符号计算(2)

（2）
clf,hold on
hy1=ezplot(y(1),[-6,6,-4,8],1);%<4>
set(hy1,'Color','r','LineWidth',5)
for k=-2:0.5:2%<6>
y2=subs(y(2),'C3',k);%<7>
ezplot(y2,[-6,6,-4,8],1)
yt=simple(ilaplace(yt,s,t))
yt =
1/(T*(s + 1/T)*(s + 1))
yt =
(1/exp(t/T) - 1/exp(t))/(T - 1)
.3
.3.1
【例5.6-1】求矩阵 的行列式、逆和特征根。
（1）
syms a11 a12 a21 a22
A=[a11,a12;a21,a22]
subplot(2,1,2),ezplot(abs(Yw13)),grid on
图5.5-3矩形脉冲的频率曲线和幅度频谱
【例5.5-3】求 的Fourier变换，在此 是参数， 是时间变量。
（1）
clear
syms t x w
ft=exp(-(t-x))*heaviside(t-x);%<3>
gt=exp(-(t-x));%<4>
%<25>
FD_evalin =
f(k)/z^k
（7）
syms a z n clear
GZ=exp(-a/z);
gn=iztrans(GZ,z,n)%<28>
gn =
(-a)^n/factorial(n)
.2.4
【例5.5-6】已知系统冲激响应 ，求 输入下的输出响应。
syms T t tao
ut=exp(-t);
Column 8
14.1132
图5.4-2两点边值问题的解曲线
.2
.2.1
【例5.5-1】求单位阶跃函数的Fourier变换。
（1）
syms t w
ut=heaviside(t);
UT=fourier(ut)
UT =
pi*dirac(w) - i/w
（2）
Ut=ifourier(UT,w,t)
SUt=simple(Ut)%<5>
.1
.1.1
.1.2
.1.3
【例5.4-1】求 的解。
clear all%<1>
S=dsolve('Dx=y,Dy=-x')
disp(' ')
disp(['微分方程的解',blanks(8),'x',blanks(20),'y'])
disp([S.x,S.y])
S =
y: [1x1 sym]
x: [1x1 sym]
syms a positive%<7>
F3=laplace(f2)
F3 =
1/(s*exp(a*s))
（3）
f4=dirac(t-b);
F4=laplace(f4,t,s)
F4 =
piecewise([b < 0, 0], [0 <= b, 1/exp(b*s)])
f5=dirac(t-a);%<11>
z sin(T w)
---------------------
2
z - 2 cos(T w) z + 1
inv_FW =
sin(T*n*w)
（3）
syms n z clear%<11>
f1=1;
F1=ztrans(f1,n,z);
pretty(F1)
inv_F1=iztrans(F1,z,n)
z
-----
hold off
grid on
axis([-3,3,-0.5,1.5])
yt13 =
heaviside(t + 3/2) - heaviside(t - 3/2)
图5.5-2由Heaviside(t)构造的矩形波
（4）
Yw13=subs(Yw_fy_e,{A,tao},{1,t3});
subplot(2,1,1),ezplot(Yw13),grid on
ht=exp(-(t)/T)/T;
yt=int(subs(ut,t,tao)*subs(ht,t,t-tao),tao,0,t)
yt =
-(1/exp(t) - 1/exp(t/T))/(T - 1)
【例5.5-7】采用Laplace变换和反变换求上例的输出响应。
syms s
yt=laplace(ut,t,s)*laplace(ht,t,s)
DA=det(A)
IA=inv(A)
A =
[ a11, a12]
[ a21, a22]
DA =
a11*a22 - a12*a21
IA =
[ a22/(a11*a22 - a12*a21), -a12/(a11*a22 - a12*a21Βιβλιοθήκη Baidu]
(2*A*sin((tao*w)/2))/w
Yw_fy_e =
(2*A*sin((tao*w)/2))/w
（2）
Yt=ifourier(Yw_fy_e,w,t)
Yt_e=simple(Yt)%<7>
Yt_fy=simplify(Yt)%<8>
Yt =
-(A*(pi*heaviside(t - tao/2) - pi*heaviside(t + tao/2)))/pi
n=sym('n','positive')%<16>
F6=laplace(t^n,t,s)%<17>
n =
n
F6 =
gamma(n + 1)/s^(n + 1)
.2.3
【例5.5-5】一组Z变换、反变换算例。
（1）
clear
syms n z clear%<2>
gn=6*(1-(1/2)^n)
G=simple(ztrans(gn,n,z));
F3=simple(fourier(ft))
F2 =
-exp(t^2*i)/(- 1 + t*i)
F3 =
-(1/exp(t*w*i))/(- 1 + w*i)
.2.2
【例5.5-4】分别求 , , , 的Laplace变换。
（1）
syms t sa b
f1=exp(-a*t)*sin(b*t)%<2>
yt13n=subs(yt13,'t',tn);
kk=find(tn==-t3/2|tn==t3/2);%<13>
plot(tn(kk),yt13n(kk),'.r','MarkerSize',30)
yt13n(kk)=NaN;%<15>
hold on
plot(tn,yt13n,'-r','LineWidth',3)
（2）
F1=simple(fourier(ft,t,w))
G1=simple(fourier(gt,t,w))
F1 =
(1/exp(w*x*i))/(1 + w*i)
G1 =
