x) Sn ( x)
则称该级数在区间 I 上一致收敛于和函数S(x) . 显然, 在区间 I 上
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定理2. 若级数 u n ( x) 满足 :
n 1

1) 各项un ( x) 在区间[a, b] 上连续;
2) un ( x) 在区间[a, b] 上一致收敛于S ( x) ,
n 1
则该级数在 [a, b] 上可逐项积分, 即对 a x0 x b,
区间可包含此端点.
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例3. 证明级数
在(－∞, +∞) 上 一致收敛 . 证: 因对任意x (, ),
1 而级数 2 收敛, 由维尔斯特拉斯判别法知所给级数 n 0 n
在 (－∞, +∞) 上 一致收敛 .

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说明: 维尔斯特拉斯判别法不仅能判别级数的一致收
所以只需证明对任意 x0 , x [a, b] ( x0 x), 一致有
S n ( x) d x S ( x) d x x0 n x0 lim
根据级数的一致收敛性, 0, N N ( ), 使当 n > N 时, 有 S ( x) S n ( x) ba 于是, 当 n > N 时, 对一切 x0 , x [a, b] ( x0 x), 有
之间.
y S ( x)
y S ( x)

y S ( x)
y S n ( x)
I
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x
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例1. 研究级数 1 1 1 ( x 1)( x 2) ( x 2)( x 3) ( x n)( x n 1)
因为对任意 x 都有:
sin n x
2
1
cos x cos 22 x cos n 2 x
其一般项不趋于0, 所以对任意 x 都发散 .
问题: 对什么样的函数项级数才有:
逐项连续 和函数连续;
逐项求导 = 和函数求导; 逐项积分 = 和函数积分
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n 1
(n 1, 2 ,) ;
2) 正项级数 an 收敛 ,
则函数项级数 u n ( x) 在区间 I 上一致收敛 .
n 1
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证: 由条件2), 根据柯西审敛原理, 0 , N , 当
n > N 时, 对任意正整数 p , 都有 an 1 an 2 an p 2 由条件1), 对 x ∈I , 有
证: 只需证明 x0 [a, b] , lim S ( x) S ( x0 ) .
由于
S ( x) S ( x0 )
x x0
[Sn ( x) rn ( x)] [Sn ( x0 ) rn ( x0 )] Sn ( x) Sn ( x0 ) rn ( x) rn ( x0 )
n 1
2n

2
xe
n2 x 2
2(n 1) xe
2
( n 1) 2 x 2
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2
n
n1
n
x0 [0, 1] , 而 rN 1 ( x0 ) 1 , 因此级数在 [0, 1] 上不 2
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1 , 对无论多么大的正数 N , 取 x 0 2

1 1 ( 2 ) N 1 ,
S n ( x) x
S ( x)
n
y
(1,1)
n 1 n2 n4 n 10 n 30
从而得

S ( x) S ( x0 )
x x0
3
故 S ( x) 在 x0 连续, 即 lim S ( x) S ( x0 ).
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证毕
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说明:
(1) 定理1 表明, 对一致收敛的级数, 极限运算与无限 求和运算可交换, 即有
x x0 n 1
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因为级数
N ( ), 使当 n > N 时, 有
n 1
u n ( x) 一致收敛于S (x) , 故 0, N


rn ( x) , rn ( x0 ) 3 3 对这样选定的 n , Sn ( x) 在 x0 连续, 从而必存在 > 0 , 当 x x0 时, 有 S n ( x) S n ( x0 )
x
x
x0 Sn ( x) d x x0 S ( x) d x

b a
x
x

x x0
S n ( x) S ( x) d x
S n ( x) S ( x) d x
证毕
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因此定理结论正确.
说明: 若级数不一致收敛时, 定理结论不一定成立.
例如, 级数
*第六节
第十二章
函数项级数的一致收敛性 及一致收敛级数的基本性质
一、函数项级数的一致收敛性
二、一致收敛级数的基本性质
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一、函数项级数的一致收敛性
幂级数在收敛域内的性质类似于多项式, 但一般函数 项级数则不一定有这么好的特点. 例如, 级数
x ( x x) ( x x ) ( x x
在 [0,1] 上不一致收敛 .
证: S n ( x ) x ( x x ) ( x x ) x 0, 0 x 1 S ( x) 1, x 1 xn , 0 x 1 rn ( x) S ( x) S n ( x) x 1 0, 取正数 一致收敛 .