2018届河南省天一大联考高三阶段测试(一)理科数学试题

河南省开封高级中学等22校2018届高三天一大联考理科数学试卷【试卷综析】试题遵循了考查基础知识和基本技能为主体的原则，着重体现了对“双基”的考查。

试卷考查了中学数学尤其是考试说明中的大部分知识点，选择题、填空题着重考查了集合、复数、函数的定义域、图象、单调性、初等函数、三角函数、不等式、程序框图、立体几何、排列组合、圆锥曲线、统计初步等常规知识点；解答题也着眼于常规的基本知识和基本技能的考查，考查了三角函数和解三角形、概率统计、立体几何等考生感觉熟悉、容易入手的内容，梯度设计合理。

整份试卷中大部分是基础题目，这些题目的设计回归教材和中学教学实际，以自然但不俗套的形式呈现，既保证了高考试题的创新性，又让考生能以一种平和的心态面对试题，在有限的时间内尽力发挥出自己的最佳水平，保证了考生的“基础得分”，从而保证了考试较高的信度和效度。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合A=1|22xx ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭，B {}2|log 1x x =<，则A B ⋂=（ ） A.()1,2- B.()1,2 C.()0,2 D.()1,1- (2)已知复数201612a i i i+⋅-（i 是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为 ( ) A ．2 B. 2 C.1 D.-1(3)已知实数1，m,9成等比数列，则圆锥曲线221x y m+=的离心率为A.323 D. 2(4)下列函数中，与函数3y x =的奇偶性、单调性均相同的是 （ ） A.x y e = B.122xxy =-C.ln y x =D.tan y x = (5)如图是某次诗歌比赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数茎叶图（其中a 、b 为数字0---9中的一个），分别去掉一个最高分和一个最低分，记甲、乙两名选手得分的平均数分别为12,x x ，得分的方差分别为12y y 、，则下列结论正确的是（ ）A.1212,x x y y ><B.1212,x x y y >>C.1212,x x y y <<D.1212,x x y y <> (6)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1133,,12,2k k a a S +=-==-则正整数k=（ ） A.10 B.11 C.12 D.13(7)执行如图所示的程序框图，若输出126s =-，则判断框中应填入的条件是 （ ）A.4?n >B.5?n >C.6?n >D.7?n >(8)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．48-16π B.964π- C.968π- D.484π-(9)若变量x,y 满足约束条件4325048010x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-≥⎩则Z=2x-y 的最大值为（ ）A.2B.5C.1D.4(10)已知函数①sin cos y x x =+，②cos y x x =，则下列结论正确的是（ ） A.两个函数的图像均关于点,04π⎛⎫-⎪⎝⎭成中心对称 B. ①的图像的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移4π个单位即得②的图像 C.两个函数在区间,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上都是单调递增函数 D.两个函数的最小正周期相同（11）抛物线24y x =的焦点为F ，点P (),x y 为该抛物线上的动点，又点A ()1,0-，则PF PA的取值范围是（ ）A.2⎤⎥⎣⎦B.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 2⎣D.[]1,2(12)若定义在R 上的函数()f x 满足()()()(),2,f x f x f x f x -=-=且当[]0,1x ∈时，()f x =()()x H x xe f x =-在区间[]5,1-上的零点个数为 （ ）A.4B.8C.6D.10第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13---21题为必考题，每个试题考生都必需作答，第22---23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.(13)已知向量()()3,1,0,2,0,OA OB OC AB AC OB λ=-=⋅== 若，则实数λ的值为 【知识点】向量的坐标运算.F2(14)3ax ⎛ ⎝⎭的展开式中含2x项的系数为22a x dx -⎰的值为 (15)三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的表面上，ABC AB BC SA=AB=BC=2SA ⊥⊥平面，，又，，则球O 的表面积为(16)已知函数()()()()11sin 2,[2,21)21sin 22,[21,22)2n n x n x n n f x n N x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪=∈⎨⎪-++∈++⎪⎩，若数列{}n a 满足()()*m a f m m N =∈，数列{}m a 的前m 项和为m S ，则10496S S -=三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)在ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且()cos 3cos b C a c B =-。

