《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT
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《二次函数与一元二次方程、不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT课件
栏目 导引
第二章 一元二次函数、方程和不等式
解含参数的一元二次不等式
解关于 x 的不等式 ax2－(a＋1)x＋1<0. 【解】 ①当 a＝0 时，原不等式即为－x＋1<0，解得 x>1.
②当 a<0 时，原不等式化为x－1a(x－1)>0，解得 x<1a或 x>1. ③当 a>0 时，原不等式化为x－1a(x－1)<0. 若 a＝1，即1a＝1 时，不等式无解；
三个“二次”之间的关系
若关于 x 的一元二次不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集为
xx<13或x>12，求关于 x 的不等式 cx2－bx＋a>0 的解集．
【解】
a<0， 由题意知13＋12＝－ba，
13×12＝ac，
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
a<0， 所以b＝－56a>0，
c＝16a<0， 代入不等式 cx2－bx＋a>0 中得16ax2＋56ax＋a>0(a<0)． 即16x2＋56x＋1<0，化简得 x2＋5x＋6<0， 解得－3<x<－2， 所以所求不等式的解集为{x|－3<x<－2}．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
当 a－1＝－a，即 a＝12时，x≠－12， 所以当 a<12时，原不等式的解集为{x|x<a－1 或 x>－a}， 当 a>12时，原不等式的解集为{x|x<－a 或 x>a－1}， 当 a＝12时，原不等式的解集为xx≠－12，x∈R.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
解含参数的一元二次不等式
解关于 x 的不等式 ax2－(a＋1)x＋1<0. 【解】 ①当 a＝0 时，原不等式即为－x＋1<0，解得 x>1.
②当 a<0 时，原不等式化为x－1a(x－1)>0，解得 x<1a或 x>1. ③当 a>0 时，原不等式化为x－1a(x－1)<0. 若 a＝1，即1a＝1 时，不等式无解；
三个“二次”之间的关系
若关于 x 的一元二次不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集为
xx<13或x>12，求关于 x 的不等式 cx2－bx＋a>0 的解集．
【解】
a<0， 由题意知13＋12＝－ba，
13×12＝ac，
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
a<0， 所以b＝－56a>0，
c＝16a<0， 代入不等式 cx2－bx＋a>0 中得16ax2＋56ax＋a>0(a<0)． 即16x2＋56x＋1<0，化简得 x2＋5x＋6<0， 解得－3<x<－2， 所以所求不等式的解集为{x|－3<x<－2}．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
当 a－1＝－a，即 a＝12时，x≠－12， 所以当 a<12时，原不等式的解集为{x|x<a－1 或 x>－a}， 当 a>12时，原不等式的解集为{x|x<－a 或 x>a－1}， 当 a＝12时，原不等式的解集为xx≠－12，x∈R.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
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2.2.1 基本不等式-(新教材人教版必修第一册)(35张PPT)
利用基本不等式比较大小
【例 2】 (1)已知 a，b∈R＋，则下列各式中不一定成立的是( )
A．a＋b≥2 ab
B.ba＋ab≥2
C.a2＋abb2≥2 ab
D.a2＋abb≥ ab
(2)已知 a，b，c 是两两不等的实数，则 p＝a2＋b2＋c2 与 q＝ab＋bc
＋ca 的大小关系是________．
B [当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0 1．不等式a2＋1≥2a中等号成立 即a＝1时，“＝”成立．] 的条件是( ) A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝0
2．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，
D [∵a，b∈(0,1)，∴a2＜a，
下列各式中最大的是( )
b2＜b，
A．a2＋b2
一定成立的是( )
A．a－b<0
B．0<ab<1
C.
a＋b ab< 2
D．ab>a＋b
C [∵a>b>0，由基本不等式知 ab<a＋2 b一定成立．]
3．不等式x－9 2＋(x－2)≥6(其 中x＞2)中等号成立的条件是( )
A．x＝3 B．x＝－3
C [由基本不等式知等号成立 的条件为x－9 2＝x－2，即x＝5(x＝－ 1舍去)．]
∴a2＋b2＜a＋b，又a2＋b2＞
B．2 ab
2ab(∵a≠b)，
C．2ab
∴2ab＜a2＋b2＜a＋b.
D．a＋b
又∵a＋b＞2 ab(∵a≠b)，∴a
＋b最大．]
3．已知ab＝1，a>0，b>0，则a
B [∵a>0，b>0，∴a＋
＋b的最小值为( )
b≥2 ab＝2，当且仅当a＝b＝1时取
高中数学新教材必修一第二章《一元二次函数、方程和不等式》全套课件PPT
例题讲评 例3.比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小.
练习：
已知x 0,比较 x2 1 2与x4 x2 1的大小.
想一想 : 在上题中,如果没有x 0这个条件, 那么两式的大小关系如何 ?
