向量在高中数学中的应用
向量在高中数学中的作用
向量在高中数学中的作用向量是高中数学中一个重要的概念，它不仅能够帮助我们理解几何图形的性质，还能应用于物理、力学、几何等各个领域。
本文将探讨向量在高中数学中的作用，并介绍一些相关的应用。
首先，向量在几何图形的研究中起着关键的作用。
通过向量，我们能够描述一个点的位置、两个点之间的距离、两个线段的夹角等几何性质。
例如，在平面几何中，我们可以用向量表示一个点的坐标，通过两个点的坐标向量相减可以得到它们之间的线段向量，从而计算出它们的长度、方向等信息。
同时，向量还能够帮助我们确定几何图形的对称中心、镜像轴等特征，以及解决一些与几何图形相关的问题。
其次，向量在物理学中的应用也非常广泛。
在力学领域，向量可以表示物体的位移、速度、加速度等物理量。
通过求解向量方程，我们可以得出物体在不同时刻的位置、速度和加速度之间的关系，从而揭示出物体的运动规律。
在力学问题中，可以通过向量的几何性质解决一些力和力的合成、分解问题，求解物体受力的大小、方向等。
此外，在静力学的分析中，向量也是一个重要的工具，可以用来分析物体的平衡条件、滑动条件等。
此外，向量还可以用于解决数量关系的问题。
例如，在线性代数中，我们可以用向量的线性组合、线性相关性等概念解决一些向量空间的性质和线性方程组的求解问题。
向量的内积和叉积可以用来求解两个向量之间的夹角、平行关系以及面积、体积等量的计算。
此外，向量还可以用于表示一些数量关系的模型，例如经济学中的边际效应模型、物理学中的力场模型等。
在数学建模中，向量也起着重要的作用。
通过将问题抽象为向量的形式，我们可以使用向量运算、向量的变化规律等方法进行问题的建模和求解。
例如，在最优化问题中，我们可以将目标函数表示为向量，利用向量的方向、长度等性质寻找最优解。
在图论和网络分析中，向量可以用于表示节点之间的连通关系、距离关系等，从而帮助我们分析网络结构和解决一些与网络相关的问题。
除此之外，向量还在计算机科学中发挥着重要的作用。
人教版高中数学必修二第9章9.4向量的应用精品课程课后练习及详解大全
反思 感悟
用向量法求长度的策略 (1)根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式 |a|2＝a2求解. (2)建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)， 则|a|＝ x2＋y2.
跟踪训练2 在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边上的 中线AD的长是
∴A→B＝－32C→D，∴A→B与C→D共线. 又|A→B|≠|C→D|，∴该四边形为梯形.
12345
4.当两人提起重量为|G|的旅行包时，两人用力方向的夹角为θ，用力大
小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为
A.30°
B.60°
C.90°
√D.120°
解析 作O→A＝F1，O→B＝F2，O→C＝－G(图略)， 则O→C＝O→A＋O→B，
答案 物理中的向量：①物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位 移都具有大小和方向，因而它们都是向量. ②力、速度、加速度、位移的合成就是向量的加法，因而它们也符合向 量加法的三角形法则和平行四边形法则；力、速度、加速度、位移的分 解也就是向量的分解，运动的叠加也用到了向量的加法. ③动量mv是数乘向量. ④力所做的功就是作用力F与物体在力F的作用下所产生的位移s的数量积.
解析 对于 A，A→B－A→C＝C→B，故 A 中结论错误； 对于 B，设 θ 为向量A→B与B→C的夹角， 因为A→B·B→C＝A→B·B→C·cos θ，而 cos θ<1， 故A→B·B→C<A→B·B→C，故 B 中结论正确； 对于 C，A→B＋A→C·A→B－A→C＝A→B2－A→C2＝0， 故A→B＝A→C，所以△ABC 为等腰三角形，故 C 中结论正确；
A.v1－v2
√B.v1＋v2
高中数学公式大全向量的运算与应用
高中数学公式大全向量的运算与应用高中数学公式大全：向量的运算与应用一、定义与基本概念在数学中，向量是具有大小和方向的物理量。
向量通常用有向线段来表示，有长度和方向。
二、向量的表示方法1. 坐标表示法：向量可以用坐标表示，通常用尖括号表示。
例如：向量a = <a1, a2, a3>2. 基本单位向量表示法：使用基本单位向量i、j、k以及系数表示。
例如：向量a = a1i + a2j + a3k三、向量的运算1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律。
a +b = b + a(a + b) + c = a + (b + c)2. 向量的减法：向量的减法可以转化为加法。
a -b = a + (-b)3. 向量的数量积（点积）：向量a和b的数量积表示为a·b = |a| |b| cosθ，其中θ为a和b之间的夹角。
a·b = a1b1 + a2b2 + a3b34. 向量的向量积（叉积）：向量a和b的向量积表示为a×b，满足交换律和分配律。
a×b = |a| |b| sinθ n，其中θ为a和b之间的夹角，n为一个垂直于a 和b的单位向量。
四、向量的应用1. 向量的单位化：将向量转化为单位向量，即长度为1。
单位化的向量往往用于表示方向。
单位向量u = a / |a|，其中a为非零向量。
2. 向量的投影：向量a在向量b上的投影表示为a在b方向上的投影长度，可以计算为：a在b方向上的投影= |a|cosθ，其中θ为a与b之间的夹角。
3. 向量的共线与垂直判定：a与b共线的条件是a×b = 0。
a与b垂直的条件是a·b = 0。
4. 平面向量的共线与垂直判定：a与b共线的条件是a×b = 0。
a与b垂直的条件是a·b = 0。
5. 平面向量的夹角计算：两个向量a和b之间的夹角θ可以计算为：cosθ = (a·b) / (|a| |b|)6. 向量的线性相关与线性无关：如果存在一组不全为零的系数k1、k2、...、kn，使得k1a1 + k2a2 + ... + knan = 0，则向量组a1、a2、...、an线性相关；如果这样的系数不存在，向量组a1、a2、...、an线性无关。
