第一章微分方程概论-第一章微分方程概论
常微分第一二章
u2070C
例2.解析几何模型
求一曲 线线 上， 任 (x设 y,)一 处 在 点 的 曲 切线斜
该点横2倍 坐， 标并 的且该 (1曲 .,2)线经过点
解 (1)依据: 曲y线 y(x)导数的几 — — 何 d是 y意曲 义线
dx 在 (x,y)处的切线斜率
(2)数学模型
dy dx
2x .
4. 40学时的初步分配：
第一、二章：用6次课;（穿插课堂习题）
第 三 章：用4次课;
第 四 章：用6次课;
第 五 章：用4次课.
第二章 一阶微分方程的初等解法
一阶微分方程
六种解法（工具箱）
显式
dy f (x, y), d(x导数已解出
)
（M对( x称, y形)d式x） N ( x, y)dy 0
3. 重视应用，重视计算，重视解题格式； 4. 适度减弱教材中某些理论证明，补充工程中常用 的，工程师喜用的解题方法.
学习要求
1. 准确、熟练地掌握基本概念、基本解法，了解 相关的基本理论. 2. 初步学会由实际问题建立数学模型、求解、再 回到（解释、解决）实际问题的方法.
3. 认真听好课，及时预习和复习;上好习题课，按 质、按量及时完成作业.
y | x 1 2
(3)求解
通解： yx2 c
曲线族
特解： yx2 1 过(1,2)满足题意的一条曲线
例3.单摆运动数学模型
一根长为l 的细杆，一端联结一个质量为m 的球M, 另
一端悬挂在O点，若不计细杆的质量，在重力的作用下细
杆在某一铅直平面上摆动，求摆球的运动规律.
解 (1)物理依据：牛顿第二定律——Fma
画出方程 dy x2 y2 的线素场，并近似地描出积分曲
高等数学2 课本教材
高等数学2 课本教材高等数学2是一个涉及复杂概念和公式的学科。
它是数学的一个分支，主要研究了微积分、线性代数和概率论等内容。
本节文章将以教科书的形式，按照章节的顺序来介绍高等数学2课本的主要内容。
第一章微分方程微分方程是高等数学2中最重要的章节之一。
它涉及到描述变化过程的方程。
本章首先介绍了常微分方程的概念和基本理论。
然后，详细讨论了一阶和二阶常微分方程的解法，包括可分离变量法、齐次方程法和常数变易法等。
接着，介绍了线性常微分方程的解法及其应用。
最后，通过一些实际问题的案例，说明微分方程在物理、经济和生态学等领域的应用。
第二章无穷级数无穷级数是高等数学2中的另一个重要概念。
本章首先介绍了数列和数列极限的概念。
然后，引入了无穷级数的定义，并详细讨论了级数和部分和的性质。
接着，讨论了正项级数的收敛性质，包括比较判别法、比值判别法和根值判别法等。
最后，介绍了幂级数和傅里叶级数的基本概念及其应用。
第三章多元函数微分学多元函数微分学是高等数学2中的一个重要分支。
本章首先引入了多元函数的概念，并讨论了极限和连续等基础理论。
然后，详细讨论了多元函数的偏导数、全微分和方向导数等概念。
接着，介绍了多元复合函数的求导法则和隐函数的求导法则。
最后，引入了多元函数的泰勒公式和拉格朗日乘数法，通过实例讲解了这些概念的应用。
第四章多重积分多重积分是高等数学2中涉及到空间区域的重要内容。
本章首先引入了二重积分和三重积分的概念，并讨论了累次积分和重积分的性质。
然后，介绍了换元积分法和坐标变换法来计算多重积分。
接着，讨论了二重积分和三重积分的应用，包括质量、质心和转动惯量等问题。
最后，介绍了曲线积分和曲面积分的基本概念及其应用。
第五章曲线与曲面的方程曲线和曲面的方程是高等数学2中的一个重要内容。
本章首先介绍了参数方程和方程组的基本概念。
然后，详细讨论了平面曲线和空间曲线的一般方程及其性质。
接着，介绍了曲线的切线和法平面方程的求解方法。
1_1基本概念 常微分简明教程
3. y Ce , y 2 y y 0, (C是任意常数)
x
4. y x 1, y y ( x 1) y 2 x;
2 2 2
通解 —与方程的阶数相同个数的独立的任意常数联系 起来的解族 特解 — 满足特定条件的个解
例如
y 2 y 的通解为 y Ce ,
2x
y y 0 的通解为 y C1 cos x C2 sin x
gt C1t C2 ,
2
d y dt
2
2
g 的通解为 y
2
1 2
例如
( x) x 10 是方程
( x) e
x
y
y x 10
的一解
是方程
y y 的一解
1 ( x) sin x, 2 ( x) cos x 是方程 y y
深入观察
的解
( x) C ( x 10) 是方程 y
( x) Ce 是方程
2
( x 1) y xy y 0
d y dx
2
2
k y A sin x
2
例. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 且线段 PQ 被 y 轴平分, 则y(x)求所满足的方程就是一个微分方程 . 解: 如图所示, 点 P(x, y) 处的法线方程为
x
y x 10
的解
y y 的解
1 ( x) C1 sin x, 2 ( x) C2 cos x, ( x) C1 sin x C2 cos x
均是方程 y y 的解 ，其中C，C1，C2 表示任意常数
机动
常微分方程复习资料
第二章 一阶微分方程的初等解法
§2.1 变量分离方程与变量变换 §2.2 线性微分方程与常数变易法 §2.3 恰当微分方程与积分因子 §2.4 一阶隐式微分方程与参数表示
变量分离方程的求解
1、形式: dy f ( x )( y ) dx
2、求解方法： 分离变量、 两边积分、 考虑特殊情况
3、方程 dy p( x )y 的解为： dx
D(D 1) pD q y f (et )
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c(x)
Q(
x)e
p(
x
)dx
dx
~
c
y e ( p(x)dx
Q(
x)e
p(
x
)
dxdx
~
c)
(3)
二 伯努利(Bernoulli )方程
伯努利方程：形如 dy p(x) y Q(x) yn 的方程， dx
这里P( x), Q( x)为x的连续函数。
解法:
10 引入变量变换 z y1n ,方程变为
dy a1x b1 y c1 dx a2 x b2 y c2
k(a2 x b2 y) c1 a2 x b2 y c2
f (a2x b2 y)
3. a1 b1
a2 b2
0,
且C1、C2不同时为零的情形
aa21
x x
b1 b2
y y
c1 c2
0 0
X x Y y ,
初值条件/Initial Value Conditions/ 对于 n 阶方程 y(n) f (x, y, y,, y(n1) )
初值条件可表示为
y(x0) y0, y(x0) y0 , y(x0) y0,, y(n1) (x0) y0(n1)
微分方程绪论
如:
dy (1) 2x dx
(2) xdy ydx 0
是一阶微分方程；
d 2x dx (3) tx x 0 2 dt dt
d 4x d 2x (4) 5 2 3x sin t 4 dt dt
3
是二阶微分方程；
是四阶微分方程.
n阶微分方程的一般形式为
常微分方程
Ordinary differential equation
王高雄 周之铭 朱思铭 王寿松编
常微分方程
Ordinary differential equation
• • • • • • • 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 绪 论 一阶微分方程的初等积分法 一阶微分方程的解的存在定理 高阶微分方程 线性微分方程组 定性理论初步1 2 一阶线性偏微分方程
n
dy x 例如 对一阶微分方程 dx y
有显式解:
y 1 x 和y 1 x .
2 2
和隐式解:
x y 1.
2 2
2 通解与特解 定义5 如果微分方程的解中含有任意常数,且所 含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的 阶数相同,则称这样的解为该方程的通解.
例如: y c1sinx c2cosx,c1 , c2为任常数
z z (5) z ; x y
2u 2u (6) 2 x y uz 0 . 2 x y
都是偏微分方程.
注: 本课程主要研究常微分方程. 同时把常微分方程简称 为微分方程或方程.
二、微分方程的阶 定义2：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或 微分的阶数称为微分方程的阶数.