练习巩固
练习已知 a,b, m都是正数，且a<b,求证：a m a .
bm b
变式1：若a>b,结果会怎样？
变式2：若没有a<b这个条件呢？zxxk
完成课本第40页第2题
课堂小结
1．不等关系是普遍存在的
2．用不等式（组）来表示不等关系
3．不等式基本原理 a - b > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b
4．作差比较法 步骤：作差，变形，定号
500x 600y 4000
x3x0y
完成课本第39页第1题
y 0 x,y∈N
考虑到实际问题
的意义，还应有
x,y∈N
学习新知
不等式
a-b>0
<=> a > b
基本原 a - b = 0 <=> a = b
理 a - b < 0 <=> a < b
比较两数（式）的大小的最基本和首选的方法：
归纳逻辑过程： 作差 变形 判断符号
b
G
F
A
aHE
探究１：
1、正方形ABCD的
面积S=＿a＿2＿＿＿b 2
C ２、四个直角三角形的
面积和S’ =＿2a＿b
３、S与S’有什么
《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT教学课件(第一课时基本不等式)
1．下列不等式中，正确的是( )
A．a＋4a≥4
B．a2＋b2≥4ab
C． ab≥a＋2 b
D．x2＋x32≥2 3
解析：选 D.a＜0，则 a＋4a≥4 不成立，故 A 错；a＝1，b＝1，
a2＋b2＜4ab，故 B 错，a＝4，b＝16，则 ab＜a＋2 b，故 C 错；
由基本不等式可知 D 项正确．
2.2 基本不等式
第1课时 基本不等式
第二章 一元二次函数、方程和不等式
考点
学习目标
基本不等式
理解基本不等式的内容及 导出过程
利用基本不等式 能够运用基本不等式求函
求最值
数或代数式的最值
核心素养 逻辑推理 数学运算
第二章 一元二次函数、方程和不等式
问题导学 预习教材 P44－P46，并思考以下问题： 1．基本不等式的内容是什么？ 2．基本不等式成立的条件是什么？ 3．利用基本不等式求最值时，应注意哪些问题？
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
■名师点拨 利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的 原则，即： ①一正：符合基本不等式a＋2 b≥ ab成立的前提条件，a＞0，b ＞0； ②二定：化不等式的一边为定值； ③三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立． 以上三点缺一不可．
第二章 一元二次函数、方程和不等式
所以 y＝x＋x－4 2＝x－2＋x－4 2＋2
≥2 （x－2）·x－4 2＋2＝6，
当且仅当 x－2＝x－4 2， 即 x＝4 时，等号成立．
所以 y＝x＋x－4 2的最小值为 6.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
(2)因为 0<x<12， 所以 1－2x>0， 所以 y＝12x(1－2x)＝14×2x×(1－2x)≤142x＋12－2x2＝14×14＝ 116， 当且仅当 2x＝1－2x， 即当 x＝14时，ymax＝116.
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
2.2 基本不等式(课件)
数学 必修 第一册 A
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
方法二：由2x＋3y＝2 得，3x＋2y＝2xy， ∵x＞0，y＞0，∴3x＋2y≥2 6xy，等号在 3x＝2y 时成立，
∴2xy≥2 6xy，∴xy≥6.
3x＝2y 由2x＋3y＝2
，得yx＝＝32 .
∴xy 的最小值为 6.
数学 必修 第一册 A
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
探究二 利用基本不等式求最值
已知 x＞0，y＞0，且1x＋9y＝1，求 x＋y 的最小值． 解 方法一：(1 的代换)∵1x＋9y＝1，∴x＋y＝(x＋y)·1x＋9y＝10＋yx＋9yx. ∵x＞0，y＞0，∴yx＋9yx≥2 yx·9yx＝6. 当且仅当yx＝9yx，即 y＝3x 时，取等号． 又1x＋9y＝1，∴x＝4，y＝12，∴x＋y≥16. ∴当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取最小值 16.
数学 必修 第一册 A
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
知识点2 应用基本不等式求最值
已知x，y都是正数，则 (1)如果积xy等于定值P，那么当____x_＝__y_____时，和x＋y有最小值__2___P_____. (2) 如 果 和 x ＋ y 等 于 定 值 S ， 那 么 当 ___x_＝__y______ 时 ， 积 xy 有 最 大 值 ___14_S_2_______. [微思考] 利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？若求和(积)的最值时，一般要确 定哪个量为定值？ 提示：三个条件是：一正，二定，三相等．求和的最小值，要确定积为定值； 求积的最大值，要确定和为定值．
数学 必修 第一册 A
第二章 一元二次函数、方程和不等式(20页)
x＋5x＋2 x2＋7x＋10 x＋12＋5x＋1＋4
4
∴y＝
＝
＝
＝(x＋1)＋
＋5
x＋1
x＋1
x＋1
x＋1
4
－x＋1＋
－x＋1 ＋5≤－2 4＋5＝1，
＝－
当(x＋1)2＝4，即 x＝－3 时取“＝”．]
题型探究
规律方法
基本不等式的主要应用是求函数的最值或范围，既适用于一个变
函数 y＝x2＋(1－a)x－a 的图象开口向上，所以
(1)当 a＜－1 时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}；
(2)当 a＝－1 时，原不等式解集为∅ ；
(3)当 a＞－1 时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}．
题型探究
规律方法
解一元二次不等式时，要注意数形结合，充分利用对应的二次
函数图像、一元二次方程的解的关系.如果含有参数，则需按一
定的标准对参数进行分类讨论.
