二次函数中相似三角形存在性

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相似三角形的存在性问题

相似三角形的存在性问题【考题研究】相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。

难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快．【解题攻略】相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。

应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．【解题类型及其思路】相似三角形存在性问题需要注意的问题：1、若题目中问题为△ABC∽△DEF ，则对应线段已经确定。

2、若题目中为△ABC与△DEF相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：①△ABC∽△DEF ,②△ABC∽△FDE、③△ABC∽△EFD、3、若题目中为△ABC与△DEF并且有∠A、∠D（或为90°），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：①、△ABC∽△DEF ，②、△ABC∽△DFE 需要分类讨论上述的各种情况。

【典例指引】类型一【确定符合相似三角形的点的坐标】典例指引1．（2017年湖北鄂州中考）已知，抛物线23y ax bx =++（a ＜0）与x 轴交于A （3，0）、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴是直线x =1，D 为抛物线的顶点，点E 在y 轴C 点的上方，且CE =12．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）求证：直线DE 是△ACD 外接圆的切线；（3）在直线AC 上方的抛物线上找一点P ，使12PAC ACD S S ∆∆=，求点P 的坐标；（4）在坐标轴上找一点M ，使以点B 、C 、M 为顶点的三角形与△ACD 相似，直接写出点M 的坐标．【举一反三】（2017年山东省济宁附中二模）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，（点A 在点B的左侧），与直线AC交于点C（2，3），直线AC与抛物线的对称轴l相交于点D，连接BD．（1）求抛物线的函数表达式，并求出点D的坐标；（2）如图2，若点M、N同时从点D出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿DA、DB运动，连接MN，将△DMN沿MN翻折，得到△D′MN，判断四边形DMD′N的形状，并说明理由，当运动时间t为何值时，点D′恰好落在x轴上？（3）在平面内，是否存在点P（异于A点），使得以P、B、D为顶点的三角形与△ABD相似（全等除外）？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．类型二【确定符合相似三角形的动点的运动时间或路程等】典例指引2．（2017年广东省深圳市模拟）如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线2=++经过O，D，C三点.y ax bx c(1)求AD的长及抛物线的解析式；(2)一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，以P，Q，C为顶点的三角形与△ADE相似？(3)点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由.本题考查了二次函数综合题，题目涉及了图形的折叠变换、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等重点知识．后两问的情况较多，需要进行分类讨论，以免漏解．【举一反三】（2017年云南昆明市官渡区一中模拟）如图,已知一次函数y=0.5x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,二次函数y=0.5x2+bx+c的图象与一次函数y=0.5x+1的图象交于点B、C两点,与x轴交于D、E两点,且D 点坐标为（1,0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在在x轴上有一动点P，从O点出发以每秒1个单位的速度沿x轴向右运动，是否存在动点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P运动时间t的值；若不存在，请说明理由；（3）若动点P在x轴上，动点Q在射线AC上，同时从A点出发，点P沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，点Q以每秒a个单位的速度沿射线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．类型三【确定符合相似三角形的函数解析式或字母参数的值】典例指引3．（2017年江苏省徐州市中考数学模拟）如图，已知：在平面直角坐标系中，直线l与y轴相交于点A（0，m）其中m＜0，与x轴相交于点B（4，0）．抛物线y=ax2+bx（a＞0）的顶点为F，它与直线l相交于点C，其对称轴分别与直线l和x轴相交于点D和点E．（1）设a=12，m=﹣2时，①求出点C、点D的坐标；②抛物线y=ax2+bx上是否存在点G，使得以G、C、D、F四点为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．（2）当以F、C、D为顶点的三角形与△BED相似且满足三角形FAC的面积与三角形FBC面积之比为1：3时，求抛物线的函数表达式．【名师点睛】本题考查了二次函数综合题，利用解方程组是求C点坐标的关键；利用菱形的对角线垂直且互相平分是求G 点的关键；利用相似三角形的性质的出关于a的方程是解题关键，又利用了平行线分线段成比例．【举一反三】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．【新题训练】1．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标为()2,1-，并且与y 轴交于点()0,3C ，与x 轴交于A 、B 两点．（1）求抛物线的表达式．（2）如图1，设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，点E 为直线BC 上一动点，过点E 作y 轴的平行线EF ，与抛物线交于点F ，问是否存在点E ，使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与BCO 相似．若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．2．平面直角坐标系xOy 中，对称轴平行与y 轴的抛物线过点()1,0A 、()3,0B 和()4,6C ．（1）求抛物线的表达式．（2）现将此抛物线先沿x 轴方向向右平移6个单位，再沿y 轴方向平移k 个单位，若所得抛物线与x 轴交于点D 、E （点D 在点E 的左边），且使ACD AEC ∽（顶点A 、C 、D 依次对应顶点A 、E 、C ），试求k 的值，并说明方向．3．已知：关于x 的二次函数y=x 2+bx+c 经过点（﹣1，0）和（2，6）．（1）求b 和c 的值．（2）若点A （n ，y 1），B （n+1，y 2），C （n+2，y 3）都在这个二次函数的图象上，问是否存在整数n ，使123111310y y y ++=？若存在，请求出n ；若不存在，请说明理由．（3）若点P 是二次函数图象在y 轴左侧部分上的一个动点，将直线y=﹣2x 沿y 轴向下平移，分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点，若以CD 为直角边的△PCD 与△OCD 相似，请求出所有符合条件点P 的坐标．4．如图，二次函数22y ax bx =++的图像与x 轴交于点A ()1,0-、B ()4,0，与y 轴交于点C ．（1）a = ； b = ；（2）点P 为该函数在第一象限内的图像上的一点，过点P 作PQ BC ⊥于点Q ，连接PC ，①求线段PQ 的最大值；②若以P 、C 、Q 为顶点的三角形与ABC ∆相似，求点P 的坐标．5．如图，抛物线28y ax bx =+-交x 轴于A ， B 两点，交y 轴于点C ，直线l 经过坐标原点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称交于点E ，连接CE ，点A ， D 的坐标分别为()2,0-， ()6,8-．（1）求抛物线的解析式，并分别求出点B 和点E 的坐标．（2）在抛物线上是否存在点F ，使FOE ≌FCE ，若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．6．已知直线y=2x﹣5与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线y=﹣x2+bx+c的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N．（1）如图，当点M与点A重合时，求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，求点N的坐标和线段MN的长；（3）抛物线y=﹣x2+bx+c在直线AB上平移，是否存在点M，使得△OMN与△AOB相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线y=﹣x2+2x的顶点为A，直线y=x﹣2与抛物线交于B，C两点．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）作CD⊥x轴于点D，求证：△ODC∽△ABC；（3）若点P为抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，则是否还存在除C点外的其他位置的点，使以O，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出这样的P点坐标；若不存在，请说明理由．8．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）．（1）试根据图（2）求0＜t≤5时，△BPQ的面积y关于t的函数解析式；（2）求出线段BC、BE、ED的长度；（3）当t为多少秒时，以B、P、Q为顶点的三角形和△ABE相似；（4）如图（3）过E作EF⊥BC于F，△BEF绕点B按顺时针方向旋转一定角度，如果△BEF中E、F的对应点H、I恰好和射线BE、CD的交点G在一条直线，求此时C、I两点之间的距离．9．如图，已知抛物线y=ax2﹣x+c的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），顶点为B．点C （5，m）在抛物线上，直线BC交x轴于点E．（1）求抛物线的表达式及点E的坐标；（2）联结AB，求∠B的正切值；（3）点G为线段AC上一点，过点G作CB的垂线交x轴于点M（位于点E右侧），当△CGM与△ABE相似时，求点M的坐标．10．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．（1）求抛物线的解析式及点B、C的坐标；（2）求△ABC的内切圆半径；学=科网（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．。

(完整版)二次函数与三角形的存在性问题的解法

二次函数与三角形的存在性问题一、预备知识1、坐标系中或抛物线上有两个点为P （x1，y ），Q （x2，y ）(1)线段对称轴是直线2x 21x x +=(2)AB 两点之间距离公式：221221)()(y y x x PQ -+-=中点公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为⎪⎭⎫ ⎝⎛++222121y y ,x x 。

2、两直线的解析式为11b x k y +=与 22b x k y +=如果这两天两直线互相垂直，则有121-=⋅k k3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2（1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2（2）当k1≠k2，，L1与L2相交（3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直二、三角形的存在性问题探究：三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形（一）三角形的性质和判定：1、等腰三角形性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。

判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。

2、直角三角形性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。

判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。

3、等腰直角三角形性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。

判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形4、等边三角形性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。

判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

总结：（1）已知A 、B 两点，通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求的点（不与A 、B 点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上（2）已知A 、B 两点，通过“两线一圆”可以找到所有满足条件的直角三角形，要求的点（不与A 、B 点重合）即在圆上以及在两条与直径AB 垂直的直线上。

二次函数背景下的相似三角形存在性问题

二次函数背景下的相似三角形存在性问题
二次函数背景下的相似三角形存在性问题是中考数学常考的题型，在考试中一般出现在压轴题的位置，综合性强，难度略大。

这篇文章主要来讨论下二次函数背景下的相似三角形存在性问题的解题思路方法及应用举例。

【模型解读】
在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三角形存在性问题”．
【相似判定】
判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；
判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；
判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形．
以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法，解决问题．
【题型分析】
通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为“单动点”类、“双动点”两类问题．
【思路总结】
根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定2、3可以发现，都有角相等！
所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角．
然后再找：
思路1：两相等角的两边对应成比例；
思路2：还存在另一组角相等．
事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思路1．
一、如何得到相等角？
二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？
搞定这两个问题就可以了．
【例题】
【分析】
综上所述，点P的坐标为（3，2）或（3，9）．
【总结】
【练习】
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中考数学压轴题：二次函数综合、相似三角形存在性问题

中考数学压轴题：二次函数综合、相似三角形存在性问题1．如图，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若C1C2=65，求m的值．2．如图，抛物线y＝ax2+bx+√3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；（2）连接AC，在第二象限内存在点M，使得以M、O、A为顶点的三角形与△AOC相似．请直接写出所有符合条件的点M坐标．3．如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．该抛物线的顶点为M．（1）求该抛物线的解析式；（2）判断△BCM的形状，并说明理由；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形与△BCM相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y＝x﹣2交于B，C两点．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）求证：△ABC是直角三角形；（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P在抛物线的对称轴上，当△ACP的周长最小时，求出点P的坐标；（3）点N在抛物线上，点M在抛物线的对称轴上，是否存在以点N为直角顶点的Rt△DNM与Rt△BOC相似？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，已知抛物线y=13x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP 的面积最大时，求点P的坐标；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于C（0，﹣2）．（1）求抛物线的解析式；（2）D是C关于x轴的对称点，P是抛物线上的一点，当△PBD与△AOC相似时，求符合条件的P点的坐标．8．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C，连接BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P 运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标；9．如图，已知二次函数y ＝﹣x 2+bx +c （b ，c 为常数）的图象经过点A （3，1），点C （0，4），顶点为点M ，过点A 作AB ∥x 轴，交y 轴于点D ，交该二次函数图象于点B ，连接BC ．（1）求该二次函数的解析式及点M 的坐标；（2）点P 是直线AC 上的动点，若点P ，点C ，点M 所构成的三角形与△BCD 相似，请直接写出所有点P 的坐标．10．如图，抛物线y ＝ax 2+bx 经过两点A （﹣1，1），B （2，2）．过点B 作BC ∥x 轴，交抛物线于点C ，交y 轴于点D ．（1）求此抛物线对应的函数表达式及点C 的坐标；（2）若抛物线上存在点M ，使得△BCM 的面积为72，求出点M 的坐标；（3）连接OA 、OB 、OC 、AC ，在坐标平面内，求使得△AOC 与△OBN 相似（边OA 与边OB 对应）的点N 的坐标．11．如图1，抛物线y＝ax2+1经过点A（4，﹣3），顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点（0，2）且垂直于y轴的直线，过P作PH⊥l，垂足为H，连接PO．（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标；（2）如图2，设点C（1，﹣2），问是否存在点P，使得以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．。

二次函数中和角有关的存在性问题

二次函数中与角有关的存在性问题与角有关的存在性问题包括相等角的存在性、二倍角或半角的存在性，其他倍数关系角的存在性等，解决这类问题我们通常利用以下知识点去构造相关角：①平行线的同位角、内错角相等；②等腰三角形的等边对等角；③相似三角形对应角相等；④全等三角形对应角相等；⑤三角形的外角定理等。

然后利用解直角三角形、相似三角形边的比例关系作为计算工具去计算求解，难度相对较大，需要同学们灵活运用，融会贯通。

【类型一相等角的存在性问题】（一）.利用平行线、等腰三角形构造相等角例1 如图，直线33+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线c bx x y ++-=2与直线y =c 分别交y 轴的正半轴于点C 和第一象限的点P ，连接PB ，得BOA PCB ≌△△（O 为坐标原点）。

