第4章功和能
大学物理第四章--功和能
a
l
xdx
2l
前已得出：
Af
mg(l a)2
2l
mg(l 2 a2 ) mg(l a)2 1 mv2
2l
2l
2
得v
g l
1
(l 2 a 2 ) (l a)2 2
§3 保守力的功与势能 一、 保守力
rB
B
两个质点之间的引力
B
第四章 功和能
§4.1 功 §4.2 动能定理 §4.3 保守力功与势能 §4.4 功能原理机械能守恒定律
§1 功和功率
一、恒力做功 直线运动
A=Fcos S
记作A F S F r
F
F
M
M
S
位移无限小时：
dA
F
dr
dA称为元功
功等于质点受的力和它的位移的点积(标积)
例１一水平放置的弹簧，其一端固定，另一端系一小球，求小
球的位置由A到B的过程中弹力对它所做的功。（在O处弹簧无 形变）
解：根据胡克定律 F F kx
W F dr
xB Fdx
xA
xB xA
kxdx
O
1 2
A
k xB2
B
xA2
1 2
k xA2
作用在质点
上．在该质点从坐标原点运动到(0，2R)位
置过程中，力
F
对它所作的功为多少？
y
b
b
A a F.dr a (Fxdx Fydy)
R
x O
例4 如图，水平桌面上有质点 m ，桌面的摩 擦系数为μ 求：两种情况下摩擦力作的功
大学物理课件第4章-功和能
如图,求船从离岸 x1处移到 x2 处的 过程中,力 F 对船所作的功.
F
解:判别F 是否为变力作功(大小不变,方
向变元),功属于dW变力作F功.建dx立坐F标,取dx元过co程sa
h
o x2
a
dx x x1 x
cosa x
x2 h2 x
dW F dx
x2 h2
功在数值上等于示功图
F
曲线下的面积。
3. 功率
0 x1
x2 x
dx
平均功率: P =ΔΔWt
瞬时功率:
P
= lim
Δt 0
Δ Δ
Wt =
dW dt
=
F
. dr
dt
= F .v
[ 例1 ] 有一单摆，用一水平力作用于m
使其极其缓慢上升。当θ 由 0 增大到 0 时，
求: 此力的功。
{
F T sinθ T cosθ mg
两边平方
v 2 v12
由动量守恒
2v1
v2
v 22
v
v1
v2
由机械能守 恒（ 势能无变化）
v2
v12
v
2 2
v1 v2 0 两球速度总互相垂直
例8：已知半圆柱形光滑木凹槽，放在光滑桌面上，
如图，求质点下滑至最低点时给木块的压力.
解：
mv MV 0
•2.碰撞分类
正碰 斜碰
（从碰撞前后两球中心连线角度分类 ）
弹性碰撞 非弹性碰撞 完全非弹性碰撞
一般非弹性碰撞
（从碰撞能量损失角度分类）
例7：在平面上两相同的球做完全弹性碰撞，其中一球开始时处于
大学物理第四章
解：利用功能原理：
A=DE
q
kF
m
Fl0tgq
=
1 2
k (l0 setq
- l0 )2
1 2
mv2
F
m
解得：
v=
2 m
Fl0tgq
-
1 m
k (l0 setq
-
l0
)2
[例13] 作业、p-55 功和能 自-20
一质量为m的球，从质量为M的圆弧
形槽中由A位置静止滑下，设圆弧形槽的半
径为R，(如图)。所有摩擦都略，试求：
+12 MV2
l
L
解得：
vr=
2(m +M) gR M
V= m
2gR M(m +M)
(2)小球到最低点B处时，槽滑行的距离。
∵ SFx = 0 ∴ DPx = 0
mvx = MVx
Am
m vxdt = M Vxdt
R
ml=ML
MB
l+L=R
L
=
mR m+M
lL
(3)小球在最低点B处时，槽对球的作用力；
1、动量： P
P = mv 2、第二定律：
F
=
dP dt
= ma
3、冲量： I
I
=
F t 2
t1
dt
4、动量原理
I = DP
5、力矩 M M = r × F
6、动量矩 L
L = r × P = r × mv
7、角动量原理:
t 2 t1
M dt
=
ω ω
2 1
J
dω
= Jω 2
4.2 保守力及其功
3
4.2 保守力及其功
三、 万有引力的功 为原点， 以 M 为原点， m 的位置矢量为 M 对 m 的万有引力为： 的万有引力为：
第4章 功和能 功能原理
v m a r。 v
M
r (t)
v dr
v m 由 a 点移动到 b 点时 F 作功为： 作功为： v v B Mm v v A = ∫ F ⋅ dr = ∫ − G 3 r ⋅ dr A r
v Mm v F = −G 3 r r
v r (t + dt)
O
b
v v v r ⋅ dr = r dr cos φ = rdr
Mm A = ∫ − G 2 dr ra r
rb
v r (t )
v dr
v r (t + dt ) ϕ
4
4.2 保守力及其功 rb Mm A = ∫ − G 2 dr ra r
2
4.2 保守力及其功
二、弹性力的功
Hale Waihona Puke 第4章 功和能 功能原理xb
A = ∫ F dx = ∫ − kx dx
xa xa
xb
v v F = −kxi
1 2 1 2 A = −( kx b − kx a ) 2 2
v F
o xA xB
x
A = ∫ − kxdx = 0
结论： ） 弹性力的功只与始、末位置有关， 结论： 1） 弹性力的功只与始、末位置有关， 与质点所经过的路径无 而与质点所经过的路径无关。 2） 弹簧的变形减小时，弹性力作正功； ） 弹簧的变形减小时，弹性力作正功； 弹簧的变形增大时，弹性力作负功。 弹簧的变形增大时，弹性力作负功。
4.2 保守力及其功
第4章 功和能 功能原理
4.4 功能原理 机械能守恒定律
30° A o
B
Ep = 0
20
4.4 功能原理 机械能守恒定律 第4章 功和能 功能原理
例：如图所示，轻质弹簧劲度系数为k，两端各固定一 质量均为M的物块A和B，放在水平光滑桌面上静止。 今有一质量为m的子弹沿弹簧的轴线方向以速度υ0射入 A 物块而不复出。求：此后弹簧的最大压缩长度。
解：第一阶段： 子弹射入到相对静止
第4章 功和能 功能原理
人们在总结各种自然过程中发现：
如果一个系统是孤立的、与外界无能量交换，系 统内部各种形式的能量可以相互转换，或由一个物体 传递给另一个物体。但是不论如何转换，这些能量的 总和却保持不变。能量既不能消灭，也不能创造。这 一结论叫做能量守恒定律。
例如：利用水位差推动水轮机转动，能使发电机发 电，将机械能转换为电能。
例：有一轻弹簧, 其一端系在铅直放置的圆环的顶点 P， 另一端系一质量为m 的小球，小球穿过圆环并在 圆环上运动(不计摩擦)。开始小球静止于点 A，弹簧处 于自然状态，其长度为圆环半径R； 当小球运动到圆 环的底端点B时，小球对圆环没有压力。
求：弹簧的劲度系数。
P
解 以弹簧、小球和地球为一系统，
R
Q A → B 只有保守内力做功 ∴系统机械能守恒 EB = EA
υ0
mA
B
于物块中。
由于时间极短，可认为物块还没有移动，
应用动量守恒定律，求得物块A的速度υA
mυ0 = ( M + m )υA
∴ υA
=
m (M +
m)
υ0
21
4.4 功能原理 机械能守恒定律 第4章 功和能 功能原理
第二阶段：A移动，直到当A 和B有相同的速度时，弹簧 压缩最大。应用动量守恒定
大学物理 功和能汇总
2 动能定理： A 1 2 mv 0
2A v 4 m s m
[思考] 在 x =0 至 x =1m 过程中， F 的冲量？
10
§4.3 质点系的动能定理
Theorem of Kinetic Energy for a system of Particle
对第 i 质点 求和
O 张力不做功，重力做功： 用动能变化定理解：
l
m
T
A mg dl mg dl cos
mgl cos d mgl sin 0 1 2 mgl sin mv 2
ˆn e
v
mg
ˆt e
比直接解牛顿方程简单，但仍作积分运算。
13
§4.4 *柯尼希定理
i
14
一对力 的功
内力总是成对出现 dr1 两质点间的内力 f ij 和 f ji ,
B1
B2
dr2
f 12
称为一对力 f ij f ji
m1
r21
f 21
m2
A1
A2
一对力做的功之和
dA = f12 dr1 + f21 dr2
f 21 dr2 dr1 f 21 dr21
mi ac dri
m i ac
z
y
mi
= ac mi dri
ri
ac
C 质心 O
12
= ac d mi ri = 0 A i
B
x
=
0
【例】柔软细绳长为l，小球质量为m，求摆下至 角时小球的速度和绳的张力。
八年级下册生物笔记
八年级下册生物笔记第一章植物的生殖1、能够产生花粉粒的结构叫花药2、能够接受花粉粒的结构叫雌蕊3、绿色植物的受精过程为：花粉萌发→→进入胚珠→→与卵细胞结合→→形成受精卵4、绿色植物的受精方式为自花传粉和风媒传粉两种5、胚珠中的卵细胞接受花粉中的精子，完成受精，形成受精卵6、极核细胞与精子结合，形成受精极核7、被子植物的个体发育：由种子萌发→幼苗生长→植株开花、结果→形成种子8、人工授粉的方法有：a.人工点授 b.喷粉 c.戴手套蘸取花粉涂抹在同株异花的花的柱头上第二章昆虫的生殖和发育1、昆虫的发育过程分为：完全变态和不完全变态两类。
完全变态有四个时期：卵→若虫→蛹→成虫（例：蚊、蝇、菜粉蝶、蜜蜂）不完全变态有三个时期：卵→若虫→成虫（例：蝗虫、螳螂、蟋蟀、蝉）2、昆虫在个体发育中，经过卵、幼虫、蛹和成虫等4个时期叫完全变态，经过卵、若虫、成虫等3个时期的叫不完全变态。