当堂检测
3.若关于 x 的不等式 ax2＋2x＋2＞0 在 R 上恒成立，
求实数 a 的取
值范围．
解：当 a＝0 时，原不等式可化为 2x＋2＞0，其解集不为 R，故 a＝0 不满足
a＞0，
题意，舍去；当 a≠0 时，要使原不等式的解集为 R，只需
Δ＝22－4×2a＜0，
量的情况，也适用于两个变量的情况.基本不等式具有将“和式”
转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能.解答此
类问题关键是创设应用不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是
常用的解题技巧，而拆与凑的目的在于使等号能够成立.
当堂检测
1 9
16
2.已知 x>0，y>0，且 ＋ ＝1，则 x＋y 的最小值为________．
4
∴y＝
＝
＝
＝(x＋1)＋
＋5
x＋1
x＋1
x＋1
x＋1
4
－x＋1＋
－x＋1 ＋5≤－2 4＋5＝1，
＝－
当(x＋1)2＝4，即 x＝－3 时取“＝”．]
题型探究
规律方法
基本不等式的主要应用是求函数的最值或范围，既适用于一个变
函数 y＝x2＋(1－a)x－a 的图象开口向上，所以
(1)当 a＜－1 时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}；
(2)当 a＝－1 时，原不等式解集为∅ ；
(3)当 a＞－1 时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}．
题型探究
规律方法
解一元二次不等式时，要注意数形结合，充分利用对应的二次
函数图像、一元二次方程的解的关系.如果含有参数，则需按一
定的标准对参数进行分类讨论.
当堂检测
3.若关于 x 的不等式 ax2＋2x＋2＞0 在 R 上恒成立，
求实数 a 的取
值范围．
解：当 a＝0 时，原不等式可化为 2x＋2＞0，其解集不为 R，故 a＝0 不满足
a＞0，
题意，舍去；当 a≠0 时，要使原不等式的解集为 R，只需
Δ＝22－4×2a＜0，
量的情况，也适用于两个变量的情况.基本不等式具有将“和式”
转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能.解答此
类问题关键是创设应用不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是
常用的解题技巧，而拆与凑的目的在于使等号能够成立.
当堂检测
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2.已知 x>0，y>0，且 ＋ ＝1，则 x＋y 的最小值为________．
人教版高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式全套PPT课件
[解析] ， ，又 , ，即 .又 ， ，即 ．故 ， ．
【变式探究】
已知 且 ，求 的取值范围．
[解析] 令 ， ，则 ， ．由 解得 ,又 ， ， ， ．
方法总结 不等式具有可加性（需同向）与可乘性（需同正），但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意等价变形．
方法总结 应用基本不等式时，注意下列常见变形中等号成立的条件：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
学习目标
1.会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.（数学建模）
2.会运用作差法比较两个数或式子的大小.（数学运算）
3.梳理等式的性质，掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.（逻辑推理）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
（2）已知 ， .求证： ．
②
[解析] （1）对于①，若 ， ， ， ，则 ，①错误；对于②，对于正数 ， ， ，若 ，则 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，②正确．综上，正确结论的序号是②．（2）因为 ，所以 .所以 ．又因为 ，所以 .所以 ，即 ，所以 ．
探究2 重要不等式
设 ， ，记 ， ， 分别为 ， 的算术平均数、几何平均数、调和平均数.古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过 时， ， ， 的大小关系.
问题1：.你能探究 ， ， 的大小关系吗？
[答案] 能,因为 ， ， ，所以 ，即 ； ，即 .所以 .所以 ， ， 中最大的为 ，最小的为 .
问题1：.小明的说法正确吗？用什么性质判断小明的说法是否正确？
[答案] 不正确，用等式的性质.当 时， 一定成立，反过来，当 时，不能推出 ，如当 时， 成立， 不成立.故“ 是 成立的充要条件”是错误的.