若抛物线与x 轴正半轴交点为点F ，设M 是点C ，F 间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m . （1）直接写出点P 的坐标和抛物线的解析式. （2）求满足POA MPO ∠=∠的点M 的坐标.解：(1)易得点P 坐标为（3，4），抛物线解析式为432++-=x x y .(2) ①当点M 在线段OP 上方时，∵CP ∥x 轴，∴当点C 、M 重合时，∠MPO=∠POA ，∴点M 的坐标为（0，4）；②当点M 在线段OP 下方时，在x 轴正半轴取点D ，连接DP ，使得DO=DP ，此时∠DPO=∠POA.设点D 坐标为（n ，0），则DO=n ，()16322+-=n DP ，∴()16322+-=n n ，解得：n=625，∴点D 坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0625，. 设直线PD 解析式为b kx y +=，代入得：7100724+-=x y .联立抛物线解析式得⎪⎭⎫⎝⎛49124,724M 综上所述：点M 的坐标为（0，4）或⎪⎭⎫⎝⎛49124,724（二）.利用相似三角形构造相等角例2 如图，抛物线c bx x y ++=221与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其对称轴交抛物线于点D ，交x 轴于点E ，已知OB=OC=6. （1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）连接BD ，F 为抛物线上一动点，当EDB FAB ∠=∠时，求点F 的坐标；解：（1）因为OB=OC=6，所以B （6，0），C ()6,0-，将B、C点坐标代入解析式，得()8221622122--=--=x x x y ，所以点D 的坐标为（2，—8）（2）如图1，过F 作FG ⊥x 轴于点G ，设⎪⎭⎫ ⎝⎛--6221,F 2x x x ，则FG=62212--x x ，AG=x +2，当EDB FAB ∠=∠时，且B ED GA ∠=∠F ，所以BDE FAG ∽△△，所以FGAGEB DE =，即262212482=--+=x x x ，当点F 在x 轴上方时，则有12422--=+x x x ，解得x=—2（舍去）或x=7，此时F 点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛297，；当点F 在x 轴下方时，则有）（12422---=+x x x ，解得x=—2（舍去）或x=5，此时F 点的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-275，，,综上可知点F 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛297，或⎪⎭⎫ ⎝⎛-275，.【类型二二倍角或半角的存在性问题】（一）.二倍角的构造方法如图，已知α∠，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造α2，在BC 边上找一点D，使得BD=AD，则α2ADC=∠.这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就可以了。

中考专题：二次函数函数的存在性问题(相似三角形)

二次函数函数的存在性问题（相似三角形）1、）如图，已知抛物线与x 交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y 轴交于点B(0，3)。

（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线顶点为D ，求四边形AEDB 的面积；（3）△AOB 与△DBE 是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。

2、）矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图所示，A C 、两点的坐标分别为(60)A ，，(03)C -，，直线34y x =-与BC 边相交于D 点．（1）求点D 的坐标；（2）若抛物线294y ax x =-经过点A ，试确定此抛物线的表达式；（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD 交于点M ，点P 为对称轴上一动点，以P O M 、、为顶点的三角形与OCD △相似，求符合条件的点P 的坐标．3、）如图，已知抛物线y ＝34x 2＋bx ＋c 与坐标轴交于A 、B 、C 三点， A 点的坐标为（－1，0）过点C 的直线y ＝34tx －3与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，过P 作PH⊥OB 于点H ．若PB ＝5t ，且0＜t ＜1．（1）填空：点C 的坐标是_ _，b ＝ _，c ＝_ _；（2）求线段QH 的长（用含t 的式子表示）；（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由．4、）已知，如图1，过点()01E -，作平行于x 轴的直线l ，抛物线214y x =上的两点A B 、的横坐标分别为-1和4，直线AB 交y 轴于点F ，过点A B 、分别作直线l 的垂线，垂足分别为点C 、D ，连接CF DF 、．（1）求点A B F 、、的坐标；（2）求证：CF DF ⊥；（3）点P 是抛物线214y x =对称轴右侧图象上的一动点，过点P 作PQ PO ⊥交x 轴于点Q ，是否存在点P 使得OPQ △与CDF △相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5、如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得DCA △的面积最大，求出点D 的坐标．6、）如图，ABCD 在平面直角坐标系中，6AD =，若OA 、OB 的长是关于x 的一元二次方程27120x x -+=的两个根，且OA OB >．（1）求sin ABC ∠的值．（2）若E 为x 轴上的点，且163AOE S =△，求经过D 、E 两点的直线的解析式，并判断AOE △与DAO △是否相似？（3）若点M 在平面直角坐标系内，则在直线AB 上是否存在点F ，使以A 、C 、F 、M 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F 点的坐标；若不存在，请说明理由．答案1、（09贵州安顺）解：（1） ∵抛物线与y 轴交于点（0，3），∴设抛物线解析式为)0(32≠++=a bx ax y (1′) 根据题意，得⎩⎨⎧=++=+-033903b a b a ，解得⎩⎨⎧=-=21b a∴抛物线的解析式为322++-=x x y (5′) (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）设对称轴与x 轴的交点为F∴四边形ABDE 的面积=ABO DFE BOFD S S S ∆∆++梯形 =111()222AO BO BO DF OF EF DF ⋅++⋅+⋅=11113(34)124222⨯⨯++⨯+⨯⨯=9（3）相似如图，==∴====∴2220BD BE +=, 220DE = 即： 222BD BE DE +=,所以BDE ∆是直角三角形 ∴90AOB DBE ∠=∠=︒,且AO BO BD BE ==∴AOB ∆∽DBE ∆ 2、（09青海）解：（1）点D 的坐标为(43)-，．（2）抛物线的表达式为23984y x x =-．（3）抛物线的对称轴与x 轴的交点1P 符合条件． ∵OA CB ∥， ∴1POM CDO ∠=∠． ∵190OPM DCO ∠=∠=°， ∴1Rt Rt POM CDO △∽△． ∵抛物线的对称轴3x =， ∴点1P 的坐标为1(30)P ，．过点O 作OD 的垂线交抛物线的对称轴于点2P ． ∵对称轴平行于y 轴， ∴2P MO DOC ∠=∠．∵290POM DCO ∠=∠=°， ∴21Rt Rt P M O DOC △∽△∴点2P 也符合条件，2OP M ODC ∠=∠． ∴121390PO CO P PO DCO ==∠=∠=，°， ∴21Rt Rt P PO DCO △≌△． ∴124PP CD ==．∵点2P 在第一象限，∴点2P 的坐标为2P (34)，， ∴符合条件的点P 有两个，分别是1(30)P ，，2P (34)，3、（09广西钦州）解：（1）（0，－3），b ＝－94，c ＝－3．（2）由（1），得y ＝34x 2－94x －3，它与x 轴交于A ，B 两点，得B （4，0）． ∴OB ＝4，又∵OC ＝3，∴BC ＝5．由题意，得△B HP ∽△BOC ，∵OC ∶OB ∶BC ＝3∶4∶5 ， ∴HP ∶HB ∶BP ＝3∶4∶5 ， ∵PB ＝5t ，∴HB ＝4t ，HP ＝3t ． ∴OH ＝OB －HB ＝4－4t ．由y ＝34tx －3与x 轴交于点Q ，得Q （4t ，0）． ∴OQ ＝4t ． ①当H 在Q 、B 之间时， QH ＝OH －OQ ＝（4－4t ）－4t ＝4－8t ． ②当H 在O 、Q 之间时，QH ＝OQ －OH ＝4t －（4－4t ）＝8t －4．综合①，②得QH ＝｜4－8t ｜；（3）存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似． ①当H 在Q 、B 之间时，QH ＝4－8t ，若△QHP ∽△COQ ，则QH ∶CO ＝HP ∶OQ ，得483t -＝34tt， ∴t ＝732．若△PHQ ∽△COQ ，则PH ∶CO ＝HQ ∶OQ ，得33t ＝484t t -，即t 2＋2t －1＝0．∴t 11，t 21（舍去）．②当H 在O 、Q 之间时，QH ＝8t －4．若△QHP ∽△COQ ，则QH ∶CO ＝HP ∶OQ ，得843t -＝34t t ，∴t ＝2532．若△PHQ ∽△COQ ，则PH ∶CO ＝HQ ∶OQ ，得33t ＝844t t -，即t 2－2t ＋1＝0．∴t 1＝t 2＝1（舍去）．综上所述，存在t 的值，t 11，t 2＝732，t 3＝2532．4、（09福建莆田）（1）解:方法一，如图1，当1x =-时,14y =；当4x =时,4y = ∴1A ⎛⎫- ⎪⎝⎭1，4 ()44B ，设直线AB 的解析式为y kx b =+则1444k b k b ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩ 解得341k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线AB 的解析式为314y x =+ ，当0x =时,1y = ()01F ∴，方法二:求A B 、两点坐标同方法一,如图2,作FG BD ⊥,AH BD ⊥,垂足分别为G 、H ,交y 轴于点N ,则四边形FOMG 和四边形NOMH 均为矩形,设FO x =图3BGF BHA △∽△ BG FG BH AH ∴= 441544x -∴=-解得1x = ()0F ∴，1(2)证明：方法一：在Rt CEF △中，1,2CE EF == 22222125CF CE EF ∴=+=+=CF ∴在Rt DEF △中，42DE EF ==， 222224220DF DE EF ∴=+=+= DF ∴=由（1）得()()1141C D ---，，，， 5CD ∴=， 22525CD ∴== 222CF DF CD ∴+=90CFD ∴∠=° ∴CF DF ⊥方法二：由（1）知5544AF AC ===，AF AC ∴= 同理：BF BD = ACF AFC ∴∠=∠AC EF ∥ ACF CFO ∴∠=∠ AFC CFO ∴∠=∠ 同理：BFD OFD ∠=∠ 90CFD OFC OFD ∴∠=∠+∠=° 即CF DF ⊥（3）存在. 如图3，作PM x ⊥轴，垂足为点M 又PQ OP ⊥ Rt Rt OPM OQP ∴△∽△ PM OMPQ OP∴= PQ PM OP OM ∴= 设()2104P x x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，，则214PM x OM x ==，①当RtRt QPO CFD △∽△时，12PQ CF OP DF === 21142xPM OM x ∴== 解得2x = ()121P ∴， ②当Rt Rt OPQ CFD △∽△时，2PQ DF OP CF === 2142xPM OM x ∴==解得8x = ()2816P ∴，综上，存在点()121P ，、()2816P ，使得OPQ △与CDF △相似.（图2）5、（09山东临沂）解：（1）该抛物线过点(02)C -，，∴可设该抛物线的解析式为22y ax bx =+-．将(40)A ，，(10)B ，代入，得1642020a b a b .+-=⎧⎨+-=⎩，解得1252a b .⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴此抛物线的解析式为215222y x x =-+-．（2）存在．如图，设P 点的横坐标为m ，则P 点的纵坐标为215222m m -+-，当14m <<时， 4AM m =-，215222PM m m =-+-．又90COA PMA ∠=∠=°， ∴①当21AM AO PM OC ==时， APM ACO △∽△，即21542222m m m ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭．解得1224m m ==，（舍去），(21)P ∴，．②当12AM OC PM OA ==时，APM CAO △∽△，即2152(4)222m m m -=-+-．解得14m =，25m =（均不合题意，舍去） ∴当14m <<时，(21)P ，．类似地可求出当4m >时，(52)P -，．当1m <时，(314)P --，．综上所述，符合条件的点P 为(21)，或(52)-，或(314)--，．（3）如图，设D 点的横坐标为(04)t t <<，则D 点的纵坐标为215222t t -+-．过D 作y 轴的平行线交AC 于E ．由题意可求得直线AC 的解析式为122y x =-．E ∴点的坐标为122t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 2215112222222DE t t t t t ⎛⎫∴=-+---=-+ ⎪⎝⎭．22211244(2)422DAC S t t t t t ⎛⎫∴=⨯-+⨯=-+=--+ ⎪⎝⎭△．∴当2t =时，DAC △面积最大．(21)D ∴，． 6、（09牡丹江）（1）解27120x x -+=得1243x x ==，，OA OB >， 43OA OB ∴==，在Rt AOB △中，由勾股定理有5AB = 4sin 5OA ABC AB ∴∠== （2）∵点E 在x 轴上，163AOES =△ 11623AO OE ∴⨯= 83OE ∴= 880033E E ⎛⎫⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，或，由已知可知D （6，4）设DE y kx b =+，当803E ⎛⎫⎪⎝⎭，时有46803k b k b =+⎧⎪⎨=+⎪⎩解得65165k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴61655DEy x =- 同理803E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，时，6161313DE y x =+ 在AOE △中，89043AOE OA OE ∠===°，，在AOD △中，9046OAD OA OD ∠===°，， OE OAOA OD= AOE DAO ∴△∽△ （3）满足条件的点有四个123475224244(38)(30)1472525F F F F ⎛⎫⎛⎫----- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，；，；，；，。

