几何化猜想----庞加莱猜想的推广
庞加莱猜想
庞加莱猜想百科名片庞加莱猜想电脑三维模型庞加莱猜想是法国数学家提出的一个猜想，是悬赏的（七个千年大奖问题）之一。
2006年被确认由俄罗斯数学家最终证明，但将解题方法公布到网上之后，佩雷尔曼便拒绝接受马德里国际数学联合会声望颇高的。
目录展开庞加莱猜想图示令人头疼的世纪难题缘起如果我们伸缩围绕一个表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。
另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。
我们说，苹果表面是“的”，而轮胎面不是。
大约在一百年以前，已经知道，球面本质上可由单连通性来刻画，他提出(中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。
这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。
一位史家曾经如此形容1854年出生的（Henri Poincare）:“有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的，每次看到亨利，我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。
”庞加莱作为的伟大，并不完全在于他解决了多少问题，而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。
庞加莱猜想，就是其中的一个。
1904年，庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的的：在一个中，假如每一条封闭的都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。
但1905年发现提法中有错误，并对之进行了修改，被推广为：“任何与n维球面的n维封闭流形必定于n维球面。
”后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。
猜想的简单比喻如果你认为这个说法太抽象的话，我们不妨做这样一个想象：我们想象这样一个房子，这个空间是一个球。
或者，想象一只巨大的足球，里面充满了气，我们钻到里庞加莱猜想面看，这就是一个球形的房子。
我们不妨假设这个球形的房子墙壁是用钢做的，非常结实，没有窗户没有门，我们现在在这样的球形房子里。
拿一个气球来，带到这个球形的房子里。
7大数学难题
7大数学难题数学是许多学科的基础，但有些数学问题非常复杂，让最聪明的数学家们都困扰不已。
以下列出了7个被公认为数学难题的问题，这些问题既有理论深度，又具有广泛的应用价值。
一、哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想是数论中一个古老且未解决的问题。
它由18世纪德国数学家哥德巴赫提出，猜想任何一个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和。
尽管许多数学家为此做出了努力，这个猜想至今仍未被证明或反驳。
二、黎曼假设黎曼假设是数学领域中一个非常重要的问题，由德国数学家黎曼提出。
这个假设涉及到复数分析中的一些概念，主要是关于素数的分布。
如果这个假设被证明或反驳，将对许多数学领域产生深远影响。
三、庞加莱猜想庞加莱猜想是几何学中的一个重要问题，由法国数学家庞加莱提出。
这个猜想描述了三维空间中形状的复杂性，涉及到几何拓扑学中的一些概念。
尽管这个猜想已经有了许多重要的推论和应用，但它的完整证明至今仍未找到。
四、素数定理素数定理描述了素数的分布规律，即大于1的自然数中，素数的个数趋近于无穷。
这个定理对于理解素数和合数的性质非常重要，但它的证明需要非常高深的数学技巧。
五、四色问题四色问题是一个经典的几何问题，涉及到地图的染色方式。
这个问题由英国数学家格拉斯哥大学的学生哈密顿在1852年提出，主要是探究用四种颜色对地图进行染色的可能性。
这个问题在1976年被证明，但它的证明过程非常复杂。
六、纳维-斯托克斯方程纳维-斯托克斯方程是物理学中描述流体运动的一个偏微分方程。
由于这个方程的高度非线性性和复杂性，对于它的求解非常困难。
尽管在某些情况下可以找到近似解或数值解，但它的完整解析解至今仍未找到。
七、丘成桐几何化猜想丘成桐几何化猜想是由著名华裔数学家丘成桐提出的一个关于几何学的重要问题。
这个猜想涉及到几何结构中的一些性质，如果被证明或反驳，将对数学和物理学产生重大影响。
庞加莱猜想
庞加莱猜想折叠编辑本段基本简介庞加莱猜想(Poincaré conjecture)是法国数学家庞加莱提出的一个猜想，是克雷数学研究所悬赏的七个千禧年大奖难题。
其中三维的情形被俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼于2003年左右证明。
2006年，数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。