【变式探究】
已知 且 ，求 的取值范围．
[解析] 令 ， ，则 ， ．由 解得 ,又 ， ， ， ．
方法总结 不等式具有可加性（需同向）与可乘性（需同正），但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意等价变形．
方法总结 应用基本不等式时，注意下列常见变形中等号成立的条件：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
学习目标
1.会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.（数学建模）
2.会运用作差法比较两个数或式子的大小.（数学运算）
3.梳理等式的性质，掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.（逻辑推理）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
（2）已知 ， .求证： ．
②
[解析] （1）对于①，若 ， ， ， ，则 ，①错误；对于②，对于正数 ， ， ，若 ，则 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，②正确．综上，正确结论的序号是②．（2）因为 ，所以 .所以 ．又因为 ，所以 .所以 ，即 ，所以 ．
探究2 重要不等式
设 ， ，记 ， ， 分别为 ， 的算术平均数、几何平均数、调和平均数.古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过 时， ， ， 的大小关系.
问题1：.你能探究 ， ， 的大小关系吗？
[答案] 能,因为 ， ， ，所以 ，即 ； ，即 .所以 .所以 ， ， 中最大的为 ，最小的为 .
问题1：.小明的说法正确吗？用什么性质判断小明的说法是否正确？
[答案] 不正确，用等式的性质.当 时， 一定成立，反过来，当 时，不能推出 ，如当 时， 成立， 不成立.故“ 是 成立的充要条件”是错误的.
基本不等式(第2课时)(教学课件)-高一数学同步备课系列(人教A版2019必修第一册)
当且仅当6x＝ x ，即x＝50时，“＝”成立，此时x＝50.y＝60，
(2)S＝3 030－6x－
Smax＝2 430.即设计x＝50 m，y＝60 m时，运动场地面积最大，最大值为2
430 m2．
【巩固练习5】
某商品进货价为每件 50 元，据市场调查，当销售价格为每件
105
x(50≤x≤80)元时，每天销售的件数为
3 000
则y＝ x (6<x<500)，
y－6
S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a＝(2x－10)· 2 ＝(x－5)(y－6)＝3 030－6x
15 000
－ x (6<x<500)．
15 000
15 000
≤3
030－2
6x·
x
x ＝3 030－2×300＝2 430．
15 000
故当矩形的长为15 m，宽为7.5 m时，
菜园的面积最大，最大面积为112.5 m2．
3
2 做一个体积为32 m ，高为2 m的长方体纸盒，当底面的边长取什么
值时，用纸最少？
解：设底面的长为a，宽为b，
则由题意得2ab＝32，即ab＝16．
所以用纸面积为S＝2ab＋4a＋4b＝32＋4（a＋b）≥32＋8 ab ＝64 ，
下面这些结论是否正确？错误的说明理由.
(1)若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64.
(2)若ab＝2，则a＋b的最小值为2 2.
正确
错误，因为a，b不是正数
1
1
(3)当x>1时，函数y＝x＋−1≥2
1
(4)若x∈R，则 2 ＋2＋ 2+2≥2.
(2)S＝3 030－6x－
Smax＝2 430.即设计x＝50 m，y＝60 m时，运动场地面积最大，最大值为2
430 m2．
【巩固练习5】
某商品进货价为每件 50 元，据市场调查，当销售价格为每件
105
x(50≤x≤80)元时，每天销售的件数为
3 000
则y＝ x (6<x<500)，
y－6
S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a＝(2x－10)· 2 ＝(x－5)(y－6)＝3 030－6x
15 000
－ x (6<x<500)．
15 000
15 000
≤3
030－2
6x·
x
x ＝3 030－2×300＝2 430．
15 000
故当矩形的长为15 m，宽为7.5 m时，
菜园的面积最大，最大面积为112.5 m2．
3
2 做一个体积为32 m ，高为2 m的长方体纸盒，当底面的边长取什么
值时，用纸最少？
解：设底面的长为a，宽为b，
则由题意得2ab＝32，即ab＝16．
所以用纸面积为S＝2ab＋4a＋4b＝32＋4（a＋b）≥32＋8 ab ＝64 ，
下面这些结论是否正确？错误的说明理由.
(1)若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64.
(2)若ab＝2，则a＋b的最小值为2 2.
正确
错误，因为a，b不是正数
1
1
(3)当x>1时，函数y＝x＋−1≥2
1
(4)若x∈R，则 2 ＋2＋ 2+2≥2.
高中数学必修一 《2 2 基本不等式》多媒体精品课件
4
跟踪训练
1
2
.