3、昆虫在个体发育中，第一条途径是受精卵发育为幼虫，然后幼虫经过蛹期直接发育成为成虫，这条途径叫直接发育，如蚊、蝇、菜粉蝶等。
第二条途径是受精卵发育为幼虫，幼虫经过蛹期不直接发育成成虫，而是通过蛹这一阶段才发育成为成虫，这条途径叫间接发育，如蝗虫、螳螂、蟋蟀、蝉等。
4、昆虫的幼虫在形态结构和生活习性上与成虫差异很大，这样的幼虫叫若虫。
5、昆虫的发育过程与生活环境有密切关系。
第三章两栖动物的生殖和发育1、两栖动物是雌雄异体。
在体外受精。
2、两栖动物的生殖和幼体发育必须在水中进行。
3、两栖动物一般是体外受精，变态发育。
4、两栖动物的幼体是蝌蚪，它用鳃呼吸，必须生活在水中；大多数两栖动物的成体用肺呼吸，可以生活在陆地上。
5、两栖动物的种类有400余种。
常见的有青蛙、蟾蜍和蝾螈等。
它们在人类生产和生活中具有重要的经济意义。
6、两栖动物的生殖和发育过程对水域环境的污染很敏感。
水域污染可能造成两栖动物的不育或死亡。
这是环境监测中判断水域污染程度的一个重要指标。
第四章 机械能和能
1J＝1N×1m ＝ 1N·m ＝ × 3. 功是标量： 只有大小，没有方向。 功是标量： 只有大小，没有方向。 思考： 对物体做的功？ 思考：计算下图中力 F 对物体做的功？
F x
α
W＝Fxcos（π-α） （ ）
（四）求合力的功
求合力功的两种方法 （1） 先求各力的功，再求它们的代数和； W总＝W1 ＋W2 ＋W3 +……+Wn （2）先求合力，再由公式：W＝F合xcosα得出合力做的 功．
（一）做功与能量的变化
举重
瀑布
射箭
1、功：物体受到力的作用，并在力的方向上发生了位移，这个力就对物体做了功。 、 物体受到力的作用，并在力的方向上发生了位移，这个力就对物体做了功。 功的两个必要因素：①作用在物体上的力 ①作用在物体上的力 物体在力的方向上发生的位移 ②物体在力的方向上发生的位移 2、功与能的关系：①做功的过程就是能量转化的过程。 、功与能的关系： 做功的过程就是能量转化的过程。 做了多少功，就有多少能量发生了转化。 ②做了多少功，就有多少能量发生了转化。
功是能量转化的量度
（二）功的计算
思考①：如图，力 F 使滑块发生位移 x ，在这个过程中， F 对滑块做了多少功？
F X
F
思考②：如图，当恒力 F的方向与物体位移 x 的方向成某一夹角 α时，如何计算 力 F 对物体做的功呢？ F α X
W＝Fxcosα
（二）功的计算
1. 力对物体做功等于力的大小、位移的大小、力和位移夹角的余弦这 力对物体做功等于力的大小、位移的大小、 三者的乘积， 三者的乘积，即 (注：适用于恒力做功的计算） W＝Fxcosα
第四章 机械能和能源
第四章《功和能》训练案
§4.1功1.下列选项所示的四幅图是小华提包回家的情景，其中小华提包的力不做功的是()2.如图1所示，小朋友在弹性较好的蹦床上跳跃翻腾，尽情玩耍，在小朋友接触床面向下运动的过程中，床面对小朋友的弹力做功情况是()图1A.先做负功，再做正功B.先做正功，再做负功C.一直做正功D.一直做负功3.一人乘电梯从1楼到20楼，在此过程中经历了先加速，再匀速，最后减速的运动过程，则电梯对人的支持力做功的情况是()A.加速时做正功，匀速时不做功，减速时做负功B.加速时做正功，匀速和减速时做负功C.加速和匀速时做正功，减速时做负功D.始终做正功4.关于力对物体做的功，以下说法中正确的是()A.滑动摩擦力对物体做的功与路径有关B.合外力不做功，物体必定做匀速直线运动C.在相同的时间内作用力与反作用力做的功一定是绝对值相等，一正一负D.一对作用力与反作用力不可能其中一个做功，而另一个不做功5.如图2所示，质量分别为M和m的两物块A、B(均可视为质点，且M>m)分别在同样大小的恒力作用下，沿水平面由静止开始做直线运动，两力与水平面的夹角相同，两物块经过的位移相同.设此过程中F1对A做的功为W1，F2对B做的功为W2，则()图2A.无论水平面光滑与否，都有W1＝W2B.若水平面光滑，则W1>W2C.若水平面粗糙，则W1>W2D.若水平面粗糙，则W1<W26.如图3所示，质量为m的物体A静止在倾角为θ的斜面体B上，斜面体B的质量为M.现对该斜面体B施加一个水平向左的推力F，使物体A随斜面体B一起沿水平方向向左匀速运动，物体A与斜面体始终保持相对静止，当移动的距离为l时，斜面体B对物体A所做的功为()图3A.FlB.mgl sinθ·cosθC.mgl sinθD.07.一个物体在粗糙的水平面上运动，先使物体向右滑动距离l，再使物体向左滑动距离l，正好回到起点，来回所受摩擦力大小都为F f，则整个过程中摩擦力做功为()A.0B.－2F f lC.－F f lD.无法确定8.如图4，人站在台阶式自动扶梯上不动，随扶梯向上匀速运动，下列说法中正确的是()图4A.重力对人做负功B.摩擦力对人做正功C.支持力对人做正功D.合力对人做功为零9.如图5所示，站在汽车上的人用手推车的力为F，脚对车向后的静摩擦力为F′，下列说法正确的是()图5A.当车匀速运动时，F和F′做的总功为零B.当车加速运动时，F和F′的总功为负功C.当车加速运动时，F和F′的总功为正功D.不管车做何种运动，F和F′的总功都为零10.如图6所示，同一物体分别沿斜面AD和BD自顶点由静止开始下滑，该物体与两斜面间的动摩擦因数相同.在滑行过程中克服摩擦力做的功分别为W A和W B，则()图6A.W A>W BB.W A＝W BC.W A<W BD.无法确定11.如图7所示，用恒定的拉力F拉置于光滑水平面上质量为m的物体，由静止开始运动时间t，拉力F斜向上与水平面夹角为θ＝60°.如果要使拉力做的功变为原来的4倍，在其他条件不变的情况下，可以将(物体始终未离开水平面)()图7A.拉力变为2FB.时间变为2tC.物体质量变为m2D.拉力大小不变，但方向改为与水平面平行12.(1)用起重机把质量为200kg的物体匀速提高了5m，钢绳的拉力做了多少功？重力做了多少功？物体克服重力做了多少功？这些力的总功是多少？(取g＝10m/s2)(2)若(1)中物体匀加速上升，仍将物体提高了5m，加速度a＝2m/s2，绳的拉力做了多少功？物体所受各力的总功是多少？13.如图8所示，用沿斜面向上、大小为800N的力F，将质量为100kg的物体沿倾角为θ＝37°的固定斜面由底端匀速地拉到顶端，斜面长L＝5m，物体与斜面间的动摩擦因数为0.25.求这一过程中：(g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)(1)物体的重力所做的功；(2)摩擦力所做的功；(3)物体所受各力的合力所做的功.图8§4.2功率1.关于功率，下列说法正确的是()A.功率是描述力对物体做功多少的物理量B.力做功时间越长，力的功率一定越小C.力对物体做功越快，力的功率一定越大D.力对物体做功越多，力的功率一定越大2.放在水平面上的物体在拉力F作用下做匀速直线运动，先后通过A、B两点，在这个过程中()A.物体的运动速度越大，力F做功越多B.不论物体的运动速度多大，力F做功不变C.物体的运动速度越大，力F做功的功率越大D.不论物体的运动速度多大，力F做功的功率不变3.汽车上坡时，保持汽车发动机输出功率一定，降低速度，这样做的目的是()A.增大牵引力B.减小牵引力C.增大阻力D.减小惯性4.质量为2t的汽车，发动机的额定功率为30kW，在水平路面上能以15m/s的最大速度匀速行驶，则汽车在该水平路面行驶时所受的阻力为()A.2×103NB.3×103NC.5×103ND.6×103N5.一个质量为m的小球做自由落体运动，重力加速度为g，那么，在t时间内(小球未落地)重力对它做功的平均功率P及在t时刻重力做功的瞬时功率P分别为()A.P＝mg2t2，P＝12mg2t2 B.P＝mg2t2，P＝mg2t2C.P＝12mg2t，P＝mg2t D.P＝12mg2t，P＝2mg2t6.假设列车从静止开始做匀加速直线运动，经过500m的路程后，速度达到360km/h.整个列车的质量为1×105kg，如果不计阻力，在匀加速阶段，牵引力的最大功率是()A.4.67×106kWB.1×105kWC.1×108kWD.4.67×109kW7.如图1所示，为轿车中的手动变速杆，若保持发动机输出功率不变，将变速杆推至不同挡位，可获得不同的运行速度，从“1”～“5”挡速度增大，R是倒车挡。
大学物理力学第四章功与能
（2）保守力B的环流 为零A。
y
A
F dr l1
F
A B
dr
l2
B
B
F dr
l1
l1
A F dr l2
F dr
A
l2
B
0
o
x
非保守力——▲ 摩擦力（耗散力):作功为负，
1 2
m2v2 B 2
1 2
m2v2
2 A
B1
B2
B1
B2
F1 • d r1 F 2 • d r2 f 1 • d r1 f 2 • d r2
A1
A2
A1
A2
1 2
m1v1B 2
1 2
m2v2B 2
1 2
m1v1A2
1 2
m2v2 A2
Aext Aint EkB EkA
外力与内力对质点系做的功之和等于质 点系总动能的增量。-----质点系的动能定理
A
rAB
B
A F r cos
F r
恒力的功与物体的具体路径无关，
只和起点和终点位置有关.
2. 变力做功
A
F1
r1
F2
r2
F3
r3
...
Fi
ri
...
