向量在高中数学中的应用

向量在高中数学中的应用

在高中数学新课程教材中，平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识整合的不多，很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题。向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。距离如下：

1、利用向量证明等式

材料一：已知、是任意角，求证：。

证明：在单位圆上，以轴为始边作角，终边交单位圆于A，以轴为始边作角，终边交单位圆于B，有，所以有：

又

即

点评：对于某些恒等式证明，形式中含有或符合向量的坐标运算形式，可运用

向量的数量积定义和向量坐标运算来证明。

2、利用向量证明不等式

材料二：是正数。求证：

证明：设

由数量积的坐标运算可得：

又因为，所以成立。

点评：当求解问题（式子）中含有乘积或乘方时，可巧妙地利用向量数量积坐标表达式：

，，构造向量解之。

3、利用向量求值

材料三：已知，求锐角。

解析：由条件得

设，，

则，，，

由，得，即，

则，即，同理（因为、为锐角）

点评：对于求值问题，巧妙地运用向量的数量积定义构造等量关系求值。

4、利用向量求函数值域

材料四：若，求的最小值。

解析：构造向量，

由，得

即，

当且仅当时，有最小值

点评：巧妙构造向量，可以解决条件最值问题，特别是某些含有乘方之和或乘积之和式子的条件最值问题，用向量证明更有独特之处。

5、利用向量解决析几何问题

材料五：过点，作直线交双曲线于A、B不同两点，已知

。

（1）、求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

（2）、是否存在这样的直线，使若存在，求出的方程；若不存在说明理由。解析：（1）、设直线的方程为，

代入得，

当时，设，，则，

设，由，则

，解之得

再将代入得 (1)

当时，满足（1）式；

当斜率不存在是，易知满足（1）式，故所求轨迹方程为，其轨迹为双曲线；

当时，与双曲线只有一个交点，不满足题意。

（2），所以平行四边形OAPB为矩形，OAPB为矩形的充要条件是，即。

当不存在时，A、B坐标分别为，，不满足上式。

又

化简得：，此方程无实数解，故不存直线使OAPB为矩形。

点评：平面向量和平面解析几何是新老教材的结合点，也是近几年高考常考查的热点，解此类题应注重从向量积的定义和向量的加减法的运算入手，还应该尽量联系向量与解析几何的共同点，综合运用解析几何知识和技巧，使问题有效解决。

随着复习的继续与深入，我们还可以看到平面向量与概率、导数、复数等知识的交汇与整合，为命题者施展了优化创新试题的陈地，也为我们分析、解决问题的切入点开辟了新的视角。解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：

（1）给出直线的方向向量或，要会求出直线的斜率；

（2）给出与相交,等于已知过的中点;

（3）给出,等于已知是的中点;

（4）给出,等于已知与的中点三点共线;

（5）给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数

,等于已知三点共线.

（6）给出，等于已知是的定比分点，为定比，即

（7）给出,等于已知,即是直角,给出

,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角。

（8）给出,等于已知是的平分线/

（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;

（10）在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;

（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；

（12）在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；

（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；

（14）在中，给出等于已知通过的内心；

（15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；

（16）在中，给出,等于已知是中边的中线著名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退。这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担。