高中数学第二章平面向量向量应用举例例题与探究(含解析)
2.7 向量应用举例典题精讲例1用向量法证明平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。
思路分析：把平行四边形的边和对角线的长看成向量的长度，转化为证明向量长度之间的关系.基向量法和坐标法均可解决.答案：已知：四边形ABCD是平行四边形，求证：|AC｜2＋|BD|2=2|AB｜2＋2|AD|2。
证法一：如图2—7—1所示，设AB=a, AD=b，∴AC=AB＋AD=a＋b，BD=AD-AB=b-a。
图2-7—1∴｜AC｜2=(a+b）2=a2+2a·b+b2，｜BD｜2=（b—a)2=a2-2a·b＋b2。
∴｜AC|2＋|BD|2=2a2+2b2.又∵2|AB|2＋2|AD|2=2｜OB|2＋2|OD|2=2a2+2b2，∴｜AC｜2＋|BD|2=2|AB|2＋2｜AD｜2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.证法二:如图2—7-2所示，以A为原点,以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.设A（0，0）、D（a,b）、B（c，0），∴AC=AB＋AD图2—7-2=OB＋OD=(c，0）+（a，b)=(a+c,b），BD=AD—AB=OD—OB=（a，b)-(c,0）=（a-c,b)。
∴|AC｜2=（c+a）2+b2，|BD｜2=（a-c）2+b2.∴｜AC|2＋|BD｜2=2a2+2c2+2b2。
又∵2｜AB｜2＋2|AD｜2=2|OB｜2＋2｜OD｜2=2a2+2c2+2b2,∴|AC|2＋|BD｜2=2|AB｜2＋2｜AD｜2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。
绿色通道：1。
向量法解决几何问题的步骤:①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;②通过向量运算（有基向量法和坐标法两种),研究几何元素之间的关系；③把运算结果“翻译”成几何关系。
这是用向量法解决平面几何问题的“三步曲”.又简称为：一建二算三译；也可说成为：捡便宜（建算译)。
高中数学中的向量运算
高中数学中的向量运算在高中数学中，向量运算是一个重要的概念。
通过向量运算，我们可以解决许多与空间相关的问题，比如平面几何、力学等。
本文将介绍一些常见的向量运算，包括向量的加法、减法、数量乘法、点积和叉积。
向量的加法是最基本的运算之一。
当两个向量相加时，我们将它们的对应分量相加，得到一个新的向量。
例如，对于向量a=(a1,a2,a3)和向量b=(b1,b2,b3)，它们的和可以表示为a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)。
这个运算可以用来求解平面几何问题，比如两点之间的距离、线段的中点等。
向量的减法与加法类似，只是将对应分量相减。
例如，向量a和向量b的差可以表示为a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)。
我们可以将向量的减法理解为向量的加法的逆运算。
在几何上，向量的减法可以用来求解两点之间的向量差，或者一个向量在另一个向量上的投影。
数量乘法是指将一个向量的每个分量都乘以一个实数。
例如，对于向量a=(a1,a2,a3)和实数k，我们有ka=(ka1,ka2,ka3)。
这个运算可以用来改变向量的长度和方向。
当k为正数时，向量的长度会增加；当k为负数时，向量的方向会反转。
点积是向量运算中的一种特殊形式。
当我们计算两个向量的点积时，我们将它们的对应分量相乘，然后将结果相加。
例如，对于向量a=(a1,a2,a3)和向量b=(b1,b2,b3)，它们的点积可以表示为a·b=a1b1+a2b2+a3b3。
点积可以用来计算两个向量之间的夹角，以及判断两个向量是否垂直。
叉积是向量运算中的另一种特殊形式。
当我们计算两个向量的叉积时，我们首先计算它们在平面上的投影，然后计算投影的面积。
叉积的结果是一个新的向量，它垂直于原来的两个向量。
例如，对于向量a=(a1,a2,a3)和向量b=(b1,b2,b3)，它们的叉积可以表示为a×b=(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)。
高中向量知识点总结
高中向量知识点总结向量是数学中的重要概念，它在几何、物理等领域都有着广泛的应用。
在高中数学学习中，向量是一个重要的知识点，掌握好向量的相关知识对于学生的数学学习和未来的发展都具有重要意义。
本文将对高中向量知识点进行总结，希望能够帮助学生更好地理解和掌握这一部分内容。
1. 向量的概念。
向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。
在直角坐标系中，向量可以表示为一个有序数对，也可以表示为一个坐标点到另一个坐标点的位移。
向量的大小通常用模长来表示，方向则可以用夹角或者方向角来描述。
2. 向量的运算。
向量的运算包括加法、减法和数量乘法。
向量的加法和减法都是按照平行四边形法则进行的，而数量乘法则是将向量的模长与一个标量相乘，同时改变向量的方向。
向量的运算在几何和物理问题中有着重要的应用，能够帮助我们更好地描述和计算问题。
3. 向量的数量积和向量积。
向量的数量积又称为点积，是两个向量的数量乘积再与它们的夹角的余弦值相乘所得的结果。
向量的数量积具有对称性和分配律，可以用来计算向量的模长、夹角以及投影等问题。
而向量的向量积又称为叉积，是两个向量的数量乘积再与它们的夹角的正弦值相乘所得的结果。
向量的向量积可以用来求得平行四边形的面积和向量的方向。
4. 向量的应用。
在几何中，向量可以用来描述平面图形的性质，比如平行四边形的性质、三角形的性质等。
在物理中，向量则可以用来描述物体的位移、速度、加速度等物理量，是物理学中不可或缺的工具。
另外，在工程和计算机图形学中，向量也有着广泛的应用，比如在计算机游戏中的物体运动、碰撞检测等方面。
总结：通过本文的总结，我们对高中向量知识点有了更深入的了解。
向量作为数学中的重要概念，在几何、物理等领域有着广泛的应用。
掌握好向量的相关知识，不仅有助于学生的数学学习，还能够为他们未来的发展打下坚实的基础。