exp(x)*transform::fourier(1/exp(t), t, -w)
（2）
F2=simple(fourier(ft,t))
F5=laplace(f5,t,s)
ft_F5=ilaplace(F5,s,t)
F5 =
1/exp(a*s)
ft_F5 =
dirac(a - t)
（4）
n=sym('n','clear');%<14>
F6=laplace(t^n,t,s)
F6 =
piecewise([-1 < Re(n), gamma(n + 1)/s^(n + 1)])
（1）
y=dsolve('x*D2y-3*Dy=x^2','y(1)=0,y(5)=0','x')
y =
(31*x^4)/468 - x^3/3 + 125/468
（2）
xn=-1:6;
yn=subs(y,'x',xn)
ezplot(y,[-1,6])
hold on
plot([1,5],[0,0],'.r','MarkerSize',20)
inv_FD =
piecewise([k in Z_, f(k)*kroneckerDelta(k - n, 0)], [Otherwise, 0])
（6）
FD_evalin=evalin(symengine,'assume(k>0): assumeAlso(k in Z_):transform::ztrans(f(n)*kroneckerDelta(n, k), n, z):')
end%<9>
hold off
box on
legend('奇解','通解','Location','Best')
ylabel('y')
title(['\fontsize{14}微分方程',' (y '')^2–xy '' + y = 0 ','的解'])
图5.4-1通解和奇解曲线
【例5.4-3】求解两点边值问题： 。
text(1,1,'y(1)=0')
text(4,1,'y(5)=0')
title(['x*D2y - 3*Dy = x^2',', y(1)=0,y(5)=0'])
hold off
yn =
Columns 1 through 7
0.6667 0.2671 0 -1.3397 -3.3675 -4.1090 0.0000
（5）
syms n z clear%<20>
k=sym('k','positive');%<21>
fd=sym('f(n)*kroneckerDelta(n-k, 0)');
FD=ztrans(fd,n,z)
inv_FD=iztrans(FD,z,n)
FD =
piecewise([k in Z_, f(k)/z^k], [Otherwise, 0])
Yw=fourier(yt,t,w)
Yw_fy=simplify(Yw)
Yw_fy_e=simple(Yw_fy)
Yw =
A*((sin((tao*w)/2) + cos((tao*w)/2)*i)/w - (- sin((tao*w)/2) + cos((tao*w)/2)*i)/w)
Yw_fy =
pretty(G)
gn =
6 - 6*(1/2)^n
6 z
--------------
2
2 z - 3 z + 1
（2）
syms n w T z clear%<6>
fwn=sin(w*n*T);
FW=ztrans(fwn,n,z);
pretty(FW),disp(' ')
inv_FW=iztrans(FW,z,n)
F1=laplace(f1,t,s)
f1 =
sin(b*t)/exp(a*t)
F1 =
b/((a + s)^2 + b^2)
（2）
sym a clear%<4>
f2=heaviside(t-a)
F2=laplace(f2,t,s)
ans =
a
f2 =
heaviside(t - a)
F2 =
laplace(heaviside(t - a), t, s)
Ut =
(pi + pi*(2*heaviside(t) - 1))/(2*pi)
SUt =
heaviside(t)
（3）
t=-2:0.01:2;
ut=heaviside(t);
kk=find(t==0);%<8>
plot(t(kk),ut(kk),'.r','MarkerSize',30)
hold on
Yt_e =
A*heaviside(t + tao/2) - A*heaviside(t - tao/2)
Yt_fy =
-A*(heaviside(t - tao/2) - heaviside(t + tao/2))
（3）
t3=3;
tn=-3:0.1:3;
yt13=subs(yt,{A,tao},{1,t3})
z - 1
inv_F1 =
1
（4）
clear
syms n z clear%<16>
delta=sym('kroneckerDelta(n, 0)');%<17>
KD=ztrans(delta,n,z)
inv_KD=iztrans(KD)
KD =
1
inv_KD =
kroneckerDelta(n, 0)
ut(kk)=NaN;%<10>
plot(t,ut,'-r','LineWidth',3)
plot([t(kk),t(kk)],[ut(kk-1),ut(kk+1)],'or','MarkerSize',10)
hold off
grid on
axis([-2,2,-0.2,1.2])
xlabel('\fontsize{14}t'),ylabel('\fontsize{14}ut')
微分方程的解x y
[ C2*cos(t) + C1*sin(t), C1*cos(t) - C2*sin(t)]
【例5.4-2】图示微分方程 的通解和奇解的关系。
（1）
clear all%<1>
y=dsolve('(Dy)^2-x*Dy+y=0','x')%<2>
y =
x^2/4
C3*x - C3^2
title('\fontsize{14}Heaviside(t)')
图5.5-1Heaviside(t)定义的单位阶跃函数
【例5.5-2】利用Heaviside函数构成矩形脉冲 的Fourier变换。
（1）
syms A twtao
yt=A*(heaviside(t+tao/2)-heaviside(t-tao/2));