庞加莱猜想是一个拓扑学中带有基本意义的命题，将有助于人类更好地研究三维空间，其带来的结果将会加深人们对流形性质的认识。
折叠编辑本段陈述1904年，法国数学家亨利·庞加莱在提出了一个拓扑学的猜想:"任何一个单连通的，封闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。
"简单的说，一个闭的三维流形就是一个没有边界的三维空间;单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点，或者说在一个封闭的三维空间,假如每条封闭的曲线都能收缩成一点,这个空间就一定是一个三维圆球。
后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为"高维庞加莱猜想"。
折叠编辑本段关于庞加莱亨利·庞加莱亨利·庞加莱(Henri Poincaré)，法国数学家、天体力学家、数学物理学家、科学哲学家。
1854年4月29日生于法国南锡，1912年7月17日卒于巴黎。
他的成就不在于他解决了多少问题，而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。
庞加莱猜想，只是其中的一个。
一位数学史家曾经如此形容1854年出生的亨利·庞加莱(Henri Poincare):"有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的，每次看到亨利，我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。
"折叠编辑本段猜想比喻如果你认为这个说法太抽象的话，我们不妨做这样一个想象:我们想象这样一个房子，这个空间是一个球。
或者，想象一只巨大的足球，里面充满了气，我们钻到里庞加莱猜想庞加莱猜想面看，这就是一个球形的房子。
世界级数学难题庞加莱猜想被破解 中国科学家“最后封顶”
世界级数学难题庞加莱猜想被破解中国科学家“最后封顶”国际数学界关注上百年的严重难题——庞加莱猜想，近日被迷信家完全破解。
哈佛大学教授、著名数学家、菲尔兹奖得主丘成桐３日在中国迷信院晨兴数学研讨中心宣布，在美、俄等国迷信家的任务基础上，中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学兼职教授曹怀东曾经彻底证明了这一猜想。
〝这就像盖大楼，先人打好了基础，但最后一步——也就是‘封顶’任务是由中国人来完成的。
〞丘成桐说，〝这是一项大成就，比哥德巴赫猜想重要得多。
〞〝这是第一次在国际数学期刊上给出了猜想的完整证明，效果极端突出。
〞数学家杨乐说。
在美国出版的«亚洲数学期刊»６月号以专刊的方式，刊载了长达３００多页、题为«庞加莱猜想暨几何化猜想的完全证明：汉密尔顿－佩雷尔曼实际的运用»的长篇论文。
任何一个封锁的三维空间，只需它外面一切的封锁曲线都可以收缩成一点，这个空间就一定是一个三维圆球－－这就是法国数学家庞加莱于１９０４年提出的猜想。
庞加莱猜想和黎曼假定、霍奇猜想、杨－米尔实际等一样，被并列为七大数学世纪难题之一。
２０００年５月，美国的克莱数学研讨所为每道题悬赏百万美元求解。
１００多年来，有数的数学家关注并努力于证明庞加莱猜想。
２０世纪８０年代初，美国数学家瑟斯顿教授由于得出了对庞加莱几何结构猜想的局部证明结果而取得菲尔兹奖。
之后，美国数学家汉密尔顿在这个猜想的证明上也取得了重要停顿。
２００３年，俄罗斯数学家佩雷尔曼更是提出了处置这一猜想的要领。
运用汉密尔顿、佩雷尔曼的实际，朱熹平和曹怀东第一次成功处置了猜想中〝奇特点〞的难题，宣布了３００多页的论文，给出了庞加莱猜想的完全证明。
从去年９月底至往年３月，朱熹平和曹怀东应邀前往哈佛大学，以每星期３小时的时间——延续２０多个星期、共约７０个小时——向包括哈佛大学数学系主任在内的５位数学家停止解说，回答了专家们提出的一系列效果。
丘成桐指出，这一证明意义严重，将有助于人类更好地研讨三维空间，对物理学和工程学都将发生深远的影响。
庞加莱猜想证明概述
庞加莱猜想证明概述庞加莱猜想的重要性在于其对拓扑学、几何学和数学基础理论的影响。
如果能够证明庞加莱猜想，将对数学领域的发展产生巨大的影响，同时也有可能为其他领域的发展提供新的理论基础。
在本文中，将通过对庞加莱猜想的历史背景、相关研究成果和方法进行概述，并尝试从不同的角度来探讨这一令人困扰的数学难题。
我们将引用多位数学家的研究成果和观点，深入分析庞加莱猜想的本质及其解决的可能途径，希望能够对这一问题有更深入的认识和理解。
一、庞加莱猜想的历史背景庞加莱猜想最早由法国数学家亨利·庞加莱提出，他在1904年的一篇论文中首次提出了这一问题。
在这篇论文中，庞加莱指出，对于一个简单连通的三维流形，是否存在一个等价于球的和的空间是一个未解决的问题。
庞加莱还提出了一种可能的证明方法，但他自己也承认这个证明并不完全可靠。
自庞加莱提出这一问题以来，数学家们一直在尝试寻找一个确凿的证明。
在过去的一个多世纪里，庞加莱猜想一直是数学界的焦点问题之一，吸引了众多数学家的关注和努力。