dy 3. p( x) y ( x) dx
第一章_常微分方程
作业
1. 求方程y2y3y=0的通解。
2. 求方程y2yy0满足初始条件y|x04、 y| x02的特解。
3. 求方程y2y5y 0的通解。
1.2 常系数非齐次线性微分方程
方程
y+py+qy = f(x) (3) 称为二阶常系数非齐次线性微分方程，其
中p、q均为常数，f (x)为非齐次项
一、常数变易法
将方程(3)的特解记为 y(x) c1(x) y1(x) c2(x) y2 (x)
其中y1(x)和 y2 (x)为对应齐次方程的一对线性无关 解。将上述特解带入方程(3)可求解 c1(x)和c2 (x)。
由于 y c1y1 c2 y2 c1 y1 c2 y2 ，若令
c1 y1 c2 y2 0 则 y c1 y1 c2 y2 ，
齐次方程，有
2a1 3a0 3a1x 3x 1 由同幂次系数相等求解得
a1
1
a0
1 3
则非齐次方程的一个特解为
y* x 1 3
B.特殊情况
➢ 如果方程(3)的非齐次项 f(x)正好是对应齐次 方程的解，即各个非齐次项对应的指数
i 0 i
是原方程对应齐次方程的m重特征根，则方 程(3)的特解在原表达式上乘以xm 。
A.基本解法
【例 1.2.2】 求非齐次方程 y 2 y y 3e2x 的通解。 解：假设方程的一个特解为 y*(x) Ae2x ，代入非齐
次方程，有 4Ae2x 2Ae2x Ae2x 3e2x
求得 A 1。因此，方程的一个特解为 y* (x) e2x
又对应齐次方程的通解为 y(x) (c0 +c1x)ex ，因此 非齐次方程的通解为
是方程(1)的两个线性无关的解，方程的通解为
自动控制原理重点内容复习总结
自动控制系统的组成
控制原理复习总结 第一章 概论
定值控制系统：输入是扰动f。 随动控制系统：输入是给定r。
Y (s) G1(s) F (s)
Y (s) G2(s) R(s)
区别在于给定值的形式。
e = x-z
控制原理复习总结
第二章 控制系统的数学模型
主要内容：
1、基本概念 2*、描述系统动态模型的几种形式及相互转换 （1）微分方程 （2）传递函数 （3）方块图和信号流图 3、建立数学模型的步骤及简单对象的数学模型
（2）相加、分支点需要跨越方块时，需要做相应变换，两者 交换规律找正好相反。
（3）交换后，利用串、并、反馈规律计算。
四、信号流图
控制原理复习总结 第二章 控制系统的数学模型
信号流图是一种表示系统各参数关系的一种图解法， 利用梅逊公式，很容易求出系统的等效传递函数。
梅逊公式
总增益：
1
P
k
Pk k ,
根的数值
单位阶跃响应
欠阻尼 0＜ζ＜1
一对共轭复根
s1,2 n jd d n 1 2
有阻尼自然频率
衰减振荡
临界阻尼 ζ=1
两个相等的负实根
s1,2 n
单调
过阻尼
ζ＞1
两个不等的负实根 s1,2 n n 2 1
单调上升
无阻尼 ζ＝0 负阻尼 ζ＜0
一对共轭纯虚根 根具有正实部
s1,2 jn
第一章 概论
基本概念：
控制原理复习总结
1、控制系统的组成 2、开环控制与闭环控制及反馈控制 3、定值控制与随动控制系统
控制系统研究的主要内容： 1、系统分析：静态特性和动态特性 2、系统设计：根据要求的性能指标设计控制系统 对控制系统的基本要求： • 稳定性 • 准确性：稳态误差小 • 快速性：动态响应快，调节时间短，超调量小
第1章微分方程和差分方程
第一章 线性微分方程在讲这部分之前，我们先来看一个非常熟悉的物理问题。
一个一维粒子，初始时刻处于点0x x =，初始速度为0v ，受到阻尼作用，求该粒子的运动轨迹。
解：用()x t 表示粒子在任意时刻t 的位置，根据牛顿第二定律F ma =，有mx F =对于阻尼作用F kx =-，于是，粒子的运动方程mx kx =-这是关于时间t 的常微分方程，非常简单。
求解得12()ek t mx t c c -=+结合初始条件0(0)x x =，0(0)x v =，则010mv c x k =+，02mvc k=- 代入得粒子的运动轨迹0()(1e )kt m mv x t x k-=+-这就是这门课程的第二部分——数学物理方程所要讨论的内容：将物理问题表述成数学方程，然后用各种方法来求解方程。
1.1 常系数齐次线性微分方程方程的阶：微分方程中未知函数导数的最高阶数。
线性方程：微分方程中对于未知函数及其所有导数都是一次的，就称为线性方程，高于一次以上就称为非线性方程。
齐次方程：微分方程不含有不包含未知函数的项。
例如 u = 4 u xx ; 二阶线性，x 2u = u xx ; 二阶线性，(u x )2 + u 2 = 1; 一阶非线性。
一、二阶常系数齐次线性微分方程求解 二阶线性微分方程()()()y P x y Q x y f x '''++=若()0f x ≡为齐次，()0f x ≠为非齐次。
方程y ''+py '+qy =0称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数。
能否适当选取r , 使y =e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y =e rx 代入方程y ''+py '+qy =0得(r 2+pr +q )e rx =0由此可见, 只要r 满足代数方程r 2+pr +q =0, 函数y =e rx 就是微分方程的解。
高等数学B教材下册
高等数学B教材下册高等数学B教材下册是大学数学专业学生必修的一门课程。
本教材内容包括了微分方程、线性代数、多元函数与偏微分方程等内容。
这些内容对于培养学生的数学分析能力以及解决实际问题的能力具有重要意义。
下面将分别对教材中的各个章节进行简要介绍。
第一章：微分方程本章主要介绍微分方程的基本概念和解法。
首先，通过引入微分方程的概念，帮助学生理解微分方程的意义和作用。
然后，详细介绍了一阶微分方程和二阶常系数线性齐次微分方程的解法，包括分离变量法、齐次方程法和常系数线性微分方程法等。
最后，通过一些实际应用问题，引导学生将所学的理论知识应用到实际问题的解决中。
第二章：线性代数线性代数是数学学科中的重要分支，对于数学专业学生具有重要的基础作用。
本章主要介绍了线性代数的基本概念和基本理论，包括向量空间、线性变换、特征值与特征向量等内容。
通过引入矩阵的概念和运算法则，学生可以更好地理解线性代数的基本原理和技巧。
同时，本章还介绍了矩阵的特征值与特征向量的计算方法，以及对角化的原理和步骤。
第三章：多元函数与偏微分方程本章主要介绍多元函数与偏微分方程的基本概念和解法。
首先，引入了多元函数的概念和性质，并详细讨论了多元函数的极限、连续性和偏导数等重要概念。
然后，通过引入二阶偏导数和二阶混合偏导数的概念，学生可以更好地理解多元函数的导数与微分的关系。
接着，介绍了偏微分方程的基本概念和解法，包括特征线法、分离变量法和变量代换法等。
最后，通过一些典型的偏微分方程问题，帮助学生更好地掌握所学知识。
总结：高等数学B教材下册是大学数学专业学生必修的一门课程，主要介绍了微分方程、线性代数和多元函数与偏微分方程等内容。
通过学习这些内容，学生可以培养数学分析能力和解决实际问题的能力。
希望同学们在学习过程中，能够认真对待每个章节，并灵活运用所学知识解决实际问题。
通过系统学习高等数学B教材下册，同学们可以为将来的学习和工作打下坚实的数学基础。
高等数学2教材内容
高等数学2教材内容高等数学2教材作为大学数学课程中的重要组成部分，主要涵盖了微积分和线性代数等方面的内容。
它是一门具有较高难度的数学课程，对学生的数学思维和分析能力提出了更高的要求。
下面将对高等数学2教材的内容进行详细介绍。
第一章：微分方程微分方程是高等数学2教材的重要内容之一。
本章主要介绍了一阶微分方程和二阶线性微分方程的基本理论与方法。
学生将学习到如何求解微分方程以及应用微分方程解决实际问题的方法。
同时，还包括变量可分离方程、齐次线性微分方程、常系数非齐次线性微分方程等内容。
第二章：多元函数微分学多元函数微分学是高等数学2教材的第二章内容，它是微积分的一个重要分支。
本章主要介绍了多元函数的偏导数、全微分、方向导数、梯度以及多元函数的极值等概念和方法。
学生将学会如何根据函数的特点求解极值、应用多元函数解决实际问题等。
第三章：多元函数积分学多元函数积分学是高等数学2教材的第三章内容。
本章主要介绍了重积分、曲线积分和曲面积分等重要概念和计算方法。
学生将学会如何计算二重积分、三重积分以及应用积分解决实际问题。
第四章：无穷级数无穷级数是高等数学2教材的第四章内容。
本章主要介绍了数项级数、级数的敛散性以及收敛级数的性质。
进一步讲解了幂级数、傅里叶级数等概念和方法。
学生将学会判断级数的敛散性，并应用级数解决相关数学问题。
第五章：二次型与正定性二次型与正定性是高等数学2教材的第五章内容。
本章主要介绍了二次型的定义、矩阵表示和正定性等概念。
学生将学会如何通过矩阵运算和矩阵变换来研究二次型的性质，并应用二次型解决相关的线性代数问题。
第六章：常微分方程初步常微分方程初步是高等数学2教材的最后一章内容。
本章主要介绍了常微分方程的初等解法，包括一阶常微分方程和二阶常微分方程的初等解法。
学生将学会如何通过变量分离、齐次化、常数变易法等方法求解常微分方程，并应用常微分方程解决相关的实际问题。
以上是高等数学2教材的主要内容概括。
常微分方程第一章