ri i
定义: element work元功
Fi
dA F dr 视为恒力,直线
r3
F3
r2 r1
F2
F1
A
B
AAB L
E。
n
n
大学物理上学习指导作业参考答案(1)
大学物理上学习指导作业参考答案(1)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第一章 质点运动学课 后 作 业1、一质点沿x 轴运动，其加速度a 与位置坐标x 的关系为 a ＝2＋6 x 2 (SI)如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度．解：设质点在x 处的速度为v ，62d d d d d d 2x txx t a +=⋅==v v 2分 ()x x xd 62d 020⎰⎰+=v v v2分()2 213x x +=v 1分2、一质点沿x 轴运动，其加速度为a 4t (SI)，已知t 0时，质点位于x10 m 处，初速度v 0．试求其位置和时间的关系式．解： =a d v /d t 4=t ， d v 4=t d t ⎰⎰=vv 0d 4d tt tv 2=t 2 3分v d =x /d t 2=t 2 t t x txx d 2d 020⎰⎰=x 2= t 3 /3+x 0 (SI) 2分3、一质点沿半径为R 的圆周运动．质点所经过的弧长与时间的关系为221ct bt S += 其中b 、c 是大于零的常量，求从0=t 开始到切向加速度与法向加速度大小相等时所经历的时间．解： ct b t S +==d /d v 1分c t a t ==d /d v 1分 ()R ct b a n /2+= 1分根据题意： a t = a n 1分即 ()R ct b c /2+=解得 cbc R t -=1分4、如图所示，质点P 在水平面内沿一半径为R =2 m 的圆轨道转动．转动的角速度与时间t 的函数关系为2kt =ω (k 为常量)．已知s t 2=时，质点P 的速度值为32 m/s ．试求1=t s 时，质点P 的速度与加速度的大小．O RP解：根据已知条件确定常量k()222/rad 4//s Rt t k ===v ω 1分24t =ω, 24Rt R ==ωvs t 1=时， v = 4Rt 2 = 8 m/s 1分 2s /168/m Rt dt d a t ===v 1分22s /32/m R a n ==v 1分()8.352/122=+=nt a a a m/s 2 1分5、一敞顶电梯以恒定速率v =10 m/s 上升．当电梯离地面h =10 m 时，一小孩竖直向上抛出一球．球相对于电梯初速率200=v m/s ．试问： (1) 从地面算起，球能达到的最大高度为多大？ (2) 抛出后经过多长时间再回到电梯上？解：(1) 球相对地面的初速度=+='v v v 030 m/s 1分抛出后上升高度 9.4522='=gh v m/s 1分 离地面高度 H = (45.9+10) m =55.9 m 1分(2) 球回到电梯上时电梯上升高度＝球上升高度2021)(gt t t -+=v v v 1分08.420==gt vs 1分6、在离水面高h 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S 处，如图所示．当人以0υ(m ·1-s )的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．解： 设人到船之间绳的长度为l ，此时绳与水面成θ角，由图可知222s h l +=将上式对时间t 求导，得tss t l l d d 2d d 2=题1-4图根据速度的定义，并注意到l ,s 是随t 减少的，∴ tsv v t l v d d ,d d 0-==-=船绳即 θcos d d d d 00v v s l t l s l t s v ==-=-=船 或 sv s h s lv v 02/1220)(+==船 将船v 再对t 求导，即得船的加速度3202220202002)(d d d d d d sv h s v s l s v slv s v v s t sl t l st v a =+-=+-=-==船船第二章 运动与力课 后 作 业1、 一人在平地上拉一个质量为M 的木箱匀速前进，如图. 木箱与地面间的摩擦系数μ＝0.6.设此人前进时，肩上绳的支撑点距地面高度为h ＝1.5 m ，不计箱高，问绳长l 为多长时最省力解：设绳子与水平方向的夹角为θ，则l h /sin =θ． 木箱受力如图所示，匀速前进时, 拉力为F , 有F cos θ－f ＝0 2分F sin θ＋N －Mg ＝0 f ＝μN得 θμθμsin cos +=MgF 2分令 0)sin (cos )cos sin (d d 2=++--=θμθθμθμθMg F ∴ 6.0tg ==μθ，637530'''︒=θ 2分且 0d d 22>θF∴ l ＝h / sin θ＝2.92 m 时，最省力．N2、一质量为60 kg 的人，站在质量为30 kg 的底板上，用绳和滑轮连接如图．设滑轮、绳的质量及轴处的摩擦可以忽略不计，绳子不可伸长．欲使人和底板能以1 m/s 2的加速度上升，人对绳子的拉力T 2多大？人对底板的压力多大 (取g ＝10 m/s 2)解：人受力如图(1) 图2分a m g m N T 112=-+ 1分 底板受力如图(2) 图2分 a m g m N T T 2221=-'-+ 2分212T T = 1分 N N ='由以上四式可解得 a m m g m g m T )(421212+=--∴ 5.2474/))((212=++=a g m m T N 1分5.412)(21=-+=='T a g m N N N 1分3、一条轻绳跨过一轻滑轮(滑轮与轴间摩擦可忽略)，在绳的一端挂一质量为m 1的物体，在另一侧有一质量为m 2的环，求当环相对于绳以恒定的加速度a 2沿绳向下滑动时，物体和环相对地面的加速度各是多少环与绳间的摩擦力多大m 1m 22a解：因绳子质量不计，所以环受到的摩擦力在数值上等于绳子张力T ．设m 2相对地面的加速度为2a '，取向上为正；m 1相对地面的加速度为a 1(即绳子的加速度)，取向下为正． 1分111a m T g m =- 2分 222a m g m T '=- 2分 212a a a -=' 2分 解得 2122211)(m m a m g m m a ++-= 1分21212)2(m m m m a g T +-= 1分2121212)(m m a m g m m a +--=' 1分4、一条质量分布均匀的绳子，质量为M 、长度为L ，一端拴在竖直转轴OO ′上，并以恒定角速度ω在水平面上旋转．设转动过程中绳子始终伸直不打弯，且忽略重力，求距转轴为r 处绳中的张力T ( r )．解：取距转轴为r 处，长为d r 的小段绳子，其质量为 ( M /L ) d r ． (取元，画元的受力图) 2分由于绳子作圆周运动，所以小段绳子有径向加速度，由牛顿定律得： T ( r )-T ( r + d r ) = ( M / L ) d r r ω2令 T ( r )－T (r + d r ) = - d T ( r )得 d T =－( M ω2/ L ) r d r 4分 由于绳子的末端是自由端 T (L ) = 01分有r r L M T Lrr T d )/(d 2)(⎰⎰-=ω ∴ )2/()()(222L r L M r T -=ω 3分LOO ′rO O ′ d r T (r ) T (r +d )第三章 动量与角动量课 后 作 业hAv1、如图，用传送带A 输送煤粉，料斗口在A 上方高h ＝0.5 m 处，煤粉自料斗口自由落在A 上．设料斗口连续卸煤的流量为q m ＝40 kg/s ，A 以v ＝2.0 m/s 的水平速度匀速向右移动．求装煤的过程中，煤粉对A 的作用力的大小和方向．（不计相对传送带静止的煤粉质重）解：煤粉自料斗口下落，接触传送带前具有竖直向下的速度gh 20=v 1分设煤粉与A 相互作用的∆t 时间内，落于传送带上的煤粉质量为t q m m ∆=∆ 1分设A 对煤粉的平均作用力为f，由动量定理写分量式：0-∆=∆v m t f x 1分)(00v m t f y ∆--=∆ 1分 将 t q m m ∆=∆代入得 v m x q f =， 0v m y q f =∴ 14922=+=y x f f f N 2分f与x 轴正向夹角为α = arctg (f x / f y ) = 57.4° 1分由牛顿第三定律煤粉对A 的作用力f ′= f = 149 N ，方向与图中f相反．2分30°F2、质量为1 kg 的物体，它与水平桌面间的摩擦系数μ = 0.2 ．现对物体施以F = 10t (SI)的力，（t 表示时刻），力的方向保持一定，如图所示．如t = 0时物体静止，则t = 3 s 时它的速度大小v 为多少?解：由题给条件可知物体与桌面间的正压力mg F N +︒=30sin 1分物体要有加速度必须 N F μ≥︒30cos 2分即 mg t μμ≥-)3(5， 0s 256.0t t =≥ 1分物体开始运动后，所受冲量为 ⎰-︒=tt t N F I 0d )30cos (μ)(96.1)(83.3022t t t t ---= t = 3 s, I = 28.8 N s 2分则此时物体的动量的大小为 I m =v速度的大小为 8.28==mIv m/s 2分3、一炮弹发射后在其运行轨道上的最高点h ＝19.6 m 处炸裂成质量相等的两块．其中一块在爆炸后1秒钟落到爆炸点正下方的地面上．设此处与发射点的距离S 1＝1000 m ，问另一块落地点与发射地点间的距离是多少（ 空气阻力不计，g ＝9.8 m/s 2）解：因第一块爆炸后落在其正下方的地面上，说明它的速度方向是沿竖直方向的．利用 2t g t h '+'=211v ， 式中t '为第一块在爆炸后落到地面的时间． 可解得v 1＝14.7 m/s ，竖直向下．取y 轴正向向上, 有v 1y ＝－14.7 m/s 2分设炮弹到最高点时(v y ＝0)，经历的时间为t ，则有 S 1 = v x t ①h=221gt ②由①、②得 t =2 s , v x =500 m/s 2分 以2v表示爆炸后第二块的速度，则爆炸时的动量守恒关系如图所示．x v v m m x =221③0==+y y m m m v v v 1y 22121 ④解出 v 2x =2v x =1000 m/s ， v 2y =-v 1y =14.7 m/s 3分 再由斜抛公式 x 2= S 1 +v 2x t 2 ⑤y 2=h +v 2y t 2-22gt 21 ⑥落地时 y 2 =0，可得 t 2 =4 s , t 2＝－1 s （舍去） 故 x 2＝5000 ｍ 3分Mmv4、质量为M ＝1.5 kg 的物体，用一根长为l ＝1.25 m 的细绳悬挂在天花板上．今有一质量为m ＝10 g 的子弹以v 0＝500 m/s 的水平速度射穿物体，刚穿出物体时子弹的速度大小v ＝30 m/s ，设穿透时间极短．求： (1) 子弹刚穿出时绳中张力的大小； (2) 子弹在穿透过程中所受的冲量．解：(1) 因穿透时间极短，故可认为物体未离开平衡位置．因此,作用于子弹、物体系统上的外力均在竖直方向，故系统在水平方向动量守恒．令子弹穿出时物体的水平速度为v '有 m v 0 = m v +M v 'v ' = m (v 0 - v )/M =3.13 m/s 2分 T =Mg+M v 2/l =26.5 N 2分(2) s N 7.40⋅-=-=∆v v m m t f (设0v方向为正方向) 2分负号表示冲量方向与0v方向相反． 2分第四章 功和能课 后 作 业1、一质量为m 的质点在Oxy 平面上运动，其位置矢量为j t b i t a rωωsin cos +=(SI)式中a 、b 、ω是正值常量，且a ＞b ． (1)求质点在A 点(a ，0)时和B 点(0，b )时的动能；(2)求质点所受的合外力F 以及当质点从A 点运动到B 点的过程中F的分力x F和y F 分别作的功．解：(1)位矢 j t b i t a rωωsin cos += (SI) 可写为 t a x ωcos = ， t b y ωsin =t a t x x ωωsin d d -==v ， t b ty ωωcos d dy-==v在A 点(a ，0) ，1cos =t ω，0sin =t ωE KA =2222212121ωmb m m y x =+v v 2分在B 点(0，b ) ，0cos =t ω，1sin =t ωE KB =2222212121ωma m m y x =+v v 2分(2) j ma i ma F y x +==j t mb i t ma ωωωωsin cos 22-- 2分由A →B ⎰⎰-==020d cos d a a x x x t a m x F W ωω=⎰=-022221d a ma x x m ωω 2分⎰⎰-==b b y y t b m y F W 020dy sin d ωω=⎰-=-b mb y y m 022221d ωω 2分2、劲度系数为k 的轻弹簧，一端固定，另一端与桌面上的质量为m 的小球B 相连接．用外力推动小球，将弹簧压缩一段距离L 后放开．假定小球所受的滑动摩擦力大小为F 且恒定不变，滑动摩擦系数与静摩擦系数可视为相等．试求L 必须满足什么条件时，才能使小球在放开后就开始运动，而且一旦停止下来就一直保持静止状态．解：取弹簧的自然长度处为坐标原点O ，建立如图所示的坐标系．在t =0时，静止于x ＝－L 的小球开始运动的条件是kL ＞F ① 2分小球运动到x 处静止的条件，由功能原理得222121)(kL kx x L F -=+- ② 2分由② 解出 kFL x 2-=使小球继续保持静止的条件为 F k FL k x k ≤-=2 ③ 2分 所求L 应同时满足①、③式，故其范围为 k F <L kF3≤ 2分3、一链条总长为l ，质量为m ，放在桌面上，并使其部分下垂，下垂一段的长度为a ．设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为μ．令链条由静止开始运动，则 (1)到链条刚离开桌面的过程中，摩擦力对链条作了多少功？al -a(2)链条刚离开桌面时的速率是多少？解：(1)建立如图坐标.