二次函数知识点归纳

二次函数知识点归纳

一．二次函数的一般形式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)。强调a≠0．

二．性质

1.

2.y＝ax2＋c

3.y=a(x-h)2+k

4.

注：顶点在y轴上无一次项（或顶点的横坐标为0）：顶点在x轴上函数是一个完全平方式（或顶点的纵坐标为0）

三．二次函数的三种形式：1.当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y＝ax2＋bx＋c形式。2.当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y＝a(x－h)2＋k形式。3.当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为

交点式y ＝a(x －x 1)(x －x 2)

四．平移

五．如何将实际问题转化为二次函数问题，从而利用二次函数的性质解决最大利润问题，最大面积问题。

练习

1.已知函数4m m 2

x )2m (y -++=是关于x 的二次函数，求：(1)满足条件的m 值；

(2)m 为何值时，抛物线有最低点?求出这个最低点．这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大?(3)m 为何值时，函数有最大值?最大值是什么?这时当x 为何值时，y 随x 的增大而减小?

2.抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图象向左平移2个单位。再向上平移3个单位，得抛物线y ＝x 2－2x ＋1，求：b 与c 的值。

3.通过配方，求抛物线y ＝12

x 2－4x ＋5的开口方向、对称轴及顶点坐标，再画出图象。

4.根据下列条件，求出二次函数的解析式。

(1)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(0，1)，(1，3)，(－1，1)三点。

(2)抛物线顶点P(－1，－8)，且过点A(0，－6)。

(3)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过(3，0)，(2，－3)两点，并且以x ＝1为对称轴。 (4)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过一次函数y ＝－

2

3x ＋3的图象与x 轴、y 轴的交点；且过(1，1)，求这个二次函数解析式，并把它化为y ＝a(x －h)2＋k 的形式。

5.如图，已知直线AB 经过x 轴上的点A(2，0)，且与抛物线y ＝ax 2相交于B 、C 两点，已知B 点坐标为(1，1)。 (1)求直线和抛物线的解析式； (2)如果D 为抛物线上一点，使得△AOD 与△OBC 的面积相等，求D

点坐标。

6.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A(－1，0)，且经过直线y＝x－3与坐标轴的两个交点B、C。

(1)求抛物线的解析式；

(2)求抛物线的顶点坐标，

(3)若点M在第四象限内的抛物线上，且OM⊥BC，垂足为D，求点M的坐标。

7. 如果一条抛物线的形状与y＝－1

3

x2＋2的形状

相同，且顶点坐标是(4，－2)，则它的解析式是_____。

8．开口向上的抛物线y＝a(x＋2)(x－8)与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，若∠ACB＝90°，则a＝_____。

9．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝2，且过(3，0)，则a＋b＋c＝

______。

10．如图(1)，二次函数y＝ax2＋bx＋c图象如图所示，则下列结论成立的是( )

A．a＞0，bc＞0 B. a＜0，bc＜0 C. a＞O，bc＜O D. a＜0，bc ＞0

11．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c图象如图(2)所示，那么函数解析式为( ) A．y＝－x2＋2x＋3 B. y＝x2－2x－3

C．y＝－x2－2x＋3 D. y＝－x2－2x－3

12．若二次函数y＝ax2＋c，当x取x

1、x

2

(x

1

≠x

2

)时，函数值相等，则当x取

x 1＋x

2

时，函数值为( )

A．a＋c B. a－c C．－c D. c

13．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c图象如图(3)所示，下列结论中：①abc＞0，②b＝2a；③a＋b＋c＜0，④a－b＋c＞0，正确的个数是( )

A．4个 B．3个 C. 2个 D．1个

14、解答题。

已知抛物线y＝x2－(2m－1)x＋m2－m－2。

(1)证明抛物线与x轴有两个不相同的交点，

(2)分别求出抛物线与x轴交点A、B的横坐标x

A 、x

B

，以及与y轴的交点的

纵坐标yc(用含m的代数式表示)

(3)设△ABC的面积为6，且A、B两点在y轴的同侧，求抛物线的解析式。

15.某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售

量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看做—次函数y＝kx＋

b的关系，如图所示。

(1)根据图象，求一次函数y＝kx＋b的表达式，

(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S元，①试用销售单价x表示毛利润S；②试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大利润?最大利润是多少?此时的销售量是多少?

16.某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形的边长为x，面积为S平方米。

(1)求出S与x之间的函数关系式；

(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个设计费用；

(3)为了使广告牌美观、大方，要求做成黄金矩形，请你按要求设计，并计算出可获得的设计费是多少?(精确到元) (参与资料：①当矩形的长是宽与(长＋宽)的比例中项时，这样的矩形叫做黄金矩形，②5≈2.236)

17.如图，有长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体(墙体的最大可使用长度a＝10米)。

(1)如果所围成的花圃的面积为45平方米，试求宽AB的长；

(2)按题目的设计要求，能围成面积比45平方米更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法，如果不能请说明

理由．