专题06 二次函数中三角形存在性问题(解析版)--2023 年中考数学压轴真题汇编

挑战2023年中考数学解答题压轴真题汇编专题06二次函数中三角形存在性问题一．相似三角形的存在性1．（2022•陕西）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y 轴的交点为C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴l的右侧，过点P分别作l，x轴的垂线，垂足分别为M，N，连接MN．若△PMN和△OBC相似，求点P 的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得：，解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；（2）如图：∵y＝x2﹣x﹣4＝（x﹣1）2﹣，∴抛物线y＝x2﹣x﹣4的对称轴是直线x＝1，在y＝x2﹣x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∴OB＝OC＝4，∴△BOC是等腰直角三角形，∵△PMN和△OBC相似，∴△PMN是等腰直角三角形，∵PM⊥直线x＝1，PN⊥x轴，∴∠MPN＝90°，PM＝PN，设P（m，m2﹣m﹣4），∴|m﹣1|＝|m2﹣m﹣4|，∴m﹣1＝m2﹣m﹣4或m﹣1＝﹣m2+m+4，解得m＝+2或m＝﹣+2或m＝或m＝﹣，∵点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴直线x＝1的右侧，∴P的坐标为（+2，+1）或（，1﹣）．2．（2022•绵阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C（0，3），顶点D的横坐标为1．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵顶点D的横坐标为1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A（﹣1，0），∴B（3，0），∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入抛物线的解析式，则﹣3a＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．（2）存在，P（0，﹣1），理由如下：∵∠APB+∠ACB＝180°，∴∠CAP+∠CBP＝180°，∴点A，C，B，P四点共圆，如图所示，由（1）知，OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠APC＝∠ABC＝45°，∴△AOP是等腰直角三角形，∴OP＝OA＝1，∴P（0，﹣1）．（3）存在，理由如下：由（1）知抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，∴D（1，4），由抛物线的对称性可知，E（2，3），∵A（﹣1，0），∴AD＝2，DE＝，AE＝3．∴AD2＝DE2+AE2，∴△ADE是直角三角形，且∠AED＝90°，DE：AE＝1：3．∵点M在直线l下方的抛物线上，∴设M（t，﹣t2+2t+3），则t＞2或t＜0．∴EF＝|t﹣2|，MF＝3﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t，若△MEF与△ADE相似，则EF：MF＝1：3或MF：EF＝1：3，∴|t﹣2|：（t2﹣2t）＝1：3或（t2﹣2t）：|t﹣2|＝1：3，解得t＝2（舍）或t＝3或﹣3或（舍）或﹣，∴M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．综上，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．3．（2022•恩施州）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+c与y 轴交于点P（0，4）．（1）直接写出抛物线的解析式．（2）如图，将抛物线y＝﹣x2+c向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．（3）直线BC与抛物线y＝﹣x2+c交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．（4）若将抛物线y＝﹣x2+c进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC 最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线y＝﹣x2+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+c与y轴交于点P（0，4），∴c＝4，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4；（2）△BCQ是直角三角形．理由如下：将抛物线y＝﹣x2+4向左平移1个单位长度，得新抛物线y＝﹣（x+1）2+4，∴平移后的抛物线顶点为Q（﹣1，4），令x＝0，得y＝﹣1+4＝3，∴C（0，3），令y＝0，得﹣（x+1）2+4＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，∴B（﹣3，0），A（1，0），如图1，连接BQ，CQ，PQ，∵P（0，4），Q（﹣1，4），∴PQ⊥y轴，PQ＝1，∵CP＝4﹣3＝1，∴PQ＝CP，∠CPQ＝90°，∴△CPQ是等腰直角三角形，∴∠PCQ＝45°，∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠BCO＝45°，∴∠BCQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴△BCQ是直角三角形．（3）在x轴上存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似．∵△ABC是锐角三角形，∠ABC＝45°，∴以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，必须∠NBT＝∠ABC＝45°，即点T在y轴的右侧，设T（x，0），且x＞0，则BT＝x+3，∵B（﹣3，0），A（1，0），C（0，3），∴∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝3，设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x+3，由，解得：，，∴M（﹣，），N（，），∴BN＝×＝，①当△NBT∽△CBA时，则＝，∴＝，解得：x＝，∴T（，0）；②当△NBT∽△ABC时，则＝，∴＝，解得：x＝，∴T（，0）；综上所述，点T的坐标T（，0）或（，0）．（4）抛物线y＝﹣x2+4的顶点为P（0，4），∵直线BC的解析式为y＝x+3，∴直线BC与y轴的夹角为45°，当抛物线沿着垂直直线BC的方向平移到只有1个公共点时，平移距离最小，此时向右和向下平移距离相等，设平移后的抛物线的顶点为P′（t，4﹣t），则平移后的抛物线为y＝﹣（x﹣t）2+4﹣t，由﹣（x﹣t）2+4﹣t＝x+3，整理得：x2+（1﹣2t）x+t2+t﹣1＝0，∵平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点，∴Δ＝（1﹣2t）2﹣4（t2+t﹣1）＝0，解得：t＝，∴平移后的抛物线的顶点为P′（，），平移的最短距离为．二．直角三角形的存在性4．（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C坐标为（2，0）．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象经过点B（0，﹣4），点C（2，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；（2）存在．理由：如图1中，设D（t，t2+t﹣4），连接OD．令y＝0，则x2+x﹣4＝0，解得x＝﹣4或2，∴A（﹣4，0），C（2，0），∵B（0，﹣4），∴OA＝OB＝4，＝S△AOD+S△OBD﹣S△AOB＝×4×（﹣﹣t+4）+×4×（﹣t）﹣×∵S△ABD4×4＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，∵﹣1＜0，∴t＝﹣2时，△ABD的面积最大，最大值为4，此时D（﹣2，﹣4）；（3）如图2中，设抛物线的对称轴交x轴于点N，过点B作BM⊥抛物线的对称轴于点M．则N（﹣1.0）．M（﹣1，﹣4）；∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，当∠P1AB＝90°时，△ANP1是等腰直角三角形，∴AN＝NP1＝3，∴P1（﹣1，3），当∠ABP2＝90°时，△BMP2是等腰直角三角形，可得P2（﹣1，﹣5），当∠APB＝90°时，设P（﹣1，n），设AB的中点为J，连接PJ，则J（﹣2，﹣2），∴PJ＝AB＝2，∴12+（n+2）2＝（2）2，解得n＝﹣2或﹣﹣2，∴P3（﹣1，﹣2），P4（﹣1，﹣﹣2），综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣5）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣﹣2）．5．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC 于点F，连接DF．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，∴，解得，∴y＝﹣x2﹣3x+4；（2）过点D作DG⊥AB交于G，交AC于点H，设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+4，设D（n，﹣n2﹣3n+4），H（n，n+4），∴DH＝﹣n2﹣4n，∵DH∥OC，∴＝＝，∵OC＝4，∴DH＝3，∴﹣n2﹣4n＝3，解得n＝﹣1或n＝﹣3，∴D（﹣1，6）或（﹣3，4）；（3）设F（t，t+4），当∠FDO＝90°时，过点D作MN⊥y轴交于点N，过点F作FM⊥MN交于点M，∵∠DOF＝45°，∴DF＝DO，∵∠MDF+∠NDO＝90°，∠MDF+∠MFD＝90°，∴∠NDO＝∠MFD，∴△MDF≌△NOD（AAS），∴DM＝ON，MF＝DN，∴DN+ON＝﹣t，DN＝ON+（﹣t﹣4），∴DN＝﹣t﹣2，ON＝2，∴D点纵坐标为2，∴﹣x2﹣3x+4＝2，解得x＝或x＝，∴D点坐标为（，2）或（，2）；当∠DFO＝90°时，过点F作KL⊥x轴交于L点，过点D作DK⊥KL交于点K，∵∠KFD+∠LFO＝90°，∠KFD+∠KDF＝90°，∴∠LFO＝∠KDF，∵DF＝FO，∴△KDF≌△LFO（AAS），∴KD＝FL，KF＝LO，∴KL＝t+4﹣t＝4，∴D点纵坐标为4，∴﹣x2﹣3x+4＝4，解得x＝0或x＝﹣3，∴D（0，4）或（﹣3，4）；综上所述：D点坐标为（，2）或（，2）或（0，4）或（﹣3，4）．三．等腰三角形的存在性6．（2022•百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O 为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：∠BOF＝∠BDF；（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．【解答】（1）解：设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入得：，解得，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）证明：∵正方形OBDC，∴∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，∵BF＝BF，∴△BOF≌△BDF，∴∠BOF＝∠BDF；（3）解：∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，∴令y＝3，则3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝2，∴E（2，3），①如图，当M在线段BD的延长线上时，∠BDF为锐角，∴∠FDM为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴DF＝DM，∴∠M＝∠DFM，∴∠BDF＝∠M+∠DFM＝2∠M，∵BM∥OC，∴∠M＝∠MOC，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BDF+∠MOC＝3∠M＝90°，∴∠M＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BM﹣BE＝3﹣2；②如图，当M在线段BD上时，∠DMF为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴MF＝DM，∴∠BDF＝∠MFD，∴∠BMO＝∠BDF+∠MFD＝2∠BDF，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BMO＝2∠BOM，∴∠BOM+∠BMO＝3∠BOM＝90°，∴∠BOM＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BE﹣BM＝2﹣，综上所述，ME的值为：3﹣2或2﹣．7．（2022•山西）综合与探究如图，二次函数y＝﹣x2+x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线BC交PD于点E．（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；（2）当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得CE＝FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝8或x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），设直线BC解析式为y＝kx+4，将B（8，0）代入得：8k+4＝0，解得k＝﹣，∴直线BC解析式为y＝﹣x+4；（2）过C作CG⊥PD于G，如图：设P（m，﹣m2+m+4），∴PD＝﹣m2+m+4，∵∠COD＝∠PDO＝∠CGD＝90°，∴四边形CODG是矩形，∴DG＝OC＝4，CG＝OD＝m，∴PG＝PD﹣DG＝﹣m2+m+4﹣4＝﹣m2+m，∵CP＝CE，CG⊥PD，∴GE＝PG＝﹣m2+m，∵∠GCE＝∠OBC，∠CGE＝90°＝∠BOC，∴△CGE∽△BOC，∴＝，即＝，解得m＝0（舍去）或m＝4，∴P（4，6）；（3）存在点P，使得CE＝FD，理由如下：过C作CH⊥PD于H，如图：设P（m，﹣m2+m+4），由A（﹣2，0），C（0，4）可得直线AC解析式为y＝2x+4，根据PF∥AC，设直线PF解析式为y＝2x+b，将P（m，﹣m2+m+4）代入得：﹣m2+m+4＝2m+b，∴b＝﹣m2﹣m+4，∴直线PF解析式为y＝2x﹣m2﹣m+4，令x＝0得y＝﹣m2﹣m+4，∴F（0，﹣m2﹣m+4），∴OF＝|﹣m2﹣m+4|，同（2）可得四边形CODH是矩形，∴CH＝OD，∵CE＝FD，∴Rt△CHE≌Rt△DOF（HL），∴∠HCE＝∠FDO，∵∠HCE＝∠CBO，∴∠FDO＝∠CBO，∴tan∠FDO＝tan∠CBO，∴＝，即＝，∴﹣m2﹣m+4＝m或﹣m2﹣m+4＝﹣m，解得m＝2﹣2或m＝﹣2﹣2或m＝4或m＝﹣4，∵P在第一象限，∴m＝2﹣2或m＝4．8．（2022•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接CB交对称轴于点Q，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A、B关于对称轴x＝1对称，∴AQ＝BQ，∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，∵C（0，﹣3），B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣3，∴Q（1，﹣2）；（3）当∠BPM＝90°时，PM＝PB，∴M点与A点重合，∴M（﹣1，0）；当∠PBM＝90°时，PB＝BM，如图1，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH 交于H，过点M作MG⊥HG交于G，∵∠PBM＝90°，∴∠PBH+∠MBG＝90°，∵∠PBH+∠BPH＝90°，∴∠MBG＝∠BPH，∵BP＝BM，∴△BPH≌△MBG（AAS），∴BH＝MG，PH＝BG＝2，设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，解得t＝2+或t＝2﹣，∴M（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2），∵M点在对称轴的左侧，∴M点坐标为（1﹣，﹣2）；如图2，当P点在M点下方时，同理可得M（3+t，2），∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3，解得t＝﹣2+（舍）或t＝﹣2﹣，∴M（1﹣，2）；综上所述：M点的坐标为（1﹣，﹣2）或（1﹣，2）或（﹣1，0）．9．（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）如图，过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），∴直线OE的解析式为：y＝x，∴G（m，m），∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，＝S△OPG+S△EPG∴S△OPE＝PG•AE＝×3×（﹣m2+5m﹣3）＝﹣（m2﹣5m+3）＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴当m＝时，△OPE面积最大，此时，P点坐标为（，﹣）；（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则E（3，3），∵直线OE的解析式为：y＝x，∴M（2，2），∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），∴2≤﹣1+h≤3，解得3≤h≤4；（4）设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥y轴，交y 轴于M，交l于N，∴∠OMP＝∠PNF＝90°，∵△OPF是等腰直角三角形，∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，∴∠OPM＝∠PFN，∴△OMP≌△PNF（AAS），∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m＝（舍）或，∴P的坐标为（，）；②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，解得：m1＝（舍）或m2＝，∴P的坐标为（，）；③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：m1＝或m2＝（舍）；P的坐标为（，）；④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图，同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，解得：m＝或（舍），P的坐标为：（，）；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．方法二：作直线DE：y＝x﹣2，E（1，﹣1）是D点（2，0）绕O点顺时针旋转45°并且OD缩小倍得到，易知直线DE即为对称轴上的点绕O点顺时针旋转45°，且到O点距离缩小倍的轨迹，联立直线DE和抛物线解析式得x2﹣4x+3＝x﹣2，解得x1＝，x2＝，同理可得x3＝或x4＝；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．10．（2023•澄城县一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B，与y轴交于点C（0，3），直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在对称轴l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）、点C（0，3）分别代入y＝﹣x2+bx+c，得．解得．故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）由（1）知，该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．则该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1．故设M（1，m）．∵A（﹣1，0）、点C（0，3），∴AC2＝10，AM2＝4+m2，CM2＝1+（m﹣3）2．①若AC＝AM时，10＝4+m2，解得m＝±．∴点M的坐标为（1，）或（1，﹣）；②若AC＝CM时，10＝1+（m﹣3）2，解得m＝0或m＝6，∴点M的坐标为（1，0）或（1，6）．当点M的坐标为（1，6）时，点A、C、M共线，∴点M的坐标为（1，0）；③当AM＝CM时，4+m2＝1+（m﹣3）2，解得m＝1，∴点M的坐标为（1，1）．综上所述，符合条件的点M的坐标为（1，）或（1，﹣）或（1，0）或（1，1）．11．（2023•碑林区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．【解答】解：（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，∴a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+2；（2）∵BM＝5﹣2t，∴M（2t﹣1，0），设P（2t﹣1，m），∵PC2＝（2t﹣1）2+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2，∵PB＝PC，∴（2t﹣1）2+（m﹣2）2＝（2t﹣5）2+m2，∴m＝4t﹣5，∴P（2t﹣1，4t﹣5），∵PC⊥PB，∴×＝﹣1，∴t＝1或t＝2，∴M（1，0）或M（3，0），∴D（1，3）或D（3，2）．12．（2023•东洲区模拟）抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴正半轴交于点C．（1）求此抛物线解析式；（2）如图①，连接BC，点P为抛物线第一象限上一点，设点P的横坐标为m，△PBC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求S最大时P点坐标；（3）如图②，连接AC，在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）点P作PF⊥x轴于点F，交BC于点E，设BC直线解析式为：y＝kx+b，∵B（3，0），C（0，3），∴，解得，∴y＝﹣x+3，由题意可知P（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），S＝S△PBE+S△PCE，S＝PE•OB＝（﹣m2+2m+3+m﹣3）×3，，∵，∴当时，S有最大值，此时P点坐标为；（3）存在，M 1（1，0），，，M4（1，1），①当AC＝AM时，如图，设对称轴l与AB交于点E，则，∵AM2＝AE2+EM2，∴，解得：，∴M点的坐标为或，②当AC＝MC时，则OC为AM的垂直平分线．因此M与E重合，因此，M点的坐标为（1，0），③当AM＝CM时，如图，设M点的坐标为（1，n），则AM2＝22+n2＝4+n2，CM2＝12+（3﹣n）2，∴4+n2＝12+（3﹣n）2，解得：n＝1，∴M点的坐标为（1，1），综上可知，潢足条件的M点共四个，其坐标为M1（1，0），，，M 4（1，1）．13．（2023•三亚一模）如图，抛物线y ＝ax 2+3x +c （a ≠0）与x 轴交于点A （﹣2，0）和点B ，与y 轴交于点C （0，8），顶点为D ，连接AC ，CD ，DB ，直线BC 与抛物线的对称轴l 交于点E ．（1）求抛物线的解析式和直线BC 的解析式；（2）求四边形ABDC 的面积；（3）P 是第一象限内抛物线上的动点，连接PB ，PC ，当S △PBC ＝S △ABC 时，求点P 的坐标；（4）在抛物线的对称轴l 上是否存在点M ，使得△BEM 为等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+3x +c （a ≠0）过点A （﹣2，0）和C （0，8），∴，解得，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+3x +8．令y ＝0，得．解得x 1＝﹣2，x 2＝8．∴点B 的坐标为（8，0）．设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ．把点B （8，0），C （0，8）分别代入y ＝kx +b ，得，解得，∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x +8．（2）如图1，设抛物线的对称轴l 与x 轴交于点H ．∵抛物线的解析式为，∴顶点D 的坐标为．∴S 四边形ABDC ＝S △AOC +S 梯形OCDH +S △BDH ＝＝＝70．（3）∵．∴．如图2，过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F．设点．∵点F在直线BC上，∴F（t，﹣t+8）．∴．∴．∴．解得t1＝2，t2＝6．∴点P的坐标为（2，12）或P（6，8）．（4）存在．∵△BEM为等腰三角形，∴BM＝EM或BE＝BM或BE＝EM，设M（3，m），∵B（8，0），E（3，5），∴BE＝＝5，EM＝|m﹣5|，BM＝＝，当BM＝EM时，＝|m﹣5|，∴m2+25＝（m﹣5）2，解得：m＝0，∴M（3，0）；当BE＝BM时，5＝，∴m2+25＝50，解得：m＝﹣5或m＝5（舍去），∴M（3，﹣5）；当BE＝EM时，5＝|m﹣5|，解得：m＝5+5或m＝5﹣5，∴M（3，5+5）或（3，5﹣5），综上所述，点M的坐标为（3，0）或（3，﹣5）或（3，5+5）或（3，5﹣5）．14．（2023•南海区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a ＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC于点N．求线段PM的最大值和此时点P的坐标；（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）中，得，解得，∴解析式为y＝x2﹣2x﹣3，故抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）当x＝0时，y＝3，∴C（0，﹣3），∵B（3，0），∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PN∥y轴，∴∠MNP＝45°，∵PM⊥BC，∴PM＝PN，则当PN最大时，PM也最大，设BC的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴BC解析式为y＝x﹣3，设P（x，x2﹣2x﹣3），N（x，x﹣3），∴PN＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，PN最大，则PM＝PN＝×＝，∴P（，），故PM最大值为，P点坐标为（，﹣）；（3）存在，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）．∵CEQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，∴设Q（x，x2﹣2x﹣3），①如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，∵∠CEQ＝90°，∴∠QEM+∠CEN＝90°，∵∠QEM+∠MQE＝90°，∴∠EQM＝∠CEN，∵∠CNE＝∠QME＝90°，EC＝EQ，∴△EMQ≌△CNE（AAS），∴CN＝EM＝x2﹣2x﹣3，MQ＝EN＝3，∴|x Q|+MQ＝CN，﹣x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝﹣2，x＝3（舍去），∴OE＝CM＝2+3＝5，E（﹣5，0），②如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴﹣x+x2﹣2x﹣3＝3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），③如图，点E和点O重合，点Q和点B重合，此时E（0，0），④如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），综上所述，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）．41。

