几何辅助线之角平分线专题

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【中考数学必备专题】几何辅助线大揭秘之角平分线问题(含答案)

【中考数学必备专题】几何辅助线大揭秘之角
平分线问题
一、证明题(共3道，每道40分)
1.已知，如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.求证：点F在∠DAE的平分线上.
答案：∵BF是∠CBD的平分线∴FG=FI ∵CF是∠BCE的平分线∴FH=FI ∴FG=FH ∴点F在∠DAE的平分线上
解题思路：过F作FG⊥AD于点G，FH⊥AE于点H，FI⊥BC于点I，如图只要证明FG=FH即可
试题难度：三颗星知识点：三角形角平分线
2.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，∠B=2∠C.求证：AC=AB+BD.
答案：∵AD是∠BAC的平分线∴∠BAD=∠EAD 在△ABD和△AED中AB=AE ∠BAD=∠EAD AD=AD ∴△ABD≌△AED（SAS）∴BD=ED，∠B=∠AED ∵∠AED=∠B=2∠C ∴∠CDE=∠AED ﹣∠C=∠C ∴DE=CE ∴BD=CE ∵AC=AE+CE ∴AC=AB+BD
解题思路：在AC上截取AE=AB，连接DE，如图只要证明BD=CE即可
试题难度：三颗星知识点：三角形角平分线
3.已知：如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，AD⊥BE，垂足为点D.求证：∠BAD=∠DAE+∠C.
答案：∵BE平分∠ABC，AD⊥BE ∴△ABF为等腰三角形（三线合一）∴∠BAD=∠BFD ∵∠BFD 为△ACF的外角∴∠BFD=∠DAE+∠C ∴∠BAD=∠DAE+∠C
解题思路：延长AD与BC交于点F，如图只要证明∠BFD=∠BAD即可
试题难度：三颗星知识点：三角形角平分线。

专题、角平分线四种常见辅助线添加方法

角平分线具有两条非常重要的性质：一是对称性；二是角平分线上的点到角两边的距离相等。

对于有角平分线的辅助线的作法，一般有四种：①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）；③做角平分线的垂线，与角两边构造等腰三角形；④过角平分线上的点做边的平行线。

方法一、在证明线段的和差倍分问题中，常用到的方法是延长法或截取法来证明，以此来构造三角形全等，延长短的线段，或在长的线段上截取一部分，使之等于短的线段。

但无论延长，还是截取都要证明线段的相等。

延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所要证明的目的。

例2中，用到了角平分线，用到了做垂直，利用三线合一证明边相等，利用SAS来证明三角形全等。

此题的证明，也可以在AB上截取AE=AC，先证明△ADE≌△ADC，再利用AB=2AC，得出E 是AB的中点，再利用三线合一证明DE⊥AB，所以DC⊥AC.课后专项练习一，就是利用延长或者截取法，来证明的。

题目不难，非常基础，请同学们，认真仿照例题，认真推敲，加强练习。

方法二、角平分线上的点向角两边做垂线。

通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。

至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。

一般来说，出现角平分线，做双垂直，都是非常通用的方法。

要么过角平线上的点做角两边的垂直，要么做角平分线的垂直交两边，都是必出三角形全等。

方法三，过角平分线上的一点，做角平分线的垂线，必然交于角的两边，构造出等腰三角形。

这个方法，在很多题型中，非常实用。

专项练习三，有两个题，需要自行画图。

只要我们一个专题一个专题的突破，把基础扎实起来，那么初中几何还难吗？初中数学还难吗？方法四、过角平分想上一点，做角的另一边的平行线。

因为角平分线有两角相等，平行线则有内错角相等，则必然出现角相等，得等腰三角形。

几何辅助线之角平分线专题

几何辅助线之角平分线专题1、角平分线辅助线四种基本模型已知：AD是∠BOC的角平分线（1）（2）（3）（4）2、补充性质：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，则有AB:AC=BD:DC典型例题例1、已知：如图，在△ABC中，∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB.求证：AC+CD=AB例2、已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合，当∠A满足什么条件时，点D恰为AB中点？写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB中点.例3、如图，AB=2AC，∠BAD=∠DAC,DA=DB ，求证：DC⊥AC。

DEHA BC例4、如图所示，已知AD 是△ABC 的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E ，F ．求证：AD 垂直平分EF ．例5、如图，在△ABC 中，∠A 等于60°，BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB 求证：DH=EH例6、如图，已知等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD ，垂足为E ，求证： BD ＝2CE 。

例7、如图，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。

变式练习请你参考上图构造全等三角形的方法，解答下列问题：⑴如图，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。

请你判断写出FE与FD之间的数量关系；⑵如图，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而⑴中的其他条件不变，请问，你在⑴中所得结论是否依然成立?若成立请证明；若不成立，请说明理由。

课后练习1、已知：如图所示，∠C＝2∠B，∠BAD＝∠CAD，求证：AB＝AC+CD。

2、已知，如图，BN 平分∠ABC，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB+BC＝2BD，求证：∠BAP+∠BCP＝180°。

与角平分线有关的辅助线及结论

与角平分线有关的辅助线及结论打开数学，解开疑惑基础知识点：1.角的平分线分得的两个角相等，角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线；2.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；3.角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

4.三角形的内心：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等，这个交点叫做三角形的内心；5.等腰三角形底边上的高（或中线）平分顶角（三线合一）。

一、根据对称性，截长补短构造全等例题、已知：如图，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求证：AB-AC=CD解析：方法一、截长构造全等在线段AB上取点E，使得AC=AE易证△ACD≌△AED再证等腰△EBD即可方法二、补短构造全等延长AC到E，使得CE=CD∴∠E=1/2∠ACD=∠B再证△ABD≌△AED即可二、根据角平分线的性质向角两边作垂线构全等例题、如图，已知AB＞AD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。

求证：∠ADC+∠B=180°解析：由C点向∠BAF的两边作垂线HL证明Rt△BCN≌Rt△DCM由此得到∠ADC+∠B=180°三、根据等腰三角形三线合一，作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。

（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）例题、如图，∠BAD=∠DAC，AB＞AC,CD⊥AD于D，H是BC 中点。

求证：2DH=（AB-AC）解析：延长CD交AB于点E则可得等腰△ACE进而得到DH为△CBE的中位线问题可证四、以角分线上一点做角的另一边的平行线构造等腰三角形有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。

专题16 角平分线四大模型(解析版)

