三维坐标系统

三维坐标系统《几何画板》在实现信息技术与数学课程整合中扮演着越来越重要的角色. 尽管《几何画板》在辅助函数、轨迹、平面几何、平面解析几何教学等方面发挥着重要作用, 但是在服务立体几何以及空间解析几何教学方面的功能却有待进一步开发,本节将通过构造三维直角坐标系统来实现相应功能。

一、左手直角坐标系和右手直角坐标系通常三维图形应用程序使用两种笛卡尔坐标系：左手系和右手系。

在这两种坐标系中，正x 轴指向右面，正y 轴指向上面。

通过沿正x 轴方向到正y 轴方向握拳，大姆指的指向就是相应坐标系统的正z 轴的指向。

图一显示了这两种坐标系统。

左手直角坐标系 右手直角坐标系图一 图二以右手直角坐标系为例，如图二，设M 在面xoy 上的投影为P ，点P 在轴上的投影为A ，则,,OA x AP y PM z ===，又sin ,cos OP r z r ϕϕ==，因此，点M 的直角坐标与球面坐标的关系为cos sin cos ,sin sin sin , (02,02)cos x OP r y OP r z r θϕθθϕθθπϕπϕ==⎧⎪==≤≤≤≤⎨⎪=⎩这样我们就可以利用球面坐标变换公式以及三角函数知识, 构造出空间直角坐标系。

二、构造方法1．如图三，在单位圆上取两点Z 和XY ，作出点Z 对应的正弦线和余弦线，记做SF 和CF ，再将CF 旋转90，得到Z 轴的一个单位的顶点，用红线连接，以便区分。

2．同样做出点XY 对应的正、余弦线，用ST 和CT 来标记。

将ST 旋转90，得到'ST 实际上就是ST -,过这个点作SF 和Scale 点的连线的平行线，那么交y 轴的交点恰好就是*ST SF -的大小,标记过原点到这个点的向量，将CT 点按照这个向量平移，就是X 轴的一个单位的顶点，同样用红线标记。

具体解释可以借助如图四中的相似形。

3.同样借助另一对相似三角形作出*CT SF ，也就是图五中的OA 。

标记OA ，把'ST 按照向量OA 平移，就是Y 轴的一个单位的顶点。

图三图四 图五4.只保留如图六所示内容，把点,,X Y Z 和圆周上的两点,Z XY 的属性【标签】的选项“在自定义工具中使用标签”勾选，把点,O Scale 的属性改为“自动匹配画板中的对象”，创建三维坐标系统。

图六三、制作空间曲线 1.李萨如曲线参数方程为cos(5)sin(3),([0,2])sin x y z θθθπθ=⎧⎪=∈⎨⎪=⎩用三维坐标系统工具构造一个三维坐标系【方法是，在平面上任意构造两点，把标签依次改为,O Scale ，调用工具“三维坐标系统”，则自动绘制出一个三维直角坐标系】，在【编辑】→【参数选项】中修改角度的单位为“弧度”（因为作图中的函数中涉及三角函数）。

定义好三个函数()cos5()sin 3()sin f x x g x x h x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩【数据】→【新建函数】并绘制一个圆，给出角度ABC ∠，标记为t ，计算(),(),()f t g t h t ，标记三维坐标系统的中心O ，将单位点,,X Y Z 依次按照放缩比(),(),()f t g t h t 放缩得到点',','X Y Z ，过'X 作OY 的平行线与过'Y 作OX 的平行线交于点D ，将点D 按照向量'OZ 平移得到点'D ，同时选中点,'A D ，构造轨迹，隐藏不必要的点即可。

如果将()h x 修改为()0h x =，你将观察到什么结果呢？它是在XOY 平面上的投影，根据这个想法，可以作出在各个面上的投影。

有了投影的空间曲线可能立体感更强些。

图七如果要增强立体感，可以加上一些辅助措施，放在一个正方体中，添加曲线在三个面上的投影。

【具体方法是以点O 为正方体的中心，分别作点,,X Y Z 关于点O 的对称点，构造一个正方体】。

只要作出在有公共顶点的三个面上的投影，立体感就会明显增强。

画出以下几个方程组确定的图像就可以了。

cos(5)sin(3)1 x y z θθ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，cos(5)1 sin x y z θθ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩， 1 sin(3)sin x y z θθ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩为制作方便起见，通过定制工具来实现。

