利用三角形三边关系求最值
「初中数学」三角形三边关系的六种应用
三角形的三边关系为:三角形，任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.由于是线段的不等量关系，我们在遇到求边或周长的范围以及一些不等量的习题时，就要想到利用这一性质，常见的应用如下:一.判断三条线段能否组成三角形(最直接的方法是，若两条短线段的和大于最长的线段，则此三线段可构成三角形)1.下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是(____)A.2，3，4.B.5，6，7.C.5，6，12.D.6，8，10.2.下列长度的三条线段不能组成三角形的是(____)A.5，5，10.B.4，5，6.C.4，4，4.D.3，4，5.二.求三角形第三边的长或取值范围3.若a，b，c为三角形的三边长，且a，b满足|a2一9|+(b一2)2=0，则第三边长a的取值范围是______.4.若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是(______).A.14.B.10.C.3.D.2.5.若三角形的两边长分别为3和5，则周长L的取值范围是(_____).A.6<L<15.B.6<L<16.C.11<L<13.D.10<L<166.一个三角形的两边长分别为5㎝和3㎝，第三边的长是整数，且周长是偶数，则第三边的长是(_____).A.2㎝或4㎝.B4㎝或6㎝.C.4㎝.D.2㎝或6㎝.三.求等腰三角形的边长及周长7.已知实数x，y满足|x一4|+(y一8)2=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是(____).A.20或16.B.20.C.16.D.以上均不对.8.若等腰三角形的周长为10㎝，其中一边长为2㎝，则该等腰三角形的底边长为(_)A.2㎝，B.4㎝.，C.6㎝，D.8㎝.9.已知在△ABC中，AB=5，BC=2，且AC的长为奇数.(1)求△ABC的周长;(2)判断△ABC的形状.解:(1)∵AB=5，BC=2，∴3<AC<7，又∵AC的长为奇数，∴AC=5，∴△ABC的周长为5+5+2=12.(2)∵AB=AC=5，∴△ABC是等腰三角形四.化简含绝对值的式子10.已知a，b，c为三角形的三边长，化简:|b+c一a|+|b一c一a|一|c一a一b|一|a 一b+c|.【分析】化简绝对值，关键判断绝对值里边的代数式是正数、负数还是零.是正数或零，去掉绝对值，代数式保持不变;是负数，去掉绝对值后，代数式变为原来的相反数，之后，能合并的再合并同类项.本题通过三角形三边关系判断绝对值里边代数式的正、负情况.解:∵a，b，c为三角形的三边长，∴b+c>a，a+c>b，a+b>c，∴b+c一a>0，b一c一a<0，c一a一b<0，a一b+c>0，∴原式=(b+c一a)一(b一c一a)+(c一a一b)一(a一b+c)=2c 一2a.五.证明线段不等关系10.如图，已知P是△ABC内一点，求证:PA+PB+PC>(AB+BC+AC)【分析】AP，BP，CP把△ABC分为三个三角形，每个三角形两边和大于第三边，AP，BP，CP正好各用两次，也即2PA+2PB+2PC>AB+BC+AC，也即得证.证明:在△ABP中，PA+PB>AB，在△ACP中，PA+PC>AC，在△BPC中，PB+PC>BC，∴2(PA+PB+PC)>AB+BC+AC，即PA+PB+PC>(AB+BC+AC)/2.11.如图，P是正方形ABCD的边DC延长线上的一点，连结PA交BC于点E，求证:AP>AC.【分析】证明线段不等关系，想到三角形三边关系，可AC，AP，PC是在一个三角形中，但又引进了PC，那么就想到把AP折成两条线段和AC围成一个三角形，那么又怎样把AP分成两段呢？从图看∠ECP=90°，想到直角三角形斜边的中线，如图取PE的中点F，连结CF，则PF=CF，这样成功的把AP段分成AF，PF两段，CF等量代换PF，在△ACF中利用三边关系可证.证明:取PE的中点F，连接CF，∵四边形ABCD是正方形，∴BC⊥DP，∴CF=FP=PE/2，在△AFC中，有AF十FC>AC，∴AF十FP>AC，即AP>AC.12.如图，已知:D是△ABC的外角∠EAC的平分线上的一点.求证:DB+DC>AB+AC.【分析】要证DB+DC>AB+AC，可用三角形三边关系定理，但必须把BD、DC、AB+AC移到一个三角形中，可以从构造AB+AC入手，由于AD平分∠EAC，利用角平分线的对称性，将AC，AB移在一条线上，同时能将CD边进行转换，如图，在BA的延长线AE上截取AN=AC，连接DN则可构造出△DAN≌△DCA，则AC=AN，DC=DN，达到了所要的目的在△BDN中，BD+DN(DC)>AN(AB+AC).证明:在BA的延长线AE上截取AN=AC，连接DN，∵AD平分∠EAC，∴∠EAD=∠CAD，AD=AD，AN=AC，∴△ADN≌△ADC，∴DN=DC，在△BDN中，BD+DN>BN，∴BD+DC>AB+AC.13.如图，P为△ABC内一点，求证:AB+AC>PB+PC.【分析】直接运用图中的△ABC和△PBC得到的AB+AC>BC，PB+PC>BC，不能解决问题，为使PB和CP同时出现在大于号右侧，则应构造新的三角形，可延长BP交AC于点D，或过点P作一直线.证明:(一)如图，延长BP交AC于点D，在△ABD中，AB+AD>BD，即AB+AD>BP+PD，在△CDP中CD+PD>PC，∴AB+AD+CD+PD>BP+PD+PC，∴AB+AD+CD>BP+PC，即AB+AC>BP+PC.证明:(二)如图，过点P任作一直线交AB于E交AC于F在△AEF中，AE+AF>EP+PF，在△BEP中，BE+EP>PB，在△PFC中，FC+PF>PC，∴(AE+BE)十(AF+FC)十EP+PF>PB+PC+EP+PF，∴AB+AC>PB+PC.六.利用三角形三边关系求最值13.如图∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM，ON上，当点B在边ON上运动时，点A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，在运动过程中，点D 到点O的最大距离是多少？【分析】动点问题，总的方法是，以静制动，取AB的中点H，OH=AB/2不变，由勾股定理得AD2+AH2=DH2，∴DH=√2，也不变，在△DOH中，OH在变，有OH+DH≥DO，则点D、H、O 三点共线时取等号，所以点D到点O的最大距离为OH+DH=√2+1，如图.前八题答案如下:1.C，2.A，3.1<c<5，4.B，5.D，6.B，7.B，8.A.from sign 20211029064136[*AT*]61FB2413904B4238909767BA999F6032。
基本不等式解决解三角形面积最值问题
基本不等式解决解三角形面积最值问题1.引言解决三角形面积最值问题是数学中的经典问题之一，而基本不等式是解决这类问题的重要工具。
本文将介绍基本不等式的概念和基本性质，并通过实例演示如何利用基本不等式解决解三角形面积最值问题。
2.基本不等式定义三角形的基本不等式基本不等式是指数学中一类带有不等号的基本关系式，其中最常见的就是，即三边关系式的不等式形式。
3.三角形的基本不等式对于任意三角形A BC，其三边长度分别为a、b、c，我们有以下基本不等式成立：三角不等式-：$a+b>c$，$b+c>a$，$c+a>b$角边不等式-：对于锐角三角形，有$a>b>c$，$si nA>s in B>s in C$，$c os A<co sB<c os C$，$tg A>tg B>tg C$；对于钝角三角形，有$a<b<c$，$s in A<si nB<s in C$，$co sA>c os B>co sC$，$tg A<tg B<tg C$4.利用三角形的基本不等式求解面积最值问题下面通过具体实例，演示如何利用三角形的基本不等式求解解三角形面积最值问题。
问题：求解一个等边三角形的最大面积。
解答：对于等边三角形A BC，三边长度均相等，记为$a$。
根据基本不等式，我们有$a+a>a$，即$2a>a$，所以$a>0$。
进一步，我们利用三角形的面积公式$S=\fr ac{1}{2}\cd o ta\c do th$，其中$h$为等边三角形的高，可以根据勾股定理求解，得$h=\sq rt{a^2-(\fr ac{a}{2})^2}=\fr ac{a\s qr t{3}}{2}$。
将$h$代入面积公式得$S=\fr ac{1}{2}\cd o ta\c do t\fr ac{a\s qr t{3}}{2}=\fra c{a^2\s qr t{3}}{4}$。
三角形三边关系求最值
三角形三边关系求最值
三角形三边关系求最值
三角形是最基本的几何图形，一般情况下由三条边（线段）组成。
它们三边的关系是呈现出两条比例定律：大比例定律和小比例定律。
而求出三边关系中的最值得到的概念也叫做三角形极限。
首先说明的是大比例定律。
这条定律告诉我们，在一个三角形的内角都不等的情况下，一条边的长度要严格小于其另外的两条边的和。
这样的话，最长边的长度就是求最值的最大值。
而小比例定律就完全相反，它规定一条边要小于另外两条边的差。
因此，最短边的长度就是求最值的最小值。
以上两条定律所对应的三角形极限，就形成了一种“两极分化”的关系，其中极大值就是符合大比例定律的最长边的长度，而极小值则为符合小比例定律的最短边的长度。
当然，除了求得三角形极限以外，它也可以帮我们更精准地解决其他相关的几何问题。