某一时刻桌面上全链条长为y ,则摩擦力大小为g lymf μ= 1分 摩擦力的功 ⎰⎰--==00d d a l a l f y gy l my f W μ 2分=022a l y l mg -μ =2)(2a l lmg--μ 2分(2)以链条为对象，应用质点的动能定理 ∑W ＝2022121v v m m -其中 ∑W = W P ＋W f ，v 0 = 0 1分W P =⎰la x P d =l a l mg x x l mg la 2)(d 22-=⎰ 2分由上问知 la l mg W f 2)(2--=μ所以222221)(22)(v m a l l mg l a l mg =---μ 得 []21222)()(a l a l lg ---=μv 2分αh0v4、一物体与斜面间的摩擦系数μ = 0.20，斜面固定，倾角α = 45°．现给予物体以初速率v 0 = 10 m/s ，使它沿斜面向上滑，如图所示．求： 物体能够上升的最大高度h ；该物体达到最高点后，沿斜面返回到原出发点时的速率v ．解：(1)根据功能原理，有 mgh m fs -=2021v 2分 ααμαμsin cos sin mgh Nh fs ==mgh m mgh -==2021ctg v αμ 2分 )ctg 1(220αμ+=g h v =4.5 m 2分(2)根据功能原理有 fs m mgh =-221v 1分αμctg 212mgh mgh m -=v 1分[]21)ctg 1(2αμ-=gh v =8.16 m/s 2分第五章 刚体的转动课 后 作 业1、一轻绳跨过两个质量均为m 、半径均为r 的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为m 和2m 的重物，如图所示．绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑．两个定滑轮的转动惯量均为221mr ．将由两个定滑轮以及质量为m 和2m的重物组成的系统从静止释放，求两滑轮之间绳内的张力．解：受力分析如图所示． 2分 2mg －T 1＝2ma 1分T 2－mg ＝ma 1分T 1 r －T r ＝β221mr 1分 T r －T 2 r ＝β221mr 1分a ＝r β 2分解上述5个联立方程得： T ＝11mg / 8 2分2、一轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的半径为R ,质量为M / 4，均匀分布在其边缘上．绳子的A 端有一质量为M 的人抓住了绳端，而在绳的另一端B 系了一质量为21M 的重物，如图．设人从静止开始相对于绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求B 端重物上升的加速度？(已知滑轮对通过滑轮中心且垂直于轮面的轴的转动惯量J ＝MR 2 / 4 )解：受力分析如图所示．设重物的对地加速度为a ，向上.则绳的A 端对地有加速度a 向下，人相对于绳虽为匀速向上，但相对于地其加速度仍为a 向下. 2分 根据牛顿第二定律可得：对人： Mg －T 2＝Ma ① 2分对重物： T 1－21Mg ＝21Ma ② 2分根据转动定律，对滑轮有(T 2－T 1)R ＝J β＝MR 2β / 4 ③ 2分因绳与滑轮无相对滑动， a ＝βR ④ 1分 ①、②、③、④四式联立解得 a ＝2g / 7 1分3、一质量为m 的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴的轴上，如图所示．轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r ，整个装置架在光滑的固定轴承之上．当物体从静止释放后，在时间t 内下降了一段距离S ．试求整个轮轴的转动惯量(用m 、r 、t 和S 表示)．解：设绳子对物体(或绳子对轮轴)的拉力为T ，则根据牛顿运动定律和转动定律得：mg T ＝ma ① 2分 T r ＝J β ② 2分由运动学关系有： a = r β ③ 2分由①、②、③式解得： J ＝m ( g －a ) r 2 / a ④ 又根据已知条件 v 0＝0∴ S ＝221at ， a ＝2S / t 2 ⑤ 2分将⑤式代入④式得：J ＝mr 2(Sgt 22－1) 2分Am 1 ,l1v2俯视图4、有一质量为m 1、长为l 的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为μ的水平桌面上，它可绕通过其端点O 且与桌面垂直的固定光滑轴转动．另有一水平运动的质量为m 2的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A 相碰撞，设碰撞时间极短．已知小滑块在碰撞前后的速度分别为1v 和2v，如图所示．求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间.(已知棒绕O 点的转动惯量2131l m J =)解：对棒和滑块系统，在碰撞过程中，由于碰撞时间极短，所以棒所受的摩擦力 矩<<滑块的冲力矩．故可认为合外力矩为零，因而系统的角动量守恒，即1分m 2v 1l ＝－m 2v 2l ＋ω2131l m ① 3分碰后棒在转动过程中所受的摩擦力矩为gl m x x l m g M l f 10121d μμ-=⋅-=⎰ ② 2分由角动量定理 ω210310l m dt M tf -=⎰ ③ 2分由①、②和③解得 g m m t 12122μv v += 2分第六章 狭义相对论基础课 后 作 业1、一体积为V 0，质量为m 0的立方体沿其一棱的方向相对于观察者A 以速度v 运动．求：观察者A 测得其密度是多少？解：设立方体的长、宽、高分别以x 0，y 0，z 0表示，观察者A 测得立方体的长、宽、高分别为 221cx x v -=，0y y =，0z z =． 相应体积为 2201cV xyz V v -== 3分观察者Ａ测得立方体的质量 2201cm m v -=故相应密度为 V m /=ρ22022011/c V c m v v --=)1(2200cV m v -=2分2、在O 参考系中，有一个静止的正方形，其面积为 100 cm 2．观测者O ＇以 0.8c 的匀速度沿正方形的对角线运动．求O ＇所测得的该图形的面积．解：令O 系中测得正方形边长为a ，沿对角线取x 轴正方向(如图)，则边长在坐标轴上投影的大小为a a x 221=，a a y 221= 面积可表示为： x y a a S ⋅=2 2分在以速度v 相对于O 系沿x 正方向运动的O ＇系中2)/(1c a a x x v -=' =0.6×a 221 a a a yy 221==' 在O ＇系中测得的图形为菱形，其面积亦可表示为606.022=='⋅'='a a a S x y cm 23分aaO y x3、一艘宇宙飞船的船身固有长度为L 0 =90 m ，相对于地面以=v 0.8 c (c 为真空中光速)的匀速度在地面观测站的上空飞过．(1) 观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔是多少？ (2) 宇航员测得船身通过观测站的时间间隔是多少？解：(1) 观测站测得飞船船身的长度为 =-=20)/(1c L L v 54 m则 ∆t 1 = L /v =2.25×10-7 s 3分(2) 宇航员测得飞船船身的长度为L 0，则∆t 2 = L 0/v =3.75×10-7 s 2分4、半人马星座α星是距离太阳系最近的恒星，它距离地球S = 4.3×1016 m ．设有一宇宙飞船自地球飞到半人马星座α星，若宇宙飞船相对于地球的速度为v = 0.999 c ，按地球上的时钟计算要用多少年时间如以飞船上的时钟计算，所需时间又为多少年解：以地球上的时钟计算： 5.4≈=∆vSt 年 2分 以飞船上的时钟计算： ≈-='∆∆221ct t v 0.20 年 3分5、在惯性系S 中，有两事件发生于同一地点，且第二事件比第一事件晚发生∆t =2s ；而在另一惯性系S ＇中，观测第二事件比第一事件晚发生∆t '=3s ．那么在S ＇系中发生两事件的地点之间的距离是多少？解：令S ＇系与S 系的相对速度为v ，有2)/(1c tt v -='∆∆， 22)/(1)/(c t t v -='∆∆则 2/12))/(1(t t c '-⋅=∆∆v ( = 2.24×108 m ·s -1 ) 4分那么，在S ＇系中测得两事件之间距离为：2/122)(t t c t x ∆∆∆∆-'='⋅='v = 6.72×108 m 4分6、要使电子的速度从v 1 =1.2×108 m/s 增加到v 2 =2.4×108 m/s 必须对它作多少功？ (电子静止质量m e ＝9.11×10-31 kg)解：根据功能原理，要作的功 W = ∆E根据相对论能量公式 ∆E = m 2c 2- m 1c 2 2分根据相对论质量公式 2/12202])/(1/[c m m v -=2/12101])/(1/[c m m v -= 1分 ∴ )1111(22122220c c c m W v v ---=＝4.72×10-14 J ＝2.95×105 eV 2分第七章 振动课 后 作 业1、一个轻弹簧在60 N 的拉力作用下可伸长30 cm ．现将一物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，它们的总质量为4 kg ．待其静止后再把物体向下拉10 cm ，然后释放．问：(1) 此小物体是停在振动物体上面还是离开它？(2) 如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A 需满足何条件二者在何位置开始分离解：(1) 小物体受力如图．设小物体随振动物体的加速度为a ，按牛顿第二定律有（取向下为正） ma N mg =- 1分)(a g m N -=当N = 0，即a = g 时，小物体开始脱离振动物体，已知 1分A = 10 cm ，N/m 3.060=k 有 50/==m k ω rad ·s -1 2分 系统最大加速度为 52max ==A a ω m ·s -2 1分 此值小于g ，故小物体不会离开． 1分(2) 如使a > g ，小物体能脱离振动物体，开始分离的位置由N = 0求得x a g 2ω-== 2分 6.19/2-=-=ωg x cm 1分即在平衡位置上方19.6 cm 处开始分离，由g A a >=2max ω，可得2/ωg A >=19.6 cm ． 1分2、一质点在x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过A 点时作为计时起点( t = 0 )，经过2秒后质点第一次经过B 点，再经过2秒后质点第二次经过B 点，若已知该质点在A 、B 两点具有相同的速率，且AB = 10 cm 求： (1) 质点的振动方程； (2) 质点在A 点处的速率．解： T = 8 s ， ν = (1/8) s -1， ω = 2πν = (π /4) s -1 3分(1) 以AB 的中点为坐标原点，x 轴指向右方． t = 0时， 5-=x cm φcos A =t = 2 s 时， 5=x cm φφωsin )2cos(A A -=+= 由上二式解得 tg φ = 1因为在A 点质点的速度大于零，所以φ = -3π/4或5π/4（如图） 2分25cos /==φx A cm 1分∴ 振动方程 )434cos(10252π-π⨯=-t x (SI) 1分(2) 速率 )434sin(41025d d 2π-π⨯π-==-t t x v (SI) 2分 当t = 0 时，质点在A 点221093.3)43sin(10425d d --⨯=π-⨯π-==t x v m/s 1分3、一质量为m 的质点在力F = -π2x 的作用下沿x 轴运动．求其运动的周期．解：将F = -π2x 与F = -kx 比较，知质点作简谐振动， k = π2． 3分 又 mm k π==ω 4分m T 22=π=ω3分4、一物体同时参与两个同方向的简谐振动： )212cos(04.01π+π=t x (SI), )2cos(03.02π+π=t x (SI)求此物体的振动方程．解：设合成运动（简谐振动）的振动方程为 )cos(φω+=t A x则 )cos(2122122212φφ-++=A A A A A ① 2分 以 A 1 = 4 cm ，A 2 = 3 cm ，π=π-π=-212112φφ代入①式，得5cm 3422=+=A cm 3分又 22112211cos cos sin sin arctg φφφφφA A A A ++= ②≈127°≈2.22 rad 3分 ∴ )22.22cos(05.0+π=t x (SI) 2分5、在竖直悬挂的轻弹簧下端系一质量为 100 g 的物体，当物体处于平衡状态时，再对物体加一拉力使弹簧伸长，然后从静止状态将物体释放．已知物体在32 s 内完成48次振动，振幅为5 cm ． (1) 上述的外加拉力是多大？(2) 当物体在平衡位置以下1 cm 处时，此振动系统的动能和势能各是多少？解一：(1) 取平衡位置为原点，向下为x 正方向．设物体在平衡位置时弹簧的伸长量为∆l ，则有l k mg ∆=, 加拉力F 后弹簧又伸长x 0，则0)(0=+-+∆x l k mg F解得 F = kx 0 2分由题意，t = 0时v 0 = 0；x = x 0则02020)/(x x A =+=ωv 2分又由题给物体振动周期4832=T s, 可得角频率 Tπ=2ω, 2ωm k = ∴ 444.0)/4(22=π==A T m kA F N 1分(2) 平衡位置以下1 cm 处： )()/2(2222x A T -π=v 2分221007.121-⨯==v m E K J 2分2222)/4(2121x T m kx E p π== = 4.44×10-4 J 1分解二：(1) 从静止释放，显然拉长量等于振幅A （5 cm ），kA F = 2分2224νωπ==m m k ，ν = 1.5 Hz 2分∴ F = 0.444 N 1分(2) 总能量 221011.12121-⨯===FA kA E J 2分当x = 1 cm 时，x = A /5，E p 占总能量的1/25，E K 占24/25． 2分∴ 21007.1)25/24(-⨯==E E K J ， 41044.425/-⨯==E E p J 1分6、如图，有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数k = 24 N/m ，重物的质量m = 6 kg ，重物静止在平衡位置上．设以一水平恒力F = 10 N 向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运动了0.05 m 时撤去力F ．当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程．