希望本文能够帮助学生更好地理解和掌握高中向量知识，为他们的学习和未来的发展提供帮助。
高中数学中的向量
高中数学中的向量向量是高中数学中的重要概念，它不但在数学上有广泛的应用，在物理、工程等领域也有着重要的地位。
本文将从向量的定义、性质、运算和应用等方面来介绍高中数学中的向量。
一、向量的定义向量是有大小和方向的量，通常用一条带箭头的线段来表示。
在数学中，向量通常用坐标表示，一个n维向量可以表示为(a1,a2,...,an)，其中a1,a2,...,an为实数。
二、向量的性质1. 向量的大小向量的大小（或长度）是一个标量，通常用|v|来表示，根据勾股定理可以得到一个向量的大小：|v| = √(v1² + v2² + ... + vn²)2. 向量的方向向量的方向通常用另一个向量来表示，这个向量被称为一个单位向量，它的大小为1。
假设向量v的大小为|v|，则单位向量u = v/|v|，表示v的方向。
3. 向量的零向量大小为0的向量被称为零向量，通常用0或O来表示。
4. 向量的相等如果两个向量的大小和方向都相同，则这两个向量相等。
三、向量的运算1. 向量的加法两个向量的加法等于将它们的对应分量相加，例如(u1,u2) + (v1,v2) = (u1+v1,u2+v2)。
当向量的维数增多时，其加法规律也同样适用。
2. 向量的数乘向量的数乘指将一个向量的所有分量乘以一个实数，例如k(u1,u2) = (ku1,ku2)。
3. 向量的点积向量的点积也叫数量积，它是两个向量相乘后再相加得到的标量。
设两个n维向量u和v，则它们的点积为u·v = u1v1 + u2v2 + ... + unvn。
如果u·v=0，则称u和v垂直（或正交）。
4. 向量的叉积向量的叉积也叫向量积，它是两个三维向量相乘后得到的新向量。
设两个三维向量u=(u1,u2,u3)和v=(v1,v2,v3)，则它们的叉积为u×v = (u2v3-u3v2,u3v1-u1v3,u1v2-u2v1)。
高中数学中的空间向量应用重点知识点归纳
高中数学中的空间向量应用重点知识点归纳在高中数学的学习中，空间向量是一个重要的概念，它在几何问题的解决中具有广泛的应用。
本文将对高中数学中的空间向量应用的重点知识点进行归纳，帮助同学们更好地理解和掌握相关内容。
一、基本概念1. 空间向量的定义：空间向量是指具有大小和方向的量，用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
2. 空间向量的表示：空间向量可以用坐标表示，也可以用位置矢量表示，其中位置矢量由起点和终点确定。
3. 零向量：零向量是长度为0，方向任意的特殊向量，用0表示。
4. 相等向量：具有相同大小和方向的向量称为相等向量，记作→AB = →CD。
二、向量的运算1. 向量的加法：向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量，具有平行四边形法则和三角形法则两种运算法则。
2. 向量的减法：向量的减法是指将两个向量相减得到一个新的向量，可利用向量加法实现。
3. 向量的数乘：向量的数乘是指将向量的每个分量与一个实数相乘得到一个新的向量。
4. 点乘：点乘又称为数量积或内积，表示为A·B，结果是一个实数。
点乘有几何意义和代数意义，具有交换律和分配律等运算规则。
5. 叉乘：叉乘又称为向量积或外积，表示为A×B，结果是一个向量。
叉乘有几何意义和代数意义，具有反交换律和满足叉乘的运算规则。
三、空间向量的应用1. 直线的方程：通过两个不共线的点可以确定一条直线，可以利用向量求解直线的方程。
2. 平面的方程：通过三个不共线的点可以确定一个平面，可以利用向量求解平面的方程。
3. 点到直线的距离：点到直线的距离可以通过向量的投影求得，利用这一点可以解决点到直线的最短距离问题。
4. 点到平面的距离：点到平面的距离可以通过向量的投影求得，利用这一点可以解决点到平面的最短距离问题。
5. 直线的位置关系：通过向量的共线性可以判断直线的位置关系，包括相交、平行和重合等情况。
6. 平面的位置关系：通过向量的共面性可以判断平面的位置关系，包括相交、平行和重合等情况。
高中数学-空间向量的应用
第4讲空间向量的应用知识梳理1．空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点以及一个向量确定，这个向量叫做直线的方向向量．2．若直线l垂直于平面α，取直线l的方向向量a，则a⊥α，则a叫做平面α的法向量．3.(1)线线垂直：设直线l，m的方向向量分别为a，b，则l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0.(2)线面垂直：设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔a∥u⇔a＝k u，k∈R.(3)面面垂直：若平面α的法向量为u，平面β的法向量为ν，则α⊥β⇔u⊥ν⇔u·ν＝0.4．设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量分别为a，b，则cos θ＝|a·b||a||b|.5．设直线l与平面α所成的角为θ，直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝|a·n||a||n|.6．设二面角α－l－β的平面角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则|cos θ|＝|n1·n2| |n1||n2|.考点题型知识点1 直线的方向向量与平面的法向量【例1-1】（焦作期末）若点，在直线l上，则直线l的一个方向向量为A. B. C. D.【例1-2】（广州期末）设是直线l的方向向量，是平面的法向量，则A. B. C. 或 D. 或【变式训练1-1】（沙坪坝区校级模拟）若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是A. B.C. D.【变式训练1-2】（东阳市模拟）已知，，分别是平面，，的法向量，则，，三个平面中互相垂直的有A. 3对B. 2对C. 1对D. 0对知识点2 用空间向量研究直线、平面的平行关系【例2-1】（浙江模拟）已知在正四棱柱中，，，点E为的中点，点F为的中点．