从说明了以上内容之后，我们也可以总结出三个求最值的公式：
最长边极限=a+b-c；最短边极限=abs(a-b+c)；最高夹角极限=90°
其中，a、b、c代表三角形三边的长度；经过这些步骤以后，我们就可以轻松粗鲁地求出三角形的极限值，而不用钻进其中的数学圈套。
因此，这证明三角形的极限计算是一个十分重要的计算方法，对我们探究几何学中的问题起着举足轻重的作用。
三角形三边关系例题20道
三角形三边关系例题20道已知三角形的两边长分别为5和8，则第三边的取值范围是？答案：第三边大于3且小于13。
若三角形的两边长分别为2和6，则第三边的最大整数值是？答案：8（因为第三边小于两边之和8+2=10，且大于两边之差6-2=4，所以最大整数值为8）。
一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边为偶数，则第三边的长为？答案：8或6（因为第三边小于10且大于4，且为偶数，所以只能是8或6）。
已知三角形的两边长分别为4和9，则第三边的取值范围在数轴上表示出来为？答案：在数轴上，第三边的取值范围是从5到13（不包括端点）。
若三角形的两边长分别为m和n，且m < n，m + n = 12，则m的取值范围是？答案：0 < m < 6（因为m + n = 12，所以n = 12 - m，又因为m < n，所以m < 12 - m，解得m < 6；又因为m > 0，所以0 < m < 6）。
一个三角形的两边长分别为5cm和8cm，则此三角形的周长不可能是？答案：20cm（因为第三边小于13cm且大于3cm，所以周长不可能为20cm）。
已知三角形的两边长分别为a和b，且a2 = 25，ab = 12，则此三角形的第三边的最大值是？答案：根据余弦定理，cosC = (a2 - c2 + b2) / 24。
由于-1 ≤ cosC ≤ 1，所以可以得到c的取值范围，进而求出第三边的最大值。
但此处更直接的方法是利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质，结合a2 = 25和ab = 12求出a和b的具体值（或范围），然后求出第三边的最大值。
由于计算较复杂，此处不给出具体答案，但方法是这样的。
实际上，由于a和b的具体值可以通过解二次方程得到（注意a 和b都是正数），然后可以求出第三边的最大值。
8-20题（由于篇幅限制，只给出简要描述和答案）：已知两边长，求第三边可能的最小整数值。
2020年九年级数学中考经典几何题讲义系列：几何最值问题
中考经典几何题系列：几何最值问题【知识点】几何中最值问题包括： ①“面积最值” ②“线段（和、差）最值”.（1）求面积的最值方法：需要将面积表达成函数，借助函数性质结合取值范围求解；（2）求线段及线段和、差的最值方法：需要借助“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及“三角形三边关系”等相关定理转化处理.一般处理方法：常用定理： 两点之间，线段最短（已知两个定点时）垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时）三角形三边关系下面对三类线段和的最值问题进行分析、讨论。
（1） 两点一线的最值问题: （两个定点 + 一个动点）问题特征：已知两个定点位于一条直线的同一侧，在直线上求一动点的位置，使动点与定点线PA +PB 最小， 需转化，使点在线异侧 Bl段和最短。
核心思路：这类最值问题所求的线段和中只有一个动点，解决这类题目的方法是找出任一定点关于直线的对称点，连结这个对称点与另一定点，交直线于一点，交点即为动点满足最值的位置。
方法：1.定点过动点所在直线做对称。
2.连结对称点与另一个定点，则直线段长度就是我们所求。
变异类型：实际考题中，经常利用本身就具有对称性质的图形，比如等腰三角形，等边三角形、正方形、圆、二次函数、直角梯形等图形，即其中一个定点的对称点就在这个图形上。
1.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。
（2）一点两线的最值问题: （两个动点+一个定点）问题特征：已知一个定点位于平面内两相交直线之间，分别在两直线上确定两个动点使线段和最短。
核心思路：这类问题实际上是两点两线段最值问题的变式，通过做这一定点关于两条线的对称点，实现“搬点移线”，把线段“移”到同一直线上来解决。
变异类型：1.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。
使△PAB的周长最小。
2.如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线OM 上作点P ，使PA 与点P 到射线ON 的距离之和最小。
利用三角形的三边关系求中线或高线的取值范围
利用三角形的三边关系求中线或高线的取值范围四川省江油市雁门初级中学（621718） 钟文华邮箱地址：zwhua131@三角形的三边关系为：两边之和大于第三边（或两边之差小于第三边）。
简单记为：两边之差（取绝对值）<第三边<两边之和。
除了可以运用它求第三边的取值范围，还可以有如下运用：一 已知两边，求第三边上的中线取值范围例 已知在三角形ABC 中，AB=10，BC=8，求第三边AC 边上的中线BD 的取值范围。
分析 通过旋转，可以将ΔCBD 绕点D 旋转180°后，得到ΔAED ， 于是ED=BD ，AE=CB 。
从而在ΔBAE 中利用 三角形三边的关系就可以解决了；或者利用全等三角形判断。
解 将ΔCBD 绕点D 旋转180°后，得到ΔAED ，则ED=BD ，AE=CB ，在ΔBAE 中，∣AB -AE ∣<BE< AB + AE ，即： 2<BE<18，∴ 1< BD < 9。
一般地：三角形的两边分别为a 、b （a>b ），则第三边上的中线p 的取值范围是：21（a -b ）< p < 21（a+b ）。
二 已知一边和另一边上的中线，求第三边的取值范围例 在三角形ABC 中，点D 是BC 边上的中点，AD=6，AB=7，求AC 的取值范围。
B A CE D BA CD E分析 将AB 、AC 、AD 三条线段（或部分或几倍）放在同一个三角形中，利用三角形的三边关系就可以求出AC 的取值范围。
解 将ΔADC 绕点D 旋转180°后，得到ΔEDB ，则ED=AD ，AC=BE ，在ΔBAE 中，∣AE -AB ∣<BE< AE + AB ，即：12-7<BE<12+7∴ 5< BE < 19∴AC 的取值范围是：5< AC < 19。
三 已知两边上的高线，求第三边上的高线取值范围例 已知三角形的两边上的高分别为4和6，求第三边上的高线的取值范围。
直角三角形的三边计算公式
直角三角形的三边计算公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：直角三角形是一种特殊的三角形，其中有一个角是90度。
直角三角形的三边计算公式是数学中常见的重要知识之一，它可以帮助我们求解直角三角形中各边的长度。
下面我们就来详细介绍一下直角三角形的三边计算公式及其应用。
在直角三角形中，我们通常用a、b、c来表示三条边的长度，其中c为斜边，a和b为两条直角边。
直角三角形的三边计算公式主要有以下几种：1. 勾股定理：勾股定理是直角三角形中最基本的三边计算公式，它表达了直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方。
即a^2 + b^2 = c^2。
若直角三角形中两个直角边的长度分别为3和4，要求斜边的长度c，则可以使用勾股定理计算：3^2 + 4^2 = c^2，得到c=5。
这就是著名的3-4-5三角形。
2. 余弦定理：余弦定理是一种用于求解三角形边长的公式，其中角的余弦值与三角形的三边长度之间存在关系。
对于直角三角形，余弦定理可以简化为c = √(a^2 + b^2)。
以上是直角三角形的三边计算公式的简要介绍，下面我们来看一些实际应用示例。
1. 已知直角三角形的两个直角边分别为4和6，求斜边的长度。
根据勾股定理：4^2 + 6^2 = c^2，解得c = √(16 + 36) = √52 ≈ 7.21。
通过以上两个例子，我们可以看到直角三角形的三边计算公式在实际问题中的应用。
熟练掌握直角三角形的三边计算公式是数学学习中的重要内容。
希望通过本文的介绍，您对直角三角形的三边计算公式有更深入的理解。
第二篇示例：直角三角形是指其中一个角为90度的三角形，它具有独特的特点和性质。
在直角三角形中，三条边中的两条边分别称为直角边，另一条边称为斜边。
直角三角形的三边之间存在着一些特殊的关系，其中最重要的就是三边计算公式。
在直角三角形中，三个角分别为90度、α和β。
根据三角形内角之和是180度的性质，可以得出α+β=90度。
(文章)三角形三边关系运用举例