第一章一阶微分方程1.1学习目标：1. 理解微分方程有关的基本概念, 如微分方程、方程阶数、解、通解、初始条件、初值问题等的定义和提法. 掌握处理微分方程的三种主要方法: 解析方法, 定性方法和数值方法.2. 掌握变量分离法，用变量替换将某些方程转化为变量分离方程, 掌握一阶线性方程的猜测检验法, 常数变易法和积分因子法, 灵活运用这些方法求解相应方程, 理解和掌握一阶线性方程的通解结构和性质.3. 能够大致描述给定一阶微分方程的斜率场, 通过给定的斜率场描述方程解的定性性质; 理解和掌握欧拉方法, 能够利用欧拉方法做简单的近似计算.4. 理解和掌握一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理, 能够利用存在唯一性定理判别方程解的存在性与唯一性并解决与之相关的问题, 了解解对初值的连续相依性和解对初值的连续性定理, 理解适定性的概念.5. 理解自治方程平衡点, 平衡解, 相线的概念, 能够画出给定自治方程的相线, 判断平衡点类型进而定性分析满足不同初始条件解的渐近行为.6. 理解和掌握一阶单参数微分方程族的分歧概念, 掌握发生分歧的条件, 理解和掌握各种分歧类型和相应的分歧图解, 能够画出给定单参数微分方程族的分歧图解, 利用分歧图解分析解的渐近行为随参数变化的状况.7. 掌握在给定的假设条件下, 建立与实际问题相应的常微分方程模型, 并能够灵活运用本章知识进行模型的各种分析.1.2基本知识： (一) 基本概念1. 什么是微分方程:联系着自变量、未知函数及它们的导数（或微分）间的关系式（一般是 指等式），称之为微分方程. 2. 常微分方程和偏微分方程:(1) 如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，则称这种微分方程为常微分方程,例如 )(22t f cy dt dy b dt y d =++, 0)(2=++y dtdyt dt dy .(2) 如果在微分方程中，自变量的个数为两个或两个以上，则称这种微分方程为偏微分方程. 例如 0222222=∂∂+∂∂+∂∂zTy T x T , t T x T ∂∂=∂∂422. 本书在不特别指明的情况下, 所说的方程或微分方程均指常微分方程. 3. 微分方程的阶数: 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数. 例如，)(22t f cy dt dyb dty d =++ 是二阶常微分方程； 0222222=∂∂+∂∂+∂∂zTy T x T 与t T x T ∂∂=∂∂422是二阶偏微分方程. 4. n 阶常微分方程的一般形式：(,,,...,)0n n dy d yF t y dt dt=,这里(,,,...,)n n dy d y F t y dt dt 是,,,...,n n dy d y t y dt dt 的已知函数，而且一定含有n n d ydt的项；y 是未知函数，t 是自变量. 5. 线性与非线性：（1） 如果方程(,,,...,)0n n dy d y F t y dt dt=的左端是y 及,...,n n dy d ydt dt 的一次有理式，则称(,,,...,)0n n dy d yF t y dt dt=为n 阶线性微分方程. （2） 一般n 阶线性微分方程具有形式：1111()...()()()n n n n n n d y d y dy a t a t a t y f t dt dt dt---++++= 这里1()a t ,…, ()n a t ,()f t 是t 的已知函数.（3）不是线性方程的方程称为非线性方程. （4） 举例：方程)(22t f cy dt dyb dt y d =++是二阶线性微分方程； 方程0sin 22=+φφl gdtd 是二阶非线性微分方程；方程0)(2=++y dtdy t dt dy 是一阶非线性微分方程. 6. 解和隐式解：如果将函数()y t ϕ=代入方程(,,,...,)0n n dy d yF t y dt dt=后，能使它变为恒等式，则称函数()y t ϕ=为方程的解. 如果关系式,0t yΦ=（）决定的隐函数()y t ϕ=是方程的解，则称,0t yΦ=（）为方程的隐式解. 7. 通解与特解：把含有n 个独立的任意常数n c c c ,...,,21的解 12(,,,...,)n y t c c c ϕ=称为n 阶方程(,,,...,)0n n dy d yF t y dt dt =的通解. 其中解对常数的独立性是指，对ϕ及其 1n -阶导数11,...,n n d d dt dtϕϕ--关于n 个常数 n c c c ,...,,21的雅可比行列式不为0, 即 1212(1)(1)(1)120n n n n n nc c c c c c c c c ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ---∂∂∂∂∂∂'''∂∂∂∂∂∂≠∂∂∂∂∂∂L L M M L M L.为了确定微分方程一个特定的解，通常给出这个解所必须满足的条件，称为定解条件.常见的定解条件是初始条件, n 阶微分方程(,,,...,)0n n dy d yF t y dt dt =的初始条件是指如下的n 个条件： 1(1)(1)00001,,...,n n n dy d y t t y y y y dt dt---====，，这里(1)(1)0000,,,...,n t y y y -是给定的n+1个常数. 求微分方程满足定解条件的解，就是所谓定解问题. 当定解条件为初始条件时，相应的定解问题称为初值问题. 把满足初始条件的解称为微分方程的特解. 初始条件不同，对应的特解也不同.(二) 解析方法1．变量分离方程 形如()()dyf t y dtϕ=的方程为变量分离方程，其中(),()f t y ϕ分别为,t y 的连续函数.方程解法如下：若()0y ϕ≠，则()()()()dyf t dt y dyf t dt cy ϕϕ==+⎰⎰上式确定方程的隐式通解. 如果存在0y ，使得()00y ϕ=，则0y y =也是方程的解. 2. 可化为变量分离方程的方程(1) 齐次方程形如 ()dy yg dt t=的方程为齐次方程，()g u 为u 的连续函数. 解法如下：做变量替换y u t =，即y ut =，有dy dut u dt dt=+，从而原方程变为()du t u g u dt +=，整理有()du g u udt t-=，此为变量分离方程，可求解. (2) 形如111222a tb yc dy dt a t b y c ++=++的方程, 其中121212,,,,a a b b c c , 为常数. ●111222a b c k a b c ===的情形. 此时方程化为,dyk dt=可解得y kt c =+. ●11220,a b a b =即1122a bk a b ==的情形: 令 22,u a t b y =+ 则有 122222ku c du dya b a b dt dt u c +=+=++ 此为变量分离方程. ●11220a b a b ≠的情形 对120c c ==的情况, 直接做变量替换y u t=. 当12,c c 不全为零, 求 11122200a t b y c a t b y c ++=⎧⎨++=⎩的解为t y αβ=⎧⎨=⎩. 令 T t Y y αβ=-⎧⎨=-⎩, 则方程组化为112200a T bY a T b Y +=⎧⎨+=⎩. 原方程化为12()a T bY dY Yg dT a T bY T+==+的齐次方程可求解. 3．一阶线性微分方程(1) 一般形式：()()()0dya tb t yc t dt++=，若()0a t ≠，则可写成()()dyP t y Q t dt=+的形式. (2) 一阶齐次线性微分方程：()dyP t y dt =，通解为(),P t dt ce c ⎰ 为任意常数.(3) 一阶非齐次线性微分方程：()()dyP t y Q t dt=+，()0Q t ≠.(4) 齐次线性微分方程的性质性质1 必有零解 0y =;性质2 通解等于任意常数c 与一个特解的乘积; 性质3 任意两个解的线性组合也是该微分方程的解. (5) 非齐次线性微分方程的性质性质1 没有零解;性质2 非齐次方程的解加上对应齐次方程的解仍为非齐次方程的解; 性质3 任意两个非齐次方程的解的差是相应齐次方程的解. (6) 一阶非齐次线性微分方程的解法：(i) 猜测-检验法对于常系数的情形，即 ()P t 为常数, 此时方程为()dyay Q t dt=+, a 为常数. 对应齐次方程的通解为atce , 只需再求一个特解, 这时根据()Q t 为特定的函数,可猜测不同的形式特解. 事实上, 当()BtQ t Ae =, ,A B 为给定常数, 且B a ≠时可设待定特解为BtCe , 而当B a =时, 可设特解形式为BtCte , 后代入方程可确定待定常数C . 当()Q t 为cos ,sin At At 或它们的线性组合时, 其中A 为给定常数. 这时可设待定特解为cos sin B At C At +代入方程后确定,B C 的值. 当()Q t 具有多项式形式1011n n n n a t a t a t a --++++L , 其中01,,n a a a L 为给定常数且00a ≠, 这时可设待定特解为1011n n n n b t b t b t b --++++L 代入方程可求得,0,1,,i b i n = L 的值. 对于()Q t 有上述几种线性组合的形式, 则可设待定特解是上述形式特解的线性组合. (ii) 常数变易法: 令()()P t dty c t e ⎰=，代入方程，求出()c t 后可求得通解为()()(())P t dtP t dty e Q t e dt c -⎰⎰=+⎰.(iii) 积分因子法: 方程改写为()()dyP t y Q t dt-=, 将()P t dt e μ-⎰=, 乘方程两端得 ()()()()()P t dt P t dtP t dt dy e e P t y Q t e dt---⎰⎰⎰-= 即 ()()()()P t dtP t dt d ye Q t e dt--⎰⎰=, 从而通解为 ()()()P t dt P t dt ye Q t e dt c --⎰⎰ =+⎰，即 ()()(())P t dt P t dt y e Q t e dt c -⎰⎰= +⎰.注意, 非齐次线性微分方程通解的结构是: 非齐次线性微分方程的通解等于其对应的齐次线性微分方程的通解加上非齐次线性微分方程的一个特解.4. 伯努利(Bernoulli)方程. 形如()()n dyP t y Q t y dt=+的方程, 其中 n 是常数且0,1,(),()n P t Q t ≠ 是连续函数, 称为伯努利方程. 伯努利方程可通过变量替换 1nz y-=化为(1)()(1)()dyn P t z n Q t dt=-+-, 这是关于未知函数z 的线性方程, 可求其通解.(三) 定性方法与数值方法：1. 斜率场：一阶微分方程(,)dyf t y dt =的解()y t ϕ=代表ty 平面上的一条曲线，称之为微分方程的积分曲线. 