求证：．【例2-2】（柯城区校级模拟）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面ABCD，且，点E是PD的中点．求证：平面AEC．【例2-3】（金华期末）如图，已知棱长为4的正方体中，M，N，E，F分别是棱，，，的中点，求证：平面平面EFBD．【变式训练2-1】（宿迁期末）如图，在长方体中，，，，点P在棱上，且，点S在棱上，且，点Q、R分别是棱、AE的中点．求证：．【变式训练2-2】（朝阳区期末）已知正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，求证：平面ADE；平面平面F.知识点3 用空间向量研究直线、平面的垂直关系【例3-1】（扬州期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，底面ABCD，且，M为PC的中点．求证：【例3-2】（上城区校级模拟）如图所示，在正方体中，E，F分别是，DC的中点，求证：平面F.【例3-3】（点军区校级月考）如图，在五面体ABCDEF中，平面ABCD，，，M为EC的中点，求证：平面平面CDE．【变式训练3-1】（三明模拟）已知空间四边形ABCD中，，，求证：．【变式训练3-2】（镇海区校级模拟）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形且，，底面ABCD，E是AD的中点，F在PC上．F在何处时，平面PBC？【变式训练3-3】（未央区校级月考）在四面体ABCD中，平面BCD，，，，E，F分别是AC，AD的中点，求证：平面平面ABC．知识点4 用空间向量研究空间中的距离问题【例4-1】（海淀区校级期末）如图，已知正方形ABCD的边长为1，平面ABCD，且，E，F分别为AB，BC的中点．求点D到平面PEF的距离；求直线AC到平面PEF的距离．（房山区期末）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，【变式训练4-1】，，．求点D到平面PBC的距离；求点A到平面PBC的距离．知识点5 用空间向量研究空间中的夹角问题【例5-1】（宝山区校级期末）如图，ABCD为矩形，AB＝2，AD＝4，P A⊥面ABCD，P A＝3，求异面直线PB与AC所成角的余弦值．【例5-2】（常州期末）已知在正三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长与底面边长相等，求AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值．【例5-3】（漳州三模）已知，P A⊥平面ABC，AC⊥BC，P A＝AC＝1，BC＝ 2.求二面角A－PB－C的余弦值．【变式训练5-1】（沭阳县期中）如图，在正四棱柱中，，，点M是BC 的中点．求异面直线与DM所成角的余弦值求直线与平面所成角的正弦值求平面与平面ABCD所成角的正弦值．A组-[应知应会]1.（杨浦区校级期中）若直线l的方向向量为0，，平面的法向量为0，，则A. B. C. D. l与斜交2. （安徽模拟）已知，，，则向量与向量的夹角为A. B. C. D.3. （闵行区校级模拟）已知四边形ABCD是直角梯形，，平面ABCD，，则SC与平面ABCD所成的角的余弦值为A. B. C. D.4. （贵阳模拟）在正方体中，棱长为a，M，N分别为和AC上的点，，则MN与平面的位置关系是A. 垂直B. 相交C. 平行D. 不能确定5.（温州期末）如图，在长方体中，，E为CD的中点，点P在棱上，且平面，则AP的长为A.B.C. 1D. 与AB的长有关6.（鼓楼区校级模拟）二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知，，，，则该二面角的大小为A. B. C. D.7.（和平区校级二模）如图所示，在正方体中，点P是棱AB上的动点点可以运动到端点A和B，设在运动过程中，平面与平面所成的最小角为，则A.B.C.D.8. （多选）（东阳市模拟）已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果，2，，2，，下列结论正确的有A. B.C. 是平面ABCD的一个法向量D.9.（江苏模拟）已知，，若，，且平面ABC，则y，等于________．10.（南通模拟）已知正三棱柱的各条棱长都相等，M是侧棱的中点，则向量与所成角的大小是．11.（清江浦区校级模拟）在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是正方形，且，G为的重心，则PG与底面ABCD所成角的正弦值为．12.（沭阳县期中）在四棱锥中，底面ABCD为矩形，侧棱底面ABCD，，E为PD的中点，点N在面PAC内，且平面PAC，则点N到AB的距离为__________13.（滨海新区模拟）如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD，，则二面角的余弦值为________．14.（浦东新区校级月考）如图，在正方体中，E为的中点，求异面直线CE 与BD所成的角．15.（江宁区校级月考）如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，，，，F为PD的中点．求证：；求证：平面PEC．16.（临泉县校级月考）正方体中，E，F分别是，CD的中点．求证：平面平面；在AE上求一点M，使得平面DAE．17. （兴宁区校级期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，且，平面ABCD．求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；在棱PD上是否存在一点E使得？若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由．18. （沙坪坝区校级期末）如图，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点．求二面角的大小．在线段上是否存在一点E，使得平面平面若存在，求出AE的长若不存在，说明理由．1.（齐齐哈尔期末）如图，在圆锥SO中，A，B是上的动点，是的直径，M，N是SB的两个三等分点，，记二面角，的平面角分别为，，若，则的最大值是A. B. C. D.2.（如皋市期末）如图，在长方体中，E是的中点，点F是AD上一点，，，，动点P在上底面上，且满足三棱锥的体积等于1，则直线CP与所成角的正切值的最小值为________．。
