第4章功和能

70－80W
听课 70－140W 踢球 630－840W
走路 170－380W 跑步 700－1000W
4.2
动能定理
b
d W Ft ds a m ds m d 0 dt 1 2 1 2 m m0 2 2 1 质点的动能 Ek m 2 2
4.2.1 质点的动能定理
定义式 Wab F dr a 设 F Fx i Fy j Fz k d r dxi dyj dzk F dr Fx i Fy j Fz k dxi dyj dzk Fx dx Fy dy Fz dz
问题4-6 写出下列两种情况下刚体的转动动能：(1) 质量为
m 、长为l 的匀质细杆绕中心或棒端的垂直轴以角速度ω 转动； (2) 质量为m 、半径为R 的匀质薄圆面绕中心垂直轴以角速度 ω 转动。
二、刚体定轴转动的动能定理
由转动定律 M J J d J d d J d
b



b a

直角坐标表示 W
( Fx dx Fy dy Fz dz )
质点沿直线运动 W 自然坐标表示 W

b
a
Fx dx
s2 s1

wenku.baidu.com
s2
s1
F cos ds Ft ds
二、刚体定轴转动中力矩的功
dW F dr
F cos rd π F cos rd 2
外力的功
内力的功
系统动能的增量
质点系的动能定理：质点系动能的 增量等于作用于质点系内质点上所 有外力和所有内力所做的功。
Wex＋Win Ek 2－Ek1
质点j 在 f ij 的作用下在时间 dt 内 发生了位移 drj ，质点i 在 f ji 的作 用下在时间 dt内发生了位移 dri ，
结论：万有引力的功只与质点运动路径始、末位置有关， 而与经过的路径无关。
取 r 处为引力势能零点，当m、M相距r 时的引力势能 GMm Ep r 质点在引力场中从点a运动到点b ，万有引力做功
W ( E pb E pa ) E p
结论：万有引力做的功等于质点引力势能增量的负值 思考题: (1)设地球的质量为M、半径为RE，则质量为m的物 GMm 体在地球表面上的引力势能为 Ep
1 2 E p kx 2
质点从点a运动到点b ，弹性力做的功
W ( E pb E pa ) E p
结论：弹性力做的功等于弹性势能增量的负值
0 0
3
3
由动能定理
1 2 1 2 W m m0 2 2
解得
2W 2.3 m/s m
a F
x 3m
m
1.5m/s 2
4.2.2 质点系的动能定理
设质点系由n个质点组成 第i 个质点所受外力和内力之和
e F1
F F1 j j 1
e Fj j F ji
e i Fi Fi Fi
Fr sin d
Md

d

W Md
0
若M为常量
W M ( 0 )
说明： （1）如果有多个外力作用于刚体, M为合外力矩
（2）力矩的功实质上仍是力做的功，只不过对于刚体 转动的情况，力的功可以用力矩和角位移的乘积来表示
例4-1 如图，一根长为l 、质量为m的匀质细杆，其一端挂在 一个水平轴O上。求细杆从竖直位置转动到与竖直位置成θ角 的过程中重力矩所做的功。
三、弹性势能 F kxi dr dxi
xb W F dr x kxi dxi
a
F dr

xb
xa
1 2 1 2 kxdx kxb kxa 2 2
结论：弹性力的功只与路径始、末位置有关，而与经过 的路径无关。 取弹簧自然长度时为弹性势能零点，弹簧伸长x时的弹性势能
2 问题4-5 试证明刚体定轴转动动能 Ek 1 J C 2 1 mC
，
JC 是刚体对过质心的轴的转动惯量，υC 是刚体质心的速率， m 是刚体的总质量。 证明
2
2
1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 Ek J ( J C md ) J C md J C mC 2 2 2 2 2 2
G mgj
ra ra
习惯上将高度记作h
W (mghb mgha )
E p mgh
W mg ( yb ya )
取h＝0 为零势能参照面，则质量为m 的物体，高度为h 时重力势能 重力做的功
W ( E pb E pa ) E p
重力所做的功等于质点重力势能增量的负值
dr dW F F F cos Ft 由功的定义 P dt dt 力与速度 力在切向上的投影量 与速率的乘积 的标积
dW d M M 力矩的功率 P dt dt
功
W Pdt
t1
t2
几个日常活动功率的数量级： 睡觉 70－80W(基础代谢) 闲谈
1
F1 i Fi 1 e Fi
Fij
由质点的动能定理
Wi
n
i
e i Fi dr Fi dr Fi dr Eki 2－Eki1
i 1 i 1
求和

i 1
e n i n Fi dr Fi dr Eki 2－Eki1） Ek 2 Ek1 （
解 当杆与竖直位置方向夹角为θ时，重力矩 l M mg sin 2 “-” 表示力矩有使θ减小的趋势，从θ =0到θ ，重 力矩做的功
W Md 0
0