解：设物体的运动方程为 )cos(φω+=t A x ．恒外力所做的功即为弹簧振子的能量： F ×0.05 = 0.5 J ． 2分当物体运动到左方最远位置时，弹簧的最大弹性势能为0.5 J ，即：5.0212=kA J ， ∴ A = 0.204 m ． 2分A 即振幅． 4/2==m k ω (rad/s)2ω = 2 rad/s ． 2分按题目所述时刻计时，初相为φ = π．∴ 物体运动方程为 2分)2cos(204.0π+=t x (SI)． 2分第八章 波动课 后 作 业1、一平面简谐波沿x 轴正向传播，波的振幅A = 10 cm ，波的角频率ω = 7π rad/s.当t = 1.0 s 时，x = 10 cm 处的a 质点正通过其平衡位置向y 轴负方向运动，而x = 20 cm 处的b 质点正通过y = 5.0 cm 点向y 轴正方向运动．设该波波长λ >10 cm ，求该平面波的表达式．解：设平面简谐波的波长为λ，坐标原点处质点振动初相为φ，则该列平面简谐波的表达式可写成 )/27cos(1.0φλ+π-π=x t y (SI) 2分 t = 1 s 时 0])/1.0(27cos[1.0=+π-π=φλy 因此时a 质点向y 轴负方向运动，故π=+π-π21)/1.0(27φλ ① 2分 而此时，b 质点正通过y = 0.05 m 处向y 轴正方向运动，应有 05.0])/2.0(27cos[1.0=+π-π=φλy且 π-=+π-π31)/2.0(27φλ ② 2分由①、②两式联立得 λ = 0.24 m 1分3/17π-=φ 1分∴ 该平面简谐波的表达式为]31712.07cos[1.0π-π-π=x t y (SI) 2分或 ]3112.07cos[1.0π+π-π=x t y (SI)(m) -2、图示一平面简谐波在t = 0 时刻的波形图，求(1) 该波的波动表达式； (2) P 处质点的振动方程．解：(1) O 处质点，t = 0 时 0cos 0==φA y ， 0sin 0>-=φωA v所以 π-=21φ 2分又 ==u T /λ (0.40/ 0.08) s= 5 s 2分故波动表达式为 ]2)4.05(2cos[04.0π--π=x t y (SI) 4分(2) P 处质点的振动方程为]2)4.02.05(2cos[04.0π--π=t y P )234.0cos(04.0π-π=t (SI) 2分3、沿x 轴负方向传播的平面简谐波在t = 2 s 时刻的波形曲线如图所示，设波速u = 0.5 m/s ． 求：原点O 的振动方程．解：由图，λ = 2 m ， 又 ∵u = 0.5 m/s ，∴ ν = 1 /4 Hz ， 3分T = 4 s ．题图中t = 2 s =T 21．t = 0时，波形比题图中的波形倒退λ21，见图． 2分此时O 点位移y 0 = 0（过平衡位置）且朝y 轴负方向运动，∴ π=21φ 2分∴ )2121cos(5.0π+π=t y (SI) 3分4、一平面简谐波沿Ox 轴正方向传播，波的表达式为 )/(2cos λνx t A y -π=, 而另一平面简谐波沿Ox 轴负方向传播，波的表达式为 )/(2cos 2λνx t A y +π= 求：(1) x = λ /4 处介质质点的合振动方程； (2) x = λ /4 处介质质点的速度表达式．解：(1) x = λ /4处)212cos(1π-π=t A y ν , )212cos(22π+π=t A y ν 2分∵ y 1，y 2反相 ∴ 合振动振幅 A A A A s =-=2 , 且合振动的初相φ 和y 2的初相一样为π21． 4分合振动方程 )212cos(π+π=t A y ν 1分(2) x = λ /4处质点的速度 )212sin(2/d d π+ππ-== v t A t y νν)2cos(2π+ππ=t A νν 3分5、设入射波的表达式为 )(2cos 1Ttx A y +π=λ，在x = 0处发生反射，反射点为一固定端．设反射时无能量损失，求(1) 反射波的表达式； (2) 合成的驻波的表达式； (3) 波腹和波节的位置．解：(1) 反射点是固定端，所以反射有相位突变π，且反射波振幅为A ，因此反 射波的表达式为 ])//(2cos[2π+-π=T t x A y λ 3分(2) 驻波的表达式是 21y y y +=)21/2cos()21/2cos(2π-ππ+π=T t x A λ 3分(3) 波腹位置： π=π+πn x 21/2λ, 2分λ)21(21-=n x , n = 1, 2, 3, 4,… 波节位置： π+π=π+π2121/2n x λ 2分λn x 21= , n = 1, 2, 3, 4,…6、如图所示，一平面简谐波沿x 轴正方向传播，BC 为波密媒质的反射面．波由P 点反射，OP = 3λ /4，DP = λ /6．在t = 0时，O 处质点的合振动是经过平衡位置向负方向运动．求D 点处入射波与反射波的合振动方程．（设入射波和反射波的振幅皆为A ，频率为ν．）解：选O 点为坐标原点，设入射波表达式为])/(2cos[1φλν+-π=x t A y 2分则反射波的表达式是 ])(2cos[2ππ++-+-=φλνxOP OP t A y 2分合成波表达式（驻波）为 )2cos()/2cos(2φνλ+ππ=t x A y 2分在t = 0时，x = 0处的质点y 0 = 0， 0)/(0<∂∂t y ，故得 π=21φ 2分因此，D 点处的合成振动方程是)22cos()6/4/32cos(2π+π-π=t A y νλλλt A νπ=2sin 3 2分第九章 温度和气体动理论课 后 作 业1、黄绿光的波长是5000A (1A =10 -10 m)．理想气体在标准状态下，以黄绿光的波长为边长的立方体内有多少个分子?(玻尔兹曼常量k ＝1.38×10- 23J ·K -1)解：理想气体在标准状态下，分子数密度为n = p / (kT )＝2.69×1025 个/ m 3 3分 以5000A 为边长的立方体内应有分子数为N = nV ＝3.36×106个． 2分2、已知某理想气体分子的方均根速率为 400 m ·s -1．当其压强为1 atm 时，求气体的密度．解： 223131v v ρ==nm p∴ 90.1/32==v p ρ kg/m 3 5分3、一瓶氢气和一瓶氧气温度相同．若氢气分子的平均平动动能为 w = 6.21×10-21 J ．试求：(1) 氧气分子的平均平动动能和方均根速率． (2) 氧气的温度．(阿伏伽德罗常量N A ＝6.022×1023 mol -1，玻尔兹曼常量k ＝1.38×10-23 J ·K -1)解：(1) ∵ T 相等, ∴氧气分子平均平动动能＝氢气分子平均平动动能w＝6.21×10-21 J ．且 ()()483/22/12/12==m w vm/s 3分(2) ()k w T 3/2=＝300 K ． 2分4、某理想气体的定压摩尔热容为29.1 J ·mol -1·K -1．求它在温度为273 K 时分子平均转动动能． (玻尔兹曼常量k ＝1.38×10-23 J ·K -1 )解： R R iR i C P +=+=222， ∴ ()5122=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=R C R R C i P P ，2分 可见是双原子分子，只有两个转动自由度.211077.32/2-⨯===kT kT r ε J 3分5、一超声波源发射超声波的功率为10 W ．假设它工作10 s ，并且全部波动能量都被1 mol 氧气吸收而用于增加其内能，则氧气的温度升高了多少？(氧气分子视为刚性分子，普适气体常量R ＝8.31 J ·mol -1·K -1 )解： A = Pt = T iR v ∆21， 2分∴ ∆T = 2Pt /(v iR )＝4.81 K ．3分6、1 kg 某种理想气体，分子平动动能总和是1.86×106 J ，已知每个分子的质量是3.34×10-27 kg ，试求气体的温度． （玻尔兹曼常量 k ＝1.38×10-23 J ·K -1）解： N = M / m ＝0.30×1027 个 1分==N E w K / 6.2×10-21 J 1分kwT 32== 300 K 3分第十章 热力学第一定律课 后 作 业1、一定量的单原子分子理想气体，从初态A 出发，沿图示直线过程变到另一状态B ，又经过等容、等压两过程回到状态A ．(1) 求A →B ，B →C ，C →A 各过程中系统对外所作的功W ，内能的增量∆E 以及所吸收的热量Q ．(2) 整个循环过程中系统对外所作的总功以及从外界吸收的总热量(过程吸热的代数和)．1 2 3 12 OV (10-3 m 3) 5 A BC解：(1) A →B ： ))((211A B A B V V p p W -+==200 J ． ΔE 1=ν C V (T B －T A )=3(p B V B －p A V A ) /2=750 JQ =W 1+ΔE 1＝950 J ． 3分B →C ： W 2 =0ΔE 2 =ν C V (T C －T B )=3( p C V C －p B V B ) /2 =－600 J ．Q 2 =W 2+ΔE 2＝－600 J ． 2分C →A ： W 3 = p A (V A －V C )=－100 J ．150)(23)(3-=-=-=∆C C A A C A V V p V p T T C E ν J ．Q 3 =W 3+ΔE 3＝－250 J 3分(2) W = W 1 +W 2 +W 3=100 J ．Q = Q 1 +Q 2 +Q 3 =100 J 2分2、1 mol 双原子分子理想气体从状态A (p 1,V 1)沿p -V 图所示直线变化到状态B (p 2,V 2)，试求： 气体的内能增量． 气体对外界所作的功． 气体吸收的热量． 此过程的摩尔热容．解：(1) )(25)(112212V p V p T T C E V -=-=∆ 2分 (2) ))((211221V V p p W -+=， W 为梯形面积，根据相似三角形有p 1V 2= p 2V 1，则)(211122V p V p W -=． 3分(3) Q =ΔE +W =3( p 2V 2－p 1V 1 )． 2分(4) 以上计算对于A →B 过程中任一微小状态变化均成立，故过程中 ΔQ =3Δ(pV )． 由状态方程得 Δ(pV ) =R ΔT ， 故 ΔQ =3R ΔT ，摩尔热容 C =ΔQ /ΔT =3R ． 3分BAOVp p 2V 1V 2(摩尔热容C =T Q ∆∆/，其中Q ∆表示1 mol 物质在过程中升高温度T ∆时所吸收的热量．)3、一定量的理想气体，由状态a 经b 到达c ．(如图， abc 为一直线)求此过程中1 2 3 1 2 3 a bcV (L)p (atm)气体对外作的功； 气体内能的增量；气体吸收的热量．(1 atm ＝1.013×105 Pa)解：(1) 气体对外作的功等于线段c a 下所围的面积W ＝(1/2)×(1+3)×1.013×105×2×10-3 J ＝405.2 J 3分 (2) 由图看出 P a V a =P c V c ∴T a =T c 2分内能增量 0=∆E ． 2分(3) 由热力学第一定律得Q =E ∆ +W =405.2 J ． 3分4、如图所示，abcda 为1 mol 单原子分子理想气体的循环过程，求：Oadcbp (×105 Pa)V (×10-3 m 3)2312(1) 气体循环一次，在吸热过程中从外界共吸收的热量； (2) 气体循环一次对外做的净功；(3) 证明 在abcd 四态, 气体的温度有T a T c =T b T d ．解：(1) 过程ab 与bc 为吸热过程， 吸热总和为 Q 1=C V (T b －T a )+C p (T c －T b ))(25)(23b b c c a a b b V p V p V p V p -+-==800 J 4分(2) 循环过程对外所作总功为图中矩形面积W = p b (V c －V b )－p d (V d －V a ) =100 J 2分(3) T a =p a V a /R ，T c = p c V c /R ， T b = p b V b /R ，T d = p d V d /R ，T a T c = (p a V a p c V c )/R 2=(12×104)/R 2T b T d = (p b V b p d V d )/R 2=(12×104)/R 2∴ T a T c =T b T d 4分5、一定量的理想气体经历如图所示的循环过程，A →B 和C →D 是等压过程，B →C 和D →A 是绝热过程．已知：T C ＝ 300 K ，T B ＝ 400 K ． 试求：此循环的效率．(提示：循环效率的定义式η =1－Q 2 /Q 1，Q 1为循环中气体吸收的热量，Q 2为循环中气体放出的热量） A BC DO Vp解： 121Q Q -=η Q 1 = ν C p (T B －T A ) , Q 2 = ν C p (T C －T D ) )/1()/1(12B A B C D C A B D C T T T T T T T T T T Q Q --=--= 4分 根据绝热过程方程得到：γγγγ----=D D AA T p T p 11， γγγγ----=C CB B T p T p 11 ∵ p A = p B , pC = pD ,∴ T A / T B = T D / T C 4分故 %251112=-=-=BC T T Q Q η 2分6、一卡诺热机(可逆的)，当高温热源的温度为 127℃、低温热源温度为27℃时，其每次循环对外作净功8000 J ．今维持低温热源的温度不变，提高高温热源温度，使其每次循环对外作净功 10000 J ．若两个卡诺循环都工作在相同的两条绝热线之间，试求：(1) 第二个循环的热机效率；(2) 第二个循环的高温热源的温度．解：(1) 1211211T T T Q Q Q Q W -=-==η 2111T T T W Q -= 且 1212T T Q Q = ∴ Q 2 = T 2 Q 1 /T 1即 212122112T T T W T T T T T Q -=⋅-=＝24000 J 4分 由于第二循环吸热 221Q W Q W Q +'='+'=' ( ∵ 22Q Q =') 3分 =''='1/Q W η29.4％ 1分 (2) ='-='η121T T 425 K 2分。
张三慧《大学物理学：力学、电磁学》(第3版)(B版)(章节题库 功和能)【圣才出品】
图 4-3
6．从水龙头徐徐流出的水流，下落时逐渐变细，为什么？ 答：据连续性原理知，流速大处截面积小.下落时水的流速逐渐增大，所以面积逐渐减 小而变细.