函
数
f
(
x
) x2
能
否
用
基
本
不
等
式
求
最
小
值
？
2
x2
2
2
由基本不等式知
x
2
解：
当且仅当
x 2
2
1
1
x2 2
2
x2 2
1
x2 2
2
即x2 21时取等，而这是不可
x2 2
能的，故此函数不能用
基本不等式求最小值。
利用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等。
达标检测
1．下列不等式中，正确的是(
)
4
A．a＋a≥4
B．a2＋b2≥4ab
a＋b
C. ab≥
2
3
D．x ＋ 2≥2 3
x
2
4
解析：选 D.a＜0，则 a＋ ≥4 不成立，故 A 错；a＝1，b＝1，
a
a＋b
a ＋b ＜4ab，故 B 错，a＝4，b＝16，则 ab＜
，故 C
2
2
2
错；由基本不等式可知 D 项正确．
ab
b20
a b 2
ab
(当且仅当
ab
时取等）。
2
2
此不等式称为重要不等式
基本不等式
1、基本不等式
如果a 0, b 0, 我们用 a , b分别代替a, b,
可得到什么结论？
替换后得到：
(a
)
(b
)≥
2a
b
2
即： ab≥2 ab
跟踪训练
1
2
.
函
数
f
(
x
) x2
能
否
用
基
本
不
等
式
求
最
小
值
？
2
x2
2
2
由基本不等式知
x
2
解：
当且仅当
x 2
2
1
1
x2 2
2
x2 2
1
x2 2
2
即x2 21时取等，而这是不可
x2 2
能的，故此函数不能用
基本不等式求最小值。
利用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等。
达标检测
1．下列不等式中，正确的是(
)
4
A．a＋a≥4
B．a2＋b2≥4ab
a＋b
C. ab≥
2
3
D．x ＋ 2≥2 3
x
2
4
解析：选 D.a＜0，则 a＋ ≥4 不成立，故 A 错；a＝1，b＝1，
a
a＋b
a ＋b ＜4ab，故 B 错，a＝4，b＝16，则 ab＜
，故 C
2
2
2
错；由基本不等式可知 D 项正确．
ab
b20
a b 2
ab
(当且仅当
ab
时取等）。
2
2
此不等式称为重要不等式
基本不等式
1、基本不等式
如果a 0, b 0, 我们用 a , b分别代替a, b,
可得到什么结论？
替换后得到：
(a
)
(b
)≥
2a
b
2
即： ab≥2 ab
基本不等式(共43张)ppt课件
解法步骤与技巧
01
02
03
移项
将不等式两边的同类项进 行合并，并把未知数移到 不等式的一边，常数移到 另一边。
合并同类项
将移项后的不等式两边的 同类项进行合并。
系数化为1
将不等式两边的系数化为 1，得到不等式的解集。
解法步骤与技巧
注意不等号的方向
在解不等式时，要注意不等号的方向，特别是在乘以或除以一个负数时，不等 号的方向要发生变化。
基本不等式(共43张)ppt课件
目录
• 基本不等式概念及性质 • 一元一次不等式解法 • 一元二次不等式解法 • 绝对值不等式解法 • 分式不等式和无理不等式解法 • 基本不等式在几何中的应用 • 基本不等式在函数中的应用 • 总结回顾与拓展延伸
01
基本不等式概念及性质
不等式定义与分类
不等式定义
根）；
04
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
04
绝对值不等式解法
绝对值概念及性质
绝对值定义
对于任意实数$x$，其绝对值$|x|$定义为：若$x geq 0$，则$|x| = x$；若$x < 0$，则$|x| = -x$。
绝对值的性质
非负性、对称性、三角不等式。
绝对值不等式解法步骤
将不等式左边进行因式分解，找出不 等式的临界点。
无理不等式解法
第一步
确定无理不等式的定义域，即根 号内的表达式必须大于等于零。
第二步
通过平方消去根号，将无理不等式 转化为有理不等式。
第三步
利用有理不等式的解法，求解转化 后的不等式，得到原无理不等式的 解集。
综合应用举例
例1
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.2基本不等式第1课时基本不等式课件新人教A版必修第一册
6．若 a，b 都是正数，则1＋ba1＋4ba的最小值为(
)
A．7 B．8 C．9 D．10
答案 C
解析 因为 a，b 都是正数，所以1＋ba1＋4ba＝5＋ba＋4ba≥5＋2
b 4a a·b
＝9，当且仅当 b＝2a 时取等号．
7．已知 x>0，y>0，且 x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( ) A．16 B．25 C．9 D．36
8．若 a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是( )
A．a－b＞1b－1a B.ca2＜cb2
2ab C. ab>a＋b
D.3aa＋＋3bb＞ab
答案 C
解析 逐一考查所给的选项：当 a＝2，b＝13时，a－b＝53，1b－1a＝52，不 满足 a－b＞1b－1a，A 错误；当 c＝0 时，ca2＝cb2＝0，不满足ca2＜cb2，B 错误；
x＋4x＝－－x＋－4x≤－2
－x·－4x＝－4，C 错误，故选 D.