专题16 角平分线四大模型(解析版)角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。

在几何学中，角平分线是一种重要且常见的构造，它具有许多有用的性质和应用。

本专题将介绍角平分线的四大模型，并对其进行解析。

1. 模型一：角内角平分线模型角内角平分线是指从一个角的内部点出发，将该角分成两个相等的内角的线段。

这种模型在解决一些与角相关的问题时非常有用。

例如，考虑一个三角形ABC，D点在角BAC的内部，且BD与CD分别是角BAC的内角平分线，我们可以推导出：∠BDC = 1/2 * ∠BAC。

这个模型在证明角内角平分线性质时发挥了关键作用。

2. 模型二：角外角平分线模型角外角平分线是指从一个角的外部点出发，将该角的外角分成两个相等的外角的线段。

这种模型在解决一些与外角相关的问题时也非常有用。

以正五边形ABCDE为例，点F在边AB延长线上，且∠BCD为角ACD的外角，则可以得出：∠BCD = 1/2 * ∠ACD。

这个模型在讨论外接角平分线性质时起到了重要作用。

3. 模型三：角平分线的垂直性模型角平分线的垂直性模型是指在一个三角形中，三条角平分线相交于一个点，且该点与三个三角形的顶点连线垂直。

以三角形ABC为例，如果AD、BE、CF为三个角平分线，且它们交于点O，则有AO ⊥BC，BO ⊥ AC，CO ⊥ AB。

这个模型在解决垂直关系问题时具有重要的应用价值。

4. 模型四：角平分线的外角关系模型角平分线的外角关系模型是指一个三角形的三个外角等于一个直角的两倍。

以三角形ABC为例，∠BAC的外角是∠ACD，∠ABC的外角是∠BCE，∠BCA的外角是∠CAD，则∠ACD + ∠BCE + ∠CAD = 2 * 90°。

这个模型在研究外角关系时起到重要的辅助作用。

综上所述，角平分线四大模型提供了解决各种与角有关问题的有力工具。

这些模型不仅在几何学中具有广泛的应用，而且在其他科学领域中也有其独特的价值。

初三几何3角平分线辅助线.基础(2013-2014)教师

A D
B
C
【答案】（利用角平分作对称模型）如图，延长 BD 到 E ，使 DE AD ，在 BC 上截取 BF BA ．
∵ 1 2 ， BD 为公共边，∴ BAD ≌ BFD ， AD FD ， ADB FDB ．
∵ 1 1 ABC 1 1 180 100 20 ，
2
22
∴ ADB 180 A 1 180 100 20 60 ．
B
C
【例4】如图，在 ABC 中， BAC 60 ， AD 是 BAC 的平分线，且 AC AB BD ，求 ABC 的度数.
A
B
D
【答案】解法一（补短）：
如图所示，延长 AB 至 E 使 BE BD ，连接 ED 、 EC .
A
由 AC AB BD 知 AE AC ，
而 BAC 60o ，则 AEC 为等边三角形.
结论：① CD CE ② OD OE 2OC cos
D C
③ S四边形DOEC S△ODC S△OCE OC 2 sin cos
难度较大，记得经常复习（庆功独家提供，见几何小秘籍）
O
E
B
中考满分必做题
一、往角两边截取相等的线段
☞考点说明：解读：在角两边截取相等的线段，这也是角平分线常用的辅助线，常用于解决线段和差问题把两条折线段“拉直”成线段，利用角平分线可以构造全等三角形. 同样地，将长线段拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的. 需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想. 常用方法分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考虑的方法.
1
∴ FDB 60 ，故 FDC 60 ， EDC 60 ．

角平分线的几种辅助线作法与三种模型

一、角平分线的三种“模型”模型一：角平分线+平行线→等腰三角形如图1，过∠AOB平分线OC上的一点P，作PE∥O B，交OA于点E，则EO=EP.AAAEPCECDFEPOBBCOFB图1图2图3例1 如图2，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E.求证：BD+EC=DE.模型二：角平分线+垂线→等腰三角形如图3，过∠AOB平分线OC上的一点P，作EF⊥OC，交OA于点E，交OB于点F，则OE=OF，PE=PF.例2 如图4，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足为D，求证：∠BAD=∠DAC+∠C.模型三：角平分线+翻折→全等三角形在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，沿角平分线AD将△ABD往右边折叠就得到如图5的图形.此时有：△ABD≌△AB/D.此翻折相当于在三角形的一边截取线段等于另一边，或延长一边等于另一边构造出相等的线段.用此方法可解决一些不相等的线段和差类问题.D AE AP/BCDB /BC 图5图6例3 如图6，点P 是△ABC 的外角∠CAD 的平分线上的一点.求证：PB+PC>AB+AC.二、角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、已知角平分线，构造三角形1、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。

求证：1()2BE AC AB =- 2、在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ．求证：∠ACE=∠B+∠ECD ．二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段1、如图所示，∠1=∠2，P 为BN 上的一点，并且PD ⊥BC 于D ，AB ＋BC=2BD 。

求证：∠BAP ＋∠BCP=180°。

21F EDCBANPEDCBA ABDCE F图三、已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段1、如图所示，在△ABC 中，PB 、PC 分别是∠ABC 的外角的平分线，求证：∠1=∠22、2、如图2，AB ∥CD ，E 为AD 上一点，且BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ．求证：AE=ED 3、（四（2））四、以角的平分线为对称轴构造对称图形例1如图1，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠C=2∠B ．求证：AB=AC+CD ．2、例题：如图2，BC ＞AB ，BD 平分∠ABC ，且∠A+∠C=1800，求证：AD=DC ．五、利用角的平分线构造等腰三角形1、如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 平分 ∠ABC ，DE ⊥BD 于D ，交BC 于点E ．求证：CD=21BE ．G21PFECBAAG CHDEF图2BB ACDE图1ABDECBA C D E 图。

中考数学常见几何模型专题07 角平分线的基本模型(一)全等类(解析版)