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7．试用伯努利方程分析并解释足球运动中的香蕉球和飞机在空气中飞行时机翼所受
2．质点 M 与一固定的轻弹簧相连接，并沿椭圆轨道运动，如图 4-1。已知椭圆的长 半轴和短半轴分别为 a 和 b，弹簧原长为 l0（a>l0>b），劲度系数为 k，则质点由 A 运动 到 B 的过程中，弹性力所做的功为（ ）。
图 4-1
A． B． C． D．
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的物体其重力势能为正值，低于地面的物体其重力势能为负值．
（2）弹性势能的零点通常选在没有形变时的平衡位置，其表示式为
无
论离平衡位置距离为正还是为负，弹性势能都为正．
（3）对于引力势能，如果其势能零点选在无穷远处，则其表示式为
（1）两个物体质量不同，但均竖直地往上抛； （2）两个物体质量相同，但一个竖直往上抛，另一个斜上抛。 答：（1）两物体的动能相同，势能相同。 （2）两物体的动能不相同，势能也不相同。
3．两船相距较近而并行前进时就容易相撞，试说明之 答：两船平行前进时，两条流线方向相同.如果靠得较近，两船之间的水的流速将大于 两船外侧的流速.根据伯努利方程可知，两船之间压强将小于两船外侧的压强.这样两船都将 受到一个指向对方的压力的作用，极易造成两船碰撞.
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第 4 章 功和能
一、选择题
1．关于质点系内各质点间相互作用的内力做功问题，以下说法中，正确的是（ ）。
2019-2020年教科版物理必修二讲义：第4章+1.功及答案
1．功一、做功与能量的变化1．功：如果物体受到力的作用，并在力的方向上发生了位移．我们就说力对物体做了功．2．功的含义：做功的过程就是能量变化的过程．力对物体做了多少功，物体就有多少能量发生了变化．二、功的计算公式1．功的大小：力对物体做的功等于力的大小、位移的大小、力和位移夹角的余弦这三者的乘积．2．公式：W＝Fx cos α.3．单位：在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J.4．标矢性：功是标量，只有大小，没有方向．三、功的正负合力的功1．功的正负(1)总功：所有外力对物体做的总功等于各个力分别对物体做功的代数和，W ＝W1＋W2＋W3＋….总(2)合力的功：所有外力对物体做的总功等于这些外力的合力对该物体做的功，W总＝F合x cos α.1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个物体受力且运动，则一定有力对物体做功． ()(2)力对物体做功，一定伴随着能量的变化．()(3)能量转化过程中做功越多，能量转化越多．()(4)力对物体不做功，说明物体一定无位移．()(5)起重机吊起重物时，重力对物体做正功．()(6)正功一定大于负功． ()(7)合力对物体做的功等于各分力对物体做功的矢量和．()【提示】(1)×(2)√(3)√(4)×(5)×(6)×(7)×2．(多选)关于功和能，下列说法中正确的是()A．如果一个物体能够对外做功，我们就说这个物体具有能量B．做功的过程总伴随着能量的改变，做了多少功，能量就改变多少C．功就是能，能就是功D．功是能量转化的量度ABD[能量是反映物体对外做功本领的物理量，一个物体如果能够对外做功，这个物体就具有能量，选项A正确；功是能量转化的量度和原因，能量改变了多少，就必定伴随着力对物体做了多少功，选项B、D正确；功是能量转化过程中的过程量，是能量转化的方式和手段，能量是一状态量，功和能是两个不同的物理量，选项C错误．]3.如图所示，一物块在与水平方向成θ角的拉力F的作用下，沿水平面向右运动一段距离x.则在此过程中，拉力F对物块所做的功为()A．Fx B．Fx cos θC．Fx sin θD．Fx tan θB[根据题意可知，恒力F与物体向右的水平位移之间的夹角为θ，由功的定义式W＝Fx cos α可得，拉力F对物块所做的功为Fx cos θ，选项B正确，其他选项均不正确．]4．(多选)下列说法正确的是()A．－10 J的功大于＋5 J的功B．功是标量，正、负表示外力对物体做功还是物体克服外力做功C．一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动D．功是矢量，正、负表示方向ABC[功是标量，功的正负既不表示方向，也不表示功的大小，而是表示力对物体起动力作用(即力对物体做功)，还是力对物体起阻力作用(即物体克服外力做功)．选项A、B、C正确．]1．功与能之间的关系2．对公式W ＝Fx cos α的理解 (1)如图所示．(2)如图所示，将位移x 沿力的方向和垂直于力的方向分解，则沿力的方向上的位移x 1＝x cos α，故W ＝Fx 1＝Fx cos α.(3)三点说明：①公式只适用于恒力做功的计算．②公式中x 一般是选取地面为参考系时物体的位移．③力对物体做的功只取决于F 、 x 和cos α这三者的乘积，与物体的运动状态无关，与物体是否还受其他力、其他力是否做功等因素均无关．3．正功与负功(1)功是标量，只有正、负，没有方向，功的正负不表示大小． (2)正功、负功的物理意义：①用水平推力F 推一质量为m 的物体在光滑水平面上加速前进位移l②用水平推力F推一质量为2m的物体在粗糙水平面上匀速前进位移l③用水平推力F推一质量为3m的物体在粗糙水平面上减速前进位移l④用与斜面平行的力F拉一质量为m2的物体在光滑斜面上前进位移l关于以上四种情况中力F做功的判断，正确的是()A．①情况中力F不做功B．①情况中力F做功最多C．③情况中力F做功最少D．四种情况中力F做功一样多D[借助功的公式，排除干扰因素，是正确分析本题的关键．由于做功的力都是F，物体在力的方向上移动的位移都是l，且力F和位移l的夹角都是0°，根据W＝Fl cos α知，四种情况下力F做功一样多．]用W＝Fx cos α求功时的“三个弄清”(1)弄清求的是哪个(些)力的功，该力是不是恒力，而不用考虑物体是否还受其他力．(2)弄清在该力的作用下，力的作用点对地的位移是多少，而不用考虑物体是如何运动的．(3)弄清该力与物体位移的夹角是多少，是否就是题目中所给的角．1．如图所示，下列选项中，哪个表示人对物体做了功()A．小华用力推石头，但没有推动B．小明举起杠铃后，在空中停留3秒的过程中C．小红提着书包，随电梯一起匀速上升的过程中D．小陈将冰壶推出后，冰壶在水平冰面上滑行了5米的过程中C[A、B选项所述情景中，位移都为零，D中冰壶滑行时，不受人的推力，故人对物体不做功，只有C选项所述情景，人对物体做功．]【例2】如图所示，木块B上表面是水平的，木块A置于B上，并与B保持相对静止，一起沿固定的光滑斜面由静止开始下滑，在下滑过程中()A．A所受的合外力对A不做功B．B对A做正功C．B对A的摩擦力做负功D．A对B不做功思路点拨：判断功的正负可根据力和位移的夹角，也可根据力和速度的夹角，还可根据能量的变化，常错误地认为某一力做的功的大小与物体受到的其他力的大小有关，与物体的运动状态有关．D[A、B相对静止，因此具有相同的沿斜面向下的加速度，由整体受力可得加速度的大小a＝g sin θ，因此A所受合力沿斜面向下，与木块A的位移方向相同，因此合力对A做正功，A错；B对A的作用力有竖直向上的支持力和水平向左的静摩擦力两个力，这两个力的合力垂直于斜面向上，并等于重力在垂直于斜面方向的分力F2，如图所示，所以B对A不做功，同理，A对B的作用力垂直于斜面向下，也不做功，B错，D对；B对A的摩擦力跟A的位移成锐角，做正功，C 错．]做功情况的判断(1)根据力和位移方向的夹角判断，此法常用于恒力做功的判断．(2)根据力和瞬时速度方向的夹角判断．此法常用于判断质点做曲线运动时变力做的功，夹角为锐角时做正功，夹角为钝角时做负功，夹角为直角时不做功．(3)根据功能关系或能量守恒定律进行判断．若有能量转化，则应有力做功．2.如图所示，小物块位于光滑斜面上，斜面位于光滑的水平地面上，从地面上看，在小物块沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的作用力()A．垂直于接触面，做功为0B．垂直于接触面，做功为负C．不垂直于接触面，做功为0D．垂直于接触面，做功为正B[判断斜面对小物块的作用力方向与小物块位移方向之间的夹角是不是直角，是分析该力对小物块是否做功的关键．由于斜面光滑，斜面对小物块的作用力是弹力，因而该力始终与斜面垂直．在小物块下滑的过程中，斜面同时水平向右移动，小物块的位移是初位置指向末位置的有向线段，如图所示．可见，这种情况下该力与位移方向之间的夹角为钝角，所以弹力对小物块做负功．]1．几个力的总功的求法由合力与分力的等效替代关系知，合力与分力做功也是可以等效替代的，因此计算总功的方法有两种：(1)先求物体所受的合力，再根据公式W合＝F合x cos α求合力的功．(2)先根据W＝Fx cos α，求每个分力做的功W1、W2…W n，再根据W合＝W1＋W2＋…＋W n，求合力的功．即合力做的功等于各个力做功的代数和．2．恒力做功的求解方法求解功首先要明确力的特点，区分恒力和变力，区分是某一个力还是几个力的合力．根据力及其变化规律，选择合适的方法求解．公式W＝Fx cos α只适用于恒力做功．3.变力做功的求解方法(1)滑动摩擦力、空气阻力在物体往返运动过程中所做的功等于力和路程的乘积，不是力和位移的乘积，可将方向变化、大小不变的变力转化为恒力来求力所做的功．(2)通过关联点的联系将变力做功转化为恒力做功．如图所示，当人匀速提起重物由A点沿水平方向运动到B点，求人对绳的拉力做的功时，因为人对绳的拉力的方向时刻在变化，不能直接用W＝Fl cos α计算，但在重物匀速上升过程中，绳的拉力大小恒等于重物的重力．将求人对绳的拉力做的功转化为绳对物体的拉力做的功，也就是克服重力所做的功．轻绳只起一个传递能量的作用．(3)如果力的方向不变，力的大小随位移按线性规律变化(F＝kx＋b)时，F由F1变化到F2的过程，力的平均值为F＝F1＋F22，该力所做的功等于该平均力所做的功，即W＝F1＋F22x.这其实是微元法的应用．根据微元法，我们将匀变速直线运动的v-t图像中图线与t轴所围的面积表示位移，两者可以对照理解．(4)图像法．由于功W＝Fx，则在F－x图像中，图线和x轴所围图形的面积表示F做的功，如图所示．【例3】如图所示，一个质量m＝2 kg的物体，受到与水平方向成37°角斜向上方的拉力F1＝10 N，在水平地面上移动的距离x＝2 m．物体与地面间的滑动摩擦力F2＝4.2 N，求外力对物体所做的总功．思路点拨：求总功时，可以先受力分析，求出每个力做的功，再求代数和；也可以先求合力，再用求功公式计算合力做的功．