微分方程(,)dyf t y dt=的通解()y t ϕ=，c 对应于ty 平面上的一族曲线，称之为微分方程的积分曲线族. 满足初始条件00()y t y =的特解就是通过点00(,)t y 的一条积分曲线. 方程(,)dy f t y dt=的积分曲线上的每一点(,)t y 处的切线斜率dydt 刚好等于函数(,)f t y 在这点的值. 也就是，积分曲线的每一点(,)t y 以及这点上的切线斜率dydt恒满足方程；反之，如果在一条曲线每点上其切线斜率刚好等于函数(,)f t y 在这点的值，则这一条曲线就是方程的积分曲线. 这样，可以用(,)f t y 在ty 平面的某个区域D 内定义过各点的小线段，其斜率为(,)f t y ，一般称这样的小线段为斜率标记. 而对ty 平面上D 内任一点(,)t y , 有这样一个小线段与之对应, 这样在D 内形成一个方向场, 称为斜率场. 斜率场是几何直观上描述解的常用方法2. 欧拉方法：求微分方程初值问题00(,)()dyf t y dty t y⎧=⎪⎨⎪=⎩ 的解，可以从初始条件00()y t y =出发，按照一定的步长t ∆ 依照某种方法逐步计算微分方程的近似解()n n y y t =, 这里0n t t n t =+∆这样求出的解称为数值解. 利用欧拉公式10(,),n n n n n y y f t y t t t n t +=+∆ =+∆,可求初值问题的近似解，这种方法称为欧拉方法.欧拉方法具有一阶误差精度 .如果我们先用欧拉公式求出近似解,再利用梯形公式进行校正, 得到的近似解将具有2阶误差精度, 具体为 预测: 1(,)n n n n y y f t y t +=+∆,校正: 11,11[(,)()]2n n n n n n y y f t y f t y t ++ +=++∆, 这种方法称为改进的欧拉方法.(四) 解的存在性、唯一性及解对初值的连续相依性1. 利普希茨（lipschitz ）条件: 函数(,)f t y 称为在区域2D ⊆R 内关于y 满足利普希茨条件，是指如果存在常数0L >，使得不等式1212(,)(,)f t y f t y L y y -≤-对于所有的12(,),(,)t y t y D ∈都成立, 其中L 称为利普希茨常数. 2. 基本定理(1) 解的存在性定理: 设(,)f t y 在矩形区域2{(,):,}D t y a t b c y d =∈ << <<R 内连续. 如果00(,)t y D ∈, 那么，存在0ε> 和函数()y t , 定义于区间00(,)t t εε-+内，是初值问题00(,)()dyf t y dt y t y⎧=⎪⎨⎪=⎩ 的解. (2) 解的唯一性定理: 设(,)f t y 在矩形区域2{(,):,}D t y a t b c y d =∈ << <<R 内连续且关于y 满足利普希茨条件. 如果00(,)t y D ∈并且12(),()y t y t 是初值问题00(,)()dyf t y dt y t y⎧=⎪⎨⎪=⎩在区间00(,)t t εε-+内的两个解，那么对任意的00(,)t t t εε∈-+,12()()y t y t =,即解是唯一的.注记1: 存在性定理和唯一性定理结合在一起称为初值问题解的存在唯一性定理，叙述如下：设(,)f t y 在矩形区域2{(,):,}D t y a t b c y d =∈ << <<R 内连续且关于y 满足利普希茨条件. 如果00(,)t y D ∈, 那么，存在0ε> 和函数()y t , 定义于区间00(,)t t εε-+内，是初值问题00(,)()dyf t y dt y t y⎧=⎪⎨⎪=⎩ 的唯一解. 因而当我们判断初值问题解的存在唯一性时，要检查(,)f t y 需要满足的条件.注记2: 由于利普希茨条件较难检验，常用(,)f t y 在2{(,):,}D t y a t b c y d =∈ ≤≤ ≤≤R上对y 有连续偏导数来代替. 事实上，如果在D 上y f ∂∂存在且连续，则yf∂∂在D 上有界. 设在D 上L yf≤∂∂, 这时 2121212(,())(,)(,)f t y y y f t y f t y y y yθ∂+--=-∂21y y L -≤,其中 12(,),(,),01t y t y D θ∈ <<. 但反过来满足利普希茨条件的函数(,)f t y 不一定有偏导数存在. 例如(,)||f t y y = 在任何区域内都满足利普希茨条件，但它在0y =处没有导数.(3) 解对初值的连续相依性定理设(,)f t y 在矩形区域2{(,):,}D t y a t b c y d =∈ << <<R 内连续且关于y 满足利普希茨条件. 如果00(,)t y D ∈，00(,,)y t t y ϕ=是初值问题00(,)()dyf t y dt y t y⎧=⎪⎨⎪=⎩在区间00(,)t h t h -+内的解，其中 0h >,那么，对任意给定的0>ε，必能找到正数(,)0h δδε=>，使得 当2220000t t y y δ-+-<（）（）时，初值问题00(,)()dyf t y dt y t y⎧=⎪⎨⎪=⎩的解00(,,)y t t y ϕ=在区间00(,)t h t h -+内也有定义，并且0000|(,,),,|,t t y x t y ϕϕε-<（） 00(,)t t h t h ∈-+. (4) 解对初值的连续性定理设(,)f t y 在矩形区域2{(,):,}D t y a t b c y d =∈ << <<R 内连续且关于y 满足利普希茨条件. 如果00(,)t y D ∈，00(,,)y t t y ϕ=是初值问题00(,)()dyf t y dt y t y⎧=⎪⎨⎪=⎩的解, 那么00(,,)t t y ϕ作为00,,t t y 的三元函数在它存在的范围内是连续的.3. 初值问题的适定性当一个微分方程初值问题的解存在, 唯一并且解连续的依赖于初始条件时, 我们称该问题是适定的. 那么, 对于常微分方程初值问题00(,)()dyf t y dt y t y⎧=⎪⎨⎪=⎩, 只要在00(,)t y 所在的区域内,(,)f t y 连续并且关于y 满足利普希茨条件, 则该初值问题是适定的.(五) 自治方程的平衡点与相线1. 自治方程 当一阶微分方程(,)dy f t y dt=的右端项只是y 的函数而与自变量t 无关, 即()dyf y dt =时, 称为自治方程.2. 平衡解与平衡点 对自治方程()dyf y dt=而言, 若()0f y =有解0y y =, 则称 0()y t y ≡ 是方程的平衡解, 而点0y 称为方程的一个平衡点. 3. 相线相线是仅仅对自治方程()dyf y dt=而言的一种简化的斜率场. 自治方程的斜率场在水平直线上的斜率标记是一样的, 这样只要知道一条竖直直线上的斜率标记, 我们就可以知道整个斜率场. 因而, 在一个竖直的直线上, 我们用向上的箭头表示正的导数, 用向下的箭头表示负的导数. 对于导数为零的点, 用实心圆点来标记它, 则形成该自治方程的相线. 4. 画相线的基本步骤 (1) 画出y -线(竖直线),(2) 找到并在y -线上标记平衡点,不连续点或定义域外的点 (3) 找到()0f y >的区间, 在这些区间上画上向上的箭头, (4) 找到()0f y < 的区间, 在这些区间上画上向下的箭头.5. 初值问题0(),(0)dyf y y y dt= =解的渐近行为 (1) 趋向于平衡点, 如01()(1),2f y y y y =- =;(2) 在无限时间内趋于无穷, 如0(),1f y y y = =;(3) 在有限时间内趋于无穷(爆破), 如20(),1f y y y = =;(4) 在有限时间内停止(导数趋于无穷), 如 01(),1f y y y=- =. 6. 平衡点的分类对于自治方程()dyf y dt=, 如果()f y 在(,)-∞+∞ 内连续, 那么它的解当t 增加时要么(在有限或无限时间里)趋于+∞或-∞, 要么渐近趋于平衡点. 因而,平衡点在自治方程的研究中起着重要的作用. (1) 汇对于初值接近0y 的解, 当t 增加时, 都渐近趋于0y . 对于这样的平衡点0y , 我们称之为汇, 它是稳定的. (2) 源对于初值接近0y 的解, 当t 增加时, 都远离0y . 对于这样的平衡点0y , 我们称之为源,它是不稳定的. (3) 结点既不是源也不是汇的平衡点, 我们称之为结点,它也是不稳定的. 7. 判断平衡点类型的线性化方法 1. 如果0y 是自治方程()dyf y dt=的一个平衡点, 即0()0f y =, 那么 (1) 0y 是源当且仅当()f y 在0y 附近严格单调增加; (2) 0y 是汇当且仅当()f y 在0y 附近严格单调递减. 2. (线性化定理) 如果0y 是自治方程()dyf y dt=的一个平衡点, 即0()0f y =, 并且()f y 是连续可微的, 那么 (1) 若0()0f y '> 则0y 是源; (2) 若0()0f y '<, 则0y 是汇;(3) 若0()0f y '=, 则需要进一步的信息决定其类型.(六) 分歧一阶微分方程解的渐近行为随参数变化发生了类型的变化, 我们称之为分歧现象(或分支, 分叉).1. 分歧发生的条件 对于单参数微分方程族()(,)dy f y f y dtμμ==, 0μμ=是一个分歧值的必要条件是: 存在平衡点0y , 使得 0000(,)(,)0f f y y y μμ∂==∂. 这样我们要找分歧点可以通过求解方程组 (,)0(,)0f y f y y μμ=⎧⎪∂⎨=⎪∂⎩, 得到解 00(,)y μ,0μ为可能的分歧值, 而0y 是可能发生分歧的平衡点. 2. 分歧图解与分歧类型分歧图解是y μ 平面上方程在分歧值附近的所有相线的图, 用以强调当参数经过分歧值时相线所经历的变化.(1) 鞍结点分歧在分歧图解(图1-1)中, 当μ从左到右经过分歧值0μ时, 方程的平衡点从两个变为一个再变为不存在, 这种分歧一般称之为鞍结点分歧. 这类分歧图解在分歧值附近是抛物线的形状(2) 在分歧图解(图1-2)中,当μ从右到左经过分歧值0μ=时, 方程的平衡点由三个变为一个, 这种分歧一般称之为音叉分歧.图 1-1 鞍结点分歧 图 1-2 音叉分歧图 1-3 跨越分歧 图 1-4 复合分歧(3) 在分歧图解(图1-3)中, 当0μ= 时, 方程有一个平衡点; 当0μ≠ 时, 方程有两个平衡点. 