(完整word版)几何辅助线之手拉手模型(初三)

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手拉手模型

教学目标:

1:理解手拉手模型的概念,并掌握其特点

2:掌握手拉手模型的应用

知识梳理:

1、等边三角形

条件:△OAB,△OCD均为等边三角形

结论:;;

导角核心:

2、等腰直角三角形

条件:△OAB,△OCD均为等腰直角三角形

结论:;;

导角核心:

3、任意等腰三角形

条件:△OAB,△OCD均为等腰三角形,且∠AOB = ∠COD 结论:;;

核心图形:

核心条件:;;

典型例题:

例1:在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE,连接AE与CD,证明:(1)△ABE≌△DBC;(2)AE=DC;(3)AE与DC的夹角为60°;(4)△AGB≌△DFB;

(5)△EGB≌△CFB;(6)BH平分∠AHC;GF∥AC

例2:如果两个等边三角形△ABD和△BCE,连接AE与CD,证明:

(1)△ABE≌△DBC;(2)AE=DC;(3)AE与DC的夹角为60°;

(4)AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC

A

例3:如果两个等边三角形△ABD和△BCE,连接AE与CD,证明:

(1)△ABE≌△DBC;(2)AE=DC;(3)AE与DC的夹角为60°;

(4)AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC

例4:如图,两个正方形ABCD和DEFG,连接AG与CE,二者相交于H

问:(1)△ADG≌△CDE是否成立?(2)AG是否与CE相等?

(3)AG与CE之间的夹角为多少度?(4)HD是否平分∠AHE?

F

例5:如图两个等腰直角三角形ADC与EDG,连接AG,CE,二者相交于H.问(1)△ADG≌△CDE是否成立?(2)AG是否与CE相等?

(3)AG与CE之间的夹角为多少度?(4)HD是否平分∠AHE?

A

例6:两个等腰三角形ABD与BCE,其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE,连接AE与CD. 问(1)△ABE≌△DBC是否成立?

(2)AE是否与CD相等?(3)AE与CD之间的夹角为多少度?

(4)HB是否平分∠AHC?

A

例7:如图,分别以△ABC 的边AB、AC 同时向外作等腰直角三角形,其中 AB =AE ,AC =AD,∠BAE =∠CAD=90°,点G为BC中点,点F 为BE 中点,点H 为CD中点。探索GF 与GH 的位置及数量关系并说明理由。

例8:如图1,已知∠DAC=90°,△ABC是等边三角形,点P为射线AD任意一点(P与A不重合),连结CP,将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ,连结QB并延长交直线AD于点E.

(1)如图1,猜想∠QEP=_______°;

(2)如图2,3,若当∠DAC是锐角或钝角时,其它条件不变,猜想∠QEP的度数,选取一种情况加以证明;

(3)如图3,若∠DAC=135°,∠ACP=15°,且AC=4,求BQ的长.

例9:在△ABC 中,AB AC =,点D 是射线CB 上的一动点(不与点B 、C 重合),以AD 为一边在AD 的右侧作△ADE ,使AD AE =,DAE BAC ∠=∠,连接CE .

1)如图1,当点D 在线段CB 上,且90BAC ∠=︒时,那么DCE ∠=_______度; (2)设BAC α∠=,DCE β∠=.

①如图2,当点D 在线段CB 上,90BAC ∠≠︒时,请你探究α与β之间的数量关系,并证明你的结论; ②如图3,当点D 在线段CB 的延长线上,90BAC ∠≠︒时,请将图3补充完整,并直接写出此时α与β之间的数量关系.

(3)结论:α与β之间的数量关系是____________.

例10:在ABC ∆中,2AB BC ==,90ABC ∠=︒,BD 为斜边AC 上的中线,将ABD ∆绕点D 顺时针旋转

α(0180α︒<<︒)得到EFD ∆,其中点A 的对应点为点E ,点B 的对应点为点F ,BE 与FC 相交于点H . (1)如图1,直接写出BE 与FC 的数量关系:____________; (2)如图2,M 、N 分别为EF 、BC 的中点.求证:MN =__________;

(3)连接BF ,CE ,如图3,直接写出在此旋转过程中,线段BF 、CE 与AC 之间的数量关系: .

当堂练习:

1:在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D在射线BC上(与B、C两点不重合),以AD为边作正方形ADEF,使点E与点B在直线AD的异侧,射线BA与射线CF相交于点G.若点D在线段BC上,①依题意补全图1;

②判断BC与CG的数量关系与位置关系,并加以证明;

2:已知:如图,点C为线段AB上一点,ACM

∆的

∆、MCB

∆是等边三角形.CG、CH分别是ACN

∆、CBN

高.求证:CG CH

=.

3:如图,已知ABC

+相等的理由.∆和ADE

∆都是等边三角形,B、C、D在一条直线上,试说明CE与AC CD

4:已知,如图,P是正方形ABCD内一点,且::1:2:3

∠的度数.

PA PB PC=,求APB

5:如图所示,P 是等边ABC ∆中的一点,2PA =,2

3PB =,4PC =,试求ABC ∆的边长.

6:在Rt △ABC 中,90ACB ∠=︒,D 是AB 的中点,DE ⊥BC 于E ,连接CD . (1)如图1,如果30A ∠=︒,那么DE 与CE 之间的数量关系是___________.

(2)如图2,在(1)的条件下,P 是线段CB 上一点,连接DP ,将线段DP 绕点D 逆时针旋转60°,得到线段DF ,连接BF ,请猜想DE 、BF 、BP 三者之间的数量关系,并证明你的结论.

(3)如图3,如果A α∠=(090α︒<<︒),P 是射线CB 上一动点(不与B 、C 重合),连接DP ,将线段DP 绕点D 逆时针旋转2α,得到线段DF ,连接BF ,请直接写出DE 、BF 、BP 三者之间的数量关系(不需证明).

D

B

F

E D

A

B E D

A

B C C C

P A

E

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