三角形三边关系运用举例三角形的三条边之间主要有这样的关系：三角形的两边的和大于第三边，三角形的两边的差小于第三边．利用这两个关系可以解决许多典型的几何题目．现举例说明．一、已知两边求第三边的取值范围例1 用三条绳子打结成三角形(不考虑结头长)，已知其中两条长分别是3m 和7m ，问第三条绳子的长有什么限制．解析 根据三角形三边之间关系定理和推论可得结论：已知三角形的两边为a 、b ，则第三边c 满足|a －b |＜c ＜a ＋b ．设第三条绳子的长为x m ，则7－3＜x ＜7＋3，即4＜x ＜10．故第三条绳子的长应大于4m 且小于10m ．二、判定三条线段能否围成三角形例2 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）A ．1cm ，2cm ，4cmB ．8cm ，6cm ，4cmC ．12cm ，5cm ，6cmD ．2cm ，3cm ，6cm解析 根据三角形的三边关系，只需判断较小的两边之和是否大于最大边即可．因为6+4＞8，由三角形的三边关系可知，应选B ．例3 有下列长度的三条线段能否组成三角形？（1）a －3，a ，3(其中a ＞3)；（2）a ，a ＋4，a ＋6(其中a ＞0)；（3）a ＋1，a ＋1，2a (其中a ＞0)．解析 （1）因为(a －3)＋3=a ，所以以线段a －3，a ，3为边的三条线段不能组成三角形．（2）因为(a ＋6)－a =6，而6与a ＋4的大小关系不能确定，所以以线段a ，a ＋4，a ＋6为边的三条线段不一定能组成三角形．（3）因为(a ＋1)＋(a ＋1)=2a ＋2＞2，(a ＋1)＋2a =3a ＋1＞(a ＋1)，所以以线段a ＋1，a ＋1，2a 为边的三条线段一定能组成三角形．三、确定组成三角形的个数问题例4、现有长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm 的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解析 要确定三角形的个数只需根据题意，首先确定有几种选择，再运用三角形三边关系逐一验证，做到不漏不重．由三角形的三边关系知：若以长度分别为2cm 、3cm 、4cm ，则可以组成三角形；若以长度分别为3cm 、4cm 、5cm ，则可以组成三角形；若以长度分别为2cm 、3cm 、5cm ，则不可以组成三角形；若以长度分别为2cm 、4cm 、5cm ，则也可以组成三角形．即分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm 的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为3，故应选C ． 例5 求各边长互不相等且都是整数、周长为24的三角形共有多少个？解析 设较大边长为a ，另两边长为b 、c ．因为a ＜b ＋c ，故2a ＜a ＋b ＋c ，a ＜21(a ＋b ＋c )．又a ＋a ＞b ＋c ，即2a ＞b ＋c ．所以3a ＞a ＋b ＋c ，a ＞31(a ＋b ＋c )．所以，31(a ＋b ＋c )＜a ＜21(a ＋b ＋c )．31×24＜a ＜21×24．所以8＜a ＜12．即a 应为9，10，11．由三角形三边关系定理和推论讨论知：⎪⎩⎪⎨⎧===,7,8,9c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===,6,8,10c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===,5,9,10c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===,6,7,11c b a⎪⎩⎪⎨⎧===,5,8,11c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===,4,9,11c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===.3,10,11c b a由此知符合条件的三角形一共有7个．四、确定三角形的边长例6、一个三角形的两边分别是2厘米和9厘米，第三边长是一个奇数，则第三边长为______．解析 先利用三角形的三边关系求出第三边的范围，然后再从所请求的范围内确定奇数即可．设第三边长为x 厘米，因为9-2<x <9+2，即7<x <11，而x 是奇数，所以x =9．故应填上9厘米．例10 已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，求这个三角形的腰长．解析 如图1，设腰AB =x cm ，底BC =y cm ，D 为AC 边的中点．根据题意，得x +12x ＝12，且y +12x ＝21；或x +12x ＝21，且y +12x ＝12．解得x ＝8，y ＝17；或x ＝14，y ＝5．显然当x =8，y =17时，8＋8＜17不符合定理，应舍去．故此三角形的腰长是14cm ．注意：本题有陷阱，即在根据题设条件求得结论时，其中可能有一个答案是错误的，即求出的三角形的三边长不满足三角形三边关系，需要我们去鉴别，而鉴别的依据就是三角形三边关系定理及推论．五、化简代数式问题例7、 已知三角形三边长为a 、b 、c ，且|a ＋b －c|＋|a －b －c|=10，求b 的值．解析 这里可运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，从而确定代数式的符号． 因a ＋b ＞c ，故a ＋b －c ＞0`因a －b ＜c ，故a －b －c ＜0．所以|a ＋b －c|＋|a －b －c |= a ＋b －c －(a －b －c )=2b =10．故b =5． 图1 D C B A。
三角形中的最值与范围问题解析版
三角形中的最值、范围问题一、知识与方法1、正弦定理可将边用角的正弦值表示：2sin sin sin a b cR A B C===， 2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =2、在三角形ABC ∆中，若 222c a b =+，则C 为直角；若 222c a b >+，则C 为钝角；若 222c a b <+， 则C 为锐角；3、在锐角三角形中，已知角C ，求B 的范围，可由下列限制条件求出：02022B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩ 4、三角形有关最值和范围求解（1）利用余弦定理和基本不等式进行解答； （2）利用正弦定理和三角函数值域进行解答； 例如：已知角C ，求解 sin sin m A n B +的范围 ：解题方法：()()sin sin =sin +sin sin +sin m A n B m A n A C m A n A C π+--=+，再利用三角函数和差角公式和辅助角公式进行化简，求出三角函数的值域；注意：若三角形为锐角三角形，已知角C ，则需满足02022B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，从而进一步限制B 的范围.（3）利用三角形三边关系进行解答； 若为锐角三角形，则222222222c a b b a c a b c ⎧<+⎪<+⎨⎪<+⎩，若为钝角三角形，如角C 为钝角，则222c a b a b c ⎧>+⎨+>⎩二、题型训练题型一 利用余弦定理和基本不等式求面积与周长最值问题例1．（2021•丙卷模拟）在ABC ∆中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()(sin sin )sin ()a b A B C b c -+=+，2b c +=，则ABC ∆的面积的最大值为( )A ．14B C ．12D 【解答】解：因为()(sin sin )sin ()a b A B C b c -+=+， 由正弦定理得()()()a b a b c b c -+=+， 所以222a b bc c -=+，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==-，由A 为三角形内角得23A π=， 因为2b c +=， 所以2()12b c bc +=，所以113sin 1222ABC S bc A ∆=⨯⨯=1b c ==时取等号， 故选：B ． 方法点拨：本题考查正弦定理的边角互化、余弦定理和基本不等式求最值，熟练利用正余弦定理和基本不等式是解题的关键. 巩固训练：1．（2021•河南模拟）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos cos cos a A b C c B =+，当ABC ∆的外接圆半径2R =时，ABC ∆面积的最大值为( )A B ．C ．D ．【解答】解：2cos cos cos a A b C c B =+，∴由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos A A B C C B =+，即2sin cos sin()sin A A B C A =+=，(0,)A π∈， 1cos 2A ∴=，即3A π=，由余弦定理，2221222b c bc bc bc =+-⨯⨯-， 则12bc ，（当且仅当b c =时等号成立），ABC ∴∆的面积11sin 1222S bc A=⨯=b c =时，等号成立， 故选：C ．2．在ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1(sin )cos sin cos 2b C A A C -=，且a =ABC ∆面积的最大值为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：已知等式整理得：1cos sin cos cos sin sin()sin 2b A A C A C A C B =+=+=，即2sin cos b B A=，由正弦定理sin sin a b A B =2cos A =，即sin tan cos AA A==60A ∴=︒，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即22122b c bc bc bc bc =+--=，则1sin 332ABC S bc A ∆=，即ABC ∆面积的最大值为故选：B ．