二、庞加莱猜想的相关研究成果在寻找庞加莱猜想的证明过程中，数学家们提出了许多猜想和定理。
其中最为著名的是格里戈里·佩雷尔曼于2003年提出的庞加莱猜想证明，他通过引入了里奇流流形和流形上的梯度流方法，最终证明了庞加莱猜想的正确性。
佩雷尔曼的证明方法被认为是对现有数学知识的一次革命性突破，为解决庞加莱猜想提供了一个新的思路和方法。
除了佩雷尔曼的证明方法外，还有其他数学家提出了不同的证明思路和方法。
例如，唐纳德·兰恩在20世纪80年代提出了一种基于代数拓扑的证明方法，虽然并未完全证明庞加莱猜想，但为数学家们提供了一个新的研究方向。
这些研究成果虽然并未完全解决庞加莱猜想，但为研究庞加莱猜想提供了不同的视角和思路，促进了数学领域的发展与进步。
三、庞加莱猜想的证明方法和思路对于庞加莱猜想的证明，数学家们提出了多种不同的方法和思路。
庞加莱猜想应用篇
（一）庞加莱是法国数学家，1904年他在一组论文中提出有关空间几何结构的猜想，但1905年发现提法中有错误，并对之进行了修改，这就是“庞加莱猜想”：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。
后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。
丘成桐院士认为，庞加莱猜想和三维空间几何化的问题是几何领域的主流，它的证明将会对数学界流形性质的认识，甚至用数学语言描述宇宙空间产生重要影响。
庞加莱猜想证明对用数学语言描述宇宙空间产生重要影响，我们可举在超弦理论上的应用来说明。
首先我们要对庞加莱猜想的“点”作一个约定：庞加莱猜想中的“点”可以指数轴、坐标、直线、曲线、平面、曲面等等数学空间的数值点、标点、原点、奇点、焦点、鞍点、结点、中心点......而不能指我们说的“曲点”和“点内空间”的点，不然就会产生矛盾。
因为我们说的“曲点”，是指环圈面、圆环面收缩成的一点，以及“环绕数”收缩成的一点---如圈是“绳”一致分布中间没有打结的封闭线；在这种纽结理论定义中，两个圈套圈的纽结，有一个交点；如果这种圈套圈有两次纽合，圈套圈的纽结“点”就包含了“环绕数”，把有一个以上“环绕数”的圈套圈，紧致化到一个交点，就是一个“曲点”。
即“曲点”最直观的数学模型，是指包含“环绕数”的点。
而我们说的“点内空间”的点，是指虚数一类虚拟空间内的“点”。
如果把“在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球”称为“庞加莱猜想正定理”，那么“曲点”和“点内空间”正是来源于庞加莱猜想之外还有的一个庞加莱猜想：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成类似一点，其中只要有一点是曲点，那么这个空间就不一定是一个三维的圆球，而可能是一个三维的环面---我们称为“庞加莱猜想逆定理”。
庞加莱猜想至少有两个来源---一个是函数论，一个是代数拓扑学。
庞加莱猜想证明概述
庞加莱猜想证明概述在庞加莱猜想提出后，很多数学家对其展开了探索和研究，但一直没有找到一个确凿的证明或反例。
直到2003年，俄罗斯数学家格雷戈里·佩雷尔曼通过利用里奇流理论和梯度流的理论等一系列数学方法，证明了庞加莱猜想。
这篇文章将介绍庞加莱猜想的历史背景和相关概念，然后详细描述佩雷尔曼的证明过程和相关数学原理，最后分析庞加莱猜想对数学和科学领域的重要意义。
一、庞加莱猜想的历史背景庞加莱猜想的提出可以追溯到19世纪末的数学发展。
当时，数学家们已经开始探讨对多维几何空间的研究，如三维流形的性质和拓扑结构等。
此时，亨利·庞加莱成为了这一领域的先驱者，他提出了著名的庞加莱猜想，引发了数学界对于三维空间性质的深入思考和研究。
庞加莱猜想的提出也在一定程度上推动了数学领域的发展，为拓扑学和几何学等领域的研究提供了新的动力和方向。
然而，长期以来，庞加莱猜想一直未能找到确凿的证明，成为数学界的一个难题。
二、庞加莱猜想的相关概念1. 流形：在数学领域，流形是指一个局部与欧氏空间同胚的空间。
在庞加莱猜想中，主要讨论的是三维紧致的无边界的连通流形。
2. 欧氏空间：欧氏空间指的是平凡的三维空间，即我们所生活的空间。
在庞加莱猜想中，研究的对象是三维欧氏空间中的环流变形问题。
3. 拓扑结构：拓扑结构是指一个空间的结构，它并不依赖于空间的具体度量，而仅仅与空间的连通性和邻域关系有关。
在庞加莱猜想中，研究的就是流形的拓扑结构和性质。
三、佩雷尔曼的证明过程2003年，俄罗斯数学家格雷戈里·佩雷尔曼通过利用里奇流理论和梯度流的理论，证明了庞加莱猜想。
他的证明过程可以概括为以下几个步骤：1. 利用几何流的理论，建立了三维流形的梯度不等式，从而引入了里奇流的概念。
2. 利用里奇流的理论，证明了当流形上的里奇曲率为正时，流形是球面的概率。
3. 利用梯度流的理论，证明了当流形上的梯度不等式成立时，流形是球面的概率。
希尔伯特23个数学问题7大数学难题
世界数学十大未解难题（其中“一至七”为七大“千僖难题”；附录“希尔伯特23个问题里尚未解决的问题”）一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。