专题07 角平分线的重要模型（一）全等类角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。

模型1.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段等）【模型解读与图示】已知如图1，OP为AOB∠的角平分线、PM不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在OB上截取ON OM=，连结PN即可.即有OMP∆≌ONP∆，利用相关结论解决问题.图1 图21．（2022·湖北十堰·九年级期末）在△ABC中，△ACB＝2△B，如图①，当△C＝90°，AD为△BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连结DE，易证AB＝AC＋CD．（1）如图②，当△C≠90°，AD为△BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．【答案】（1）AB AC CD=+；证明见解析；（2）AB AC CD+=；证明见解析．【分析】（1）首先在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证△ADE△△ADC（SAS），则可得△AED＝△C，ED＝CD，又由△AED＝△ACB，△ACB＝2△B，所以△AED＝2△B，即△B＝△BDE，易证DE＝CD，则可求得AB＝AC＋CD；（2）首先在BA的延长线上截取AE＝AC，连接ED，易证△EAD△△CAD，可得ED＝CD，△AED＝△ACD，又由△ACBAB∥CD⇒AB+CD=BCFDEBAC＝2△B ，易证DE ＝EB ，则可求得AC ＋AB ＝CD ．【详解】（1）猜想：AB AC CD =+．证明：如图②，在AB 上截取AE AC =，连结DE ，△AD 为ABC 的角平分线时，△BAD CAD ∠=∠，△AD AD =，△()SAS ADE ADC ≌△△， △AED C ∠=∠，ED CD =，△2ACB B ∠=∠，△2AED B ∠=∠．△B EDB ∠=∠，△EB ED =，△EB CD =，△AB AE DE AC CD =+=+．（2）猜想：AB AC CD +=．证明：在BA 的延长线上截取AE AC =，连结ED ．△AD 平分FAC ∠，△EAD CAD ∠=∠．在EAD 与CAD 中，AE AC =，EAD CAD ∠=∠，AD AD =，△EAD CAD ≌△△． △ED CD =，AED ACD ∠=∠．△FED ACB ∠=∠．又2ACB B ∠=∠，FED B EDB ∠=∠+∠，EDB B ∠=∠．△EB ED =．△EA AB EB ED CD +===．△AC AB CD +=．【点睛】此题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．2．（2022·山东烟台·九年级期末）已知在ABC 中，满足2ACB B ∠=∠，(1)【问题解决】如图1，当90C ∠=︒，AD 为BAC ∠的角平分线时，在AB 上取一点E 使得AE AC =，连接DE ，求证：AB AC CD =+．(2)【问题拓展】如图2，当90C ∠≠︒，AD 为BAC ∠的角平分线时，在AB 上取一点E 使得AE AC =，连接DE ，（1）中的结论还成立吗？若成立，请你证明：若不成立，请说明理由．(3)【猜想证明】如图3，当AD 为ABC 的外角平分线时，在BA 的延长线上取一点E 使得AE AC =，连接DE ，线段AB 、AC 、CD 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．【答案】(1)证明见解析(2)成立，证明见解析(3)猜想AB AC CD +=，证明见解析【分析】（1）先根据SAS 定理证出AED ACD ≅，根据全等三角形的性质可得ED CD =，AED ACD ∠=∠，再根据三角形的外角性质可得45B BDE ∠=∠=︒，然后根据等腰三角形的判定可得EB ED =，从而可得EB CD =，最后根据线段和差、等量代换即可得证；（2）先根据SAS 定理证出AED ACD ≅，根据全等三角形的性质可得ED CD =，AED C ∠=∠，再根据三角形的外角性质可得B BDE ∠=∠，然后根据等腰三角形的判定可得EB ED =，从而可得EB CD =，最后根据线段和差、等量代换即可得证；（3）先根据SAS 定理证出AED ACD ≅，根据全等三角形的性质可得ED CD =，AED ACD ∠=∠，从而可得FED ACB ∠=∠，再根据三角形的外角性质可得B BDE ∠=∠，然后根据等腰三角形的判定可得EB ED =，从而可得EB CD =，最后根据线段和差、等量代换即可得证．证明：△AD 为BAC ∠的角平分线，△EAD CAD ∠=∠，在AED 与ACD △中，AE AC EAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()AED ACD SAS ≅，△ED CD =，AED ACD ∠=∠，又△90ACB ∠=︒，2ACB B ∠=∠，△45B ∠=︒，90AED ∠=︒，△45AED BDE B ∠=∠=∠-︒，△B BDE ∠=∠，△EB ED =，△EB CD =，△AB AE EB AC CD =+=+．（2）解：（1）中的结论还成立，证明如下：△AD 为BAC ∠的角平分线时，△EAD CAD ∠=∠，在AED 与ACD △中，AE AC EAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()AED ACD SAS ≅，△AED C ∠=∠，ED CD =，△2ACB B ∠=∠，△2AED B ∠=∠，又△AED B EDB ∠=∠+∠，△B EDB ∠=∠，△EB ED =，△EB CD =，△AB AE EB AC CD =+=+．解：猜想AB AC CD+=，证明如下：△AD平分EAC∠，△EAD CAD∠=∠，在AED与ACD△中,AE ACEAD CAD AD AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()AED ACD SAS≅，△ED CD=，AED ACD∠=∠，如图，△180180AED ACD︒-∠=︒-∠，即FED ACB∠=∠，△2ACB B∠=∠，△2FED B∠=∠，又△FED B EDB∠=∠+∠，△EDB B∠=∠，△EB ED=，△AB AE EB ED CD+===，△AB AC CD+=．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．3．（2022·浙江·九年级期中）（1）如图1，在△ABC中，△ACB＝2△B，△C＝90°，AD为△BAC的平分线交BC 于D，求证：AB＝AC＋CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，连接DE）（2）如图2，当△C≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需要证明．（3）如图3，当△ACB≠90°，△ACB＝2△B ，AD为△ABC的外角△CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．【答案】（1）见解析；（2）AB＝AC＋CD；（3）AB＝CD﹣AC【分析】（1）在AB上截取AE=AC，连接DE，根据角平分线的定义得到△1=△2．推出△ACD△△AED（SAS）．根据全等三角形的性质得到△AED=△C=90，CD=ED，根据已知条件得到△B=45°．求得△EDB=△B=45°．得到DE=BE，等量代换得到CD=BE．即可得到结论；（2）在AC取一点E使AB=AE，连接DE，易证△ABD△△AED，所以△B=△AED，BD=DE，又因为△B=2△C，所以△AED=2△C，因为△AED是△EDC的外角，所以△EDC=△C，所以ED=EC，BD=EC，进而可证明AB+BD=AE+EC=AC；（3）在AB的延长线AF上取一点E，使得AE=AC，连接DE．证明△ACD△△AED，根据全等三角形的性质得到DE=BE，BE=CD，即可得出结论．【详解】（1）证明：在AB上取一点E，使AE=AC△AD为△BAC的平分线△△BAD=△CAD．在△ACD和△AED中，AE AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ACD △△AED （SAS ）．△△AED =△C =90°，CD =ED ，又△△ACB =2△B ，△C =90°，△△B =45°． △△EDB =△B =45°．△DE =BE ， △CD =BE ．△AB =AE ＋BE ， △AB =AC ＋CD ．（2）证明：在AB 取一点E 使AC=AE ，在△ACD 和△AED 中，AC AE BAD EAD AD AD ＝＝＝⎧⎪∠∠⎨⎪⎩, △△ACD△△AED ，△△C=△AED ，CD=DE ，又△△C=2△B ，△△AED=2△B ，△△AED 是△EDC 的外角，△△EDB=△B ，△ED=EB ，△CD=EB ，△AB=AC+CD ；（3）猜想：AB =CD ﹣AC证明：在BA 的延长线上取一点E ，使得AE =AC ，连接DE ，在△ACD和△AED中，AC AECAD EADAD AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ACD△△AED（SAS），△△ACD=△AED，CD=DE，△△ACB=△FED，又△△ACB=2△B△△FED=2△B，又△△FED=△B＋△EDB，△△EDB=△B，△DE=BE，△BE=CD，△AB=BE-AE△AB=CD﹣AC．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，关于线段和差关系的证明，通常采用截长补短法. 4．（2022·北京九年级专题练习）在四边形ABDE中，C是BD边的中点．（1）如图（1），若AC平分BAE∠，90ACE∠=︒，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案）（2）如图（2），AC平分BAE∠，EC平分AED∠，若120ACE∠=︒，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．【答案】（1）AE＝AB＋DE；（2）AE＝AB＋DE＋12BD，证明见解析．【分析】（1）在AE上取一点F，使AF＝AB，由三角形全等的判定可证得△ACB≌△ACF，根据全等三角形的性质可得BC＝FC，∠ACB＝∠ACF，根据三角形全等的判定证得△CEF≌△CED，得到EF＝ED，再由线段的和差可以得出结论；（2）在AE上取点F，使AF＝AB，连结CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连结CG，根据全等三角形的判定证得△ACB≌△ACF和△ECD≌△ECG，由全等三角形的性质证得CF＝CG，进而证得△CFG是等边三角形，就有FG＝CG＝12BD，从而可证得结论．【详解】解：（1）如图（1），在AE上取一点F，使AF＝AB．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠FAC．在△ACB和△ACF中，AB AFBAC FACAC AC⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ACB≌△ACF（SAS）．∴BC＝FC，∠ACB＝∠ACF．∵C是BD边的中点，∴BC＝CD．∴CF＝CD．∵∠ACE＝90°，∴∠ACB＋∠DCE＝90°，∠ACF＋∠ECF＝90°．∴∠ECF＝∠ECD．在△CEF和△CED中，CF CDECF ECDCE CE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△CEF≌△CED（SAS）．∴EF＝ED．∵AE＝AF＋EF，∴AE＝AB＋DE．故答案为：AE＝AB＋DE；（2）AE＝AB＋DE＋12BD．证明：如图（2），在AE上取点F，使AF＝AB，连结CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连结CG．∵C 是BD 边的中点，∴CB ＝CD ＝12BD ．∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC ＝∠FAC ．在△ACB 和△ACF 中，AB AF BAC FAC AC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ACB ≌△ACF （SAS ）．∴CF ＝CB ，∠BCA ＝∠FCA ．同理可证：△ECD ≌△ECG ∴CD ＝CG ，∠DCE ＝∠GCE ．∵CB ＝CD ，∴CG ＝CF ．∵∠ACE ＝120°，∴∠BCA ＋∠DCE ＝180°−120°＝60°．∴∠FCA ＋∠GCE ＝60°．∴∠FCG ＝60°．∴△FGC 是等边三角形．∴FG ＝FC ＝12BD ．∵AE ＝AF ＋EG ＋FG ，∴AE ＝AB ＋DE ＋12BD ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键．模型2.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）【模型解读与图示】已知如图1，OP 为OAB ∠的角平分线、PM OA ⊥于点M 时，辅助线的作法大都为过点P 作PN OB ⊥即可.即有PM PN =、OMP ∆≌ONP ∆等，利用相关结论解决问题.图1 图2 图3邻等对补模型：已知如图2，AP 是∠CAB 的角平分线，EP =DP辅助线：过点P 作PG ⊥AC 、PF ⊥AB结论：①︒=∠+∠180EPD BAC （D P E A 、、、四点共圆）；②EG DF =；③DF AE AD 2+= 1．（2022·北京·中考真题）如图，在ABC ∆中，AD 平分,.BAC DE AB ∠⊥若2,1,AC DE ==则ACD S ∆=____． D B【答案】1【分析】作DF AC ⊥于点F ，由角平分线的性质推出1DF DE ==，再利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：如图，作DF AC ⊥于点F ，△AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥，△1DF DE ==， △1121122ACD S AC DF ∆=⋅=⨯⨯=．故答案为：1．【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD 中AC 边的高是解题的关键． 2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P ，若∠BPC ＝40°，则∠CAP ＝（）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°【答案】C 【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC 的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP ＝∠FAP ，即可得出答案.【详解】解：延长BA ，作PN ⊥BD ，PF ⊥BA ，PM ⊥AC ，设∠PCD ＝x °，∵CP 平分∠ACD ，∴∠ACP ＝∠PCD ＝x °，PM ＝PN ，∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝∠PBC ，PF ＝PN ，∴PF ＝PM ，∵∠BPC ＝40°，∴∠ABP ＝∠PBC ＝∠PCD ﹣∠BPC ＝（x ﹣40）°，∴∠BAC ＝∠ACD ﹣∠ABC ＝2x °﹣（x °﹣40°）﹣（x °﹣40°）＝80°，∴∠CAF ＝100°，在Rt △PFA 和Rt △PMA 中，{PA PAPM PF ==，∴Rt △PFA ≌Rt △PMA （HL ），∴∠FAP ＝∠PAC ＝50°．故选C ．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM ＝PN ＝PF 是解题的关键．3．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在ABCD 中，BE 、DG 分别平分ABC ADC ∠∠、，交AC 于点E G 、．(1)求证：,BE DG BE DG =∥；(2)过点E 作EF AB ⊥，垂足为F ．若ABCD 的周长为56，6EF =，求ABC ∆的面积．【答案】(1)见详解(2)84【分析】（1）由平行四边形的性质证()ABE CDG ASA ∆≅∆即可求证；（2）作EQ BC ⊥，由ΔΔΔABC ABE EBC S S S =+即可求解；（1）证明：在ABCD 中，△//AB CD ，△BAE DCG ∠=∠，△BE 、DG 分别平分ABC ADC ∠∠、，ABC ADC ∠=∠，△ABE CDG ∠=∠，在ABE ∆和CDG ∆中，△ABCD的周长为AB BC+=BE平分∠EQ EF=ABCS S∆∆=4．（2022·河北·九年级专题练习）已知OP平分△AOB，△DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA 于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD△OA，CE△OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若△AOB=120°，△DCE=△AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．【答案】（1）CF =CG ；（2）CF =CG ，见解析【分析】（1）结论CF =CG ，由角平分线性质定理即可判断．（2）结论：CF =CG ，作CM △OA 于M ，CN △OB 于N ，证明△CMF △△CNG ，利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】解：（1）结论：CF =CG ；证明：△OP 平分△AOB ，CF △OA ，CG △OB ，△CF =CG （角平分线上的点到角两边的距离相等）；（2）CF =CG ．理由如下：如图，过点C 作CM △OA ，CN △OB ，△OP 平分△AOB ，CM △OA ，CN △OB ，△AOB =120°，△CM =CN （角平分线上的点到角两边的距离相等），△△AOC =△BOC =60°（角平分线的性质），△△DCE =△AOC ，△△AOC =△BOC =△DCE =60°，△△MCO =90°-60° =30°，△NCO =90°-60° =30°，△△MCN =30°+30°=60°，△△MCN =△DCE ，△△MCF =△MCN -△DCN ，△NCG =△DCE -△DCN ，△△MCF =△NCG ，在△MCF 和△NCG 中，CMF CNG CM CNMCF NCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△MCF △△NCG （ASA ），△CF =CG （全等三角形对应边相等）．【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等．模型3.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）【模型解读与图示】已知如图1，OP 为AOB ∠的角平分线，PM OP ⊥于点P 时，辅助线的作法大都为延长MP 交OB 于点N 即可。