高中数学向量的运算技巧及应用举例
高中数学向量的运算技巧及应用举例向量是高中数学中的重要概念，它不仅在几何中有广泛的应用，还在物理学、工程学等领域中发挥着重要作用。
掌握向量的运算技巧和应用，对于高中学生来说至关重要。
本文将以具体的题目为例，详细介绍向量的运算技巧及其应用。
一、向量的加法和减法向量的加法和减法是向量运算中最基础的部分。
在进行向量的加减运算时，需要注意向量的方向和大小。
例题1：已知向量a = (2, 3)和向量b = (-1, 4)，求向量c = a + b。
解析：根据向量的加法定义，向量c的横坐标等于向量a和向量b的横坐标之和，纵坐标等于向量a和向量b的纵坐标之和。
因此，向量c = (2 + (-1), 3 + 4) = (1, 7)。
例题2：已知向量a = (3, 5)和向量b = (2, -4)，求向量c = a - b。
解析：根据向量的减法定义，向量c的横坐标等于向量a和向量b的横坐标之差，纵坐标等于向量a和向量b的纵坐标之差。
因此，向量c = (3 - 2, 5 - (-4)) = (1, 9)。
通过以上两个例题，我们可以看出向量的加法和减法运算实际上就是对应坐标的加减运算。
掌握了这一点，我们就能够轻松地进行向量的加减运算。
二、向量的数量积和向量积向量的数量积和向量积是向量运算中的两个重要概念。
数量积表示两个向量的乘积，向量积表示两个向量的叉乘。
例题3：已知向量a = (3, 4)和向量b = (2, -1)，求向量a和向量b的数量积。
解析：向量a和向量b的数量积等于向量a的横坐标乘以向量b的横坐标之和，再加上向量a的纵坐标乘以向量b的纵坐标之和。
因此，向量a和向量b的数量积为3 * 2 + 4 * (-1) = 6 - 4 = 2。
例题4：已知向量a = (3, 4)和向量b = (2, -1)，求向量a和向量b的向量积。
解析：向量a和向量b的向量积等于向量a的横坐标乘以向量b的纵坐标减去向量a的纵坐标乘以向量b的横坐标。
高中数学向量知识点总结
高中数学向量知识点总结向量是高中数学中的重要概念之一，它在几何、代数、物理等学科中都有广泛的应用。
本文将对高中数学中与向量相关的知识点进行总结，包括向量的定义、向量的表示方法、向量的运算法则、向量的数量积与向量的叉积等。
希望通过本文的阅读，能够加深对高中数学向量知识的理解与应用。
一、向量的定义在数学中，向量是具有大小和方向的量，用箭头来表示。
向量通常用字母加箭头上方的线来表示，比如向量a表示为：a。
向量的大小称为向量的模，用两条竖线表示，比如向量a的模表示为：|a|。
二、向量的表示方法1. 坐标表示法：向量可以用有序数对表示，比如二维空间下的向量a，可以表示为：a=(a,a)。
三维空间下的向量a，可以表示为：a=(a,a,a)。
2. 分量表示法：向量可以用分量表示，比如二维空间下的向量a，可以表示为：a=aa+aa。
三维空间下的向量a，可以表示为：a=aa+aa+aa。
其中，a，a，a分别表示x轴、y轴、z轴的单位向量。
三、向量的运算法则1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律，即向量a+a=a+a，(a+a)+a=a+(a+a)。
2. 向量的数乘：向量与数的乘积称为数乘，即k a，其中k为实数。
数乘满足分配律，即k(a+a)=k a+k a。
3. 向量的减法：向量的减法可以转化为加法与数乘，即a-a=a+(-a)。
四、向量的数量积向量的数量积是两个向量相乘得到的一个标量。
向量a与向量a的数量积可以表示为：a·a=|a||a|cosθ。
其中，θ为向量a与向量a之间的夹角。
五、向量的叉积向量的叉积是两个向量相乘得到的一个向量。
向量a与向量a的叉积可以表示为：a×a=|a||a|sinθa。
其中，θ为向量a与向量a之间的夹角，a为垂直于向量a和向量a所在平面的单位向量。
六、应用举例向量的知识点在几何、代数和物理等学科中有广泛的应用。
以下是一些应用的举例：1. 几何中，向量可以用来表示线段、直线和平面的方向和长度。
向量的应用
向量的应用向量是近代数学中最基本、最重要的概念之一，就来源而言，向量的概念来自对物理学中的力、速度以及加速度这一类矢量的研究。
由于向量具有大小和方向，而我们的学生对数及其运算较为熟悉，而在学了向量后，思维得以开阔，可使学生增长知识，对数及其运算的认识加深了一步，更重要的是由于向量具有的几何形式与代数形式的双重身份，使它成为中学数学的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介。
向量的引入将使高中数学中“数形结合”理论得到新的解析，为在高中数学贯彻“数形结合”的教学理念提供一种崭新的方法。
是当今世界中等教育的一种普遍趋势，是教育顺应时代发展的必然结果。
为学习三角、复数、几何等作了准备。
1、向量在三角中的应用当我们利用单位圆来研究三角函数的几何意义时，表示三角函数就是平面向量。
利用向量的有关知识可以导出部分诱导公式。
由于用向量解决问题时常常是以三角形为载体的，这使它在三角里解决有关三角形的问题发挥了重要作用，一个最有力的证据就是教材中所提供的余弦定理的证明：只要在向量三角形得出的关系式的两边平方就可利用向量的运算性质得出要证的结论，它比用综合法提供的证明要简便得多。
2、向量在代数中的应用向量作为工具性知识已列入中学教材之中，其应用价值已被广大师生认可。
用向量知识解题，方法新颖、运算简捷，是启迪学生思维的有效途径之一。
但向量是以几何的形式出现的，给人的感觉是在几何中应用广泛，其实用向量来解决代数中的一些问题也很方便。
根据复数的几何意义，在复平面上可以用向量来表示复数。
这样复数的加减法，就可以看成是向量的加减，复数的乘除法可以用向量的旋转和数乘向量得到，学了向量，复数事实上已没有太多的实质性内容。
因而变选学内容也就不难理解了。
另外我们在求一元函数的取值范围时，往往利用重要不等式或一元二次函数的性质，而当函数中含有根式时，问题就要复杂得多，这时巧妙运用“向量数量积小于等于向量的积”这一性质，可得到求解的新方法。