(I)求cos B 的值.(II)若2,BA BC b ⋅==a 和c.(18)(本小题满分12分)某品牌汽车的4S 店对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0.15，并且4S 店销售一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款，其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元，以频率作为概率. （I ）求事件A ：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位分4期付款”的概率； （II ）用X 表示销售一辆该品牌汽车的利润，求X 的分布列及数学期望()E x(19)(本小题满分12分)如图，正四棱锥P ABCD -的高为3，底面边长为2，E 是棱PC 的中点，过AE 作平面与棱PB 、PD 分别交于点M 、N （M 、N 可以是棱的端点）. (I)当M 是PB 的中点时，求PN 的长;(II)求直线AE 与平面PBC 所成角的正弦值.(20)(本小题满分12分)定圆M ：(2216x y +=，动圆N 过点F)且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E.（I ）求轨迹E 的方程；（II ）设点A ，Ｂ，Ｃ在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且AC CB =，当ABC 的面积最小时，求直线AB 的方程．（２１）（本小题满分１２分）已知函数()()()ln ,,,,x f x ax x g x be c a b c R =+=+∈且()g x 的图像在()()0,g x 外的切线方程为1y x =+，其中ｅ为自然对数的底数． （I ）讨论()f x 的极值情况；（II ）当ａ＝０时，求证：()()()0,,2x f x g x ∀∈+∞<-请考生在22、23、2两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时请写清题号.（22）(本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，是过定点P （4,2）且倾斜角为α的直线；在极坐标系（以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同长度单位）中，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（Ⅰ）写出直线的参数方程，并将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）若曲线C 与直线相交于不同两点M 、N,求PM PN +的取值范围. .【题文】(23) (本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知关于x 的不等式2324x a x x -++≥+的解集为A. （Ⅰ）若a=1，求A;（Ⅱ）若A=R,求a 的取值范围.河南省开封高级中学等22校2018届高三天一大联考理科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合A=1|22xx ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭，B {}2|log 1x x =<，则A B ⋂=（ ） A.()1,2- B.()1,2 C.()0,2 D.()1,1-【知识点】指数函数与对数函数；集合的交集.A1,B6,B7【答案解析】C 解析：解：由题可知2121,log 102,2x x x x A B >∴>-<∴<<⋂{}|02x x =<<，所以正确选项为C. 【思路点拨】根据指数不等式与对数不等式分别求出x 的取值，然后求出交集.(2)已知复数201612a i ii +⋅-（i 是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为 ( )A ．2 B. 2 C.1 D.-1 【知识点】复数的概念.L4【答案解析】A 解析：解：由题可知()20162016221112125a a ia i a i i i i i -++++=∴⋅==--，又因为复数为纯虚数，所以a-2=02a ∴=【思路点拨】根据复数的概念对复数进行化简，再利用分母实数化求出实部与虚部，最后求出结果.(3)已知实数1，m,9成等比数列，则圆锥曲线221x y m +=的离心率为A.B. 2C. 2D.【知识点】等比数列；椭圆；双曲线.D3,H5,H6 【答案解析】C解析：解：根据条件可知293m m =∴=±，当3323c m m e a ===-=时，e=时，，所以正确选项为C.【思路点拨】根据条件可求出m ，分别求出不同情况下的离心率.(4)下列函数中，与函数3y x =的奇偶性、单调性均相同的是 （ ）A.xy e = B.122x x y =-C.ln y x =D.tan y x =【知识点】函数的奇偶性，单调性.B3,B4【答案解析】B 解析：解：3y x = 为奇函数，在R 上单调递增，122xxy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭也是奇函数，在R 上单调递增，所以只有B 选项正确.【思路点拨】利用函数的奇偶性与单调性的概念对函数进行分析求解即可.(5)如图是某次诗歌比赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数茎叶图（其中a 、b 为数字0---9中的一个），分别去掉一个最高分和一个最低分，记甲、乙两名选手得分的平均数分别为12,x x ，得分的方差分别为12y y 、，则下列结论正确的是（）A.1212,x x y y >< B.1212,x x y y >> C.1212,x x y y << D.1212,x x y y <>【知识点】统计.I4【答案解析】C 解析：解：由题计算可知112281284,,85,55x y x y ====1212,x x y y ∴<< 【思路点拨】根据平均数的概念与方差的概念分别计算出两组数据的特征数，然后进行比较即可.(6)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1133,,12,2k k a a S +=-==-则正整数k=（ ）A.10B.11C.12D.13【知识点】数列的概念.D2【答案解析】D 解析：解：解：∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=-3，113133,12,3122222k k k k a S S +++⎛⎫==-∴=-+=-+ ⎪⎝⎭ 解得k=13．故答案为：13．【思路点拨】根据数列的概念直接求解.(7)执行如图所示的程序框图，若输出126s =-，则判断框中应填入的条件是 （ ）A.4?n >B.5?n >C.6?n >D.7?n >【知识点】程序框图.L1【答案解析】解析：解：由程序框图知：算法的功能是求S=-21-22-…-2n+1的值，∵输出S=-126，()1212126512n S n +-=-=-⇒=-∴跳出循环的n 值为6，∴判断框内的条件应为n ＞5或n ≥6． 故选：B ．【思路点拨】算法的功能是求S=-21-22-…-2n+1的值，根据输出的S 值，确定跳出循环的n 值，从而确定判断框内的条件(8)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．48-16π B.964π- C.968π- D.484π-【知识点】三视图.G2【答案解析】C 解析：解：由题意可知几何体为长方体内挖去一个圆柱，所以根据条件可知几何体的体积为286222968V ππ=⨯⨯-⋅⨯=-，所以C 选项正确. 【思路点拨】根据三视图可抽象出几何体的形状，再利用体积公式进行计算.