0μ=是一个分歧值. 虽然在分歧值的两侧方程都有两个平衡点，但平衡点的稳定性会改变. 当0μ> 时, 0y =是一个汇,它是稳定的; 当0μ<时, 0y =是一个源,它 是不稳定的. 这类分歧一般称为跨越分歧.(4) 在分歧图解(图1-4)中, 当 μ从左到右变化时,相应的方程平衡点依次由一个变为两个,三个,两个再变回一个, 这种分歧一般称之为复合分歧.(七) 一阶微分方程的应用1. 增长和衰减问题设 ()S t 为正在增长或衰减的某研究对象的总量. 如果假设它随时间的变化率dS dt与当前数目成正比, 其比例系数为 k , 则有 dS kS dt =, 或 0dS kS dt-=. 设()S t 可微, 因而是连续函数. Malthus 人口模型满足上述微分方程, 虽然对人口问题, ()S t 是离散的, 只能取整数值, 但该模型系统在一定情况下提供了很好的近似对某一生物种群进行研究时, 该生物种群的增长往往受资源和环境的限制, 引进参量N , 称为最大承载量, 用以表示自然资源和环境条件所能容纳的最大数量, 并且假定 （1）当基数很小时，增长率与当前数成正比；（2）当基数很大，达到资源和环境不能承受的时候，数量开始减少，即增长率为负的. 此时方程可改写为(1)dS S k S dt N=-, 称为具有增长率k 和最大承载量N 的Logistic 模型，该模型最早由荷兰生物学家 Verhulst在1838年提出.2. 温度问题牛顿冷却定律(亦适应于加热的情况)说明物体的温度随时间的变化率与物体所处的周围环境的温差成正比, 设 T 是物体的温度, T 是所处环境的温度, 那么物体温度随时间的变化率为dT dt, 牛顿冷却定律可表示为 ()dT k T T dt=--, 其中k 是正的比例系数, 而负号表示在冷却过程中, 物体温度 T 大于周围环境温度T , 变化率0dT dt <. 在加热过程中0dT dt>, 此时T T <. 3. 稀释问题一容器最初容纳0V 升盐水溶液, 其中含盐 a 克. 每升含盐 b 克的盐水溶液以e 升/分的速度注入,同时, 搅拌均匀的溶液以f 升/分的速度流出, 问在任何时刻 t , 容器中的含盐量.设Q 为任何时刻容器中的含盐量. Q 的变化率dQ dt等于盐的注入率减去流出率. 盐的注入率是 be 克/分. 要决定流出率, 首先计算在时刻t , 容器中的溶液的体积, 它等于最初的体积0V 加上注入的体积 et 后减去流出的体积ft . 因此, 在任一时刻t , 盐水的体积是 0V et ft +-. 在任何时刻的浓度是 0Q V et ft +-, 由此得流出率为 0Qf V et ft +-/分. 于是得到微分方程 0dQ Qf be dt V et ft =-+-, 即 0dQ f Q be dt V et ft+=+-, 这是一个一阶线性方程.4. 电路一个简单的 RC 回路是包含有电阻R (欧姆), 电容C (法拉)和电源V (伏特),如图1-5.图1-5 RC 电路 图1-6 RL 电路由电路学知识，C 的电压()v t 与电阻R 的电压之和应为电源的电压()V t . 电路中的电流I (安培)为 ()dQ dCv t dv I C dt dt dt ===, 其中 Q 为电量从而R 处的电压为 dv RI RC dt=, 由此我们可以建立RC 电路的模型如下：()dv RC v V t dt +=, 即 ()dv V t v dt RC-=. 对于一个包含有电阻R (欧姆), 电感L (亨利)和电源V (伏特)的RL 回路,如图1-6. 电路中的电流应满足的基本方程为 dI R V I dt L L +=.(八) 种群生态学中的模型设()y t 表示一个生物种群的数量, t 为时间, 最简单的种群模型是 Malthus 模型dy ky dt=. Malthus 模型的解()(0)kty t y e =预测了种群数量的指数增长.由于种群数量大的时候，对资源的竞争加剧，因此单位增长率会随种群数目增大而减小，因此更为合理的假设是()dy yf y dt= (*) 这里()f y 是单位增长率，因为dy dt 为增长率，y 是种群数量, 而()/dy f y y dt =. 当考虑种群数量的变化时.对()f y 而言, 其代数形式并不重要, 而关键是其单调性, 凸凹性, 这样我们可以对其进行大致分类:(1) 若()f y 在[0,)+∞上是递减的，称(*)为 Logistic 型；(2) 若()f y 在[0,)+∞上是先增后减的，称(*)为 Allee 效应型；(3) 若()f y 在[0,)+∞上是递减再递增最后递减的，称(*)为 Hysteresis 型.1.3典型例题：例1 考虑微分方程 3220dy y y y dt=--, 问 (1) y 为何值时, ()y t 将保持不变?(2) y 为何值时, ()y t 将增加?(3) y 为何值时, ()y t 将减少?解: 因为当0dy dt =时, ()y t 将保持不变; 当0dy dt >时, ()y t 将增加; 当0dy dt<时, ()y t 将减少. 由3220dy y y y dt=--知, (1) 当32200y y y --=, 即0,4,5y y y = =-=时, ()y t 将保持不变.(2) 当32200y y y -->, 即40y -<< 或5y > 时, ()y t 将增加.(3) 当32200y y y --<, 即4y <- 或05y << 时, ()y t 将减少.例2 假定在鄱阳湖中一种鱼类的数量()S t 随时间的变化按Logistic 模型增长, 增长率为k , 最大承载量为N , 即有 (1)dS S k S dt N=-. 如果每年要从湖中捕获一定量的鱼, 试按下述不同情形对模型做适当修改,(1) 每年捕获10吨?(2) 每年捕获总量的三分之一?(3) 捕获量与总量的平方根成正比?解: (1)(1)10dS S k S dt N=--. (2) 1(1)3dS S k S S dt N =--. (3) (1)dS S k S l S dt N =--, 其中 l 是捕获量与总量平方根的比例系数. 例3 求解方程dy t dt y=- 解：变量分离得 ydt tdy =-.两边积分 22222y t c =-+. 通解为 22t y c +=, c 为任意正常数. 例4 求解方程231dy y dx xy x y+=+ 解：变量分离得 221(1)ydy dx y x x =++, 两边积分 2221()1(1)1ydy dx x dx y x x x x ==-+++⎰⎰⎰.即 22111ln(1)ln ||ln(1)22y x x c +=-++, 1c 为任意常数, 整理得222(1)(1)y x cx ++=, 12c c e =为任意正的常数.例5 求解方程tan dy y xy dx x-=. 解: 将方程改写为 tan dy y y dx x x=+, 这是齐次方程, 做变量替换y u x =，即y ux =，有dy du x u dx dx=+，从而原方程变为 tan du x u u u dx +=+ 即tan du u dx x= 利用分离变量法求得 sin u cx =, 代回原变量得通解为sin y cx x=, c 为任意常数 例6 求解方程22dy x y x y dx=+-. 解: 方程改写为2sgn 1()dy y y x dx x x =+⋅- 令u=y x ，则y ux =，从而2sgn 1du x u u x u dx+=+⋅- 当210u -≠时，2sgn 1dux dx x u =-, arcsin sgn ln u x x c =⋅+, 即 arcsin sgn ln y x x c x=⋅+, c 为任意常数．此外，还有解210u -=，即22y x =．例7 求解方程 13dy x y dx x y -+=+- 解: 解方程组 1030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩的解 为 12x y =⎧⎨=⎩. 令 12X x Y y =-⎧⎨=-⎩ , 则原方程化为 dY X Y dX X Y -=+.令 Y u X = ,则可化为变量分离方程 21,12dX u du X u u +=-- 解得 222Y XY X c --=, 代回原变量 有22262y xy x y x c +---=, c 为任意常数.例8 求解方程2()dy y b t dt -=, 其中 (1) 2()1b t t t =++,(2) 4()t b t e =(3) 2()3t b t e =(4) ()cos3b t t =(5) 422()3cos31t t b t e e t t t =+++++解: 对应齐次方程的通解为 2t y ce =, 下面用猜测-检验法求特解(1) 设 21y At Bt C =++ 代入 221dy y t t dt-=++, 有 2222()1At B At Bt C t t +-++=++解得 1,1,12A B C =-=- =-, 从而21112y t t =---, 原方程的通解为 22112t y ce t t =---, c 为任意常数. (2) 设 42t y Ae = 代入 42t dy y e dt-=, 有 44442t t t Ae Ae e -=解得 12A =, 从而4212t y e =, 原方程的通解为 2412t t y ce e =+, c 为任意常数. (3) 不能设2t Ae 形式的特解, 因为它是相应齐次方程的解,不可能是非齐次方程的解,设 23t y Ate = 代入 22t dy y e dt-=, 有 2222223t t t t Ate Ae Ate e +-=解得 3A =, 从而233t y te =, 原方程的通解为2223(3)t t t y ce te c t e =+=+, c 为任意常数.(4) 设 4cos3sin 3y A t B t =+ 代入 2cos3dy y t dt-=, 有 3sin33cos32(cos3sin3)cos3A t B t A t B t t -+-+=有 2310320A B A B -+-=⎧⎨ --=⎩, 解得 23,1313A B =- =, 从而423cos3sin 31313y t t =-+, 原方程的通解为 223cos3sin 31313t y ce t t =-+, c 为任意常数.