二次函数中的存在性问题

二次函数中特殊四边形的存在性问题（三）——与正方形的结合一、教材分析：结合最近几年的中考真题，不难发现，第28题压轴题一定是二次函数的综合性题目，在这道题的第3问中，大致可以分为以下几类：1、存在性问题：（1）二次函数中的特殊三角形存在性问题（这里的三角形可以是等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形）；（2）二次函数中与已知三角形相似的三角形存在性问题；话（3）二次函数中与已知三角形面积产生联系的三角形存在性问题；（4）二次函数中特殊四边形存在性问题（这里的特殊四边形可以是平行四边形、矩形、菱形、正方形）。

2、最值问题。

3、动点问题（路径）。

由此可见，将存在性问题分为多个小专题来授课是非常必要的。

二、学情分析：在八年级学过一次函数后，我们已经在该背景下研究过特殊三角形的存在性问题，其中不乏等腰三角形等，也研究过在已知三角形的前提下，是否有点存在，构成全等三角形。

对处理存在性问题有了一定的感悟，往往是：假设存在——尝试画图，在该过程中分析是否具有多种可能性——选择合适的分类标准，进行讨论——结合题意推理计算。

在此背景下，经历了九年级的反比例函数、二次函数和相似三角形、特殊平行四边形的学习后，便可以将存在性问题放到反比例函数和二次函数中来研究，学生也有了一定的方向和研究策略，可以进一步体会存在性问题的本质。

三、教学目标：1、能根据题中给出的条件，选择恰当的表达式（一般式、顶点式、交点式），用待定系数法求出抛物线解析式2、在二次函数的综合性题目中，能结合图象，在题意中抽取出有用的信息，并能用数学语言表达（若没有图形则可自己尝试画图），找出符合题意的点，尝试解答3、在学习的过程中，经历独自思考、小组讨论的过程，增强自信心，树立健全人格四、教学重、难点：教学重点：在二次函数的综合性题目中，能结合图象，在题意中抽取出有用的信息，并能用数学语言表达（若没有图形则可自己尝试画图），尝试解答教学难点：归纳总结怎么处理二次函数中的存在性问题，存在性问题的本质是什么。

二次函数综合(动点)问题——相似三角形存在问题培优教案(横版)

考点/易错点2
相似三角形的性质： (1)相似三角形的对应角相等。 (2)相似三角形的对应边成比例。 (3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 (4)相似三角形的周长比等于相似比。 (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
考点/易错点 3 相似三角形模型探究与解题技巧： 1、课堂导入题解如图，在平面直角坐标系中有两点 A（4，0）、B（0，2），如果点 C 在 x 轴上（C 与 A 不重合），当点 C 的坐标为_________________时，使得由点 B、O、C 组成的三角形与△AOB 相似（至少找出两个满足条件的点的坐标）．
解：∵点 C 在 x 轴上，∴点 C 的纵坐标是 0，且当∠BOC=90°时，由点 B、O、C 组成的三角形与△AOB 相似，即∠BOC 应该与∠BOA=90°对应，
①当△AOB∽△COB，即 OC 与 OA 相对应时，则 OC=OA=4，C（-4，0）； ②当△AOB∽△BOC，即 OC 与 OB 对应，则 OC=1，C（-1，0）或者（1，0）．故答案可以是：（-1，0）；（1，0）．解析：分类讨论：①当△AOB∽△COB 时，求点 C 的坐标；②当△AOB∽△BOC 时，求点 C 的坐标；如果非直角三角形也要分类讨论，对应边不一样就得到不同的结果。
图象
开口对称轴顶点坐标最值
a＞0
a＜0
当 x＝
时，y 有最
当 x＝值是
是
时，y 有最值
增在对称轴左侧 y 随 x 的增大而
减在对称轴右侧 y 随 x 的增大而
性
y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而
（二）梯形的性质：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形；直角梯形的性质：有两个角是直角的梯形；等腰梯形：两底角相等，两顶角相等，两腰相等，对角线相等的梯形。

二次函数存在性问题(相似专题)

二次函数存在性问题——相似三角形例一、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．例二.如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C（1）求抛物线的函数解析式．（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．随堂练习1.如图，抛物线21y ax bx =++与x 轴交于A （-1，0）、B （1，0）两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）过点B 作BD ∥CA 与抛物线交于点D ，求四边形ACBD 的面积；（3）M 是x 轴下方抛物线上的一个动点，过M 作MN ⊥x 轴于点N ，是否存在点M ，使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A 、B 两点，过A 、B 两点的抛物线为y=﹣x2+bx+c．点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x 轴于点C，交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）当DE=4时，求四边形CAEB的面积．（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由．3.如图，抛物线y=ax2+b与x轴交于点A、B，且A点的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，1）．（1）求抛物线的解析式，并求出点B坐标；（2）过点B作BD∥CA交抛物线于点D，连接BC、CA、AD，求四边形ABCD的周长；（结果保留根号）（3）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作PE垂直于x轴，垂足为点E，使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD 相似？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C 和D（3，0）．（1）求直线BD和抛物线的解析式．（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD=6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．5. 如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=4，OB=2，抛物线过A、B、C三点，与x轴交于另一点D．一动点P以每秒1个单位长度的速度从B点出发沿BA向点A运动，运动到点A停止，同时一动点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC向点C运动，与点P同时停止．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴与AB交于点E，与x轴交于点F，当点P运动时间t为何值时，四边形POQE是等腰梯形？（3）当t为何值时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似？6. 如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．。