知识点二 直接利用基本不等式求最值 5．设 x>0，y>0，且 x＋y＝18，则 xy 的最大值为( ) A．80 B．77 C．81 D．82
答案 C 解析 因为 x>0，y>0，所以x＋2 y≥ xy，即 xy≤x＋2 y2＝81，当且仅当 x＝y＝9 时，等号成立，所以 xy 的最大值为 81.
3x·1x＝3－2 3，当且仅当 3x＝1x，
4．设 x>0，则 x＋2x＋2 1－32的最小值为(
)
A．0
1 B.2
C．1
3 D.2
答案 解析
A 因为 x>0，所以 x＋12>0，所以 x＋2x＋2 1－32＝x＋12＋x＋1 12－
《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式 图文
2
∴xy≤4,当且仅当 x=y=2 时,等号成立,
∴xy 的最大值为 4.
答案:(1)4 (2)4
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
随堂演练
基本不等式的理解
例1下列命题正确的是(
)
4
A.若 x≠0,则 x+≥4
B.若 a,b∈R,且 ab>0,则 + ≥2
C. 2 + 2 +
4
1
的最小值为 2
)
A.6 B.5
C.4 D.3
(2)已知a>0,b>0,且ab=1,则a+4b的最小值为
9
解析:(1)∵x>0,∴+x≥2
9
·=6,当且仅当
9
x=,即
.
x=3 时等号成
立,此时取得最小值 6.
(2)因为 a>0,b>0,且 ab=1,所以 a+4b≥2 4=4,当且仅当 a=4b,
即
1
a=2,b= 时取等号.
A.最小值12
C.最小值144
4
9
解析: + ≥2
答案:C
)
B.最大值12
D.最大值144
36
,即
≤12,∴xy≤144.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
随堂演练
1
时,4x+ (x>0)取得最小值.
3.当且仅当 x=
1
1
解析:由于 x>0,由基本不等式可得 4x+≥2 4·=4,当且仅当
不等式,将和变积,并证得不等式.(2)不等式右边的数字为8,使我们
∴xy≤4,当且仅当 x=y=2 时,等号成立,
∴xy 的最大值为 4.
答案:(1)4 (2)4
课堂篇
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基本不等式的理解
例1下列命题正确的是(
)
4
A.若 x≠0,则 x+≥4
B.若 a,b∈R,且 ab>0,则 + ≥2
C. 2 + 2 +
4
1
的最小值为 2
)
A.6 B.5
C.4 D.3
(2)已知a>0,b>0,且ab=1,则a+4b的最小值为
9
解析:(1)∵x>0,∴+x≥2
9
·=6,当且仅当
9
x=,即
.
x=3 时等号成
立,此时取得最小值 6.
(2)因为 a>0,b>0,且 ab=1,所以 a+4b≥2 4=4,当且仅当 a=4b,
即
1
a=2,b= 时取等号.
A.最小值12
C.最小值144
4
9
解析: + ≥2
答案:C
)
B.最大值12
D.最大值144
36
,即
≤12,∴xy≤144.
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1
时,4x+ (x>0)取得最小值.
3.当且仅当 x=
1
1
解析:由于 x>0,由基本不等式可得 4x+≥2 4·=4,当且仅当
不等式,将和变积,并证得不等式.(2)不等式右边的数字为8,使我们
《基本不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT教学课件(第二课时基本不等式的应用)
利用基本不等式求最值 【例 1】 (1)已知 x<54，求 y＝4x－2＋4x－1 5的最大值； (2)已知 0<x<12，求 y＝12x(1－2x)的最大值． [思路点拨] (1)看到求 y＝4x－2＋4x－1 5的最值，想到如何才能出现 乘积定值；(2)要求 y＝12x(1－2x)的最值，需要出现和为定值．
2 2 [x＋2x≥2 x·2x＝2 2，当
________．
且仅当 x＝ 2时，等号成立．]
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9
3．设 x，y∈N*满足 x＋y＝20， 100 [∵x，y∈N*，∴20＝x＋
则 xy 的最大值为________．
y≥2 xy，
∴xy≤100.]
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10
合作探究 提素养
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11
(3)当 x>1 时，函数 y＝x＋x－1 1≥2 x－x 1，所以函数 y 的最小值是
2 x－x 1.(
)
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[提示] (1)由 a＋b≥2 ab可知正确． (2)由 ab≤a＋2 b2＝4 可知正确． (3) x－x 1不是常数，故错误．
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
37
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38
13
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14
利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即 “一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆 项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳 为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应凑出定和或 定积；若不等，一般用后面第三章§3.2 函数的基本性质中学习.
