二次函数中相似三角形存在性

相似三角形的存在性（作业）

例：在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点坐标为C(4

，)，且与x轴

的两个交点间的距离为6．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在x轴上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以Q，A，B为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

第一问：研究背景图形

【思路分析】

①由顶点坐标C(4

，可知对称轴为直线_______，利用两个交点间的距离为

6，再结合抛物线的对称性可知A(___，___)，B(___，___)．

②设交点式__________________，再代入坐标__________可求解出解析式__________________．

【过程示范】

∵顶点坐标为C(4，

又∵抛物线与x

设抛物线的解析式为

将C (4

，

代入可得，9

a =，

∴所求解析式为2y x x =

． 第二问：整合信息、分析特征、设计方案 【思路分析】

相似三角形存在性问题也是在存在性问题的框架下进行的：

①分析特征：先研究定点、动点，其中_________为定点，点__为____________________的动点；则________为目标三角形．进一步研究此三角形，发现其中________________；构造辅助线：____________________________，能够计算出∠BAC =_____°，∠ACB =________°；再考虑研究△QAB ，固定线段为______，并且由于点Q 在x 轴上方的抛物线上，所以△QAB 为______（填“钝角”或“直角”）三角形．

②画图求解：先考虑点Q 在抛物线对称轴右侧的情况，此时 ∠ABQ 为钝角，要想使△ABC 与△ABQ 相似，则需要∠ABQ =

_____°，且_________．求解时，可根据∠ABQ =_____°，AB =BQ =_____来求出Q 点坐标．同理，考虑点Q 在抛物线对称轴左侧时的情况．

③结果验证：考虑点Q 还要在抛物线上，将点Q 代入抛物线解析式验证．

【过程示范】

存在点Q 使得△QAB 与△ABC 相似．

由抛物线对称性可知，AC =BC ，过点C 作CD ⊥x 轴于则AD =3，CD

在Rt △ACD 中，tan ∠DAC

， ∴∠BAC =∠ABC =30°，∠ACB =120°． ①当△ACB ∽△ABQ 时， ∠ABQ =120°且BQ =AB =6． 过点Q 作QE ⊥x 轴，垂足为E ， 则在Rt △BQE 中，BQ =6，∠QBE =60°， ∴QE =BQ ·sin60°

=6=BE =3， ∴E (10，0)，Q 1(10

，． 当x =10时，y

= ∴点Q 1在抛物线上．

②由抛物线的对称性可知，还存在AQ2=AB，

此时△Q2AB∽△ACB，点Q2的坐标为(-2

，．

综上：Q1(10

，，Q2(-2

，．

1.如图，已知抛物线y=x2-1与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，过点A

作AP∥CB交抛物线于点P．

（1）求A，B，C三点的坐标．

（2）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过点M作

MG⊥x轴于点G，使以A，M，G为顶点的三角形与△PCA

相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理

由．

2.如图，抛物线y=ax2+b与x轴交于点A，B，且点A的坐标为(1，0)，与y轴

交于点C(0，1)．

（1）求抛物线的解析式，并求出点B的坐标．

（2）过点B作BD∥CA交抛物线于点D，在x轴上点A的左侧是否存在点P，使以P，A，C为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出点P的坐标；

若不存在，请说明理由．

3.如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，-2)三点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，

是否存在点P，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【参考答案】

例题示范： 第一问：

① x =4，(1，0)，(7，0)

② y =a (x -1)(x -7)，C (4

，

，2y x x =+ 第二问：

①点A ，B ，C ，点Q ，在x 轴上方的抛物线上，△ABC ，CA =CB ，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，30，120，AB ，钝角。 ② 120，BA =BQ ，120，6

1.（1）A (-1，0)，B (1，0)，C (0，-1)

（2）存在，(-2，3)，(47

39，)，(4，15)

2.（1）21y x =-+，B (-1，0)

（2）存在，121

(0)(20)3P P -，，， 3.（1）215

2

22y x x =-+-

（2）存在，1234(21)(52)(02)(314)P P P P ----，，，，，，，