3．（2021春•鼓楼区校级期末）在ABC ∆中，1cos 2a c Bb =+．（1）若7a b +=，ABC ∆的面积为c ； （2）若4c =，求ABC ∆周长的最大值． 【解答】解：（1）由正弦定理知，sin sin sin a b cA B C==， 1cos2a c Bb =+，∴1sin sin cos sin 2A C B B =+，即1sin()sin cos sin 2B C C B B +=+，1sin cos cos sin sin cos sin 2B C B C C B B ∴+=+，∴1sin cos sin 2B C B =，sin 0B ≠，∴1cos 2C =， (0,)C π∈，∴3C π=，11sin 22S ab C ab ===12ab ∴=，由余弦定理知，22222cos ()3493613c a b ab A a b ab =+-=+-=-=，∴c =（2）由余弦定理知，2222cos c a b ab A =+-，2222()()16()3()344a b a b a b ab a b ++∴=+-+-⋅=， 8a b ∴+，当且仅当4a b ==时，取等，ABC ∴∆周长的最大值为4812+=．4．（2021•一模拟）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()(sin sin )sin ()0a c A C B a b -+--=．（1）求C ；（2）若ABC S ∆=，2c =，求ABC ∆周长的最小值．【解答】解：（1）ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()(sin sin )()sin 0a c A C b a B -++-=．利用正弦定理得：()()()0a c a c b a b -++-=，整理得：2220a c b ab -+-=，即2221cos 22a b c C ab +-==，由于0C π<<， 所以：3C π=．（2）因为11sin sin 223ABC S ab C ab π∆====，所以解得8ab =，所以周长22a b c ab c +++=，当且仅当a b ==所以ABC ∆周长的最小值为2．5．（2021•永州模拟）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c (sin )b A A =． （1）求B ；（2）若3b =，求ABC ∆周长最大时，ABC ∆的面积．【解答】解：（1）(sin )b A A =，∴sin (sin )C B A A =，∴)sin sin cos A B B A B A +=+，∴cos cos sin sin cos A B B A B A B A =+，∴sin B B =，∴tan B ，0B π<<，∴3B π=．（2）222cos 2a c b B ac+-=， 据（1）可得3B π=，∴222122a c b ac +-=，222b ac ac ∴=+-，29()3a c ac ∴=+-，∴222()9()3()24a c a c a c +++-=， 当且仅当3a c ==时等号成立，即当3a c ==时，a c +取得最大值，即周长取得最大值，此时133sin 23ABC S π∆=⨯⨯⨯=6．（2021•巴中模拟）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．已知sin sin(),3b A a B b π=+=． （1）求ABC ∆的外接圆直径； （2）求ABC ∆周长的取值范围． 【解答】解：（1）sin sin()3b A a B π=+，∴由正弦定理，可得sin sin sin sin()3B A A B π=+，(0,)A π∈，sin 0A >，∴sin sin()3B B π=+，化简可得，1sin 2B B =，∴tan B =，(0,)B π∈，∴3B π=，由正弦定理可得，ABC ∆的外接圆直径21sin bR B ===． （2）由（1）可知，3B π=，由余弦定理可得，222b a c ac =+-， 222221()3()3()()24a cb ac ac a c a c +∴=+-+-=+， 当且仅当a c =时，等号成立，b ， 2()3ac ∴+，即3a c +，又a cb +>=，∴3a c <+，∴332a b c++，ABC ∴∆的取值范围为．题型二 利用正弦定理和三角函数值域求三角形角度有关的最值、范围问题 例2．在△ABC 中，a 2+c 2＝b 2+ac ．（Ⅰ）求∠B 的大小； （Ⅱ）求cos A +cos C 的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC 中，a 2+c 2＝b 2+ac ．∴a 2+c 2﹣b 2＝ac ．∴cos B ＝＝＝，∴B ＝（Ⅱ）由（I ）得：C ＝﹣A ，∴cos A +cos C ＝cos A +cos （﹣A ）＝cos A ﹣cos A +sin A＝cos A +sin A ＝sin （A +）． ∵A ∈（0，）， ∴A +∈（，π），故当A +＝时，sin （A +）取最大值1，即cos A +cos C 的最大值为1．方法点拨：本题考查了余弦定理、三角形内角和、三角函数和差角公式、辅助角公式以及三角函数值域，熟练掌握余弦定理、三角函数辅助角公式、三角函数值域求解的方法是解题的关键. 巩固训练：1．（2021•沈阳四模）在①2cos cos c b Ba A-=，②2cos 2a C c b +=，③1sin cos sin 2cos 2a A C c A A +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题．问题：锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且______． （1）求A ；（2）求cos cos B C +的取值范围． 【解答】解：（1）选① 因为2cos cos c b Ba A -=， 所以2sin sin cos sin cos C B BA A-=， 所以2sin cos sin cos sin cos C A B A A B -=，整理得2sin cos sin cos sin cos sin()sin C A B A A B A B C =+=+=． 因为sin 0C ≠，所以1cos 2A =． 因为(0,)2A π∈，所以3A π=．选②因为2cos 2a C c b +=，所以2sin cos sin 2sin 2sin()A C C B A C +==+， 所以2sin cos sin 2sin cos 2cos sin A C C A C A C +=+， 整理得sin 2cos sin C A C =． 因为sin 0C ≠，所以1cos 2A =． 因为(0,)2A π∈，所以3A π=．选③因为1sin cos sin 2cos 2a A C c A A +，所以sin sin cos sin sin cos cos A A C C A A B A +=，所以sin (sin cos sin cos )cos A A C C A B A +=，整理得sin sin cos A B B A =．因为sin 0B ≠，所以sin A A =．因为(0,)2A π∈，所以tan 3A A π=．（2）因为3A π=，所以1cos cos cos cos()cos sin()26B C B B A B B B π+=-+=+=+．因为2(0,),(0,)232B C B πππ∈=-∈，所以(,)62B ππ∈，所以2(,)633B πππ+∈，所以sin()6B π+∈，故cos cos B C +∈．2．（2021•下城区校级模拟）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin b B a A c A -=．（1）求证：2B A =；（2）若ABC ∆是锐角三角形，求sin sin AC的取值范围． 【解答】解：（1）由sin sin sin b B a A c A -=得22b a ac -=， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 代入22b a ac -=得22cos ac c ac B =-， 则2cos a c a B =-，由正弦定理得sin sin 2sin cos A C A B =-，所以sin sin()2sin cos A A B A B =+-，得sin sin()A B A =-， 由220b a ac -=>知b a >，故B A >， 所以A B A =-或()A B A π+-=（舍去） 所以2B A ⋯=，（2）3C A π=-，由0,02,03222A A A ππππ<<<<<-<得64A ππ<<，sin sin sin sin sin sin3sin(2)sin cos2cos sin 2A A A AC A A A A A A A===++，32sin 11(,1)3sin 4sin 34sin 2A A A A ==∈--．题型三 利用正弦定理和三角函数值域求三角形边长有关的最值、范围问题例3．