【中考数学几何模型】第二十五节：二次函数三角形相似存在性问题

中考数学几何模型第二十五节:二次函数三角形相似存在性问题448.二次函数三角形相似存在性问题(初三)x2+bx+c与x轴交于A,B两点,点A,B分别位于原点的左、右两侧,B0=3A0=3,过点B的直如图,抛物线y=3+36线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C,D,BC=3CD(1)求b,c的值;(2)求直线BD的函数解析式;(3)点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方,点Q在射线BA上.当△ABD与△BPQ相似时,请直接写出所有满足条件的点Q的坐标.449.二次函数线段最大值三角形相似存在性问题(初三),D 如图,抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A,B两点,且OA=20B,与y轴交于点C,连接BC,抛物线对称轴为直线x=12为第一象限内抛物线上一动点,过点D作DE⊥OA于点E,与AC交于点F,设点D的横坐标为m.(1)求抛物线的表达式;(2)当线段DF的长度最大时，求D点的坐标;(3)抛物线上是否存在点D,使得以点0,D,E为顶点的三角形与△BOC相似?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.450.二次函数铅垂定理面积最大值三角形形似存在性(初三)如图,已知抛物线y=ax2+bx+6经过两点A(―1,0),B(3,0),C是抛物线与y轴的交点.(1)求抛物线的解析式;(2)点P(m,n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动,设△PBC的面积为S,求S关于m的函数表达式(指出自变量m的取值范围)和S的最大值;(3)点M在抛物线上运动,点N在y轴上运动,是否存在点M、点N使得∠CMN=90∘,且△CMN与△OBC相似,如果存在,请求出点M和点N的坐标.451.二次函数三角形面积定值三角形相似存在性问题(初三)如图,抛物线y=ax2+bx+8(a≠0)与x轴交于点A(―2,0)和点B(8,0),与y轴交于点C,顶点为D,连接AC,BC,BC与抛物线的对称轴l交于点E.(1)求抛物线的表达式;S△ABC时,求点P的坐标;(2)点P是第一象限内抛物线上的动点,连接PB,PC,当S△PBC=35(3)点N是对称轴1右侧抛物线上的动点,在射线ED上是否存在点M,使得以点M,N,E为顶点的三角形与△OBC相似?若存在,求点M的坐标;若不存在,请说明理由.452.二次函数平行四边形存在性三角形相似存在性问题(初三)如图,二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点A(―1,0),B(4,0),与y轴交于点C,抛物线的顶点为D,其对称轴与线段BC交于点E,垂直于x轴的动直线1分别交抛物线和线段BC于点P和点F,动直线1在抛物线的对称轴的右侧(不含对称轴)沿x轴正方向移动到B点.(1)求出二次函数y=ax2+bx+4和BC所在直线的表达式;(2)在动直线1移动的过程中,试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标;(3)连接CP,CD,在动直线1移动的过程中,抛物线上是否存在点P,使得以点P,C,F为顶点的三角形与△DCE相似?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.453.二次函数三角形相似存在性问题(初三)已知抛物线y =ax 2+bx +3与x 轴分别交于A(―3,0),B(1,0)两点,与y 轴交于点C .(1)求抛物线的表达式及顶点D 的坐标;(2)点F 是线段AD 上一个动点.①如图1,设k =AFAD ,当k 为何值时,CF =12AD ?②如图2,以A,F,0为顶点的三角形是否与△ABC 相似?若相似，求出点F 的坐标；若不相似，请说明理由.454.二次函数三角形相似存在性问题(初三)如图1,直线y =―12x +b 与抛物线y =ax 2交于A,B 两点,与y 轴于点C ,其中点A 的坐标为(―4,8).(1)求a,b 的值;(2)将点A 绕点C 逆时针旋转90∘得到点D .①试说明点D 在抛物线上;②如图2,将直线AB 向下平移,交抛物线于E,F 两点(点E 在点F 的左侧),点G 在线段OC 上.若△GEF ∼△DBA (点G,E,F 分别与点D,B,A 对应),求点G 的坐标.455.二次函数三角形存在性问题面积倍分动点问题(初三)如图,已知抛物线y =ax 2+bx(a ≠0)过点A(3,―3)和点B(33,0).过点A 作直线AC//x 轴,交y 轴于点C .(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线上取一点P ,过点P 作直线AC 的垂线,垂足为D .连接OA ,使得以A,D,P 为顶点的三角形与△AOC 相似,求出对应点P 的坐标;(3)抛物线上是否存在点Q ,使得S △AOC =13S △ACQ ?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.答案448.【解】(1)∵BO=3AO=3,∴点B(3,0),点A(-1,0),∴抛物线解析式为:y =3+36(x +1)(x -3)=3+36x 2-3+33x -3+32,∴b =-3+33,c =-3+32;(2)如图1,过点D 作DE ⊥AB 于E,∴CO//DE,∴BCCD =BOOE ,∵BC =3CD,BO =3,∴3=3OE,∴OE =3,∴点D 横坐标为-3,∴点D 坐标为(-3,3+1),设直线BD 的函数解析式为:y =kx +m,把点B(3,0),D(-3,3+1)代入得:{3+1=-3k +m0=3k +m ,解得:{k =-33m =3,∴直线BD 的函数解析式为y =-33x +3;(3)∵点B(3,0),点A(-1,0),点D(-3,3+1),∴AB =4,AD =22,BD =23+2,对称轴为直线x =1,∵直线BD:y =-33x +3与y 轴交于点C,∴点C(0,3),∴OC =3,∵tan ∠CBO =COBO =33,∴∠CBO =30∘,如图1,过点A 作AF ⊥BD 于F,∴AF =12AB =2,BF =3AF =23,BD =2DE =23+2∴DF =BD -BF =23+2-23=2,∴DF =AF,∴∠ADB =45∘,设对称轴与x 轴的交点为N,即点N (1,0),BN =3-1=2,现在分两种情况讨论:第一种情况:若∠CBO =∠PBO =30∘,如图3:∴BN =3PN =2,BP =2PN,∴PN =233,BP =433,(1)当△BAD ∽△BPQ,∴BP BA=BQBD ,∴BQ =2+233,∴点Q1(1-233,0);(2)当△BAD ∽△BQP,∴BPBD=BQAB ,∴BQ =4-433,∴点Q2(-1+433,0);第二种情况:若∠PBO =∠ADB =45∘，如图3:∴BN =PN =2,BP =2BN =22,(3).当△DAB ∽△BPQ,∴BP AD=BQBD ,∴2222=BQ23+2,∴BQ =23+2,∴点Q3(1-23,0);(4).当△BAD ∽△PQB,∴BPBD=BQAD ,∴2223+2=BQ22,∴BQ ==23-2,∴点Q4(5-23,0);综上所述:满足条件的点Q 的坐标为(1-233,0)或(-1+433,0)或(1-23,0)或(5-23,0).449.【解】(1).设OB =t,则OA =2t,则点A 、B 的坐标分别为(2t,0)、(-t,0),则x =12=12(2t -t),解得:t =1,故点A 、B 的坐标分别为(2,0)、(-1,0),则抛物线的表达式为:y =a(x -2)(x +1)=ax 2+bx +2,解得:a =-1,b =1,故抛物线的表达式为:y =-x 2+x +2;(2).对于y =-x 2+x +2,令x =0,则y =2,故点C(0,2),由点A 、C 的坐标得,直线AC 的表达式为:y =-x +2,设点D 的横坐标为m,则点D (m,-m 2+m +2),则点F(m,-m +2),则DF =-m 2+m +2-(-m +2)=-m 2+2m,∵-1<0,故DF 有最大值,DF 最大时m =1,∴点D(1,2);(3)存在,理由如下:点D (m,-m 2+m +2)(m >0),则OE =m,DE =-m 2+m +2,以点O,D,E 为顶点的三角形与△BOC 相似,则DEOE =OBOC 或DEOE =OCOB ,即DOOE =12或DOOE =2,即-m 2+m +2m=12或-m 2+m +2m=2,解得:m =1或-2(舍去)或1+334或1-334(舍去),经检验m =1或1+334是方程的解,且符合题意,故m =1或1+334.450.【解】(1)将A(-1,0)、B(3,0)代入y =ax 2+bx +6,得:{a -b +6=09a +3b +6=0,解得:{a =-2b =4,∴抛物线的解析式为y =-2x 2+4x +6.(2)过点P 作PF ⊥x 轴,交BC 于点F,如图1所示.当x =0时,y =-2x 2+4x +6=6,∴点C 的坐标为(0,6).设直线BC 的解析式为y =kx +c,将B(3,0)、C(0,6)代入y =kx +c,得:{3k +c =0c =6,解得:{k =-2c =6,∴直线BC 的解析式为y =-2x +6.∵点P(m,n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动,∴点P 的坐标为(m,-2m 2+4m +6),则点F 的坐标为(m,-2m +6),∴PF =-2m 2+4m +6-(-2m +6)=-2m 2+6m,∴S =12PF ⋅OB =-3m 2+9m =-3(m -32)2+274,∴当m =32时,△PBC 面积取最大值,最大值为274.∵点P(m,n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动,∴0<m <3.综上所述,S 关于m 的函数表达式为:S =-3m 2+9m(0<m <3),S 的最大值为274.(3)存在点M 、点N 使得∠CMN =90∘,且△CMN 与△OBC 相似.第一种情况:如图2,∠CMN =90∘,当点M 位于点C 上方,过点M 作MD ⊥y 轴于点D,∵∠CDM =∠CMN =90∘,∠DCM =∠NCM,∴△MCD ∼△NCM,若△CMN 与△OBC 相似,则△MCD 与△OBC 相似,设M (a,-2a 2+4a +6)，C(0,6),∴DC =-2a 2+4a,DM =a,当DMCD =OBOC =36=12时,△COB ∽△CDM ∽△CMN,∴a-2a 2+4a =12,解得,a =1,∴M(1,8),此时ND =12DM =12,∴N (0,172),当CDDM =OBOC =12时,△COB ∼△MDC ∼△NMC,∴-2a 2+4a a=12,解得a =74,∴M (74,558),∴DN =2DM =72此时N (0,838).第二种情况:如图3,当点M 位于点C 的下方,过点M 作ME ⊥y 轴于点E,设M (a,-2a 2+4a +6),C(0,6),∴EC =2a 2-4a,EM =a,同理可得:2a 2-4aa =12或2a 2-4aa=2,△CMN 与△OBC 相似,解得a =94或a =3,∴M (94,398)或M(3,0),此时N 点坐标为(0,38)或(0,-32).综合以上得,存在M(1,8),N (0,172)或M (74,558),N (0,838)或M (94,398),N (0,38)或M(3,0),N (0,-32),使得∠CMN =90∘,且△CMN 与△OBC 相似.451.【解】(1)∵抛物线y =ax 2+bx +8(a ≠0)过点A (-2,0)和点B(8,0),∴{4a -2b +8=064a +8b +8=0,解得{a =-12b =3.∴拋物线解析式为:y =-12x 2+3x +8;(2)当x =0时,y =8,∴C(0,8),∴直线BC 解析式为:y =-x +8,∵S △ABC =12AB ×OC =12×10×8=40,∴S △PBC =35S △ABC =24,如图1,过点P 作PG ⊥x 轴,交x 轴于点G,交BC 于点F,设p (x,-12x 2+3x +8),∴F(x,-x +8),∴PF =-12x 2+4x,∵S △PBC =12×PF ×OB =24,∴12×(-12x 2+4x )×8=24,∴t 1=2,t 2=6,∴P 1(2,12),P 2(6,8);(3)存在,理由如下:∵C(0,8),B(8,0),∠COB =90∘,∴△OBC 为等腰直角三角形,易知拋物线的对称轴为x =3,∴点E 的横坐标为3,又∵点E 在直线BC 上,∴点E 的纵坐标为5,∴E(3,5),设M(3,m),N (n,-12n 2+3n +8),(1)如图2,当MN =EM,∠EMN =90∘,△NME ∽△COB,则{m -5=n -3-12n 2+3n +8=m ,解得{n =6m =8或{n =-2m =0(舍去),∴此时点M 的坐标为(3,8),(2)如图3,当ME =EN,∠MEN =90∘时,△MEN ∼△COB,则{m -5=n -3-12n 2+3n +8=5,解得:{m =5+15n =3+15或{m =5-15n =3-15(舍去),∴此时点M 的坐标为(3,5+15);(3)如图4,当MN =EN,∠MNE =90∘时,此时△MNE 与△COB 相似,此时的点M 与点E 关于(1)的结果(3,8)对称,设M(3,m),则m -8=8-5,解得m =11,∴M(3,11);此时点M 的坐标为(3,11);故在射线ED 上存在点M,使得以点M,N,E 为顶点的三角形与△OBC 相似,点M 的坐标为:(3,8)或(3,5+15)或(3,11).452.【解】(1)将点A(-1,0),B(4,0),代入y =ax 2+bx +4,得:{0=a -b +40=16a +4b +4,解得:{a =-1b =3,∴次函数的表达式为:y =-x 2+3x +4,当x =0时,y =4,∴C(0,4),设BC 所在直线的表达式为:y =mx +n,将C(0,4)、B(4,0)代入y =mx +n,得:{4=n o =4m +n ,解得:{m =-1n =4,∴BC所在直线的表达式为:y=-x+4;(2)∵DE⊥x轴,PF⊥x轴,∴DE//PF,只要DE=PF,四边形DEFP即为平行四边形,∵y=-x2+3x+4=-(x-32)2+254,∴点D的坐标为:(32,254),将x=32代入y=-x+4,即y=-32+4=52,∴点E的坐标为:(32,52),∴DE=254-52=154,设点P的横坐标为t,则P的坐标为:(t,-t2+3t+4),F的坐标为:(t,-t+4),∴PF=-t2+3t+4-(-t+4)=-t2+4t,由DE=PF得:-t2+4t=154,解得:t1=32(不合题意舍去),t2=52,当t=52时,-t2+3t+4=-(52)2+3×52+4=214,∴点P的坐标为(52,214);(3)存在,理由如下:如下图,连接CD,连接CP:由(2)得:PF//DE,∴∠CED=∠CFP,又∵∠PCF与∠DCE有共同的顶点C,且∠PCF在∠DCE的内部,∴∠PCF≠∠DCE,∴只有∠PCF=∠CDE时,△PCF∼△CDE,∴PFCE =CFDE,∵C(0,4),E(32,52),∴CE=322,由(2)得:DE=154,PF=-t2+4t,F的坐标为:(t,-t+4),∴CF=2t,∴-t2+4t322=2t154,∵t≠0,∴154(-t+4)=3,解得:t =165,当t =165时,-t 2+3t +4=-(165)2+3×165+4=8425,∴点P 的坐标为:(165,8425).453.【解】(1)∵抛物线y =ax 2+bx +3过点A(-3,0),B(1,0),∴{9a -3b +3=0a +b +3=0,解得:{a =-1b =-2,∴拋物线解析式为y =-x 2-2x +3;∵y =-x 2-2x +3=-(x +1)2+4∴顶点D 的坐标为(-1,4);(2)①∵在Rt △AOC 中,OA =3,OC =3,∴AC 2=OA 2+OC 2=18∵D(-1,4),C(0,3),A(-3,0),∴CD 2=12+12=2∴AD 2=22+42=20∴AC 2+CD 2=AD 2∴△ACD 为直角三角形,且∠ACD =90∘.求得直线AD 的解析式为y =2x +6,设F(m,2m +6),∵CF =12AD,∴(2m +6-3)2+m 2=(5)2,解得m =-2或m =-25(舍去),∴F(-2,2),∴F 为AD 的中点,∴AFAD=12,∴k =12.②在Rt △ACD 中,tan ∠CAD =DC AC =232=13,在Rt △OBC 中,tan ∠OCB =OBOC =13,∴∠CAD =∠OCB,∵OA =OC∴∠OAC =∠OCA =45∘,∴∠FAO =∠ACB,若以A,F,O 为顶点的三角形与△ABC 相似,则可分两种情况考虑:第一种情况:当∠AOF =∠ABC 时,△AOF ∼△CBA,∴OF//BC,设直线BC 的解析式为y =kx +b,∴{k +b =0b =3,解得:{k =-3b =3,∴直线BC 的解析式为y =-3x +3,∴直线OF 的解析式为y =-3x,设直线AD 的解析式为y =mx +n,∴{-k +b =4-3k +b =0,解得:{k =2b =6,∴直线AD 的解析式为y =2x +6,联立方程组,并解得:x =-65:,y =185∴F (-65,185).第二种情况:当∠AOF =∠CAB =45∘时,△AOF ∼△CAB,∵∠CAB =45∘，∴OF ⊥AC,即OF 是∠AOC 的角平分线,∴直线OF 的解析式为y =-x,∴联立得:{y =-xy =2x +6,解得:{x =-2y =2,∴F(-2,2).综合以上可得F 点的坐标为F (-65,185)或(-2,2).454.【解】(1)由题意,得{-12×(-4)+b =8(-4)2×a =8,解得{a =12b =6.(2)①如图,分别过点A,D 作AM ⊥y 轴于点M,DN ⊥y 轴于点N.由(1)可知,直线AB 的解析式为y =-12x +6,∴C(0,6),∵∠AMC =∠DNC =∠ACD =90∘,∴∠ACM +∠DCN =90∘,∠DCN +∠CDN =90∘,∴∠ACM =∠CDN∵CA =CD,∴△AMC ≅△CND(SAS)∴AN =AM =4,DN =CM =2,∴D(-2,2),当x =-2时,y =12×22=2,∴点D 在抛物线y =12x 2上.②由{y =-12x +6y =12x 2,解得{x =-4y =8或{x =3y =92,∴点B 的坐标为(3,92),∴直线AD 的解析式为y =-3x -4,直线BD 的解析式为y =12x +3,设E (t,12t 2),∴直线EF 的解析式为y =-12x +12t 2+12t,由{y =-12x +12t 2+12t y =12x 2,解得{y =t y =12t 2或{x =-t -1y =12(t +1)2,∴F (-t -1,12(t +1)2),∵△GEF ∼△DBA,EF//AB,由题意可知,EG//DB,GF//AD,∴直线EG 的解析式为y =12x +12t 2-12t,直线FG 的解析式为y =-3x +12(t +1)2-3(t +1),联立,解得:{x =-37t -57y =12t 2-57t -514,∴G (-37t -57,12t 2-57t -514),令-37t -57=0,解得t =-53,∴G (0,209)455.【解】(1)把A(3,-3)和点B(33,0)代入拋物线得:{3a +3b =-327a +33b =0,解得:a =12,b =-332,则抛物线解析式为y =12x 2-332x;(2)存在,分两种情况讨论:第一种情况:当P 在直线AD 上方时,设P 坐标为(x,12x 2-332x ),则有AD =x -3,PD =12x 2-332x +3,①当△OCA ∽△ADP 时,OCAD =CADP ,即3x -3=312x 2-332x +3,整理得:3x 2-93x +18=23x -6,即3x 2-113x +24=0,解得:x =833或x =3(舍去)，此时P(833,-43);②.当△OCA ∽△PDA 时,OCPD =CAAD ,即312x 2-332x +3=3x-3,整理得:3x 2-9x +63=6x -63,即x 2-53x +12=0,解得:x =43或x =3(舍去),此时P(43,6);当点P(0,0)时,也满足△OCA ∽△PDA;第二种情况,当P 在直线AD 下方时,同理可得:P 的坐标为(433,-103),综上所述,P 的坐标为(833,-43)或(43,6)或(433,-103)或(0,0)；(3)在Rt △AOC 中,OC =3,AC =3,根据勾股定理得:OA =23,∵12OC ⋅AC =12OA ⋅h,∴h =32,∵S △AOC =13S △AOQ =332,∴△AOQ 边OA 上的高为∴S =12×PM ×OA =12(-x 2-3x )×392,过O 作OM ⊥OA,截取OM =92,过M 作MN//=-32(x +32)2+278.当x =-32时,S 最大=278,OA,交y 轴于点N,如下图所示:在Rt △OMN 中,ON =2OM =9,即N(0,9),过M 作MH ⊥x 轴,在Rt △OMH 中,MH =12OM =94,OH =32OM =934,即M (934,94),设直线MN 解析式为y =kx +9,把M(934,94)代入得:94=934k +9,即k =-3,即y =-3x +9,联立得:{y =-3x +9y =12x 2-332x,解得:{x =33y =0或{x =-23y =15,即Q(33,0)(此时与B 点重合)或(-23,15),则拋物线上存在点Q,使得S △AOC =13S △AOQ ,此时点Q 的坐标为(33,0)或(-23,15).。