由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。
你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。
不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。
然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。
生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。
这是这种一般现象的一个例子。
与此类似的是，如果某人告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。
不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。
它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年述的。
二：霍奇(Hodge)猜想二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。
基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。
这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。
不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。
在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。
霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。
三：庞加莱(Poincare)猜想如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。
庞加莱猜想
■■圈豳＿庞加莱弓２００６年６月初，世界著名的华裔数学家、中国科学院外籍院士丘成桐宣布：经过美国、俄国和中国数学家３０多年的共同努力。
两位中国科学家朱熹平和曹怀东最终证明了百年数学难题——庞加莱猜想。
庞加莱猜想的提出庞加莱猜想是２０世纪最伟大的法国数学家庞加莱在１９０４年提出来的一个问题：一个单连通的３维闭流形是否一定同胚于３维球面？流形是曲线、曲面等直观的几何概念的高维推广，虽然可仿照１维球面——圆Ｓ１，２维球面——球面Ｓ２的方程写出３维球面Ｓ３的方程戈２＋，坛２＋￡２＝１，但对它已没有直观形象。
这也是高维几何学和拓扑学的困难所在。
单连通则是指在流形中任何一个圆圈Ｓｔ都可以在流形中连续变形最后缩为一点。
这从２维球面上看得很清楚，而环面（自行车内胎）则不是这样，因此环面是非单连通的。
多年来．庞加莱猜想一直是拓扑学的中心问题之一。
２０００年５月２４日，美国克雷（Ｃｌａｙ）数学研究所宣布：对７个“千僖年数学难题”的每一个悬赏１００万美元。
这７个大问题中就包括庞加莱猜想。
尽管悬赏金额一样，可数学界对这些问题重要性的评价并不相同；即使在这７个问题中，庞加莱猜想也是相对重要的。
现在看来，这一猜想很可能头一个被破解，剩下的６个当然也都是难啃至极的硬骨头。
拓扑学之父庞加莱虽说在庞加莱之前。
大数学家欧拉、高斯和黎曼都对拓扑学的发展做出贡献，但是，真正把拓扑学建成现胡作玄：研究员。
中国科学院系统科学研究所，北京１０００８０。
ＨｕＺｕｏｘｕ肌：Ｐｒｏｆｅｓ∞ｒ，Ｉｎ８ｔｉｔｕｔｅ０ｆＳｙｓｔｅｍｓＳｃｉｅｎｃｅ，Ｃｈｉｎｅ∞ＡｃａｄｅｍｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１０００８０．◆代数学的基础学科则非庞加莱莫属。
可是，庞加莱的贡献决不限于拓扑学。
他和希尔伯特常被认为是最后的两位全才数学家，他们当然也是对２０世纪数学最有影响的数学家。
例如在著名的相对论上庞加莱的工作是举世公认的。
还有当前最热门的非线性科学，包括动力系统理论乃至混沌理论，庞加莱都是当之无愧的先驱。
庞加莱猜想与几何学
数零拾学年，高斯给出了复数的几何表示：纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b表示，如图2所示.这个用直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面（也叫做高斯平面），轴叫做虚轴.图216世纪卡尔丹和邦贝利开始应用虚数，世纪人们逐渐接受虚数，整整经历了300多年的漫长在这一过程中，数学家们大胆猜，小心求证，才使得数系得以扩充.庞加莱（(Henri Poincaré，1854-1912）是法国著名数学家，也是理论科学家和科学哲学家.1904年，庞加莱提出了著名的庞加莱猜想.它在100多年的时间里一直困扰着很多的数学家.庞加莱猜想是克莱（Clay）数学研究所悬赏的七个重大问题之一，它的出现与几何学的发展紧密相关.