（2021•汕头三模）在①22(sin sin )sin 3sin sin B C A B C +=+，②22cos c a B b =+，③cos cos 2cos 0b C c B a A +-=这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，且____．（1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆是锐角三角形，且2b =，求边长c 的取值范围． 【解答】解：（1）选条件①．因为22(sin sin )sin 3sin sin B C A B C +=+， 所以222sin sin sin sin sin B C A B C +-=， 根据正弦定理得，222b c a bc +-=， 由余弦定理得，1cos 2A =， 因为A 是ABC ∆的内角， 所以3A π=选条件②，因为1cos 2c a B b =+，由余弦定理222122a c b c a b ac +-=⨯+，整理得222b c a bc +-=， 由余弦定理得，1cos 2A =， 因为A 是ABC ∆的内角， 所以3A π=．选条件③，因为cos cos 2cos 0b C c B a A +-=， sin cos sin cos 2sin cos 0B C C B A A ∴+-=．sin()2sin cos B C A A ∴+=，即sin 2sin cos A A A =因为0A π<<，sin 0A ≠．∴1cos 2A =， ∴3A π=；（2）因为3A π=，ABC ∆为锐角三角形，所以022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62B ππ<<在ABC ∆中，2sin sin c C B=，所以212sin()sin )322sin sin B B B c B B π-+===，即1c ． 由62B ππ<<可得，tan B >，所以10tan B<<，所以14c <<． 方法点拨：本题第一问考查正余弦定理的变形及应用，第二问边长范围问题考查正弦定理的边角互化，结合锐角三角形角度的范围和三角函数值域求解出角度的范围.巩固训练：1．在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且220c a ab --=． （1）求证：2C A =；（2）若2a =，求c 的取值范围．【解答】解：（1）证明：因为220c a ab --=， 结合余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-， 所以22cos ab b ab C =-，即2cos a b a C =-，由正弦定理，得sin sin 2sin cos sin()2sin cos A B A C A C A C =-=+- sin cos sin cos sin()C A A C C A =-=-，因为ABC ∆为锐角三角形， 所以A C A =-，即2C A =； （2）由（1）2C A =， 由正弦定理，得sin sin a cA C=，所以2cos 4cos c a A A ==，由题意，得02032022A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<-<⎨⎪⎪<<⎪⎩，解得64A ππ<<，所以4cos c A =∈．2．（2021春•慈溪市期末）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量m 、n 满足：(2,6)m a =，(,2sin )n b B =，且//m n ． （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若ABC ∆是锐角三角形，且2a =，求b c +的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）因为//mn ，所以2a Bb =，2sin a B=， 由正弦定理得：2sin sin A B B =， 因为sin 0B≠， 所以sin A ， 所以3A π=或23π． （Ⅱ）因为2a =，所以由正弦定理得sin sin sin a b c A B C ====，得：b B ，c C =，所以21sin )sin()]sin ]4sin()326b c B C B B B B B B ππ++=+-=++=+，因为ABC ∆是锐角三角形， 所以02B π<<，且2032B ππ<-<，可得62B ππ<<， 所以2363B πππ<+<sin()16B π<+，所以4b c <+．3．（2021春•青山湖区校级期中）在ABC ∆中，3B π=，AC ，则2AB BC +的最大值为( )A．B．C ．3 D ．4【解答】解：因为3B π=，AC由正弦定理得2sin sin sin a c bA C B===，所以2sin a A =，22sin 2sin()3c C A π==-，由则222sin()4sin 5sin )3AB BC A A A A A πϕ+=-++=+，其中ϕ为辅助角，根据正弦函数的性质得)A ϕ+的最大值 故选：B ．4．（2021•B 卷模拟）在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且有2b =． 在下列条件中选择一个条件完成该题目：①cos (cos )cos 0C B B A +-=；②2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =-+-． （1）求A 的大小； （2）求2a c +的取值范围．【解答】解：（1）若选择①，因为cos (cos )cos 0C B B A +-=， 所以cos()cos cos cos 0A B B A B A -++=，即cos cos sin sin cos cos cos 0A B A B B A B A -++=，所以sin sin cos A B B A =， 因为sin 0B ≠，可得sin A A =，所以tan A =，可得3A π=；若选择②，因为2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =-+-． 所以222222a b bc c bc =-+-，所以222bc b c a =+-，可得2221cos 22b c a A bc +-==，可得3A π=．（2）设ABC ∆外接圆半径为R ，则有22sin sin b R B B==， 可得222122(2sin sin )sin )sin())sin )1sin sin sin 2a c R A C C A B B B B B B +=+==+=+=，因为ABC ∆为锐角三角形，可得022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，可得62B ππ<<，所以sin B 在(6π，)2π单调递增，cos B 在(6π，)2π(6π，)2π单调递减，所以21a c +∈，4)．5．（2021•肥城市模拟）已知锐角ABC ∆的外接圆半径为1，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC ∆的面积为S2224)S c b =+-．（1）求C ； （2）求bca的取值范围． 【解答】解：（1）2224)S c b =+-，∴222)4a b c S +-=，∴1cos 4sin 2C ab C =⨯sin C C =，cos 0C ∴≠，tan C又(0,)C π∈∴3C π=，（2）ABC ∆的外接圆半径为1，∴2sin cC=， 又正弦定理sin sin sin a b cA B C==， 2sin a A ∴=，2sin b B =，∴21sin()sin)3322sin sin2tanA A Abca A A Aπ-+======+，又因为ABC∆是锐角三角形，∴22ABππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，即2232AAπππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，∴62Aππ<<，∴tan A>，1tan A<<，32tan A<<∴bca<<6．（2021春•庐阳区校级期末）在ABC∆中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(1cos)cosa b C c B++=．（1）求角C的大小；（2）若c=，求ABC∆周长的取值范围．【解答】解：（1）因为(1cos)cosa b C c B++=，所以由正弦定理得sin sin(1cos)sin cosA B C C B++=，又sin()sin()sinB C A Aπ+=-=，所以sin()sin sin cos sin cos0B C B B C C B+++-=，所以2sin cos sin0B C B+=，因为(0,)Bπ∈，所以sin0B≠，所以1cos2C=-，又(0,)Cπ∈，所以23Cπ=．（2）因为c=，23Cπ=，所以由正弦定理得2sin sin sin3b aB A===，则2sinb B=，2sina A=，故ABC∆的周长2sin2sin2sin2sin()3L B A B Bπ+=+-2sin2(sin cos cos sin)33B B Bππ=+-sin B B=+2sin()3B π=++，因为03B π<<，所以(33B ππ+∈，2)3π，sin()3B π+∈1]，2sin()3B π+∈2+，故ABC ∆周长的取值范围为2．