数值分析课后题答案

数值分析

2•当x=1,—1,2时，f(x)=O, 一3,4,求f(x)的二次插值多项式。解：

X

0 =1,x

j = —

1,x

2 =

2,

f(X。)= 0, f (xj = -3, f (x2)= 4;

l o(x)=(x-xi^~x2\=-1(x 1)(x-2)

(x

o -X/X o _x2)

2

(x -x0)(x -x2) 1

l i(x) 0 2(x-1)(x-2)

(x

i ~x0)(x i ~x2)

6

(x—x0)(x—x,) 1

l2(x) 0 1(x-1)(x 1)

(X2 -X°)(X2 - X i) 3

则二次拉格朗日插值多项式为

2

L

2(X)= ' y

k

1

k

( x)

kz0

= -3l°(x) 4l2(x)

1 4

=(x_1)(x—2) 4

(x-1)(x 1)

2 3 5 2 3 7

x x -

6 2 3

6•设Xj, j =0,1,||(,n

为互异节点，求证：

n

(1 )7 x：l j(x) =x k(k =0,1川,n);

j=0

n

(2

)7 (X j -x)k l j(x)三0 (k =0,1川,n);

j £

证明

(1)令f(x)=x k

n

若插值节点为X j, j =0,1,|l(, n，则函数f (x)的n次插值多项式为L n(x)八x k l j(x)。

j=0

f (n 十)(©) 插值余项为R n(X)二f(X)-L n(X)

n1(X)

(n +1)!

.f(n1)( ^0

R n(X)=O

n

二瓦x k l j(x) =x k(k =0,1川,n);

j ：o

n

⑵、(X j -x)k l j(x)

j卫

n n

=為(' C?x j(—x)k_L)l j(x)

j =0 i =0

n n

i k i i

=為C k( -x) (、X j l j(x))

i =0 j=0

又70 _i _n 由上题结论可知

n

.原式二''C k(-x)k_L x'

i=0

=(X -X)k

=0

-得证。

7设f (x) c2 la,b 1且f (a) =f (b)二0,求证:

max f(x)兰一(b-a) max a $至小一*丘f (x).

解：令x^a,x^b，以此为插值节点，则线性插值多项式为

L i(x^ f(x o) x x f (xj

X o —人x -X o

X —X o

x-b x-a

==f(a) f(b)-

a -

b x -a

又T f (a) = f (b)二0

L i(x) = 0

1

插值余项为R(x)二f (x) - L,(x) f (x)(x - X Q)(X - xj 1

f(x) = 2 f (x)(x -X g)(X -xj

又；(X —X o)(X —X i)

卢-.2 乞2〔(X -X o) (X i - X)] L厶J

= g(X i -X。)2

4

= ](b—a)2

4

1 2

二max f(x) -

8

(^a)醴f”(x).

&在-4乞x岂4上给出f(x)=e X的等距节点函数表，若用二次插值求截断误差不超过10£，问使用函数表的步长h应取多少?

解：若插值节点为X j丄X j和X i+，则分段二次插值多项式的插值余项为

1 X

R(x) =3 f ”(-)(X —X i」)(X—X)(x —Xy) 3!

1

二R(X)兰6(x—X i」)(x—x)(x—xy)max

设步长为h，即X i」二X j -h,x i二人h

—e4h3.

27

若截断误差不超过10$，则

R2(X) <10^

山e4h3E10〃

27

.仁0.0065.

9•若y n =2：求「y n及：.4y n.,

解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。

n

yn =2

：4y n =(E -1)4y n e x的近似值，要使

f (X)

-(2-1)4y n

二 y n

=2n

1 1 、.

4y n =(E 2 -E^)4y n

1 = (E^)4

(E-1)4y n m 4%

二 ynd = 2n °

16. f (x) +X 4+3X +1,求F ［芳门川公］及F ［芳门川/］。

解：T f (x) = x 7 x 4 3x 1

若 x = 2i ,i 二 0,1J ||,8

f (n

)(亡、 则f &0,为,|1(凶丄一一

n!

• f 〔X 0,X 1,|l(,X 7 丄小丄二1

7! 7!

f (8)心

f 〔X o ,X 1,|l(,x 8 1 =— ——=0

8!

19 . 求一个次数不高于 4 次的多项式 P ( x ), 使它满足

P(0)二 P (0) =0,P(1) = P (1) = 0,P(2) =0

解法一：利用埃米尔特插值可得到次数不高于 4的多项式

x 0 = 0,x 1

=1

y 0 = 0, y 1 = 1 m 0 =0,® =1

4

=S (—1)

j=0

4 汽(-1)j j=0 4 =S (-1)j j2

£ j

.y

j

■4

y j E 4」y n 2j y n