[解析]法一：物体受力如图所示，在运动过程中，由于重力、支持力和运动方向垂直，重力和支持力不做功，即重力做功W G＝0，支持力做功W N＝0 W F1＝F1x cos 37°＝10×2×0.8 J＝16 JW F2＝F2x cos 180°＝4.2×2×(－1) J＝－8.4 J因此W总＝W G＋W N＋W F1＋W F2＝0＋0＋16 J＋(－8.4 J)＝7.6 J.法二：物体向右做直线运动，加速度方向一定在水平方向上，根据牛顿第二定律，合外力方向也一定在水平方向上．将F1正交分解，可以求出F合＝F1·cos 37°－F2＝3.8 NW总＝F合·x＝3.8×2 J＝7.6 J.[答案]7.6 J计算合力的功的一般步骤和方法(1)对物体进行正确的受力分析，明确物体受到哪几个力作用，以及每个力的大小和方向．(2)分析每一个力作用过程中所对应的位移，根据功的定义式W＝Fx cos α，求出每一个力所做的功．(3)将各个力所做的功进行代数求和，即可计算出总功．(4)若各个力是同时作用在物体上，也可先求出各个力的合力，再根据功的定义式求出合外力所做的总功．3.如图所示，坐在雪橇上的人与雪橇的总质量为m，在与水平面成θ角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向右移动了一段距离x.已知雪橇与地面间的动摩擦因数为μ，雪橇受到的()A．支持力做功为mgxB．重力做功为mgxC．拉力做功为Fx cos θD．滑动摩擦力做功为－μmgxC[支持力和重力与位移垂直，不做功，A、B错误；拉力和摩擦力分别做功为W F＝Fx cos θ，W f＝－μ(mg－F sin θ)x，C正确，D错误．]【例4】某人利用如图所示的装置，用100 N的恒力F作用于不计质量的细绳的一端，将物体从水平面上的A点移到B点．已知α1＝30°，α2＝37°，h＝1.5m，不计滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦．求绳的拉力对物体所做的功．思路点拨：解决本题的两个关键点：(1)把变力做功转化成恒力做功求解；(2)力F做功的位移等于左边绳变短的部分，而不等于物体的位移．[解析]绳对物体的拉力虽然大小不变，但方向不断变化，所以不能直接根据W＝Fx cos α求绳的拉力对物体做的功．由于不计绳与滑轮的质量及摩擦，所以恒力F做的功和绳对物体的拉力做的功相等．本题可以通过求恒力F所做的功求出绳对物体的拉力所做的功．由于恒力F作用在绳的端点，故需先求出绳的端点的位移x，再求恒力F的功．由几何关系知，绳的端点的位移为x＝hsin 30°－hsin 37°＝13h＝0.5 m在物体从A移到B的过程中，恒力F做的功为W＝Fx＝100×0.5 J＝50 J.故绳的拉力对物体所做的功为50 J.[答案]50 J(1)若力的大小不变，方向时刻在改变，可用微元法将求变力做功转化为求恒力做功.(2)若力的方向不变，大小随位移均匀变化，则可先求平均作用力，再求平均作用力的功.4.在水平面上，有一弯曲的槽道AB，由半径分别为R2和R的两个半圆构成．如图所示，现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点拉至B点，若拉力F的方向时刻均与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为()A ．零B ．FR C.32πFR D ．2πFRC [把圆周分成无数微小的段，每一小段可近似看成直线，拉力F 在每一小段上方向不变，每一小段上可用恒力做功的公式计算，然后将各段累加起来．设每一小段的长度分别为l 1、l 2、l 3、…、l n ，拉力在每一段上做的功W 1＝Fl 1，W 2＝Fl 2，…，W n ＝Fl n ，拉力在整个过程中所做的功W ＝W 1＋W 2＋…＋W n ＝F (l 1＋l 2＋…＋l n )＝F ⎝ ⎛⎭⎪⎫π·R 2＋πR ＝32πFR ，C 正确．]1．关于功，下列说法正确的是( )A ．因为功有正负，所以功是矢量B ．因为力是矢量，所以功也是矢量C ．若某一个力对物体不做功，说明该物体一定没有位移D ．一个恒力对物体做的功等于这个力的大小、物体位移的大小及力和位移间夹角的余弦这三者的乘积D [因为功是标量，所以A 、B 选项错；根据W ＝Fx cos α可判断C 错，D 对．]2．流水从高处落下，对水轮机做了3×108 J 的功，这句话的正确理解为( )A ．流水在对水轮机做功前，具有3×108 J 的能量B ．流水在对水轮机做功时，具有3×108 J 的能量C ．流水在对水轮机做功后，具有3×108 J 的能量D ．流水在对水轮机做功的过程中，能量减少了3×108 JD [根据“功是能量转化的量度”可知，流水在对水轮机做功的过程中，有能量参与转化，流水对水轮机做了3×108 J 的功，则有3×108 J 的机械能减少了．因此，选项D正确，其他选项均指状态量，故错误．]3.有一根轻绳拴了一个物体，如图所示，若整体以加速度a向下做减速运动时，作用在物体上的各力做功的情况是()A．重力做正功，拉力做负功，合外力做负功B．重力做正功，拉力做负功，合外力做正功C．重力做正功，拉力做正功，合外力做正功D．重力做负功，拉力做负功，合外力做正功A[重力与位移同向，做正功，拉力与位移反向，做负功，由于做减速运动，所以物体所受合力方向向上，与位移反向，做负功，A选项正确．] 4．以初速度v0竖直向上抛出一个质量为m的小球，上升最大高度是h.如果空气阻力f的大小恒定，则从抛出到落回出发点的整个过程中，空气阻力对小球做的功为()A．－2fh B．－fhC．－2mgh D．0A[空气阻力的大小恒定，始终与运动方向相反，上升过程空气阻力做的功W1＝－fh，下落过程空气阻力做的功W2＝－fh，整个运动过程中，空气阻力对小球做的功为W＝W1＋W2＝－2fh，选项A正确．]5．如图所示，利用斜面从货车上卸货，每包货物的质量m＝20 kg，斜面倾角α＝37°，斜面的长度l＝0.5 m，货物与斜面间的动摩擦因数μ＝0.2，求货物从斜面顶端滑到底端的过程中受到的各个力所做的功以及合外力做的功．(g取10 m/s2)[解析]斜面上的货物受到重力G，斜面支持力N和摩擦力f共三个力的作用．货物位移的方向沿斜面向下，可以用正交分解法，将货物所受的重力分解到与斜面平行的方向和与斜面垂直的方向．可以看出，三个力中重力和摩擦力对货物做功，而斜面支持力对货物没有做功．其中重力G对货物做的功W1＝mgl sin 37°＝20×10×0.5×0.6 J＝60 J.支持力N对货物做功W2＝0.摩擦力f对货物做负功W3＝μmg cos 37°·l cos 180°＝－0.2×20×10×0.8×0.5 J＝－16 J.所以，外力做的总功为W＝W1＋W2＋W3＝(60＋0－16) J＝44 J.若先计算合外力再求功，则合外力做的功W＝F合l＝(mg sin 37°－μmg cos 37°)l＝(20×10×0.6－0.2×20×10×0.8)×0.5 J＝44 J.[答案]重力做的功60 J支持力做的功0摩擦力做的功－16 J合力做的功44 J。
第四章 机械能和能源
知识技能方面 ：
功、功率、动能、势能等概念，动能定理、 机械能守恒定律等规律是物理学中的基本概念 和基本规律，开辟了分析解决力学问题另一条 重要途径，同时也为分析解决热学、电磁学等 物理现象和问题的打下基础。
物理方法方面 ： 功和能的关系是本章的主线，渗透了用功和 能的观点解决物理问题的思想，使学生体会 到用能量的观点解决物理问题的优点。利用 功和能的关系导出动能和重力势能的定义式， 培养、训练了学生的逻辑推理能力。利用功 和能的关系导出重力做功与路径无关及重力 势能的相对性和系统性。
3、动能和势能 运用功能关系导出动能和重力势能的定义式是 本章的重点，原因：①功和能的关系是本章 的主线，做功的过程就是能量转化的过程， 做了多少功就有多少能量发生转化；②通过 做功导出动能和重力势能的表达式，是培养 学生逻辑推理能力和表述能力的典型过程； ③通过实例使学生体会重力做功与路径无关， 重力做功与重力势能变化的关系；④理解动 能和势能的相对性，有助于学生理解动能定 理、机械能守恒定律的相对性。
2、重视物理方法的教学。通过具体的实例 使学生深刻体会功和能的关系，以及从能的 角度解决问题的基本步骤和程序。 3、多种教学方式综合应用。本章内容与生活、 技术、社会紧密联系。教学中要紧密联系实际， 特别是学生身边的生活，现代科技。创设多样 化的教学情景，引起联想，，积极进行探究， 帮助学生逐步适应自助、合作、探究等学习方 式 4、教学资源。综合使用实验室实验与视频资 料，网络等教学资源，发挥它们各自的优势。
六、与本章相适应的教学方式和方法，可 用的资源等 1、注意与初中的衔接。学生在初中已了解到 有关的功和能的有关知识，因此要重视在学 生原有知识的基础上发展学生的知识结构。 降低台阶，减小跨度，使学生逐步适应高中 物理教学的要求和方式。注重对比初高中对 同一概念教学要求层次的差异，对比不同概 念间的差异，引导学生掌握本、功 功是本章的重点和难点，①计算功的一般公 式W=Fxcosα是本章的重点，要使学生理 解公式物理意义和适应条件；②功是标量、 功的正负是本章的难点，应指导学生理解 正功、负功的物理意义，为后面动能定理 的理解做好铺垫。
4_4 克里希定理
第四章功和能
在相对速度为V 的两个惯性系中， 质点系各 质点的速度按伽利略变换，有如下关系:
一、克尼希定理
i 任一质点相对S系的速度 i任一质点相对 S 系的速度
V S 系相对S系的速度
z
i i V
[S]
y
[ S ]
i
1 2 m c （克尼希定理） Ek Ek 2
4-4 克里希定理 4_4 克里希定理
第四章功和能
1 2 克尼希定理写为 Ek m c Ekc 2 1 2 mc 质心的动能 — 整体随质心运动 2
Ekc 质点系相对于质心的动能 Nhomakorabea克尼希定理说明：在实验室参考系中，质点系 的动能等于质点系随质心一起的平动动能加上 质点系相对于质心的动能。 一般不 随便两个参考系之间的动能关系是 为零
m22 0 m11
m1 2 u m1 m2
m2 1 u m1 m2
4-4 克里希定理 4_4 克里希定理
第四章功和能
在质心系中，质点系的动能
1 1 2 2 m11 m22 Ek 2 2 2 2 1 m1m2 m1 m2 2 [ ]u 2 2 2 (m1 m2 ) (m1 m2 ) 1 m1m2 2 u 1 2 2 m1 m2 Ekr u EKC 2 m1m2 令 相对(质心)动能 m1 m2
称为约化质量 （或折合质量）
高能物理实验中称为 资用能
1 2 EK Ek mV ( mii) V 2 i
4-4 克里希定理 4_4 克里希定理
第四章功和能
二、两质点系统
1. 约化质量(或折合质量) 两质点相对速度为：
大学物理学(清华C5版)分章配套精品题目及答案(第四章)