7．（2021春•淮安期末）从①(2)cos cos 0b c A a B -+=；②222b c a +-=；③(tan tan )2tan b A B c B +=这三个条件中选一个，补充到下面问题中，并完成解答．已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且____． （1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆为锐角三角形，b =ABC ∆的周长的取值范围．【解答】解：（1）若选①，在ABC ∆中，由正弦定理得：sin cos 2sin cos sin cos 0B A C A A B -+=， 因为A B C π++=，A ，B ，(0,)C π∈， 所以sin 2sin cos 0C C A -=， 且sin 0C ≠， 因此1cos 2A =，(0,)A π∈， 可得3A π=；若选②，在ABC ∆中，由余弦定理得12cos sin 2bc A bc A ，所以sin A A ， 因为sin 0A ≠，因此tan A =，且(0,)A π∈， 故3A π=；若选③，在ABC ∆中，2tan sin cos cos sin sin 1tan cos sin cos sin c A A B A B Cb B A B A B+=+==，且sin 0C ≠， 由正弦定理得：22sin sin sin cos sin c C Cb B A B==， 故1cos 2A =，可得3A π=；（2）因为ABC ∆为锐角三角形， 所以(0,)2B π∈，(0,)2C π∈，因此(,)62B ππ∈，sin sin c a C ==，可得c =3sin a B=， 所以ABC∆的周长为)31cos 333sin sin tan 2B B a c b B B B π+++++=+++，由于(,)62B ππ∈，可得(212B π∈，)4π，可得tan (22B∈，所以ABC ∆的周长取值范围为(3++．8．（2021•烟台模拟）在条件①222sin sin sin sin A B C B C --=，②1cos 2b a Cc =+，③(cos )cos cos 0C C A B +=中，任选一个补充在下面问题中并求解． 问题：在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1c =，____． （1）求A ；（2）求ABC ∆面积的取值范围．【解答】解：（1）若选①222sin sin sin sin A B C B C --=，由正弦定理得222a b c --=，由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-=， 由A 为三角形内角得6A π=；（2）14ABC S b ∆=，由正弦定理得51sin()cos sin 1622sin sin sin 2tan C C Cc Bb CC C C π-====，由题意得02506C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得32C ππ<<，所以tan Cb <ABC S ∆<<故ABC ∆面积的取值范围； （1）若选②1cos 2b a Cc =+，由正弦定理得1sin sin cos sin 2B AC C =+，所以1sin()sin cos sin 2A C A C C +=++，所以1sin cos sin cos sin cos sin 2A C C A A C C +=+，化简得1sin cos sin 2C A C =，因为sin 0C >， 所以1cos 2A =， 由A 为三角形内角得3A π=；（2）ABC S ∆，，由正弦定理得21sin()sin sin 1322sin sin sin 2C C Cc Bb CC C π-+====由题意得022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<，所以tan C ， 故122b <<，ABC S ∆<<故ABC ∆面积的取值范围； （1）若选③(cos )cos cos 0C C A B +=，所以(cos )cos cos()0C C A A C -+=，化简得sin sin cos A C C A =， 因为sin 0C >，所以tan A =， 由A 为三角形内角得3A π=；（2）ABC S ∆，由正弦定理得21sin()sin sin 1322sin sin sin 2C C Cc Bb CC C π-+====由题意得022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<，所以tan C ， 故122b <<，ABC S ∆<<故ABC ∆面积的取值范围．题型四 利用三角形三边关系求解范围问题例4．（2019•新课标Ⅲ）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sinsin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围． 【解答】解：（1）sin sin 2A C a b A +=，即为sin cos sin 22B Ba ab A π-==， 可得sin cossin sin 2sin cos sin 222B B BA B A A ==， sin 0A >， cos2sin cos 222B B B ∴=， 若cos 02B=，可得(21)B k π=+，k Z ∈不成立， 1sin22B ∴=， 由0B π<<，可得3B π=；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，由余弦定理可得1cos3b a π=，由三角形ABC 为锐角三角形，可得2211a a a +-+>且2211a a a +-+>， 解得122a <<，可得ABC ∆面积13sin 234S a π==∈．方法点拨：本题求解三角形面积的取值范围，由于一边和角度已知，可转化为求边长的范围，利用锐角三角形三边关系列出不等关系，从而求解出面积范围. 巩固训练：1．（2021•新高考Ⅱ）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长为a ，b ，c ，1b a =+，2c a =+．（Ⅰ）若2sin 3sin C A =，求ABC ∆的面积；（Ⅱ）是否存在正整数a ，使得ABC ∆为钝角三角形？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 【解答】解：()2sin 3sin I C A =，∴根据正弦定理可得23c a =，1b a =+，2c a =+， 4a ∴=，5b =，6c =，在ABC ∆中，运用余弦定理可得2222224561cos 22458a b c C ab +-+-===⨯⨯，22sin cos 1C C +=，sin C ∴===∴11sin 4522ABC S ab C ∆==⨯⨯=()II c b a >>，ABC ∴∆为钝角三角形时，必角C 为钝角， 222222(1)(2)cos 022(1)a b c a a a C ab a a +-++-+==<+，2230a a ∴--<， 0a >， 03a ∴<<，三角形的任意两边之和大于第三边， a b c ∴+>，即12a a a ++>+，即1a >， 13a ∴<<，a 为正整数，2a ∴=．。
sin与三角形三边关系
sin与三角形三边关系
在三角形ABC中，我们可以通过三条边之间的关系来求解各个角度和边长的值。
其中，sin函数是三角函数中应用最为广泛的一种，它表示角度与对边比值的关系。
具体来说，对于角A而言，sinA=对边AB/斜边AC，对于角B而言，sinB=对边BC/斜边AC，对于角C而言，sinC=对边AC/斜边AB。
我们可以利用sin函数来求解三角形中未知量的值。
例如，已知三角形ABC中的角A和边AB、AC的长度，需要求边BC的长度。
根据sin函数的定义，我们可以列出等式sinA=AB/AC，进而得到
BC=AC*sinA/AB。
同理，我们还可以利用sin函数来求解三角形中的角度值。
例如，已知三角形ABC中的边AB、AC和BC的长度，需要求角A的大小。
根据sin函数的定义，我们可以列出等式sinA=AB/AC，进而得到角A
的度数值。
在应用sin函数求解三角形问题时，需要注意以下几点：
1. sin函数只适用于直角三角形和锐角三角形，对于钝角三角形则不适用。
2. 在使用sin函数求解三角形问题时，需要确定正确的对边和斜边的位置关系。
3. 在使用sin函数求解三角形问题时，需要注意角度值的单位，一般为度或弧度。
总之，sin函数是求解三角形问题中非常重要的一种工具，掌握
其应用方法可以帮助我们更好地理解和解决各种三角形问题。
微课程—利用三角形三边关系解决最值问题