一、庞加莱猜想庞加莱猜想：任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面.简单地说，一个闭的三维流形就是一个没有边界的三维空间；单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点，或者说在一个封闭的三维空间里,假如每条封闭的曲线都能收缩成一点,这个空间就一定是一个三维圆球.庞加莱猜想是拓扑学著名的研究问题之一.100多年来，对庞加莱猜想的研究是拓扑学发展的重要动力，包括20世纪60～70年代高维空间的拓扑分类，80～90年代四维空间微分结构的研究.但还有很多问题尚未解决，其中低维空间的拓扑问题仍是非常活跃的研究领域.它与物理紧密联系.举几个例子，1960年，美国著名数学家斯梅尔（S.Smale）将其推广到任意维，并解决了五维及五维以上的广义庞加莱猜想.1982年，美国数学家福里德曼（M.Freedman）解决了四维的广义庞加莱猜想.1980年，美国数学家瑟斯顿（W.Thruston）提出了一般三维空间的几何化猜想，庞加莱猜想是几何化猜想的自然推论.他还验证庞加莱猜想与几何学木心雨庞加莱高斯数零拾学了一大类三维空间确实满足他的猜想.虽然这类空间不包括庞加莱猜想，但为庞加莱猜想的成立提供了强有力的证据.图1球极投影庞加莱猜想中提到了三维球面.那么三维球面有什么特别性质呢？我们不可能直观地看到三维球面，因为我们所在空间就是三维的，也不可能把三维球面放在我们所熟悉的三维空间中，但是我们可以通过类比的方法想象三维球面，通过二维球面来想象或理解三维球面的可能性质.那二维球面有什么特别性质呢？假如说我站在北极点作球极投影（球极投影是发源于《周髀算经》，假设球体是透明的，而光线也是沿直线前进的。
庞加莱猜想
• 在天体力学方面，庞加莱研究了运动稳 定性和旋转液体的平衡图形。他的3卷 《天体力学的新方法》，为天体力学的 研究开辟了新时代。由于他在三体问题 上的突出贡献，1889年获得了瑞典国王 为n体问题设立的奥斯卡奖。法国政府 不甘心落在瑞典国王后面，在庞加莱获 得奖金后，便封他为法国荣誉军团骑士。
• 希尔伯特1900年在巴黎第二届国 际数学家大会的演说中指出：“由庞 加莱引到天体力学中的那些卓有成效 的方法和影响深远的原则，今天仍被 实用天文学家所确认和应用。”
庞加莱的文笔非常出色，以至 获得了法国作家中最高荣誉—被选 为法国文学会会员。 塞蒙斯说：“庞加莱对他那个 年代的全部数学都有创造性的掌握， 而他也许是达到这个地步的最后一 个人物。”
• 庞加莱是法兰西民族的骄子，他的贡献 使每一个法国人都感到骄傲。1954年5 月15日，在索邦隆重举行了庞加莱诞生 一百周年纪念大会，共和国总统、教育 部长、法国和各国著名科学家都参加了 大会，并对庞加莱在数学、力学、物理 学和哲学方面的贡献，给予了高度的评 价。法国还专门发行了纪念他的邮票。
1875年，庞加莱离开了巴黎综合工 科 学 校， 进 入 了 高 等 矿 冶 学 院 ， 并 于 1879年在矿冶学院取得了采矿工程师学 位，但他发现这个职业不适合他，因为 他的兴趣是数学。因此他从矿冶学院毕 业后，先在卡昂大学任教，期间他还获 得了巴黎大学科学博士学位，后来被聘 为巴黎大学教授，直到1912年7月17日 逝世。
庞加莱博大精深，富于创举。他讲授过 许多纯数学和应用数学课程。其中很多讲稿 不久就发表了。他一生共写下30卷以上关于 数学、物理与天体力学的专著，6卷稍为通俗 的著作，还有500篇左右的论文。这些论著， 涉及到数学的许多领域，包括：函数论、微 分方程、拓扑学、代数学、渐进级数、数论、 代数几何、非欧几何、概率论、数学基础等 等，以及理论物理、电学、光学、弹性学、 位势理论、动力学、流体力学、相对论和天 体力学等。
庞加莱猜想
庞加莱猜想【摘要】庞加莱是法国著名数学家，他提出的“庞加莱猜想”引起极大轰动，后人为证明此猜想而不懈努力，经过一个世纪的钻研，终于对此猜想给出完整证明。
本文就是通过对庞加莱猜想及后人对此做的努力做出叙述，以此让大家体会数学家们的事业热情和博大胸怀。
【关键词】庞加莱猜想、代数拓扑学、证明、萨密尔、瑟斯顿、米歇尔、汉密尔顿、佩雷尔曼、朱熹平、曹怀东、伟大贡献、宽阔胸怀、钻研精神、敬佩庞加莱是法国数学家，被称为是19世纪最后四分之一和20世纪初期的数学界的领袖人物，是对数学和它的应用具有全面了解、能够雄观全局的最后一位大师。
他的研究和贡献涉及数学的各个分支，例如函数论、代数拓扑学、阿贝尔函数和代数几何学、数论、代数学、微分方程、数学基础、非欧几何、渐近级数、概率论等当代数学不少研究课题，都溯源于他的工作。
在他留下的巨大科学遗产中，有一个属于代数拓扑学中带有基本意义的命题，这就是困扰了数学家整整一个世纪的“庞加莱猜想”。
1904 年，庞加莱提出有关空间几何结构的猜想：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。
这就是著名的“庞加莱猜想”庞加莱是在1904年发表的一组论文中提出这一猜想的：“单连通的三维闭流形同胚于三维球面。
”它后来被推广为：“任何与n维球面同伦的n维闭流形必定同胚于n维球面。