初中数学复习几何模型专题讲解3---和角平分线有关的辅助线

初中数学复习几何模型专题讲解专题03 和角平分线有关的辅助线一、单选题1．已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE；④BA+BC=2BF．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④【答案】D【分析】根据SAS证△ABD≌△EBC，可得∠BCE＝∠BDA，结合∠BCD＝∠BDC可得①②正确；根据角的和差以及三角形外角的性质可得∠DCE＝∠DAE，即AE＝EC，由AD＝EC，即可得③正确；过E作EG⊥BC于G点，证明Rt△BEG≌Rt△BEF和Rt△CEG≌Rt△AEF，得到BG＝BF和AF＝CG，利用线段和差即可得到④正确．【详解】解：①∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∴在△ABD和△EBC中，BD BCABD CBD BE BA⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD≌△EBC（SAS），①正确；②∵BD为△ABC的角平分线，BD＝BC，BE＝BA，∴∠BCD＝∠BDC＝∠BAE＝∠BEA，∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE＝∠BDA，∴∠BCE＋∠BCD＝∠BDA＋∠BDC＝180°，②正确；③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD＋∠DCE，∠BDA＝∠DAE＋∠BEA，∠BCD ＝∠BEA，∴∠DCE＝∠DAE，∴△ACE为等腰三角形，∴AE＝EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD＝EC，∴AD＝AE．③正确；④过E作EG⊥BC于G点，∵E是∠ABC的角平分线BD上的点，且EF⊥AB，∴EF＝EG（角平分线上的点到角的两边的距离相等），∵在Rt△BEG和Rt△BEF中，BE BE EF EG=⎧⎨=⎩，∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），∴BG＝BF，∵在Rt△CEG和Rt△AFE中，AE CE EF EG=⎧⎨=⎩，∴Rt△CEG≌Rt△AEF（HL），∴AF＝CG，∴BA＋BC＝BF＋FA＋BG−CG＝BF＋BG＝2BF，④正确．故选D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和全等三角形的对应边、对应角相等的性质，等腰三角形的判定与性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等的性质是解题的关键．2．如图，ABC ∆中，135ACB ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为D ，若6AD =，20BD =，则CD 的长为（）A ．B ．C ．72D ．4【答案】D【分析】做,ACD BCD ∆∆分别关于,AC BC 的对称图形,ACE BCF ∆∆延长,AE BF 交于点G ，连接CG ,构造正方形，再根据等量关系用勾股定理计算．【详解】做,ACD BCD ∆∆分别关于,AC BC 的轴对称图形,ACE BCF ∆∆延长,AE BF 交于点G ，连接CG ，如图：∵,ACE BCF ∆∆是,ACD BCD ∆∆的对称三角形∴6,20,AE AD BF BD CE CD CF ======,,,AEC ADC BFC BDC ACE ACD BCF BCD ∠=∠∠=∠=∠∠=∠∵CD AB ⊥∴90ADC BDC AEC BFC ∠=∠=∠=∠=︒又∵135ACB ∠=︒∴135ACE BCF ∠+∠=︒∴36013513590ECF ∠=︒-︒-︒=︒∴四边形CEGF 是正方形设CD CF GF CE GE x =====，在Rt GAB ∆ 中：222AG +BG AB =即：()()22262026x x +++= 解得：124,30x x ==-（舍）∴CD 的长为4．【点睛】本题是一道综合性较强的题目，整体图形的对称构造正方形是解决本题的关键．3．如图，Rt ACB 中，90ACB ︒∠=，ABC 的角平分线AD 、BE 相交于点P ，过P 作PF AD ⊥交BC 的延长线于点F ，交AC 于点H ，则下列结论：①135APB ︒∠=；②PF PA =；③AH BD AB +=；④S 四边形23ABDE S ABP =，其中正确的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐一分析判断即可．【详解】解：∵在△ABC 中，∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°∵AD 、BE 分别平分∠BAC 、∠ABC ，∴∠BAD=12CAB ∠，∠ABE=12ABC ∠ ∴∠BAD+∠ABE=111+=()45222CAB ABC CAB ABC ∠∠∠+∠=︒ ∴∠APB=180°-（∠BAD+∠ABE ）=135°，故①正确；∴∠BPD=45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB=90°+45°=135°∴∠APB=∠FPB又∵∠ABP=∠FBPBP=BP∴△ABP≌△FBP（ASA）∴∠BAP=∠BFP，AB=AB，PA=PF，故②正确；在△APH与△FPD中∵∠APH=∠FPD=90°∠PAH=∠BAP=∠BFPPA=PF∴△APH≌△FPD（ASA），∴AH=FD，又∵AB=FB∴AB=FD+BD=AH+BD，故③正确；连接HD，ED，∵△APH ≌△FPD ，△ABP ≌△FBP∴APH FPD S S =，ABP FBP S S =，PH=PD ，∵∠HPD=90°，∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD∴HD ∥EP ，∴EPH EPD S S =∵ABP BDP AEP EPDABDE S S S S S =+++四边形 ()ABP AEP EPH PBD S S S S =+++ABP APH PBD S S S =++ABP FPD PBD S S S =++ABP FBP S S =+2ABP S =故④错误，∴正确的有①②③，故答案为：B．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意AAA和SAS不能判定两个三角形全等．二、解答题4．如图，ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．（1）求证：BD＝CE；（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2【分析】=，（1）连接BP、CP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP CP根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DP EP=，然后利用“HL”证明Rt BDP∆和Rt CEP全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；=，（2）利用“HL”证明Rt ADP∆和Rt AEP全等，根据全等三角形对应边相等可得AD AE 再根据AB、AC的长度表示出AD、CE，然后解方程即可．【详解】（1）证明：连接BP、CP，点P在BC的垂直平分线上，BP CP∴=，∠的平分线，AP是DACDP EP，在Rt BDP∆和Rt CEP中，BP CP，DP EPRt BDP Rt CEP(HL)，∴=；BD CE（2）解：在Rt ADP∆和Rt AEP中，AP AP，DP EPRt ADP Rt AEP(HL)，∴=，AD AE6AB cm =，10AC cm =，610AD AE ，即610AD AD ，解得AD 2cm =．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．5．（特例感知）（1）如图（1），ABC ∠是O 的圆周角，BC 为直径，BD 平分ABC ∠交O 于点D ，3CD =，4BD =，求点D 到直线AB 的距离．（类比迁移）（2）如图（2），ABC ∠是O 的圆周角，BC 为O 的弦，BD 平分ABC ∠交O 于点D ，过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，探索线段AB ，BE ，BC 之间的数量关系，并说明理由．（问题解决）（3）如图（3），四边形ABCD 为O 的内接四边形，90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，BD =，6AB =，求ABC 的内心与外心之间的距离．【答案】（1）125；（2）2AB BC BE +=，理由见解析；（3 【分析】（1）如图①中，作DF AB ⊥于F ，DE BC ⊥于E ．理由面积法求出DE ，再利用角平分线的性质定理可得DF DE =解决问题；（2）如图②中，结论：2AB BC BE +=．只要证明()DFA DEC ASA ∆≅∆，推出AF CE =，Rt BDF Rt BDE(HL)∆≅∆，推出AF BE =即可解决问题；（3）如图③，过点D 作DF ⊥BA ，交BA 的延长线于点F ，DE ⊥BC ，交BC 于点E ，连接AC ，作△ABC △ABC 的内切圆，圆心为M ，N 为切点，连接MN ，OM ．由（1）（2）可知，四边形BEDF 是正方形，BD 是对角线．由切线长定理可知：610842AN +-==，推出541ON =-=，由面积法可知内切圆半径为2，在Rt OMN ∆中，理由勾股定理即可解决问题；【详解】解：（1）如图①中，作DF AB ⊥于F ，DE BC ⊥于E ．图① BD 平分ABC ∠，DF AB ⊥，DE BC ⊥，DF DE ∴=， BC 是直径，90BDC ∴∠=︒，5BC ∴===，1122BC DE BD DC =， 125DE ∴=， 125DF DE =∴=．故答案为125 （2）如图②中，结论：2AB BC BE +=．