例题1、如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为．【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE，∵∠MON=90°，AB=2∴OE=AE=12AB=1，∵BC=1，四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=1，∴根据三角形的三边关系，OD＜OE+DE，∴当OD过点E．．【总结】1、我们如何知道是哪个三角形呢？我们利用三角形三边关系来解题，但这个构造出来的三角形是有条件的，即“这个三角形有两条边为定值，另外一边为需要我们求的那条边”【练习】1、如图，∠MON=90°，边长为2的等边三角形ABC的顶点A、B分别在边OM，ON上当B 在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C到点O的最大距离为_______答案：132、（2015•徐州）如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象限．其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上，且AB=12cm（1）若OB=6cm．①求点C的坐标；②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；（2）点C与点O的距离的最大值=cm．答案：（1）①点C的坐标为（﹣3，9）；②滑动的距离为6（﹣1）；（2）OC最大值为12例题2、如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=6，E 是AB 边的中点，F 是线段BC 边上的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB ’F ，连接B ’D ，则B ’D 的最小值是____________【解答】解：如图，根据已知条件，在△EB ’D 中，我们发现，EB ’为定值2，ED 根据勾股定理计算可得也为定值102，而B ’D 即为要我们求的那条边，所以我们就知道，△EB ’D 就是我们要找的三角形，∵B ’D ＜ED-EB ’∴当B ’在ED 上时，B ’D 最小∴B ’D 的最小值为2-102这种翻折求最小值的问题，我们平时一般都是利用圆来解决的，其实利用圆来求最小值的本质也就是利用了三角形三边关系，我们以下面一个例题来解释一下【拓展例题】1、如图，在⊙O 外有一点P ，在圆上找一点C ，使得PC 最短？解析：我们都知道，只需连接PO ，与圆的交点即为所要找的点C ，即C 是与A 重合的，那同学们有没有想过为什么这个时候的PC 是最短的呢？如图，在⊙O 上任取一点C ，连接CO 和CP所以我们根据三角形三边关系，两边和大于第三边得到OC+CP ＞OP∵OP=OA+AP ，且OA=OC∴OC+CP ＞OA+AP∴CP ＞AP所以我们知道在⊙O 上的任意一点C 与点P 连接以后都是大于AP 的，由此可知AP 是最短的【练习】1、（2016安徽模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是．答案：13，M 2、（2015新区一模）如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD=30°，BC=4，CD=3是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是__________．答案：5。
三角形的最大值最小值问题
三角形的最大值最小值问题三角形的最大值最小值问题（约1500字）三角形是几何学中的一种基本形状，它由三条边和三个角组成。
有很多与三角形相关的问题，其中一个是寻找三角形的最大值和最小值。
在这篇文章中，我们将探讨如何确定三角形的最大值和最小值，并介绍一些相关的概念和实例。
首先，让我们来讨论如何确定三角形的最大值。
根据三角形的特性，三边的长度之和必须大于第三边的长度。
这是三角不等式的基本原理。
因此，当我们已知两条边的长度时，我们可以通过求解两条边之和与第三边的长度的最大值来确定三角形的最大边长。
举个例子来说明。
假设我们知道一个三角形的两边分别为5和7。
我们可以计算这两条边的和为12。
现在我们需要找到一个长度，使其大于12，并且也满足三角不等式的要求。
所以我们可以选择13作为第三边的长度。
通过这个例子，我们可以看到确定三角形的最大值是一个相对简单的过程，只需要遵循三角不等式的原则即可。
接下来，让我们来讨论如何确定三角形的最小值。
对于最小值问题，我们需要考虑两个因素：首先是最小边的长度，其次是使得三角形存在的最小角度。
最小边的长度可以通过比较三边的长度来确定。
当三边的长度相等时，即为等边三角形，此时最小边的长度与其他两边相等。
当两边的长度相等时，即为等腰三角形，此时最小边的长度取决于与两边不相等的边。
当三边的长度都不相等时，最小边的长度就是最短的边。
关于最小角度，我们可以利用三角函数来计算。
通过正弦定理，我们可以得到一个三角形的任意一条边与其对应的角度之间的关系。
根据正弦定理，三角形的三边分别为a、b和c，对应的角度分别为A、B 和C，则有以下关系式：a/sinA = b/sinB = c/sinC根据这个关系式，我们可以推导出最小角度的判断方法。
当我们已知三角形的三边长度时，我们可以计算出每个角度的正弦值。
然后，我们比较这些正弦值，找到最小的正弦值对应的角度，即为三角形的最小角度。
举个例子来说明。
假设我们已知一个三角形的三边长度分别为3、4和5。
利用三角形三边关系求最值问题模型
利用三角形三边关系求最值问题模型三角形是初中数学中的重要知识点，我们在学习三角形的知识的时候，不仅仅是为了求出三角形的面积，还需要了解如何利用三角形三边关系求最值问题模型。
三边不等式是求解最值问题的重要方法，它利用了三角形中两边之和必须大于第三边的性质。
在解决这种问题时，需要知道三角形的边长和形状，以及三角形中求解最大值或最小值的方法。
首先，我们需要了解三角形边的关系和性质。
在三角形中，三边的长短关系可以分为三类，即等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
对于一般三角形，我们可以应用三边不等式找出最大值和最小值。
三边不等式的规定是：任何两边之和大于第三边，任何一边都必须小于其余两边之和。
在利用三边不等式解决问题时，要注意较长的两边之差越小，可以取得的最大值越大。
其次，我们需要学会如何应用三角形三边关系求最值问题模型。
如果给你一条边和它的长度，求另外两条边的最大值或最小值，可以利用三边不等式进行求解。
例如，给定两边长为5、7的三角形，求第三边的最大值和最小值时，我们可以使用三边不等式计算出其范围。
最小值：小的两条边之和大于第三条边，则第三条边的最小取值为5-7之间的差值7-5=2。
最大值：两条边之和大于第三条边时，第三条边的最大取值应该是这两条边的长度之和，为7+5=12。
但是，在解决问题时，还需要根据问题的实际要求，确定三角形形状，确定最大值或最小值的取值范围。
例如，如果给出了一个最短的边，而不是任意边，求另外两条边的长度，则我们需要使用“相等的两边成一个角的三角形中，夹角越大，第三条边越长”的关系推导求解。
综上所述，三角形三边关系求最值问题模型是初中数学中的重要知识点之一。
在解决这类问题时，需要掌握三角形的基本知识和三边不等式的应用，同时还需要关注问题的实际需求，确定三角形的形状和最大值或最小值的取值范围。
掌握了这些知识，我们才能更好地解决三角形三边关系求最值问题。
三角形的三边关系与绝对值的化简题
三角形的三边关系与绝对值的化简题标题：深入浅出：三角形的三边关系与绝对值的化简题一、引言三角形是我们数学教育体系中不可或缺的一部分，而三角形的三边关系与绝对值的化简题则是数学中的经典问题之一。
在本文中，我们将深入探讨三角形的三边关系以及绝对值的化简题，从简单到复杂，由浅入深地展开讨论，让读者更好地理解和掌握这一重要概念。
二、三角形的三边关系1. 三角形边长的关系在数学中，我们常常遇到需要求解三角形各边长度之间关系的问题。
根据三角形的性质，我们知道三角形的任意两边之和大于第三边，这就是三角形的三边关系之一。
具体来说，假设三角形的三条边长分别为a、b、c，那么它们满足以下关系：a +b > ca + c > bb +c > a2. 三角形内角的关系除了三角形的三边关系外，三角形内角之间的关系也是非常重要的。
根据三角形的内角和定理，三角形的三个内角之和为180度。
这意味着我们可以根据已知的内角大小来求解三角形的未知内角，进而帮助我们解决相关的三边关系问题。
三、绝对值的化简题1. 绝对值的定义在数学中，绝对值是一个非常基础的概念。
对于任意实数x，它的绝对值表示为|x|，定义为：当x≥0时，|x| = x当x<0时，|x| = -x2. 绝对值的性质绝对值具有一些重要的性质，例如：- |x| ≥ 0，即绝对值永远大于等于0- |x * y| = |x| * |y|- |x ± y| ≤ |x| + |y|四、深入探讨三角形三边关系与绝对值的化简题1. 基础题型让我们从一些基础的题型开始，以加深对三角形三边关系以及绝对值概念的理解。
我们可以考虑以下问题：已知三角形的两边长分别为3和4，内角的大小为60度，求第三边的长。
通过运用三边关系和内角和定理，我们可以求解出第三边的长，并在其中运用绝对值的概念。
2. 拓展题型在掌握了基础的题型后，我们来看一个稍微复杂一些的题目：若|a - b| = 5，|a + b| = 7，求a和b的值。
浅谈三角形中矩形面积的最大值与三角形三边的关系
浅谈三角形中矩形面积的最大值与三角形三边的关系作为数学老师大家都知道，最值问题是我们中学阶段数学知识的一个重要的问题之一，也是中考经常考查的一个重要的知识点。
解决这类问题的基本思路就是怎样把一个具体问题怎样把它转化为一个具体的二次函数问题。