”粗浅的比喻为：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。
另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。
我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。
大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。
这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。
中国两数学家破解世界百年难题庞加莱猜想
中国两数学家破解世界百年难题庞加莱猜想中国两数学家破解世界百年难题庞加莱猜想两位中国数学家近日在《亚洲数学期刊》最新一期杂志上发表论文，运用美国数学家汉密尔顿和俄罗斯数学家佩雷尔曼的理论，对世界级的数学难题庞加莱猜想进行了完全证明。
广东中山大学的朱熹平教授和中国旅美数学家、美国里海大学的曹怀东教授在《亚洲数学期刊》6月号上发表了题为“庞加莱猜想和几何化猜想的完全证明：汉密尔顿－佩雷尔曼关于ＲＩＣＣＩ流理论的应用”的论文。
美国华裔数学家、菲尔兹奖得主丘成桐教图为朱熹平教授（左）和曹怀东教授（右）。
授称这篇论文是最终解开庞加莱猜想的“封顶之作”。
丘成桐4日在接受记者采访时说，这一工作比哥德巴赫猜想重要得多，毫不过分。
“庞加莱猜想是拓扑和几何的主流，被国际上许多数学家所关注，并致力于研究。
破解和‘封顶’的意义是十分深远的。
”丘成桐说，哥德巴赫猜想很重要，但是庞加莱猜想更重要。
丘成桐说，这两位中国数学家取得的研究成果是基础研究领域一项国际领先的成果。
庞加莱猜想的证明将帮助科学家进一步认识我们所生存的空间，并将对物理学和工程学的发展产生重要影响。
庞加莱猜想成，是国际数学界的同行们你一步我一步，共同做出来的。
我只是比较幸运，由我和曹怀东完成了临门一脚。
”曹怀东：关注这个猜想已经20多年从来没有“接触过媒体”的曹怀东，终于接受了记者的电话采访。
46岁的曹怀东1977年考上清华大学，后来出国留学，师从丘成桐。
曹怀东说，是丘成桐的关注和洞察，使他和其他几位“师兄弟”从20多年前就开始关注庞加莱猜想。
谈起合作伙伴，曹怀东说：“朱熹平比我小三四岁，学问人品都非常优秀，和他一起合作，我十分愉快，也收获良多。
”杨乐：中国科学家作出很大的贡献丘成桐多次用“封顶”一词来形容中国科学家的作用。
他反复强调，在这个过程，美国科学家和俄罗斯科学家都作出了重大贡献。
”著名数学家、中国科学院院士杨乐说，如果按百分之百划分，那么美国数学家汉密尔顿的贡献在50％以上，提出解决这一猜想要领的俄罗斯数学家佩雷尔曼的贡献在25％左右。
庞加莱猜想
所 有的几何学家 一入 门就 知道 了这个 问题 ，而且 ， 没有 一个人不想解 决这个 问题 。庞加莱猜想 是拓 扑 学和 几何学 的主流 ，破解庞加 莱猜想将有助 于人 类 更好 的研究三维 空间 。比如物 理学要研究液体 ，工 程学要研 究深海工 程 ，都会遇上 三维空 间的限制 ， 而这一个 方法对物 理和工程都将产 生深远 的影 响，
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☆ 名言 名人 ☆没 一 人 全面 握 理 一 里 多 希 有 个 能 把 真 一 亚 士 德（ 腊）
◆科普秀 Ｓ ｉ ｃ Ｐｐ Ｉ ｉ ｔｏ ｈｗ ｃｏ ｅ ｏｕａ ｉ Ｓｏ ｎ ｚ ｒａ ｎ
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加莱 猜想 ，并 因此 获得 １８ 年的菲尔茨奖 ；俄 罗斯 ， ９６ 数学家格里 戈里 ・ 雷尔曼于 ２ ０ 年 ｌ月￣ ２ ０年 ７ 佩 ０２ １ Ｄ０３ 月之 间在 网上 公布 了 自己的三篇手 稿 ，证 明了庞 加 莱猜想 ，获得 了２ ０ 年的菲尔兹奖 。 ０６
这样一个 看似简单 的 问题为什 么会 有这么 多数
学家为它奉 献呢 ？丘 成桐 曾说过 ，数学分为数论 、 几何和 函数 三大部分 。数 论是研究数字 的理论 ，如 哥德 巴赫猜 想和费 马大 定理等 。哥德 巴赫 猜想很重 要 ，对 它 的证 明 也很 重要 、很漂 亮 ，但 它 并不 是
那么这个 空间一定是一个三 维的 圆球 。”但 １ ０ 年 ９５
以前 面 的假 设 为例 ，如 果把 那 个气 球 看 作 是 二维 的一个 流形 ， 而外面 的房 子看 作是一个 二维 球 面 。对 照庞 加莱猜 想， 把这 个气 球吹大 至充满 这 那 个房子 的过程 就是 叫做 同伦变 化 ，而这个气 球就叫
数 学 中的主 流 。而庞加 莱猜想是几何 中的长江和黄
【2017年整理】【丘先生关于庞加莱猜想证明的简介】
【丘先生关于庞加莱猜想证明的简介】庞加莱(Poincare)：思想仅是漫漫长夜中的一个闪光，但这闪光意味着所有一切。
丘成桐：庞加莱猜想的破解，是一件令我们中国人很骄傲的事情。
因为在中国本土上，我们第一次完成了一个伟大数学猜想的最后一步，震动了全球数学界!我觉得特别骄傲，因为从1979年那次回国开始，我一直期望中国本土能做出一流的工作。