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33
∵x>0，∴x＋22x5≥2 x·22x5＝30. 当且仅当 x＝22x5，即 x＝15 时，上式等号成立． ∴当 x＝15 时，y 有最小值 2 000 元． 因此该楼房建为 15 层时，每平方米的平均综合费用最少．
2 2 [x＋2x≥2 x·2x＝2 2，当
________．
且仅当 x＝ 2时，等号成立．]
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9
3．设 x，y∈N*满足 x＋y＝20， 100 [∵x，y∈N*，∴20＝x＋
则 xy 的最大值为________．
y≥2 xy，
∴xy≤100.]
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11
(3)当 x>1 时，函数 y＝x＋x－1 1≥2 x－x 1，所以函数 y 的最小值是
2 x－x 1.(
)
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[提示] (1)由 a＋b≥2 ab可知正确． (2)由 ab≤a＋2 b2＝4 可知正确． (3) x－x 1不是常数，故错误．
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
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利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即 “一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆 项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳 为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应凑出定和或 定积；若不等，一般用后面第三章§3.2 函数的基本性质中学习.
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33
∵x>0，∴x＋22x5≥2 x·22x5＝30. 当且仅当 x＝22x5，即 x＝15 时，上式等号成立． ∴当 x＝15 时，y 有最小值 2 000 元． 因此该楼房建为 15 层时，每平方米的平均综合费用最少．
新教材高中《基本不等式》完美课件PPT1
条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用基本不等式是求不出最值 的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取等号的条件成立．
学科素养
• 基本不等式求最值 • 基本不等式在解决数学问题中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的
有力工具．
例 4 求函数 y＝ 2xx＋＋52的最大值． [分析] 把 x＋2看成一个整体→函数转化为用 x＋2来表示→找出 其内在的形式特点→用基本不等式来处理．
• 2．运用基本不等式求参数的取值范围问题在高考中经常出现，在解决 此类问题时，要注意发掘各个变量之间的关系，探寻思路，解决问题．
【对点练习】❶ 若对任意 x>0，x2＋3xx＋1≤a 恒成立，则 a 的取值 范围是___a_a_≥__51____.
[解析] 因为 x>0，所以 x＋1x≥2，当且仅当 x＝1 时取等号，所以有
(2)由条件知 S＝xy＝24. 设钢筋网总长为 l，则 l＝4x＋6y. 方法一：因为 2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy＝24， 所以 l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48. 当且仅当 2x＝3y 时，等号成立． 由x2yx＝＝234y， 解得xy＝ ＝64，. 故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小．
设每间虎笼面积为 S，则 S＝xy. 方法一：由于 2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy， 所以 2 6xy≤18，得 xy≤227，
即 S≤227，当且仅当 2x＝3y 时，等号成立． 由22xx＋ ＝33yy＝ ，18， 解得xy＝ ＝43..5， 故每间虎笼长 4.5 m，宽 3 m 时，可使面积最大．
•
8.中东地区气候以热带沙漠气候为主, 终年高 温,太阳 辐射强 。白色 服装对 太阳辐 射的反 射作用 强,吸收 热量较 少,所 以阿拉 伯人传 统服装 是白色 的缠头 巾和宽 大的白 色长袍 。
学科素养
• 基本不等式求最值 • 基本不等式在解决数学问题中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的
有力工具．
例 4 求函数 y＝ 2xx＋＋52的最大值． [分析] 把 x＋2看成一个整体→函数转化为用 x＋2来表示→找出 其内在的形式特点→用基本不等式来处理．
• 2．运用基本不等式求参数的取值范围问题在高考中经常出现，在解决 此类问题时，要注意发掘各个变量之间的关系，探寻思路，解决问题．
【对点练习】❶ 若对任意 x>0，x2＋3xx＋1≤a 恒成立，则 a 的取值 范围是___a_a_≥__51____.
[解析] 因为 x>0，所以 x＋1x≥2，当且仅当 x＝1 时取等号，所以有
(2)由条件知 S＝xy＝24. 设钢筋网总长为 l，则 l＝4x＋6y. 方法一：因为 2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy＝24， 所以 l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48. 当且仅当 2x＝3y 时，等号成立． 由x2yx＝＝234y， 解得xy＝ ＝64，. 故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小．
设每间虎笼面积为 S，则 S＝xy. 方法一：由于 2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy， 所以 2 6xy≤18，得 xy≤227，
即 S≤227，当且仅当 2x＝3y 时，等号成立． 由22xx＋ ＝33yy＝ ，18， 解得xy＝ ＝43..5， 故每间虎笼长 4.5 m，宽 3 m 时，可使面积最大．
•
8.中东地区气候以热带沙漠气候为主, 终年高 温,太阳 辐射强 。白色 服装对 太阳辐 射的反 射作用 强,吸收 热量较 少,所 以阿拉 伯人传 统服装 是白色 的缠头 巾和宽 大的白 色长袍 。
《等式性质与不等式性质》一元二次函数、方程和不等式PPT教学课件(第一课时不等关系与不等式)
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9
4．设 M＝a2，N＝－a－1，则 M、 M＞N [M－N＝a2＋a＋1＝
N 的大小关系为________．
a＋122＋34＞0，
∴M＞N.]