图②理由：作DF BA ⊥于F ，连接AD ，DC ． BD 平分ABC ∠，DE BC ⊥，DF BA ⊥，DF DE ∴=，90DFB DEB ∠=∠=︒，180ABC ADC ∠+∠=︒，180ABC EDF ∠+∠=︒，ADC EDF ∴∠=∠，FDA CDE ∴∠=∠，90DFA DEC ∠=∠=︒，()DFA DEC ASA ∴∆≅∆，AF CE ∴=，BD BD =，DF DE =，Rt BDF Rt BDE(HL)∴∆≅∆，BF BE ∴=，2AB BC BF AF BE CE BE ∴+=-++=．（3）如图③，过点D 作DF ⊥BA ，交BA 的延长线于点F ，DE ⊥BC ，交BC 于点E ，连接AC ，作△ABC △ABC 的内切圆，圆心为M ，N 为切点，连接MN ，OM ．由（1）（2）可知，四边形BEDF 是正方形，BD 是对角线．图③7BD =，∴正方形BEDF 的边长为7，由（2）可知：28BC BE AB =-=，10AC ∴==，由切线长定理可知：610842AN +-==， 541ON ∴=-=，设内切圆的半径为r ，则11111068682222r r r ⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯⨯ 解得2r ，即2MN =，在Rt OMN ∆中，OM ==【点睛】本题属于圆综合题，考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．6．在平面直角坐标系中，点()5,0A -，()0,5B ，点C 为x 轴正半轴上一动点，过点A 作AD BC ⊥交y 轴于点E ．（1）如图①，若点C 的坐标为（3，0），试求点E 的坐标；（2）如图②，若点C 在x 轴正半轴上运动，且5OC <，其它条件不变，连接DO ，求证：OD 平分ADC ∠（3）若点C 在x 轴正半轴上运动，当2OCB DAO ∠=∠时，试探索线段AD 、OC 、DC 的数量关系，并证明．【答案】（1）（0，3）；（2）详见解析；（3）AD=OC+CD【分析】（1）先根据AAS判定△AOE≌△BOC，得出OE=OC，再根据点C的坐标为（3，0），得到OC=2=OE，进而得到点E的坐标；（2）先过点O作OM⊥AD于点M，作ON⊥BC于点N，根据△AOE≌△BOC，得到S△AOE=S△BOC，且AE=BC，再根据OM⊥AE，ON⊥BC，得出OM=ON，进而得到OD 平分∠ADC；（3）在DA上截取DP=DC，连接OP，根据三角形内角和定理，求得∠PAO=30°，进而得到∠OCB=60°，根据SAS判定△OPD≌△OCD，得OC=OP，∠OPD=∠OCD=60°，再根据三角形外角性质得PA=PO=OC，故AD=PA+PD=OC+CD．【详解】（1）如图①，∵AD⊥BC，BO⊥AO，∴∠AOE=∠BDE，又∵∠AEO=∠BED，∴∠OAE=∠OBC，∵A（-5，0），B（0，5），∴OA=OB=5，∴△AOE≌△BOC，∴OE=OC，又∵点C的坐标为（3，0），∴OC=3=OE，∴点E的坐标为（0，3）；（2）如图②，过点O作OM⊥AD于点M，作ON⊥BC于点N，∵△AOE≌△BOC，∴S△AOE=S△BOC，且AE=BC，∵OM⊥AE，ON⊥BC，∴OM=ON，∴OD平分∠ADC；（3）如所示，在DA上截取DP=DC，连接OP，∵2OCB DAO ∠=∠，∠ADC=90°∴∠PAO+∠OCD=90°，∴∠DAC=903︒=30°，∠DCA=2903⨯︒=60° ∵∠PDO=∠CDO ，OD=OD ，∴△OPD ≌△OCD ，∴OC=OP ，∠OPD=∠OCD=60°，∴∠POA=∠PAO=30°∴PA=PO=OC∴AD=PA+PD=OC+CD即：AD=OC+CD ．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行求解．7．如图，在ABC 中，AB AC =，100A ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，延长BD 至点E ，DE AD =，试求ECA ∠的度数．【答案】40°【分析】在BC 上截取BF AB =，连接DF ，通过证明()ABD FBD SAS ≌，可得18080DFC A ︒∠=-∠=︒，再通过证明()DCE DCF SAS ≌，即可求得40ECA DCB ∠=∠=︒【详解】解：如图，在BC 上截取BF AB =，连接DF ， BD 是ABC ∠的平分线，ABD FBD ∴∠=∠，在ABD △和FBD 中，,,,AB FB ABD FBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABD FBD SAS ∴△≌△，BFD A ∴∠=∠，AD DF =，∴DE=DF ，18080DFC A ∴∠=︒-∠=︒，又40ABC ACB ∠=∠=︒，60FDC ∴∠=︒，18060EDC ADB ABD A ∠=∠=︒-∠-∠=︒，EDC FDC ∴∠=∠，在DCE 和DCF 中，,,,DE DF EDC FDC DC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()DCE DCF SAS ∴△≌△，故40ECA DCB ∠=∠=︒．【点睛】本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键．8．如图，∠D ＝∠C ＝90°，点E 是DC 的中点，AE 平分∠DAB ，∠DEA ＝28°，求∠ABE 的大小．【答案】28°【分析】过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出BE平分∠ABC，即可求得∠ABE的度数．【详解】如图，过点E作EF⊥AB于F，∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，∴DE=EF，∵E是DC的中点，∴DE=CE，∴CE=EF，又∵∠C=90°，∴点E在∠ABC的平分线上，∴BE平分∠ABC，又∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∴∠AEB=90°，∴∠BEC=90°-∠AED=62°，∴Rt△BCE中，∠CBE=28°，∴∠ABE=28°．【点睛】考查了平行线的性质与判定、角平分线上的点到角的两边距离相等的性质、到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，解题关键是熟记各性质并作出辅助线．9．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由．【答案】见解析【分析】在AB 上找到F 使得AF ＝AD ，易证△AEF ≌△AED ，可得AF ＝AD ，∠AFE ＝∠D ，根据平行线性质可证∠C ＝∠BFE ，即可证明△BEC ≌△BEF ，可得BF ＝BC ，即可解题．【详解】证明：在AB 上找到F 使得AF ＝AD ，∵AE 平分∠BAD ，∴∠EAD ＝∠EAF ，∵在△AEF 和△AED 中，AD AFEAD EAF AE AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△AED ，（SAS ）∴AF ＝AD ，∠AFE ＝∠D ，∵AD ∥BC ，∴∠D ＋∠C ＝180°，∵∠AFE ＋∠BFE ＝180°∴∠C ＝∠BFE ，∵BE 平分∠BAD ，∴∠FBE ＝∠C ，∵在△BEC 和△BEF 中，BFE C FBE CBE BE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEC ≌△BEF ，（AAS ）∴BF ＝BC ，∵AB ＝AF ＋BF ，∴AB ＝AD ＋BC ，即AD ＝AB ﹣BC ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△AEF ≌△AED 和△BEC ≌△BEF 是解题的关键．10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠ABC ＝40°，BD 是∠ABC 的平分线，延长BD 至E ，使DE ＝AD ，求证：∠ECA ＝40°．【答案】见解析【分析】在BC 上截取BF ＝AB ，连DF ，根据SAS 可证明△ABD ≌△FBD ，得出DF ＝DA ＝DE ，证明△DCE ≌△DCF ，故∠ECA ＝∠DCB ＝40°．【详解】证明：在BC 上截取BF ＝AB ，连DF ，∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠ABD ＝∠FBD ，在△ABD 和△ＦBD 中，AB FB ABD FBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△FBD （SAS ），∴DF ＝DA ＝DE ，又∵∠ACB ＝∠ABC ＝40°，∠DFC ＝180°﹣∠A ＝80°，∴∠FDC ＝60°，∴∠EDC ＝∠ADB ＝180°﹣∠ABD ﹣∠A＝180°﹣20°﹣100°＝60°，在△DCE 和△DCF 中，DF DE FDC EDC DC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCE ≌△DCF （SAS ），∴∠ECA ＝∠DCB ＝40°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．11．已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝108°，BD 平分∠ABC ，求证：BC ＝AC +CD ．【答案】见解析【分析】在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE ．则只需证明CD ＝CE 即可．结合角度证明∠CDE ＝∠CED ．【详解】证明：在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE ．∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EBD 12=∠ABC ．在△ABD 和△EBD 中，BE BA ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△EBD ．（SAS ）∴∠BED＝∠A＝108°，∠ADB＝∠EDB．又∵AB＝AC，∠A＝108°，∠ACB＝∠ABC12=⨯（180°﹣108°）＝36°，∴∠ABD＝∠EBD＝18°．∴∠ADB＝∠EDB＝180°﹣18°﹣108°＝54°．