在不等式的证明、求解无理函数的最值中运用向量性4、向量在平面解析几何中的应用由于向量作为一种有向线段，本身就是有向直线上的一段，且向量的坐标可以用起点、终点的坐标来表示，使向量与平面解析几何特别是其中有关直线的部分保持着一种天然的联系。
高中数学公式大全向量的基本运算与坐标系转换公式
高中数学公式大全向量的基本运算与坐标系转换公式高中数学公式大全：向量的基本运算与坐标系转换公式向量是高中数学中的重要内容之一，它在几何、代数和物理等领域中都有广泛的应用。
本文将详细介绍向量的基本运算以及坐标系的转换公式。
1. 向量的基本运算在向量的基本运算中，常用到以下几种运算：加法、减法、数量乘法和点积。
1.1 向量的加法设有两个向量a和b，它们的加法可以表示为a + b。
向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a和(a + b) + c = a + (b + c)。
向量的加法可以简单地将它们的对应分量相加。
1.2 向量的减法向量的减法可以表示为a - b。
减法运算可以通过将被减向量b取反，即-b，然后进行加法运算来实现。
1.3 数量乘法数量乘法是指将一个标量与向量的每个分量相乘。
设有向量a和标量k，数量乘法可以表示为ka。
数量乘法满足结合律，即k(la) = (kl)a。
点积，也称为数量积或内积，在向量的运算中起着重要的作用。
设有向量a和b，它们的点积可以表示为a · b。
点积具有以下性质：- a · b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ为它们夹角的余弦。
- 点积满足交换律，即a · b = b · a。
- 如果a与b垂直，则它们的点积为0，即a · b = 0。
2. 坐标系转换公式在数学中，常用的坐标系有直角坐标系、极坐标系和球坐标系。
在进行向量运算时，有时需要在不同的坐标系之间进行转换。
下面介绍一些常见的坐标系转换公式。
2.1 直角坐标系与极坐标系的转换在直角坐标系中，一个二维向量可以由其x和y的分量表示为a = (x, y)。
在极坐标系中，向量的长度用其模长r表示，与x轴的夹角用θ表示。
直角坐标系到极坐标系的转换公式为：- r = √(x^2 + y^2)- θ = arctan(y/x) (其中arctan为反正切函数)极坐标系到直角坐标系的转换公式为：- y = rsinθ2.2 直角坐标系与球坐标系的转换在直角坐标系中，一个三维向量可以由其x、y和z的分量表示为a = (x, y, z)。
高考数学中的三维向量解析及应用
高考数学中的三维向量解析及应用在高考数学中，三维向量是一个重要的概念。
三维向量是指具有大小和方向的物理量，通常用箭头表示。
它有很多应用，比如在几何学中用于描述线、面的方向和位置，可以用来解决几何问题；在物理学中，它可以用来描述力、速度、加速度等物理量，是物理学中的基本概念。
三维向量的表示首先，我们来看一下三维向量的表示。
三维向量通常用一个三元组表示，比如 (x,y,z)。
其中，x、y、z 分别表示向量在三个坐标轴上所对应的分量。
三维向量的加减三维向量的加法和减法与二维向量相似，只是应用的方向和维度不同而已。
两个向量相加或相减的结果，仍是一个向量。
其具体方法如下：(1) 两个向量相加：(x₁,y₁,z₁)+(x₂,y₂,z₂)=(x₁+x₂,y₁+y₂,z₁+z₂)(2) 两个向量相减：(x₁,y₁,z₁)-(x₂,y₂,z₂)=(x₁-x₂,y₁-y₂,z₁-z₂)三维向量的数量积和向量积数量积：两个向量的数量积，也叫点积，表示为 a·b，其结果是一个数，它等于两个向量之间夹角的余弦值与向量的模长的积。
具体方法如下：a·b=|a|·|b|·cosθ其中，|a|、|b| 分别表示向量 a 和向量 b 的模长，θ 表示向量 a和向量 b 之间夹角的余弦值。
向量积：两个向量的向量积，也叫叉积，表示为 a×b，其结果是一个向量，它的大小等于两个向量构成的平行四边形的面积，方向垂直于两个向量所在的平面，遵循右手定则。
具体方法如下：a×b=|a|·|b|·sinθ·n其中，|a|、|b| 分别表示向量 a 和向量 b 的模长，θ 表示向量 a和向量 b 之间夹角的正弦值，n 表示垂直于向量 a 和向量 b 所在的平面的法向量。
三维向量的应用三维向量在几何学和物理学中有广泛的应用。
下面列举几个例子：(1) 空间几何问题三维向量在空间几何中有非常重要的应用。
高中数学2.5平面向量应用举例(教、学案)
2. 5平面向量应用举例一、教材分析向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题，例如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。
二、教学目标1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐 标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节” 和生活中的实际问题2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的 积极主动的探究意识，培养创新精神。
三、教学重点难点重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决. 四、学情分析在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生来说，非常熟悉的内容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。
五、教学方法1.例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。
2.学案导学：见后面的学案3.新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备1.学生的学习准备：预习本节课本上的基本内容，初步理解向量在平面几何和物理中的 应用2.教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