(5) 根据叠加原理, 由前面4个小题知方程有特解422512313cos3sin 31213132t t y e te t t t t =+-+--- 原方程的通解为242212313cos3sin 31213132t t t y ce e te t t t t =++-+---,c 为任意常数. 例9 求方程22dy y dx x y =-的通解. 解: 将方程改写为222dx x y x y dy y y-==-. 求齐次线性微分方程 2dx x dy y=, 得通解为2x cy =. (常数变易法) 令 2()x c y y =代入原方程 得()1,()ln ||dc y c y y c dy y=- =-+, 从而可得原方程的通解为2(ln ||)x y y c =-+, c 为任意常数.例10 求方程26dy y ty dt t=-的通解. 解: 此为 2n =的伯努利方程. 令 1z y -=可得 6dz z t dt t=-+，此为线性方程可求通解为 268c t z t =-+, 代回原变量得 2618c t y t =-+, 即 688t t c y -=, c 为任意常数. 此外, 原方程还有解0y =.例11 用积分因子法求解方程 32(1)1dy y t dt t =+++. 解: 方程改写为 32(1)1dy y t dt t -=++, 积分因子为 221()(1)dt t t e t μ- -+⎰==+, 乘方程两端得 23(1)2(1)1dy t t y t dt--+-+=+, 即 2(1)1d t y t dt -+=+, 有 421(1)(1)2y t c t =+++, c 为任意常数.例12 若()f t 连续且0()()10t f t f s ds t = , ≠⎰, 试求函数()f t 的一般表达式. 解: 设0()()t F t f s ds =⎰, 则()F t 可导且()()F t f t '=, 这样有1,dF F FdF dt dt= =, 得 2()2,()2F t t c F t t c =+ =±+, 又(0)0F =, 得0c =. 从而 ()2F t t =±,进而 1()()2f t F t t'==±. 例13 求具有性质 ()()()1()()y t y s y t s y t y s ++=- 的函数 ()y t , 已知(0)y '存在. 解: 首先令 0s =, 由已知可得 ()(0)()1()(0)y t y y t y t y +=-, 化简有 2(0)(1())0y y t +=, 知 (0)0y =. 由函数的导数定义00202002()()()lim()()()1()()lim ()(1())lim (1()())()1()lim lim 1()()(0)(1())s s s s s y t s y t y t sy t y s y t y t y s sy s y t s y t y s y s y t s y t y s y y t →→→→→+-'=+-- =+ =-+ = -' = + 变形为 2(0)1()dy y dt y t '=+, 积分得 arctan ()(0)y t y t c ' = +, 由(0)0y =, 知 0c =, 所以满足条件的函数为 ()tan (0))y t y t '= (.例14 下面给定8个微分方程和4个斜率场, 请选出斜率场相应的微分方程, 并说明理由. (1) 2dy t dt =- (2) 24dy y dt=- (3) 2dy y t dt =- (4) 2dy t dt =- (5) 24dy y dt =- (6) 2dy y dt =- (7) dy yt t dt =+ (8) 2dy y t dt=+图1-7 图1-8图1-9 图1-10解: 图1-7对应于(4),图1-8对应于(3),图1-9对应于(2),图1-10对应于(7). 这是因为图1-7的斜率场竖直方向上的斜率标记一样, 知方程的右端项仅是自变量t 的函数()f t , 且当 2t >, ()0f t <, 当2t <时, ()0f t >, 只有(4)满足要求. 图1-8的斜率场知方程右端项为(,)f t y 是 ,t y 的函数, 且当 0y <时,(,)0f t y <, 只有(3)满足.图1-9的斜率场知方程为自治方程有平衡点 2,2y y ==-, 且在 22y -<<时,()0f y <, 知只有(2)满足要求.图1-10的斜率场知方程右端项为(,)f t y 是 ,t y 的函数, 且有平衡解 1y =-, 只有(7)满足要求.例15 利用欧拉方法和改进的欧拉方法, 对步长 0.1t ∆=, 在区间[0,1]上求初值问题21,(0)0dyy y dt=+ =的近似解. 解: 这里 200(,)1,0,0f t y y t y =+==. 利用欧拉公式10(,),n n n n n y y f t y t t t n t +=+∆ =+∆,和 改进的欧拉方法,预测: 1(,)n n n n y y f t y t +=+∆,校正: 11,11[(,)()]2n n n n n n y y f t y f t y t ++ +=++∆,分别计算如下表:欧拉方法改进的欧拉方法n n tn y(,)n n f t y 预测的n y校正的n y 真 解tan y t =0 010 0 1 0.1 0.1000 1.0100 0.1000 0.1005 0.1003 2 0.2 0.2010 1.0404 0.2015 0.2030 0.2027 3 0.3 0.3050 1.0930 0.3072 0.3098 0.3093 4 0.4 0.4143 1.1716 0.4194 0.4234 0.4228 5 0.5 0.5315 1.2825 0.5413 0.5470 0.5463 6 0.6 0.6598 1.4353 0.6769 0.6849 0.6841 7 0.7 0.8033 1.6453 0.8318 0.8429 0.8423 8 0.8 0.9678 1.9366 1.0140 1.0299 1.0296 9 0.9 1.1615 2.34911.2360 1.2592 1.2602 10 11.39642.94991.51791.55371.5574例16 讨论微分方程 233dyy dt=在怎样的区域内满足存在唯一性定理的条件,并求通过点(0, 0) 的一切解.解: 由 23(,)3f t y y =, 知它在全平面内连续, 又由于13(,)2f t y y y-∂=∂, 在除去0y =的区域内连续, 从而在除去0y =的有界闭区域内有界, 进而满足利普希茨条件, 知方程满足初始条件00()0y t y =≠的解在充分小的邻域内存在并且唯一. 当 0y =时, 函数0y =是方程过 (0,0) 的解.当0y ≠时, 方程可变形为 2313y dy dt - =, 积分得 3()y t c =+, c 为任意常数.当0c =时, 得特解 3y t = 是过 (0,0) 的另一个解, 其实, 除零解外, 过(0,0)的所有解可以表示为3111(),0,t c t c y t c ⎧- <=⎨ ≥⎩,3222(),0,t c t c y t c ⎧- >=⎨ ≤⎩, 31132212(),(),0,t c t c y t c t c c t c ⎧- <⎪=- >⎨⎪≤≤⎩,其中12,c c 是满足10c ≤,20c ≥的任意常数, 这些解的定义区间为(,)-∞ +∞, 但本质上在充分小的邻域 (,)εε-内方程所确定的过(0,0)的解只有四个,即 函数30,y y t = =, 3,00,t t y t εε⎧ -<<=⎨ 0≤<⎩及30,0,t y t t εε -<<⎧=⎨ 0≤<⎩.例17 举例说明一阶微分方程初值问题00(,)()dyf t y dt y t y⎧=⎪⎨⎪=⎩解的存在唯一性定理中, 关于(,)f t y 在矩形区域2{(,):,}D t y a t b c y d =∈ << <<R 内连续,关于y 满足利普希茨条件是保证解的存在唯一的非必要条件.解: (1) 当连续条件不满足时, 解也可能是存在唯一的. 如方程1,(,)0,y t dyf t y y t dt =⎧==⎨≠⎩, 显然, (,)f t y 在以原点为心的任何矩形区域内不连续, 间断点为直线y t =, 但过原点的解存在唯一, 这个解就是y t =.(2) 当利普希茨条件不满足时, 解也可能是唯一的. 如ln ||,0(,)0,y y y dyf t y y t dt ≠⎧==⎨=⎩, 由于 11111|(,)(,0)||ln ||0||ln ||||0|f t y f t y y y y -=-=⋅-,当 110,ln ||y y → →-∞无界, 因而(,)f t y 在以原点为心的任何矩形领域内不满足利普希茨条件. 然而方程的所有解为 xce y e =±,c 为任意常数, 及 0y =.过原点(0,0)有唯一解 ()0y t =. 例18 对微分方程(2)(5)dyy y y dt=--而言, 利用存在唯一性定理, 说明满足下列初始条件的解是否存在, 如果存在你能否知道这个解或有关这个解的一些性质.(1) (0)6y =， (2) (0)5y =， (3) (0)1y =, (4) (0)1y =-.解: 由方程的右端项为 ()(2)(5)f y y y y =--仅为 y 的函数在全平面上连续可微,从而由存在唯一性定理, 给定初始条件的解是存在并且是唯一的. 首先由()(2)(5)f y y y y =--知方程有()0,()2,()5y t y t y t = = =三个平衡解.(1) 初始条件为 (0)6y =, 初值位于()5y t =的上方, 由唯一性, 满足这个初始。
常微分方程
u
u
例3 R-L-C电路 电路
如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源e(t). 设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当开关K合上后,电 路中电流强度I与时间t之间的关系.