中考二次函数与直角三角形有关的问题知识解读

二次函数与直角三角形有关的问题知识解读【专题说明】二次函数之直角三角形存在性问题，主要指的是在平面直角坐标系下，已知一条边（或两个顶点）的直角三角形存在，求第三个顶点的坐标的题型.主要考察学生对转化思想、方程思想、几何问题代数化的数形结合思想及分类讨论思想的灵活运用。

【解题思路】直角三角形的存在性问题1.找点：在已知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么以两定点为直角顶点，要么以动点为直角顶点.以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直;以动点为直角顶点时，以已知线段为直径构造圆找点2.方法：（1）以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1*k2=-1（2）以已知线段为斜边时，利用K型图，构造双垂直模型，最后利用相似求解，或者三条边分别表示之后，利用勾股定理求解下面主要介绍2种常用方法：【方法1 几何法】“两线一圆”（1）若∠A 为直角，过点A 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C；（2）若∠B 为直角，过点B 作AB 的垂线，与x 轴的交点即为所求点C；（3）若∠C 为直角，以AB 为直径作圆，与x 轴的交点即为所求点C．（直径所对的圆周角为直角）如何求得点坐标？以C2为例：构造三垂直．），坐标为（故代入得：坐标得、由，易证0213232222C C C BN AM B A N MB BN AM BN AMB ===∆≈∆()），坐标为（，，坐标为故或故又即代入得：设，，坐标得、由求法相同，如下：易证、040231a ,4a ,3ab ,3ab 1N a,31,4333333343C C C C C C C C C C b b M BN AM B A NBM N AMNB AM ==+=======∆≈∆【方法2 代数法】点-线-方程23m 20352235110,m 135-m 1-m 35-m 11-m 22222122111=+=+=+=+==，解得：）代入得方程（，，，）表示线段：（）；，（）、，（），又坐标为（）表示点：设（：不妨来求下）（）（）（）（BC C C C A AB B A【典例分析】【方法1 勾股定理】【典例1】（2021秋•建华区期末）抛物线y＝x2+bx+c经过A、B（1，0）、C（0，﹣3）三点．点D为抛物线的顶点，连接AD、AC、BC、DC．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴上是否存在一点E，使△ADE为直角三角形？若存在，请你直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过B（1，0）、C（0，﹣3），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3．（4）在y轴上存在点E，使△ADE为直角三角形，理由如下：∵抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴D（﹣1，﹣4），设E点坐标为（0，m），∴AE2＝m2+9，DE2＝m2+8m+17，AD2＝20，当∠EAD＝90°时，有AE2+AD2＝DE2，∴m2+9+20＝m2+8m+17，解得m＝，∴此时点E的坐标为（0，）；当∠ADE＝90°时，DE2+AD2＝AE2，m2+8m+17+20＝m2+9，解得m＝﹣，∴此时点E的坐标为（0，﹣）；当∠AED＝90°时，AE2+DE2＝AD2，m2+9+m2+8m+17＝20，解得m＝﹣1或m＝﹣3，∴此时点E的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣3）．【变式1-1】（2022•灞桥区校级模拟）如图，抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；（2）连接BC，在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使△BCE是直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），将点C（0，3）代入y＝a（x﹣1）（x﹣3），∴3a＝3，∴a＝1，∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点为（2，﹣1）；（2）存在一点E，使△BCE是直角三角形，理由如下：∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，设E（2，t），∵△BCE是直角三角形，∴BE⊥CE，∵B（3，0），C（0，3），∴BC＝3，BE＝，CE＝，①当BC为斜边时，∴18＝（）2+（）2，解得t＝，∴E点坐标为（2，）或（2，）；②当BE为斜边时，∴18+（）2＝（）2，解得t＝5，∴E点坐标为（2，5）；③当CE为斜边时，∴18+（）2＝（）2，解得t＝﹣1，∴E点坐标为（2，﹣1）；综上所述：E点坐标为（2，）或（2，）或（2，5）或（2，﹣1）【变式1-2】（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C坐标为（2，0）．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△P AB为直角三角形，请求出点P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象经过点B（0，﹣4），点C（2，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；（2）如图2中，设抛物线的对称轴交x轴于点N，过点B作BM⊥抛物线的对称轴于点M．则N（﹣1.0）．M（﹣1，﹣4）；∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，当∠P1AB＝90°时，△ANP1是等腰直角三角形，∴AN＝NP1＝3，∴P1（﹣1，3），当∠ABP2＝90°时，△BMP2是等腰直角三角形，可得P2（﹣1，﹣5），当∠APB＝90°时，设P（﹣1，n），设AB的中点为J，连接PJ，则J（﹣2，﹣2），∴PJ＝AB＝2，∴12+（n+2）2＝（2）2，解得n＝﹣2或﹣﹣2，∴P3（﹣1，﹣2），P4（﹣1，﹣﹣2），综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣5）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣﹣2）．【方法2 构造“K”字型利用相似作答】【典例2】（2022•碑林区校级四模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx+c 交x轴于点A（﹣5，0），B（﹣1，0），交y轴于点C（0，5）．（1）求抛物线C1的表达式和顶点D的坐标．（2）将抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2，点E为抛物线C2上一点若△DOE是以DO为直角边的直角三角形，求点E的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣5，0），B（﹣1，0），C（0，5）代入y＝ax2+bx+c，∴，解得，∴y＝x2+6x+5，∵y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4，∴顶点D（﹣3，﹣4）；（2）设抛物线C2上任意一点（x，y），则（x，y）关于y轴对称的点为（﹣x，y），∵点（﹣x，y）在抛物线C1上，∴抛物线记作C2的解析式为y＝x2﹣6x+5，设E（t，t2﹣6t+5），过点D作DG⊥x轴交于点G，过点E作EH⊥x轴交于点H，∵∠DOE＝90°，∴∠GOD+∠HOE＝90°，∵∠GOD+∠GDO＝90°，∴∠HOE＝∠GDO，∴△GDO∽△HOE，∴＝，∵DG＝4，GO＝3，HE＝﹣t2+6t﹣5，OH＝t，∴＝，∴t＝4或t＝，∴E（4，﹣3）或E（，﹣）．【变式2-1】（2022•济南）抛物线y＝ax2+x﹣6与x轴交于A（t，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝kx﹣6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的表达式和t，k的值；（2）如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；【解答】解：（1）将B（8，0）代入y＝ax2+x﹣6，∴64a+22﹣6＝0，∴a＝﹣，∴y＝﹣x2+x﹣6，当y＝0时，﹣t2+t﹣6＝0，解得t＝3或t＝8（舍），∴t＝3，∵B（8，0）在直线y＝kx﹣6上，∴8k﹣6＝0，解得k＝，∴y＝x﹣6；（2）作PM⊥x轴交于M，∵P点横坐标为m，∴P（m，﹣m2+m﹣6），∴PM＝m2﹣m+6，AM＝m﹣3，在Rt△COA和Rt△AMP中，∵∠OAC+∠P AM＝90°，∠APM+∠P AM＝90°，∴∠OAC＝∠APM，∴△COA∽△AMP，∴＝，即OA•MA＝CO•PM，3（m﹣3）＝6（m2﹣m+6），解得m＝3（舍）或m＝10，∴P（10，﹣）；【变式2-2】（2022•滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．（1）求线段AC的长；（2）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．【解答】解：（1）针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3）；令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝3或x＝﹣1，∵点A在点B的左侧，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AC＝＝；（2）由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，设M（m，m2﹣2m﹣3），∵△BCM为直角三角形，∴①当∠BCM＝90°时，如图1，过点M作MH⊥y轴于H，则HM＝m，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠HCM＝90°﹣∠OCB＝45°，∴∠HMC＝45°＝∠HCM，∴CH＝MH，∵CH＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m，∴﹣m2+2m＝m，∴m＝0（不符合题意，舍去）或m＝1，∴M（1，﹣4）；②当∠CBM＝90°时，过点M作M'H'⊥x轴，同①的方法得，M'（﹣2，5）；③当∠BMC＝90°时，如图2，Ⅰ、当点M在第四象限时，过点M作MD⊥y轴于D，过点B作BE⊥DM，交DM的延长线于E，∴∠CDM＝∠E＝90°，∴∠DCM+∠DMC＝90°，∵∠DMC+∠EMB＝90°，∴∠DCM＝∠EMB，∴△CDM∽△MEB，∴，∵M（m，m2﹣2m﹣3），B（3，0），C（0，﹣3），∴DM＝m，CD＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m，ME＝3﹣m，BE＝﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m+3，∴，∴m＝0（舍去）或m＝3（点B的横坐标，不符合题意，舍去）或m＝（不符合题意，舍去）或m＝，∴M（，﹣），Ⅱ、当点M在第三象限时，M（，﹣），即满足条件的M的坐标为（1，﹣4）或（﹣2，5）或（，﹣），或（，﹣）．。

二次函数中的存在性问题

二次函数中的存在性问题一、二次函数中相似三角形的存在性问题1.如图，把抛物线2y x =向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2()y x h k =-+. 所得抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为D. （1）写出h k 、的值；（2）判断△ACD 的形状，并说明理由；（3）在线段AC 上是否存在点M ，使△AOM ∽△ABC ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.1、解：（1）∵由平移的性质知，2()y x h k =-+的顶点坐标为Ｄ（－１，－４），∴14h k =-=-，。

（2）由（1）得()2=14y x +-.当=0y 时，()2140x +-=．解之，得1231x x =-=，。

∴A(30)B 10- ，，(，). 又当0x =时，()()22=140143y x +-=+-=-，∴C 点坐标为（0，－3）。

又抛物线顶点坐标D （－1，－4），作抛物线的对称轴1x =-交x 轴于点E ，DF ⊥ y 轴于点F 。

易知,在Rt △AED 中，AD 2=22+42=20，在Rt △AOC 中，AC 2=32+32=18，在Rt △CFD 中，CD 2=12+12=2， ∴AC 2＋ CD 2＝AD 2。

∴△ACD 是直角三角形。

（3）存在．作OM ∥BC 交AC 于M ，Ｍ点即为所求点。

由（2）知，△AOC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝450，AC = 由△AOM ∽ △ABC ，得AO AMAB AC=。

即3AM 4== 过M 点作MG ⊥AB 于点G ，则94==， OG=AO －AG=3－9344=。

又点M 在第三象限，所以M （－34，－94）。

2.如图，抛物线经过A （﹣2，0），B （﹣3，3）及原点O ，顶点为C ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，A 、O 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标；（3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点P 作PM ⊥x 轴于M ，是否存在点P ，使得以P 、M 、A 为顶点的三角形△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 2、解：（1）设抛物线的解析式为()20y ax bx c a =++≠，∵抛物线过A （﹣2，0），B （﹣3，3），O （0，0）可得 42=093=3=0a b c a b c c -+⎧⎪-+⎨⎪⎩，解得 =1=2=0a b c ⎧⎪⎨⎪⎩。

中考数学二次函数存在性问题及参考答案

中考数学二次函数存在性问题及参考答案中考数学二次函数存在性问题及参考答案一、二次函数中相似三角形的存在性问题1.如图，把抛物线 $y=x^2$ 向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线 $y=(x-h)^2+k$。

所得抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D。

1）写出h、k的值；2）判断△ACD的形状，并说明理由；3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。

2.如图，已知抛物线经过A（$-2,0$），B（$-3,3$）及原点O，顶点为C。

1）求抛物线的解析式；2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x 轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

二、二次函数中面积的存在性问题3.如图，抛物线 $y=ax^2+bx$ （$a>0$）与双曲线$y=\frac{k}{x}$ 相交于点A，B。

已知点B的坐标为（$-2,-2$），点A在第一象限内，且 $\tan\angle AOX=4$。

过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C。

1）求双曲线和抛物线的解析式；2）计算△ABC的面积；3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积。

若存在，请写出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

4.如图，抛物线 $y=ax^2+c$ （$a>0$）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（$-2,0$），B（$-1,-3$）。

1）求抛物线的解析式；2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使$\triangle PAD=4\triangle ABM$ 成立，求点P的坐标。