【题文】(9)若变量x,y 满足约束条件4325048010x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-≥⎩则Z=2x-y 的最大值为（ ）A.2B.5C.1D.4 【知识点】线性规划.E5【答案解析】B 解析：解：由题可知目标函数Z 的最大值在()4,3处取得，代入可得Z=2435⨯-=【思路点拨】由线性规划可知目标函数的可行域，再根据目标函数可知最大值取得的位置. (10)已知函数①sin cos y x x =+，②cos y x x =，则下列结论正确的是（ ）A.两个函数的图像均关于点,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称B. ①的图像的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移4π个单位即得②的图像 C.两个函数在区间,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上都是单调递增函数D.两个函数的最小正周期相同【知识点】三角函数的化简；三角函数对称中心；三角函数的单调区间；三角函数的图像的移动.C3,C4.【答案解析】C 解析：解：由题可知sin cos 4y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭；①cos 2y x x x =，②，由函数的性质可知,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭为①的对称中心，不是②的对称中心，①的图像的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移4π个单位24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，与②不同，①的周期为2π，②的周期为π.所以只有C 为正确选项.【思路点拨】根据三角函数的性质进行求解.（11）抛物线24y x =的焦点为F ，点P (),x y 为该抛物线上的动点，又点A ()1,0-，则PFPA 的取值范围是（ ）A.⎤⎥⎣⎦ B.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. ⎣D.[]1,2 【知识点】直线与圆锥曲线.H8【答案解析】A 解析：解：过P 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，则|PF|=|PB|，∵抛物线y 2=4x 的焦点为F （-1，0），点A （-1，0），∴sin PFBAPPA=∠设过A 抛物线的切线方程为y=k （x+1），代入抛物线方程可得k 2x 2+（2k 2-4）x+k 2=0，∴△=（2k 2-4））2-4k 4=0，∴k=±1sin 2BAP ⎤∠∈⎥⎣⎦故答案为：sin 2BAP ⎤∠∈⎥⎣⎦ 【思路点拨】把已知转化成直线与抛物线相切有解的问题即可解决. (12)若定义在R 上的函数()f x 满足()()()(),2,f x f x f x f x -=-=且当[]0,1x ∈时，()f x =()()x H x xe f x =-在区间[]5,1-上的零点个数为 （ ）A.4B.8C.6D.10【知识点】导数与函数的单调性.B12【答案解析】C 解析：解：定义在R 上的函数f （x ）满足f （-x ）=f （x ），f （2-x ）=f （x ），∴函数是偶函数，且图象关于x=1对称，∵函数f （x ）=xe x的定义域为R ，f ′（x ）=（xe x ）′=x ′e x +x （e x ）′=e x +xe x 令f ′（x ）=e x +xe x =e x（1+x ）=0，解得：x=-1．列表由表可知函数f （x ）=xe x的单调递减区间为（-∞，-1），单调递增区间为（-1，+∞）．当x=-1时，函数f （x ）=xex的极小值为()11f e-=，y=|xe x|，在x=-1时取得极大值：1e，x ∈（0，+∞）是增函数，∴x ＜0时，两个函数图象有5个交点，x ＞0时，两个函数图象有1个交点． 两个函数图象共有6个交点．即函数H （x ）=|xe x|-f （x ）在区间[-3，1]上有4个零点． 故答案为：6【思路点拨】利用导数来判定函数的单词性，根据函数的性质求交点的个数.第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13---21题为必考题，每个试题考生都必需作答，第22---23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. (13)已知向量()()3,1,0,2,0,OA OB OC AB AC OBλ=-=⋅==若，则实数λ的值为【知识点】向量的坐标运算.F2 【答案解析】2解析：解：设()OC=,x y由向量的运算可知OC 330AB x y x y ⋅=-+=∴=，()()303,10,2212x AC x y OB y λλλλ-=⎧=-+==∴∴=⎨+=⎩【思路点拨】根据向量的坐标运算找到向量之间的关系.(14)3ax ⎛ ⎝⎭的展开式中含2x项的系数为，则22a x dx -⎰的值为 【知识点】二项式定理；定积分.J3,B13.【答案解析】733或解析：解：由二项式定理可知2x 的系数为223C a ⎛⨯ ⎝⎭，211a a ∴=∴=±，所以积分的值为733或.【思路点拨】利用二项式特定项的求法表示出2x 的系数，再求出a 的值，再求积分的值. (15)三棱锥S ABC-的所有顶点都在球O 的表面上，ABC AB BC SA=AB=BC=2SA ⊥⊥平面，，又，，则球O 的表面积为【知识点】球的表面积公式.G8【答案解析】12π2S=4R =12ππ【思路点拨】根据几何体的条件求出外接球的半径，利用球的表面积公式计算.(16)已知函数()()()()11sin 2,[2,21)21sin 22,[21,22)2n n x n x n n f x n N x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪=∈⎨⎪-++∈++⎪⎩，若数列{}na满足()()*m a f m m N =∈，数列{}m a 的前m 项和为m S ，则10496S S -=【知识点】等差数列.D2【答案解析】804解析：解：解析：由题设条件得:()()()()11,22,33,44,f f f f ====由此归纳得()f n n=，所以()()1104196104961049680422a a a a S S ++-=-=【思路点拨】根据解析式求出数列的性质，按数列的性质求出最后结果.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)在ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且()cos 3cos b C a c B=-。