电路的 第二定律: 第二定律 解: 电路的Kirchhoff第二定律 在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零 在闭合回路中 所有支路上的电压的代数和为零. 所有支路上的电压的代数和为零
三 线性和非线性
dy d y 1.如果方程 F(x, y, , L , n ) = 0 dx dx n dy d y 的左端为y及 , L , n 的一次有理式, dx dx 则称其为n 则称其为n阶线性方程.
如 (1) dy = 2 x
n
dx
(2) xdy − ydx = 0
是线性微分方程.
d 4x d 2x ( 4) + 5 2 + 3 x = sin t 4 dt dt
例1 镭的衰变规律:
设镭的衰变规律与该时刻现有的量成正比, 且已知t = 0时, 镭元素的量为R0克, 试确定在 任意t时该时镭元素的量.
注：镭的变化率与镭的量成正比。
解: 设t时刻时镭元素的量为R(t ),
dR(t ) 由于镭元素的衰变律就是R(t )对时间的变化律 , dt 依题目中给出镭元素的衰变律可得 :
dR = −kR, dt R(0) = R0
这里k > 0, 是由于R(t )随时间的增加而减少.
解之得 : R(t ) = R0 e − kt
即镭元素的存量是指数规律衰减的.
例2 物理冷却过程的数学模型
将某物体放置于空气中, 在时刻 t = 0 时, 测得它的温度为
常微分方程第一章
分别是一阶, 二阶和n阶常微分方程.它们都是 微分方程.
本课程我们只讨论常微分方程.常微分方程的一般形式是: F ( x, y, y, y, y ( n ) ) 0, (1) n阶隐式方程 如果能从方程(1)中解出最高阶导数, 就得到微分方程
y ( n ) f ( x, y, y, , y (n 1) ). (2)
微分方程的概念
联系着自变量、未知函数及未知函数导数(或微分) 注意:未知函数可 的方程称为微分方程. 方程中出现的未知函数最高阶导 以不出现, 但其导 数的阶数称为该方程的阶. 未知函数为一元函数的微分 数不可以不出现哦! 方程称为常微分方程. 未知函数为多元函数的微分方程 称为偏微分方程. 例如,
主讲：肖 萍
数学与计量经济学院
第一章 微分方程的基本概念
教学要求 例1 例2
引 言
结束
实际问题中的一些常微分方程
例3
例5 例6
例4
微分方程的概念 微分方程的解的概念
微分方程的积分曲线的概念 例7 例8
返回
教学要求
(1) 了解微分方程，了解微分方程的阶、 线性和非线性，微分方程的解、通解、 初始条件和特解等概念. (2) 会建立一些简单的几何和物理问题的微分方程模型.
返回
通解: u ua ce kt 特解: u 24 126e (4)本问题的温度与时间的关系——确定k 的值 (3)求解
1 126 由 k ln 0.051 得 u 24 126e0.051t 10 100 24
(5)答案
u20 70 C
完
物体运动过程的数学模型 一质量为m的物体以初速度v0在距地面为H的高处 自由落体,不记空气阻力, 试求 (a) 物体在t时刻的位移 s(t); (b)物体落地时间T. 解: (1)物理依据——Newton第二运动定律:F=ma o (2)数学模型——二阶常微分方程 例2
常微分方程1.1ppt
x x0
n 1 dy d y (1) ( n 1) y y , y , , y 时， 0 0 0 n 1 dx dx
(1.15)
定解问题:求微分方程满足定解条件（初值条件）的解 相应的定解问题就称为初值问题。 这是本课程讨论的重点。
初值问题(柯西Cauchy问题)：当定解条件是初值条件时，
1)17世纪至18世纪, 微分方程发展初期, 求通解时代. 2)19世纪初中叶,转向求特解时代,存在唯一性,微分方 程的解析理论,近似解法
3)19世纪末到20世纪50年代,又一次地转向所有解的大 范围的分析,定性和稳定性理论,动力系统(Birkhoff, Arnold,Smale) 4)20世纪六十年代以后到现在,又从求所有解转向求特 解,新性质的新方程和解,混沌、孤立子和分形等。
代表xy平面上的一条曲线，就称之为微分方程的积分 曲线。
而微分方程的通解 y
( x, c) 代表xy平面上的一
族曲线，就称之为微分方程的积分曲线族。
dy 其上每一点 ( x, y )处的切线斜率 刚好等于函数 dx
满足初始条件 y0 ( x0 ) 的特解就是通过点 ( x0 , y0 ) 的一条积分曲线。 y ( x) 为方程（1.17）的积分曲线的充要条件是
du k (u u a ) dt
(1.1)
其中k是比例常数，方程(1.1)就是物体冷却过程的数学模
du 型，它含有未知函数u及它的(一阶)导数 ，这样的方 dt
程，就称为(一阶)微分方程。 将(1.1)改写成
d (u u a ) kdt (u u a )
(1.2)
变量u和t被分离出来了, 对上式两边积分得
dy f ( x) dx
常微分方程第一章解读
解 当开关 K 合上后，电路中经过电感L、电阻R和电容 C
设两极板间的电压为 U ，
电感电动势 El ，电流强度为 I ，即
dQ
Q( t )
dI
I , dt
U
C
,
El L dt .
经常出现在实际问题中的微分方程有以下 几种：
dy p( x) y 2 q( x) y r( x) dx
（Riccati方程）
x 2 d 2 y x dy ( x 2 n2 ) y 0 dx2 dx
（n阶Bessel方程）
2u 2u 2u
x 2
y 2
z 2
0
(Laplace方程)
u
a2(2u
在这段时间内，放出的溶液为2 dt
升，因为时间短，浓度改变很小，所以可以认为浓度 x 保持不变，于是放出的溶液中含盐量微元
100 t
x 2dt 100 t
于是得到微分方程为
dx 2x dt 100 t
把它改写为
dx 2dt x 100 t
两边积分得
ln x 2 ln(100 t ) lnc
是 ，则摆的运动方程变为
d 2 d g
dt 2
m
dt
l
0
如果沿着摆的运动方向恒有一个外力 F ( t )作用于它，这时摆
的运动称为强迫微小振动，其方程为
d 2 d g 1 dt 2 m dt l ml F ( t )
当要确定摆的某一特定运动时，我们应该给出摆的初始状态
t
0,
0
,
d dt
高等数学1微积分教材
高等数学1微积分教材微积分是高等数学中的重要分支，它是研究函数变化的一种方法和技巧。
在高等数学教学中，微积分教材起着承上启下的作用，帮助学生掌握微积分的基本原理和应用技巧。
本文将就高等数学1微积分教材的内容进行详细分析。
第一章：函数与极限第一章主要介绍了函数的概念和性质，并引入了极限的概念。
通过学习这一章的内容，学生将对函数的定义和图像有一个初步的了解，并能够通过极限求解一些基本的函数极限值。
第二章：导数与微分第二章是微积分的核心章节，主要讲解导数和微分的概念及其应用。
在这一章中，学生将学习导数的定义、性质和求导的基本法则，掌握导数的几何和物理意义，并能够用导数求解函数的最值、切线和曲率等问题。
第三章：不定积分第三章讲解不定积分的概念和性质，介绍了不定积分的基本法则和求解方法。
学生将通过学习本章的内容，掌握不定积分的计算技巧，能够求解简单的不定积分和定积分，并理解积分的几何和物理意义。
第四章：定积分与应用第四章是定积分的学习内容，主要介绍了定积分的概念、性质和计算方法，在此基础上，应用定积分解决几何问题和物理问题。
通过学习本章，学生将掌握定积分的计算技巧，能够利用定积分求解面积、弧长、体积等问题。
第五章：微分方程第五章是微分方程的学习内容，主要介绍了微分方程的基本概念、解的存在唯一性和一阶微分方程的常见解法。
学生将通过学习本章，掌握一阶微分方程的解法，并能够应用微分方程解决实际问题。
第六章：无穷级数第六章讲解了无穷级数的概念、性质和判敛方法，引入了收敛级数与函数展开的概念。
学生将通过学习本章，了解无穷级数的表示方法和性质，掌握级数收敛的判定方法，并能够将函数展开成幂级数。
通过以上章节的学习，学生将初步掌握高等数学1微积分的基本原理和应用技巧。
除了以上章节外，高等数学1微积分教材还涵盖了其他相关内容，如多元函数的导数和积分、微分方程的高阶解法等。
在教学过程中，教师需要结合具体的教学实际，灵活运用教材内容，设计合理的练习和习题，帮助学生深入理解微积分的概念和方法，并培养其分析和解决问题的能力。
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需要的性能。当然也会有助于进行关于解的其 他研究。因此，在微分方程发展的古典时期， 数学家们曾经把主要目标放在求通解上。但是 后来却发现大多数微分方程都求不出通解，而 物理和力学上所提出的微分方程问题又大都是 要求满足某种指定条件的特殊解，即所谓定解 问题的解。这就迫使人们改变原来的想法，而 把定解问题的研究提到重要的地位。
内画出微分方程 dy y 的向量场和几条 dx
积分曲线。
描点手绘
用Maple软件绘制