七、课时安排：1课时 八、教学过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
(二）情景导入、展示目标教师首先提问：（1）若O 为ABC ∆重心,则OA +OB +OC =0（2）水渠横断面是四边形ABCD ,DC =12AB ,且|AD |=|BC |,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?(3) 两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。
数学用向量方法解决问题专题研究3000字报告
数学用向量方法解决问题专题研究3000字报告一、课题研究的背景及意义向量具有几何形式与代数形式的“双重身份”，它是中学数学知识的一个交汇点，是数学问题解决的重要工具。
《普通高中数学课程标准》对其教学要求为重基础，突出向量作为工具的作用。
本课题对高中数学教科书中的向量内容进行分析，把向量作为数学工具来解决数学问题，列举在教学中积累的应用向量解决问题的实例，并进行分类讨论。
主要是向量在平面几何、函数、等式与不等式、数列、复数、三角函数、平面解析几何等数学问题解决教学方面的应用。
学生在中学阶段必须掌握利用向量来解决常见的数学问题。
在此背景下，“运用向量法解题”是一值得关注和研究的问题。
二、课题研究的目标和内容研究目标本课题研究的目标是明确向量在中学数学解题中的地位，提高对向量解题的认识，有效地促进中学数学中利用向量解题，从解题的内涵、思维过程等方面试图从向量解题的思想方法、解题策略、解题心理、解题案例等方面尽可能全面的阐述向量解题，给学习向量的人提供相应的参考。
1、优化学生认识的结构根据数学学习的同化理论，学生在数学学习的过程中，总是在原有的知识基础上，学习、接受新的知识，使旧知识获得新的意义，使原来的认知结构得到重建和优化。
如学习向量平行与垂直时，可以使原有的直线平行、垂直含义及证明的方法得到扩充，得到同化，充实了学生的知识结构。
在向量的观念下，学生可以从多角度多方面思考数学知识，达到对知识的融合，优化学生认识结构。
2、培养学生的思维品质中学数学教学的目的之一是培养学生的思维能力，而培养数学思维品质是形成数学思维能力的基本条件。
向量的引入给培养学生的思维品质提供了新的方法和途径。
利用向量知识点的多样性，一题多解，培养思维的广阔性；在平面向量这一章中许多概念及有关向量的运算、运算性质、运算律、既类似于实数的相关知识，又有本质区别，这是本章难点，在训练过程中，完善学生认识结论，克服知识负迁移，培养思维的批判性；以课文习题为蓝本实现一题多变，培养思维的灵活性；利用向量形成解题模型，做到一法多题，培养学生思维的聚合性。
向量在解决高中数学问题中的应用
向量在解决高中数学问题中的应用高中数学问题相对于其他阶段的数学问题而言具有一定的复杂性，并且高中数学知识也有着相应的连贯性特点，所以针对一个题目会存在着多种解答方法。
“向量”也可以用来解决数学中的许多问题，因此教师在进行教学、学生在进行题目解答时要发挥“向量”的作用价值，应用到各类数学问题中去。
一、教学策略中体现“向量”的价值意义向量在许多数学问题上能够作为有效的手段进行问题解决，因此向量在数学教学中是一个非常重要的环节，教师进行向量基础知识的教学中就应该重视对向量的价值意义进行解释，使得学生对向量的学习保持着一定的热情，从而能够重视向量知识的应用。
例如在学习“向量的加法”时，设a=（x，y），b=（x1，y1），向量满足着平行四边形法则和三角形法则，所以便可以得出AB+BC=AC，由此满足向量公式：a+b=（x+x1，y+y1），并且a+0=0+a=a。
这个知识点就是一个关于向量在平面图形中的应用问题，所以教师便可以让学生进行猜想：平面问题的解决是否可以用向量知识来解答呢。
这个问题就是“向量”价值意义的体现，促进学生在学习向量这个知识时能够结合其他知识来进行思考，推动知识的结合应用，充分把向量的价值意义能够从其他类型的知识体系中体现出来。
这也是教师教学策略的体现，让学生巩固数学知识，寻找解决途径。
又比如“数乘向量”的学习，实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且?Oλa=λ?a?O。
当λ>0时，λa与a同方向；当λ<0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
需要追的是：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
这种数乘向量的知识也有着其重要的价值意义，规律中对λ的讨论就是一种严谨性的数学意识，这在高中数学学习中非常重要，因此向量知识也将此体现出来。
而向量特殊的方向性，对整个数学问题的讨论有着指导性作用，引导着学生更加注意到数学问题中的正负问题，这在其他类别的数学问题上也有着体现，所以向量的价值意义还在于对其他知识体系的映射，学生能够通过向量的学习类比其他数学问题，这便是非常重要的数学经验。
向量在解决高中数学问题中的应用研究
向量在解决高中数学问题中的应用研究
作者：翟梦河
来源：《新教育时代·学生版》2016年第12期
摘要：向量是高中数学一个重要并且实用的知识点，它能够将复杂的数学问题转化成几个简单的计算题，提升学生对数学问题的解决和理解。
本文将详细阐述向量在解决高中数学问题时的应用方式，以提升学生对于高中数学问题的解决能力。
关键词：向量高中数学数学问题
引言
高中数学对于学生的逻辑性和解题技巧有了更高的要求，学生需要更加灵活的运用各种方式对问题进行解析，并选择合适的、灵活的方式解题方法[1]。
向量就是一种非常常用且灵活的解题方式，被广泛的应用在数学问题中[2]。
在不等式、三角函数、线性规划等问题中，都能很好的降低问题的难度，帮助学生更好的进行解题，提升学生的解题能力。
用向量方法解决数学问题
用向量方法解决数学问题将向量引入高中数学教材，并做为一种基础理论和基本方法要求学生掌握。
这是由于向量知识具有以下几大特点和需要。
首先，利用向量解决一些数学问题，将大大简化原本利用其他数学工具解题的步骤，使学生多掌握一种行之有效的数学工具。
其次，向量的引入将使高中数学中“数形结合”理论得到新的解析，为在高中数学贯彻“数形结合”的教学理念提供一种崭新的方法。
向量具有很好的“数形结合”特性。