依次选取(),(),(),,,,,,'f x g x h x t O X Y Z D ，制作工具“三维系统对应点”。

定义新函数()1q x =-，点选定制的工具，依次选取(),(),(),,,,,,'q x g x h x t O X Y Z D ，得到点'F 。

同时选取点'F 和点A ，构造轨迹，轨迹设置为虚线，灰色。

同样得到其他的图案。

(),(),(),,,,,,'f x q x h x t O X Y Z D ；(),(),(),,,,,,'f x g x q x t O X Y Z D ，最后的效果如图八所示。

图八当然，我们可以画出一般的参数的情况，甚至只要在这个范例上稍加修改就可以达到一个动态的曲线。

2.绘制圆柱螺旋线圆柱螺旋线的参数方程为：cos sin x a y b z b ϑθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，其中,a b 均为常数，在空间坐标系中绘制该曲线。

新建参数 1.2,0.1a b ==，新建三个函数()cos ()sin () f x a x g x a x h x bx =⎧⎪=⎨⎪=⎩绘制一个圆，给出角度ABC ∠，标记为t ，新建参数6k =，计算kt ，计算函数(),(),()f kt g kt h kt 的值。

点选工具“三维系统对应点”，依次单击(),(),(),,,,,f x g x h x kt O X Y Z ，得到点'S ，同时选中点'S 和点A ，构造轨迹得到如图九所示。

h k ∙t () = –0.66弧度g k ∙t () = –0.38f k ∙t () = 1.14k ∙t = –6.60弧度kh x () = b ∙x g x () = a ∙sin x ()f x () = a ∙cos x ()t = –1.10弧度baC图九说明：这里的θ由于没有[0,2)π的限制，所以添加了一个调节参数k ，从而使得θ的值随k 的增大而增大。

实际上，k 的作用就是增加螺旋线的圈数。

用类似的方法，可以制作圆锥螺旋线。

其对应的参数方程为000sin cos sin sin cosx y z ραθραθρα=⎧⎪=⎨⎪=⎩其中，0sin tan 0eαθβρρ=，00,,ραβ均为常数，当004,,63ππραβ===时，对应的圆锥螺旋线如图十所示。

【说明，选中工具“三维系统对应点”后，依次单击(),(),(),,,,,f x g x h x kt O X Y Z 】kh x() = ρ∙cosα0()g x() = ρ∙sinα0()∙sin x()f x() = ρ∙sinα0()∙cos x()t = 弧度βα0YXZO ScaleZXYC图十四、制作三维曲面1.莫比乌斯带。

参数方程为(,)(,)cos(,)(,)sin(,)sin2x t v r t v ty t v r t v ttz t v bv⎧⎪=⎪=⎨⎪⎪=⎩其中，(,)cos,,2tr t v a bv a b=+为常数，v的范围为[1,1]-，t的范围为[0,2)π。

由于几何画板不支持二元函数，所以，考虑这样处理，()cos cos()cos2()sin cos()sin2()sin()2tf x a t bx ttg x a t bx tth x bx⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩这里的x就是前面函数中的v。

若给定一个v，就可以画出这个曲面上的一条曲线。

不妨先给定1v=-。

仿前面操作，新建两个参数2,1a b==，新建三个函数(),(),()f xg xh x表达式如上，绘制一个圆，给出角度ABC∠，标记为t，新建两个参数1v=-和1v=，点选工具“三维系统对应点”后，依次单击(),(),(),1,,,,f xg xh x v O X Y Z=-，得到点'V，同时选中点'V和点A ，构造轨迹；再依次单击(),(),(),1,,,,f x g x h x v O X Y Z =，得到点''V ，同时选中点''V 和点A ，构造轨迹；构造线段'''V V ，同时选中点A 和线段'''V V ，构造轨迹，得到图十一所示。

v 1v b a t = 弧度g x () = a ∙sin t () + b ∙x ∙cos t2(h x () = b ∙x ∙sint2()f x () = a ∙cos t () + b ∙x ∙cos t2(图十一2.圆柱。

仿前面操作，新建一个参数1a =，新建四个函数(),(),(),()f x g x h x q x 表达式如图十二所示，绘制一个圆，给出角度ABC ∠，标记为t ，点选工具“三维系统对应点”后，依次单击(),(),(),,,,,f x g x h x t O X Y Z ，得到点'V ，同时选中点'V 和点A ，构造轨迹；再依次单击(),(),(),,,,,f xg x q x t O X Y Z ，得到点''V ，同时选中点''V 和点A ，构造轨迹；构造线段'''V V ，同时选中点A 和线段'''V V ，构造轨迹，得到图十二所示。

q x () = 1f x () = a ∙cos t ()g x () = a ∙sin t ()h x () = 1a t = –1.09弧度V'图十二。