l l mg sin d mg 1 cos 2 2
4.1.2 功率 （表征力对质点做功的快慢）
GMm 元功 dW F dr 2 er dr GMm dr r r2 er dr er dr cos dr cos dr
W
rb
ra
GMm GMm GMm 2 dr ( ) ( ) rb ra r
4.3
势能 保守力
4.3.1 势能
一、重力势能
质点在重力场中沿曲线由点a运动到 点b ，求重力做功 rb rb W G dr G dr G (rb ra ) 因为 rb ra ( xb i yb j ) ( xa i y a j ) ( xb xa )i ( yb y a ) j 所以 W G (rb ra ) mgj [( xb xa )i ( yb ya ) j ] mg ( y y ) b a 结论：重力功只与质点运动路径始、末位置有关，而与 经过的路径无关。
力在元位移方向的投 影与此元位移大小的 乘积 质点从a运动到b时，力对质点所做的功为 b b W F dr F cos dr 功是力对空间的累积效应 a a 元功等于力和 元位移的点积
元位移在力方向 的投影量和力大 小的乘积
说明：
（1）功是标量，只有大小，没有方向，但有正负 （2）功是力对位移的空间积累，是过程量，与路径有关 （3）功是可加量，合力的功等于各分力功的代数和 （4）功的几种计算表示式
RE
(2)质量为m的宇宙飞船返回地球时，将发动机关闭，可以 认为它仅在地球引力场中运动，当它从与地球中心距离为 R1下降至距离为R2时，它的势能改变量为 ，引力 所做的功为 (G为引力恒量，Me为地球质量) GM e m GM e m GM e m GM e m R2 R1 R2 R1
dt d dt d
得

Md Jd
1 1 2 2 0 Md 0 J d 2 J 2 J 0

刚体定轴转动的动能定理
刚体定轴转动时，合外力矩的功 等于刚体转动动能的增量
例4-5 应用动能定理求解习题2-14【如图，质量为m 、长为 l 的匀质杆可绕位于杆端的光滑轴O轴在竖直平面内转动，设 杆在水平位置由静止开始自由转下】，求杆转到与水平位置时 成θ角时的 (2)角速度】。 FN l 解 重力对O轴力矩 M mg cos 2 使杆顺时针转动 若杆转动dθ ，则重力矩做功 l dW mg cos d 2 杆从水平位置转动到θ 位置的过程中重力矩做功 G l l W dW mg cos d mg sin 0 2 2 设杆在θ位置时的角速度为ω，根据动能定理，同时考虑 到初始时刻ω0=0 ，以及杆的转动惯量J=ml2/3得 3g sin l
力对时间的积累效应 F d t 是冲量，反映质点 t1 或质点系在一段过程始末状态下动量的变化 p 。
t2
力矩对时间的积累效应 t 映质点或刚体在一段过程始末状态下角动量的变 化 L 。
1
t2
M d t 是冲量矩，反
力、力矩对空间的积累效应 化 。

r2
是？，反映质点或刚体在一段过程始末状态下?的变
一、刚体定轴转动的转动动能
对 mi ，其动能为

ri
对整个刚体
1 Eki mii2 1 mi ri 2 2 2 2 1 1 2 2 Ek mi ri ( mi ri 2 ) 2 2 2 1 Ek J 2 即 2
mi
i
刚体定轴转动的动能等于刚体的转动惯量与角速度 平方乘积的一半。
m
得
E p mghC
一个不太大的刚体的重力势能与它的质量全部集中 在质心时所具有的势能一样。 若刚体定轴转动的转轴通过质心，则刚体的重力势能 在刚体转动时保持不变。
二、万有引力势能
设质量为m 的质点处于质量为M 的引力 场中且沿任意路径由a 运动到b 。
万有引力 F GMm er r2
这一对力的功之和
注意：
dr j
fj i
j
fi j
i
dri
dW fij drj f ji dri fij drj fij dri fij (drj dri )
fij drji
4.2.3 刚体定轴转动的动能定理
Fn
W Ek Ek0 Ek
质点的动能定理：合力对质点做的功，等于质点动能 的增量。
习题4－3 质量为10kg的物体在沿x轴方向的力F=(3+4x)N的 作用下运动了3m，设t=0时，物体位于原点，速率为零。计 算物体处于3m处的速度和加速度。
解
W Fx dx (3 4 x)dx 27J
说明：
（1）势能属于系统，不为单个物体所具有
（2）势能的多少没有绝对意义，关心的是 势能的变化。
刚体的重力势能
对于一个体积不太大、质量为m 的刚体，它的重力势能 是组成刚体的各个质点的重力势能之和，即
E p mi ghi g mi hi
i i
考虑到刚体质心公式
hC
m h
i
i i
r1
2 F d r 、 M d
1
功 和 能
第 四 章
主要内容
（1）功 功率 （2）动能定理 （3）势能 保守力
（4）功能原理 机械能守恒定律
4.1
功
功率
4.1.1 功
一、功的概念
设质点在变力的作用下沿曲线由a运动到b
，定义元功 对微小的位移（元位移）dr
F cos dr F dr cos dW F dr