（即转化为二次函数：y=ax 2+bx+c,当a ＞0时y 有最小值且当x =－2b a 时，y 的最小值为244ac b a -；当a ＜0时，y 有最大值且当x=－2b a时，y 的2程如下。
在一分别在y 的值最DC AE，∵ ，解得：2. y=A ·AB=30(30)40x x -=-23030(40)4040x x -=-【2240202(22x x -∙∙+-220()2】 化简得：y=-3040 230402044x ⨯()+-.也可以表示为：y=﹣304021304020242x ⨯()⨯-+, 即 Y=-3040 (x -20)2 +300 大家注意观察上面二次函数表达式各项量的特点，当矩形的一边取20米（即为它所在直角边AE 的一半）时,矩形面积y 有最大值且最大值为300平方米(AF 与AE 积的四分之一)即矩形面积的最大值为直角三角形直角边之积的四分之一。
或者说其面积的最大值为直角三角形面积的一半。
在上面的解答过程中我们不难发现矩形面积存在最大值时，矩形的一边必须为其所在直角边长的一半，此时矩形面积的最大值的大小也与直角边有关，并且其面积的最大值为直角三角形面积的一半。
至此，我们可以从一个具体的直角三角形得到：直角三角形中矩形面积的最大值有这种关系：当矩形一边的长为它所在直角边边长的一半时，此时矩形的面积有最大值且最大面积为直角三角形面积的一半。
上面我们所说的只是一个具体特殊的直角三角形，那么一般的直角三角形中矩形面积的最大值是否也有这种结论∠C 所， 所以h=b即：情况如图上与即：可见这种情况和我们上面猜想的结论也是相吻合的。
浅谈三角形中矩形面积的最大值与三角形各边的关系
浅谈三角形中矩形面积的最大值与三角形三边的关系作为数学老师大家都知道，最值问题是我们中学阶段数学知识的一个重要的问题之一，也是中考经常考查的一个重要的知识点。
解决这类问题的基本思路就是怎样把一个具体问题 怎样把它转化为一个具体的二次函数问题。
（即转化为二次函数：y=ax 2+bx+c,当a ＞0时y 有最小值且当x =－2b a 时，y 的最小值为244ac b a -；当a ＜0时，y 有最大值且当x=－2b a时，y 的最大值为：244ac b a-）。
这里我要谈的最值问题是我在教学时从一个具体特殊的直角三角形中矩形面积的最大值问题入手，层层引入观察、猜想、探讨、论证，并总结归纳得到了在一般的三角形中矩形面积的最大值问题与三角形三边的关系以及三角形面积与三角形三边的关系，具体探讨论证过程如下。
九年级数学课本下册（北师版）有这样一个问题：在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB和AD 分别在两直角边上如图（1）所示：1.如果设矩形的一边AB=x 米,则AD 边的长度如何表示？2.设矩形的面积为y 平方米，当x 取何值时，y 的值最大？最大值为多少？解：1. 由（1）图易得：R t △FDC ∽Rt △FAE,∴FD FA=DC AE ，∵FD=FA —DA ，AF=30米。
设DC=AB=x, AE=40米。
∴FA DA FA - =AB AE ,即3030AD - =40x ，解得：AD=30-3040 x 。
2. 由矩形的面积公式可得：y=A ·AB=30(30)40x x -=-23030(40)4040x x -=-【2240202()22x x -∙∙+-220()2】 化简得：y=-3040 230402044x ⨯()+-.也可以表示为：y=﹣304021304020242x ⨯()⨯-+, 即 Y=-3040 (x -20)2 +300 大家注意观察上面二次函数表达式各项量的特点，当矩形的一边取20米（即为它所在直角边AE 的一半）时,矩形面积y 有最大值且最大值为300平方米(AF 与AE 积的四分之一)即矩形面积的最大值为直角三角形直角边之积的四分之一。
2019河北省中考复习专题-利用三边关系求最值
2019河北省中考复习专题－利用三边关系求最值姓名___________班级__________学号__________分数___________一、选择题※1．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，E 是AB 边的中点，F 是线段BC 上的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB ′F 连接B ′D ，则B ′D 的最小值是( )A．2；B ．6；C．2；D ．4；A B DC EB' F※2．如图，菱形ABCD 的AB ＝8，∠B ＝60°，P 是AB 上一点，BP ＝3，Q 是CD 上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点为A ′，当CA ′的长度最小时，CQ 的长为( )A ．5；B ．7；C ．8；D ．132； A B CD P Q※3．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，E 是AB 边的中点，F 是线段BC 边上的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB 1F ，连接B 1D ，则B 1D 的最小值是( )A．2；B ．6；C ．2；D ．4；ADB C B 1 EF※4．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，E 是AB 边的中点，F 是线段BC 上的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB ′F 连接B ′D ，则B ′D 的最小值是( ) A．2；B ．6；C ．2；D ．4；A B DC EB' F二、填空题 ※5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，以BC 为直径的半圆交AB 于D ，P 是 CD上的一个动点，连接AP ，则AP 的最小值是____________． APD※6．在矩形ABCD 中，AD ＝12，E 是AB 边上的点，AE ＝5，点P 在AD 边上，将△AEP 沿EP 折叠，使A 落在A ′的位置，当A ′与点D 距离最短时，△A ′PD 的面积为____________． A B C DA ′PE※7．如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE ＝DF ．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是________． B A H GE F三、解答题※8．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，请求出A ′C 长度的最小值．2019河北省中考复习专题-利用三边关系求最值答案一、选择题1．A ．；解析：如下图，以E 为圆心，AE 长为半径作圆，连接DE ，当B ′位于DE 与圆的交点时，B ′D 的长最小，在Rt △ADE 中，AD ＝6，AE＝2，DE=B ′D＝DE －EB ′＝2．A BD CEB'2．B．；解析：如下图，折叠时，点A′落在以P为圆心，P A长为半径的圆上，当A′落在PC上时，CA′的长度最小，此时，由折叠可知，PQ为∠APC的角分线，再加上CD∥AB，则可推出△PCQ为等腰三角形，CQ＝CP，在Rt△CHP中，∵BP＝3，AB＝8，∴AP＝5，易证△ABC为等边三角形，由三线合一定理可知，AH＝BH＝4，HP＝1，CH＝PC7=，∴CQ＝CP＝7．3．A．；4．A．；解析：如下图，以E为圆心，AE长为半径作圆，连接DE，当B′位于DE与圆的交点时，B′D的长最小，在Rt△ADE中，AD＝6，AE＝2，DE=B′D＝DE－EB′＝2．A BD CEB' 二、填空题5．解：找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P2，在半圆上取P1，连接AP1，EP1，可见，AP1＋EP1＞AE，即AP2是AP的最小值，∵AEP2E＝1，∴AP21．6．解析：由折叠可知，△AEP≌△A′EP，∴AE＝A′E，则A′落在以E为圆心，AE为半径的圆上，当E，A′，D三点共线时，A′D最短，在Rt△AED中，DE13=，设AP＝x，则A′P＝x，PD＝12－x，AE＝A′E＝5，A′D＝13－5＝8，△DP A′∽△DEA，''A P DAAE AD=，8512x=，x＝103，S△A′PD＝110408233⨯⨯=． A B C D E A′P7．解：在正方形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ，∠BAD ＝∠CDA ，∠ADG ＝∠CDG ， 在△ABE 和△DCF 中，AB ＝CD∠BAD ＝∠CDAAE ＝DF ，∴△ABE ≌△DCF (SAS )，∴∠1＝∠2，在△ADG 和△CDG 中，AD ＝CD∠ADG ＝∠CDGDG ＝DG ，∴△ADG ≌△CDG (SAS )，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠BAH ＋∠3＝∠BAD ＝90°，∴∠1＋∠BAH ＝90°，∴∠AHB ＝180°－90°＝90°，取AB 的中点O ，连接OH 、OD ，则OH ＝AO ＝12AB ＝1， 在Rt △AOD 中，OD根据三角形的三边关系，OH ＋DH ＞OD ，∴当O 、D 、H 三点共线时，DH 的长度最小，最小值＝OD －OH1．1．三、解答题81；。