相信我们年轻的朋友、学生也因庞加莱猜想的破解而受到鼓舞。
三维空间的结构丘成桐哈佛大学数学系请到http：///Active/20060626_005.ppt看原文及极漂亮的图片。
(所有图形取自顾险峰，王雅琳，丘成桐的合作文章，由顾险峰提供)先生们，女士们：今天我将会告诉你们数学上的一页篇章是如何结束和新的篇章正在开始。
请允许我先从一些基本的观察开始。
(1)几何结构几何学的主要目的是描述与分类有趣的几何结构。
我们在日常生活中看到许多有趣的几何结构。
我举几个例子：(2)连通和构造曲面的一个抽象和主要的方法是作曲面的连通和。
(3)曲面结构定理定理(曲面分类定理)任意闭的可定向的曲面是如下曲面之一：球面，环面或有限多个环面的连通和。
(4)共形几何为了更深入理解曲面，庞加莱建议理解这些2维对象上的共形几何。
例子：在地球上我们利用经线和纬线来确定方位。
它们互相垂直。
当我们将方形的地图映到球面上的时候，距离产生了扭曲。
比如，北极附近很小的区域在方形地图上是很大的区域。
不过，经线与纬线的正交性在映照下保持不变。
所以，如果一艘船在海上航行，我们可以用地图精确地指引它的航向。
(5)共形结构：庞加莱(Poincare)发现，我们可以在任何曲面上绘制经线(篮色曲线)与纬线(红色曲线)。
我们可以沿着曲面上某些特殊的曲线切割，然后把曲面在平面或圆盘上展开。
在这个过程中，经线与纬线保持不变。
曲面上共形结构的例子：定理(庞加莱单值化定理)：任意2维封闭空间必与一常高斯曲率空间共形等价。
(6)曲面上的Hamilton方程：我们可以通过曲率变动任意曲面。
关于庞加莱(Poincare)猜想
关于庞加莱Poincare猜想你在一张平的橡皮膜上任意画一个圈——一条封闭的没有“８”字那样自交的曲线。
橡皮有弹性，你可以把这个圈变形，变为另一式样的圈，例如变形为一个正方形的边或更令人喜爱的图形——圆。
既然在橡皮的世界中圈与圆可以如此变来变去，我们就用圆做圈的代表。
变化中总有不变的东西，你发现没有，不管圈如何变，总是把平面分割成两部分这点不变。
反过来，如果橡皮平面上的一条闭曲线把平面分割成两部分，那它就是一个没有自交点的圈，方便地说，是一个圆了。
只有一个自交点的“８”字式闭曲线已把平面分成三部分，自交点越多分割出的部分也越多。
我们所用的橡皮品质似乎极好，不但能随意拉伸而且能随意压缩，除非动用刀剪之类工具，否则它永远不破。
当然，如果你肯用脑子想象，那就不需要去寻找这种世上并不存在的橡皮了。
现在，你想象在橡皮体即３维橡皮空间中作一个球面，这个球面可以变形为坑坑洼洼凹凸不平的闭曲面，所谓闭曲面即一个有界、无边缘的曲面。
与平面上的圈一样，球面无论如何变都把空间分割成两部分。
但是反过来就与平面圈不一样了，橡皮体中把空间分割成两部分的闭曲面却不一定是球面。
一个例子是轮胎面，它是闭曲面、把空间分割成两部分，但你没有办法把它变成球面，因为轮胎面有一个中通的“洞”。
不过，索性从“洞”这个东西出发到也可以建立一个判定方法：如果闭曲面没有轮胎面那样中通的“洞”，那它一定是球面。
这个办法看上去简单但有一个缺点，要站到闭曲面外面去看。
有没有办法直接在闭曲面上面找到判定的办法呢？你在球面上任意画一个圈，直观上看这个圈都能在球面上缩成一个点，这个性质叫做单连通。
球面的单连通性可以说得更严格一些：在球面上挖一个洞，就能把带洞球面变形为平面。
球面上任何圈不可能围住整个球面，你在圈外挖一个洞，把带洞球面展成平面，这个圈就变为平面上的圈了。
平面圈在平面上有很多办法收缩到一点，对应到球面上，就得到原球面圈收缩到一点的办法。
轮胎面不是单连通的。
庞加莱猜想运用篇
（一）庞加莱是法国数学家，1904年他在一组论文中提出有关空间几何结构的猜想，但1905年发现提法中有错误，并对之进行了修改，这就是“庞加莱猜想”：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。
后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。
丘成桐院士认为，庞加莱猜想和三维空间几何化的问题是几何领域的主流，它的证明将会对数学界流形性质的认识，甚至用数学语言描述宇宙空间产生重要影响。
庞加莱猜想证明对用数学语言描述宇宙空间产生重要影响，我们可举在超弦理论上的应用来说明。
首先我们要对庞加莱猜想的“点”作一个约定：庞加莱猜想中的“点”可以指数轴、坐标、直线、曲线、平面、曲面等等数学空间的数值点、标点、原点、奇点、焦点、鞍点、结点、中心点......而不能指我们说的“曲点”和“点内空间”的点，不然就会产生矛盾。
因为我们说的“曲点”，是指环圈面、圆环面收缩成的一点，以及“环绕数”收缩成的一点---如圈是“绳”一致分布中间没有打结的封闭线；在这种纽结理论定义中，两个圈套圈的纽结，有一个交点；如果这种圈套圈有两次纽合，圈套圈的纽结“点”就包含了“环绕数”，把有一个以上“环绕数”的圈套圈，紧致化到一个交点，就是一个“曲点”。
即“曲点”最直观的数学模型，是指包含“环绕数”的点。