第四章 功和能【例题精讲】例4-1 一个质点同时在几个力作用下的位移为：k j i r 654+-=∆ (SI)，其中一个力为恒力k j i F 953+--= (SI)，则此力在该位移过程中所作的功为A. -67 JB. 17 JC. 67 JD. 91 J [ C ] 例4-2 质量为m 的汽车，在水平面上沿x 轴正方向运动，初始位置x 0＝0，从静止开始加速，在其发动机的功率P 维持不变、且不计阻力的条件下，证明：在时刻t 其速度表达式为：m Pt /2=v 。
【证明】 由P ＝Fv 及F ＝ma ，P ＝mav 代入 t a d d v =P =tm d d v v 由此得 P d t ＝mv d v ，两边积分， 则有⎰⎰=ttm t P 0d d v v∴ 221v m Pt = ∴ m Pt /2=v例4-3 质量m ＝1 kg 的物体，在坐标原点处从静止出发在水平面内沿x 轴运动，其所受合力方向与运动方向相同，合力大小为F ＝3＋2x (SI)，那么，物体在开始运动的3 m 内，合力所作的功W ＝ ；且x ＝3 m 时，其速率v ＝ 。
18 J 6 m/s例4-4 一质量为m 的质点在Oxy 平面上运动，其位置矢量为j i r t b t a ωωsin cos +=(SI)式中a 、b 、是正值常量，且a ＞b 。
(1) 求质点在A 点(a ，0)时和B 点(0，b )时的动能；(2 )求质点所受的合外力F 以及当质点从A 点运动到B 点的过程中F 的分力x F 作的功。
解： (1) 位矢j i r t b t a ωωsin cos += (SI)t a x ωcos = t b y ωsin =t a t xx ωωsin d d -==v ，t b ty ωωcos d dy -==v在A 点(a ，0) ，1cos =t ω，0sin =t ω E KA =2222212121ωmb m m y x =+v v在B 点(0，b ) ，0cos =t ω，1sin =t ω E KB =2222212121ωma m m y x =+v v(2) j i F y x ma ma +==j i t mb t ma ωωωωsin cos 22--由A →B ⎰⎰-==2d cos d aax x x t a m x F W ωω=⎰=-022221d ama x x m ωω 例4-5 已知地球的半径为R ，质量为M ，现有一质量为m 的物体，在离地面高度为2R 处。
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三、弹性势能 F kxi dr dxi
xb W F dr x kxi dxi
a
F dr
xb
xa
1 2 1 2 kxdx kxb kxa 2 2
结论：弹性力的功只与路径始、末位置有关，而与经过 的路径无关。 取弹簧自然长度时为弹性势能零点，弹簧伸长x时的弹性势能
4.3
势能 保守力
4.3.1 势能
一、重力势能
质点在重力场中沿曲线由点a运动到 点b ，求重力做功 rb rb W G dr G dr G (rb ra ) 因为 rb ra ( xb i yb j ) ( xa i y a j ) ( xb xa )i ( yb y a ) j 所以 W G (rb ra ) mgj [( xb xa )i ( yb ya ) j ] mg ( y y ) b a 结论：重力功只与质点运动路径始、末位置有关，而与 经过的路径无关。
这一对力的功之和
注意：
dr j
fj i
j
fi j
i
dri
dW fij drj f ji dri fij drj fij dri fij (drj dri )
fij drji
4.2.3 刚体定轴转动的动能定理
定义式 Wab F dr a 设 F Fx i Fy j Fz k d r dxi dyj dzk F dr Fx i Fy j Fz k dxi dyj dzk Fx dx Fy dy Fz dz
G mgj
ra ra
习惯上将高度记作h
W (mghb mgha )
E p mgh
W mg ( yb ya )
取h＝0 为零势能参照面，则质量为m 的物体，高度为h 时重力势能 重力做的功
W ( E pb E pa ) E p
重力所做的功等于质点重力势能增量的负值
dr dW F F F cos Ft 由功的定义 P dt dt 力与速度 力在切向上的投影量 与速率的乘积 的标积
dW d M M 力矩的功率 P dt dt
功
W Pdt
t1
t2
几个日常活动功率的数量级： 睡觉 70－80W(基础代谢) 闲谈
0 0
3
3
由动能定理
1 2 1 2 W m m0 2 2
解得
2W 2.3 m/s m
a F
x 3m
m
1.5m/s 2
4.2.2 质点系的动能定理
设质点系由n个质点组成 第i 个质点所受外力和内力之和
e F1
F F1 j j 1
e Fj j F ji
e i Fi Fi Fi
Fr sin d
Md
d
W Md
0
若M为常量
W M ( 0 )
说明： （1）如果有多个外力作用于刚体, M为合外力矩
（2）力矩的功实质上仍是力做的功，只不过对于刚体 转动的情况，力的功可以用力矩和角位移的乘积来表示
例4-1 如图，一根长为l 、质量为m的匀质细杆，其一端挂在 一个水平轴O上。求细杆从竖直位置转动到与竖直位置 d
得
Md Jd
1 1 2 2 0 Md 0 J d 2 J 2 J 0
刚体定轴转动的动能定理
刚体定轴转动时，合外力矩的功 等于刚体转动动能的增量
例4-5 应用动能定理求解习题2-14【如图，质量为m 、长为 l 的匀质杆可绕位于杆端的光滑轴O轴在竖直平面内转动，设 杆在水平位置由静止开始自由转下】，求杆转到与水平位置时 成θ角时的 (2)角速度】。 FN l 解 重力对O轴力矩 M mg cos 2 使杆顺时针转动 若杆转动dθ ，则重力矩做功 l dW mg cos d 2 杆从水平位置转动到θ 位置的过程中重力矩做功 G l l W dW mg cos d mg sin 0 2 2 设杆在θ位置时的角速度为ω，根据动能定理，同时考虑 到初始时刻ω0=0 ，以及杆的转动惯量J=ml2/3得 3g sin l
70－80W
听课 70－140W 踢球 630－840W
走路 170－380W 跑步 700－1000W
4.2
动能定理
b
d W Ft ds a m ds m d 0 dt 1 2 1 2 m m0 2 2 1 质点的动能 Ek m 2 2
4.2.1 质点的动能定理
一、刚体定轴转动的转动动能
对 mi ，其动能为
ri
对整个刚体
1 Eki mii2 1 mi ri 2 2 2 2 1 1 2 2 Ek mi ri ( mi ri 2 ) 2 2 2 1 Ek J 2 即 2
mi
i
刚体定轴转动的动能等于刚体的转动惯量与角速度 平方乘积的一半。
RE
(2)质量为m的宇宙飞船返回地球时，将发动机关闭，可以 认为它仅在地球引力场中运动，当它从与地球中心距离为 R1下降至距离为R2时，它的势能改变量为 ，引力 所做的功为 (G为引力恒量，Me为地球质量) GM e m GM e m GM e m GM e m R2 R1 R2 R1
解 当杆与竖直位置方向夹角为θ时，重力矩 l M mg sin 2 “-” 表示力矩有使θ减小的趋势，从θ =0到θ ，重 力矩做的功
W Md 0
0
l l mg sin d mg 1 cos 2 2
4.1.2 功率 （表征力对质点做功的快慢）
Fn
W Ek Ek0 Ek
质点的动能定理：合力对质点做的功，等于质点动能 的增量。
习题4－3 质量为10kg的物体在沿x轴方向的力F=(3+4x)N的 作用下运动了3m，设t=0时，物体位于原点，速率为零。计 算物体处于3m处的速度和加速度。
解
W Fx dx (3 4 x)dx 27J
2 问题4-5 试证明刚体定轴转动动能 Ek 1 J C 2 1 mC
，
JC 是刚体对过质心的轴的转动惯量，υC 是刚体质心的速率， m 是刚体的总质量。 证明
2
2
1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 Ek J ( J C md ) J C md J C mC 2 2 2 2 2 2
问题4-6 写出下列两种情况下刚体的转动动能：(1) 质量为
m 、长为l 的匀质细杆绕中心或棒端的垂直轴以角速度ω 转动； (2) 质量为m 、半径为R 的匀质薄圆面绕中心垂直轴以角速度 ω 转动。
二、刚体定轴转动的动能定理
由转动定律 M J J d J d d J d
GMm 元功 dW F dr 2 er dr GMm dr r r2 er dr er dr cos dr cos dr
W
rb
ra
GMm GMm GMm 2 dr ( ) ( ) rb ra r
力在元位移方向的投 影与此元位移大小的 乘积 质点从a运动到b时，力对质点所做的功为 b b W F dr F cos dr 功是力对空间的累积效应 a a 元功等于力和 元位移的点积
元位移在力方向 的投影量和力大 小的乘积
说明：
（1）功是标量，只有大小，没有方向，但有正负 （2）功是力对位移的空间积累，是过程量，与路径有关 （3）功是可加量，合力的功等于各分力功的代数和 （4）功的几种计算表示式
说明：
（1）势能属于系统，不为单个物体所具有
（2）势能的多少没有绝对意义，关心的是 势能的变化。
刚体的重力势能
对于一个体积不太大、质量为m 的刚体，它的重力势能 是组成刚体的各个质点的重力势能之和，即
E p mi ghi g mi hi
i i
考虑到刚体质心公式
hC
m h
i
i i
外力的功
内力的功
系统动能的增量
质点系的动能定理：质点系动能的 增量等于作用于质点系内质点上所 有外力和所有内力所做的功。
Wex＋Win Ek 2－Ek1
质点j 在 f ij 的作用下在时间 dt 内 发生了位移 drj ，质点i 在 f ji 的作 用下在时间 dt内发生了位移 dri ，
力对时间的积累效应 F d t 是冲量，反映质点 t1 或质点系在一段过程始末状态下动量的变化 p 。
t2
力矩对时间的积累效应 t 映质点或刚体在一段过程始末状态下角动量的变 化 L 。
1
t2
M d t 是冲量矩，反
力、力矩对空间的积累效应 化 。
r2
是？，反映质点或刚体在一段过程始末状态下?的变
结论：万有引力的功只与质点运动路径始、末位置有关， 而与经过的路径无关。
取 r 处为引力势能零点，当m、M相距r 时的引力势能 GMm Ep r 质点在引力场中从点a运动到点b ，万有引力做功
W ( E pb E pa ) E p
结论：万有引力做的功等于质点引力势能增量的负值 思考题: (1)设地球的质量为M、半径为RE，则质量为m的物 GMm 体在地球表面上的引力势能为 Ep
b