∴∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠EDB＝180°﹣54°﹣54°＝72°．∴∠DEC＝180°﹣∠DEB＝180°﹣108°＝72°．∴∠CDE＝∠DEC．∴CD＝CE．∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，添加恰当辅助线是本题的关键．12．如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD 交BF的延长线于点D，试说明：BF＝2CD．【答案】见解析【分析】作BF的中点E，连接AE、AD，根据直角三角形得到性质就可以得出AE＝BE＝EF，由BD平分∠ABC就可以得出∠ABE＝∠DBC＝22.5°，从而可以得出∠BAE＝∠BAE＝∠ACD＝22.5°，∠AEF＝45°，由∠BAC＝90°，∠BDC＝90°就可以得出A、B、C、D四点共圆，求出AD＝DC，证△ADC≌△AEB推出BE＝CD，从而得到结论．【详解】解：取BF的中点E，连接AE，AD，∵∠BAC＝90°，∴AE＝BE＝EF，∴∠ABD＝∠BAE，∵CD ⊥BD ，∴A ，B ，C ，D 四点共圆，∴∠DAC ＝∠DBC ，∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠DBC ，∴∠DAC ＝∠BAE ，∴∠EAD ＝90°，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝45°，∴∠ABD ＝∠DBC ＝22.5°，∴∠AED ＝45°，∴AE ＝AD ，在△ABE 与△ADC 中，ABE DACBAE ACD AE AD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADC ，∴BE ＝CD ，∴BF ＝2CD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，直角三角形的性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．13．如图1，点A 是直线MN 上一点，点B 是直线PQ 上一点，且MN//PQ ．NAB ∠和ABQ ∠的平分线交于点C ．（1）求证：BC AC ⊥；（2）过点C 作直线交MN 于点D （不与点A 重合），交PQ 于点E,①若点D 在点A 的右侧，如图2，求证：AD BE AB +=；②若点D 在点A 的左侧，则线段AD 、BE 、AB 有何数量关系？直接写出结论，不说理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）BE AD AB =+【分析】(1) 由平行线性质可得∠NAB+∠ABQ=180°,再由角平分线定义可得11,22∠=∠∠=∠BAC NAB CBA ABQ ,再利用三角形内角和定理即可得∠C=90°,即可证明BC ⊥AC;(2) ①延长AC 交PQ 点F ，先证明AC=FC,再证明△ACD ≌△FCE,即可得AD+BE=AB; ②方法与①相同．【详解】解：（1）∵MN ∥PQ∴∠NAB+∠ABQ=180°∵AC 平分∠NAB ，BC 平分∠ABQ ∴11,22∠=∠∠=∠BAC NAB CBA ABQ ∴∠BAC+∠ABC=12180⨯︒=90° 在△ABC 中，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°∴∠C=180°- (∠BAC+∠ABC) =180°-90°=90°∴BC ⊥AC;（2）①延长AC 交PQ 于点F∵BC ⊥AC∴∠ACB=∠FCB=90°∵BC 平分∠ABF∴∠ABC=∠FBC∴BC=BC∴△ABC≌△FBC∴AC=CF，AB=BF∵MN∥BQ∴∠DAC=∠EFC∵∠ACD=∠FCE∴△ACD≌△FCE∴AD=EF∴AB=BF=BE+EF=BE+AD 即：AB=AD+BE②线段AD，BE，AB数量关系是：AD+AB=BE 如图3，延长AC交PQ点F,∵MN//PQ ．∴∠AFB=∠FAN，∠DAC=∠EFC∵AC平分∠NAB∴∠BAF=∠FAN∴∠BAF=∠AFB∴AB=FB∵BC⊥AC∴C是AF的中点∴AC=FC在△ACD与△FCE中DAC EFC AC FCACD FCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ACD FCE ASA ≅∴AD=EF∵AB=FB=BE-EF∴AD+AB=BE【点睛】本题考查了平行线性质，全等三角形性质判定，等腰三角形性质等，解题关键正确添加辅助线构造全等三角形．14．在平面直角坐标中，等腰Rt △ABC 中，AB=AC ，∠CAB=90°，A （0，a ），B （b ，0）．（1）如图1+（a-2）2=0，求△ABO 的面积；（2）如图2，AC与x轴交于D点，BC与y轴交于E点，连接DE，AD=CD，求证：∠ADB=∠CDE；（3）如图3，在（1）的条件下，若以P（0，-6）为直角顶点，PC为腰作等腰Rt△PQC，连接BQ，求证：AP∥BQ．【答案】（1）△ABO的面积=4；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）根据绝对值和偶次方的非负性求出a，b，根据三角形的面积公式计算；（2）作AF平分∠BAC交BD于F点，分别证明△ACE≌△BAF，△CED≌△AFD，根据全等三角形的性质证明；（3）过C点作CM⊥y轴于M点，过D点作DN⊥y轴于N点，证明△ACM≌△BAO，根据全等三角形的性质得到CM=AO=2，AM=BO=4，证明四边形ONQB为平行四边形，得到答案．【详解】解：（1）+（a-2）2=0，∴2a-b=0，a-2=0，解得，a=2，b=4，∴A（0，2），B（4，0），∴OA=2，OB=4，∴△ABO 的面积=12×2×4=4；（2）作AF 平分∠BAC 交BD 于F 点，∵AB=AC ，∠CAB=90°，∴∠C=∠ABC=∠DAF=∠BAF=45°，∵∠CAE+∠BAO=∠ABF+∠BAO=90°，∴∠CAE=∠ABF ，在△ACE 和△BAF 中，CAE ABF AC ABACE BAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ACE ≌△BAF （ASA ），∴CE=AF ，在△CED 和△AFD 中，CD AD C DAF CE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CED ≌△AFD （SAS ）∴∠CDE=∠ADB ；（3）过C 点作CM ⊥y 轴于M 点，过D 点作DN ⊥y 轴于N 点，则∠AMC=∠BOA=90°，∵∠CAM+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，∴∠CAM=∠ABO ，在△ACM 和△BAO 中，CAM ABO CMA AOB AC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACM ≌△BAO （AAS ），∴CM=AO=2，AM=BO=4，∵A （0，2），P （0，-6），∴AP=8，∴PM=AP-AM=4，在△PCM 和△QPN 中，CPM PQN PMC QNP PC PQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△PCM ≌△QPN （AAS ），∴NQ=PM=4，∴四边形ONQB 为平行四边形，∴AP ∥BQ ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，非负数的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．15．如图，已知 B (-1, 0) ， C (1, 0) ， A 为 y 轴正半轴上一点， AB = AC ，点 D 为第二象限一动点，E 在 BD 的延长线上， CD 交 AB 于 F ，且∠BDC = ∠BAC . （1）求证： ∠ABD = ∠ACD ；（2）求证：AD 平分∠CDE ；（3）若在D 点运动的过程中，始终有DC =DA +DB ，在此过程中，∠BAC 的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC 的度数？【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠BAC的度数不变化．∠BAC=60°．【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理等量代换可得结论；（2）作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE 于点N，证明△ACM≌△ABN即可；（3）用截长补短法在CD上截取CP=BD，连接AP，证明△ABD≌△ACP，由全等性质可知△ADP是等边三角形，易知∠BAC 的度数. 【详解】（1）∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，∴∠ABD=∠ACD；（2）过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．则∠AMC=∠ANB=90°．∵OB=OC，OA⊥BC，∴AB=AC，∵∠ABD=∠ACD，∴△ACM≌△ABN （AAS）∴AM=AN．∴AD平分∠CDE．（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；（3）∠BAC的度数不变化．在CD上截取CP=BD，连接AP．∵CD=AD+BD，∴AD=PD．∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CP，∴△ABD≌△ACP．∴AD=AP；∠BAD=∠CAP．∴AD=AP=PD，即△ADP是等边三角形，∴∠DAP=60°．∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．【点睛】本题考查了三角形的综合，主要考查了三角形内角和定理、全等三角形的证明和性质，等腰等边三角形的性质和判定，采用合适的方法添加辅助线构造全等三角形是解题的关键.16．已知：等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°；AC=BC；∠1=∠3；BE⊥AD。