二次函数解析几何--存在性问题

二次函数解析几何专题——存在性问题存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。

这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。

若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。

由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验。

一、方法总结解存在性问题的一般步骤：（1）假设点存在；（2）将点的坐标设为参数；（3）根据已知条件建立关于参数的方程或函数。

二、常用公式（1）两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB|=221221)()(y y x x -+-（2）中点坐标公式：1212,22x x y y x y ++==（3）斜率公式：①；②（为直线与x 轴正方向的夹角）2121y y k x x -=-tan k θ=θ（4）①对于两条不重合的直线l 1、l 2，其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2②如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.题型一面积问题例1．如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (1，0)，B (－3，0)两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值；若不存在，请说明理由．变式练习：1.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ．（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由．O B A CyxA xy BO能力提升：1.（2013菏泽）如图1，△运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形2．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．3.如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（-3，0）、B（-1，0），与y轴相交于点C（0，3），点P是该图象上的动点；一次函数y=kx-4k（k≠0）的图象过点P交x轴于点Q．（1）求该二次函数的解析式；（2）当点P的坐标为（-4，m）时，求证：∠OPC=∠AQC；（3）点M，N分别在线段AQ、CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动，同时，点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动，当点M，N中有一点到达Q点时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒．连接AN，当△AMN的面积最大时，①求t的值；②直线PQ能否垂直平分线段MN？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明你的理由．yD BMA CO xE 图1的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点与△POC的坐标；若不存在，请说明理由；c的图象的顶点C的坐标为（0，-2），交m（m＞1）与x轴交于D。

二次函数背景下的三角形相似(全等) (解析版)