一是“数”的形式，即利用一对实数对既可表示向量大小，又可以表示向量的方向；二是“形”的形式，即利用一条有向线段来表示一个向量。
而且这两种形式又是密切联系的，它们之间可以利用简单的运算进行相互转化。
可以说向量是联系代数关系与几何图形的最佳纽带。
它可以使图形量化，使图形间关系代数化，使我们从复杂的图形分析中解脱出来，只需要研究这些图形间存在的向量关系，就可以得出精确的最终结论。
使分析思路和解题步骤变得简洁流畅，又不失严密。
第三，向量概念本身来源于对物理系中既有方向、又有大小的物理量，即物理学中所称的“矢量”的研究。
其实，“向量”和“矢量”是在数学和物理两门学科对同一量的两种不同称呼而已。
在物理学中，矢量是相对于有大小而没有方向的“标量”的另一类重要物理量。
几乎全部的高中物理学理论都是通过这两类量来阐释的。
矢量广泛地应用于力学（如力，速度，加速度等）和电学（如电流方向，电场强度等）理论之中，在高中新教材中引入向量章节，对向量进行系统深入的学习和研究。
对学生在物理课上学习和理解矢量知识无疑将提供一个数学根据和许多运算便利。
同样，学生在物理课上碰到的与矢量有关的物理实际又会使他们对向量也有更深入了解，并激发他们学习向量知识的兴趣和热情。
如在力学中，对力、速度等的分解和合成，使用的就是向量的加减理论，数学和物理的完美结合，起到异曲同工之作用。
第四，把向量理论引入高中教材，也是当今世界中等教育的一种普遍趋势，是教育顺应时代发展的必然结果。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
向量在高中数学中的应用
在高中数学新课程教材中，平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。
学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识整合的不多，很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题。
向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。
距离如下：
1、利用向量证明等式
材料一：已知、是任意角，求证：。
证明：在单位圆上，以轴为始边作角，终边交单位圆于A，以轴为始边作角，终边交单位圆于B，有，所以有：
又
即
点评：对于某些恒等式证明，形式中含有或符合向量的坐标运算形式，可运用
向量的数量积定义和向量坐标运算来证明。
2、利用向量证明不等式
材料二：是正数。
求证：
证明：设
由数量积的坐标运算可得：
又因为，所以成立。
点评：当求解问题（式子）中含有乘积或乘方时，可巧妙地利用向量数量积坐标表达式：
，，构造向量解之。
3、利用向量求值
材料三：已知，求锐角。
解析：由条件得
设，，
则，，，
由，得，即，
则，即，同理（因为、为锐角）
点评：对于求值问题，巧妙地运用向量的数量积定义构造等量关系求值。
4、利用向量求函数值域
材料四：若，求的最小值。
解析：构造向量，
由，得
即，
当且仅当时，有最小值
点评：巧妙构造向量，可以解决条件最值问题，特别是某些含有乘方之和或乘积之和式子的条件最值问题，用向量证明更有独特之处。
5、利用向量解决析几何问题
材料五：过点，作直线交双曲线于A、B不同两点，已知。
（1）、求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
（2）、是否存在这样的直线，使若存在，求出的方程；若不存在说明理由。
解析：（1）、设直线的方程为，
代入得，
当时，设，，则，
设，由，则
，解之得
再将代入得 (1)
当时，满足（1）式；
当斜率不存在是，易知满足（1）式，故所求轨迹方程为，其轨迹为双曲线；
当时，与双曲线只有一个交点，不满足题意。
（2），所以平行四边形OAPB为矩形，OAPB为矩形的充要条件是，即。
当不存在时，A、B坐标分别为，，不满足上式。
又
化简得：，此方程无实数解，故不存直线使OAPB为矩形。
点评：平面向量和平面解析几何是新老教材的结合点，也是近几年高考常考查的热点，解此类题应注重从向量积的定义和向量的加减法的运算入手，还应该尽量联系向量与解析几何的共同点，综合运用解析几何知识和技巧，使问题有效解决。
随着复习的继续与深入，我们还可以看到平面向量与概率、导数、复数等知识的交汇与整合，为命题者施展了优化创新试题的陈地，也为我们分析、解决问题的切入点开辟了新的视角。
解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：
（1）给出直线的方向向量或，要会求出直线的斜率；
（2）给出与相交,等于已知过的中点;
（3）给出,等于已知是的中点;
（4）给出,等于已知与的中点三点共线;
（5）给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数
,等于已知三点共线.
（6）给出，等于已知是的定比分点，为定比，即
（7）给出,等于已知,即是直角,给出
,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角。
（8）给出,等于已知是的平分线/
（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;
（10）在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;
（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；
（12）在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；
（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；
（14）在中，给出等于已知通过的内心；
（15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；
（16）在中，给出,等于已知是中边的中线著名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退。
这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担。