全等辅助线方法专题——角平分线

全等三角形辅助线方法---角平分线一、知，为行之始1.角平分线的定义2.角平分线的画法3.角平分线的性质定理4.角平分线的判定定理二、行，为知之成1.角平分线辅助线方法一：作垂线（角平分线的性质与判定定理）作法：过角平分线上一点向角两边作垂线，构造全等【例】如图，在四边形ABCD 中，BC>BA ，AD=CD ，BD 平分∠ABC ，求证：∠A+∠C=180°．2.角平分线辅助线方法二：截长（角平分线的对称性）作法：在角的两边截取相等的线段构造全等CDBA【例】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E在CD上，EA，EB分别平分∠DAB和∠CBA，设AD＝x，BC＝y 且（x﹣3）2+|y﹣4|＝0．求AB的长．3.角平分线辅助线方法三：延长（三线合一）作法：延长垂直于角平分线的线段与角的另一边相交构成等腰三角形【例】如图，在△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AD平分∠BAC，BE⊥AD于点E，求证：AD=2BE．三、知行合一1.如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，10AB =，15ABD S ∆=，则CD 的长为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．52.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，CD ＝2，BD=3，Q 为AB 上一动点，则DQ 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2．5D ．33.如图，△ABC 的三条角平分线交于O 点，已知△ABC 的周长为20，OD ⊥AB ，OD=5，则△ABC 的面积=_________.4.如图，已知△ABC 的周长是16，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D 且OD=2，△ABC 的面积是________________.5.如图，在△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D．若CD=1，AB=4，则△ABD的面积是_________．6．如图，在△ABC中，以原点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若AC：AB=3：4，△ACD的面积是21，则△ABD的面积是______．7．如图，四边形ABCD中，CA平分∠BAD，CB=CD，CF⊥AD于F. （1）求证：∠ABC+∠ADC=180°；（2）若AF：CF=3:4，CF=8，求四边形ABCD的面积.8．如图，△ABC 中AP 平分∠CAB ，PD 垂直平分BC 交AP 于P ，PE AE ⊥于E ．（1）当28PCB ∠=︒时，BPC ∠的度数是__________；（2）求证：2AC AB AE +=．9．四边形ABCD 中，,AB CD DE ∥平分ADC ∠．（1）如图1，若90ABE ∠=︒，E 是BC 的中点，求证：AE 平分BAD ∠；（2）如图2，若AE 平分BAD ∠，求证：E 是BC 的中点；（3）在（2）的条件下，若8,6AE DE ==，求四边形ABCD 的面积．10．如图1，在ABC △中，BD 平分,ABC CE ∠平分,ACB BD ∠与CE 交于点O ．（1）如图1，若60A ∠=︒，①求BOC ∠的度数；②作OF AB ⊥于点F ，求证：2AE AD AF +=；（2）如图2，若490,7A OD OB ∠=︒=，则OE OC的值为____________．图1CDB AF E O图2CD B A O E。

2023年中考数学常见几何模型之角平分线非全等类模型

专题08 角平分线的重要模型（二）非全等类角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。

模型1.双角平分线模型（导角模型）【模型解读】双角平分线模型（导角模型）指的是当三角形的内角（外角）的平分线相交时，可以导出平分线的夹角的度数。

【模型图示】条件：BD ，CD 是角平分线.结论：1902BDC A ∠=︒+∠1902BDC A ∠=︒−∠12BDC A ∠=∠1．（2022·广东·九年级专题练习）BP 是∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的邻补角的平分线，∠ABP =20°，∠ACP =50°，则∠P =（）A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】A【分析】据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数．【详解】∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∴∠ABP=∠CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°，∵∠PCM是△BCP的外角，∴∠P=∠PCM−∠CBP=50°−20°=30°，故选：A．【点睛】本题考查三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．2．（2022·山东·济南中考模拟）如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．(1)求证：∠AOC＝90°＋1∠ABC；2(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．3.（2022•蓬溪县九年级月考）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC 与∠A的数量关系，并说明理由．（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝°，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝°．【分析】（1）根据三角形的内角和角平分线的定义；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠E与∠1表示出∠2，于是得到结论；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC与∠ECB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（4）结合（1）（2）（3）的解析即可求得．【解答】解：（1）∵PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB（角平分线的性质），∴∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形内角和定理），∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（12∠ABC+12∠ACB）＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝180°−12（180°﹣∠A）＝180°﹣90°+12∠A＝90°+12∠A＝90°+12×64°＝122°．故答案为：122°；（2）∵BE是∠ABD的平分线，CE是∠ACB的平分线，∴∠ECB=12∠ACB，∠ECD=12∠ABD．∵∠ABD是△ABC的外角，∠EBD是△BCE的外角，∴∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，∴∠EBD=12∠ABD=12（∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB，即12∠A+∠ECB＝∠ECB+∠BEC，∴∠BEC=12∠A=12α；（3）结论∠BQC＝90°−12∠A．∵∠CBM与∠BCN是△ABC的外角，∴∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∵BQ，CQ分别是∠ABC与∠ACB外角的平分线，∴∠QBC=12（∠A+∠ACB），∠QCB=12（∠A+∠ABC）．∵∠QBC+∠QCB+∠BQC＝180°，∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠EQB＝180°−12（∠A+∠ACB）−12（∠A+∠ABC），＝180°−12∠A−12（∠A+∠ABC+∠ACB）＝180°−12∠A﹣90°＝90°−12∠A；（4）由（3）可知，∠BQC＝90°−12∠A＝90°−12×64°=58°，由（1）可知∠BPC＝90°+12∠BQC＝90°+12×58°=119°；由（2）可知，∠R=12∠BQC＝29°故答案为119，29．【点评】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．4．（2022·辽宁沈阳·九年级期中）阅读下面的材料，并解决问题(1)已知在△ABC中，∠A=60°，图1-3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接写出下列角度的度数，如图1，∠O＝；如图2，∠O＝；如图3，∠O＝；(2)如图4，点O是△ABC的两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+12∠A(3)如图5，在△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．【答案】(1)120°，30°，60°(2)见解析(3)70°【分析】（1）由∠A的度数，在△ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是内角平分线或外角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进而可求得答案；（2）由∠A的度数，在△ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是角平分线，∴∠ABC+∠ACB=3α+2β=60°+50°=110°，∴∠A=70°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理，以及基本图形是解题的关键．模型2.角平分线加平行线等腰现（角平分线+平行线）【模型解读】1）过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形；2）有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边的直线于一点，也可构造等腰三角形。