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10
合作探究 提素养
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11
用不等式(组)表示不等关系 【例 1】 京沪线上，复兴号列车跑出了 350 km/h 的速度，这个速 度的 2 倍再加上 100 km/h，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经 超过了普通客车的 3 倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系．
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23
解决决策优化型应用题，首先要确定制约着决策优化的关键量是哪 一个，然后再用作差法比较它们的大小即可．
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24
3．甲、乙两家旅行社对家庭旅游提出优惠方案．甲旅行社提出：如 果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社提出：家庭旅 游算集体票，按七五折优惠．如果这两家旅行社的原价相同，那么哪家 旅行社价格更优惠？
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质 第1课时 不等关系与不等式
2
学习目标
核心素养
1.会用不等式(组)表示实际问题中 1. 借助实际问题表示不等式，提升
的不等关系．(难点) 2．会用比较法比较两实数的大 小．(重点)
数学建模素养． 2. 通过大小比较，培养逻辑推理素 养.
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14
1．用一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m， 要求菜园的面积不小于 216 m2，靠墙的一边长为 x m．试用不等式表示其 中的不等关系．
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15
[解] 由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以 0<x≤18，
9
4．设 M＝a2，N＝－a－1，则 M、 M＞N [M－N＝a2＋a＋1＝
N 的大小关系为________．
a＋122＋34＞0，
∴M＞N.]
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用不等式(组)表示不等关系 【例 1】 京沪线上，复兴号列车跑出了 350 km/h 的速度，这个速 度的 2 倍再加上 100 km/h，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经 超过了普通客车的 3 倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系．
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解决决策优化型应用题，首先要确定制约着决策优化的关键量是哪 一个，然后再用作差法比较它们的大小即可．
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3．甲、乙两家旅行社对家庭旅游提出优惠方案．甲旅行社提出：如 果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社提出：家庭旅 游算集体票，按七五折优惠．如果这两家旅行社的原价相同，那么哪家 旅行社价格更优惠？
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质 第1课时 不等关系与不等式
2
学习目标
核心素养
1.会用不等式(组)表示实际问题中 1. 借助实际问题表示不等式，提升
的不等关系．(难点) 2．会用比较法比较两实数的大 小．(重点)
数学建模素养． 2. 通过大小比较，培养逻辑推理素 养.
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14
1．用一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m， 要求菜园的面积不小于 216 m2，靠墙的一边长为 x m．试用不等式表示其 中的不等关系．
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[解] 由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以 0<x≤18，
《二次函数与一元二次方程、不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT【精品课件】
(2)形式:
①ax2+bx+c>0(a≠0);
②ax2+bx+c≥0(a≠0);
③ax2+bx+c<0(a≠0);
④ax2+bx+c≤0(a≠0).
(3)解集:一般地,使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不
等式的解,一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次
不等式的解集.
《二次函数与一元二次方程、不等式 》一元 二次函 数、方 程和不 等式PP TPPT 课件完 美课件p pt优秀 课件ppt下载ppt课件课 件免费 下载pp t精品 课件
零点不是点,是一个实数.零点就是函数对应方程的根.
(2)二次函数y=x2-5x的图象如图所示.
当x为何值时,y=0?当x为何值时,y<0?当x为何值时,y>0.
上述各种情况下函数图象与x轴有什么关系?
提示:当x=0或x=5时,y=0.此时图象与x轴交于两个点(0,0)和(5,0);
当0<x<5时,y<0,函数图象位于x轴下方,此时x2-5x<0;
3.借助一元二次函
数的图象,了解一
元二次不等式与相
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当x<0或x>5时,y>0.此时函数图象位于x轴上方,此时x2-5x>0.
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①ax2+bx+c>0(a≠0);
②ax2+bx+c≥0(a≠0);
③ax2+bx+c<0(a≠0);
④ax2+bx+c≤0(a≠0).
(3)解集:一般地,使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不
等式的解,一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次
不等式的解集.
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零点不是点,是一个实数.零点就是函数对应方程的根.
(2)二次函数y=x2-5x的图象如图所示.
当x为何值时,y=0?当x为何值时,y<0?当x为何值时,y>0.
上述各种情况下函数图象与x轴有什么关系?
提示:当x=0或x=5时,y=0.此时图象与x轴交于两个点(0,0)和(5,0);
当0<x<5时,y<0,函数图象位于x轴下方,此时x2-5x<0;
3.借助一元二次函
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当x<0或x>5时,y>0.此时函数图象位于x轴上方,此时x2-5x>0.
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