而我们说的“点内空间”的点，是指虚数一类虚拟空间内的“点”。
如果把“在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球”称为“庞加莱猜想正定理”，那么“曲点”和“点内空间”正是来源于庞加莱猜想之外还有的一个庞加莱猜想：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成类似一点，其中只要有一点是曲点，那么这个空间就不一定是一个三维的圆球，而可能是一个三维的环面---我们称为“庞加莱猜想逆定理”。
庞加莱猜想至少有两个来源---一个是函数论，一个是代数拓扑学。
庞加莱猜想的由来与解决
Ｐｏｉｎｃａｒｅ´ 猜测漫谈 梅加强 （南京大学数学系） 一、 引言 Ｐｏｉｎｃａｒｅ′（庞加莱），法国人，伟大的数学家。
他 １８５４ 年出生于 Ｎａｎｃｙ，１９１２ 年 逝世于 Ｐａｒｉｓ（巴黎）。
Ｐｏｉｎｃａｒｅ′ 对好几个科学分支，例如分析、数论、拓扑以及天体物理都有重要贡献，代数拓扑学也是他发明的。
（Ｐｏｉｎｃａｒｅ′， １８５４－１９１２） １９０４ 年，Ｐｏｉｎｃａｒｅ′ 在他的著作 Cinqui`eme Compl e´ment `a L’Analysis Situs提出了下面的问题：单连通的闭的３维流形是否同胚于３维球面？ 这个问题后来被人们称为 Ｐｏｉｎｃａｒｅ′ 猜测，这个猜测直到１００年以后的今天才被俄罗斯数学家Ｐｅｒｅｌｍａｎ 解决。
在本次讲座中，我们的目的是围绕着 Ｐｏｉｎｃａｒｅ′ 猜测介绍一些近代数学的基本概念，例如，在该猜测的表述中，象“单连通”、“闭”、“３维”、“流形”、“同胚”、“３维球面”等这些名词都是什么意思呢？这些名词都是现代几何学和拓扑学中的概念，要真正弄懂它们是很不容易的，我们希望通过举一些例子来使大家对这些概念有一个初步的印象。
如果有同学能对此感兴趣，以后在大学里能进一步学习深造并对数学有所贡献那是再好不过的了。
二、 什么是拓扑 Ｐｏｉｎｃａｒｅ′ 猜测是拓扑学（Ｔｏｐｏｌｏｇｙ）范畴里的一个问题，什么是拓扑学，拓扑学研究哪些问题呢？要准确地回答这些疑问是困难的，我们先从一个例子开始。
１．哥尼斯堡七桥问题（Ｋｏｎｉｇｓｂｅｒｇ’ｓ Ｂｒｉｄｇｅ Ｐｒｏｂｌｅｍ） １８世纪在哥尼斯堡城（今俄罗斯加里宁格勒）的普莱格尔河上有７座桥，将河中的两个岛和河岸连结，城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍７座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点，这就是七桥问题。
七桥问题这个问题人们试了很多办法都没能解决，直到引起了瑞士数学家Ｅｕｌｅｒ（欧拉）的注意。
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几何化猜想
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威廉·瑟斯顿（Thurston）的几何化猜想（geometrization conjecture）指的是，任取一个紧致(可能带边)的三维流形尽量作连通和以使其成为尽可能简单的三维流形的连通和，对于带边流形可能还需要沿着一些圆盘继续切割，有唯一的方法沿着一些环面(如果是带边流形还要加上平环)割开得
到尽可能简单的若干小块，这些小块均为八种标准几何结构之一。
八种标准几何结构均为完备的黎曼度量，这些几何结构在某种意义上是比较“好”的，例如体积有限、“直线”都可无限延伸等等。
1.标准球面S ，具有常曲率+l
2.欧氏空间R ，具有常曲率0
3.双曲空间H ，具有常曲率-1
4.S ×S
5.H ×S
6.特殊线性群(2，R)上左不变黎曼度量
7.幂零几何
8.可解几何
威廉·瑟斯顿
编辑
威廉·瑟斯顿Thurston，William）1946年10月30日出生于美国，1982年获菲尔兹奖，获奖前后的工作地点是普林斯顿大学。
他讨论了三维流形上的叶状结构，并对一般流形上叶状结构的存在、性质及其分类得出了普遍的结果；基本完成了三维闭流形的拓扑分类。
目录
1获奖情况
2主要成就
3几何化猜想
3几何化猜想
美国康奈尔大学的数学家威廉·瑟斯顿(William Thurston)，他说：“数学是真正的人类思维，它涉及人类如何能有效地思考,这就是为什么好奇心是一个好向导的道理。
”他认为好奇心与人类直觉紧密相连。
1970年,瑟斯顿提出几何化猜想,指出庞加莱猜想只是几何化猜想的一个特例。
几何化猜想是一个有关三维空间几何化的更强大、更普遍的猜想,认为任何空间都可还原成少数几个基本的图形。
《美国数学会会志》的文章认为,瑟斯顿的伟大之处在于他深刻认识到如何用几何学的方法来认识三维流形的拓扑学。
“瑟斯顿的猜想列出了一个清单,如果它是正确的,那么庞加莱猜想的证明则迎刃而解。
”瑟斯顿因几何化猜想而获得了1982年的菲尔茨奖。
拓扑学家们努力发展一系列精致的工具来研究和分析形状,但一直没有进展。
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参考资料。