这样一个事实对于求解微分方程（1.2.1） 是非常重要的。因为当方程（1.2.1）不可 解时，就可以根据向量场的走向来求近似的 积分曲线，同时还可以根据向量场本身的性 质来研究解的性质，而不必求出微分方程的 解。这正是近似解法和定性理论的基础。
定理1.2.1 曲线C为微分方程（1.2.1）积分曲 线的充分必要条件是：在C上任意一点，C的 切线与（1.2.1）所确定的向量场在该点的向 量相重合。C在每一点均与向量场的向量相 切。
证明 必要性。设C为（1.2.1）的积分曲线，
且其方程为 y x，则函数 y x
为微分方程（1.2.1）的一个解，于是，在其定义
ds v t , dv a t
dt
dt
d 2s dt 2
ds dt
k2s
f
sin t
v m dv v2 dm
d2y dx2
w H
1
dy dx
2
d2
d2w
dx2
EJ (x)
dx2
q(x)
(1.1.1) (1.1.2) (1.1.3)
(1.1.4) (1.1.5)
2u 2u 2u x2 y2 z2 0
等于函数 f x, y 在这点上的值。假设在区域 D内的每一点，都画上以 f x, y在这点的值为
斜率，并且一律指向增加方向的有向线段，我 们就说在区域D上做出了一个由方程（1.2.1）
确定的方向场。这个方向场称为由微分方程 （1.2.1）所确定的向量场。
方程（1.2.1）的一个解 y x 从几何上看
得到方程向量场和几条积分曲线（如图1.2.3b）。
图1.2.3a
图1.2.3b
*** 常微分方程发展简史与著名科学家简介
一、 微分方程发展的几个关键时期
奠基时期微分方程差不多是和微积分同
时产生的，当牛顿和莱布尼兹奠定微积分的基 本思想的同时，他们也就正式提出了微分方程 的概念。
牛顿
莱布尼兹
第一发展时期 从17世纪末到18世纪，
雅各布第一 ·伯努利 约翰.伯努利
丹尼尔.伯努利
莱昂哈德·欧拉
约瑟夫·路易斯·拉格朗日
第二发展时期对18、19世纪建立起来的
多数微分方程数学家们求显式解的努力往往归
于失败。特别是Liouville在1841年证明了大多 数微分方程不能用初等积分方法求解。这种情 促使他们转向证明解的存在性，这也是微分方 程发展史上的一个重要转折点。最先考虑微分 方程解的存在性问题的数学家是柯西，18世纪 20年代，他给出了常微分方程的第一个存在性 定理。柯西给微积分学注入了严格的要素，同 时也为微分方程的理论奠定了一个基石——解 的存在性和唯一性定理。
区间上有 x f x, x. 上式左端为C在点 x, x 的切线的斜率，
右段恰为方程（1.2.1）的方向场在同一点
x, x 的向量的斜率。从而，C在点 x, x
的切线与方向场在该点的方向重合。又因为上式 为恒等式，这说明上述说法在整个曲线C上成立。
充分性。设有曲线C，其方程为 y x
这个时期的另一个崭新的方向，也可以说是 微分方程发展史上的又一个转折点，就是定 性理论，它是由庞加莱独创的。庞加莱由对
三体问题的研究而引导到常微分方程定性理论 的创立。
柯西
刘维尔
庞加莱 李亚普诺夫
庞加莱关于在奇点附近积分曲线随时间变 化的定性研究，在1892年以后被俄国数学 家李亚普诺夫发展到高维一般情形而形成 专门的“运动稳定性”分支，他提出的李亚 普诺夫函数和李亚普诺夫指数概念意义极 为重要。李亚普诺夫的工作使微分方程的 发展呈现出一个全新的局面。
yn a1 x yn1 a2 x yn2 L an1 x y' an x y f (x)
设I是一个区间，函数 x在I上有定义，而
且有直到n阶导数，如果对任意 x I ，有
F(x, x,' x,'' x,L n x) 0（1.1.14）
或
n x f ( x,' x,'' x,L n1 x) 0 （1.1.15）
Cauchy和Weierstrss就是采用了这种观点， 差不多在同一时期，在很一般的条件下，解决 了当时常微分方程论中的一个基本问题----初值 问题解的存在与唯一性。
现在，常微分方程已经成为对一些运动过
程、运动规律进行描述研究的必要途径，其 重要性在于它是各种精确自然科学、社会科 学中表述基本定律和各种问题的根本工具之 一，自然界的许多运动现象，例如宏观的地 球围绕太阳周期运动，微观的原子中的原子 核和中子的运动等都可以用微分方程来描叙。 微分方程从它诞生起即日益成为人类认识并 进而改造自然、社会的有力工具，成为数学 科学联系实际的主要途径之一。用微分方程 的知识研究自然现象（如物理现象、生物现 象）是现代数学科学研究中很重要的方法之 一。
*** 微分方程论简介
常微分方程理论，作为数学的一个重要 分支，所研究的问题是多种多样的。不言而 喻，求出微分方程的解是微分方程论的首要 问题之一。
如前所述，如果能找出微分方程通解的形式， 就有可能适当地选定其中的任意常数，获得 所需要的特殊解。就有可能通过这种表达式， 讨论解对某些参数（这些参数在应用上往往 表征某些物理特征）的依赖性，从而适当地 选取这些参数，使得对应的解具有所
或
yn f (x, y, y' , y'' ,L yn1 ) （0 1.1.13）
其中 f 是它所依赖的n+1个变量的已知函数。 这种已经就最高阶导数解出的微分方程称为 正规型微分方程。有时也称形如（1.1.12）的 方程为隐式微分方程。
如果待定函数和它的各阶导数都独立地 以一次的形式出现在方程的各项中，则这 种微分方程称为线性的，正规型n阶线性常 微分方程的一般形式为
(1.1.11)
等各种形式。 容易看出上述微分方程中（1.1.1）--（1.1.5）
是常微分方程；而（1.1.6）--（1.1.11）是偏 微分方程。
微分方程的阶: 微分方程中待定函数的最高 阶导数的阶数，称为微分方程的阶。 n阶常微分方程的一般形式为
F (x, y, y', y'',L yn ) 0 (1.1.12)
的向量场的图形和几条积分曲线的图形。
解 取区域为以原点为中心的矩形
D x, y x 2, y 2
利用下列Maple命令 ➢DEtools[dfieldplot] ([diff(y(x),x)
=x^2-y(x)],y(x),x=-2..2,y=-2..2, dirgrid=[9,9],arrows=LINE, axes=NORMAL); 得到方程向量场的示意图 （图1.2.3a）；
在其上任意一点 x, x ，它的切线方向
都与微分方程（1.2.1）的方向场的方向重合， 则切线与向量的斜率应该相等。
于是，在 y x 有定义的区间上，有
恒等式 x f x, x.
这个等式说明 y x 是微分方程
（1.2.1）的解。从而C是积分曲线。
例 1.2.2 画出微分方程 dy x2 y dx
微分方程在物理学、化学、生物科学、工程科 学以及社会科学中有着广泛应用，有些学科的
基本方程就是微分方程或方程组，如动力学的 基本方程就是牛顿第二定律：
F ma m& x&
笛卡尔方法论原理的本旨是寻求发现真理的一 般方法，他称自己设想的一般方法为“通用数 学”，其思想：任何问题⇒数学问题⇒代数问题 ⇒方程求解。 在物理学中常见的微分方程有：
北京邮电大学理学院 郭玉翠
*** 2016年2月
基本内容
第一章 微分方程概论 第二章 微分方程模型 第三章 初等积分方法 第四章 基本定理 第五章 线性微分方程理论和解法 第六章 定性理论与稳定型简介 第七章 首次积分法与一阶偏微分方 程
课程要求与成绩评定
学期成绩：由平时作业、出勤，期中，期末和创新奖 励综合评定。 平时作业、考勤占20%； 期中：15%； 鼓励同学对新知识的探究和解决困难问题的兴趣， 5%的成绩用来奖励对新知识的探究和解决困难问 题。具体形式：讲课上内容、困难问题求解、实际 问题建模等。 期末：60%。
成立，则称是微分方程（1.1.12）（1.1.13）
的解。在坐标平面内 x 代表的曲线称为积
分曲线。 一般地，微分方程的解是通过积分得到的，
积分一次出现一个任意常数。微分方程解中独 立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同时， 称这种解为微分方程的通解或一般解：
y x,C1,C2,L ,Cn （1.1.16）
众多科学家，包括伯努利（家族）、欧拉、 高斯、拉格朗日和拉普拉斯等，把微分方程 的研究结合于当时许多重大的实际力学问题。 在这个时期，数学家们发明了所有求解一阶 方程的初等方法；找到了二 阶常系数线性齐
次方程的解法；并用参数变易法解出了一般 二 阶变系数非齐次常微分方程；在18世纪 末，常微分方程已成为有自己的目标和方向 的新数学分支，成为当时工程技术、物理、 力学等学科的基本工具之一。
十九世纪末期，由庞卡莱和李雅普诺夫分
别创立的常微分方程的定性理论和稳定性 理论，代表了当时非线性力学的最新方法。
进入二十世纪，在众多应用数学家
的共同努力下，常微分方程定性理论的发 展更加拓广了它的应用范围，并深入到机 械、电讯、核能、火箭、人造卫星、生物、 医学及若干社会学科（如人口理论、经济 预测等）的各个领域。现在微分方程已成 为当今数学中最具有活力的分支之一。