备战2020年中考数学压轴题之二次函数专题07 二次函数背景下的三角形相似（全等）【方法综述】三角形全等是三角形相似的特殊情况。

三角形的全等和相似是综合题中的常见要素，解答时注意应用全等三角形和相似的判定方法。

另外，注意题目中“≅”与全等表述、“~”和相似表述的区别。

全等和相似的符号，标志着三角形全等（相似）的对应点的一一对应关系。

解答时，对于确定的对应边角可以直接利用于解题。

而全等、相似的语言表述，标志着对应点之间的组合关系，解答时，要进行对应边的分类讨论。

【典例示范】类型一确定的全等三角形条件的判定应用例1：如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D 的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)．(1)求抛物线的解析式，并分别求出点B和点E的坐标；(2)试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE.若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) y＝12x2－3x－8；（2）点F的坐标为(3＋17，－4)或(3－17，－4)．【思路引导】（1）根据待定系数法求出抛物线解析式即可求出点B坐标，求出直线OD解析式即可解决点E 坐标．（2）抛物线上存在点F使得△FOE≌△FCE，此时点F纵坐标为-4，令y=-4即可解决问题．【解析】（1）∵抛物线y=ax2+bx-8经过点A（-2，0），D（6，-8），∴4280 {36688a ba b--+--＝＝解得1 {23 ab＝＝∴抛物线的函数表达式为y＝12x2−3x−8；∵y＝12x2−3x−8＝12(x−3)2−252，∴抛物线的对称轴为直线x=3．又抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（-2，0）．∴点B的坐标为（8，0），设直线L的函数表达式为y=kx．∵点D（6，-8）在直线L上，∴6k=-8，解得k=-43，∴直线L的函数表达式为y=-43 x，∵点E为直线L和抛物线对称轴的交点，∴点E的横坐标为3，纵坐标为-43×3=-4，∴点E的坐标为（3，-4）；（2）抛物线上存在点F，使△FOE≌△FCE．∵OE=CE=5，∴FO=FC，∴点F在OC的垂直平分线上，此时点F的纵坐标为-4，∴12x2-3x-8=-4，解得，∴点F的坐标为（3-4）或（-4）．【方法总结】本题考查二次函数综合题、一次函数的性质、待定系数法，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，不能漏解，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题针对训练1．综合与探究：已知二次函数y＝﹣12x2+32x+2的图象与x轴交于A，B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A ，B ，C 的坐标；（2）求证：△ABC 为直角三角形；（3）如图，动点E ，F 同时从点A 出发，其中点E 以每秒2个单位长度的速度沿AB 边向终点B 运动，点F AC 方向运动．当点F 停止运动时，点E 随之停止运动．设运动时间为t 秒，连结EF ，将△AEF 沿EF 翻折，使点A 落在点D 处，得到△DEF ．当点F 在AC 上时，是否存在某一时刻t ，使得△DCO ≌△BCO ？（点D 不与点B 重合）若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）点A 的坐标为（4，0），点B 的坐标为（﹣1，0），点C 的坐标为（0，2）；（2）证明见解析；（3）t ＝34. 【解析】（1）解：当y ＝0时，﹣21322x +x +2＝0，解得：x 1＝1，x 2＝4，∴点A 的坐标为（4，0），点B 的坐标为（﹣1，0），当x ＝0时，y ＝2，∴点C 的坐标为（0，2）；（2）证明：∵A （4，0），B （﹣1，0），C （0，2），∴OA ＝4，OB ＝1，OC ＝2．∴AB ＝5，AC ===BC =，∴AC 2+BC 2＝25＝AB 2，∴△ABC 为直角三角形；（3）解：由（2）可知△ABC 为直角三角形．且∠ACB ＝90°，∵AE ＝2t ，AF ，∴AF AB AE AC ==，又∵∠EAF ＝∠CAB ，∴△AEF ∽△ACB ，∴∠AEF ＝∠ACB ＝90°，∴△AEF 沿EF 翻折后，点A 落在x 轴上点 D 处，由翻折知，DE ＝AE ，∴AD ＝2AE ＝4t ，当△DCO ≌△BCO 时，BO ＝OD ，∵OD ＝4﹣4t ，BO ＝1，∴4﹣4t ＝1，t ＝34，即：当t ＝34秒时，△DCO ≌△BCO ．2．如图，已知抛物线y =√32x 2+bx +6√3与x 轴交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为(2,0)，抛物线的顶点为P ．(1)求b 的值，并求出点P 、B 的坐标；(2)在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ，使△AMP ≌△AMB ？如果存在，请直接写出点M 的坐标；如果不存在，试说明理由．【答案】(1)(6,0)(2)存在，(163,−10√39) 【解析】(1)∵抛物线y =√32x 2+bx +6√3经过A(2,0)， ∴√32×22+2b +6√3=0，解得：b =−4√3，∴抛物线的表达式为y =√32x 2−4√3x +6√3． ∵y =√32x 2+bx +6√3=√32(x −4)2−2√3， ∴点P 的坐标为(4,−2√3).令y =0得：√32x 2+bx +6√3=0，解得x =2或x =6，∴B 的坐标为(6,0)．(2)存在，点M(163,−10√39). 如图：过点P 作PC ⊥x 轴，垂足为C ，连接AP 、BP ，作∠PAB 的平分线，交PB 与点N ，交抛物线与点M ，连接PM 、BM ．∵A(2,0)，B(6,0)，P(4,−2√3)，∴AB =4，AP =√(4−2)2+(−2√3)2=4，BP =√(4−6)2+(−2√3)2=4，∴△ABP 是等边三角形，∵∠APB =∠ABP ，AP =AB ．∴AM ⊥PB ，PN =BN ，∠PAM =∠BAM ．在△AMP 和△AMB 中，{AP =AB∠PAM =∠BAM AM =AM，∴△AMP ≌△AMB ．∴存在这样的点M ，使得△AMP ≌△AMB ．∵B(6,0)，P(4,−2√3)，点N 是PB 的中点，∴N(5,−√3).设直线AM 的解析式为y =kx +b ，将点A 和点N 的坐标代入得：{2k +b =05k +b =−√3 ，解得：{k =−√33b =2√33， ∴直线AM 的解析式为y =−√33x +2√33．将y =−√33x +2√33代入抛物线的解析式得：√32x 2−4√3x +6√3=−√33x +2√33，解得：x =163或x =2(舍去)，当x =163时，y =−10√39， ∴点M 的坐标为(163,−10√39). 类型二全等三角形的存在性探究例2．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的交点分别为A （﹣6，0）和点B （4，0），与y 轴的交点为C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是线段OA 上一动点（不与点A 重合），过P 作平行于y 轴的直线与AC 交于点Q ，点D 、M 在线段AB 上，点N 在线段AC 上．①是否同时存在点D 和点P ，使得△APQ 和△CDO 全等，若存在，求点D 的坐标，若不存在，请说明理由； ②若∠DCB=∠CDB ，CD 是MN 的垂直平分线，求点M 的坐标．【答案】（1）y=﹣18x 2﹣14x+3；（2）①点D 坐标为（﹣32，0）；②点M （32，0）. 【分析】（1）应用待定系数法问题可解；（2）①通过分类讨论研究△APQ 和△CDO 全等②由已知求点D 坐标，证明DN ∥BC ，从而得到DN 为中线，问题可解【解析】（1）将点（-6，0），C （0，3），B （4，0）代入y=ax 2+bx+c ，得{36a −6b +c ＝016a +4b +c ＝0c ＝0，解得：{a ＝−18b ＝−14c ＝3 ， ∴抛物线解析式为：y=-18x 2-14x+3；（2）①存在点D，使得△APQ和△CDO全等，当D在线段OA上，∠QAP=∠DCO，AP=OC=3时，△APQ和△CDO全等，∴tan∠QAP=tan∠DCO，OC OA ＝ODOC，∴36＝OD3，∴OD=32，∴点D坐标为（-32，0）.由对称性，当点D坐标为（32，0）时，由点B坐标为（4，0），此时点D（32，0）在线段OB上满足条件．②∵OC=3，OB=4，∴BC=5，∵∠DCB=∠CDB，∴BD=BC=5，∴OD=BD-OB=1，则点D坐标为（-1，0）且AD=BD=5，连DN，CM，则DN=DM，∠NDC=∠MDC，∴∠NDC=∠DCB，∴DN∥BC，∴ANNC ＝ADDB＝1，则点N为AC中点．∴DN 时△ABC 的中位线，∵DN=DM=12BC=52， ∴OM=DM -OD=32∴点M （32，0）【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数待定系数法、三角形全等的判定、锐角三角形函数的相关知识．解答时，注意数形结合针对训练1．如图，在平面直角坐标系中，以点M （2，0）为圆心的⊙M 与y 轴相切于原点O ，过点B （﹣2，0）作⊙M 的切线，切点为C ，抛物线y =−√33x 2+bx +c 经过点B 和点M ．（1）求这条抛物线解析式；（2）求点C 的坐标，并判断点C 是否在（1）中抛物线上；（3）动点P 从原点O 出发，沿y 轴负半轴以每秒1个单位长的速度向下运动，当运动t 秒时到达点Q 处．此时△BOQ 与△MCB 全等，求t 的值．【答案】（1）y ＝﹣√33x 2+4√33；（2）点C 在（1）的抛物线上；（3）t ＝2√3．【解析】（1）将点M （2，0）、B （﹣2，0）代入 y =−√33x 2+bx +c 中，得： {−4√33+2b +c =0−4√33−2b +c =0解得：{b =0c =4√33∴抛物线的解析式：y =−√33x 2+4√33．（2）连接MC ，则MC ⊥BC ；过点C 作CD ⊥x 轴于D ，如图，在Rt △BCM 中，CD ⊥BM ，CM ＝2，BM ＝4，则：DM =CM 2BM =224=1，CD =√CM 2−DM 2=√22−1=√3，OD ＝OM ﹣DM ＝1，∴C （1，√3）．当x ＝1时，y =−√33x 2+4√33=√3，所以点C 在（1）的抛物线上．（3）△BCM 和△BOQ 中，OB ＝CM ＝2，∠BOQ ＝∠BCM ＝90°，若两三角形全等，则：OQ ＝BC =√BM 2−CM 2=√42−22=2√3，∴当t ＝2√3时，△MCB 和△BOQ 全等．2．（广西田阳县实验中学2019届九年级中考一）如图所示，抛物线y =−(x −√3m)2（m ＞0）的顶点为A ，直线l:y =√33x −m 与y 轴的交点为点B.（1）求出抛物线的对称轴及顶点A 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）证明点A 在直线l 上，并求∠OAB 的度数；（3）动点Q 在抛物线对称轴上，问：抛物线上是否存在点P ，使以点P 、Q 、A 为顶点的三角形与△OAB 全等？若存在，求出m 的值，并写出所有符合上述条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）抛物线的对称轴为直线x =√3m ，顶点A 的坐标为（√3m ，0）；（2）∠OAB=30°；（3）存在，①m =13时， P1（0，-13），P 2（23√3，-13）；②m =√3时，P 3（3-√3，-3），P 4（3+√3，-3）；③m =2时， P 5（√3，-3），P 6（√33，-3）；④m =23时， P 7（√33，-13），P 8（√3，-13）.【解析】（1）对称轴：x=√3m ；顶点：A （√3m ，0）．（2）将x=√3m 代入函数y=√33x -m ，得y=√33×√3m -m=0∴点A （√3m ，0）在直线l 上．当x=0时，y=-m ，∴B （0，-m ）tan ∠OAB=√3m =√33， ∴∠OAB=30度．（3）以点P 、Q 、A 为顶点的三角形与△OAB 全等共有以下四种情况： ①当∠AQP=90°，PQ=√3m ，AQ=m 时，如图1，此时点P 在y 轴上，与点B 重合，其坐标为（0，-m ），代入抛物线y=-（x -√3m ）2得-m=-3m 2，∵m ＞0，∴m=13 这时有P 1（0，-13）其关于对称轴的对称点P 2（2√33，- 13）也满足条件． ②当∠AQP=90°，PQ=m ，AQ=√3m 时点P 坐标为（√3m -m ，-√3m ），代入抛物线y=-（x -√3m ）2得√3m=m 2，∵m ＞0， ∴m=√3这时有P 3（3-√3，-3）还有关于对称轴的对称点P 4（3+√3，-3）． ③当∠APQ=90°，AP=√3m ，PQ=m 时点P 坐标为（√32m ，−32m ），代入抛物线y=-（x -√3m ）2得32m=34m 2， ∵m ＞0， ∴m=2这时有P 5（√3，-3）还有关于对称轴的对称点P 6（3√3，-3）．④当∠APQ=90°，AP=m ，PQ=√3m 时点P 坐标为（√32m ，−12m ），代入抛物线y=-（x -√3m ）2 得12m=34m 2， ∵m ＞0， ∴m=23这时有P 7（√33，-13）还有关于对称轴对称的点P 8（√3，-13）．所以当m=13时，有点P 1（0，-13），P 2（2√33，-13）；当m=√3时，有点P 3（3-√3，-3），P 4（3+√3，-3）；当m=2时，有点P 5（√3，-3），P 6（3√3，-3）；当m=23时，有点P 7（√33，-13），P 8（√3，-13）．3．如图1，抛物线y 1=ax 2﹣12x+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，34），抛物线y 1的顶点为G ，GM ⊥x 轴于点M ．将抛物线y 1平移后得到顶点为B 且对称轴为直线l 的抛物线y 2．（1）求抛物线y 2的解析式；（2）如图2，在直线l 上是否存在点T ，使△TAC 是等腰三角形？若存在，请求出所有点T 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P 为抛物线y 1上一动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线y 2于点Q ，点Q 关于直线l 的对称点为R ，若以P ，Q ，R 为顶点的三角形与△AMG 全等，求直线PR 的解析式．【答案】（1）y 2=-14x 2+12x -14；（2）存在；（3）y=﹣12x+34或y=﹣12x −14.【解析】（1）由已知，c=34，将B （1，0）代入，得：a ﹣12+34=0，解得a=﹣14，抛物线解析式为y 1=14x 2-12 x+34，∵抛物线y 1平移后得到y 2，且顶点为B （1，0）， ∴y 2=﹣14（x ﹣1）2，即y 2=-14x 2+12 x -14；（2）存在，如图1：抛物线y 2的对称轴l 为x=1，设T （1，t ），已知A （﹣3，0），C （0，34），过点T 作TE ⊥y 轴于E ，则 TC 2=TE 2+CE 2=12+（34）2=t 2﹣32t+2516，TA 2=TB 2+AB 2=（1+3）2+t 2=t 2+16， AC 2=15316，当TC=AC 时，t 2﹣32t+2516=15316，解得：t 1=3+√1374，t 2=3−√1374；当TA=AC 时，t 2+16=15316，无解；当TA=TC 时，t 2﹣32t+2516=t 2+16，解得t 3=﹣778；当点T 坐标分别为（1，3+√1374），（1，3−√1374），（1，﹣778）时，△TAC 为等腰三角形；（3）如图2：设P （m ，−14m 2−12m +34），则Q （m ，−14m 2+12m −14）， ∵Q 、R 关于x=1对称∴R （2﹣m ，−14m 2+12m −14）， ①当点P 在直线l 左侧时， PQ=1﹣m ，QR=2﹣2m ， ∵△PQR 与△AMG 全等，∴当PQ=GM 且QR=AM 时，m=0， ∴P （0，34），即点P 、C 重合， ∴R （2，﹣14），由此求直线PR 解析式为y=﹣12x+34，当PQ=AM 且QR=GM 时，无解； ②当点P 在直线l 右侧时，同理：PQ=m ﹣1，QR=2m ﹣2，则P （2，﹣54），R （0，﹣14）， PQ 解析式为：y=﹣12x −14；∴PR 解析式为：y=﹣12x+34或y=﹣12x −14.类型三确定的相似三角形条件的判定应用例3：如图，已知二次函数22y x x m =-+的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，直线AC 交二次函数图象的对称轴于点D ，若点C 为AD 的中点.（1）求m 的值；（2）若二次函数图象上有一点Q ，使得tan 3ABQ ∠=，求点Q 的坐标；（3）对于（2）中的Q 点，在二次函数图象上是否存在点P ，使得QBP ∆∽COA ∆？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）3m =-；（2）()4,21Q -或()2,3Q -；（3）不存在，理由见解析. 【思路引导】（1）设对称轴与x 轴交于点E ，如图1，易求出抛物线的对称轴，可得OE 的长，然后根据平行线分线段成比例定理可得OA 的长，进而可得点A 的坐标，再把点A 的坐标代入抛物线解析式即可求出m 的值；（2）设点Q 的横坐标为n ，当点Q 在x 轴上方时，过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ，利用tan 3ABQ ∠=可得关于n 的方程，解方程即可求出n 的值，进而可得点Q 坐标；当点Q 在x 轴下方时，注意到tan 3BAC ∠=，所以点Q 与点C 关于直线1x =对称，由此可得点Q 坐标；（3）当点Q 为x 轴上方的点时，若存在点P ，可先求出直线BQ 的解析式，由BP ⊥BQ 可求得直线BP 的解析式，然后联立直线BP 和抛物线的解析式即可求出点P 的坐标，再计算此时两个三角形的两组对应边是否成比例即可判断点P 是否满足条件；当点Q 取另外一种情况的坐标时，再按照同样的方法计算判断即可. 【解析】解：（1）设抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，如图1，∴y 轴//ED ，∴::1AC CD AO OE ==， ∵抛物线的对称轴是直线212x -=-=，∴OE =1，∴1AO OE ==，∴()1,0A - ∴将点()1,0A -代入函数表达式得：120m ++=，∴3m =-；（2）设()2,23Q n n n --，①点Q 在x 轴上方时，0n <，如图2，过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ，∵tan 3ABQ ∠=，∴22333n n n--=-，解得：4n =-或3n =（舍），∴()4,21Q -；②点Q 在x 轴下方时，∵OA =1，OC =3，∴tan 3BAC ∠=，∵tan 3ABQ ∠=，∴点Q 与点C 关于直线1x =对称，∴()2,3Q -；（3）①当点Q 为()4,21-时，若存在点P ，使QBP ∆∽COA ∆，则∠PBQ =∠COA =90°，由B （3，0）、Q ()4,21-可得，直线BQ 的解析式为：39y x =-+，所以直线PB 的解析式为：113y x =-，联立方程组：211323y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=--⎩，解得：1130x y =⎧⎨=⎩，2223119x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴211,39P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∵:1:3OA OC =，:1:3BP BQ =≠， ∴::BP BQ OA OC ≠，∴P 不存在；②当点Q 为()2,3-时，如图4，由B （3，0）、Q ()2,3-可得，直线BQ 的解析式为：39y x =-，所以直线PB 的解析式为：113y x =-+，联立方程组：211323y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=--⎩，解得：1130x y =⎧⎨=⎩，2243139x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴413,39P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵:1:3OA OC =，:1:3BP BQ =≠， ∴::BP BQ OA OC ≠，∴P 不存在.综上所述，不存在满足条件的点P ，使QBP ∆∽COA ∆. 【方法总结】本题考查了平行线分线段成比例定理、二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程的解法、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数和两个函数的交点等知识，综合性强、具有相当的难度，熟练掌握上述知识、灵活应用分类和数形结合的数学思想是解题的关键.针对训练1．如果一条抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，［a ，b ，c ］称为“抛物线系数”．（1）任意抛物线都有“抛物线三角形”是______（填“真”或“假”）命题；（2）若一条抛物线系数为［1，0，－2］，则其“抛物线三角形”的面积为________；（3）若一条抛物线系数为［－1，2b ，0］，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式；（4）在（3）的前提下，该抛物线的顶点为A ，与x 轴交于O ，B 两点，在抛物线上是否存在一点P ，过P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，使得△BPQ ∽△OAB ，如果存在，求出P 点坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）假；（2）2√2；（3）y ＝－x 2＋2x 或y ＝－x 2－2x ；（4）P （1，1）或P （－1，－3）或P （1，－3）或（－1，1）．【解析】（1）当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，此时抛物线才有“抛物线三角形”，故此命题为假命题；（2）由题意得：y =x 2−2，令y =0，得：x =±√2，∴ S =12×2√2×2=2√2；（3）依题意：y ＝－x 2＋2bx ，它与x 轴交于点（0，0）和（2b ，0）；当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形．∵y＝－x2＋2bx=−(x−b)2+b2，∴顶点为（b，b2），由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到：b2=12×|2b|，∴b2=|b|，解得：b＝0（舍去）或b＝±1，∴y＝－x2＋2x 或y＝－x2－2x．（4）①当抛物线为y＝－x2＋2x 时．∵△AOB为等腰直角三角形，且△BPQ∽△OAB，∴△BPQ为等腰直角三角形，设P（a，－a2＋2a），∴Q（（a，0），则｜－a2＋2a｜＝｜2－a｜，即|a(a−2)|=|a−2|．∵a－2≠0，∴|a|=1，∴a=±1，∴P（1，1）或（－1，－3）．②当抛物线为y＝－x2－2x 时．∵△AOB为等腰直角三角形，且△BPQ∽△OAB，∴△BPQ为等腰直角三角形，设P（a，－a2－2a），∴Q（（a，0），则｜－a2－2a｜＝｜2+a｜，即|a(a+2)|=|a+2|．∵a+2≠0，∴|a|=1，∴a=±1，∴P（1，－3，）或（－1，1）．综上所述：P（1，1）或P（－1，－3）或P（1，－3，）或（－1，1）．2．如图1，一次函数y＝﹣x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点D，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C，其图象过A、D两点，并与x轴交于另一个点B（B点在A点左侧），若ABAD =√23；（1）求此抛物线的解析式；（2）连结AC、BD，问在x轴上是否存在一个动点Q，使A、C、Q三点构成的三角形与△ABD相似．如果存在，求出Q点坐标；如果不存在，请说明理由．（3）如图2，若点P是抛物线上一动点，且在直线AD下方，（点P不与点A、点D重合），过点P作y轴的平行线l与直线AD交于点M，点N在直线AD上，且满足△MPN∽△ABD，求△MPN面积的最大值．【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）见解析;（3）△MPN的面积的最大值为:24364．【解析】（1）当x＝0时，y＝﹣x+3＝3，则D（3，0）；当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝3，则A（3，0），∵OD＝OA，∴△OAD为等腰直角三角形，∴AD＝3√2，∵ABAD =√23，∴AB＝2，∴B（1，0），设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），把D（0，3）代入得a•（﹣1）•（﹣3）＝3，解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3；（2）作CH⊥x轴，如图1，∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴C（2，﹣1）∴AH＝CH＝1，∴△ACH为等腰直角三角形，∴∠CAH＝45°，AC＝√2，∵△OAD为等腰直角三角形，∴∠DAO＝45°，∵∠CAQ＝∠DAB，∴当AQAD =ACAB时，△AQC∽△ADB，即3√2=√22，解得AQ＝3，此时Q（0，0）；当AQAB =ACAD时，△AQC∽△ABD，即AQ2=√23√2，解得AQ＝23，此时Q（73，0）；综上所述，Q点的坐标为（0，0）或（73，0）；（3）作PE⊥AD于E，如图2，∵△MPN∽△ABD，∴MNAD =MPAB，∴MN ＝3√22MP ，设P （x ，x 2﹣4x+3），则M （x ，﹣x+3），∴MP ＝﹣x+3﹣（x 2﹣4x+3）＝﹣x 2+3x ＝﹣（x ﹣32）2+94，当x ＝32时，MP 有最大值94，∴MN 的最大值为3√22×94＝27√28， ∵∠PME ＝45°，∴PE ＝√22PM ，∴PE 的最大值为√22×94＝9√28，∴△MPN 的面积的最大值为12×27√28×9√28＝24364 ．3．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 过原点O 、点A （2，﹣4）、点B （3，﹣3），与x 轴交于点C ，直线AB 交x 轴于点D ，交y 轴于点E ．（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标；（2）直线AF ⊥x 轴，垂足为点F ，AF 上取一点G ，使△GBA ∽△AOD ，求此时点G 的坐标；（3）过直线AF 左侧的抛物线上点M 作直线AB 的垂线，垂足为点N ，若∠BMN=∠OAF ，求直线BM 的函数表达式．【答案】（1）y=x 2-4x ；（2，-4）；（2）G （2， −83）；（3）y=−13x −2或y=-3x+6．【解析】（1）解：将原点O （0,0）、点A （2，﹣4）、点B （3，﹣3），分别代入y=ax 2+bx+c ，得，解得，∴y=x 2-4x=， ∴顶点为（2，-4）. （2）解：设直线AB 为y=kx+b ，由点A （2，-4），B （3，-3），得解得，∴直线AB 为y=x -6.当y=0时，x=6，∴点D （6，0）.∵点A （2，-4），D （6,0），B （3，-3），∴OA= ，OD=6，AD= ，AF=4，OF=2，DF=4，AB= ， ∴DF=AF ，又∵AF ⊥x 轴，∴∠AD0=∠DAF=45°，∵△GBA ∽△AOD ，∴ ，∴，解得，∴FG=AF -AG=4- ，∴点G （2，）. （3）解：如图1，∵∠BMN=∠OAF，，∴∠MBN=∠AOF，设直线BM与AF交于点H，∵∠ABH=∠AOD，∠HAB=∠ADO，∴∴，则，解得AH= ，∴H（2，）.设直线BM为y=kx+b，∵将点B、G的坐标代入得，解得．∴直线BM的解析式为y= ；如图2，BD=AD -AB= ．∵∠BMN=∠OAF ，∠GDB=∠ODA ，∴△HBD ∽△AOD ．∴ ，即，解得DH=4．∴点H 的坐标为（2，0）．设直线BM 的解析式为y=kx+b ．∵将点B 和点G 的坐标代入得：，解得k=-3，b=6．∴直线BM 的解析式为y=-3x+6．综上所述，直线MB 的解析式为y=或y=-3x+6．类型四相似三角形存在性探究例4.在平面直角坐标系中，已知抛物线L ：经过点A （-3，0）和点B （0，-6），L 关于原点O 对称的抛物线为.（1）求抛物线L 的表达式；（2）点P 在抛物线上，且位于第一象限，过点P 作PD ⊥y 轴，垂足为D.若△POD 与△AOB 相似，求符合条件的点P 的坐标.()2y ax c a x c =+-+L 'L '【答案】(1) y =－x 2－5x －6；(2)符合条件的点P 的坐标为(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2)。

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