专题06 全等模型-角平分线模型(解析版)

专题06全等模型-角平分线模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。

模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）【模型解读与图示】条件：如图1，OC 为AOB ∠的角平分线、CA OA ⊥于点A 时，过点C 作CA OB ⊥.结论：CA CB =、OAC ∆≌OBC ∆.图1图2常见模型1（直角三角形型）条件：如图2，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 为CAB ∠的角平分线，过点D 作DE AB ⊥.结论：DC DE =、DAC ∆≌DAE ∆.（当ABC ∆是等腰直角三角形时，还有AB AC CD =+.）图3常见模型2（邻等对补型）条件：如图3，OC 是∠COB 的角平分线，AC =BC ，过点C 作CD ⊥O A 、CE ⊥OB 。

结论：①180BOA ACB ∠+∠=︒；②AD BE =；③2OA OB AD =+.例1．（2022·北京·中考真题）如图，在ABC ∆中，AD 平分,.BAC DE AB ∠⊥若2,1,AC DE ==则ACD S ∆=____．【答案】1【分析】作DF AC ⊥于点F ，由角平分线的性质推出1DF DE ==，再利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：如图，作DF AC ⊥于点F ，∵AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴1DF DE ==，∴1121122ACD S AC DF ∆=⋅=⨯⨯=．故答案为：1．【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD 中AC 边的高是解题的关键．例2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P ，若∠BPC ＝40°，则∠CAP ＝（）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°【答案】C 【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC 的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP ＝∠FAP ，即可得出答案.【详解】解：延长BA ，作PN ⊥BD ，PF ⊥BA ，PM ⊥AC ，设∠PCD ＝x °，∵CP 平分∠ACD ，∴∠ACP ＝∠PCD ＝x °，PM ＝PN ，∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝∠PBC ，PF ＝PN ，∴PF ＝PM ，∵∠BPC ＝40°，∴∠ABP ＝∠PBC ＝∠PCD ﹣∠BPC ＝（x ﹣40）°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，∴∠CAF＝100°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，{PA PA PM PF==，∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP＝∠PAC＝50°．故选C．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM＝PN＝PF是解题的关键．例3．（2023·山东·七年级专题练习）如图，∠D＝∠C＝90°，点E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA ＝28°，求∠ABE的大小．【答案】28°【分析】过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出BE平分∠ABC，即可求得∠ABE的度数．【详解】如图，过点E作EF⊥AB于F，∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，∴DE=EF，∵E是DC的中点，∴DE=CE，∴CE=EF，又∵∠C=90°，∴点E在∠ABC的平分线上，∴BE平分∠ABC，又∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∴∠AEB=90°，(1)填空：角平分线的性质定理：角平分线上的点到．符号语言：∵如图1，OP 为COD ∠上的平分线，且，∴．(2)解答：已知：如图2，60AOB ∠=︒，OP 为AOB ∠的平分线，以点P 为顶点的CPD ∠与角的两边相交于点C 、D ，且120CPD ∠=︒．求证：PC PD =．(3)作图：根据以上种情况，再次寻找其它情况，点P P 为AOB ∠的平分线上的点，请你用尺规作图作PE OA ⊥于E ，作PF OB ⊥于F ，90PEC PFD PEO PFO ∴∠=∠=∠=∠=︒，OP 平分AOB ∠，PE PF ∴=，在四边形EOFP 中，60AOB ∠=︒，90PEO PFO ∠=∠=︒，36060290120EPF ∴∠=︒-︒-⨯︒=︒，120CPD ∠=︒ ，CPD EPF ∴∠=∠，CPD EPD EPF EPD ∴∠-∠=∠-∠，CPE DPF ∴∠=∠，PEC PFD ∴≅ （ASA ）PC PD ∴=；（3）证明：如图2，作射线PC ，交OA 于C ，作PCN AOB ∠=∠，反向延长NP ，交OB 于D ，则PC PD =；,（4）解：如图3，当ODP ∠和OCP ∠互补时，PC PD =，理由如下：作PE OA ⊥于E ，作PF OB ⊥于F ，90PEC PFD PEO PFO ∴∠=∠=∠=∠=︒，OP 平分AOB ∠，PE PF ∴=，在四边形EOFP 中，90PEO PFO ∠=∠=︒，360290180EPF AOB ∴∠+∠=︒-⨯︒=︒，180CPD AOB ∠+∠=︒ ，CPD EPF ∴∠=∠，CPD EPD EPF EPD ∴∠-∠=∠-∠，CPE DPF ∴∠=∠，PEC PFD ∴≅ (ASA)PC PD ∴=．【点睛】本题考查全等三角形的判定，角平分线的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）【模型解读与图示】条件：如图1，OC 为AOB ∠的角平分线，AB OC ⊥，结论：△AOC ≌△BOC ，OAB ∆是等腰三角形、OC 是三线合一等。

专题教材-第2讲：角平分线专题-讲义

角平分线专题1、掌握角平分线的定义、性质及判定定理；2、掌握与角平分线有关的常用辅助线作法，即角平分线的四大基本模型；3、掌握角平分线的常见倒角模型及相关结论。

1、角平分线的四大基本模型；2、角平分线的常见倒角模型及相关结论。

角平分线（1）定义：从一个顶点出发，把一个角分成相等的两个角的射线，叫作这个角的角平分线。

（2）角平分线的性质定理：1如果一条射线是一个角的平分线，那么它把这个角分成两个相等的角。

2在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

注意：1在利用角平分线的性质时，“角平分线”和“两个垂直”这两个条件缺一不可。

2角是以其平分线为对称轴的轴对称图形。

（3）角平分线的判定定理：1在角的内部，如果一条射线的端点与角的顶点重合，且把这个角分成两个等角，那么这条射线是这个角的平分线。

2在角的内部，到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。

（4）三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形的内心，三角形的内心到三角形三边的距离相等。

类型一：角平分线倒角模型例1.如图所示，把一副三角板（30°，60°，90°和45°，45°，90°）如图（1）放置在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，直角边AC与y轴重合，斜边AD与y轴重合，直角边AE交x轴于点F，斜边AB交x轴于点G，O是AC的中点，AC＝8.（1）把图（1）中的Rt△AED绕A点顺时针旋转α（0°≤α＜90°）得图（2）。

此时△AGH 的面积是10，△AHF的面积是8，分别求F，H，B三点的坐标。

（2）如图（3），设∠AHF的平分线和∠AGH的平分线交于点M，∠EFH的平分线和∠FOC的平分线交于点N，当改变α的大小时，∠N＋∠M的值是否会改变？若改变，请说明理由；若不改变，请求出其值.练习1.如图所示，已知点A是y轴上一动点，B是x轴上一动点，点C在线段OB上，连接AC，AC正好是∠OAB的角平分线，∠ABD＝∠DBx.问动点A，B在运动的过程中，AC与BD 所在直线得夹角是否发生变化，若变化，请说明理由；若不变，请直接写出具体值.练习2.探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和.那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图（1），∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC＋∠EDC的数量关系.探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图（2），在△ADC中，DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系.探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图（3），在四边形ABCD中，DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A＋∠B的数量关系.探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF，如图（4），请直接写出∠P与∠A＋∠B＋∠E＋∠F的数量关系.本题考查三角形内角和定理，坐标与图形性质，平行线的性质，三角形的面积。

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